数据结构_树的深度

第6章 二叉树与树一、回答题1. 图6-1所示的树的叶子结点、非中端结点、每个结点的度及树的深度各是多少？图6-1 树2. 已知一棵树边的集合表示为：{ ( L, N ), ( G, K ), ( G, L ), ( G, M ), ( B, E ), ( B, F ), ( D, G ), ( D, H ), ( D, I ), ( D, J ), ( A, B ), ( A, C ), ( A, D ) }，画出这棵树，并回答以下问题：(1) 树的根结点是哪个？哪些是叶子结点？哪些是非终端结点？ (2) 树的度是多少？各个结点的度是多少？ (3) 树的深度是多少？各个结点的层数是多少？(4) 对于结点G ，它的双亲结点、祖先结点、孩子结点、子孙结点、兄弟和堂兄弟分别是哪些结点？3. 如果一棵度为m 的树中，度为1的结点数为n 1，度为2的结点数为n 2，……，度为m 的结点数为n m ，那么该树中含有多少个叶子结点？有多少个非终端结点？ABECDFGHJI4. 任意一棵有n 个结点的二叉树，已知有m 个叶子结点，能否证明度为2结点有m-1个？5. 已知在一棵含有n 个结点的树中，只有度为k 的分支结点和度为0的叶子结点，那么该树含有的叶子结点的数目是多少？6. 一棵含有n 个结点的k 叉树，可能达到的最大深度和最小深度各为多少？7. 对于3个结点A 、B 、C ，可以过程多少种不同形态的二叉树？8. 深度为5的二叉树至多有多少个结点？9. 任何一棵二叉树的叶子结点在先序、中序和后序遍历中的相对次序是发生改变？不发生改变？不能确定？10. 设n 、m 为一棵二叉树上的两个结点，在中序遍历时，n 在m 前的条件是什么？ 11. 已知某二叉树的后续遍历序列是dabec ，中序遍历序列是debac ，那么它的前序遍历序列是什么？12. 对一棵满二叉树，m 个树叶，n 个结点，深度为h ，则n 、m 和h 之间的关系是什么？ 13. 对图6-2(a)和(b)所示的二叉树，它们的经过先序、中序和后序遍历后得到的结点序列分别是什么？画出它们的先序线索二叉树和后序线索二叉树。

简答一.1、已知模式串pat=’ADABBADADA’,写出该模式串的next函数值和nextval值；2、模式匹配算法是在主串中快速寻找模式的一种有效的方法，如果设主串的长度为m，模式的长度为n，则在主串中寻找模式的KMP算法的时间复杂性是多少？如果，某一模式 P=’abcaacabaca’，请给出它的NEXT函数值及NEXT函数的修正值NEXTVAL之值。

3、已知模式串pat=“abaabc”,写出该模式串的next函数值和nextval值；4、给出字符串‘abacabaaad’在KMP算法中的next和nextval数组。

二、（意思对即可，不一定是这种写法）1、数据结构按照逻辑结构分为哪四种结构，说出元素之间的关系？集合：无关系线性结构：一对一树形结构：一对多图形结构：多对多2、图形结构有几种存储结构？分别是什么存储结构？4种。

邻接矩阵，邻接表，十字链表，邻接多重表3、度数为2的树和二叉树有何区别？（1）度为2的树中至少有一个结点的度为2，而二叉树中没有这种要求。

（2）度为2的树不区分左右子树，而二叉树严格区分左右子树。

4、简述栈和队列的特点。

栈：是一种只能在一端进行插入或删除操作的线性表。

“后进先出”队列：是一种仅允许在表的一端进行插入操作，而在表的另一端进行删除操作的受限的线性表“先进先出”三（只是最终的结果，有的题可能需要中间步骤，自己完善一下）1、已知某有向图的顶点集合为{A，B，C，D，E，F}，边集合为{〈A，B〉，〈A，C〉，〈A，E〉，〈C，F〉，〈E，D〉}，画出该图的邻接表,以它为基写出深度优先、广度优先遍历序列（深度、广度遍历要求从结点A开始）。

深度：A B C F E D广度：A B C E F D2、设无向图G（如右图所示），给出该图的最小生成树上边的集合并计算最小生成树各边上的权值之和。

3、对下图所示的无向图，从顶点1开始，写出该图的深度优先遍历和广度优先遍历。

数据结构树的知识点总结一、树的基本概念。

1. 树的定义。

- 树是n（n ≥ 0）个结点的有限集。

当n = 0时，称为空树。

在任意一棵非空树中：- 有且仅有一个特定的称为根（root）的结点。

- 当n>1时，其余结点可分为m（m>0）个互不相交的有限集T1、T2、…、Tm，其中每个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（sub - tree）。

