河南省焦作市2017年中考数学一模试卷(含解析)

2017年河南省焦作市中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.1．的绝对值是（）A．5 B．C．D．﹣52．据河南省发改委发布消息，2016年全省固定资产投资继续保持持续稳定增长，全年完成39753亿元，总量居全国第3位．将数据39753亿用科学记数法表示为（）A．3.9753×109B．0.39753×1010 C．39.753×1011D．3.9753×10123．如图，是由7个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从标有①、②、③、④的四个小正方体中取走一个后，余下几何体与原几何体的主视图相同，则取走的正方体是（）A．①B．②C．③D．④4．下列计算正确的是（）A．2a+3b=5ab B．（﹣a2）3=a6C．（a+b）2=a2+b2D．5．在一个不透明的袋子里装有两个红球和两个黄球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到黄球的概率是（）A．B．C．D．6．要判断小强同学的数学考试成绩是否稳定，那么需要知道他最近几次数学考试成绩的（）A．方差 B．众数 C．平均数D．中位数7．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．38．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，BC=4．若DE是△ABC的中位线，延长DE 交∠ACM的平分线于点F，则DF的长为（）A．6 B．7 C．8 D．99．如图，点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=（k≠0）上，AB∥x轴，分别过点A、B 向x轴作垂线，垂足分别为D、C，若矩形ABCD的面积是9，则k的值为（）A．4 B．5 C．9 D．1310．如图，已知菱形ABCD的顶点A（﹣，0），∠DAB=60°，若动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，则第2017秒时，点P的坐标为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．计算：（﹣4）0﹣= ．12．如图，在▱ABCD中，DB=DC，∠C=58°，AE⊥BD于E，则∠DAE= 度．13．在平面直角坐标系中，将抛物线y=（x﹣1）2先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是．14．如图，在圆心角为90°的扇形AOB中，半径OA=3，OC=AC，OD=BD，F是弧AB的中点．将△OCD沿CD折叠，点O落在点E处，则图中阴影部分的面积为．15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，D是AB的中点，点E在边AC上，将△ADE 沿DE翻折，使点A落在点A'处，当A'E⊥AC时，A'B= ．三、解答与证明（本大题8个小题，共75分）16．先化简，再求值：÷（x﹣），其中x是方程x2﹣4=0的根．17．某校为了了解九年级学生（共450人）的身体素质情况，体育老师对九（1）班的50位学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制了如下部分频数分布表和部分频数分布直方图．请结合图表解答下列问题：（1）表中的m= ；（2）请把频数分布直方图补完整；（3）这个样本数据的中位数落在第组；（4）若九年级学生一分钟跳绳次数（x）合格要求是x≥120，则估计九年级学生中一分钟跳绳成绩不合格的人数．18．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E．连接ED，若ED=EC．（1）求证：AB=AC；（2）填空：①若AB=6，CD=4，则BC= ；②连接OD，当∠A的度数为时，四边形ODEB是菱形．19．南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里（最后结果保留整数）？（参考数据：cos75°=0.2588，sin75°=0.9659，tan75°=3.732， =1.732， =1.414）20．某学校计划购进A，B两种树木共100棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元．（1）求A种，B种树木每棵各多少元？（2）因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其他因素），实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．21．