分式混合运算(讲义及答案)

《分式的乘除》讲义一、引入同学们，在数学的世界里，我们已经学习了整式的运算，那今天咱们要一起来探索分式的乘除。

分式的乘除是分式运算中的重要内容，掌握好这部分知识，对于我们后续解决更复杂的数学问题将有很大的帮助。

二、分式的乘法（一）定义与法则分式的乘法法则是：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母。

用字母表示为：＼（＼frac{a}｛b} ＼times ＼frac{c}｛d} ＝＼frac{ac}｛bd}＼）（其中\（b\neq 0\），＼（d\neq 0\））（二）示例讲解例如：计算\（＼frac{2x}｛3y} ＼times ＼frac{9y^2}｛4x^2}＼）首先，我们按照乘法法则，分子相乘得到：＼（2x ＼times 9y^2 ＝18xy^2\）分母相乘得到：＼（3y ＼times 4x^2 ＝ 12x^2y\）所以，原式的结果为：＼（＼frac{18xy^2}｛12x^2y} ＝＼frac{3y}｛2x}＼）再看一个例子：＼（＼frac{a^2 1}｛a ＋ 1} ＼times ＼frac{a}｛a 1}＼）先对分子进行因式分解：＼（＼frac{（a ＋ 1)（a 1)｝｛a ＋ 1} ＼times ＼frac{a}｛a 1}＼）约分可得：＼（a\）（三）注意事项1、乘法运算时，能约分的先约分，可以简化计算。

2、约分要彻底，确保结果是最简分式。

三、分式的除法（一）定义与法则分式的除法法则是：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

用字母表示为：＼（＼frac{a}｛b} ＼div ＼frac{c}｛d} ＝＼frac{a}｛b} ＼times ＼frac{d}｛c} ＝＼frac{ad}｛bc}＼）（其中\（b\neq 0\），＼（c\neq 0\），＼（d\neq 0\））（二）示例讲解例如：计算\（＼frac{x^2 4}｛x ＋ 2} ＼div ＼frac{x 2}｛x}＼）将除法转化为乘法：＼（＼frac{x^2 4}｛x ＋ 2} ＼times ＼frac{x}｛x 2}＼）对分子进行因式分解：＼（＼frac{（x ＋ 2)（x 2)｝｛x ＋ 2} ＼times ＼frac{x}｛x 2}＼）约分可得：＼（x\）再看一个例子：＼（＼frac{2a}｛a^2 4} ＼div ＼frac{1}｛a 2}＼）转化为乘法：＼（＼frac{2a}｛（a ＋ 2)（a 2)｝＼times （a 2)＼）约分可得：＼（＼frac{2a}｛a ＋ 2}＼）（三）注意事项1、做除法运算时，一定要将除式颠倒位置后再相乘。

第20讲分式的意义、性质及综合计算一、分式的意义与基本性质：1、分式的概念：两个整式A、B相除，即A B÷时，可以表示为AB．如果B中含有字母，那么AB叫做分式，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母．在理解分式的概念时，注意以下三点：（1）分式的分母中必然含有字母；（2）分式的分母的值不为0；（3）分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开．2、分式有意义的条件：两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义．例如：分式1x，当0x≠时，分式有意义；当0x=时，分式无意义．3、分式值为零的条件：分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．4、分式的基本性质：分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变．上述性质用公式可表示为：a amb bm=，a a mb b m÷=÷(0m≠)．注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m≠；②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式；原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1③分式的基本性质是约分和通分的理论依据．二、分式的乘除：1、分式的乘法：两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，用式子表示为：A C ACB D BD ⋅=．2、分式的乘方法则：分式乘方就是把分子、分母各自乘方．即nn n A A B B ⎛⎫= ⎪⎝⎭．3、分式的除法法则：分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘．用公式表示为：A C A D ADB D BC BC÷=⋅=．4、分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算，有括号先算括号里的，没有括号按从左到右的顺序计算．【注意】1、在分式除法运算中，除式或（被除式）是整式时，可以看作分母是1的分式，然后按照分式的乘除法的法则计算．2、要注意运算顺序，对于分式的乘除来讲，它只含同级乘除运算，而在同级运算中，如果没有附加条件（如括号等），那么就应该按照由左到右的顺序计算．三、分式的加减：1、同分母的分式加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．2、异分母的分式加减法法则：（1）通分：将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫做通分，这几个相同的分母叫做公分母．（2）异分母分式加减法法则：分母不同的几个分式相加减，应先进行通分，化成同分母分式后再进行加减运算，运算结果能化简的必须化简．四、分式的综合运算：与分数的混合运算类似，先算乘除，再算加减，如果有括号，要先算括号内的．1.不改变分式的值，使分式115101139x yx y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（）A 、10B 、9C 、45D 、90【答案】D【解析】找5，10，3，9的最小公倍数．【总结】本题主要考查分式的基本性质．2.分式1a b +、222a a b -、bb a-的最简公分母是（）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3A 、()()()22a b a b b a +-－B 、()()22a b b a +－C 、()()22a b b a -－D 、22a b -【答案】D【解析】考察最简公分母的定义．3.在下列各式中：①222mn a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭；②42528m n an a b bm -⋅；③2222m nb ab a ⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；④2222mn a ab m ÷．相等的两个式子是（）A 、①②B 、①③C 、②③D 、③④【答案】B【解析】①22224224mn m n a b a b -⎛⎫= ⎪⎝⎭；②4223524288m n an m n a b bm a b -⋅=-；③2222222224242244m nb m n b m n ab a a b a a b ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；④2222222232222mn a mn m m n ab m ab a a b÷=⋅=．【总结】本题主要考查分式的约分．4.已知2519970x x --=，则代数式()()222112x x x ---+-的值为（）A 、1999B 、2000C 、2001D 、－2【答案】D【解析】()()222112x x x ---+-22442112x x x x x -+-+-+=-242x x -+=-()222x x --=-2=-．【总结】本题主要考查分式的化简，分式的最终结果跟x 的取值并无关系．5.若269a a -+与1b -互为相反数，则式子()a b a b b a ⎛⎫-÷+ ⎪⎝⎭的值为__________．【答案】32．【解析】∵269a a -+与1b -互为相反数，∴26910a a b -++-=，即()0132=-+-b a ，∴3=a ，1=b ．∴()22123a b a b a b a b b a ab a b ab --⎛⎫-÷+=⋅== ⎪+⎝⎭．【总结】本题一方面考查分式的混合运算，一方面注意相反数的概念．6.当x _______时，分式1111x++有意义．【答案】1-≠x 且2-≠x ．【解析】∵01≠+x 且0111≠++x，∴1-≠x 且2-≠x ．7.当x _______时，分式211xx++的值为零．【答案】2-=x ．【解析】由题意，得：02=+x 且0≠x 且011≠+x，所以2-=x ．【总结】本题主要考查分式值为零的条件．8.已知：222222M xy y x yx y x y x y--=+--+，则M =_________．【答案】2x ．