2. 结点的度、树的度。

- 结点的度：结点拥有的子树个数称为结点的度。

- 树的度：树内各结点的度的最大值称为树的度。

3. 叶子结点（终端结点）和分支结点（非终端结点）- 叶子结点：度为0的结点称为叶子结点或终端结点。

- 分支结点：度不为0的结点称为分支结点或非终端结点。

- 除根结点之外，分支结点也称为内部结点。

4. 树的深度（高度）- 树的层次从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推。

树中结点的最大层次称为树的深度（或高度）。

二、二叉树。

1. 二叉树的定义。

- 二叉树是n（n ≥ 0）个结点的有限集合：- 或者为空二叉树，即n = 0。

- 或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

2. 二叉树的特点。

- 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的结点。

- 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。

3. 特殊的二叉树。

- 满二叉树。

- 一棵深度为k且有2^k - 1个结点的二叉树称为满二叉树。

满二叉树的特点是每一层上的结点数都是最大结点数。

- 完全二叉树。

- 深度为k的、有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时，称之为完全二叉树。

完全二叉树的叶子结点只可能在层次最大的两层上出现；对于最大层次中的叶子结点，都依次排列在该层最左边的位置上；如果有度为1的结点，只可能有一个，且该结点只有左孩子而无右孩子。

三、二叉树的存储结构。

1. 顺序存储结构。

- 二叉树的顺序存储结构就是用一组地址连续的存储单元依次自上而下、自左至右存储完全二叉树上的结点元素。

二叉树操作输出深度结点数叶结点数递归二叉树是一种常用的数据结构，在计算机科学中广泛应用。

二叉树既能够被顺序存储，也能够被链式存储。

本文将介绍如何对二叉树进行操作，包括输出深度、结点数、叶结点数，并给出递归算法的实现。

1.二叉树的深度二叉树的深度是指从根结点到最远叶子结点的最长路径上的结点数。

要输出二叉树的深度，可以使用递归算法。

递归算法的思路是，当二叉树为空时，深度为0；否则，深度为左子树和右子树深度的最大值加1递归实现深度的伪代码如下：```int depth(Node* root)if (root == nullptr)return 0;}int left_depth = depth(root->left);int right_depth = depth(root->right);return std::max(left_depth, right_depth) + 1;```2.二叉树的结点数二叉树的结点数是指二叉树中所有结点的总数。

要输出二叉树的结点数，同样可以使用递归算法。

递归算法的思路是，当二叉树为空时，结点数为0；否则，结点数为左子树结点数加右子树结点数再加1递归实现结点数的伪代码如下：```int node_count(Node* root)if (root == nullptr)return 0;}int left_count = node_count(root->left);int right_count = node_count(root->right);return left_count + right_count + 1;```3.二叉树的叶结点数二叉树的叶结点是指没有子结点的结点。

要输出二叉树的叶结点数，同样可以使用递归算法。

递归算法的思路是，当二叉树为空时，叶结点数为0；当二叉树只有一个结点时，叶结点数为1；否则，叶结点数为左子树叶结点数加右子树叶结点数。

c语言实现二叉树的四种遍历和求深度与叶子个数二叉树是一种常见的数据结构，它由节点组成，每个节点最多有两个子节点。

在C语言中，我们可以使用指针来实现二叉树的操作。

本文将介绍四种常见的二叉树遍历方式，以及如何求解二叉树的深度和叶子节点个数。

首先，我们需要定义一个二叉树节点的结构体，包含一个数据域和两个指针域，分别指向左子节点和右子节点。

代码如下：```cstruct TreeNode {int data;struct TreeNode* left;struct TreeNode* right;};```接下来，我们可以实现二叉树的四种遍历方式：前序遍历、中序遍历、后序遍历和层序遍历。

前序遍历是指先访问根节点，然后递归地遍历左子树和右子树。

代码如下：```cvoid preorderTraversal(struct TreeNode* root) {if (root == NULL) {return;}printf("%d ", root->data);preorderTraversal(root->left);preorderTraversal(root->right);}```中序遍历是指先递归地遍历左子树，然后访问根节点，最后递归地遍历右子树。

代码如下：```cvoid inorderTraversal(struct TreeNode* root) {if (root == NULL) {return;}inorderTraversal(root->left);printf("%d ", root->data);inorderTraversal(root->right);}```后序遍历是指先递归地遍历左子树和右子树，最后访问根节点。

代码如下：```cvoid postorderTraversal(struct TreeNode* root) {if (root == NULL) {return;}postorderTraversal(root->left);postorderTraversal(root->right);printf("%d ", root->data);}```层序遍历是按照树的层次逐层遍历节点。

