辽宁省本溪市中考数学试卷及答案

2010年本溪市初中毕业生学业考试数 学 试 卷考试时间：120分钟 试卷满分150分一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案的选项填在下表相应题号下的空格内，每小题3分，共24分） 1． （2010本溪，1，3分）－8的绝对值是（ ）A ．－8B ．8C ．±8D ．－18【分析】绝对值表示该点到原点的距离，因为－8到原点的距离为8，故选B. 【答案】B【涉及知识点】绝对值【点评】本题属于基础题，主要考查学生对概念的掌握是否全面，考查知识点单一，有利于提高本题的信度．【推荐指数】★2． （2010本溪，2，3分）在平面直角坐标系中，点（-2，3）所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】根据平面直角坐标系各象限内点的特点，（－,＋）应位于第二象限，故选B. 【答案】B【涉及知识点】平面直角坐标系【点评】本题主要考查学生对平面直角坐标系各象限内点的特点的掌握情况. 【推荐指数】★3． （2010本溪，3，3分）不等式2x －4≥0的解集在数轴上表示为（ ）0 2A 0 2B 02C 0 2D【分析】先解出不等式的解集，在检查那个选项表示正确即可. 【答案】D【涉及知识点】不等式 数轴【点评】解答此题时要注意：有等于时用实心，无等于时用空心【推荐指数】★★4． （2010本溪，4，3分）一个正方形的平面展开图如图1所示， 将它折成正方体后，“保”字对面的字是（ ）A ．碳B ．低C ．绿D ．色 图1【分析】此题只要想象其空间立体图形与平面展开图对应关系，即可轻松解题． 【答案】A【涉及知识点】平面展开图【点评】平面展开图的考查一般不难，平时要加强空间想象能力的训练. 【推荐指数】★★5． （2010本溪，5，3分）八边形的内角和是（ ）A ．360°B ．720°C ．1080°D ．1440°【分析】根据多边形内角和公式(n －2)·180°． 【答案】C【涉及知识点】多边形内角和【点评】此类题只要牢记公式，即可轻松求解． 【推荐指数】★6． （2010本溪，6，3分）一个不透明的布袋中，装有红、黄、白三种只有颜色不同的小球，其中红色小球有8个，黄、白色小球的数目相.为估计袋中黄色小球的数目，每次将袋中小球搅匀后摸出一个小球记下颜色，再次搅匀……多次试验发现摸到红球的频率是16，则估计黄色小球的数目是（ ） A ．2个B ．20个C ．40个D ．48个【分析】根据频率与频数的关系：频率＝频数总数，即可求解.【答案】D【涉及知识点】频率 频数【点评】此题考查频率与频数的关系，只要牢记公式，即可.【推荐指数】★★7． （2010本溪，7，3分）如图2所示，已知圆锥的母线长为6cm ，底面圆的半径为3cm ，则此圆锥侧面展开图的圆心角是（ ） A ．30°B ．60°C ．90°D ．180°图2【分析】方法一：直接用公式180n Rl π=︒；方法二：利用扇形弧长与其所在圆的周长比＝扇形圆心角与360°的比，进行求解.【答案】D【涉及知识点】圆锥侧面展开图【点评】方法二是在公式记忆不牢时的一个补救办法，要理解运用. 【推荐指数】★★8． （2010本溪，8，3分）如图3所示，已知菱形OABC ，点C 在x 轴上，直线y =x 经过点A ，菱形OABC 的面积是2．若反比例函数的图象经过点B ，则此反比例函数表达式为（ ）图3A ．1y x=B．y C．y =D．y 【分析】设B 点的纵坐标为y ，则OA ＝2y ，因为OABC 是菱形，所以OC ＝OA ＝2y ，因为菱形OABC 的面积是2，即2y －y ＝2，y ＝1，易得B 点的横坐标为：（2+1，1），将B 点坐标带人y ＝k x中，求出k ＝2+1，故选C ．【答案】C【涉及知识点】反比例函数,菱形【点评】此题求出B 点坐标是解题的关键，利用菱形的面积这个已知条件，找出等量关系，即可求出B 点坐标．