河南省洛阳市2019-2020学年高三年级第二次统一考试理数试卷含答案
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河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期期中数学试卷2一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.已知集合A={x|−3<x<1},B={x|(x+1)(x−3)≤0},则A∩B=()A. (−3,3]B. [−3,1)C. (−1,3)D. [−1,1)2.若复数(a+i)(2+i)(i为虚数单位)为纯虚数,则实数a=()A. −2B. 2C. −12D. 123.已知直线l:3x+4y+m=0(m>0)被圆C:x2+y2+2x−2y−6=0截得的弦长是圆心C到直线l的距离的2倍,则m=()A. 6B. 8C. 9D. 114.在四棱锥P−ABCD中,底面ABCD是直角梯形,BA⊥AD,AD//BC,AB=BC=2,PA=3,PA⊥底面ABCD,E是棱PD上异于P,D的动点,设PEED=m,则“0<m<2”是“三棱锥C−ABE的体积不小于1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.双曲线C:x24−y22=1的离心率为()A. √22B. √62C. √24D. √646.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,其中左视图是一个边长为2的正三角形,则这个几何体的体积是()A. 2cm 3B. √3cm 3C. 3√3cm 3D. 3cm 37. 已知sin (α+π3)+sinα=−4√35,则cos (α−π3)=( )A. −45B. −35C. 45D. 358. 设实数x ,y 满足{x −y ≥0x +y ≤1x +2y ≥1则z =2x −3y 的最大值为( )A. −13B. −12C. 2D. 39. 设a =log 36,b =log 510,c =log 714,则( )A. a >b >cB. a >c >bC. c >a >bD. c >b >a10. 若函数f (x )=sinωx (ω>0)在区间[0,π3]上单调递增,在区间[π3,π2]上单调递减,则ω=( )A. 3B. 2C. 23D. 3211. 已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1,点F 1,F 2是椭圆的左右焦点,点A 是椭圆上的点,▵AF 1F 2的内切圆的圆心为M ,若MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ,则椭圆的离心率为( )A. 12B. √22 C. √32D. √2−112. 已知函数,若关于x 的方程f(x)−t =0有3个不同的实数根,则实数t 的取值范围是( )A. [0,1]B. (0,1)C.D.二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13. 已知a ⃗ =(3,−4),b ⃗ =(2,3),则2|a ⃗ |−3a ⃗ ⋅b ⃗ = ______ .14. 已知等比数列{a n }的各项均为正数,a 6+a 5=4,a 4+a 3−a 2−a 1=1,则a 1的值为______.15.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2,P是面对角线BC1的中点,Q是底面ABCD上一动点,则D1P+PQ的最小值为.16.若函数在在[1,2]上单调递增,则实数a的取值范围是__________.三、解答题(本大题共7小题,共82.0分)17.已知S n为等差数列{a n}的前n项和,且a1=1,S7=28.记b n=[lg a n],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg99]=1.(1)求b1,b11,b101;(2)求数列{b n}的前1000项的和.18.已知a,b,c分别是△ABC三个内角A,B,C的对边,且2asin(C+π)=√3b.3(1)求角A的值.(2)若b=3,c=4,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.19.如图,在四棱锥P−ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB//CD,∠ADC=90°,AB=2,AD=4,DC=3,PA=5,E∈PC,AC∩BD=F.(1)若CEEP =32,求证:EF//平面PAB;(2)若FE⊥PC,求二面角E−DB−C的平面角的余弦值.20.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,M(−2,y0)是C上一点,且|MF|=2.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)过点F的直线与抛物线C相交于A,B两点,分别过点A,B两点作抛物线C的切线l1,l2,两条切线相交于点P,点P关于直线AB的对称点Q,判断四边形PAQB是否存在外接圆,如果存在,求出外接圆面积的最小值;如果不存在,请说明理由.21.已知函数f(x)=ax2−(a+2)x+lnx,其中a∈R.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若对于任意x2>x1>0,f(x1)+2x1<f(x2)+2x2恒成立,求a的取值范围22.在直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=sinθ+cosθ,点P的曲线C上运动.(I)若点Q在射线OP上,且|OP|⋅|OQ|=4,求点Q的轨迹的直角坐标方程;),求△MOP面积的最大值.(Ⅱ)设M(4,3π423.已知函数f(x)=|x−a|+m|x+a|.(Ⅰ)当m=a=−1时,求不等式f(x)≥x的解集;(Ⅱ)不等式f(x)≥2(0<m<1)恒成立时,实数a的取值范围是{a|a≤−3或a≥3},求实数m 的集合.-------- 答案与解析 --------1.答案:D解析:解:∵集合A={x|−3<x<1},B={x|(x+1)(x−3)≤0}={x|−1≤x≤3},∴A∩B={x|−1≤x<1}=[−1,1).故选:D.先求出集合A和B,由此能求出A∩B.本题考查交集的求法,考查交集定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.2.答案:D解析:本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出.解:由题意可知:(a+i)(2+i)=(2a−1)+(2+a)i,∵复数为纯虚数,∴2+a≠0,2a−1=0,∴a=12.故选D.3.答案:C解析:本题考查直线与圆的位置关系,圆心到直线的距离,求出圆心为(−1,1),半径为2√2,利用圆心到直线的距离d=|−3+4+m|5=2√2×√22,即可求出结论.解:圆C:x2+y2+2x−2y−6=0,可化为(x+1)2+(y−1)2=8,圆心为(−1,1),半径为2√2.由题意得,圆心到直线的距离d=|−3+4+m|5=2√2×√22.∵m>0,∴m=9.故选C.4.答案:B解析:本题考查充要条件的判断及棱锥体积的求解,过E作EH⊥AD得到V C−ABE=V E−ABC=23EH即可求解.解析:解:过E作EH⊥AD,H为垂足,则EH⊥面ABCD∴V C−ABE=V E−ABC,所以三棱锥C−ABE的体积为23EH,若三棱锥C−ABE的体积不小于1,则EH≥32,又PA=3,∴PEED=m≤1.即“0<m<2”是“三棱锥C−ABE的体积不小于1”的必要不充分条件.故选B.5.答案:B解析:解:双曲线C:x24−y22=1,可得a=2,b=√2,则c=√6.双曲线的离心率为:√62.故选:B.利用双曲线方程求出a,b,c,然后求解离心率即可.本题考查双曲线的简单性质的应用,是基础题.。
洛阳市2019--2020学年高中三年级第一次统一考试数学试卷(理)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}20|M x x x =-<,{}2,1,0,1,2N =--,则MN =( )A. {}0,1B. {}2,1--C. {}1D. {}0,1,2【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合M ,由此求得两个集合的交集. 【详解】由()20x x -<,解得{}|02M x x =<<,所以M N ={}1.故选:C【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法,考查集合交集的概念和运算,属于基础题.2.已知复数z 在复平面中对应的点(),x y 满足()2211x y -+=,则1z -=( )A. 0B. 1C.D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据复数对应点的坐标以及复数模的几何意义,判断出正确选项. 【详解】由于复数z 在复平面中对应点(),x y 满足()2211x y -+=,即复数z 对应点在圆心为()1,0,半径为1的圆上,1z -表示复数对应的点到()1,0的距离,也即圆上的点到圆心的距离,所以11z -=. 故选:B【点睛】本小题主要考查复数对应点的坐标以及复数模的几何意义,考查圆的方程,属于基础题.3.为了节能减排,发展低碳经济,我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展.下面的图表反映了该产业发展的相关信息:根据上述图表信息,下列结论错误的是()A. 2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆B. 2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆C. 2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D. 2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆【答案】D【解析】【分析】根据图表对选项逐一分析,由此确定结论错误的选项.【详解】对于A选项,2017年3月份我国新能源汽车的产量6.8 6.83.32 3.41 1.05 2.05=≈<+,故A选项结论正确.对于B选项,2017年我国新能源汽车总销量125.6125.677.677010.617 1.617=≈>+,故B选项结论正确.对于C选项,2018年8月份我国新能源汽车的销量10.1万量,高于产量9.9万量,故C选项结论正确.对于D 选项,2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量9.60.25 2.42⨯=>,故D 选项结论错误. 故选:D【点睛】本小题主要考查图表数据分析,考查阅读与理解能力,属于基础题.4.已知正项等比数列{}n a 中,354a a =,且467,1,a a a +成等差数列,则该数列公比q 为( ) A.14B.12C. 2D. 4【答案】C 【解析】 【分析】结合等差中项的性质,将已知条件转化为1,a q 的形式,由此求得q 的值.【详解】由于467,1,a a a +成等差数列,所以()64721a a a +=+,所以()64735214a a a a a ⎧+=+⎨=⎩,即()5361112411214a q a q a q a q a q ⎧+=+⎪⎨⋅=⎪⎩,解得11,24a q ==. 故选:C【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算,考查等差中项的性质,属于基础题.5.我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就.哥德巴赫猜想简述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”(注:如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数,则称这个整数为素数),如40337=+.在不超过40的素数,随机选取2个不同的数,这两个数的和等于40的概率是( ) A.126B.122C.117D.115【答案】B 【解析】 【分析】先求得40以内的素数的个数,然后根据古典概型概率计算公式,计算出所求的概率.【详解】40以内的素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37共12个,任选两个的方法数有21212116621C ⨯==⨯种,和为40的有33740,112940,172340+=+=+=共3种,所以不超过40的素数,随机选取2个不同的数,这两个数的和等于40的概率是316622=. 故选:B【点睛】选本小题主要考查古典概型的计算,考查组合数的计算,考查素数的知识,属于基础题. 6.圆222410x y x y +-++=关于直线()300,0ax by a b --=>>对称,则12a b+的最小值是( ) A. 1 B. 3 C. 5D. 9【答案】B 【解析】 【分析】求得圆心,代入直线30ax by --=,利用基本不等式求得12a b+的最小值. 【详解】圆222410x y x y +-++=的圆心为()1,2-,由于圆关于直线30ax by --=对称,圆心坐标满足直线方程,所以23a b +=,所以12a b +()1122123253b a a b b b a a +⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11554333⎛≥+=+= ⎝,当且仅当22,1b aa b a b===时等号成立. 