数据结构填空练习题数据结构填空练习题一1. 通常从四个方面评价算法的质量：_________、_________、_________和________。

2.一个算法的时间复杂度为(n3+n2log2n+14n)/n2，其数量级表示为________。

3.假定一棵树的广义表表示为A（C，D（E，F，G），H（I，J）），则树中所含的结点数为__________个，树的深度为___________，树的度为_________。

4. 后缀算式9 2 3 +- 10 2 / -的值为__________。

中缀算式（3+4X）-2Y/3对应的后缀算式为_______________________________。

5. 若用链表存储一棵二叉树时，每个结点除数据域外，还有指向左孩子和右孩子的两个指针。

在这种存储结构中，n个结点的二叉树共有________个指针域，其中有________个指针域是存放了地址，有________________个指针是空指针。

6. 对于一个具有n个顶点和e条边的有向图和无向图，在其对应的邻接表中，所含边结点分别有_______个和________个。

7. AOV网是一种___________________的图。

8. 在一个具有n个顶点的无向完全图中，包含有________条边，在一个具有n个顶点的有向完全图中，包含有________条边。

9. 假定一个线性表为(12,23,74,55,63,40)，若按Key % 4条件进行划分，使得同一余数的元素成为一个子表，则得到的四个子表分别为____________________________、___________________、_______________________和__________________________。

10. 向一棵B_树插入元素的过程中，若最终引起树根结点的分裂，则新树比原树的高度___________。

完全二叉树的深度计算公式完全二叉树是数据结构中一个很重要的概念。

对于完全二叉树的深度计算，是有特定公式的。

先来说说啥是完全二叉树。

想象一下，一棵大树，它的每一层都被填得满满的，除了最后一层。

而且最后一层的叶子节点，都是从左边开始依次排列的。

这就像是排队，整整齐齐，一个不落。

那完全二叉树的深度咋算呢？公式是：$depth = \lfloor log_2{n}\rfloor + 1$ ，这里的 $n$ 表示完全二叉树的节点个数。

我给您举个例子啊。

比如说有一棵完全二叉树，它一共有 15 个节点。

那咱们先算 $\lfloor log_2{15} \rfloor$ ，这约等于 3 ，再加上 1 ，所以这棵完全二叉树的深度就是 4 。

为啥要有这个公式呢？这就好比咱们盖房子，得知道盖多高心里才有数。

计算完全二叉树的深度，能帮助我们更好地理解和处理这棵“数据之树”。

我记得之前有一次，在给学生们讲这个知识点的时候，有个学生就特别迷糊，怎么都搞不明白。

我就带着他，一步一步地画，一个节点一个节点地数。

我跟他说：“你看啊，这就像咱们搭积木，一层一层来，每一层都有它的规律。

” 最后这孩子恍然大悟，那种成就感，真的让人特别开心。

再回到这个公式，其实理解起来也不难。

$log_2{n}$ 表示的就是以2 为底，$n$ 的对数。

这个对数的值，就相当于完全二叉树去掉最后一层，前面那些层填满的情况下的层数。

再加上 1 ，就是包括最后一层的总深度啦。

在实际应用中，比如在计算机编程里，要优化数据存储和搜索，完全二叉树就大有用处。

通过计算它的深度，能更高效地安排数据的位置，提高程序的运行效率。

总之，完全二叉树的深度计算公式虽然看起来有点复杂，但只要多琢磨琢磨，多练习练习，就一定能掌握。

就像解决生活中的难题一样，只要有耐心，有方法，都能迎刃而解！希望大家都能轻松搞定这个知识点，让数据结构不再成为学习路上的“拦路虎”。

第7章树和森林树形结构是一类重要的非线性结构。

树形结构的特点是结点之间具有层次关系。

本章介绍树的定义、存储结构、树的遍历方法、树和森林与二叉树之间的转换以及树的应用等内容。

重点提示：●树的存储结构●树的遍历●树和森林与二叉树之间的转换7-1 重点难点指导7-1-1 相关术语1．树的定义：树是n（n>=0）个结点的有限集T，T为空时称为空树，否则它满足如下两个条件：①有且仅有一个特定的称为根的结点；②其余的结点可分为m（m>=0）个互不相交的子集T1，T2，…，T m，其中每个子集本身又是一棵树，并称为根的子树。