【解析】因为()()()22222222x y xy y x x y x y x y x y--+=-+--，所以2M x =．【总结】本题一方面考查异分母分式的加减，另一方面考查当两个分式相等并且分母相等时，分子也相等．9.已知对任意x 有324231+3x A Bx Cx x x x x ++=++--+，则A =_______，B =______，C =______．【答案】1；-1；-1．【解析】因为222(3)()(1)1+3(1)(3)A Bx C A x x Bx C x x x x x x x +++++-+=-+-++3()()(3)23A B x A B C x A C x x ++-++-=+-，又324231+3x A Bx Cx x x x x ++=++--+所以0134A B A B C A C +=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩，解得111A B C =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩．【总结】本题一方面考查分式的混合运算，另一方面考查当两个分式相等并且分母相等时，分子也相等．10.计算：原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5（1）22266(3)(2)443x x x x x x x x -+-÷+⋅⋅--+-；（2）222221211()()22x x x x x x x x--+÷÷---+．【答案】（1）2；（2）xx -22．【解析】（1）22266(3)(2)443x x x x x x x x -+-÷+⋅⋅--+-()()()()223321(2)332x x x x x x x -+-=⋅⋅⋅-+--2=；（2）222221211()()22x x x x x x x x--+÷÷---+()()()()()222222121211x x x x x x x --=⋅⋅+-+-22x x=-．【总结】本题主要考查分式的乘除运算，注意对法则的准确运用．11.计算：（1）22221244n m m n m n m mn n --+÷--+；（2）322114221x x x x x x ⎛⎫+--+⋅⎪-++⎝⎭．【答案】（1）nm n+3；（2）44223+-+x x x ．【解析】（1）原式()()()2122m n m n n m m n m n +--=+÷--()()()2212m n n mm n m n m n --=+⋅-+-21m n m n -=-+3nm n=+；（2）原式322214142121x x x x x x x x +---=⋅+⋅-+++()()()()()()()()2112211222121x x x x x x x x x x x x x +-++-+-+-=⋅+-+++()()()()21212x x x x x =-+++--32244x x x =+-+．【总结】本题主要考查分式的混合运算，注意对法则的准确运用以及方法的选择．12.计算：（1）2222963441644x x x x x x x x -+-++÷⋅---；（2）22214(1)441a a a a a a --÷+⋅++-．【答案】（1）()()()()2423-++-x x x x ；（2）22+-a a ．【解析】（1）原式()()()()()()2232444322x x x x x x x x -+-=⋅⋅+--+-()()()()3242x x x x -+=+-；（2）原式()()()()()211221112a a a a a a a -++-=⋅⋅+-+2222a aa a --=-=++．13.已知21610x x --=，求331x x -的值．【答案】4144．【解析】∵21610x x --=，∴161=-xx ．∴331x x -2211++1x x x x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭211=+2+1x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()2=1616+3⨯=4144．【总结】本题综合性较强，一方面考查对原式的变形，另一方面考查立方差的运用．14.已知：0a b c ++=，8abc =，求证：1110a b c++<．【答案】证明略，见解析．【解析】∵0=++c b a ，∴()()022222=+++++=++ac bc ab c b a c b a ．即2222220a b c ab ac bc +++++=．∴2221()2ab ac bc a b c ++=-++．∵8abc =，∴a 、b 、c 均不为零．∴2221111=()016bc ac ab a b c a b c abc ++++=-++<．【总结】本题综合性较强，主要还是利用了异分母分式的加减以及完全平方公式．15.若111122229999199991A +=+，222233339999199991B +=+，试比较A 与B 的大小．【答案】A B >．【解析】设11119999a =，则2+1=1a A a +，23+1=1a B a +．则B A -2322323+1+12=11(1)(1)a a a a a a a a a -+-=++++223(1)(1)(1)a a a a -=++．又111199991a =>，所以10a ->．所以0A B ->，所以A B >．【总结】本题主要考查通过换元法试原来的式子变得简洁一些，然后再通过做差比较两数大小．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！716.设10x y z a b c a b c x y z++=++=，，求222222x y z a b c ++的值．【答案】1．【解析】设m a x =，n b y =，t cz=．∵1x y za b c ++=，∴1=++t n m ．∵0=++zcy b x a ，∴0111=++tn m ，∴0=++mntmnmt nt ，∴0=++mn mt nt ．∴()()222222222222101x y z m n t m n t mn nt mt a b c++=++=++-++=-=．【总结】本题也是考查对换元法的理解和运用．1.（2023年上海浦东新区模拟卷）2023年1月，中国迎来奥密克戎变异毒株的首波感染高峰．已知该病毒的直径长120纳米，1纳米＝910-米，则这种冠状病毒的半径用科学记数法表示为（）A ．71.210-⨯米B ．111.210-⨯米C ．8610-⨯米D ．70.610-⨯米【答案】C【分析】绝对值小于1的负数也可以用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，其中110,a ≤<根据题意，该病毒的直径长120纳米，即可求出这种冠状病毒的半径用科学记数法表示．【详解】解：()9812026010610--÷=⨯=⨯纳米米．故选：C.【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a -⨯，其中110,a ≤<熟练掌握科学记数法是解此题的关键．2.（2023年上海民办华育期中真题）对于分式226xx --，下列说法错误的是（）A ．当2x =时，分式的值为0B ．当3x =时，分式无意义C ．当2x >时，分式的值为正数D ．当83x =时，分式的值为1【答案】C【分析】直接利用分式的值为零，分式无意义，分式的求值进行判断即可．【详解】解：A ．当2x =时，20x -=，2620x -=-≠，分式226xx --的值为0，故此项选项不符合题意；B ．当3x =时，260x -=，分式226xx --无意义，故此选项不符合题意；C 当2x >时，当3x =时，260x -=，分式226xx --无意义，故此选项符合题意；D ．当83x =时，822233182262633x x ---===-⨯--，故此选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查分式值为零的条件，分式无意义的条件，分式的求值．解题的关键是能熟练掌握分式相关知识进行解答．3.（2022年上海新华中学期中真题）若2m n +=，则代数式2n m nm m m ⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭的值为（）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【答案】B【分析】先根据分式的混合运算化简，再整体代入即可作答．【详解】2n m nm m m ⎛⎫--÷⎪⎝⎭22·n m mm m m n ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭22·n m m m m n-=-()()·n m n m m m m n+-=-()n m =-+n m =--，∵2m n +=，∴原式2n m =--=-，故选：B ．【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解答本题的关键．4.（2023年上海新华中学期中真题）下列运算正确的是（）A ．22m m ÷=B ．