【推荐指数】★★★★二、填空题（每小题3分，共24分）9． （2010本溪，9，3分）世博网5月26日消息：截至当晚20时，上海世博会参观者累计超过6000000人次，将6000000人次用科学记数法表示为 人次. 【分析】把一个整数或有限小数记成a ×10n的形式，其中n 是整数，1≤∣a ∣＜10. 【答案】6×106【涉及知识点】科学记数法【点评】规律：原数的绝对值大于10时，写成a ×10n形式，n 等于原数的整数位减1，原数的绝对值小于1时，写成a ×10－n形式，n 等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前的零）.【推荐指数】★★10． （2010本溪，10，3分）一元二次方程14x 2－1＝0的解是 .【分析】用开平方法即可求解. 【答案】x ＝±2【涉及知识点】一元二次方程【点评】本题主要考查用开平方法解一元二次方程. 【推荐指数】★11． （2010本溪，11，3分）如图4所示，△ABC 内接于⊙O ，∠A =40°，则∠OBC 的度数是 .图4【分析】由图可知，∠OBC ＝2∠A ＝2×40°＝80° 【答案】80°【涉及知识点】圆心角，圆周角【点评】同弧所对的圆心角是圆周角的2倍. 【推荐指数】★★★12． （2010本溪，12，3分）一组数据：－2，0，3，1，3，2的中位数和极差分别是 .【分析】要从小到大排序后，中间是1和2，所以中位数是1.5；最大数减最小数得5，所以极差是5．【答案】1.5和5【涉及知识点】中位数, 极差【点评】找中位数一定要从小到大排序；极差＝最大数－最小数． 【推荐指数】★★13． （2010本溪，13，3分）用彩色和单色的两种地砖铺地，彩色地砖14元/块，单色地砖12元/块，若单色地砖的数量比彩色地砖的数量的2倍少15块，买两种地砖共用了1340元，设购买彩色地砖x 块，单色地砖y 块，则根据题意可列方程组为 . 【分析】根据总价可列出方程14x ＋12y ＝1340；根据两者间的数量关系可列出方程y ＝2x －15．【答案】14121340215x y y x +=⎧⎨=-⎩，，【涉及知识点】二元一次方程组【点评】此题考查二元一次方程组应用，题目较简单，细心分析即可. 【推荐指数】★★14． （2010本溪，14，3分）如图5所示，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)经过原点和点（－2，0），则2a －3b 0.(＞、＜或＝)C图5【分析】由图可知，开口向下，所以a <0;抛物线经过原点，所以c＝0，又因为抛物线经过（－2，0），可得4a －2b ＝0，即b ＝2a ,所以2a －3b ＝2a －6a ＝－4a ＞0．【答案】＞【涉及知识点】抛物线【点评】此题重点考查数型结合思想，需要对抛物线的图像深刻理解. 【推荐指数】★★★15． （2010本溪，15，3分）过□ABCD 对角线交点O 作直线m ，分别交直线AB 于点E ，交直线CD 于点F ，若AB ＝4，AE ＝6，则DF 的长是 .【分析】通过画图可知，m 与AB 、CD 的延长线相交，通过三角形全等即可得出结论. 【答案】2【涉及知识点】平行四边形，三角形全等【点评】此题重点考查学生的作图能力，只要能够正确作图，题目就可一目了然. 【推荐指数】★★★16． （2010本溪，16，3分）观察下列图形图6它们是按一定规律构造的，依照此规律，第100个图形中共有 个三角形. 【分析】第一个中有2个三角形，第二个中有5个，第三个中有8个，…依次类推，第100个图形中共有2+3(n －1)个三角形．【答案】3n －1【涉及知识点】规律探究【点评】只要将前三个图形中的三角形个数找出来，不难发现其中的规律是相差3.