2014年高考数学(理科)数列经典大题13例

2014年全国高考试卷数列部分汇编1. （2014安徽理12）数列{}n a 是等差数列，若135135a a a +++，，构成公比为q 的等比数列，则q =________． 【解析】 1设{}n a 的公差为d ，则315131225144a a d a a d +=++++=+++，，由题意可得23(3)a +=15(1)(5)a a ++．∴2111[(1)2(1)](1)[(1)4(1)]a d a a d +++=++++，∴2221111(1)4(1)(1)[2(1)](1)4(1)(1)a d a d a a d ++++++=++++， ∴1d =-，∴3131a a +=+， ∴公比31311a q a +==+． 2. （2014安徽文12）如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC =过点A 作BC 的垂线，垂足为1A ；过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作1A C 的垂线，垂足为3A ；…，依此类推，设1BA a =，12123567AA a A A a A A a ===，，…，，则7a =______________．【解析】 14由BC =11212321AB a AA a A A a ==⇒=====，由此可归纳出{}n a 是以12a =为公比的等比数列，因此6671124a a q =⨯=⨯=⎝⎭． 3. （2014安徽文18）数列{}n a 满足111(1)(1)n n a na n a n n n *+=,=+++,∈N ．⑴证明：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；⑵设3n n b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【解析】 ⑴ 由已知可得111n n a a n n +=++，即111n n a an n +-=-． 所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项，1为公差的等差数列．⑵ 由⑴得()111na n n n=+-⋅=，所以2n a n =． 从而3n n b n =⋅． 1231323333n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅，①()23131323133n n n S n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅． ②A 1A 4A 3A 2第（12）题图ABC①－②得12123333n n n S n +-=+++-⋅()()1131312333132n n n n n ++⋅--⋅-=-⋅=-．所以()121334n n n S +-⋅+=．评析 本题考查等差数列定义的应用，错位相减法求数列的前n 项和，解题时利用题⑴提示对递推关系进行变形是关键．4. （2014北京理5）设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a ”为递增数列的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】 D对于等比数列{}n a ，若1q >，则当10a <时有{}n a 为递减数列．故“1q >”不能推出“{}n a 为递增数列”．若{}n a 为递增数列，则{}n a 有可能满足10a <且01q <<，推不出1q >． 综上，“1q >”为“{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件，即选D ．5. （2014北京理12）若等差数列{}n a 满足7890a a a ++> ，7100a a +<，则当n =____时，{}n a 的前n 项和最大．【解析】8 由等差数列的性质，78983a a a a ++=，71089a a a a +=+，于是有80a >，890a a +<，故90a <．故87S S >，98S S <，8S 为{}n a 的前n 项和n S 中的最大值6. （2014北京文15）已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -为等比数列．⑴求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； ⑵求数列{}n b 的前n 项和．【解析】 ⑴ 设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得41123333a a d --=== 所以()()11312n a a n d n n =+-==，，．设等比数列{}n n b a -的公比为q ，由题意得344112012843b a q b a --===--，解得2q =． 所以()11112n n n n b a b a q ---=-=． 从而()13212n n b n n -=+=，，⑵ 由⑴知()13212n n b n n -=+=，，．数列{}3n 的前n 项和为()312n n +，数列{}12n -的前n 项和为1212112n n -=--×．所以，数列{}n b 的前n 项和为()31212n n n ++-．7. （2014大纲理10）等比数列{}n a 中，4525a a ==，，则数列{}lg n a 的前8项和等于（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【解析】 C等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤⑴求{}n a 的通项公式； ⑵设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】 ⑴ 由110a =，2a 为整数知，等差数列{}n a 的公差d 为整数．又4n S S … 故4500a a ，厔 于是10301040d d ++≥，≤ 解得10532d --≤≤． 因此3d =-．数列{}n a 的通项公式为133n a n =-． ⑵ ()()1111331033103133n b n n n n ⎛⎫==-⎪----⎝⎭1． 于是12n T b b =++…n b 1111111371047103103n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦…+111310310n ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭()10103nn =-． 