故选:B【点睛】本小题主要考查圆的几何性质,考查基本不等式求最小值.7.函数()()23xx e e cos x f x x-⋅-=(e 为自然对数的底数)的大致图象为( )A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和特殊值,排除错误选项,由此得出正确选项.【详解】由于()()f x f x -=-,所以()f x 为奇函数,图像关于原点对称,由此排除B,D 两个选项. 当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x >,由此排除A 选项. 故选:C【点睛】本小题主要考查函数图像的识别,考查函数的奇偶性,属于基础题. 8.正三棱锥的三视图如下图所示,则该正三棱锥的表面积为( )A. B. 9 C. D.92【答案】A 【解析】 【分析】通过三视图还原出立体图,通过条件可求得底面正三角形边长为则可求侧面积为.【详解】如图所示,底面正三角的高AD=3,所以223AH AD==,AB=AC=BC=ABCS =又SH为侧视图中的高,所以SH=3,则AS=,则在等腰SAB中12SABS=⨯=所以侧面积为A.【点睛】本题考查已知三视图求几何体的表面积,准确的还原出立体图是解题的关键,属中档题.9.已知点12,F F分别是双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的左,右焦点,O为坐标原点,点P在双曲线C的右支上,且满足12212,4F F OP tan PF F=∠=,则双曲线C的离心率为()B. 5D.179【答案】C【解析】【分析】根据122F F OP=判断出三角形12F F P是直角三角形,利用214tan PF F∠=、双曲线的定义和勾股定理列方程组,化简后求得离心率.【详解】由于1222F F OP c==,所以三角形12F F P是直角三角形.所以12121222221212424PFtan PF FPFPF PF aPF PF F F c⎧∠==⎪⎪⎪-=⎨⎪+==⎪⎪⎩,化简得22179ca=,即cea==故选:C【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法,考查双曲线的定义,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.10.设()f x 是定义在R 上函数,满足条件()()11f x f x +=-+,且当1x ≤时,()3xf x e-=-,则()27a f log =,()2 1.533,3b f c f --⎛⎫⎪⎝⎭==的大小关系是( )A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. c b a >>【答案】B 【解析】 【分析】利用已知条件将()27a f log =转换为247a f log ⎛=⎫⎪⎝⎭,根据1x ≤时()f x 的单调性,比较出,,a b c 的大小关系.【详解】依题意()()11f x f x +=-+,所以()22277log 1log 1227a f log f f ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎝⎭⎝=⎪⎭24l o g 7f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.因为21.5324log 03317--<<<<,且当(],1x ∈-∞时,()3x f x e -=-为减函数,所以a cb >>.故选:B【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性比较大小,考查对数运算,考查化归与转化的数学思想方法,属于基础题.11.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,点E 为棱1CC 的中点.下列结论:①线段BD 上存在点F ,使得//CF 平面1AD E ;②线段BD 上存在点F ,使CF ⊥得平面1AD E ;③平面1AD E 把正方体分成两部分,较小部分的体积为724,其中所有正确的序号是( ) A. ① B. ③C. ①③D. ①②③【答案】C 【解析】的【分析】利用线面平行的判定定理,作出F 点的位置,判断①正确.利用面面垂直的判定定理,判断②错误.计算较小部分的体积,判断③正确.【详解】设1A D 交1AD 于P ,过P 作PQ AD ⊥,交AD 于Q ,连接CQ 交BD 于F ,由于//,PQ CE PQ CE =,所以四边形PQCE 为平行四边形,所以//CQ EP ,所以//CQ 平面1AED .故线段BD 上存在点F ,使得//CF 平面1AD E ,即①正确.若CF ⊥平面1AD E ,CF ⊂平面ABCD ,则平面1AD E ⊥平面ABCD ,这不成立,所以②错误. 延展平面1AD E 为1AMED 如图所示,其中M 是BC 的中点.根据正方体的几何性质可知,1,,D E AM DC 相交于一点, 1CEMDD A ∆∆,所以多面体1CEM DD A -是棱台.且体积为(113CEM DD A S S CD ∆∆⋅+⋅1117138224⎛=⋅++⋅= ⎝.故③正确. 综上所述,正确的序号为①③. 故选:C【点睛】本小题主要考查空间线面平行、线面垂直有关定理,考查台体体积计算,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.12.已知正项数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a >,且2632n n n S a a =++.若对于任意实数[]2,2a ∈-.不等式2*1()211n a t at n N n +<+-∈+恒成立,则实数t 的取值范围为( ) A. ][(),22,⋃∞-+∞- B. ,21,(][)∞⋃+∞--C. ,12[),(]-∞⋃+∞-D. []22-,【答案】A 【解析】 【分析】 求得11n a n ++的范围,转化主参变量列不等式组,解不等式组求得t 的取值范围. 【详解】由2632n n n S a a =++①.当1n =时,2111632a a a =++,解得12a =.当2n ≥时,2111632n n n S a a ---=++②,①-②得2211633n n n n n a a a a a --=-+-,()()1130n n n n a a a a --+--=,所以13n n a a --=,所以数列{}n a 是首项为12a =,公差为3d =的等差数列,所以31n a n =-,所以()1311133111n n a n n n ++-==-<+++,所以2213t at +-≥恒成立,即2240t at +-≥,转换为2240ta t +-≥,在[]2,2a ∈-恒成立,所以2222402240t t t t ⎧-+-≥⎨+-≥⎩,解得][,2()2,t ∈⋃∞-+∞-. 故选:A【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ,考查不等式恒成立问题的求解策略,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.平面向量a 与b 的夹角为60,且()3,0a =,1b =,则2a b += __________.【解析】 【分析】利用()222a b a b +=+来求得2a b +.【详解】依题意()222a b a b+=+224494a ab b =+⋅+=+=【点睛】本小题主要考查平面向量模的运算,考查平面向量数量积的运算,考查化归与转化的数学思想方法,属于基础题.14.若实数,x y 满足约束条件,4, 3,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,则2z x y =+的最小值是__________.【答案】9- 【解析】 【分析】画出可行域,平移基准直线20x y +=到可行域边界位置,由此求得z 的最小值.【详解】画出可行域如下图所示,平移基准直线20x y +=到可行域边界点()3,3A --位置,此时z 取得最小值为()2339⨯--=-. 故答案为:9-【点睛】本小题主要考查线性规划求最小值,考查数形结合的数学思想方法,属于基础题.15.已知椭圆()2222:10,x y C a b A a b+=>>为右顶点.过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点,线段AP 的中点为M ,直线QM 交x 轴于()2,0N ,椭圆C 的离心率为23,则椭圆C 的标准方程为__________. 【答案】2213620x y += 【解析】【分析】设出,P Q 两点的坐标,求得M 点坐标,由,,Q M N 三点共线列方程,结合椭圆的离心率求得,a b 的值,进而求得椭圆的标准方程.【详解】设()()0000,,,P x y Q x y --,(),0A a ,所以00,22a x y M +⎛⎫ ⎪⎝⎭,由于,,Q M N 三点共线,所以00002222y y a x x =++-,解得6a =.由于椭圆离心率23c a =,所以4c =,所以22220,b a c b =-==.所以椭圆方程为2213620x y +=. 故答案为:2213620x y += 【点睛】本小题主要考查根据椭圆的离心率求椭圆标准方程,考查运算求解能力,属于基础题. 16.已知函数()()12,f lnx ax a x g x x=+=-,且()()0f x g x ≤在定义域内恒成立,则实数a 的取值范围为__________. 【答案】{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭【解析】分析】 先求得()()f x g x 的定义域,然后对()f x 和()g x 的符合进行分类讨论,由此求得实数a 的取值范围.【详解】依题意()()()1ln 2f x g x x ax a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,定义域为()0,∞+. 由于()()0f x g x ≤在定义域内恒成立,则 ①,1ln 20,0x ax a x +≤-≥恒成立,即ln 12,x a a x x ≤-≤在()0,∞+恒成立.令()ln x h x x=-,()'ln 1x h x x -=,故()h x 在()0,e 上递减,在(),e +∞上递增,故()()1h x h e e≥=-.所以,由ln 12,x a a x x ≤-≤可得12,0a a e ≤-≤,即12a e≤-. ②,1ln 20,0x ax a x +≥-≤恒成立,即ln 12,x a a x x≥-≥在()0,∞+恒成立,不存在这样的a . ③,当0a >时,由于()f x 在()0,∞+上递增,()g x 在()0,∞+上递减,要使()()0f x g x ≤在定义域内恒成立,则需()f x 和()g x 有相同的零点.由ln 2010x ax a x+=⎧⎪⎨-=⎪⎩,解得22,a e x e -==. 综上所述,实数a 的取值范围是{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭. 【故答案为:{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题的求解策略,考查利用导数研究函数的单调性和最值,考查分类讨论的数学思想方法,考查化归与转化的数学思想方法,属于难题.三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.在ABC 中,角,,A B C 对应边分别为,,a b c .(1)若ABC 的面积S 满足222,4c a b c a +=+==且b c >,求b 的值;(2)若3a A π==且ABC 为锐角三角形.求ABC 周长的范围.【答案】(1)b =(2)3(+【解析】【分析】(1)结合三角形面积公式和余弦定理,求得tan C 的值,由此求得C 的大小,利用余弦定理列方程求得b 的值.(2)利用正弦定理表示出,b c ,用三角形内角和定理和三角恒等变换求得b c +的取值范围,由此求得a b c ++即三角形ABC 周长的取值范围.【详解】(1)由条件和三角形的面积公式得2222c c a b +=+=+,即222a b c =+-.将余弦定理2222a b c abcosC +-=.cosC =,即tanC =,因为(0,)C π∈,所以6C π=将4,6c a C π===,代入2222c a b abcosC =+-,得290b -+=结合条件b c >得b =(2)由正弦定理得2sin sin sin a b c A B C=== 所以()2b c sinB sinC +=+()22233sinB sin B sinB sin B πππ⎡⎡⎤⎛⎫=--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎤=⎢⎥⎣⎦⎦+322(6)2sinB cosB B π⎛⎫ ⎪ ⎪⎭==+⎝+ 因为A B C π++=,且3A π=及锐角三角形得0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且20,32B ππ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以62B ππ<<,所以2363B πππ<+<,即sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭,所以(3,b c +∈所以周长a b c ++范围是3(+.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形,考查三角形的面积公式,考查三角恒等变换,考查运算求解能力,属于中档题.18.