第1个图形第2个图形 第3个图形……【推荐指数】★★★三、解答题（17题6分，18题8分，共14分）17． （2010本溪，17，6分）计算：8＋3×(－13)－2－(2010－π)0－4sin45°【答案】解：原式＝22＋3×9－1－4×22 ＝22＋27－1－2 2 ＝26【涉及知识点】三角函数，负指数幂，0次幂，实数的混合运算【点评】一个数的负指数幂等于它的倒数的正指数幂；任何不为0的数的0次幂都等于0.【推荐指数】★★★18． （2010本溪，18，3分）先化简再求值：22693216284a a a a a a a +++÷---+，其中a ＝2. 【分析】先分解因式，然后把除法变成乘法，再约分. 【答案】解：原式＝2(3)2(4)4(4)(4)32a a a a a a a+-+⨯-+-+ ＝aa a a 244)3(2+-++ ＝)4(2)4()4(2)3(42++-++a a a a a a a＝)4(216812422+---+a a a a a a＝)4(216432+-+a a a a所以，原式＝)42(221624232+⨯-⨯+⨯＝244＝61.【涉及知识点】因式分解，分式的化简【点评】此题在求解过程中，千万不可把“－”当“· ”，进行约分，这也是此题最容易出错的地方.【推荐指数】★★★四、解答题（每题10分，共20分）19． （2010本溪，19，10分）如图7，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）以直线BC 为对称轴作△ABC 的轴对称图形，得到△A 1BC ，再将△A 1BC 绕着点B 逆时针旋转90°，得到△A 2BC 1，请依此画出△A 1BC 、△A 2BC 1；（2）求线段BC 旋转到BC 1过程中所扫过的面积（计算结果用π表示）.图7【分析】（1）作已知图形的轴对称图形，需找准对称轴，再作出特征点的对称点；将已知图形的旋转，需看清旋转中心、旋转角和旋转方向；（2）观察可知，线段BC 旋转到BC 1过程中所扫过部分为90°扇形，求其面积较易．【答案】解：（1）如图所示：（2）BC 旋转到BC 1时旋转角为90°，半径为4． ∴旋转过程中所扫过的面积为90π×42360 ＝4π．答：线段BC 旋转到BC 1过程中所扫过的面积为4π． 【涉及知识点】轴对称 旋转 扇形面积ABCA BCA 1A 2C 1【点评】本题考查了学生的基本作图能力，以及基础知识的掌握情况．属于中等难度的试题，具有一定的区分度．【推荐指数】★★★20． （2010本溪，20，10分）甲、乙两人从同一幅扑克牌中拿出8张牌玩抽牌游戏，甲手中的四张牌分别是2、2、3、4，乙手中的四张牌分别是3、4、5、5，两人分别从对方牌中任意抽取一张(彼此看不到对方的牌)，然后将牌面上的数字相加，若和为奇数则甲赢，否则已赢.（1）请用列表法或树状图求出甲赢的概率；（2）这个游戏公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请在不改变规则的情况下，从甲、乙手中各选择一张牌进行交换，使游戏公平（写出一种方案即可，不必说明理由）. 【分析】（1）利用列表法和树状图分析的关键是要将事件适当的分解为第一次、第二次，并分别正确找出两次的可能结果，不多不漏；(2)我们知道当事件发生的概率相同时，游戏是公平的，由(1)可计算出事件的概率，则公平性较易判断．【答案】解：（1）列表法如图所示：3 4 5 52 (2，3) (2，4) (2，5) (2，5) 2 (2，3) (2，4) (2，5) (2，5)3 (3，3) (3，4) (3，5) (3，5)4 (4，3) (4，4) (4，5) (4，5)树状图：一共有16种结果，并且每种结果出现的可能性相同，其中和是奇数的有10种情况，因此P (甲赢)＝1016 ＝58．23 4 5 523 4 5 5 3 3 4 5 5 43 4 5 5 开始甲乙 和 5 6 7 7 5 6 7 7 6 7 8 8 7 8 9 9乙甲（2）此游戏不公平．