要点：树是一种递归的数据结构。

2．结点的度：一个结点拥有的子树数称为该结点的度。

3．树的度：一棵树的度指该树中结点的最大度数。

如图7-1所示的树为3度树。

4．分支结点：度大于0的结点为分支结点或非终端结点。

如结点a、b、c、d。

5．叶子结点：度为0的结点为叶子结点或终端结点。

如e、f、g、h、i。

6．结点的层数：树是一种层次结构，根结点为第一层，根结点的孩子结点为第二层，…依次类推，可得到每一结点的层次。

7．兄弟结点：具有同一父亲的结点为兄弟结点。

如b、c、d；e、f；h、i。

8．树的深度：树中结点的最大层数称为树的深度或高度。

9．有序树：若将树中每个结点的子树看成从左到右有次序的（即不能互换），则称该树为有序树，否则称为无序树。

10．森林：是m棵互不相交的树的集合。

7-1-2 树的存储结构1．双亲链表表示法以图7-1所示的树为例。

（1）存储思想:因为树中每个元素的双亲是惟一的，因此对每个元素，将其值和一个指向双亲的指针parent构成一个元素的结点，再将这些结点存储在向量中。

（2）存储示意图:-1 data:parent:（3）注意: Parrent域存储其双亲结点的存储下标，而不是存放结点值。

下面的存储是不正确的：-1 data:parent:2．孩子链表表示法（1）存储思想：将每个数据元素的孩子拉成一个链表，链表的头指针与该元素的值存储为一个结点，树中各结点顺序存储起来，一般根结点的存储号为0。

数据结构子树的计算子树的计算通常涉及到二叉树的相关操作。

在这里，我们以二叉树为例，介绍如何计算子树的数量、深度和节点总数。

1. 计算子树数量：要计算二叉树中子树的数量，我们可以使用递归方法。

对于一个节点，其子树数量等于左子树数量加上右子树数量。

以下是计算子树数量的递归函数：```pythondef count_subtrees(node):if not node:return 1left_count = count_subtrees(node.left)right_count = count_subtrees(node.right)return left_count + right_count```2. 计算树深度：计算二叉树深度的一般方法是使用递归。

从根节点开始，沿着左子树一直向下，直到遇到叶子节点。

然后回溯到上一层，继续沿着右子树向下，直到再次遇到叶子节点。

这个过程可以继续直到所有叶子节点都被访问到。

以下是计算深度的递归函数：```pythondef depth(node):if not node:return 0left_depth = depth(node.left)right_depth = depth(node.right)return 1 + max(left_depth, right_depth)```3. 计算节点总数：要计算二叉树中的节点总数，我们可以使用递归方法。

对于一个节点，其节点总数等于左子树节点总数加上右子树节点总数再加上1（自身）。

以下是计算节点总数的递归函数：```pythondef count_nodes(node):if not node:return 0left_count = count_nodes(node.left)right_count = count_nodes(node.right)return left_count + right_count + 1```注意，这些函数适用于二叉树的递归处理。

数据结构练习（二）答案一、填空题：1．若一棵树的括号表示为A（B（E，F），C（G（H,I,J,K）,L）,D（M（N））），则该树的度为（1）4，树的深度为（2）4 ，树中叶子结点的个数为（3）8。

2．一棵满二叉树中有m个叶子，n个结点，深度为h，请写出m、n、h之间关系的表达式（4）n=2h-1,m=n+1-2h-1 n=2m-1 。

3．一棵二叉树中如果有n个叶子结点，则这棵树上最少有（5）2n-1 个结点。

一棵深度为k的完全二叉树中最少有2k-1（6）个结点，最多有（7）2k-1个结点。

4．具有n个结点的二叉树，当它是一棵(8)完全二叉树时具有最小高度（9） log2n」+1，当它为一棵单支树时具有高度(10) n 。

5．对具有n个结点的完全二叉树按照层次从上到下，每一层从左到右的次序对所有结点进行编号，编号为i的结点的双亲结点的编号为_(11)__[i/2]__，左孩子的编号为___2i____，右孩子的编号为__2i+1______。

6．若具有n个结点的二叉树采用二叉链表存储结构，则该链表中有__2n_个指针域，其中有_n-1_个指针域用于链接孩子结点，__n+1_个指针域空闲存放着NULL 。