如图,已知四边形ABCD 为等腰梯形,BDEF 为正方形,平面BDEF ⊥平面ABCD ,//,1AD BC AD AB ==,60ABC ∠=︒.(1)求证:平面CDE ⊥平面BDEF ;(2)点M 为线段EF 上一动点,求BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)12⎤⎥⎣⎦ 【解析】【分析】(1)利用等腰梯形的性质证得BD CD ⊥,由面面垂直的性质定理证得CD ⊥平面BDEF ,由此证得平面CDE ⊥平面BDEF .(2)建立空间直角坐标系,设出EM 的长,利用直线BD 的方向向量和平面BCM 的法向量,求得BD 与平面BCM 所成角正弦值的表达式,进而求得BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围.【详解】在等腰梯形ABCD 中,// ,1AD BC AD AB ==, 60ABC ∠=︒,120,30BAD CDA ADB ∴∠=∠=︒∠=︒,90CDB ∠=︒. 即.BD CD⊥BD =2BC =. 又平面BDEF ⊥平面ABCD ,平面BDEF ⋂平面,ABCD BD CD =⊂平面ABCD ,∴CD ⊥平面BDEFCD ⊂平面CDE ,∴平面CDE ⊥平面BDEF(2)解:由(1)知,分别以直线,,DB DC DE 为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,设0(EM m m =≤≤,则()(),0,1,0,000),,B C D,((),3,1,0M m BC =-,()3,0,3,3,0,()0BM m DB =-=设平面BMC 的法向量为(),,n x y x = 00n BC n BM ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩,即(10y m x ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩令3x =,则3,y z m ==,平面BMC 的一个法向量为3,3,()n m =.设BD 与平面BCM 所成角为θ,,sin cos n BD θ∴=<>(,n BDn BD m ==∴当0m =m 时取最大值12故BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围为12⎤⎥⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理,考查向量法计算线面角正弦值的取值范围,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.19.过点()0,2P 的直线与抛物线2:4C x y =相交于,A B 两点. (1)若2AP PB =,且点A 在第一象限,求直线AB 的方程;(2)若,A B 在直线2y =-上的射影分别为11,A B ,线段11A B 的中点为Q , 求证1//BQ PA .【答案】(1)240x y -+=.(2)证明见解析【解析】【分析】(1)设出直线AB 的方程,联立直线AB 的方程和抛物线方程,化简后写出韦达定理,利用2AP PB =,结合平面向量相等的坐标运算、韦达定理,求得直线AB 的斜率,进而求得直线AB 的方程.(2)由(1)求得11,,A B Q 的坐标,通过计算10BQ PA k k -=,证得1//BQ PA .【详解】(1)设AB 方程为()20y kx k =+>,()()11221,,,,0A x y B x y x > ,联立方程24 2.x y y kx ⎧=⎨=+⎩,,消去y 得:2480x kx --=,216320k =+>,121248x x k x x +=⎧⎨⋅=-⎩① 又()1122(),2,,2AP x y PB x y =--=- 由2AP PB =得:122x x =-代人①解得12k = ∴直线AB 的方程为:122y x =+,即240x y -+=.(2)由(1)得,()111122,2,,2(()2),,2x A x B x Q x +--- 114PA k x =-, ()22221221228422BQ x x k x x x x x ++==+-- ()()()122121212211121888422BQ PA x x x x x x k k x x x x x x ++-+-=+=-- ()()()221212************x x x x x x x x x x x x ++===-- 1BQ PA k k ∴=1//PA BQ ∴【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系,考查向量的坐标运算,考查化归与转化的数学思想方法,考查运算求解能力,属于中档题.20.设函数()()3211232x f x e x kx kx =--+. (1)若1k =,求()f x 的单调区间;(2)若()f x 存在三个极值点123,,x x x ,且123x x x <<,求k 的取值范围,并证明:1 3 22x x x >+.【答案】(1)单调减区间为(,1)-∞,单调增区间为(1,)+∞.(2)k e >,证明见解析【解析】【分析】(1)当1k =时,利用导数求得()f x 的单调区间.(2)先求得()f x 的导函数()()()'1x e x f x kx --=,则()x g x e kx =-有两个不同的零点,且都不是1.对k 分成0,0k k ≤>两种情况分类讨论,利用导数研究()g x 的单调性和零点,由此求得k 的取值范围. 由上述分析可得12301x x x <<=<,利用导数证得312313131ln ln 221x x x x x x x x x -=>=-++,从而证得1 3 22x x x >+.【详解】(1)()32()11232x f x e x x x =--+()()() 1x f x e x x '∴=--.令()(),'1x x h x e x h x e =-=-,()'0h x >得0x >,()'0h x <得0x <,()h x 在(,0)-∞上递减,在(0,)+∞上递增.()()010h x h ∴≥=>即0x e x ->,∴解()'0f x >得1x >,解()'0f x <得1x <,()f x ∴的单调减区间为(,1)-∞,单调增区间为(1,)+∞.(2)()()()()2'21x x x f x e x e kx kx e kx x =-+-+=--,()f x 有三个极值点,∴方程0-=x e kx 有两个不等根,且都不是1,令()x g x e kx =-,0k ≤时,()g x 单调递增,()0g x =至多有一根,0k ∴>解()'0g x >得x lnk >,解()'0g x <得x lnk <.()g x ∴在(n ),l k -∞上递减,在(ln ,)k +∞上递增,()()ln 10,k g lnk e klnk k lnk k e =-=-<>∴此时,()010g =>,()1,10lnk g e k >=-<,x →+∞时()g x →+∞.k e ∴>时,()'0f x =有三个根123,,x x x ,且12301x x x <<=<,由11x e kx =得11x lnk lnx =+,由33xe kx =得33x lnk lnx =+,3131ln ln 1x x x x -∴=-下面证明:313131ln ln 2x x x x x x ->-+,可变形为331311121x x x ln x x x ->+ 令311x t x =>,()()21ln 1t x t t ϕ-=-+ ()()()()222114011t x t t t t ϕ-'=-=>++,()x ϕ∴在(1)+∞,上递增, ()()10t ϕϕ∴>= ∴313131ln ln 21x x x x x x -=>-+,3122.x x x ∴+> 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性,考查利用导数求解函数极值有关问题,考查利用导数证明不等式,考查化归与转化的数学思想方法,考查运算求解能力,属于难题.21.“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征,是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径,正被广泛采用.每次考试过后,考生最关心的问题是:自己的考试名次是多少?自已能否被录取?能获得什么样的职位? 某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名,其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名,考试满分为400分.(一般地,对于一次成功的考试来说,考试成绩应服从正态分布. )考试后考试成绩的部分统计结果如下:考试平均成绩是180分,360分及其以上的高分考生30名.(1)最低录取分数是多少?(结果保留为整数)(2)考生甲的成绩为286分,若甲被录取,能否获得高薪职位?若不能被录取,请说明理由.参考资料:(1)当2~(,)X N μσ时,令X Y μσ-=,则()~0,1Y N .(2)当()~0,1Y N 时, 2.17()0.985P Y ≤≈, 1.280.900, 1.()09()0.863P Y P Y ≤≈≤≈,1.04()0.85P Y ≤≈.【答案】(1)266分或267分.(2)能获得高薪职位.见解析【解析】【分析】(1)利用考试的平均成绩、高分考生的人数,以及题目所给正态分布的参考资料,求得考生成绩X 的分布()~180,832X N ,利用录取率3002000列方程,由此求得最低录取分数线. (2)计算出不低于考生甲的成绩的人数约为200,由此判断出甲能获得高薪职位.【详解】(1)设考生成绩为X ,则依题意X 应服从正态分布,即()2~180,X N σ. 令180X Y σ-=,则()~0,1Y N .由360分及其以上的高分考生30名可得()303602000P X ≥=即()3036010.9852000P X <=-≈,亦即3601800.985P Y σ-⎛⎫<≈ ⎪⎝⎭. 则3601802.17σ-=,解得()83180,832N σ≈∴,, 设最低录取分数线为o x ,则0180300832(0)00o x P X x P Y -⎛⎫≥=≥= ⎪⎝⎭ 则018030010.85832000x P Y -⎛⎫<=-≈ ⎪⎝⎭,0180 1.0483x -∴= 266.32o x ∴≈.即最低录取分数线为266分或267分.(2)考生甲的成绩286267>,所以能被录取.()()286180()286 1.280.9083P X P Y P Y -<=<=<≈, 表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的10.900.10,20000.1200-=⨯≈,即考生甲大约排在第200名,排在275名之前,所以他能获得高薪职位.【点睛】本小题主要考查正态分布在实际生活中的应用,考查化归与转化的数学思想方法,考查阅读理解能力,属于中档题.请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用2B 铅笔在答题卡.上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.22.在极坐标系中,已知圆的圆心6,3C π⎛⎫ ⎪⎝⎭,半径3r =,Q 点在圆C 上运动.以极点为直角坐标系原点,极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系.(1)求圆C 参数方程;(2)若P 点在线段OQ 上,且:2:3OP PQ =,求动点P 轨迹的极坐标方程.【答案】(1)33cos 3sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数);(2)225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭【解析】分析】(1)已知得,圆心6,3C π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为(C ,3r =,则可求得圆的标准方程;(2)结合(1)得,圆C 的极坐标方程为212sin 276πρρθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,再设(),P ρθ,()1,Q ρθ,则1:2:5ρρ=,将152ρρ=代入C 的极坐标方程即可得解.【详解】(1)由已知得,圆心6,3C π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为(C ,3r =,所以C 的直角坐标方程为()(2239x y -+-=,所以圆C 的参数方程为33cos 3sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数).(2)由(1)得,圆C的极坐标方程为()26cos 270ρρθθ-+=, 即212sin 276πρρθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.设(),P ρθ,()1,Q ρθ,根据:2:3OP PQ =,可得1:2:5ρρ=, 将152ρρ=代入C 的极坐标方程,得225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭,即动点p 轨迹的极坐标方程为225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了直角坐标方程、极坐标方程及参数方程的互化,重点考查了运算能力,属基础题. 23.设函数()211f x x x =-++.