问题情境已知矩形的面积为S（S为常数，S＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？数学模型设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y=2（x+）（x＞0）探索研究我们可以借鉴学习函数的经验，先探索函数y=x+（x＞0）的图象性质．①列表：表中m= ；②描点：如图所示；③连线：请在图中画出该函数的图象；④观察图象，写出两条函数的性质；解决问题在求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．同样通过配方也可以求函数y=x+（x＞0）的最小值．y=x+=+=+﹣2•+2•=+2∵≥0，∴y≥2∴当﹣=0，即x=1时，y最小值=2请类比上面配方法，直接写出“问题情境”中的问题答案．22．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，点D、E分别在边AC、AB上，AD=DE=AB，连接DE．将△ADE绕点A逆时针方向旋转，记旋转角为θ．（1）问题发现①当θ=0°时， = ；②当θ=180°时， = ．（2）拓展探究试判断：当0°≤θ＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）问题解决①在旋转过程中，BE的最大值为；②当△ADE旋转至B、D、E三点共线时，线段CD的长为．23．如图1，直线y=x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线y=x2+bx+c 经过点B，点C的横坐标为4．（1）请直接写出抛物线的解析式；（2）如图2，点D在抛物线上，DE∥y轴交直线AB于点E，且四边形DFEG为矩形，设点D 的横坐标为x（0＜x＜4），矩形DFEG的周长为l，求l与x的函数关系式以及l的最大值；（3）将△AOB绕平面内某点M旋转90°或180°，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点”，请直接写出“落点”的个数和旋转180°时点A1的横坐标．2017年河南省焦作市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.1．的绝对值是（）A．5 B．C．D．﹣5【考点】15：绝对值．【分析】根据绝对值实数轴上的点到原点的距离，可得一个数的绝对值．【解答】解：的绝对值是，故选：B．2．据河南省发改委发布消息，2016年全省固定资产投资继续保持持续稳定增长，全年完成39753亿元，总量居全国第3位．将数据39753亿用科学记数法表示为（）A．3.9753×109B．0.39753×1010 C．39.753×1011D．3.9753×1012【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将39753亿=3975300000000用科学记数法表示为：3.9753×1012．故选：D．3．如图，是由7个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从标有①、②、③、④的四个小正方体中取走一个后，余下几何体与原几何体的主视图相同，则取走的正方体是（）A．①B．②C．③D．④【考点】U2：简单组合体的三视图．【分析】根据题意得到原几何体的主视图，结合主视图选择．【解答】解：原几何体的主视图是：．故取走的正方体是①．故选：A．4．下列计算正确的是（）A．2a+3b=5ab B．（﹣a2）3=a6C．（a+b）2=a2+b2D．【考点】78：二次根式的加减法；35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方．【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；B、原式=﹣a6，不符合题意；C、原式=a2+2ab+b2，不符合题意；D、原式=2﹣2=0，符合题意，故选D5．在一个不透明的袋子里装有两个红球和两个黄球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到黄球的概率是（）A．B．C．D．【考点】X6：列表法与树状图法．【分析】列举出所有情况，看两次都摸到黄球的情况数占总情况数的多少即可．【解答】解：列表得：∴一共有16种情况，两次都摸到黄球的有4种情况，∴两次都摸到黄球的概率是=．故选C．6．要判断小强同学的数学考试成绩是否稳定，那么需要知道他最近几次数学考试成绩的（）A．方差 B．众数 C．平均数D．中位数【考点】W7：方差；WA：统计量的选择．【分析】根据方差的意义作出判断即可．【解答】解：要判断小强同学的数学考试成绩是否稳定，只需要知道他最近几次数学考试成绩的方差即可．故选A．7．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】AA：根的判别式．