()222m n m n-=-C ．33322n n m m ⎛⎫=⎪⎝⎭D ．2yxy x x÷=原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9【答案】D【分析】根据整式以及分式的运算法则逐项计算即可判断．【详解】A.221m m ÷=，即原计算错误，本项不符合题意；B.()2222m n m mn n -=-+，即原计算错误，本项不符合题意；C.33328n n m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即原计算错误，本项不符合题意；D.2y xy xy yx x x÷=⨯=，即原计算正确，本项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了整式以及分式的运算，掌握相应的运算法则是解答本题的关键．5.计算321b a a⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭的结果为（）A ．3b a-B ．3b a C ．35b a -D ．35b a【答案】A【分析】先计算乘方，再计算除法即可求解．【详解】解：321b a a⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭3321b a a =-÷323b aa =-⋅3b a=-．故选：A ．【点睛】本题考查分式混合运算，熟练掌握分式乘方与除法运算法则是解题的关键．6.小强上山和下山的路程都是S 千米，上山的速度为1v 千米时，下山的速度为2v 千米时，则小强上山和下山的平均速度为（）A ．122sv v +千米/时B ．122sv v +千垙时C ．12ss s v v +千时D ．12122v v v v +千米/时【答案】D【分析】先表示出上山时间与下山时间，然后根据总路程除以总时间，即可求解．【详解】解：依题意，上山所用时间为：1Sv ，下山所用时间为：2S v ，∴小强上山和下山的平均速度为()1212121212222v v SSS Sv v S v v v v v v ==+++，故选：D ．【点睛】本题考查了列代数式，分式的加减运算，根据题意列出代数式是解题的关键．7.（2023年上海民办华育期中真题）下列分式从左到右变形错误的是（）A ．155c c =B ．3344b a a b +=+C ．11a b b a=---D ．2242442a a a a a --=+++【答案】B【分析】根据分式的基本性质进行计算即可解答．【详解】解：A 、155c c =，故A 不符合题意；B 、3344b a a b+≠+，故B 符合题意；C 、11a b b a=---，故C 不符合题意；D 、2224(2)(2)244(2)2a a a a a a a a -+--==++++，故D 不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．8.对于任意的x 值都有()()272121x M Nx x x x +=++-+-，则M ，N 值为（）A ．1M =，3N =B ．1M =-，3N =C ．2M =，4N =D ．1M =，4N =【答案】B【分析】对等式右边通分并进行加法运算，再根据对应项系数相等列方程组求解即可．【详解】解：∵()()()()()()()()()()12227212121M x N x M N x M N x x x x x x x -++++-++==+-+-+-，∴227M N M N +=⎧⎨-+=⎩，解得：13M N =-⎧⎨=⎩．故选：B ．【点睛】本题考查分式的加法，二元一次方程组．掌握分式的加减运算法则是解题的关键．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！119.当x ________时，分式226xx -有意义．【答案】3≠【分析】根据分式有意义的条件：分母0≠，进行求解即可．【详解】解：依题意得：260x -≠．解得：3x ≠．故答案是：3≠．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件：分母不等于0，是解题的关键．10.（2023年上海兰生复旦中学月考）约分：221827xyx y -=______．【答案】23xy-【分析】根据分式的约分解答即可．【详解】解：221829227393xy xyx y xy xy xy ⋅-=-=-⋅．故答案为：23xy -．【点睛】本题主要考查了分式的约分，掌握分式的基本性质是解答本题的关键．11.化简：2211a a a -+-÷()21a -＝_____．【答案】11a +【详解】解：()222111a a a a -+÷--()()()211111a a a a -=⨯-+-11a =+故答案为：11a +【点睛】此题考查了分式的除法运算，熟练掌握除法法则是解题的关键．12.若分式222x x x ---的值为0，则x 的值为_______．【答案】2-【分析】根据分式的值为0的条件，即可求解．【详解】解：由分式的值为零的条件得：20x -=，且()()22210x x x x --+-=≠，解得2x =-，故答案为：2-．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可．13.（2023年上海兰生复旦中学月考）分式261812a a a -+，24(1)b a -，23(2)c a -的最简公分母是__.【答案】()()221212a a ﹣﹣/()()221221a a ﹣﹣【分析】根据最简公分母的定义解决此题.【详解】解：()()()2261812632612a a a a a a ++﹣＝﹣＝﹣﹣ ，根据最简公分母的定义，这三个分式的最简公分母为()()221212aa ﹣﹣，故答案为：()()221212a a ﹣﹣．【点睛】本题主要考查最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的找法是解决本题的关键.14.如图，一个长、宽、高分别为a ，b ，2r 的长方体纸盒装满了一层半径为r 的小球，则纸盒的空间利用率（小球总体积与纸箱容积的比）为______（结果保留π，球体积公式343V r π=）．【答案】6π【分析】由题意可知：小球的直径为2r ，每个小球的体积为343V r π=，计算小球的总数，就可以算出小球的总体积，算出长方体纸盒的体积为；根据纸盒空间利用率为小球总体积与纸箱容积的比即可解答；【详解】由题意可知：小球的直径为2r ，每个小球的体积为：343V r π=沿长边摆放了2a r 个小球，沿宽摆放了2b r个小球；所以小球的总数为：2·224a b ab r r r =原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13所以小球的总体积为：324·343ab rab r r ππ=长方体纸盒的体积为：22ab r abr⨯=所以纸盒空间利用率为：326abr abr ππ=故答案为：6π．【点睛】本题考查了圆，两圆相切的性质，如果两圆相切，那么连心线必经过切点，也考查了分式的运算．15.计算：2a b b a b++=-______．【答案】2-a a b【分析】根据分式的运算求解即可．【详解】解：原式2()()a b a b b a b a b-+=+--222a b b a b-+=-2a a b=-．故答案为：2-a a b．【点睛】此题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的有关运算法则．16.（2023年上海兰生复旦中学月考）先化简，再求值：222112111x x x x x x ⎛⎫-+÷ ⎪-+--⎝⎭，其中x 是满足条件11x -≤≤的整数．【答案】1x，1-【分析】先对分式进行化简，然后根据11x -≤≤及分式有意义的条件可进行代值求解．【详解】解：222112111x x x x x x ⎛⎫-+÷ ⎪-+--⎝⎭()()()22111111x x x x xx ⎡⎤+-=-⨯⎢⎥-⎥⎣⎦--⎢211111x xx x x -⎛⎫=-⨯ ⎪-⎭+-⎝211x x x x-=⨯-1x=；∵x 是满足条件11x -≤≤的整数，且0x ≠且1x ≠，∴=1x -，∴原式1=-．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键，注意分式有意义的条件．17.约分：(1)262ab b-；(2)22348a b a b--；(3)22222a ab a b ab ++；(4)22222a a b ab b -++．【答案】(1)3ab-(2)2b a (3)1b (4)a ba b-+【分析】（1）分子分母约去2b 即可；（2）分子分母约去24a b 即可；（3）首先把分子分母分解因式，然后再约去分子分母的公因式()2a a b +即可；（4）首先把分子分母分解因式，然后再约去分子分母的公因式()a b +即可．【详解】（1）262ab b-3ab =-；（2）22348a b a b--2b a=；（3）22222a ab a b ab ++()()22a a b ab a b +=+1b =；原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15（4）22222a a b ab b -++()()()2a b a b a b +-=+a b a b -=+．