【(1)画出()y f x =的图象;(2)若不等式()1f x a x >-+对x ∈R 成立,求实数a 的取值范围.【答案】(1)见解析(2)(,3)-∞【解析】【分析】(1)利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式,由此画出()f x 的图形.(2)将不等式() 1f x a x >-+转化为21 22a x x -++>.利用绝对值不等式求得21 22x x -++的最小值,由此求得a 的取值范围.【详解】(1)根据绝对值的定义,可得()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩所以() y f x =的图象如图所示:(2)() 1f x a x >-+,即21 22a x x -++>|21 2 2 2122|3x x x x -++≥---=,3a ∴<,即实数a 的取值范围是(,3)-∞.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像,考查含有绝对值的不等式恒成立问题的求解,属于基础题.。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A =[﹣1,1],B ={x |1nx <0},则A ∩B =( ) A .(0,1)B .(0,1]C .(﹣1,1)D .[﹣1,1]【解答】解:B =(0,1); ∴A ∩B =(0,1). 故选:A .2.(5分)已知z 的共轭复数是z ,且|z |=z +1﹣2i (i 为虚数单位),则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限【解答】解:设z =x +yi (x ,y ∈R ),∵|z |=z +1﹣2i ,∴√x 2+y 2=x −yi +1−2i =(x +1)−(y +2)i , ∴{√x 2+y 2=x +1y +2=0,解得:{x =32y =−2, 复数z 在复平面内对应的点为(32,−2),此点位于第四象限.故选:D .3.(5分)已知向量a →=(1,√3),|b →|=3,且a →与b →的夹角为π3,则|2a →+b →|=( )A .5B .√37C .7D .37【解答】解:由题可得:向量a →=(1,√3),|a →|=2, 所以a →⋅b →=2×3×12=3,所以,|2a →+b →|=√4a →2+4a →⋅b →+b →2=√16+12+9=√37.故选:B .4.(5分)已知函数f (x )={e −x ,x ≤0−x 2−2x +1,x >0,若f (a ﹣1)≥f (﹣a 2+1),则实数a的取值范围是( ) A .[﹣2,1]B .[﹣1,2]C .(﹣∞,﹣2]∪[1,+∞)D .(﹣∞,﹣1]∪[2,+∞)【解答】解:函数f(x)={e−x,x≤0−x2−2x+1,x>0,在各段内都是减函数,并且e﹣0=1,﹣02﹣2×0+1=1,所以f(x)在R上递减,又f(a﹣1)≥f(﹣a2+1),所以a﹣1≤﹣a2+1,解得:﹣2≤a≤1,故选:A.5.(5分)下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”.已知正整数n被3除余2,被7除余4,被8除余5,求n的最小值.执行该程序框图,则输出的n()A.50B.53C.59D.62【解答】解:【方法一】正整数n被3除余2,得n=3k+2,k∈N;被8除余5,得n=8l+5,l∈N;被7除余4,得n=7m+4,m∈N;求得n的最小值是53.【方法二】按此歌诀得算法如图,则输出n的结果为按程序框图知n的初值为1229,代入循环结构得n=1229﹣168﹣168﹣168﹣168﹣168﹣168﹣168=53,即输出n值为53.故选:B.6.(5分)已知函数f (x )=12sinx +√32cos x ,将函数f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后,所得到的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是( ) A .π6B .π4C .π3D .π2【解答】解:f (x )=12sinx +√32cos x =sin (x +π3), 将函数f (x )的图象向左平移m 个单位长度后,得到函数y =sin (x +m +π3)的图象,又所得到的图象关于y 轴对称, 所以m +π3=k π+π2,即m =k π+π6,k ∈Z , 又m >0,所以当k =0时,m 最小为π6.故选:A .7.(5分)如图是一几何体的三视图,则该几何体的体积是( )A .9B .10C .12D .18【解答】解:由三视图可知该几何体是底面是直角梯形,侧棱和底面垂直的四棱锥, 其中高为3,底面直角梯形的上底为2,下底为4,梯形的高为3, 所以四棱锥的体积为13×(2+4)×32×3=13×6×32×3=9.故选:A . 8.(5分)已知双曲线x 2a −y 2b =1(a >0,b >0)的左,右焦点分别为F 1,F 2,点P (2,√3)在双曲线上,且|PF 1|,|F 1F 2|,|PF 2|成等差数列,则该双曲线的方程为( ) A .x 2﹣y 2=1B .x 22−y 23=1 C .x 2−y 23=1D .x 216−y 24=1【解答】解:设|PF 1|=m ,|F 1F 2|=2c ,|PF 2|=n .∴m ﹣n =2a .∵|PF 1|,|F 1F 2|,|PF 2|成等差数列,∴4c =m +n . ∴m =a +2c =√(2+c)2+3,n =2c ﹣a =√(2−c)2+3, 联立解得a =1,c =√2,∴b 2=c 2﹣a 2=1. ∴双曲线的标准方程为:x 2﹣y 2=1. 故选:A .9.(5分)如图所示,三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图,给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影),设直角三角形有一个内角为30°,若向弦图内随机抛掷200颗米粒(大小忽略不计,取√3≈1.732),则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为( )A .20B .27C .54D .64【解答】解:设大正方体的边长为x ,则小正方体的边长为√32x −12x , 设落在小正方形内的米粒数大约为N ,则(√32x−12x)2x2=N 200,解得:N ≈27故选:B .10.(5分)如果点P (x ,y )满足{2x −y +2≥0x −2y +1≤0x +y −2≤0,点Q 在曲线x 2+(y +2)2=1上,则|PQ |的取值范围是( )A .[√5−1,√10−1]B .[√5−1,√10+1]C .[√10−1,5]D .[√5−1,5]【解答】解:曲线x 2+(y +2)2=1对应的圆心M (0,﹣2),半径r =1, 作出不等式组对应的平面区域如图: 直线x ﹣2y +1=0的斜率k =12,则当P 位于点(﹣1,0)时,|PQ |取得最小值, 此时|PQ |=√1+4−1=√5−1.最大值为:2+3=5.则|PQ |的取值范围是:[√5−1,5] 故选:D .11.(5分)在四面体ABCD 中,AD ⊥平面ABC ,AB =AC =√10,BC =2,若四面体ABCD 的外接球的表面积为676π9,则四面体ABCD 的体积为( )A .24B .12C .8D .4【解答】解:在四面体ABCD 中,AD ⊥平面ABC ,AB =AC =√10,BC =2, 四面体ABCD 的外接球的表面积为676π9,∴四面体ABCD 的外接球的半径R =133, 设四面体ABCD 的外接球的球心为O ,则OD =OA =OC =OB , 过O 作OF ⊥平面ABC ,F 是垂足,过OE ⊥AD ,交AD 于E , ∴F 是△ABC 的外心,设AF =CF =r ,则r 2=1+(3﹣r )2, 解得r =53, ∴OE =AF =53,∴DE =AE =OF =√(133)2−(53)2=4, ∴四面体ABCD 的体积为:V =13×AD ×S △ABC =13×8×12×2×3=8. 故选:C .12.(5分)已知a >0,曲线f (x )=3x 2﹣4ax 与g (x )=2a 2lnx ﹣b 有公共点,且在公共点处的切线相同,则实数b 的最小值为( ) A .0B .−1e 2C .−2e 2D .−4e 2【解答】解:设y =f (x )与y =g (x )(x >0)在公共点P (x 0,y 0)处的切线相同,f ′(x )=6x ﹣4a ,g ′(x )=2a 2x,由题意f (x 0)=g (x 0),f ′(x 0)=g ′(x 0),得3x 02﹣4ax 0=2a 2lnx 0﹣b ,6x 0﹣4a =2a 2x 0,由3x 0﹣2a =a 2x 0得x 0=a 或x 0=−13a (舍去),即有b =a 2+2a 2lna . 令h (t )=t 2+2t 2lnt (t >0), 则h ′(t )=4t (1+lnt ),当4t (1+lnt )>0,即t >1e时,h ′(t )>0; 当4t (1+lnt )<0,即0<t <1e 时,h ′(t )<0. 故h (t )在(0,1e)为减函数,在(1e,+∞)为增函数,于是h (t )在(0,+∞)的最小值为h (1e)=−1e 2, 故b 的最小值为−1e 2. 故选:B .二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)(√x 3−13√x3)10的展开式中含x 2项的系数为 5 .【解答】解:(√x 3−13√x3)10的展开式的通项公式为T r +1=C 10r•(−13)r •x10−2r 3,令10−2r3=2,求得r =2,故展开式中含x 2项的系数为C 102•19=5,故答案为:5.14.(5分)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a ,b ,c 成等比数列,且tan B =34,则1tanA +1tanC 的值是 53.【解答】解:∵a ,b ,c 成等比数列,∴b 2=ac , ∴sin 2B =sin A sin C , ∵tan B =34,∴sin B =35. 则1tanA+1tanC =cosA sinA+cosC sinC=sinB sinAsinC=1sinB=53.故答案为:53.15.(5分)已知x >0,y >0,且1x +2y=1,则xy +x +y 的最小值为 7+4√3 .【解答】解:∵1x+2y=1,∴xy =2x +y ,∴xy +x +y =2x +y +x +y =3x +2y =(3x +2y )(1x+2y )=3+4+2y x +6x y ≥7+2√2y x ⋅6xy=7+4√3,当且仅当2y x=6x y时,即y =√3x 时取等号,故xy +x +y 的最小值为7+4√3, 故答案为:7+4√3. 16.(5分)如图,已知过椭圆x 2a +y 2b =1(a >b >0)的左顶点A (﹣a ,0)作直线l 交y轴于点P ,交椭圆于点Q ,若△AOP 是等腰三角形,且PQ →=2QA →,则椭圆的离心率为2√55.【解答】解:∵△AOP 是等腰三角形,A (﹣a ,0)∴P (0,a ). 设Q (x 0,y 0),∵PQ →=2QA →,∴(x 0,y 0﹣a )=2(﹣a ﹣x 0,﹣y 0). ∴{x 0=−2a −2x 0y 0−a =−2y 0,解得{x 0=−23a y 0=13a.代入椭圆方程得49a 2a2+19a 2b 2=1,化为b 2a 2=15.∴e =c a =√1−b 2a2=2√55.故答案为2√55. 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)已知等差数列{a n }的公差d ≠0,若a 3+a 9=22,且a 5,a 8,a 13成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =(a n +1)2a n a n+1,求数列{b n }的前n 项和S n .【解答】解:(1)设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d (d ≠0), 由a 3+a 9=22,且a 5,a 8,a 13成等比数列,得 {2a 1+10d =22(a 1+7d)2=(a 1+4d)(a 1+12d),解得{a 1=1d =2. ∴a n =a 1+(n ﹣1)d =1+2(n ﹣1)=2n ﹣1;(2)b n =(a n +1)2a n a n+1=4n 2(2n−1)(2n+1)4n 2−1+14n 2−1=1+1(2n−1)(2n+1)=1+12(12n−1−12n+1), ∴S n =1+12(1−13)+1+12(13−15)+⋯+1+12(12n−1−12n+1) =n +12(1−12n+1)=n +n2n+1.18.(12分)已知平面多边形P ABCD 中,P A =PD ,AD =2DC =2BC =4,AD ∥BC ,AP ⊥PD ,AD ⊥DC ,E 为PD 的中点,现将△APD 沿AD 折起,使PC =2√2. (1)证明:CE ∥平面ABP ;(2)求直线AE 与平面ABP 所成角的正弦值.【解答】(1)证明:取P A 中点F ,连接EF ,则EF 为△P AD 的中位线, ∴EF =∥12AD ,又BC =∥12AD , ∴EF =∥BC ,∴四边形BCEF 是平行四边形,∴CE ∥BF ,又BF ⊂平面P AB ,CE ⊄平面P AB , ∴CE ∥平面P AB .(2)解:取AD 的中点M ,连接BM ,PM , ∵P A =PD ,∴PM ⊥AD ,又DM =∥BC ,AD ⊥DC ,CD =BC , ∴四边形BCDM 是正方形, ∴BM ⊥AD ,∴∠BMP 为二面角P ﹣AD ﹣B 的平面角, 设P 在底面ABCD 上的射影为O , ∵AP ⊥PD ,AP =DP ,AD =4, ∴PD =2√2,又PC =2√2, ∴PD =PC ,∴O 为BM 的中点,∵OC =√BC 2+OB 2=√5,∴OP =√PC 2−OC 2=√3.