7．二叉树的遍历方式通常有__先序__、___中序__、__后序__和___层序___四种。

8．已知二叉树的前序遍历序列为ABDCEFG，中序遍历序列为DBCAFEG，其后序遍历序列为___DCBFGEA__。

9．已知某完全二叉树采用顺序存储结构，结点的存放次序为A,B,C,D,E,F,G,H,I,J，该完全二叉树的后序序列为___HIDJEBFGCA____。

10．若具有n个结点的非空二叉树有n0个叶结点，则该二叉树有__n0-1_个度为2的结点，____n-2n0+1____个度为1的结点。

11．任何非空树中有且仅有一个结点没有前驱结点，该结点就是树的__根____。

度为k的树中第i层最多有___k i-1_______个结点(i>=1)，深度为h的k叉树最多有___k0+k1+....+k h-1____个结点。

6.4数据结构---树的深度⼀、最⼤深度1.⼆叉树的最⼤深度 leetcode104给定⼀个⼆叉树，找出其最⼤深度。

⼆叉树的深度为根节点到最远叶⼦节点的最长路径上的节点数。

说明: 叶⼦节点是指没有⼦节点的节点。

⽰例：给定⼆叉树 [3,9,20,null,null,15,7]，3/ \9 20/ \15 7返回它的最⼤深度 3思路1：深度优先搜索（递归）终⽌条件：如果⼆叉树为空,则深度为0；递归体：如果不为空,分别求左⼦树的深度和右⼦树的深度,取最⼤的再加1def maxDepth(root):""":type root: TreeNode:rtype: int"""if root == None:return 0leftDepth = maxDepth(root.left) + 1rightDepth = maxDepth(root.right) + 1return leftDepth if leftDepth > rightDepth else rightDepth思路2：把树看做是图，⽤dfs求最长长度的路径from collections import defaultdictdef maxDepth2(nodes):#输⼊:nodes [3,9,20,null,null,15,7]#由节点列表构造图的邻接表def define_graph(arr):neig_dict = defaultdict(list)for i in range(len(arr)):if arr[i] != None:if (2*i+1) <= len(arr)-1 and arr[2*i+1]:#如果左节点存在neig_dict[arr[i]].append(arr[2*i+1])if (2*i+2) <= len(arr)-1 and arr[2*i+2]:#如果右节点存在neig_dict[arr[i]].append(arr[2*i+2])if (i-1)//2 >= 0 and arr[(i-1)//2]:#左⼦树的⽗节点neig_dict[arr[i]].append(arr[(i-1)//2])elif (i-2)//2 >= 0 and arr[(i-2)//2]:#右⼦树的⽗节点neig_dict[arr[i]].append(arr[(i-2)//2])return neig_dict#遍历邻接表,返回⼀次遍历的长度def dfs(nei_dict,i,visit):for j in nei_dict[i]:if j not in visit:visit.add(j)dfs(neig_dict,j,visit)return len(visit)neig_dict = define_graph(nodes)init_node = nodes[0]#图的起始点visit = set()visit.add(init_node)max_len = 0for i in neig_dict[init_node]:#遍历初始点的所有邻接点visit.add(i)max_len = max(dfs(neig_dict,i,visit),max_len)print('visit',visit)visit = set()#每遍历完⼀条路径之后,都要重新定义visitvisit.add(init_node)return max_len# res = maxDepth2([3,9,20,None,None,15,7])# print("最⼤深度",res)思路3：层次遍历，计算有多少层，即为树的深度def maxDepth_leverOrder(arr,arr_level):def levelOrder(arr,i,arr_lever):#i是当前节点是index#先序遍历树的每⼀个节点,当前节点的层数等于上⼀层加⼀if (i-1)//2 >= 0 and arr[(i-1)//2]:#左节点存在arr_lever[i] = arr_lever[(i-1)//2] + 1#等于⽗节点层数加⼀elif (i-1)//2 >= 0 and arr[(i-1)//2]:#右节点存在arr_lever[i] = arr_lever[(i-1)//2] + 1for i in range(1,len(arr)):#遍历除了根节点的其他节点if arr[i] == None:continueelse:levelOrder(arr,i,arr_level)arr = [3,9,20,None,None,15,7]if len (arr) == 1:print(1)else:arr_level = defaultdict(int)arr_level[0] = 1 # 根节点为第⼀层print ('arr_level before',arr_level)maxDepth_leverOrder(arr,arr_level)print('arr_level after',arr_level)print('深度',max(arr_level.items(),key=lambda x:x[1]))#5,3==> 树在列表中的index值,对应的深度def level_Order_init(root):# 层次遍历的递归写法def maxDepth_leverOrder_recur(level, result, node):if node:print('level=%s,result长度=%s'%(level,len(result)))#level<len(result)，说明有下⼀层,但是还没放数据#level=len(result)，说明有下⼀层且该层数据已经遍历完if level == len(result):#说明该层数据已经遍历完成,下⼀步要遍历下⼀层的数据result.append([])result[level].append(node.val)#该层maxDepth_leverOrder_recur(level+1,result,node.left)#左,下⼀层maxDepth_leverOrder_recur(level+1,result,node.right)#右,下⼀层level,result = 0,[]maxDepth_leverOrder_recur(level,result,root)print('深度',len(result))return resultL1 = TreeNode(3)L2 = TreeNode(9)L3 = TreeNode(20)L4 = TreeNode(15)L5 = TreeNode(7)L1.left = L2L1.right = L3L2.left = NoneL2.right = NoneL3.left = L4L3.right = L5res = level_Order_init(L1)print(res)2.N叉树的最⼤深度 leetcode559题⽬：给定⼀个N叉树，找到其最⼤深度。