【点睛】此题考查了分式的约分，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质．18.当x为何整数时，(1)​分式421x +的值为正整数；(2)​分式21x x +-的值是整数．【答案】(1)0(2)2或0或4或2-【分析】（1）若使该式的值为正整数，则()21x +能够被4整除，所以21x +可以为1，2，4；即0x =，0.5，1.5；由x 为整数得，0x =即可；（2）分式21x x +-进行变形，化为311x +-，若要使21x x +-值为整数，则31x -的值一定是整数，则1x -一定是3的约数，从而求得x 的值．【详解】（1）解：若使该式的值为正整数，则()21x +能够被4整除，21x ∴+可以为1，2，4，x ∴=，0.5，1.5，x 为整数，0x ∴=；（2）解：21331111x x x x x +-+==+---，21x x +- 的值为整数，且x 为整数；1x ∴-为3的约数，1x ∴-的值为1或1-或3或3-；x ∴的值为2或0或4或2-．【点睛】此题考查了分式的值，分式的加减，解决此题的关键是要熟练掌握分式的加减法法则．1.下列各式中，是分式的是（）A ．132x +B ．3m n+-C ．33x +D ．1x -【答案】C【分析】根据分式的定义即可判断．【详解】解：A 、选项中分母中不含有字母，故此项不符合题意；B 、选项中分母中不含有字母，故此项不符合题意；C 、选项中3和3x +都为整式，且分母中含有字母，故此项符合题意；D 、选项中分母中不含有字母，故此项不符合题意；【点睛】本题考查了分式的概念及相关的基础问题，熟练掌握分式的定义：一般地，如果A 、B （B 不等于零）表示两个整式，且B 中含有字母，那么式子A B就叫做分式，是解此题的关键．2.如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．下列判断正确的是（）结论I ：若n 的值为5，则y 的值为1；结论Ⅱ：x y +的值为定值；结论Ⅲ：若31m n x -=，则y 的值为4或1．A ．I ，Ⅲ均对B ．Ⅱ对，Ⅲ错C ．Ⅱ错，Ⅲ对D ．I ，Ⅱ均错【答案】B【分析】先由题意得到232x y m x y n +=⎧⎨+=⎩①②，8m n +=，然后解方程组得到234n m x m n y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，当5n =时，3m =，则此时33514y ⨯-==，即可判断I ；+①②得448x y +=，即可判断②；根据1的任何次方为1，1-的偶次方为1，非零底数的0次方为1，三种情况讨论求解即可判断Ⅲ．【详解】解：由题意得，232x y m x y n +=⎧⎨+=⎩①②，8m n +=，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17-②①得2x n m =-，解得2n m x -=，把2n m x -=代入①得22n m y m -+=，解得34m n y -=，∴方程组的解为234n m x m n y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，∵8m n +=，∴当5n =时，3m =，则此时33514y ⨯-==，故结论I 正确；+①②得448x y +=，∴2x y +=，故结论Ⅱ正确；当1x =时，1y =，此时满足31m n x -=；当30m n -=时，则3m n =，此时62m n ==，，∴2x =-，4y =，此时满足31m n x -=；当=1x -时，则3y =，此时123513233m n =-+⨯=⎧⎨=-⨯+⨯=⎩，∴35334m n -=-⨯=-，此时满足31m n x -=，综上所述，若31m n x -=，则y 的值为4或3或1，故结论Ⅲ错误，故选B ．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程的解，零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握相关知识是解题的关键．3.已知13,x x -=则221x x+=___．【答案】11【分析】由13,x x -=两边平方可得22129,x x-+=移项即可的结果．【详解】解：13,x x -= 22129,x x ∴-+=22111,x x ∴+=故答案为：11.【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变形推导是解此题的关键．4.已知122b a -=，则234436a ab b ab a b+--+的值为______．【答案】72-【分析】根据已知条件得出22a b ab -=，代入分式进行计算即可求解．【详解】解：∵122b a-=，∴22a b ab-=即22a b ab -=，∴()()223234437436432462a b ab a ab b ab ab ab a b ab a b ab ab -++-+===--+---，故答案为：72-．【点睛】本题考查了分式的加减以及分式的求值，得出22a b ab -=是解题的关键．5.计算1x a +•212a x-的结果是_____．【答案】12a -【分析】先将原式进行因式分解，再进行分式的乘法运算，化简求值就可．【详解】解：原式＝()()+1112a a x a x -⋅+＝12a -，故答案为：12a -．【点睛】本题考查分式的乘法运算，解题的关键是熟练运用分式的乘法运算，本题属于基础题型．6.计算（1）2222452343a b c d abc cd ab d⋅÷；（2）22819369269a a a a a a a --+÷⋅++++；（3）22233x y z ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（4）222255a a a b b b ⎛⎫-⎛⎫÷⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）252b ；（2）2-；（3）424x y z；（4）54ab 【分析】（1）按照分式乘除混合运算法则进行计算即可．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19（2）按照分式乘除运算法则进行计算即可．（3）分式的分子分母分别平方即可．（4）按照分式混合运算法则进行计算即可．【详解】（1）2222222222223222452453605==343342242a b c d abc a b c d da bc d cd ab d cd ab abc a b cd b ⋅÷=⋅⋅（2）222(9)(9)2(3)81933=26926999(3)aa a a a a a a a a a a a a +---++÷⋅⋅⋅=-++++-+++（3）2224243=3x y z x y z ⎛⎫- ⎪⎝⎭（4）22222242255==55454a a a a b a b b b b a b ab⎛⎫-⎛⎫÷⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键．7.（1）化简：()()()22222a b a b a b +--+；（2）先化简222313(9369x xx x x x --÷---+，然后x 从-3、0、1、3中选择一个合适的数代入求值．【答案】（1）2510b ab +；（2）13x -+；14-.【分析】（1）先去括号，然后合并同类项，即可得到答案；（2）先化简分式，然后将x=1代入求值，即可得到答案.【详解】解：（1）()()()2222a b a b a b +--+=4a 2+b 2+4ab-2（2a 2-2b 2-3ab ）=4a 2+b 2+4ab-4a 2+4b 2+6ab=5b 2+10ab ；（2）222313()9369x xx x x x --÷---+=22233(3)()99(3)x x x x x x +--÷---=3(3)(3)x xx x x--⨯+-=13x -+；∵x 2-9≠0，x-3≠0，x 2-3x≠0，∴3x ≠±，0x ≠，当x=1时，原式=11134-=-+；【点睛】本题考查了整式的化简与分式的化简求值，熟练运用完全平方公式与分解因式是解题的关键．。