设CD 的中点为N ,以O 为原点,以OB ,ON ,OP 为坐标轴建立空间直角坐标系,则A (﹣1,﹣2,0),B (1,0,0),P (0,0,√3),E (−12,1,√32),∴AB →=(2,2,0),AP →=(1,2,√3),AE →=(12,3,√32), 设平面P AB 的法向量为n →=(x ,y ,z ),则{n →⋅AB →=0n →⋅AP →=0,即{2x +2y =0x +2y +√3z =0, 令x =1可得n →=(1,﹣1,√33), ∴cos <n →,AE →>=n →⋅AE→|n →||AE →|=−2√73×10=−√21035.∴直线AE 与平面ABP 所成角的正弦值为|cos <n →,AE →>|=√21035.19.(12分)已知抛物线C :y 2=2px (p >0),其焦点为F ,O 为坐标原点,直线l 与抛物线C 相交于不同两点A ,B ,M 为AB 的中点.(1)若p =2,M 的坐标为(1,1),求直线l 的方程;(2)若直线l 过焦点F ,AB 的垂直平分线交x 轴于点N ,试问:2|MN|2|FN|上是否为定值,若为定值,试求出此定值,否则,说明理由. 【解答】解:(1)∵p =2,则抛物线C :y 2=4x , 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∴{y 12=4x 1y 22=4x 2, ∴(y 1+y 2)(y 1﹣y 2)=4(x 1﹣x 2) ∵M 为AB 的中点,M (1,1) ∴y 1+y 2=2, ∴k AB =y 1−y2x 1−x 2=2,∴直线l 的方程为y ﹣1=2(x ﹣1),即y =2x ﹣1(2):设直线l 的方程为:x =my +p2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).联立{y 2=2px x =my +p 2,化为:y 2﹣2pmy ﹣p 2=0,△>0,∴y 1+y 2=2pm ,y 1•y 2=﹣p 2. 设AB 的中点为M (x 0,y 0), ∴y 0=y 1+y 22=pm , ∴x 0=m 2p +p2, ∴M (m 2p +p 2,pm )∴直线AB 的垂直平分线的方程为x ﹣(m 2p +p2)=−1m (y ﹣pm ), 令y =0,解得x =m 2p +32p ∴N (m 2p +32p ,0),∴2|MN |2=2(p 2+p 2m 2),|FN |=√(m 2p +32p −p2)2=(m 2p +p ), ∴2|MN|2|FN|=2p 2(1+m 2)p(1+m 2)=2p20.(12分)某共享单车经营企业欲向甲市投放单车,为制定适宜的经营策略,该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查.调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段.在随机问卷阶段,A ,B 两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回;在整理分析阶段,两个调查小组从所获取的有效问卷中,针对15至45岁的人群,按比例随机抽取了300份,进行了数据统计,具体情况如表:组别 年龄A 组统计结果B 组统计结果 经常使用单车偶尔使用单车经常使用单车偶尔使用单车 [15,25)27人13人4020人人[25,35)23人17人35人25人[35,45)20人20人35人25人(1)先用分层抽样的方法从上述300人中按“年龄是否达到35岁”抽出一个容量为60人的样本,再用分层抽样的方法将“年龄达到35岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去.①求这60人中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数;②为听取对发展共享单车的建议,调查组专门组织所抽取的“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人员召开座谈会,会后共有3份礼品赠送给其中3人,每人1份(其余人员仅赠送骑行优惠券).已知参加座谈会的人员中有且只有4人来自A组,求A组这4人中得到礼品的人数X的分布列和数学期望;(2)从统计数据可直观得出“是否经常使用共享单车与年龄(记作m岁)有关”的结论.在用独立性检验的方法说明该结论成立时,为使犯错误的概率尽可能小,年龄m应取25还是35?请通过比较K2的观测值的大小加以说明.参考公式:K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.【解答】解:(1)①由分层抽样性质得:从300人中抽取60人,其中“年龄达到35岁“的人数为:100×60300=20人,”年龄达到35岁”中偶而使用单车的人数为:20×45100=9人.②A组这4人中得到礼品的人数X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=C53C93=542,P(X=1)=C41C52C93=1021,P(X=2)=C42C51C93=514,P(X=3)=C43C93=121,∴X 的分布列为:X 012 3P5421021514121∴E (X )=0×542+1×1021+2×514+3×121=43. (2)按“年龄是否达到35岁”对数据进行整理,得到如下列联表:经常使用单车偶尔使用单车合计 未达到35岁 125 75 200 达到35岁 55 45 100 合计180120300m =35时,K 2的观测值:k 1=300×(125×45−75×55)2200×100×180×120=300×15002200×100×180×120=2516.m =25时,按“年龄是否达到25岁”对数据进行整理,得到如下列联表:经常使用单车偶尔使用单车合计 未达到25岁 67 33 100 达到25岁 113 87 200 合计180120300m =25时,K 2的观测值:k 2=300×(67×87−113×33)2200×100×180×120=4916,k 2>k 1,欲使犯错误的概率尽量小,需取m =25.21.(12分)已知函数f (x )=(x ﹣1)2+a (lnx ﹣x +1)(a <2). (1)讨论f (x )的极值点的个数;(2)若方程f (x )+a +1=0在(0,2]上有且只有一个实根,求a 的取值范围. 【解答】解:(1)函数的定义域为(0,+∞),函数的导数f ′(x )=2(x ﹣1)+a (1x−1)=(x ﹣1)(2−a x )=(x−1)(2x−a)x =2(x−1)(x−a2)x∵a <2,∴a2<1;①若a2≤0,即a ≤0时,则由f ′(x )>0得x >1或x <a2(舍),此时函数为增函数,由f ′(x )<0得a2<x <1,此时0<x <1,此时函数为减函数,即当x =1时,函数f (x )取得极小值,此时无极大值,即极值点有1个,②若a2>0,即0<a <2时,则由f ′(x )>0得x >1或0<x <a2,此时函数为增函数,由f ′(x )<0得a2<x <1,此时函数为减函数,即当x =1时,函数f (x )取得极小值,当x =a2时,函数f (x )取得极大值,即极值点有2个,综上当a ≤0时,f (x )在x =1处取得极小值,极值点只有1个, 当0<a <2时,f (x )有两个极值点.(2)f (x )+a +1=(x ﹣1)2+a (lnx ﹣x +1)+a +1,当a <0时,由(1)知,f (x )+a +1在(0,1]上是减函数,在(1,2]上是增函数; 且lim x→0+[(x ﹣1)2+a (lnx ﹣x +1)+a +1]=+∞, f (1)+a +1=a +1,f (2)+a +1=1+a (ln 2﹣1)+a +1; 故a +1=0或1+a (ln 2﹣1)+a +1<0; 故a =﹣1或a <−2ln2;当a =0时,f (x )+a +1=(x ﹣1)2+1>0,故不成立;当0<a <2时,由(1)知f (x )+a +1在(0,a2]上是增函数,在(a2,1]上是减函数,在(1,2]上是增函数;且lim x→0+[((x ﹣1)2+a (lnx ﹣x +1)+a +1]=﹣∞, f (1)+a +1=a +1>0,故方程f (x )+a +1=0在x ∈(0,2]上有且只有一个实根,综上若方程f (x )+a +1=0在(0,2]上有且只有一个实根,则实数a 的取值范围是a =﹣1或a <−2ln2或0<a <2.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.作答时,用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =1+2ty =−2+t ,(t 是参数),以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ2=41+3sin 2θ.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程;(2)设曲线C 2经过伸缩变换{x′=2x y′=y 得到曲线C 3,M (x ,y )是曲线C 3上任意一点,求点M 到曲线C 1的距离的最大值.【解答】解:(1)∵曲线C 1的参数方程为{x =1+2ty =−2+t ,(t 是参数),∴曲线C 1的普通方程为x ﹣2y ﹣5=0, ∵曲线C 2的极坐标方程为ρ2=41+3sin 2θ.∴ρ2+3ρ2sin 2θ=4, ∴曲线C 2的直角坐标方程为x 24+y 2=1.(2)曲线C 2:x 24+y 2=1经过伸缩变换{x′=2xy′=y 得到曲线C 3,∴曲线C 3的方程为:x 216+y 2=1,设M (4cos α,sin α),根据点到直线的距离公式得: d =√1+2=5=√5sin(α−γ)+5|5≤√5+5|5=2+√5,(其中,tan γ=2), ∴点M 到曲线C 1的距离的最大值为2+√5. [选修4-5:不等式选讲](10分)23.已知f (x )=|x +1|,g (x )=2|x |+a .(1)当a =﹣1时,求不等式f (x )≥g (x )的解集;(2)若存在x 0∈R 使得f (x 0)≥g (x 0)成立,求a 的取值范围. 【解答】解:(1)当a =﹣1时,g (x )=2|x |﹣1, 若f (x )≥g (x ),即|x +1|≥2|x |﹣1,即当x ≥0时,x +1≥2x ﹣1,即x ≤2,此时0≤x ≤2, 当﹣1<x <0时,不等式等价为x +1≥﹣2x ﹣1, 即x ≥−23,此时−23≤x <0,当x≤﹣1时,不等式﹣x﹣1≥﹣2x﹣1,得x≥0,此时无解,综上−23≤x≤2,即不等式的解集为[−23,2](2)若存在x0∈R使得f(x0)≥g(x0)成立,即|x+1|≥2|x|+a,则a≤|x+1|﹣2|x|有解即可,设h(x)=|x+1|﹣2|x|,则h(x)={−x+1,x≥03x+1,−1<x<0 x−1,x≤−1,作出函数h(x)的图象如图:则函数h(x)的最大值为h(0)=1,要使a≤|x+1|﹣2|x|有解即可则a≤1即可.。
2020年河南省洛阳市高考数学二模试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。
1.复数()A.i B.﹣i C.4+2i D.1+i2.已知条件p:x>1,q:,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位,所得到的函数图象关于y轴对称,则φ的一个可能取值为()A. B.C.0 D.4.若S1=(e x﹣1)dx,S2=xdx,S3=sinxdx,则()A.S2>S3>S1B.S1>S3>S2C.S2>S1>S3D.S1>S2>S35.若如图所示的程序框图输出的S是126,则条件①可以为()A.n≤5 B.n≤6 C.n≤7 D.n≤86.若x,y满足约束条件,则目标函数z=x+y的最大值为2,则实数a的值为()A.2 B.1 C.﹣1 D.﹣27.如图所示2×2方格,在每一个方格中填人一个数字,数字可以是l、2、3、4中的任何一个,允许重复.若填入A方格的数字大于B方格的数字,则不同的填法共有()A BC DA.192种B.128种C.96种D.12种8.若a,b是函数f(x)=x2﹣px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,﹣2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于()A.6 B.7 C.8 D.99.设双曲线﹣=1的两条渐近线与直线x=分别交于A,B两点,F为该双曲线的右焦点.若60°<∠AFB<90°,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.(1,)B.(,2)C.(1,2)D.(,+∞)10.在正三棱锥S﹣ABC中,M是SC的中点,且AM⊥SB,底面边长AB=2,则正三棱锥S﹣ABC外接球表面积为()A.6πB.12πC.32πD.36π11.设,为单位向量,若向量满足|﹣(+)|=|﹣|,则||的最大值是()A.1 B.C.2 D.212.已知函数y=f(x)的定义域为R,当x<0时,f(x)>1,且对任意的实数x,y∈R,等式f(x)•f(y)=f(x+y)成立,若数列{a n}满足,(n∈N*),且a1=f(0),则下列结论成立的是()A.f(a2020)>f(a2020)B.f(a2020)>f(a2020)C.f(a2020)<f(a2020)D.f(a2020)<f(a2020)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.14.