《数据结构与数据库》实验报告实验题目二叉树的基本操作及运算一、需要分析问题描述：实现二叉树（包括二叉排序树）的建立，并实现先序、中序、后序和按层次遍历，计算叶子结点数、树的深度、树的宽度，求树的非空子孙结点个数、度为2的结点数目、度为2的结点数目，以及二叉树常用运算。

问题分析：二叉树树型结构是一类重要的非线性数据结构，对它的熟练掌握是学习数据结构的基本要求。

由于二叉树的定义本身就是一种递归定义，所以二叉树的一些基本操作也可采用递归调用的方法。

处理本问题，我觉得应该：1、建立二叉树；2、通过递归方法来遍历（先序、中序和后序）二叉树；3、通过队列应用来实现对二叉树的层次遍历；4、借用递归方法对二叉树进行一些基本操作，如：求叶子数、树的深度宽度等；5、运用广义表对二叉树进行广义表形式的打印。

算法规定：输入形式：为了方便操作，规定二叉树的元素类型都为字符型，允许各种字符类型的输入，没有元素的结点以空格输入表示，并且本实验是以先序顺序输入的。

输出形式：通过先序、中序和后序遍历的方法对树的各字符型元素进行遍历打印，再以广义表形式进行打印。

对二叉树的一些运算结果以整型输出。

程序功能：实现对二叉树的先序、中序和后序遍历，层次遍历。

计算叶子结点数、树的深度、树的宽度，求树的非空子孙结点个数、度为2的结点数目、度为2的结点数目。

对二叉树的某个元素进行查找，对二叉树的某个结点进行删除。

测试数据：输入一：ABC□□DE□G□□F□□□（以□表示空格）,查找5,删除E预测结果：先序遍历ABCDEGF中序遍历CBEGDFA后序遍历CGEFDBA层次遍历ABCDEFG广义表打印A（B（C,D（E（,G）,F）））叶子数3 深度5 宽度2 非空子孙数6 度为2的数目2 度为1的数目2查找5，成功，查找的元素为E删除E后，以广义表形式打印A（B（C,D（,F）））输入二：ABD□□EH□□□CF□G□□□（以□表示空格）,查找10,删除B预测结果：先序遍历ABDEHCFG中序遍历DBHEAGFC后序遍历DHEBGFCA层次遍历ABCDEFHG广义表打印A（B(D,E(H)),C(F(,G))）叶子数3 深度4 宽度3 非空子孙数7 度为2的数目2 度为1的数目3查找10，失败。

树的节点、度数、⾼度、深度、遍历1.节点的度与树的度节点的度：结点拥有的⼦树数⽬称为结点的度，叶⼦结点就是度为0的结点树的度：树内各结点的度的最⼤值分⽀节点：度不为0的节点--------------------------------------------------节点数n=n0+n1+n2， ( n0：度为0的结点数，n1:度为1的结点 n2：度为2的结点数。

n是总结点)⾮空⼆叉树，n0=n2+1；当节点数n为奇数，⽆度为1的节点；节点n为偶数，有⼀个度为1的节点；--------------------------------------------------分⽀数=n-1 =1*n1+ 2*n2+3*n3n0+n1+n2+n3 = n = 分⽀数+1 = 1*n1+ 2*n2+3*n3+12.树的深度与⾼度节点 ni 的深度：从根节点到 ni 的的唯⼀路径长。

即，节点 ni 所在的层次（根节点为0层），树的深度 = 树中节点的最⼤层次。

节点 ni 的⾼度：从 ni 到⼀⽚树叶的最长路径长。

即，叶⼦节点的⾼度为0，树的⾼度 = 根的⾼度。

树的深度 = 树的⾼度⾼度为h的⼆叉树⾄少2^h个节点，⾄多有2^（h+1）-1 个节点。

含有n≥1 个节点的⼆叉树的⾼度范围：[ | log2 n」,n-1]3.完全⼆叉树：只有最下⾯的两层结点度⼩于2，并且最下⾯⼀层的结点都集中在该层最左边的若⼲位置。