因为P (甲赢)＝58＞12，所以甲获胜的概率大．（方法不唯一）调换方法：甲用一张偶数牌换乙一张奇数牌．等 【涉及知识点】列表法树状图 概率 公平问题中设计游戏规则问题【点评】自从课改添加概率部分知识后，此类问题已经成为中考必考内容之一，因为它不仅考查学生的基础知识掌握能力，同时可联系实际问题考查学生分析问题解决问题的综合能力，难度一般，少创意，属于常规题．【推荐指数】★★★五、解答题（每题10分，共20分）21． （2010本溪，21，10分）溪湖区老年人、成年人、青少年各年龄段的实际人口比是3：5：2，为了解该地区20万读者对工具书、小说、诗歌、漫画四类图书的喜爱情况，按上述比例随即抽取一定数量的读者进行调查（每人只选一类图书），根据调查结果绘制了两幅尚不完整的统计图：根据统计图所提供的信息，完成下列问题； (1)本次共调查了 名读者； (2)补全两幅统计图；(3)估计该地区青少年中喜爱漫画的读者大约有多少名？【分析】（1）方法较多，喜爱工具书共80人占总人数的40％，所以总人数＝80÷40％＝200人；（2）由（1）结论结合统计图容易补全两幅统计图；（3）此问为样本估计整体，较易．【答案】解：(1)200；(2)补全的统计图，如图所示：图书种类工具书小说 漫画诗歌805624100 8060 4020 0喜爱人数漫画20% 工具书 40%小说诗歌12%喜欢漫画的人数：200－80－56－24＝40喜欢小说的人数占总人数的百分比：1―20%―40%―12%＝28%； （3）20×23＋5＋2×20%＝0.8（万人），答：略．【涉及知识点】条形统计图 扇形统计图 统计初步【点评】解决此类问题，同学们必须牢固掌握统计初步的基础知识，善于从统计图中获取相关信息，并具备良好的分析数据的能力．【推荐指数】★★★★22． （2010本溪，22，10分）已知：如图8，在△ABC 中，∠A =45°，以AB 为直径的⊙O交AC 于点D ，且AD =DC ，CO 的延长线交⊙O 于点E ，过点E 作弦EF ⊥AB ，垂足为点G . （1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）若AB ＝2，求EF 的长.图8【分析】（1）因为已知AB 是⊙O 的直径，所以要证明BC 是⊙O 的切线，只要证明AB ⊥BC 即可．可思考利用已知的EF ⊥AB ；（2）题目中存在大量的等腰直角三角形，所以可考虑运用三角函数解直角三角形解决．【答案】解：(1)证法一：连接OD ，则OD ＝OA ．∴∠ADO ＝∠A ＝45°． ∴∠AOD ＝180°－45°－45°＝90°，AEF G OCD漫画20% 工具书 40%小说 28％诗歌12%图书种类工具书小说 漫画诗歌805624100 8060 4020 0喜爱人数40∵O 为AB 中点，D 为AC 中点，∴OD ∥BC ，∴∠ABC ＝∠AOD ＝90°． ∴直径AB ⊥BC ，∴BC 是⊙O 的切线．证法二：连接BD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°． 又∵AD ＝DC ，∴AB ＝CB ，∴∠ACD ＝∠CAB ＝45°， ∴∠ABC ＝180°―∠ACB ―∠CAB ＝90°， 又∵AB 是⊙O 的直径，∴BC 是⊙O 的切线．（2）解：在Rt△ABC 中，BC ＝AB ·tan∠A ＝2×tan45°＝2， 在Rt△OBC 中，OC ＝OB 2＋BC 2＝12＋22＝5， ∵AB ⊥EF ，∴∠EGO ＝90°，∴∠EGO ＝∠ABC 又∠EOG ＝∠COB ，∴△OEG ∽△OCB ，∴EG BC ＝OE OC ，即EG 2＝15，EG ＝255． ∵直径AB ⊥EF ，∴EF ＝2EG ＝455．【涉及知识点】切线的判定 解直角三角形 勾股定理 锐角三角函数【点评】本题将切线的判定、解直角三角形等知识的考查有机结合．