【分析】由一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则a﹣1≠0，即a≠1，且△≥0，即△=（﹣2）2﹣8（a﹣1）=12﹣8a≥0，然后解两个不等式得到a的取值范围，继而可得整数a的最大值．【解答】解：∵一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，∴a﹣1≠0即a≠1，且△≥0，即有△=（﹣2）2﹣8（a﹣1）=12﹣8a≥0，解得a≤，∴a的取值范围是a≤且a≠1．则整数a的最大值为0，故选：A．8．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，BC=4．若DE是△ABC的中位线，延长DE 交∠ACM的平分线于点F，则DF的长为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】KX：三角形中位线定理；KO：含30度角的直角三角形．【分析】根据直角三角形的性质得到AC=2BC，根据三角形中位线定理得到DE=BC=2，DE ∥BC，证明△ECF是等边三角形，计算即可．【解答】解：∵∠ABC=90°，∠A=30°，∴AC=2BC=8，∠ACB=60°，∴CE=AC=4，∵DE是△ABC的中位线，∴DE=BC=2，DE∥BC，∵∠ACB=60°，∴∠ACM=120°，∵CF是∠ACM的平分线，∴∠EFC=∠MCF=60°，∵DE∥BC，∴∠ECF=∠MCF=60°，∴△ECF是等边三角形，∴EF=EC=4，∴DF=6，故选：A．9．如图，点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=（k≠0）上，AB∥x轴，分别过点A、B 向x轴作垂线，垂足分别为D、C，若矩形ABCD的面积是9，则k的值为（）A．4 B．5 C．9 D．13【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；LB：矩形的性质．【分析】首先得出矩形EODA的面积为：4，利用矩形ABCD的面积是9，则矩形EOCB的面积为：4+9=13，再利用xy=k求出即可．【解答】解：过点A作AE⊥y轴于点E，∵点A在双曲线y=上，∴矩形EODA的面积为：4，∵矩形ABCD的面积是9，∴矩形EOCB的面积为：4+9=13，则k的值为：xy=k=13．故选D．10．如图，已知菱形ABCD的顶点A（﹣，0），∠DAB=60°，若动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，则第2017秒时，点P的坐标为（）A．B．C．D．【考点】L8：菱形的性质；D2：规律型：点的坐标．【分析】先求出求出菱形的边长，再根据点P的运动速度求出沿A→B→C→D→A所需的时间，由=126，推出移动到第2016秒和第16秒的位置相同，当P运动到第16秒时点P在点A处，推出移动到第2017秒时，点P在AB的处，进而可得出结论．【解答】解：在Rt△AOD中，∵∠AOD=90°，∠DAO=30°，OA=，∴OD=1，AD=2OD=2，∵点P的运动速度为0.5米/秒，∴从点A到点B所需时间==4秒，∴沿A→B→C→D→A所需的时间=4×4=16秒．∵=126，∴移动到第2016秒和第16秒的位置相同，当P运动到第16秒时点P在点A处，∴移动到第2017秒时，点P在AB的处，PA=AB，此时P的坐标为（﹣，﹣）．故选B．二、填空题（每小题3分，共15分）11．计算：（﹣4）0﹣= ﹣1 ．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂．【分析】原式利用零指数幂法则，以及算术平方根定义计算即可得到结果．【解答】解：原式=1﹣2=﹣1，故答案为：﹣112．如图，在▱ABCD中，DB=DC，∠C=58°，AE⊥BD于E，则∠DAE= 32 度．【考点】L5：平行四边形的性质．【分析】根据等边对等角可得∠C=∠DBC=58°，根据平行四边形的性质可得AD∥BC，进而得到∠ADB=∠CBD=58°，再利用三角形内角和定理计算出∠DAE即可．【解答】解：∵DC=BD，∴∠C=∠DBC=58°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD=58°，∵AE⊥BD于E，∴∠AED=90°，∴∠DAE=32°，故答案为：32．13．在平面直角坐标系中，将抛物线y=（x﹣1）2先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是y=（x﹣4）2+2 ．【考点】H6：二次函数图象与几何变换．【分析】根据图象的平移规律，可得答案．【解答】解：将抛物线y=（x﹣1）2先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是将抛物线y=（x﹣1﹣3）2+2，故答案为：y=（x﹣4）2+2．14．