有 n 个节点的完全⼆叉树的⾼度（深度）为 | log2 n」完全⼆叉树第 n 层上⾄多 2^(n+1)个节点完全⼆叉树第 n 层上节点编号： 2^n - 2^(n+1)-1--------------------------------------------------例1：在⼀棵具有n个结点的完全⼆叉树中,树枝结点的最⼤编号为( B ).假定树根结点的编号为1A.(n-1)/2B.n/2C.n/2-1例2：编号13的左兄弟节点是（ A ），右兄弟节点是（ B ）A.12B.14层数 = | log2 n」= 33层编号范围 8-15例3：若⼀棵完全⼆叉树有768 个结点，则该⼆叉树中叶结点的个数是（ C ）。

数据结构中树的概念和特点
1、树的概念
这里的树不是植物，而是一种数据结构，这种数据结构的样子类似于平时看到的树的样子，只不过平时的树的根是在底部，而树这种数据结构的根是在顶部。

2、树的特点
树最顶部的叫做根节点，图中的圆圈就是节点，各个节点之间用箭头连接表示关系，这种关系类似于父亲和儿子的关系，根节点是父亲，在这个根节点下方的节点都是他的儿子。

2-1 父节点与子节点
一个节点下方还有其他节点与自己相连，则这个节点是父节点，父节点下方连接的节点叫做子节点，如图3-2所示，1是2,3,4,5的父节点，那么2,3,4,5对于1来说就是子节点，3下方还有子节点，分别是7和8，所以3是7和8的父节点。

2-2 子节点和叶子节点
除了父节点和子节点之外，还有一个关于树的术语叫做叶子结点，叶子结点就是没有子节点的节点，相当于一棵树的叶子，如上图所示，11,12,9,10都是属于叶子结点，它们没有自己的子节点。

2-3 深度和高度
在树中，箭头表示路径的长度，一个箭头表示路径长度为1，每一个节点都有自己的深度和高度。

深度：
某个节点的深度等于根节点到这个节点所经过的路径长度，如下图所示，节点2的深度等于1，节点7的深度为2。

高度：
某个节点的高度指的是从该节点出发到叶子结点所经过的最大路径，如下图所示，节点3的高度为2，节点4的高度为1，根节点的1的高度为3，根节点的高度叶叫做树的高度。

树形结构权衡因子一、引言树形结构是一种常用的数据结构，它由节点和连接节点的边组成。

在计算机科学中，树形结构被广泛应用于各种算法和数据处理任务中，例如文件系统、数据库索引、网络路由等等。

在实际应用中，我们常常需要考虑不同的权衡因子来设计和使用树形结构。

本文将探讨树形结构的权衡因子，主要包括树的深度、平衡性、访问效率和存储空间等方面。

我们将从树的结构特点、应用场景以及各个因素的优缺点等多个层面进行详细讨论。

二、树的结构特点树是一种层次化的结构，具有以下特点： 1. 树由节点和边组成，每个节点可以有多个子节点，但只能有一个父节点（除了根节点）。

2. 树的最顶层节点称为根节点，没有父节点的节点称为叶子节点。

3. 树中的节点按照层次划分，每个节点的深度等于其到根节点的距离。

三、树形结构的应用场景树形结构在许多领域都有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 文件系统文件系统通常采用树形结构来组织文件和目录。

根节点代表根目录，每个子节点代表一个文件或目录。

通过树的结构，可以方便地进行文件的查找、创建和删除等操作。

2. 数据库索引数据库索引是用于快速查找数据的一种数据结构，常常使用B树或B+树来实现。

这些树形结构可以大大提高数据库的查询效率，减少磁盘IO操作。

3. 组织架构企业或组织的组织架构通常可以用树形结构来表示，每个节点代表一个岗位或部门。

通过树的结构，可以清晰地展示企业的层级关系和职责划分。

4. 网络路由在计算机网络中，路由器通常使用树形结构来进行数据包的转发和路由选择。

每个节点代表一个网络节点或路由器，通过树的结构可以实现路由的有效选择和快速传输。

四、树形结构的权衡因子树形结构的设计和应用需要考虑多个权衡因子，下面将分别探讨各个因子的优缺点和设计技巧。

1. 树的深度树的深度是指树中最远节点到根节点的距离。

深度越大，树的高度越高，访问节点的效率越低。

然而，浅层的树可能会使树形结构过于复杂，不适合特定的应用场景。

常见基本数据结构——树，⼆叉树，⼆叉查找树，AVL树常见数据结构——树处理⼤量的数据时，链表的线性时间太慢了，不宜使⽤。

在树的数据结构中，其⼤部分的运⾏时间平均为O(logN)。

并且通过对树结构的修改，我们能够保证它的最坏情形下上述的时间界。

树的定义有很多种⽅式。

定义树的⾃然的⽅式是递归的⽅式。

⼀棵树是⼀些节点的集合，这个集合可以是空集，若⾮空集，则⼀棵树是由根节点r以及0个或多个⾮空⼦树T1,T2,T3,......,Tk组成，这些⼦树中每⼀棵的根都有来⾃根r的⼀条有向的边所连接。