分式讲义（二）一、知识点：1．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.2．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂3．分式的运算法则：（1）乘法法则________________________________________（2）除法法则________________________________________二、范例讲解：题型一：通分.【例1】将下列各式分别通分.（1）c b a c a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--；（3）22,21,1222--+--x x x x x x x ； （4）aa -+21,2题型二：分式的乘除法 【例2】（1））223a 2y 4y 3a⋅ （2）22122a a a a+⋅-+（3））22224a b a b a a a b ab a --÷+- （4））2226631x x x x x x -++⋅--题型三：分式的混合运算【例3】计算：（1）42232)()()(a bc ab c c b a ÷-⋅-； （2）22233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+；题型四：分式的加减运算【例4】计算：（1）221214y y x y - （2） )8(5122y x a xy -÷（3）yx x y x ++-+32 （4）（11x y x y +-+）÷22xy x y -（5）y x y x y x -+-33 （6）题型五：化简求值题【例5】先化简后求值（1）已知：1-=x ，求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值；（2）已知：432z y x ==，求22232z y x xz yz xy ++-+的值；（3）已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a a a --的值. 22)(3)(3m n n n m m ---题型五：求待定字母的值【例6】若111312-++=--x Nx M x x ，试求N M ,的值.练习：1．计算（1）)1(232)1(21)1(252+-++--++a a a a a a ； （2）a b abb b a a ----222；（4）b a b b a ++-22； （5）2121111x x x ++++-；2．先化简后求值（1）1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a .（2）已知3:2:=y x ，求2322])()[()(y xx yx y x xy y x ÷-⋅+÷-的值.三．作业：1、有理式(1)－3x ；(2)y x； (3) 35+y ； (4)112--x x ；(5)－π-12m ，分式有（）个。

分式的四则运算课时目标1．理解通分的意义，理解最简公分母的意义.2．理解分式乘、除法，乘方的法则，会进行分式乘除运算. 3．明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算．知识精要1. 分式的乘除法法则a bcdacbd⋅=；abcdabdcadbc÷=⋅=当分子、分母是多项式时，则先分解因式，看能否约分，然后再相乘.2. 分式的加减法（1）同分母的分式加减法法则：acbca bc±=±.（2）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减. 3. 通分：根据分式的基本性质把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式的过程．4. 求最简公分母的法则（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；（3）相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的.5. 分式加减法的注意事项（1）通分的过程中必须保证化成的分式与其原来的分式相等，分式的分子、分母同时乘的整式是最简公分母除以分母所得的商；（2）通分后，当分式的分子是多项式时，应先添括号，再去括号合并同类项，从而避免符号错误.（3）分式的分子相加减后，若结果为多项式，应先考虑因式分解后与分母约分，将结果化为最简分式或整式.6. 分式乘方的法则：()a b a bn nn =（n 为正整数）注意：①分式的乘方，必须把分式加上括号.②在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算 乘、除，有多项式时应先分解因式，再约分.热身练习1. (－2b a)2n的值是（ ）A ．222n n b a +B ．－222n n b a +C ．42n n b aD ．－42nn b a2. 计算(2x y)2·(2y x )3÷ (－y x )4得（ ）A ．x 5B ．x 5yC ．y 5D ．x 153．计算（2x y ）·（y x ）÷（－y x ）的结果是（ ）A ．2x yB ．－2x y C ．x y D ．－x y4．（－2b m）2n +1的值是（ ）A ．2321n n b m ++B ．－2321n n b m ++C ．4221n n b m ++D ．－4221n n b m ++5．化简：(3x y z )2·(xz y )·(2yzx )3等于（ ）A ．232y z xB ．xy 4z 2C ．xy 4z 4D ．y 5z6.计算（1） 322)23(c ab - （2）43222)()()(xym m y x xy m ÷-⋅-（3） 22222)(b a b a b a b a +-÷+- （4）)4(3)98(23232b x b a xy y x ab -÷-⋅（5）22)2(4422-++---x x x x x x （6）6554651651222222-+-+-++--++x x x x x x x x x （7）()()222624x x x ---+ （8）223y xy xy xy x y x +-+++（9）545422++-+x x x （10）()2222222222945929y x xyy x y y x y x y x --+--+--精讲名题例1. 223342222333243)125()25(])4()8()4()2([xy y x xy y x y x xy --÷---⨯--例2. ()242223232222222+++++--+-a a a a a a a a例3. 计算：xx xx x x x x x x x 4122121035632222-+-++---+++例4. 已知0a b c ++=，求111111()()()a b c b c a c b a+++++的值例5.已知6112=++a a a ，试求1242++a a a 的值 例6. 1814121111842+-+-+-+--x x x x x例7. 计算 45342312+++++-++-++x x x x x x x x巩固练习类型一：分式的乘除运算（1）2222294255)23(m x m y x y x x m --⋅++- （2）xx x x x x x -++⋅+÷+--36)3(446222类型二：分式的加减运算（1） 2221311a a a a a ---+-- （2） 232a b c a b c b ca b c b c a c a b-+-+--++--+--（3）2422---x x x （4）22211y x xy x y x -+--+（5）224--+a a （6） 222244242x y y x y x y y x -+-++ (7) 已知y x a x y -=，y xb x y+=，求22a b -类型三：分式的混合运算(1)222244232n mn m n mn m n m n m +-+-+-- (2) 4222xx x x x x ⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭(3)245(3)33x x x x -÷----- (4)111111--++x x(5)2222222265232y x y x y xy x y x y xy x y xy x -+⋅---÷+++-(6)已知：,02=-y x 求()()323322y x y x y x y x +-÷+-类型四：化简求值类型题（1）13)11132(22--÷-+----x x x x x x x ．其中x ＝2（2）232282x x x x x +-++÷（2x x -·41x x ++）．其中x =－45．（3）当1x =时，226336x x x x x x --+⋅-+-的值为多少？类型五：分式的拆分 1．设n 为自然数，计算：)1(1431321211+++⨯+⨯+⨯n n .2．计算：)100)(99(1)2)(1(1)1(1++++++++x x x x x x .自我测试一、选择题2. 下列分式是最简分式的（ ） A ．ba a 232 B ．aa a 32- C ．22b a b a ++ D ．222b a ab a --3. 化简)2()242(2+÷-+-m mm m 的结果是（ ）A ．0B ．1C ．－1D ．（m ＋2）24. 已知2111=-b a ，则b a ab -的值是（ ）A ．21B ．21- C ．2 D ．－25. 化简(x y －y x ) ÷x yx -的结果是（ ）A ．1yB ．x y y +C ．x y y -D ．y二、填空题6. 如果分式23273x x --的值为0，则x 的值应为 .7. 化简： aa 12-÷(1+a 1)= ．8. 化简：4)222(2-÷--+x x x x x x 的结果为 ．9. 若x 2-3x +1=0，则2421x x x ++的值为_________．10.化简12-a ·442++a a ÷2+a ＋12-a ，其结果是________．三、计算题 11. 