9. （2014大纲文8）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，415S =，则6S =（ ） A ．31 B ．32 C ．63 D ．64【解析】 C10. （2014大纲文17）数列{}n a 满足12211222n n n a a a a a ++===-+，，⑴设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列； ⑵求{}n a 的通项公式．【解析】 ⑴ 由2122n n n a a a ++=-+得2112n n n n a a a a +++-=-+即12n n b b +=+ 又1211b a a =-=所以{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列． ⑵ 由⑴得12(-1)n b n =+ 即+121n n a a n -=-于是111()(21)nnk k k k a a k +==-=-∑∑ 所以211n a a n +-=，即211n a n a +=+．又11a =，所以{}n a 的通项公式为222n a n n =-+．11. （2014福建理3）等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若13212a S ==，，则6a =（ ） A ．8B ．10C ．12D ．14【解析】 C在等比数列{}n a 中，25381a a ==，．⑴求n a ；⑵设3log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【解析】 本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．⑴ 设{}n a 公比为q ，依题意得141381a q a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，，解得113a q =⎧⎨=⎩，．因此，13n n a -=．⑵ 因为3log 1n n b a n ==-，所以数列{}n b 的前n 项和21()=22n n n b b n nS +-=． 13. （2014广东理13）若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122e a a a a +=，则1220l n l n l n a a a +++=__________．【解析】50． 由等比数列性质可知，51202193189121011e a a a a a a a a a a =====，可求得1220120219912l n l n l n l n l n l n l n 10550a a a a a a a a a a a +++=++++=⨯=． 14. （2014广东理19）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21234n n S na n n +=--，*n ∈N ，且315S =． ⑴求1a ，2a ，3a 的值； ⑵求数列{}n a 的通项公式． 【解析】 ⑴ 取2n =得到23420S a =-，又233315S S a a =-=-，于是3342015a a -=-，得37a =取1n =得到11227a S a ==-，又1322158a a a a =--=-， 于是22212785,3a a a a -=-⇒==； ⑵ 猜测21n a n =+，用归纳法证明：1°1n =时，显然成立； 2°假设n k =时，成立，即21k a k =+； 3°由22111(1)23432234232k k k k k k S ka k k k ka k k a k +++-=--⇒+⋅=--⇒=+； 故结论成立，即21n a n =+．15. （2014广东文13）等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425lo g l o g l o g l o g l o g a a a a a ++++=_____．【解析】5． 16. （2014广东文19）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足222(3)3()0n n S n n S n n n *-+--+=∈N ，．⑴求1a 的值；⑵求数列{}n a 的通项公式；⑶证明：对一切正整数n ，有()()()112211111113n n a a a a a a +++<+++．【解析】 ⑴ ∵()()222330n n S n n S n n -+--+=，∴令1n =，得21160a a +-=，解得12a =得13a =-． 又0n a >，∴12a =．⑵ 由()()222330n n S n n S n n -+--+=，得()()230n n S nn S ⎡⎤-++=⎣⎦， 又0n a >，所以30n S +≠，所以2n S n n =+，所以当2n ≥时，()221112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦，又由⑴知，12a =，符合上式． 所以2n a n =．⑶ 由⑵知，()()111221n n a a n n =++，所以()()()1122111111n n a a a a a a ++++++…()1112345221n n =+++⨯⨯+… ()()11112335572121n n <++++⨯⨯⨯-+… 111111116235572121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦… 111162321n ⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭11116233<+⨯= 17. （2014湖北理18文19）已知等差数列{}n a 满足：12a =，且125a a a ，，成等比数列．⑴求数列{}n a 的通项公式．⑵记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．【解析】 ⑴ 设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2224d d ++，，成等比数列，故有 2(2)2(24)d d +=+，化简得240d d -=，解得0d =或4d =． 