如图，在圆心角为90°的扇形AOB中，半径OA=3，OC=AC，OD=BD，F是弧AB的中点．将△OCD沿CD折叠，点O落在点E处，则图中阴影部分的面积为．【考点】MO：扇形面积的计算；PB：翻折变换（折叠问题）．【分析】连接OF，过C作CH⊥OF于H，根据已知条件得到OC=1.5，OD=2，由F是弧AB的中点．得到∠COH=45°，根据图形的面积即可得到结论．【解答】解：连接OF，过C作CH⊥OF于H，∵OA=OB=OF=3，OC=AC，OD=BD，∴OC=1.5，OD=2，∵F是弧AB的中点．∴∠COH=45°，∴CH=OH=，∴S阴影=S扇形FOB+S△COF﹣2S△COD=+3×﹣2×××1=，故答案为：．15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，D是AB的中点，点E在边AC上，将△ADE沿DE翻折，使点A落在点A'处，当A'E⊥AC时，A'B= ．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KQ：勾股定理；KW：等腰直角三角形；LB：矩形的性质；S4：平行线分线段成比例．【分析】由折叠可得∠AED=∠A'ED，当A'E⊥AC时，∠AED=∠A'ED=45°，再过D作DF⊥AC 于F，过B作BG⊥A'E于G，则△DEF是等腰直角三角形，再根据DF∥BC，D是AB的中点，BC=3，求得EF=，CE=，最后根据等腰Rt△A'BG中，A'B=BG，即可得到结论．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，∴AC=4，由折叠可得∠AED=∠A'ED，当A'E⊥AC时，∠AED=∠A'E D=45°，如图，过D作DF⊥AC于F，过B作BG⊥A'E于G，则△DEF是等腰直角三角形，∵DF∥BC，D是AB的中点，BC=3，∴AF=CF=AC=2，DF=BC=，∴EF=，CE=2﹣=，∴矩形BCEG中，BG=CE=，BC=EG=3，∵AE=2+=，∴A'E=，∴A'G=﹣3=，即A'G=BG，∴等腰Rt△A'BG中，A'B=BG=．故答案为：．三、解答与证明（本大题8个小题，共75分）16．先化简，再求值：÷（x﹣），其中x是方程x2﹣4=0的根．【考点】6D：分式的化简求值．【分析】先化简题目中的式子，然后根据x是方程x2﹣4=0的根和x+2≠0可以求得x的值，从而可以解答本题．【解答】解：÷（x﹣）====，∵x是方程x2﹣4=0的根且x+2≠0，解得，x=2，∴当x=2时，原式=．17．某校为了了解九年级学生（共450人）的身体素质情况，体育老师对九（1）班的50位学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制了如下部分频数分布表和部分频数分布直方图．请结合图表解答下列问题：（1）表中的m= 12 ；（2）请把频数分布直方图补完整；（3）这个样本数据的中位数落在第三组；（4）若九年级学生一分钟跳绳次数（x）合格要求是x≥120，则估计九年级学生中一分钟跳绳成绩不合格的人数．【考点】V8：频数（率）分布直方图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；W4：中位数．【分析】（1）根据各组频数之和等于学生总人数列式计算即可得解；（2）根据图表数据补全条形统计图即可；（3）根据中位数的定义找出第25、26两人所在的组即可；（4）用第3、4、5组的人数之和除以学生总人数，计算即可估计九年级学生中一分钟跳绳成绩合格率以及不合格率．【解答】解：（1）6+8+m+18+6=50，解得m=12；故答案为：12；（2）补全频率分布直方图如下所示：（3）∵按照跳绳次数从少到多，第25、26两人都在第三组，∴中位数落在第三组，故答案为：三；（4）∵×100%=72%，∴该班学生测试成绩达标率为72%，∴九年级学生中一分钟跳绳成绩不合格的人数为：450×（1﹣72%）=126．18．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E．连接ED，若ED=EC．（1）求证：AB=AC；（2）填空：①若AB=6，CD=4，则BC= 2；②连接OD，当∠A的度数为60°时，四边形ODEB是菱形．【考点】M5：圆周角定理；L9：菱形的判定．【分析】（1）由等腰三角形的性质得到∠EDC=∠C，由圆内接四边形的性质得到∠EDC=∠B，由此推得∠B=∠C，由等腰三角形的判定即可证得结论；（2）连接AE，由AB为直径，可证得AE⊥BC，由（1）知AB=AC，证明△CDE∽△CBA后即可求得BC的长；（3）根据等边三角形的性质得到∠BAE=30°，根据直角三角形的性质得到BE=AD=BO，由菱形的判定定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵ED=EC，∴∠EDC=∠C，∵∠EDC=∠B，∴∠B=∠C，∴AB=AC；（2）解：①连接AE，∵AB为直径，∴AE⊥BC，由（1）知AB=AC=6，∵∠C=∠C，∠CDE=∠B，∴△CDE∽△CBA，∴=，∴=，∴BC=2，故答案为：2；（3）当∠A=60°时，四边形ODEB是菱形，∵∠A=60°，∴∠BAE=30°，∵∠AEB=90°，∴BE=AD=BO，∴BE=DE=OB=OD，∴四边形ODEB是菱形，故答案为：60°．