计算(1) 22399xx x --- (2) x x x x x x x x x x 23832372325322222--+--+++--+ (3)()()3232x y xy y x yx -+- (4))50153050152(5015222+-++---+-x x x x x x x x(5)aaa a a a -÷+--36)33( (6)5132651813261522-+÷----⨯-+-x x x x x x x x12.化简求值 (1)aa -+-21442，并求时原式的值.(2)先化简，再求值：1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a ．(3)按下列程序计算：答案平方−→−-−→−÷−→−+−→−−→−n n n n 填表并请将题中计算程序用代数式表达出来，并化简． 输入n 3… 输出答案 11分式的四则运算课时目标1．理解通分的意义，理解最简公分母的意义.2．理解分式乘、除法，乘方的法则，会进行分式乘除运算. 3．明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算．知识精要1. 分式的乘除法法则a b c d ac bd ⋅=；a b c d a b d c adbc÷=⋅= 当分子、分母是多项式时，则先分解因式，看能否约分，然后再相乘. 2. 分式的加减法（1）同分母的分式加减法法则：a cbc a bc±=±.（2）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减. 3. 通分：根据分式的基本性质把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等 的同分母的分式的过程． 4. 求最简公分母的法则（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取； （3）相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的. 5. 分式加减法的注意事项（1）通分的过程中必须保证化成的分式与其原来的分式相等，分式的分子、 分母同时乘的整式是最简公分母除以分母所得的商；（2）通分后，当分式的分子是多项式时，应先添括号，再去括号合并同类项， 从而避免符号错误.（3）分式的分子相加减后，若结果为多项式，应先考虑因式分解后与分母约分， 将结果化为最简分式或整式.6. 分式乘方的法则：()a b a bn nn =（n 为正整数）注意：①分式的乘方，必须把分式加上括号.②在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算 乘、除，有多项式时应先分解因式，再约分.热身练习1. (－2b a)2n的值是（ C ）A ．222n n b a +B ．－222n n b a +C ．42n n b aD ．－42nn b a2. 计算(2x y)2·(2y x )3÷ (－y x )4得（ A ）A ．x 5B ．x 5yC ．y 5D ．x 153．计算（2x y ）·（y x ）÷（－y x ）的结果是（ B ）A ．2x yB ．－2x y C ．x y D ．－x y4．（－2b m）2n +1的值是（ D ）A ．2321n n b m ++B ．－2321n n b m ++C ．4221n n b m ++D ．－4221n n b m ++5．化简：(3x y z )2·(xz y )·(2yzx )3等于（ B ）A ．232y z xB ．xy 4z 2C ．xy 4z 4D ．y 5z6.计算（1） 322)23(c ab - （2）43222)()()(x ym m y x xy m ÷-⋅-解： 原式=663827c b a - 解：原式=338ym x -（3） 22222)(b a b a b a b a +-÷+- （4）)4(3)98(23232b x b a xy y x ab -÷-⋅ 解：原式=))(()(223b a b a b a +-+ 解：原式=32916ax b（5）22)2(4422-++---x xx x x x （6）6554651651222222-+-+-++--++x x x x x x x x x解：原式=21-+x x 解：原式=64+-x x （7）()()222624x x x ---+ （8）223y xy x y xy x y x +-+++ 解：原式=21-x 解：原式=xy x y -3（9）545422++-+x x x （10）()2222222222945929y x xyy x y y x y x y x --+--+-- 解：原式=)1)(5(24-+-x x x 解：原式=0精讲名题例1. 223342222333243)125()25(])4()8()4()2([xy y x xy y x y x xy --÷---⨯-- 解：原式=)55()2222(426912624242669661244yx y x y x y x y x y x -÷⋅=)1()(51022y x y x -⋅=361yx -例2. ()242223232222222+++++--+-a a a a a a a a 解：原式=326322=++a a例3. 计算：x x xx x x x x x x x 4122121035632222-+-++---+++解：原式=)2)(2(12)1)(2()1()2)(5()1)(5(2-++-+---+++x x x xx x x x x x x=)2)(2(122121-+++---+x x x x x x =)2)(2(126-++x x x=26-x例4. 已知0a b c ++=，求111111()()()a b c b c a c b a+++++的值解：由已知得：a c b b c a c b a -=+-=+-=+,,∴原式=a cb c c b a b c a b a +++++ =acb c b a b c a +++++ =－3例5.已知6112=++a a a ，试求1242++a a a 的值 解：由已知得：612=++a a a ，即611=++aa 51=+∴a a 232)1(1222=-+=+∴aa a a2411122224=++=++∴a a a a a 2411242=++∴a a a例6. 1814121111842+-+-+-+--x x x x x 解：原式=181412128422+-+-+--x x x x =181414844+-+--x x x =181888+--x x =11616-x例7. 计算 45342312+++++-++-++x x x x x x x x 解：原式=411311211111++++--+--++x x x x =41312111+++-+-+x x x x =)3)(2(52)4)(1(52+++-+++x x x x x x=24503510104234+++++x x x x x巩固练习类型一：分式的乘除运算（1）2222294255)23(m x m y x y x x m --⋅++- （2）xx x x x x x --+⋅+÷+--36)3(446222解：原式=)23(5--x m y x 解：原式=22--x类型二：分式的加减运算（1） 2221311a a a a a ---+-- （2） 232a b c a b c b c a b c b c a c a b-+-+--++--+-- 解：原式=2- 解：原式=0（3）2422---x x x （4）22211y x xy x y x -+--+ 解：原式=2+x 解：原式=yx +2（5）224--+a a （6） 222244242x y y x y x y y x -+-++ 解：原式=242++-a a 解：原式=yx x 22+(7) 已知y x a x y -=，y xb x y+=，求22a b - 解：原式=4)2(2))((-=-⋅=-+yxx y b a b a类型三：分式的混合运算(1)222244232n mn m n mn m n m n m +-+-+-- (2) 4222xx x x x x ⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭ 解：原式=nm nm 222-- 解：原式=)2(2+x x(3)245(3)33x x x x -÷----- (4)111111--++x x 解：原式=22+-x 解：原式=)2)(1()1)(2(-+-+x x x x(5)2222222265232y x yx y xy x y x y xy x y xy x -+⋅---÷+++- 解：原式=yx yx 26+-(6)已知：,02=-y x 求()()323322y x y x y x y x +-÷+- 解：原式=))(()())(()(223334y xy x y x y x y x y x y x +--+=+-+又x y 2=，代入得： 原式=－9类型四：化简求值类型题（1）13)11132(22--÷-+----x x x x x x x ．其中x ＝2解：原式=34--x ， 当x ＝2时，原式=4.（2）232282x x x x x +-++÷（2x x -·41x x ++）．