当0d =时，2n a =；当4d =时，2(1)442n a n n =+-⋅=-，从而得数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-． ⑵ 当2n a =时，2n S n =．显然260800n n +＜，此时不存在正整数n ，使得60800n S n >+成立．当42n a n =-时，[]22(42)22n n n S n +-==．令2260800n n >+，即2304000n n -->，解得40n >或10n <-（舍去），此时存在正整数n ，使得60n S n >+800成立，n 的最小值为41． 综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41．18. （2014湖南理20）已知数列{}n a 满足111||n n n a a a p +=-=，，*n ∈N ．⑴若{}n a 是递增数列，且1a ，22a ，33a 成等差数列，求p 的值； ⑵若12p =，且{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式． 【解析】 ⑴ 因为数列{}n a 为递增数列，所以10n n a a +-≥，则11n n n n n n a a p a a p ++-=⇒-=，分别令12n =，可得22132a a p a a p -=-=，22311a p a p p ⇒=+=++，，因为12323a a a ，，成等差数列，所以21343a a a =+()()224113130p p p p p ⇒+=+++⇒-=13p ⇒=或0， 当0p =时，数列n a 为常数数列不符合数列{}n a 是递增数列，所以13p =．⑵ 由题可得122122212121111222n n n n n n n n n a a a a a a +-++-+-=⇒-=-=，，因为{}21n a -是递增数列且{}2n a 是递减数列，所以2121n n a a +->且222n n a a +<，则有22222122212121n n n n n n n n a a a a a a a a +-++-+-<-⎧⇒->-⎨<⎩， 又因为2212112n n n a a ---=22212112n n n a a +++>-=，所以2210n n a a -->，即2212112n n n a a ---=，同理可得2322212n n n n a a a a +++->-且2322212n n n n a a a a +++-<-，所以 212212n n na a +-=-， 则当2n m =()*m ∈N 时， 21324322123211111,2222m m m a a a a a a a a ---=-=--=-=，，，，这21m -个等式相加可得 2113212422111111222222m m m a a --⎛⎫⎛⎫-=+++-+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212222111111111224224113321144m m m ----⋅-⋅=-=+⋅--22141332m m a -⇒=+⋅． 当21n m =+时，2132432122321111,2222m m m a a a a a a a a +-=-=--=-=-，，，，这2m 个等式相加可得 2111321242111111222222m m m a a +-⎛⎫⎛⎫-=+++-+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2122211111111224224113321144m m m --⋅-⋅=-=-⋅-- 21241332m m a +=-⋅，当0m =时，11a =符合，故212241332m m a --=-⋅综上()1141332nn n a --=+⋅． 19. （2014湖南文16）已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS n *+=∈N ，．⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设()21n na n nb a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和．【解析】 ⑴ 当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，()()2211122n n n n n n n a S S n --+-+=-=-=．故数列{}n a 的通项公式为n a n =．⑵ 由⑴知，()21nn n b n =+-，记数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，则()()122222212342n n T n =++++-+-+-+．记122222n A =+++，12342B n =-+-+-+，则()2212122212n n A +-==--，()()()1234212B n n n =-++-+++--+=⎡⎤⎣⎦．故数列{}n b 的前2n 项和21222n n T A B n +=+=+-．20. （2014江苏理7）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值为_____． 【解析】 4设公比为q (0)q >，则由8642a a a =+得266622a a q a q=+，解得22q =，故4624a a q == 21. （2014江苏理20）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”．⑴若数列{}n a 的前n 项和*2()n n S n =∈N ，证明：{}n a 是“H 数列”；⑵设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <，若{}n a 是“H 数列”，求d 的值； ⑶证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，使得n n n a b c =+成立．