已知对任意实数x,有(m+x)(1+x)6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,若a1+a3+a5+a7=32,则m=.15.已知点p(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA、PB是圆C:x2+y2﹣2y=0的两条切线,A、B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为.16.数列{a n}是等差数列,数列{b n}满足b n=a n a n+1a n+2(n∈N*),设S n为{b n}的前n项和.若a12=a5>0,则当S n取得最大值时n的值等于.三、解答题17.△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asinAsinB+bcos2A=a.(I)求;(Ⅱ)若c2=a2+,求角C.18.生产A,B两种元件,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于82为正品,小于82为次品.现随机抽取这两种元件各100件进行检测,检测结果统计如下:测试指标[70,76)[76,82)[82,88)[88,94)[94,100]元件A 8 12 40 32 8元件B 7 18 40 29 6(Ⅰ)试分别估计元件A,元件B为正品的概率;(Ⅱ)生产一件元件A,若是正品可盈利40元,若是次品则亏损5元;生产一件元件B,若是正品可盈利50元,若是次品则亏损10元.在(Ⅰ)的前提下,(ⅰ)记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润,求随机变量X的分布列和数学期望;(ⅱ)求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率.19.如图,直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直.AB∥CD,AB ⊥BC,AB=2CD=2BC,EA⊥EB.(Ⅰ)求证:AB⊥DE;(Ⅱ)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值;(Ⅲ)线段EA上是否存在点F,使EC∥平面FBD?若存在,求出;若不存在,说明理由.20.已知F1、F2是椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,且离心率e=,点P为椭圆上的一个动点,△PF1F2的内切圆面积的最大值为.(1)求椭圆的方程;(2)若A,B,C,D是椭圆上不重合的四个点,满足向量与共线,与共线,且=0,求||+||的取值范围.21.已知函数f(x)=﹣x3+x2,g(x)=alnx(a≠0,a∈R).(1)求f(x)的极值;(2)若对任意x∈[1,+∞),使得f(x)+g(x)≥﹣x3+(a+2)x恒成立,求实数a的取值范围;(3)证明:对n∈N*,不等式++…+>成立.请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-1:几何证明选讲]22.如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC•AE=DC•AF,B,E,F,C四点共圆.(Ⅰ)证明:CA是△ABC外接圆的直径;(Ⅱ)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.[选修4-4:坐标系与参数方程]23.在极坐标系中,曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρ=﹣2cosθ,ρcos(θ+)=1(1)求曲线C1和C2的公共点的个数;(2)过极点作动直线与曲线C2相交于点Q,在OQ上取一点P,使||•||=2,求点P 的轨迹,并指出轨迹是什么图形.[选修4-5:不等式选讲]24.(选做题)已知f(x)=|x+1|+|x﹣1|,不等式f(x)<4的解集为M.(1)求M;(2)当a,b∈M时,证明:2|a+b|<|4+ab|.2020年河南省洛阳市高考数学二模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
2020年高考(理科)数学二模试卷一、选择题1.设集合A={x|x>0},B={x|log2(3x﹣2)<2},则()A .B .C .D.A∪B=(0,+∞)2.已知复数z满足z(1﹣i)=2,其中i为虚数单位,则z﹣1=()A.i B.﹣i C.1+i D.1﹣i3.已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有一点P(﹣3,4),则sin2α=()A .﹣B .﹣C .D .4.如图是我国第24~30届奥运会奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图.根据表和统计图,以下描述正确的是()金牌(块)银牌(块)铜牌(块)奖牌总数245111228 2516221254 2616221250 2728161559 2832171463 29512128100 3038272388A.中国代表团的奥运会奖牌总数一直保持上升趋势B.折线统计图中六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化,不具有实际意义C.第30届与第29届北京奥运会相比,奥运会金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降D.统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运金牌总数的中位数是54.55.抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(6,y0)是C上一点,|AF|=2p,则p=()A.8B.4C.2D.16.执行如图所示的程序框图,若输出的值为8,则框图中①处可以填()A.S≥7?B.S≥21?C.S≥28?D.S≥36?7.下列函数中,既是奇函数,又在(0,1)上是增函数的是()A.f(x)=xlnx B.f(x)=e x﹣e﹣xC.f(x)=sin2x D.f(x)=x3﹣x8.在△ABC中,AB=3,AC=2,∠BAC=60°,点D、E分别在线段AB、CD上,且BD =2AD,CE=2ED,则=()A.﹣3B.﹣6C.4D.99.已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的正弦值为()A.B.C.D.10.已知双曲线的左焦点为F,直线l经过点F且与双曲线的一条渐近线垂直,直线l与双曲线的左支交于不同的两点A,B,若,则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.11.已知定义在R上的奇函数f(x),其导函数f'(x),当x≥0时,恒有,则不等式x3f(x)﹣(1+2x)3f(1+2x)<0的解集为()A.{x|﹣3<x<﹣1}B.C.{x|x<﹣3或x>﹣1}D.{x|x<﹣1或12.已知三棱锥P﹣ABC中,O为AB的中点,PO⊥平面ABC,∠APB=90°,PA=PB =2,则有下列四个结论:①若O为△ABC的外心,则PC=2;②△ABC若为等边三角形,则AP⊥BC;③当∠ACB=90°时,PC与平面PAB所成角的范围为;④当PC=4时,M为平面PBC内一动点,若OM∥平面PAC,则M在△PBC内的轨迹的长度为2,其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4二、填空题13.已知,则展开式中x2的系数为.14.从4名男生和3名女生中选出4名去参加一项活动,要求男生中的甲和乙不能同时参加,女生中的丙和丁至少有一名参加,则不同的选法种数为.(用数字作答)15.已知函数f(x)=x2﹣4x﹣4.若f(x)<1在区间(m﹣1,﹣2m)上恒成立.则实数m的取值范围是.16.在△ABC中,角A的平分线交BC于D,BD=3,CD=2,则△ABC面积的最大值为.三、解答题(共5小题)17.已知{a n}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{b n}满足b1=4,b4=20,且{b n﹣a n}为等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和.18.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD=2,BC=4,M,N,Q分别为BC,CD,AC的中点,以AC为折痕将△ACD折起,使点D到达点P位置(P∉平面ABC).(1)若H为直线QN上任意一点,证明:MH∥平面ABP;(2)若直线AB与MN所成角为,求二面角A﹣PC﹣B的余弦值.19.某企业原有甲、乙两条生产线,为了分析两条生产线的效果,先从两条生产线生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本,检测一项质量指标值,若该项质量指标值落在[20,40)内的产品视为合格品,否则为不合格品.乙生产线样本的频数分布表质量指标值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45]合计频数2184811162100(1)根据甲生产线样本的频率直方图,以从样本中任意抽取一件产品为合格品的频率近似代替从甲生产线生产的产品中任意抽取一件产品为合格品的概率,估计从甲生产线生产的产品任取5件恰有2件为合格品的概率;(2)现在该企业为提高合格率欲只保留其中一条生产线,根据上述表格提供的数据,完成下面的2×2列联表,并判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关?若有90%的把握,请从合格率的角度分析保留哪条生产线较好?甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计附:P(K2≥k0)0.1500.1000.0500.0250.0100.005 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.879 K2=,n=a+b+c+d.20.设函数f(x)=(a﹣x)e x+bx﹣clnx.(1)若a=3,c=0时,f(x)在(0,+∞)上单调递减,求b的取值范围;(2)若a=2,b=4,c=4,求证:当x>1时,f(x)<16﹣8ln2.21.已知点A,B分别在x轴,y轴上,|AB|=3,.(1)求点M的轨迹C的方程;(2)过点且斜率存在的直线l与曲线C交于P,Q两点,E(0,1),求|EP|2+|EQ|2的取值范围.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(θ为参数),以原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为,直线l的极坐标方程为:,点.(1)求曲线C1的极坐标方程与直线l的直角坐标方程.(2)若直线l与曲线C2交于点A,曲线C1与曲线C2交于点B,求△PAB的面积.[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=|x﹣3|+|x﹣1|.(1)若不等式f(x)=x+m有解,求实数m的取值范围:(2)函数f(x)的最小值为n,若正实数a,b,c满足a+b+c=n,证明:4ab+bc+ac≥8abc.参考答案一、选择题:本小题共12题,每小题5分,共60分.每小题只有一个正确选项.1.设集合A={x|x>0},B={x|log2(3x﹣2)<2},则()A.B.C.D.A∪B=(0,+∞)【分析】求出集合A和B,由此能求出结果.解:∵集合A={x|x>0},B={x|log2(3x﹣2)<2},∴B={x|<x<2},则A∪B=(0,+∞),A∩B=(,2),故选:D.2.已知复数z满足z(1﹣i)=2,其中i为虚数单位,则z﹣1=()A.i B.﹣i C.1+i D.1﹣i【分析】复代数形式的乘积运算化简复数,再进行代数运算.解:由z(1﹣i)=2知:,∴z﹣1=1+i﹣1=i,故选:A.3.已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有一点P(﹣3,4),则sin2α=()A.﹣B.﹣C.D.【分析】根据角终边上点的坐标,求得sinα,cosα,代入二倍角公式即可求得sin2α的值.解:∵终边上点P(﹣3,4),∴sinα=,cos,∴sin2.故选:A.4.如图是我国第24~30届奥运会奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图.根据表和统计图,以下描述正确的是()金牌(块)银牌(块)铜牌(块)奖牌总数2451112282516221254261622125027281615592832171463295121281003038272388A.中国代表团的奥运会奖牌总数一直保持上升趋势B.折线统计图中六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化,不具有实际意义C.第30届与第29届北京奥运会相比,奥运会金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降D.统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运金牌总数的中位数是54.5【分析】根据图表给出的数据和折线统计图的描绘,对每一项进行分析即可.