其中x =－45．解：原式=11+x ， 当x =－45时，原式=5.（3）当1x =时，226336x x x x x x --+⋅-+-的值为多少？ 解：原式=22-+x x ， 当1x =时，原式=－3.类型五：分式的拆分1．设n 为自然数，计算：)1(1431321211+++⨯+⨯+⨯n n . 解：原式=11141313121211+-++-+-+-n n =111+-n =1+n n3．计算：)100)(99(1)2)(1(1)1(1++++++++x x x x x x . 解：原式=100199********+-++++-+++-x x x x x x =10011+-x x =)100(100+x x 自我测试一、选择题A. a +bB. a -bC. a 2-b 2D. 12. 下列分式是最简分式的（ C ）A ．b a a232 B ．a a a 32- C ．22b a b a ++ D ．222b a ab a -- 3. 化简)2()242(2+÷-+-m mm m 的结果是（ B ） A ．0B ．1C ．－1D ．（m ＋2）2 4. 已知2111=-b a ，则b a ab -的值是（ D ） A ．21 B ．21- C ．2 D ．－2 5. 化简(x y －y x ) ÷x y x -的结果是（ B ） A ． 1y B ． x yy + C ． x yy - D ．y二、填空题6. 如果分式23273x x --的值为0，则x 的值应为 －3 . 7. 化简： aa 12-÷(1+a 1)= a －1 ． 8. 化简：4)222(2-÷--+x x x x x x 的结果为 x -6 ．10.化简122-+a a ·4412++-a a a ÷21+a ＋122-a ，其结果是11-a ． 三、计算题11. 计算(1) 22399x x x --- (2)x x x x x x x x x x 23832372325322222--+--+++--+ 解：原式=31+-x 解：原式=(3)()()3232x y xy y x yx -+- (4))50153050152(5015222+-++---+-x x x x x x x x 解：原式=2)(y x xy - 解：原式=53-x (5)aa a a a a -÷+--36)33( (6)5132651813261522-+÷----⨯-+-x x x x x x x x 解：原式=aa a a a a a a 633633-⋅+--⋅- 解：原式=252-x =)3(6361+-+-a a =31+-a12.化简求值 (1)aa -+-21442，并求3-=a 时原式的值. 解：原式=21+-a 当3-=a 时，原式=1.(2)先化简，再求值：1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a ． 解：原式=22--a a由已知得：02=-a a∴原式=－2(3)按下列程序计算：答案平方−→−-−→−÷−→−+−→−−→−n n n n 填表并请将题中计算程序用代数式表达出来，并化简． 输入n3 … 输出答案 1 1解：12=-+n nn n。

分式混合运算（讲义）知识点睛1.在进行分式的运算前，要先把分式的分子和分母__________．分式的乘除要__________，加减要___________，最后的结果要化成______________． 精讲精练1.分式的混合运算：（1）242222x xx x x⎛⎫++÷⎪--⎝⎭；（2）2111122xx x x⎛⎫-÷⎪-+-⎝⎭；（3）341132aaa a-⎛⎫⎛⎫+-⎪⎪--⎝⎭⎝⎭；（4）2344111x xxx x-+⎛⎫+-÷⎪--⎝⎭；（5）22352692x xxx x x-⎛⎫⋅--⎪-+-⎝⎭；（6）11-+aa221aa a-÷-+a1；（7）222222422444x x xx x x x x⎛⎫--+⋅⎪+-++⎝⎭．2.化简求值：（1）先化简，再求值：22112111x x xx x x x⎛⎫--+÷⎪-++-⎝⎭，其中x=3．（2）先化简，再求值：2222211b a ab baa ab a a b⎛⎫-+⎛⎫÷++⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中11a b==，．（3）先化简分式221221x x x xx x x x-⎛⎫-÷⎪---+⎝⎭，然后从13x-≤≤中选取一个你认为合适的整数x代入求值．（4）先化简分式3423332a a aaa a a+-+⎛⎫-÷⋅⎪+++⎝⎭，然后从不等式组25<324aa--⎧⎨⎩≤的解集中选取一个你认为符合题意的a代入求值．3.化简：22111a aaba ab--÷⋅+，并选取一组你喜欢的整数a，b代入求值．小刚计算这一题的过程如下：22(1)(1)1111(1)(1)1a a aaba aba aaba a abab+--=÷⋅++-=⋅⋅+-=解：原式①②③当a=1，b=1时，原式=1．④以上过程有两处错误，第一次出错在第______步（填写序号），原因：_____________________________________________；还有第_______步出错（填写序号），原因：___________________________________________________．请你写出此题的正确解答过程．4. 课堂上，王老师出了这样一道题：已知2018x =-22213111x x x x x -+-⎛⎫÷+ ⎪-+⎝⎭的值． 小明觉得直接代入计算太复杂了，同学小刚帮他解决了问题，并解释说：“结果与x 无关”．解答过程如下：2(1)13(1)(1)1111112(1)12_________x x x x x x x x x x x x -++-=÷+-+-=÷+-+=⋅+-=原式①②③④当2018x =-12=原式． （1）从原式到步骤①，用到的数学知识有_______________； （2）步骤②中空白处的代数式应为_____________________；（3）从步骤③到步骤④，用到的数学知识有_____________．5. 有两个熟练工人甲和乙，已知甲每小时能制作a 个零件，乙每小时能制作b 个零件．现要赶制一批零件，如果甲单独完成需要m 小时，那么甲、乙两人同时工作，可比甲单独完成提前_______________小时．6. 若把分式x yx y +-中的x 和y 都扩大为原来的10倍，则分式的值（ ）A ．扩大为原来的10倍B ．不变C ．缩小为原来的110D ．不能确定7. 若把分式2x yxy +中的x 和y 都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）A ．扩大为原来的3倍B ．不变C ．缩小为原来的13D ．缩小为原来的168. 已知53m n =，则222m m n m n m n m n +-=+--__________．9. 已知34(1)(2)12x A Bx x x x -=+----，则A =______，B =______．分式混合运算（习题）例题示范例2：先化简(1)211x x xx x x +⎡⎤+÷⎢⎥--⎣⎦，然后在22x -≤≤的范围选取一个你认为合适的整数x 代入求值． 【过程书写】2221122112x x x x xx x x x x x x ++--=⋅--=⋅-=-解：原式∵22x -≤≤，且x 为整数∴使原式有意义的x 的值为-2，-1或2 当x =2时，原式=-2巩固练习1. 计算：（1）22221244x y x y x y x xy y ---÷+++；（2）211121a a a a ⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭；（3）22221a a b a ab a b ⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭；（4）2286911y y y y y y ⎛⎫-+--÷ ⎪++⎝⎭；（5）2221122a ab b a bb a -+⎛⎫÷- ⎪-⎝⎭； （6）24421x x x x -+⎛⎫÷- ⎪⎝⎭；（7）2234221121x x x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪---+⎝⎭； （8）352242x x x x -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭； （9）253263x x x x --⎛⎫÷-- ⎪--⎝⎭；（10）211(1)111xx x⎛⎫---⎪-+⎝⎭；（11）22221113x yx y x y x xy x y⎛⎫⎛⎫--⋅÷--⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭．2.化简求值：（1）先化简，再求值：2121122x xx x++⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中1x=．（2）先化简，再求值：2222225321x y xx y y x x y xy⎛⎫++÷⎪---⎝⎭，其中x=，y=．（3）先化简22212211211x x x xx x x x++-⎛⎫+÷+⎪--+-⎝⎭，然后在22x-≤≤的范围内选取一个合适的整数x代入求值．