学生需具备对这些知识的综合应用能力，方能解决问题．考查知识点较多，难度较大，区分度高．【推荐指数】★★★★六、解答题（23题10分，24题12分，共22分）23． （2010本溪，23，10分）一艘轮船向正东方向航行，在A 处测得灯塔P 在A 的北偏东60°方向，航行40海里到达B 处，此时测得灯塔P 在B 的北偏东15°方向上. （1）求灯塔P 到轮船航线的距离PD 是多少海里？（结果保留根号）（2）当轮船从B 处继续向东航行时，一艘快艇从灯塔P 处同时前往D 处，尽管快艇速度是轮船速度的2倍，但快艇还是比轮船晚15分钟到达D 处，求轮船每小时航行多少海里？（结果保留到个位，参考数据：3≈1.73）.图9【分析】（1）PD 可以看做是Rt △ADP 和Rt △BDP 中的一条直角边，但是已知条件中AB ＝40，以及一些已知角度，这些条件并不能直接求解PD ．要利用AB ＝40和∠PAD ＝30°，需建立一个以AB 为边∠PAD 为一内角的直角三角形，故过点B 作BC ⊥AP 于点C ，这样就出现了两个特殊的直角三角形，即可轻松解决问题；（2）结合（1）结论，找出问题中的等量关系：快艇还是比轮船晚15分钟到达，即可解决问题．【答案】(1) 过点B 作BC ⊥AP 于点C ，在Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°， ∴BC ＝12AB ＝20，AC ＝AB ·cos30°＝203．∵∠PBD ＝90°－15°＝75°，∠ABC ＝90°－30°＝60°，∴∠CBP ＝180°－75°－60°＝45°，∴PC ＝AC ＋PC ＝(20＋203)海里．∵PD ⊥AD ，∠PAD ＝30°，∴PD ＝12AP ＝10＋103．答：略．（2）设轮船每小时航行x 海里， 在Rt △ADP 中，AD ＝AP ·cos30°＝32(20＋203)＝(30＋103)海里． ∴BD ＝AD －AB ＝30＋103－40＝(103－10)海里． 103－10x ＋1560＝103＋102x，解得x ＝60－203． 经检验，x ＝60－203是原方程的解．∴x ＝60－203≈x ＝60－20×1.73＝25.4≈25． 答：略．【涉及知识点】解直角三角形 近似数AB D PC【点评】本题为典型的航海类问题．解直角三角形是初中阶段数形结合的一个重要的知识点，所以其实际应用一直都是中考热点问题．本题的（1）（2）两问衔接恰当，（1）问为（2）问的解决卸下了不少难度，且解法较多，涉及数据较复杂，是一道很好的解直角三角形实际应用问题．【推荐指数】★★★★24．（2010本溪，24，12分）自2010年6月1日起我省开始实施家电以旧换新政策，消费者在购买政策限定的新家电时，每台新家电用一台同类的旧家电换取一定数额的补贴.为确保商家利润不受损失，补贴部分由政府提供，其中三种家电的补贴方式如下表:为此，某商场家电部准备购进电视、洗衣机、冰箱共100台，这批家电的进价和售价如下表：设购进的电视机和洗衣机数量均为x台，这100台家电政府需要补贴y元，商场所获利润w元（利润=售价-进价）（1）请分别求出y与x和w与x的函数表达式；（2）若商场决定购进每种家电不少于30台，则有几种进货方案？若商场想获得最大利润，应该怎样安排进货？若这100台家电全部售出，政府需要补贴多少元钱？【分析】（1）根据题意找出三种家电各自的补贴金额分别为：400、180、240元，即可较为容易的求出两个函数表达式，要注意的是，政府补贴与否不影响商场的利润；（2）根据（1）寻找不等关系，建立不等式组即可求得x的取值范围，要注意x为整数，所以可以知道x的取值是有限个，方案也是有限个．再根据w与x的函数表达式，分析函数增减性，可求得最大利润．