解:A中国代表团的奥运奖牌总数不是一直保持上升趋势,29 届最多,故本选项错误.B折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化,不表示某种意思,正确.C30届与第29届北京奥运会相比,奥运金牌数、铜牌数有所下降,银牌数有所上升,故本选项错误.D中位数计算出来为56.5,故本选项错误;故选:B.5.抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(6,y0)是C上一点,|AF|=2p,则p=()A.8B.4C.2D.1【分析】利用抛物线的定义,通过|AF|=2p,求解p即可.解:抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程x=﹣,点A在C上,|AF|=2p,可得:6+=2p,解得:p=4.故选:B.6.执行如图所示的程序框图,若输出的值为8,则框图中①处可以填()A.S≥7?B.S≥21?C.S≥28?D.S≥36?【分析】模拟程序框图的运算过程,即可得出判断框中条件是什么.解:第一次循环:S=1,不满足条件,i=2;第二次循环:S=3,不满足条件,i=3;第三次循环:S=6,不满足条件,i=4;第四次循环:S=10,不满足条件,i=5;第五次循环:S=15,不满足条件,i=6;第六次循环:S=21,不满足条件,i=7;第七次循环:S=28,满足条件,i=8;所以判断框中的条件可填写“S≥28?“.故选:C.7.下列函数中,既是奇函数,又在(0,1)上是增函数的是()A.f(x)=xlnx B.f(x)=e x﹣e﹣xC.f(x)=sin2x D.f(x)=x3﹣x【分析】根据函数单调性及奇偶性的定义逐项判断即可.解:对于A,定义域不关于原点对称,非奇非偶函数;对于B,f(x)=﹣f(x)奇函数,且f′(x)=e x+e﹣x>0,即在(0,1)上是增函数;对于C,f(x)=﹣f(x)奇函数,正弦函数sin2x周期为π,易知在(0,1)上先增后减;对于D,f(x)=﹣f(x)奇函数,易知f(x)在(0,1)上先减后增;故选:B.8.在△ABC中,AB=3,AC=2,∠BAC=60°,点D、E分别在线段AB、CD上,且BD =2AD,CE=2ED,则=()A.﹣3B.﹣6C.4D.9【分析】可画出图形,根据向量加法和数乘的几何意义及向量的数乘运算即可得出,然后根据条件进行数量积的运算即可求出的值.解:如图,BD=2AD,CE=2ED,AB=3,AC=2,∠BAC=60°,∴=======﹣6.故选:B.9.已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的正弦值为()A.B.C.D.【分析】可画出图形,可知∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=BB1=1,∠B1BC=∠B1BA=90°,然后根据进行数量积的运算即可求出,并可求出,然后即可求出的值,进而得出异面直线AB1与BC1所成角的正弦值.解:如图,∵∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=BB1=1,∠B1BC=∠B1BA=90°,∴===2,又,∴=,∴异面直线AB1与BC1所成角的正弦值为.故选:C.10.已知双曲线的左焦点为F,直线l经过点F且与双曲线的一条渐近线垂直,直线l与双曲线的左支交于不同的两点A,B,若,则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.【分析】由题意可知,直线l的方程为,联立直线l和双曲线的方程,消去x可得关于y的一元二次方程,从而解出y的值,由于A、B位于x轴的异侧,再结合,可得,将其化简得a=3b,最后利用c2=a2+b2,即可求得双曲线的离心率.解:不妨设直线l的斜率为,则直线l的方程为,联立得(b2﹣a2)c2y2+2ab3cy+a2b4=0,由题可知,A、B位于x轴的上下侧,即y A y B<0,∴由韦达定理可知方程(b2﹣a2)c2y2+2ab3cy+a2b4=0的两根异号,∴a>b,∵,,,∴,化简得a=3b,∴.故选:A.11.已知定义在R上的奇函数f(x),其导函数f'(x),当x≥0时,恒有,则不等式x3f(x)﹣(1+2x)3f(1+2x)<0的解集为()A.{x|﹣3<x<﹣1}B.C.{x|x<﹣3或x>﹣1}D.{x|x<﹣1或【分析】设g(x)=x3f(x),由题意可知设g(x)=x3f(x)问偶函数且在(0,+∞)上单调递减,于是不等式x3f(x)﹣(1+2x)3f(1+2x)<0可化为g(|x|)<g(|1+2x|),继而可得|x|>|1+2x|,解之即可.解:根据题意,不妨设g(x)=x3f(x),则当x>0时,,则g(x)在(0,+∞)上单调递减,又g(x)=x3f(x)为偶函数,则g(x)=g(|x|),x3f(x)﹣(1+2x)3f(1+2x)<0⇔x3f(x)<(1+2x)3f(1+2x),即g(x)<g(1+2x),可知g(|x|)<g(|1+2x|),则|x|>|1+2x|,解得:x<﹣1或x>﹣,所以不等式x3f(x)﹣(1+2x)3f(1+2x)<0的解集为:,故选:D.12.已知三棱锥P﹣ABC中,O为AB的中点,PO⊥平面ABC,∠APB=90°,PA=PB =2,则有下列四个结论:①若O为△ABC的外心,则PC=2;②△ABC若为等边三角形,则AP⊥BC;③当∠ACB=90°时,PC与平面PAB所成角的范围为;④当PC=4时,M为平面PBC内一动点,若OM∥平面PAC,则M在△PBC内的轨迹的长度为2,其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【分析】由题意画出图形,由射影长相等则斜线长相等判断①;由线面垂直的判定结合反证法判定②;利用运动思想与极限观点判断③;求出满足OM∥平面PAC的M的轨迹并求得长度判定④.解:①若O为△ABC的外心,∵PO⊥平面ABC,由射影相等则斜线相等知PA=PB=PC,可知①正确;②△ABC若为等边三角形,可知CO⊥平面PAB,CO⊥AP,若AP⊥BC,可得AP⊥平面ABC,与PO⊥平面ABC矛盾,则②错误;③当∠ACB=90°时,可以结合点C在AB为直径的圆周上,当点C靠近于A(B)时,PC与平面PAB所成角趋近于0,当点C在AB的中垂线于圆周交点处,PC与平面PAB所成角为,则PC与平面PAB所成角的范围为,可知③正确;④若OM∥平面PAC,则M在△PBC内的轨迹的长度,知④正确.∴正确命题的个数是3个.故选:C.二、填空题13.已知,则展开式中x2的系数为﹣8.【分析】先根据积分的性质求得n,再结合二项式系数的性质即可求解.解:∵=x4=×(24﹣20)=4,∴;可知x2的系数为;故答案为:﹣8.14.从4名男生和3名女生中选出4名去参加一项活动,要求男生中的甲和乙不能同时参加,女生中的丙和丁至少有一名参加,则不同的选法种数为23.(用数字作答)【分析】由排列组合及分类讨论思想分别讨论:①设甲参加,乙不参加,②设乙参加,甲不参加,③设甲,乙都不参加,可得不同的选法种数为9+9+5=23,得解.解:①设甲参加,乙不参加,由女生中的丙和丁至少有一名参加,可得不同的选法种数为=9,②设乙参加,甲不参加,由女生中的丙和丁至少有一名参加,可得不同的选法种数为=9,③设甲,乙都不参加,由女生中的丙和丁至少有一名参加,可得不同的选法种数为=5,综合①②③得:不同的选法种数为9+9+5=23,故答案为:23.15.已知函数f(x)=x2﹣4x﹣4.若f(x)<1在区间(m﹣1,﹣2m)上恒成立.则实数m的取值范围是[0,).【分析】由f(x)<1得其解集为(﹣1,5),依题意,(m﹣1,﹣2m)⊆(﹣1,5),解之即可得到实数m的取值范围.解:因为f(x)=x2﹣4x﹣4,所以f(x)<1⇔x2﹣4x﹣5<0⇔﹣1<x<5,即解集为(﹣1,5).因为f(x)<1在区间(m﹣1,﹣2m)上恒成立,所以(m﹣1,﹣2m)⊆(﹣1,5),所以﹣1≤m﹣1<﹣2m≤5,且两个等号不同时成立,所以,故答案为:.16.在△ABC中,角A的平分线交BC于D,BD=3,CD=2,则△ABC面积的最大值为15.【分析】由已知利用角平分线的性质可得,设AB=3x,AC=2x,利用余弦定理可求cos A,根据同角三角函数基本关系式可求sin A的值,进而根据三角形的面积公式即可计算得解.解:如图,由角平分线可得:,即,设AB=3x,AC=2x,则,则有,∴S△ABC=AB•AC•sin A=•==≤15,当x=13时,取得最大值15.故答案为:15.三、解答题(共5小题,满分24分)17.已知{a n}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{b n}满足b1=4,b4=20,且{b n﹣a n}为等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和.【分析】(1)利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比,即得结论;(2)利用分组求和法,有等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列的和.解:(1)∵{a n}是等差数列,满足a1=3,a4=12,∴3+3d=12,解得d=3,∴a n=3+(n﹣1)×3=3n.设等比数列{b n﹣a n}的公比为q,则q3===8,∴q=2,∴b n﹣a n=(b1﹣a1)q n﹣1=2n﹣1,∴b n=3n+2n﹣1(n=1,2,…).(2)由(1)知b n=3n+2n﹣1(n=1,2,…).∵数列{a n}的前n项和为n(n+1),数列{2n﹣1}的前n项和为1×=2n﹣1,∴数列{b n}的前n项和为n(n+1)+2n﹣1.18.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD=2,BC=4,M,N,Q分别为BC,CD,AC的中点,以AC为折痕将△ACD折起,使点D到达点P位置(P∉平面ABC).(1)若H为直线QN上任意一点,证明:MH∥平面ABP;(2)若直线AB与MN所成角为,求二面角A﹣PC﹣B的余弦值.【分析】(1)连接QM,由三角形中位线定理可得QM∥AB,再由直线与平面平行的判定可得QM∥平面PAB,同理,QN∥平面PAB,再由平面与平面平行的判定得到平面MNQ∥平面PAB,进一步得到MH∥平面ABP;(2)求解三角形证明QM,QC,QP两两互相垂直,分别以QM,QC,QP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,求出平面PBC与平面APC的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PC﹣B的余弦值.【解答】(1)证明:连接QM,∵M,N,Q分别为BC,CD,AC的中点,∴QM∥AB,又∵QM⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴QM∥平面PAB,同理,QN∥平面PAB,∵QM⊂平面MNQ,QN⊂平面MNQ,且QM∩QN=Q,∴平面MNQ∥平面PAB,∵MH⊂平面MNQ,∴MH∥平面ABP;(2)解:连接PQ,在△ACD与△ABC中,由余弦定理可得,,由∠ABC与∠ADC互补,AD=AB=CD=2,BC=4,解得AC=,于是BC2=AB2+AC2,则AB⊥AC,QM⊥AC.∵QM∥AB,直线AB与MN所成角为,∴.又QM=QN=1,∴,即QM⊥QN,则QM⊥平面APC,∴平面ABC⊥平面APC,∵Q为AC的中点,PQ⊥AC,∴PQ⊥平面ABC.如图,分别以QM,QC,QP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.则B(2,﹣,0),C(0,,0),P(0,0,1),,.设平面PBC的一个法向量为,由,取y=1,得.又平面APC的一个法向量为,∴cos<>=.∴二面角A﹣PC﹣B的余弦值为.19.某企业原有甲、乙两条生产线,为了分析两条生产线的效果,先从两条生产线生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本,检测一项质量指标值,若该项质量指标值落在[20,40)内的产品视为合格品,否则为不合格品.乙生产线样本的频数分布表质量指标值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45]合计频数2184811162100(1)根据甲生产线样本的频率直方图,以从样本中任意抽取一件产品为合格品的频率近似代替从甲生产线生产的产品中任意抽取一件产品为合格品的概率,估计从甲生产线生产的产品任取5件恰有2件为合格品的概率;(2)现在该企业为提高合格率欲只保留其中一条生产线,根据上述表格提供的数据,完成下面的2×2列联表,并判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关?若有90%的把握,请从合格率的角度分析保留哪条生产线较好?甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计附:P(K2≥k0)0.1500.1000.0500.0250.0100.005 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.879K2=,n=a+b+c+d.【分析】(1)由独立重复事件的概率公式可得答案,(2)根据题目所给的数据填写2×2列联表即可,计算K的观测值K2,对照题目中的表格,得出统计结论.解:(1)检测一项质量指标值,若该项质量指标值落在[20,40)内的产品视为合格品,则合格品概率为:1﹣(0.008+0.012)×5=0.9,从甲生产线生产的产品任取5件恰有2件为合格品的概率为:,(2)根据题目所给数据得到如下2×2的列联表:甲生产线乙生产线合计合格品9096186不合格品10414合计100100200有90%把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关,甲生产线的合格率,乙产线的合格率,保留乙生产线较好,故答案为:(1)、0.0081,(2)、有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关,乙生产线较好,20.