【解析】 ⑴ 当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-= 当1n =时，112a S ==∴1n =时，11S a =，当2n ≥时，1n n S a += ∴{}n a 是“H 数列” ⑵ 1(1)(1)22n n n n n S na d n d --=+=+ 对*n ∀∈N ，*m ∃∈N 使n m S a =，即(1)1(1)2n n dn m d -+=+- 取2n =得1(1)d m d +=-，12m d=+∵0d <，∴2m <，又*m ∈N ，∴1m =，∴1d =- ⑶ 设{}n a 的公差为d令111(1)(2)n b a n a n a =--=-，对*n ∀∈N ，11n n b b a +-=- 1(1)()n c n a d =-+，对*n ∀∈N ，11n n c c a d +-=+则1(1)n n n b c a n d a +=+-=，且{}n b 、{}n c 为等差数列{}n b 的前n 项和11(1)()2n n n T na a -=+-，令1(2)n T m a =-，则(3)22n n m -=+ 当1n =时1m =；当2n =时1m = 当3n ≥时，由于n 与3n -奇偶性不同，即(3)n n -非负偶数，*m ∈N 因此对n ∀，都可找到*m ∈N ，使n m T b =成立，即{}n b 为H 数列 {}n c 的前n 项和1(1)()2n n n R a d -=+，令1(1)()m n c m a d R =-+=，则(1)12n n m -=+ ∵对*n ∀∈N ，(1)n n -是非负偶数，∴*m ∈N即对*n ∀∈N ，都可找到*m ∈N ，使得n m R c =成立，即{}n c 为H 数列因此命题得证22. （2014江西理17）已知首项都是1的两个数列{}n a ,{}n b *0n b n ≠∈N ，，满足11120n n n n n n a b a b b b +++-+=．⑴令nn na cb =，求数列{}n c 的通项公式； ⑵若13n n b -=，求数列{}n a 的前n 项和n S ．【解析】 ⑴ 因为()*111200n n n n n n n a b a b b b b n +++-+=≠∈N ，，所以112n nn na ab b ++-=，即12n nc c +-= 所以数列{}n c 是以1为首项，2为公差的等差数列． 故21n c n =-．⑵ 由13n n b -=知()1213n n n n a c b n -==-，于是数列{}n a 的前n 项和()0121133353213n n S n -=⋅+⋅+⋅++-⋅…．()()12131333233213n n n S n n -=⋅+⋅+-⋅+-⋅…+．相减得()()()1212123332132223n n n n S n n --=+⋅++--⋅=---…+， 所以()131n n S n =-+．23. （2014江西文13）在等差数列{}n a 中，17a =，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8n =时n S 取最大值，则d 的取值范围_________．【解析】 718⎛⎫-- ⎪⎝⎭，24. （2014江西文17）已知数列{}n a 的前n 项和232n n nS n *-=∈N ，．⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵证明：对任意1n >，都有m *∈N ，使得1n m a a a ，，成等比数列．【解析】 ⑴ 由232n n nS -=得111a S ==，当2n ≥时，132n n n a S S n -=-=-． 所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-．⑵ 要使1n m a a a ，，成等比数列，只需要21n m a a a =⋅，即()()232132n m -=⋅-，即2342m n n =-+，而因此时m *∈N ，且m n >，所以对任意的1n >，都存在m *∈N ，使得1n m a a a ，，成等比数列．25. （2014辽宁理8文9）设等差数列{}n a 的公差为d .若数列{}12n a a 为递减数列，则（）A ．0d <B ．0d >C ．10a d <D ．10a d >【解析】 C26. （2014山东理19）已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且124S S S ，，成等比数列． ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵令114(1)n n n n nb a a -+=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】 ⑴ 1121412S S 246d a a d S a d ===+=+，，，124S S S ，，成等比数列，2214S S S ∴=解得1121n a a n =∴=-，⑵ 111411(1)(1)()2121n n n n n n b a a n n --+=-=-+-+ 当n 为偶数时，111111111(1)()()()()3355723212121n T n n n n =+-+++-++-+---+ 1212121n nT n n ∴=-=++当n 为奇数时，111111111(1)()()()()3355723212121n T n n n n =+-+++--+++---+ 12212121n n T n n +∴=+=++2212221n nn n T n n n ⎧⎪⎪+∴=⎨+⎪⎪+⎩，为偶数，为奇数27. （2014山东文19）在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项．⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设(1)2n n n b a +=，记1234(1)n n n T b b b b b =-+-+-+-…，求n T ．【解析】 ⑴ 由题意知{}n a 为等差数列，设1(1)n a a n d =+-，2a 为1a 与4a 的等比中项2214a a a ∴=⨯且()()2111103a a d a a d ≠⇒+=+，2d =解得：12a =()2122n a n n ∴=+-⨯=．⑵ 由⑴知：2n a n =，∴()()121n n n b a n n +==+①当n 为偶数时：()()()()()()()()()()2122334+1213435+11224262+22246+222222n T n n n n n n n nn n n =-⨯+⨯-⨯++=⨯-++-++--++⎡⎤⎣⎦=⨯+⨯+⨯+⨯=⨯++++⋅+=⨯=②当n 为奇数时：()()()()()()()()()()()()()21223341213435+(1)21224262+(1)212246+111212122122n T n n n n n n n n n n n n n n n n n n n =-⨯+⨯-⨯+-+=⨯-++-++---+-+⎡⎤⎣⎦=⨯+⨯+⨯+-⨯-+=⨯+++--+-+-⋅++=⨯-+=-综上：2221222n n n n T n n n ⎧++-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为为数，奇数，偶． 28. （2014陕西文8）原命题为“若12n n n a a a ++<，+n N ∈”,则{}n a 为递减数列，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假【解析】 A29. （2014上海理23）已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤，*n ∈N ，11a =。