（4）已知222111x x x A x x ++=---． ①化简A ；②当x 满足不等式组1030x x -⎧⎨-<⎩≥，且x 为整数时，求A 的值．3. 不改变分式2132113x y x -+的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（ ）A ．263x y x -+B ．218326x y x -+C ．2331x y x -+D ．218323x y x -+4. 把分式32a bab -中的分子、分母的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）A ．不变B ．扩大为原来的2倍C ．扩大为原来的4倍D ．缩小为原来的125. 把分式34a bab -中a ，b 的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）A ．不变B ．扩大为原来的2倍C ．扩大为原来的4倍D ．缩小为原来的126. 把分式222xy x y +中x ，y 的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）A ．不变B ．扩大为原来的2倍C ．扩大为原来的4倍D ．缩小为原来的127. 已知47(2)(3)23x A Bx x x x +=+-+-+，则A =_______，B =_______．分式方程及其应用（讲义）知识点睛1. 分式方程的定义：__________________的方程叫做分式方程．2. 解分式方程：根据________________，把分式方程转化为__________求解，结果必须_______，因为解方程的过程中有可能产生______．增根产生的原因是方程两边同乘了一个_________________． 3. 列分式方程解应用题，也要进行___________．精讲精练1. 下列关于x 的方程是分式方程的有__________．（填写序号）①315x -=；②x x π=π；③11123x y -=；④1152x x +=+；⑤11x a b =-．2. 已知方程2512kx x +=+的解为1x =，则k =_________．3. 解分式方程：（1）2115225x x x ++=--； （2）100602020x x =+-； （3）3201(1)x x x x +-=--；（4）2216124x x x ++=---； （5）2236111x x x +=+--； （6）2221114268x x x x x +-=----+．4.对于分式方程，下列说法一定正确的是（ ）A ．只要是分式方程，一定有增根B ．分式方程若有增根，把增根代入最简公分母，其值一定为0C ．使分式方程中分母为零的值，都是此方程的增根D ．分式方程化成整式方程，整式方程的解都是原分式方程的解5.若分式方程1322m xx x-=---有增根，则m的值为（）A．2 B．3 C．1 D．1-6.若分式方程11222kxx x-+=--有增根，则k的值为（）A．2-B．1-C．1 D．27.若分式方程61(1)(1)1mx x x-=+--有增根，则它的增根是（）A．0 B．1 C．1-D．1和1-8.若分式方程342(2)ax x x x=+--有增根，则增根可能为（）A．0 B．2 C．0或2 D．19.某校用420元钱到商店购买笔记本，经过还价，每本便宜0.5元，结果多买了20本，则原价每本多少元？设原价每本x元，则由题意列出的方程为（）A．420420200.5x x-=-B．420420200.5x x-=- C．4204200.520x x-=-D．4204200.520x x-=-10.已知A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时．若水流速度为4千米/时，设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则由题意列出的方程为（）A．4848944x x+=+-B．4848944x x+=+- C．4849x+=D．9696944x x+=+-11.为保证某高速公路在2018年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完成修建任务．已知甲队单独完成这项工程比规定时间多用10天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用40天，如果甲、乙两队合作，可比规定时间提前14天完成任务．若设规定的时间为x天，则由题意列出的方程为（） A．111104014x x x+=--+B．111104014x x x+=++-C．111104014x x x-=++- D．111101440x x x+=-+-12.某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的54倍，购进数量比第一次少了30支．（1）第一次每支铅笔的进价是多少元？（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，则每支售价至少是多少元？13. 公交快速通道开通后，小王上班由骑电动车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点9千米，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他骑电动车平均每小时行驶的路程的1.5倍还多5千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车所用时间是骑电动车所用时间的47．小王骑电动车上班平均每小时行驶多少千米？分式方程及其应用（习题）例题示范例1：解分式方程：11322xx x -=---．【过程书写】1(1)3(2)1136242x x x x x x =----=-+-+==解：检验：把x =2代入原方程，不成立 ∴x =2是原分式方程的增根 ∴原分式方程无解例2：八年级（1）班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校120km ．一部分学生乘慢车先行，出发0.5h 后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，求慢车的速度.【思路分析】列表梳理信息：【过程书写】解：设慢车的速度为x km/h ，则快车的速度为1.2x km/h ，由题意得，1201200.51.2x x =- 解得，x =40经检验：x =40是原方程的解，且符合题意答：慢车的速度是40km/h ．巩固练习1. 下列关于x 的方程，其中不属于分式方程的是（ ）A ．1a b a x a ++=B ．x a b x b a +=-11C ．b x a a x 1-=+D ．1=-+++-n x m x m x n x2. 解分式方程2236111x x x +=+--分以下四步，其中错误的一步是（ ）A ．方程两边分式的最简公分母是(1)(1)x x -+B ．方程两边都乘以(1)(1)x x -+，得整式方程2(1)3(1)6x x -++= C ．解这个整式方程，得1x = D ．原方程的解为1x =3. 张老师和李老师同时从学校出发，骑行15千米去县城购买书籍．已知张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，则两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x 千米，依题意可列方程为（ ）A ．1515112x x -=+ B ．1515112x x -=+ C ．1515112x x -=- D ．1515112x x -=-4. 若方程61(1)(1)1mx x x -=+--有增根，则m =_________．5. 如果解关于x 的分式方程1134x m x x +-=-+出现了增根，那么增根是___________．6. 解分式方程：（1）43(1)1x x x x +=--； （2）22(1)23422x x x x +=+--+；（3）23112x x x x -=+--； （4）11222x x x -=---．7.某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8 800件投入市场．已知该服装厂有A，B两个制衣车间，A车间每天加工的数量是B车间的1.2倍．A，B两车间共同完成一半的生产任务后，A车间因出现故障而停产，剩下的全部由B车间单独完成，结果前后共用了20天完成全部生产任务．则A，B两车间每天分别能加工多少件该款夏装？【思路分析】列表梳理信息：【过程书写】8.某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求．商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但是单价贵了4元．商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元，最后剩下150件按八折销售，很快售完．在这两笔生意中，商厦共盈利多少元？【思路分析】列表梳理信息：【过程书写】。