设函数f(x)=(a﹣x)e x+bx﹣clnx.(1)若a=3,c=0时,f(x)在(0,+∞)上单调递减,求b的取值范围;(2)若a=2,b=4,c=4,求证:当x>1时,f(x)<16﹣8ln2.【分析】(1)由于f′(x)=﹣e x+(3﹣x)e x+b=(2﹣x)e x+b,依题意,可得(2﹣x)e x+b≤0,分离参数b,b≤(x﹣2)e x,再令g(x)=(x﹣2)e x,可求得g(x)min=g(1)=﹣e x;从而可得b的取值范围;(2)若a=2,b=4,c=4时,f′(x)=(1﹣x)e x+4﹣=(1﹣x)(e x﹣),令h(x)=e x﹣,分析可得h(x)有唯一零点x0∈(1,2),进一步可得f(x)max=f (x0)=(2﹣x0)+4x0﹣4lnx0<16﹣8ln2(1<x0<2),从而可证结论成立.解:(1)若a=3,c=0时,f(x)=(3﹣x)e x+bx,…1分f′(x)=﹣e x+(3﹣x)e x+b=(2﹣x)e x+b…2分∵f(x)在(0,+∞)上单调递减,∴(2﹣x)e x+b≤0,b≤(x﹣2)e x,令g(x)=(x﹣2)e x,g′(x)=(x﹣1)e x,当0<x<1时,g′(x)<0,当x>1时,g′(x)>0,∴g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,…4分g(x)min=g(1)=﹣e x;∴b≤﹣e,∴b的取值范围为(﹣∞,﹣e];(2)证明:若a=2,b=4,c=4时,f(x)=(2﹣x)e x+4x﹣4lnx,f′(x)=(1﹣x)e x+4﹣=(1﹣x)(e x﹣)…6分令h(x)=e x﹣,显然h(x)在(1,+∞)上为增函数,又h(1)=e﹣4<0,h(2)=e2﹣2>0,∴h(x)有唯一零点x0∈(1,2),∴当1<x<x0时,h′(x)<0,f′(x)>0,当x>x0时,h′(x)>0,f′(x)<0,∴f(x)在(1,x0)上为增函数,在(x0,+∞)上为减函数,∴f(x)max=f(x0)=(2﹣x0)+4x0﹣4lnx0,…8分又h(x0)=﹣=0,∴=,x0=4,x0+lnx0=4……9分∴f(x0)=2﹣4+4x0﹣4lnx0=﹣4+4x0﹣4(ln4﹣x0)=8(+x0)﹣4﹣4ln4<8(+2)﹣4﹣4ln4=16﹣8ln2(1<x0<2)…11分∴当x>1时,f(x)<16﹣8ln2…12分21.已知点A,B分别在x轴,y轴上,|AB|=3,.(1)求点M的轨迹C的方程;(2)过点且斜率存在的直线l与曲线C交于P,Q两点,E(0,1),求|EP|2+|EQ|2的取值范围.【分析】(1)设点M的坐标为M(x,y),A(a,0),M(0,b).由向量等式可得a,b与x,y的关系,代入a2+b2=9,即可求得点M的轨迹C的方程;(2)设直线PQ的方程,由椭圆方程联立,由向量数量积结合根与系数的关系可得EP⊥EQ,再由勾股定理及弦长公式写出|EP|2+|EQ|2,换元后再配方求解|EP|2+|EQ|2的取值范围.解:(1)设点M的坐标为M(x,y),A(a,0),M(0,b).由,得,∴,∵a2+b2=9,∴,则,即点M的轨迹C的方程为;(2)由题可知,设直线PQ的方程:.与C联立,得:,△>0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则.由已知,,,则===,故直线EP⊥EQ;==.令1+4k2=t,则:|PQ|2===.∵t=1+4k2≥1,∴0<≤1,得4<|PQ|2≤.因此|EP|2+|EQ|2的取值范围为.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(θ为参数),以原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为,直线l的极坐标方程为:,点.(1)求曲线C1的极坐标方程与直线l的直角坐标方程.(2)若直线l与曲线C2交于点A,曲线C1与曲线C2交于点B,求△PAB的面积.【分析】(1)直接利用转换关系,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换.(2)利用直线和曲线的位置关系,建立方程组,进一步利用三角形面积公式的应用求出结果.解:(1)曲线C1消去参数可得:(x﹣1)2+y2=3,展开可得:x2+y2﹣2x﹣2=0,∵x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴可得C1:ρ2﹣2ρcosθ﹣2=0,∵在方程C2中ρ>0,∴同理可得C2:,将l展开可得:,同理:l:.即(2)联立l与C2可得点A,同理点B,又∵P,易得:,∴==[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=|x﹣3|+|x﹣1|.(1)若不等式f(x)=x+m有解,求实数m的取值范围:(2)函数f(x)的最小值为n,若正实数a,b,c满足a+b+c=n,证明:4ab+bc+ac≥8abc.【分析】(1)去绝对值,化为分段函数,根据函数的的单调性即可求出;(2)利用分析法,结合基本不等式即可证明.解:(1)设g(x)=f(x)﹣x=|x﹣3|+|x﹣1|﹣x,则,所以g(x)在(﹣∞,3]上单调递减,在(3,+∞)单调递增.故g(x)min=g(3)=﹣1∵g(x)≤m有解,∴m≥﹣1综上所述:m∈[﹣1,+∞)证明(2):由(1)可知,n=2,即a+b+c=2,欲证原不等式,只需证:,只需证:,只需证:,因为a,b,c均为正数,由基本不等式易得上式成立,当且仅当c=2a=2b时取等.所以4ab+bc+ac≥8abc成立。
河南省洛阳市2019届高三数学第二次联考试题理(无答案)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.2.考试结束,将答题卡交回.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=[-1,1],B={x|lnx<0},则A∩ B=A.(0,1) B.(0,1] C.(-1,1) D.[-1,1]zz zzz在复平面内对,则复数(i|=为虚数单位)+12.已知-的共轭复数是,且|2i应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限rrr rrr?3bbb aaa2|=的夹角为,,则|),|+|=3,且3.已知向量与=(1337377 D.. C.A.5 B x-?,≤0e,x?2)(xf,)a+11(a-4.已知函数)≥f(-=若f?2.0x>1-2x+,-x??的取值范则实数a 围是2]1,1] B.[-[A.-2,,+∞)1]∪[2[12]∪,+∞) D.(-∞,-.C(-∞,-.如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数学九章》57 2,被被,比如已知正整数n3除余中的“中国剩余定理”的最小值.执行程序框图,则输出5,求n,被除余48除余 n=的59 . A.62 B50 ..C53 D- 1 -31+cosx,将函数fsinx(x6.已知函数f(x)=)的图象向22左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是?? B. A.46?? C. D.237.如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是A.1812 B.10 C.9D.22yx31-= 2)在,)的左,右焦点分别为F,F,点8.已知双曲线P((a>0,b>021 22ba|成等差数列,则该双曲线的方程为F|,|PF|,|双曲线上,且|PFF211222222yyxxy222=yx1-1-=x-=1-=1. C.. B D.A416233.如图所示,三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图,给出了勾9 股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方 30,设直角三角形有一个内角为°,若向弦图内随机抛形(阴影)3),则落在小正方≈1掷200.颗米粒(大小忽略不计,取732形(阴影)内的米粒数大约为6454 D..27 C.A.20 B,0+y2≥2x-??,01≤x-2y+221)=+x+(y2点Q在曲线x10.如果点P(,y)满足??,≤0+y-2x?PQ上,则||的取值范围是1-110+101-15-5] ,,..A[]B[110-1-55],,..C[5] D[- 2 -10,BC=2AC,若四面体=ABCD的外接球的表11.在四面体ABCD中,AD⊥平面ABC,AB=?676,则四面体ABCD的体积为面积为9A.24 B.12 C.8 D.4.已知a>0,曲线f(x)=3x-4ax与g(x)=2alnx-b有公共点,且在公共点处的切线2212相同,则实数b的最小值为124---. CA.0 B.. D222eee90分)第Ⅱ卷(非选择题,共 20分.4小题,每小题5分,共二、填空题:本大题共11032)-x(的展开式中含x项的系数为13__________..3x33,tanB=,c成等比数列,且,c,若a,b所对的边分别为14.在△ABC中,角A,B,Ca,b411+.的值是则__________ tanAtanC12=1+,且0>,y>0+x+y的最小值为__________. 15.已知x,则xy yx22yx1+=l,交椭Pya)的左顶点A(-,0)作直线.已知过椭圆16轴于点交a (>b>022ba uuuruurPQQA,则椭圆的离心率为__________.=2圆于点Q,若△AOP 是等腰三角形,且三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(本小题满分12分)a}的公差d≠0,若a+a=22,且a,a,a 已知等差数列{成等比数列.135938n a}的通项公式;{ )求数列(1n21a(+)n bS=b.项和,求数列{}的前n)设2(nnn aa n+1n- 3 -18.(本小题满分12分)已知平面多边形PABCD中,PA=PD,AD=2DC=2BC=4,AD∥BC,AP⊥PD,AD⊥DC,E为22.=AD折起,使PC PD的中点,现将△APD沿(1)证明:CE∥平面ABP;(2)求直线AE与平面ABP所成角的正弦值.19.(本小题满分12分)2l相交于为坐标原点,直线C与抛物线0),其焦点为F,O=已知抛物线C:y2px(p>的中点.为ABA,B,M不同两点l的方程;,1),求直线,(1)若p=2M的坐标为(12||MN2l是否为定值,N,试问:的垂直平分线交F,ABx轴于点(2)若直线过焦点||FN若为定值,试求出此定值,否则,说明理由.20.(本小题满分12分)某共享单车经营企业欲向甲市投放单车,为制定适宜的经营策略,该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查.调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段.在随机问卷阶段,A,B两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回;在整理分析阶段,两个调查小组从所获取的有效问卷中,针对15至45岁的人群,按比例随机抽取了300份,进行了数据统计,具体情况如下表:- 4 -6035岁”抽出一个容量为)先用分层抽样的方法从上述300人中按“年龄是否达到(1岁”的被抽个体数分配到“经常使用单人的样本,再用分层抽样的方法将“年龄达到35 车”和“偶尔使用单车”中去. 35岁且偶尔使用单车”的人数;①求这60人中“年龄达到岁且偶尔使用②为听取对发展共享单车的建议,调查组专门组织所抽取的“年龄达到35份(其余人员仅人,每人13份礼品赠送给其中3单车”的人员召开座谈会.会后共有人中得4组,求A组这赠送骑行优惠券).已知参加座谈会的人员中有且只有4人来自A 的分布列和数学期望;到礼品的人数X在的结论.m岁)有关”(2)从统计数据可直观得出“是否经常使用共享单车与年龄(记作还25用独立性检验的方法说明该结论成立时,为使犯错误的概率尽可能小,年龄m应取2 K的观测值的大小加以说明.35是?请通过比较2)-bc(nad2d++b+cn=a =K,其中参考公式:))(b+d)(bc+d)(a +c(a+12分)21.(本小题满分2 2).+1)(a<+f已知函数(x)=(x-1)a(1nx-xx)的极值点的个数;(1)讨论f(的取值范围.,2]上有且只有一个实根,求a+x)+a1=0在(0((2)若方程f题中任选一题作答.如果多做,则按所做的22分.请考生在第、23(二)选考题:共10 第一题计分.作答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.分)]4:坐标系与参数方程(10422.[选修—2t1=+x?,以坐标原点为t的参数方程为CxOy在直角坐标系中,曲线(是参数)?1t+=-y2?- 5 -42.= x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ极点,22θ+3sin1的直角坐标方程;)求曲线C的普通方程和曲线C1(21?=x2x?(2)设曲线C经过伸缩变换得到曲线C,M(x,y)是曲线C上任意一点,求点?323?=yy?M到曲线C的距离的最大值.1 23.[选修4—5:不等式选讲](10分)已知f(x)=|x+1|,g(x)=2|x|+a.(1)当a=-1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若存在x∈R使得f(x)≥g(x)成立,求a的取值范围.000- 6 -。