1、[2014·江西卷]已知首项都是1的两个数列{a n}，{b n}(b n≠0，n∈N*)满足a n b n＋1－a n＋1b n＋2b n＋1b n＝0.(1)令c n＝，求数列{c n}的通项公式；(2)若b n＝3n－1，求数列{a n}的前n项和S n.2、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝λS n－1，其中λ为常数．(1)证明：a n＋2－a n＝λ.(2)是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．3、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝3a n＋1. (1)证明是等比数列，并求{a n}的通项公式；(2)证明＋＋…＋＜.4、[2014·重庆卷] 设a1＝1，a n＋1＝＋b(n∈N*)．(1)若b＝1，求a2，a3及数列{a n}的通项公式．(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n<c<a2n＋1对所有n∈N*成立？证明你的结论．5、[2014·湖北卷]已知等差数列{a n}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式．(2)记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．6、[2014·湖南卷] 已知数列{a n}满足a1＝1，|a n＋1－a n|＝p n，n∈N*.(1)若{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；(2)若p＝，且{a2n－1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式．7、[2014·全国卷]等差数列{a n}的前n项和为S n.已知a1＝10，a2为整数，且S n≤S4.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n.8、[2014·山东卷] 已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n＝(－1)n－1，求数列{b n}的前n项和T n 9、[2014·陕西卷] △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；(2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．10、[2014·天津卷] 已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋x n q n－1，x i∈M，i ＝1，2，…，n}．(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，其中a i，b i∈M，i＝1，2，…，n.证明：若a n<b n，则s<t.11、[2014·安徽卷] 设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*.(1)证明：当x＞－1且x≠0时，(1＋x)p＞1＋px；(2)数列{a n}满足a1＞c，a n＋1＝a n＋a，证明：a n＞a n＋1＞c.12、[2014·四川卷] 设等差数列{a n}的公差为d，点(a n，b n)在函数f(x)＝2x的图像上(n∈N*)．(1)若a1＝－2，点(a8，4b7)在函数f(x)的图像上，求数列{a n}的前n项和S n；(2)若a1＝1，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列的前n项和T n.13、[2014·浙江卷] 已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3…a n＝(n∈N*)．若{a n}为等比数列，且a1＝2，b3＝6＋b2.(1)求a n与b n.(2)设c n＝－(n∈N*)．记数列{c n}的前n项和为S n.(i)求S n；(ii)求正整数k，使得对任意n∈均有S k≥S n.。

2014年高考数学真题汇编——数列一．选择题1. （2014大纲）等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 （ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】C ．2. (2014重庆)对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（ ）139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列248.,,C a a a 成等比数列 239.,,D a a a 成等比数列【答案】D【解析】.∴D 选要求角码成等差3. (2014北京)设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件D试题分析：对等比数列}{n a ，若1>q ，则当0,1a 时数列}{n a 是递减数列；若数列}{n a 是递增数列，则4. （2014福建）等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ).8A .10B .12C .14DC5. （2014辽宁）设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（ ）A ．0d <B ．0d >C ．10a d <D ．10a d >【答案】C【解析】 ..0.00;00:.,1111111C d a d a d a a a a a a a n n n 选且或且分情况解得即递减由同增异减知，<∴><<><+二．