19．南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里（最后结果保留整数）？（参考数据：cos75°=0.2588，sin75°=0.9659，tan75°=3.732， =1.732， =1.414）【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．【分析】过B作BD⊥AC，在直角三角形ABD中，利用勾股定理求出BD与AD的长，在直角三角形BCD中，求出CD的长，由AD+DC求出AC的长即可．【解答】解：过B作BD⊥AC，∵∠BAC=75°﹣30°=45°，∴在Rt△ABD中，∠BAD=∠ABD=45°，∠ADB=90°，由勾股定理得：BD=AD=×20=10（海里），在Rt△BCD中，∠C=15°，∠CB D=75°，∴tan∠CBD=，即CD=10×3.732=52.77048，则AC=AD+DC=10+10×3.732=66.91048≈67（海里），即我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了67海里．20．某学校计划购进A，B两种树木共100棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元．（1）求A种，B种树木每棵各多少元？（2）因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其他因素），实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．【考点】FH：一次函数的应用；9A：二元一次方程组的应用；C9：一元一次不等式的应用．【分析】（1）设A种树每棵x元，B种树每棵y元，根据“购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元”列出方程组并解答；（2）设购买A种树木为a棵，则购买B种树木为棵，根据“购买A种树木的数量不少于B 种树木数量的3倍”列出不等式并求得a的取值范围，结合实际付款总金额=0.9（A种树的金额+B种树的金额）进行解答．【解答】解：（1）设A种树每棵x元，B种树每棵y元，依题意得：，解得．答：A种树每棵100元，B种树每棵80元；（2）设购买A种树木为a棵，则购买B种树木为棵，依题意得：a≥3，解得a≥75．设实际付款总金额是y元，则y=0.9[100a+80]，即y=18a+7200．∵18＞0，y随a的增大而增大，∴当a=75时，y最小．即当a=75时，y最小值=18×75+7200=8550（元）．答：当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所需费用最少，最少为8550元．21．问题情境已知矩形的面积为S（S为常数，S＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？数学模型设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y=2（x+）（x＞0）探索研究我们可以借鉴学习函数的经验，先探索函数y=x+（x＞0）的图象性质．①列表：表中m= ；②描点：如图所示；③连线：请在图中画出该函数的图象；④观察图象，写出两条函数的性质；函数有最小值2；当x＞1时，y随x的增大而增大解决问题在求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．同样通过配方也可以求函数y=x+（x＞0）的最小值．y=x+=+=+﹣2•+2•=+2∵≥0，∴y≥2∴当﹣=0，即x=1时，y最小值=2请类比上面配方法，直接写出“问题情境”中的问题答案．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】探索研究①计算自变量为时的函数值即可得到m值；③如图，利用平滑的曲线顺次连接各点可得到函数图象；④利用函数图象，从最值或增减性写出图象的性质；解决问题：利用配方法得到y=2（﹣）2+4，然后根据二次函数的性质解决问题．【解答】解：探索研究①当x=时，m=+3=；③如图，④性质：函数有最小值2；当x＞1时，y随x的增大而增大；故答案为；函数有最小值2；当x＞1时，y随x的增大而增大；解决问题y=2（x+）=2（﹣）2+4，当﹣=0时，即x=，y有最大值4，所以该矩形的长为时，它的周长最小，最小值是4．22．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，点D、E分别在边AC、AB上，AD=DE=AB，连接DE．