【答案】解：（1）y＝400x＋1800×10％x＋2400×10％x(100－2x)＝400x ＋180x ＋24000－480x ＝100x ＋24000w ＝400x ＋300x ＋400(100－2x )＝－100x ＋40000（2）根据题意，得30100230x x ≥⎧⎨-≥⎩，解得，30≤x ≤35．又因为x 为整数，所以x ＝30、31、32、33、34、35．因此共有6种进货方案． 对于w ＝－100x ＋40000．∵k ＝－100＜0，30≤x ≤35，∴当x 取最小值30时，w 有最小值．所以当购进30台电视，30台洗衣机，40台冰箱时商场最终获得最大利润． 因此，政府补贴为y ＝100×30＋24000＝27000（元）【涉及知识点】一次函数的实际应用 最值问题 不等式组的实际应用【点评】本题通过2009年热点问题，将一次函数问题与不等式组最值问题联系起来综合考查．从题目设计来看，是套用2009家电下乡问题的模型，新意不大．【推荐指数】★★★★ 七、解答题（本题12分）25． （2010本溪，25，12分）在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，∠B =30°，线段AD 是BC 边上的中线，如图①，将△ADC 沿直线BC 平移，使点D 与点C 重合，得到△FCE ，如图②，再将△FCE 绕点C 顺时针旋转，设旋转角为α（0°＜α≤90°），连接AF 、DE . （1）在旋转过程中，当∠ACE =150°时，求旋转角α的度数；（2）探究旋转过程中四边形ADEF 能形成那些特殊四边形？请说明理由.图②B备用图图①备用图【分析】（1）由题意分析可知此问需分两种情况讨论：①当点E 和点D 在直线AC 两侧；②当点E 和点D 在直线AC 同侧；（2）在旋转过程中，总是存在AC ＝CE ，DC ＝CE ．由图形的对称性可知，将会出现两种对角线相等的特殊四边形：等腰梯形和矩形．抓住平移和旋转的性质，较易证明．【答案】解：（1）在图①中，∵∠BAC ＝90°，∠B ＝30°，∴∠ACE ＝∠BAC ＋∠B ＝120°． 如图②，当点E 和点D 在直线AC 两侧时，由于∠ACE 1＝150°，∴α＝150°－120°＝30°，当点E 和点D 在直线AC 同侧时，由于∠ACB ＝180°－∠BAC －∠B ＝60°， ∴∠DCE 2＝∠ACE 2－∠ACB ＝150°－60°＝90°，∴α＝180°－∠DCE 2＝90°， ∴旋转角α为30°或90°．（2）四边形ADEF 能形成等腰梯形和矩形． 证法一：∵∠BAC ＝90°，∠B ＝30°，∴AC ＝12BC ．又∵AD 是BC 边上的中线，∴AD ＝DC ＝12BC ＝AC ，∴△ADC 为正三角形．①当α＝60°时，如图③，∠ACE ＝120°＋60°＝180° ∵CA ＝CE ＝CD ＝CF ，∴四边形ADEF 为平行四边形， 又∵AE ＝DE ，∴四边形ADEF 为矩形．②当α≠60°时，∠ACF ≠120°，∠DCE ＝360°－60°－60°－∠ACF ≠120°． 显然DE ≠AF ．∵AC ＝CF ，CD ＝CE ，∴2∠FAC ＋∠ACF ＝2∠CDE ＋∠DCE ＝180° ∵∠ACF ＋∠DCE ＝360°－60°－60°＝240°∴∠FAC ＋∠CDE ＝60°，∴∠DAF ＋∠ADE ＝120°＋60°＝180°，∴AF ∥DE ． 又∵DE ≠AF ，AD ＝EF ，∴四边形ADEF 为等腰梯形．证法二：∵AC ＝DF ，CD ＝CE ，∴2∠FAC＋∠ACF＝2∠CDE＋∠DCE＝180°图③EF∵∠ACF＋∠DCE＝360°－60°－60°＝240°，∴∠FAC＋∠CDE＝60° ∴∠DAF＋∠ADE＝120°＋60°＝180°，∴AF∥DE．①当α＝60°时，∠ACF ＝∠DCE ＝120°，又AC ＝CF ，DC ＝CE ，∴△ACF ≌△DCE ∴AF＝DE ，∴四边形ADEF 为平行四边形， ∵∠BAC ＝90°，∠B ＝30°，∴AC ＝12BC ．