填空题1. (2014江苏) 在各项均为正数的等比数列}{n a 中,,12=a 4682a a a +=,则6a 的值是 ▲ .2(2014安徽)数列{}n a 是等差数列，若a 1+1，a 3+3，a 5+5构成公比为q 的等比数列，则q= . 12．13(2014北京)若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.4(2014广东)若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++= .51011912101112202019151201011:50,,ln ln ln ,ln ln ln ,220ln 20ln 20ln 100,50.a a a a a a e S a a a S a a a S a a a a e S =∴==+++=+++∴====∴=答案提示:设则5 (2014天津)设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________. 【答案】21-【解析】 解：12-依题意得2214S S S =，所以()()21112146a a a -=-，解得112a =-.6. (2014上海)设无穷等比数列{n a }的公比为q ，若)(lim 431 ++=∞→a a a n ，则q= 。

2014 年江西省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（ 5 分）是 z 的共轭复数，若 z+ =2，（z﹣）i=2（ i 为虚数单位），则 z=（）A．1+i B．﹣ 1﹣i C．﹣ 1+i D．1﹣i2．（5 分）函数 f（ x）=ln（x2﹣x）的定义域为（）A．（0，1）B．[ 0，1]C．（﹣∞， 0）∪（ 1，+∞）D．（﹣∞， 0] ∪ [ 1，+∞）3．（5 分）已知函数 f（ x）=5 x|，g（x）=ax2﹣ x（a∈R），若 f[ g（1）] =1，则 a=|（）A．1B．2C．3D．﹣ 1，，的对边分别为，，，若22+6，4．（ 5 分）在△ ABC中，内角A B C a b c c =（a﹣b）C= ，则△ ABC的面积为（）A．3B．C．D．35．（5 分）一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（）A．B．C．D．6．（5 分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量的关系，随机抽查了52 名中学生，得到统计数据如表 1 至表 4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表 1成绩不及格及格总计性别男61420女102232总计163652表 2视力好差总计性别男41620女122032总计163652表 3智商偏高正常总计性别男81220女82432总计163652表 4阅读量丰富不丰富总计性别男14620女23032总计163652 A．成绩B．视力C．智商D．阅读量7．（ 5 分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7B．9C．10D．11．（分）若2+2f（ x） dx，则f（x）dx=（）8 5f（x） =xA．﹣ 1B．﹣C．D．19．（5 分）在平面直角坐标系中，A， B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆 C 与直线 2x+y﹣ 4=0 相切，则圆 C 面积的最小值为（）A．πB．πC．（6﹣2）πD．π10．（ 5 分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1 C1D1中， AB=11， AD=7，AA1=12．一质点从顶点 A 射向点 E（4，3，12），遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第 i﹣1 次到第 i 次反射点之间的线段记为l i（ i=2， 3， 4），l1=AE，将线段 l1，l2，l3，l4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）A．B．3C．D．二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题记分，本题共 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不等式选做题11．（ 5 分）对任意 x，y∈R，| x﹣ 1|+| x|+| y﹣1|+| y+1| 的最小值为（）A．1B．2C．3D．4坐标系与参数方程选做题12．若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段 y=1﹣x（ 0≤ x≤ 1）的极坐标方程为（）A．ρ=，0≤θ≤B．ρ=，0≤θ≤C．ρ =cos+sinθ θ，0≤θ≤D．ρ =cos+sinθ θ，0≤θ≤三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13．（ 5 分） 10 件产品中有 7 件正品， 3 件次品，从中任取 4 件，则恰好取到1件次品的概率是．14．（ 5 分）若曲线﹣x上点 P 的切线平行于直线2x+y+1=0，则点 P 的坐标y=e是．15．（ 5 分）已知单位向量与的夹角为α，且 cos α=，向量 =3 ﹣2与=3﹣的夹角为β，则 cos β=．16．（5 分）过点 M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+ =1（a＞b＞0）相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于．五、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12 分）已知函数 f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中 a∈ R，θ∈（﹣，）（1）当 a= ，θ= 时，求 f（ x）在区间 [ 0，π]上的最大值与最小值；（2）若 f （）=0， f（π）=1，求 a，θ的值．18．（ 12 分）已知首项是1 的两个数列 { a n} ， { b n } （b n≠0，n∈N*）满足 a n b n+1﹣a n+1b n+2b n+1b n =0．（1）令 c n= ，求数列 { c n } 的通项公式；（2）若 b n=3n﹣1，求数列 { a n} 的前 n 项和 S n．