将△ADE绕点A逆时针方向旋转，记旋转角为θ．（1）问题发现①当θ=0°时， = ；②当θ=180°时， = ．（2）拓展探究试判断：当0°≤θ＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）问题解决①在旋转过程中，BE的最大值为2+2 ；②当△ADE旋转至B、D、E三点共线时，线段CD的长为+1或﹣1 ．【考点】SO：相似形综合题．【分析】（1）①先判断出DE∥CB，进而得出比例式，代值即可得出结论；②先得出DE∥BC即可得出，，再用比例的性质即可得出结论；（2）先∠CAD=∠BAE，进而判断出△ADC∽△AEB即可得出结论；（3）分点D在BE的延长线上和点D在BE上，先利用勾股定理求出BD，再借助（2）结论即可得出CD．【解答】解：（1）①当θ=0°时，在Rt△ABC中，AC=BC=2，∴∠A=∠B=45°，AB=2，∵AD=DE=AB=，∴∠AED=∠A=45°，∴∠ADE=90°，∴DE∥CB，∴，∴，∴，故答案为：，②当θ=180°时，如图1，∴DE∥BC，∴，∴，即：，∴==，故答案为：；（2）当0°≤θ＜360°时，的大小没有变化，理由：∵∠CAB=∠DAE，∴∠CAD=∠BAE，∵，∴△ADC∽△AEB，∴==；（3）①当点E在BD的延长线时，BE最大，在Rt△ADE中，AE=AD=2，∴BE最大=AB+AE=2+2；②如图2，当点E在BD上时，∵∠ADE=90°，∴∠ADB=90°，在Rt△ADB中，AB=2，AD=，根据勾股定理得，DB==，∴BE=BD+DE=+，由（2）知，，∴CD===+1，如图3，当点D在BE的延长线上时，在Rt△ADB中，AD=，AB=2，根据勾股定理得，BD==，∴BE=BD﹣DE=﹣，由（2）知，，∴CD===﹣1．故答案为： +1或﹣1．23．如图1，直线y=x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线y=x2+bx+c 经过点B，点C的横坐标为4．（1）请直接写出抛物线的解析式；（2）如图2，点D在抛物线上，DE∥y轴交直线AB于点E，且四边形DFEG为矩形，设点D 的横坐标为x（0＜x＜4），矩形DFEG的周长为l，求l与x的函数关系式以及l的最大值；（3）将△AOB绕平面内某点M旋转90°或180°，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点”，请直接写出“落点”的个数和旋转180°时点A1的横坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）把点B的坐标代入直线解析式求出m的值，再把点C的坐标代入直线求解即可得到C点纵坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）令y=0求出点A的坐标，从而得到OA、OB的长度，利用勾股定理列式求出AB的长，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠ABO=∠DEF，再解直角三角形用DE表示出EF、DF，根据矩形的周长公式表示出l，利用直线和抛物线的解析式表示DE的长，整理即可得到l 与t的关系式，再利用二次函数的最值问题解答；（3）根据逆时针旋转角为90°可得A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，旋转角是180°判断出A1O1∥x轴时，B1A1∥AB，根据图3、图4两种情形即可解决．【解答】解：（1）∵直线l：y=x+m经过点B（0，﹣1），∴m=﹣1，∴直线l的解析式为y=x﹣1，∵直线l：y=x﹣1经过点C，且点C的横坐标为4，∴y=×4﹣1=2，∵抛物线y=x2+bx+c经过点C（4，2）和点B（0，﹣1），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣1；（2）令y=0，则x﹣1=0，解得：x=，∴点A的坐标为（，0），∴OA=，在Rt△OAB中，OB=1，∴AB===，∵DE∥y轴，∴∠ABO=∠DEF，在矩形DFEG中，EF=DE•cos∠DEF=DE•=DE，D F=DE•sin∠DEF=DE•=DE，∴l=2（DF+EF）=2（+）DE=DE，∵点D的横坐标为t（0＜t＜4），∴D（t， t2﹣t﹣1），E（t， t﹣1），∴DE=（t﹣1）﹣（t2﹣t﹣1）=﹣t2+2t，∴l=×（﹣t2+2t）=﹣t2+t，∵l=﹣（t﹣2）2+，且﹣＜0，∴当t=2时，l有最大值．（3）“落点”的个数有4个，如图1，图2，图3，图4所示．如图3中，设A1的横坐标为m，则O1的横坐标为m+，∴m2﹣m﹣1=（m+）2﹣（m+）﹣1，解得：m=，如图4中，设A1的横坐标为m，则B1的横坐标为m+，B1的纵坐标比例A1的纵坐标大1，∴m2﹣m﹣1+1=（m+）2﹣（m+）﹣1，解得：m=，∴旋转180°时点A1的横坐标为或．。