从递归的定义中，我们发现⼀棵树是N个节点和N-1条边组成的，每⼀个节点都有⼀条边连接⽗节点，但是根节点除外。

具有相同⽗亲的节点为兄弟，类似的⽅法可以定义祖⽗和孙⼦的关系。

从节点n1到nk的路径定义为节点n1，n2，...，nk的⼀个序列，并且ni是ni+1的⽗亲。

这个路径的长是路径上的边数，即k-1。

每个节点到⾃⼰有⼀条长为0的路径。

⼀棵树从根到叶⼦节点恰好存在⼀条路径。

对于任意的节点ni，ni的深度为从根到ni的唯⼀路径长。

ni的⾼是从ni到⼀⽚叶⼦的最长路径的长。

因此，所有的树叶的⾼度都是0，⼀棵树的⾼等于它的根节点的⾼。

⼀棵树的深度总是等于它最深叶⼦的深度；该深度等于这棵树的⾼度。

树的实现实现树的⼀种⽅法可以是在每⼀个节点除数据外还要有⼀些指针，使得该节点的每⼀个⼉⼦都有⼀个指针指向它。

但是由于每个节点的⼉⼦树可以变化很⼤⽽且事先不知道，故在各个节点建⽴⼦节点的链接是不可⾏的，这样将会浪费⼤量的空间。

实际的做法很简单：将每个节点的所有⼉⼦都放在树节点的链表中。

下⾯是典型的声明：typedef struct TreeNode *PtrToNodestruct TreeNode{ ElementType Element; PtrToNode FirstChild; PtrToNode NextSibling}下⾯是⼉⼦兄弟表⽰法的图⽰：树的遍历及应⽤⼀个常见的使⽤是操作系统中的⽬录结构。

数据结构树的面试考察一、树的基本概念。

（一）树的定义。

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。

当n = 0时为空树。

在树结构中，有一个特殊的节点，称为根节点，根节点没有前驱节点。

除根节点外，其余节点被分成m（m>=0）个互不相交的有限集合T1、T2、…、Tm，每个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树。

原因：这是树结构的基本定义，是理解树相关操作和特性的基础。

例如在构建文件系统目录结构时，就可以看作是树结构，根目录是根节点，各个子文件夹就是子树。

（二）树的相关术语。

1. 节点的度。

- 节点的度是指一个节点拥有的子树的个数。

例如，在二叉树中，节点的度最大为2。

- 原因：节点的度有助于描述树中节点与子节点的关系。

在分析树的存储结构和遍历算法效率时，节点的度是一个重要的考虑因素。

2. 树的度。

- 树的度是指树内各节点的度的最大值。

- 原因：树的度反映了树的整体结构特点。

度为2的树可能是二叉树，度为m的树就是m叉树，不同度的树在存储和操作上有不同的方法。

3. 叶子节点（终端节点）- 叶子节点是度为0的节点，也就是没有子节点的节点。

- 原因：叶子节点在很多树的操作中具有特殊意义。

例如在计算树的高度时，叶子节点是递归计算的边界条件。

4. 非叶子节点（非终端节点）- 非叶子节点是度不为0的节点，即有子节点的节点。

- 原因：非叶子节点在构建树的结构和数据传递中起着关键作用。

它是连接根节点和叶子节点的中间节点。

5. 父节点、子节点和兄弟节点。

- 对于有子树的节点，该节点称为子树的根节点的父节点，子树的根节点称为该节点的子节点。

具有相同父节点的子节点称为兄弟节点。

- 原因：这些关系明确了树中节点之间的层次结构，有助于进行树的遍历、查找等操作。

二、二叉树。

（一）二叉树的定义。

二叉树是一种特殊的树，它每个节点最多有两个子树，分别称为左子树和右子树。

并且二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。

树的深度名词解释
树的深度是指树中从根节点（或子树根节点）到最深层叶子节点
的路径长度。

具体来说，树的深度等于根节点到最深层叶子节点的最
长路径长度。

在计算机科学中，树是一种常见的基本数据结构，用于表示层次
结构或树形关系。

树的深度也称为高度或深度，是树的重要属性之一。

深度的计算可以用递归或迭代的方法实现。

除了深度之外，树还有其他重要的概念，例如节点数、子树、度、树的遍历、树的剪枝等。

深度与这些概念密切相关，可以通过它们来
计算树的复杂性和性能。

在实际编程中，树的深度也常常用于算法设
计和程序优化。