2002级量子力学期末考试试题和答案
A 卷
一、简答与证明：（共25分）
1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。 （4分）
2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分）
3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。（4分）
4、证明
)ˆˆ(2
2x x p x x p i -是厄密算符 （5分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标x 和动量
x p ˆ之间的测不准关系。（6分）
一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：)(Et r p i Ae
-⋅=
ψ
2、定态：定态是能量取确定值的状态。性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。
3、全同费米子的波函数是反对称波函数。两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为：
[])()()()(21
12212211q q q q A ϕϕϕϕφ-=
。
4、)ˆˆ(2
2x x p x x p i -=x x x x x x p p x p i x p p i x p i ˆ2ˆ],ˆ[],ˆ[ˆ],ˆ[2 =+=，因为
x p
ˆ是厄密算符，所以
)ˆˆ(2
2x x p x x p i -是厄密算符。
5、设F ˆ
和G ˆ的对易关系k
ˆi F ˆG ˆG ˆ
F ˆ=-，k 是一个算符或普通的数。以F 、G
和k 依次表示F ˆ
、G
ˆ
和k 在态
ψ
中的平均值，令 F F ˆF
ˆ-=∆，G G ˆG ˆ-=∆，
则有
42
2
2
k )G ˆ()F
ˆ(≥⋅∆∆，这个关系式称为测不准关系。
坐标x 和动量x p
ˆ之间的测不准关系为：2ˆ
≥∆⋅∆x p
x
B 卷
一、（共25分）
1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分）
2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分）
3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。（4分）
4、在一维情况下，求宇称算符P ˆ
和坐标x 的共同本征函数。（6分）
5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t 和能量E 的测不准关系。（5分） 一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。
2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称。
3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为：
[])()()()(21
12212211q q q q S ϕϕϕϕφ+=
4、宇称算符
P
ˆ和坐标
x 的对易关系是：
P x x P ˆ2],ˆ[-=，将其代入测不准关系知，只有当0ˆ=P
x 时的
状态才可能使P ˆ
和x 同时具有确定值，由
)()(x x -=δδ知，波函数)(x δ满足上述要求，所以)(x δ是
算符P ˆ
和x 的共同本征函数。 5、设F ˆ
和G ˆ的对易关系k
ˆi F ˆG ˆG ˆ
F ˆ=-，k 是一个算符或普通的数。以F 、
G 和k 依次表示F ˆ
、G
ˆ
和k 在态
ψ
中的平均值，令 F F ˆF
ˆ-=∆，G G ˆG ˆ-=∆，
则有
4222)G ˆ()F ˆ(≥⋅∆∆，这个关系式称为测不准关系。
时间t 和能量E 之间的测不准关系为：
2
≥
∆⋅∆E t
1. 微观粒子具有 波粒 二象性。
2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达
式为： E=
, p=
。
3．根据波函数的统计解释，
的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的
几率 。
4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。
5．坐标的分量算符和动量的分量算符的对易关系为： 。
6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量F 所得的数值，必定是算符
的 本征值 。
7．定态波函数的形式为： 。
8．一个力学量为守恒量的条件是：不显含时间，且与哈密顿算符对易
。
9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。
10．每个电子具有自旋角动量，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为：
。