又∵AD 是BC 边上的中线，∴AD ＝DC ＝12BC ＝AC ，∴△ADC 为正三角形．即∠CAD ＝60°．△ACF 中，∠CAF ＝30°，∠DAF ＝∠CAF ＋∠CAD ＝90°，∴四边形ADEF 为矩形． ②当α≠60°时，∠ACF ≠120°，∠DCE ＝360°－60°－60°－∠ACF ≠120°．显然DE ≠AF ．又AF ∥DE ，∴四边形ADEF 为梯形，又AD ＝EF ，∴四边形ADEF 为等腰梯形． 【涉及知识点】平移 旋转 矩形的判定 等腰梯形的判定 动态探究问题【点评】本题融合平移旋转等动态问题为考生创建了一个探究的情景，一个思维的空间．解答中考生需要分类讨论、自主探究、叙述推理，涉及知识点较多，能力考查全面，符合课改要求，是一道很好的动态探究题．【推荐指数】★★★★★ 八、解答题（本题14分）26． （2010本溪，26，14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax 2+b x +c (a ≠0)与x轴相交于点A 、B （点A 在点B 的左边），与y 轴相交于点C （0，3），顶点P 的坐标是（1，4），对称轴与x 轴相交于点D .（1）求出抛物线y=ax 2+b x +c 的表达式，及点A 、B 的坐标；（2）如图，点M 与点C 关于直线PD 对称，连接MA 、MB 、MO ，过点D 作DE ∥O M 交线段MB 于点E ，连接OE 、△BOE 的面积记为S 1，△MOE 的面积记为S 2，△MOA 的面积记为S 3，求证：S 1＝S 2＋S 3；（3）若（2）中的点M 是第一象限内抛物线上任意一点，其它条件不变，（2）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，写出新的结论并证明.【分析】（1）由于已知抛物线顶点坐标，所以选择设顶点式，利用待定系数法求表达式，注意最后要化为一般形式；（2）注意由点坐标→线段长→面积计算的转化，再结合相似三角形性质；（3）与（2）比较缺少了点M 的坐标，但是平行、相似等条件依然存在，可先设点M 坐标，或根据相似设线段长度，进而求解．【答案】解：（1）设抛物线表达式y ＝a (x －m )2＋k ，代入顶点坐标(1，4)和点C 坐标(0，3)，得3＝a (0－1)2＋4，∴a ＝1，∴y ＝－(x －1)2＋4＝－x 2＋2x ＋3．由－x 2＋2x ＋3＝0得x 1＝－1，x 1＝3，∴A (－1，0)，B (3，0)． （2）∵点M 和点C 关于直线PD 对称，∴点M (1，3)S △MOB ＝12×3×3＝92，S △MAB ＝12×4×3＝6．∵DE ∥MO ，∴△DBE ∽△OBM ，∴S △DBE S △OBM ＝(BD OB )2＝49，S △DBE ＝49×92＝2． S △EOD S △EOB ＝OB BD ＝32，∴S 1＝32×2＝3，S 2＋S 3＝S △AMB －S 1＝6－3＝3．∴S 1＝S 2＋S 3．（3）答：（2）中的结论依然成立，理由如下： 过点M 作MG ⊥AB 于G ，EH ⊥AB 于H ，∴MG :EH ＝OM :DE∵DE ∥MN ，∴△DBE ∽△OBM ，∴OM :DE ＝OB :DB ＝3:2，∴MG :EH ＝3:2 设MG ＝3k ，则EH ＝2k ，∴S △MAB ＝12×4×3k ＝6k ，S 1＝32×2＝3k ，∴S 2＋S 3＝S △AMB －S 1＝6k －3k ＝3k ．∴S 1＝S 2＋S 3．【涉及知识点】二次函数相似三角形性质待定系数法【点评】几何与函数综合问题一直都是中考压轴题常见题型．本题结合二次函数、相似三角形知识，创设由特殊到一般的问题探究过程，考查基础知识综合应用的同时，对能力的考查体现的更为明显，区分度明显，是一道好题．【推荐指数】★★★★★。