19．（ 12 分）已知函数 f （x）=（x2+bx+b）（b∈R）（1）当 b=4 时，求 f（ x）的极值；（2）若 f （x）在区间（ 0，）上单调递增，求 b 的取值范围．20．（ 12 分）如图，四棱锥P﹣ABCD中， ABCD为矩形，平面 PAD⊥平面 ABCD．（1）求证： AB⊥PD；（2）若∠ BPC=90°，PB= ，PC=2，问 AB 为何值时，四棱锥 P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面 BPC与平面 DPC夹角的余弦值．21．（ 13 分）如图，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的右焦点为F，点 A，B 分别在 C 的两条渐近线 AF⊥x 轴， AB⊥OB，BF∥OA（O 为坐标原点）．（ 1）求双曲线 C 的方程；（ 2）过 C 上一点 P（ x0，y0）（y0≠0）的直线 l：﹣y0y=1与直线AF相交于点 M ，与直线 x=相交于点N．证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．22．（ 14 分）随机将 1，2，，2n（n∈N*， n≥ 2）这 2n 个连续正整数分成A、B 两组，每组 n 个数， A 组最小数为 a1，最大数为 a2；B 组最小数为 b1，最大数为 b ；记ξ=a﹣ a ，η=b﹣ b ．22121（1）当 n=3 时，求ξ的分布列和数学期望；（2） C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件 C 发生的概率 P（C）；（3）对（ 2）中的事件 C，表示 C 的对立事件，判断 P（C）和 P（）的大小关系，并说明理由．2014 年江西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（ 5 分）是 z 的共轭复数，若 z+ =2，（z﹣）i=2（ i 为虚数单位），则 z=（）A．1+i B．﹣ 1﹣i C．﹣ 1+i D．1﹣i【考点】 A5：复数的运算．【专题】 11：计算题； 5N：数系的扩充和复数．【分析】由题，先求出 z﹣ =﹣2i，再与 z+ =2 联立即可解出 z 得出正确选项．【解答】解：由于，（ z﹣） i=2，可得 z﹣ =﹣2i ①又 z+ =2 ②由①②解得 z=1﹣i故选： D．【点评】本题考查复数的乘除运算，属于基本计算题2．（5 分）函数 f（ x）=ln（x2﹣x）的定义域为（）A．（0，1）B．[ 0，1]C．（﹣∞， 0）∪（ 1，+∞）D．（﹣∞， 0] ∪ [ 1，+∞）【考点】 33：函数的定义域及其求法．【专题】 51：函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则x2﹣ x＞0，即 x＞1 或 x＜0，故函数的定义域为（﹣∞，0）∪（ 1， +∞），故选： C．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，比较基础．3．（5 分）已知函数 f（ x）=5|x|，g（x）=ax2﹣ x（a∈R），若 f[ g（1）] =1，则 a=（）A．1B．2C．3D．﹣ 1【考点】 3T：函数的值．【专题】 51：函数的性质及应用．【分析】根据函数的表达式，直接代入即可得到结论．【解答】解：∵ g（x）=ax2﹣x（ a∈ R），∴g（1）=a﹣1，若 f[ g（1）] =1，则 f（ a﹣ 1） =1，即 5|a﹣1| =1，则 | a﹣1| =0，解得 a=1，故选： A．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用条件直接代入解方程即可，比较基础．4．（ 5 分）在△ ABC中，内角A ，，的对边分别为，，，若22+6，BC a b c c =（a﹣b）C=，则△ ABC的面积为（）A．3B．C．D．3【考点】 HR：余弦定理．【专题】 58：解三角形．【分析】根据条件进行化简，结合三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：∵ c2=（a﹣b）2 +6，∴c2=a2﹣ 2ab+b2+6，即 a2+b2﹣c2=2ab﹣6，∵C= ，10∴ cos ===，解得 ab=6，则三角形的面积S= absinC==，故选： C．【点评】本题主要考查三角形的面积的计算，根据余弦定理求出ab=6 是解决本题的关键．5．（5 分）一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（）A．B．C．D．【考点】 L7：简单空间图形的三视图．【专题】 5F：空间位置关系与距离．【分析】通过几何体结合三视图的画图方法，判断选项即可．【解答】解：几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以 C、D 不正确；几何体的上部的棱与正视图方向垂直，所以 A 不正确，故选： B．【点评】本题考查三视图的画法，几何体的结构特征是解题的关键．6．（5 分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量的关系，随机抽查了52 名中学生，得到统计数据如表 1 至表 4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表 111成绩不及格及格总计性别男61420女102232总计163652表 2视力好差总计性别男41620女122032总计163652表 3智商偏高正常总计性别男81220女82432总计163652表 4阅读量丰富不丰富总计性别男14620女23032总计163652 A．成绩B．视力C．智商D．阅读量【考点】 BL：独立性检验．【专题】 12：应用题； 5I：概率与统计．12【分析】根据表中数据，利用公式，求出X2，即可得出结论．【解答】解：表 1： X2=≈；0.009表 2：X2≈；= 1.769表 3：X2≈；= 1.3表 4：X2≈，=23.48∴阅读量与性别有关联的可能性最大，故选： D．【点评】本题考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．7．（ 5 分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7B．9C．10D．11【考点】 EF：程序框图．【专题】 11：计算题； 27：图表型； 4B：试验法； 5K：算法和程序框图．【分析】模拟程序的运行，由程序框图得出该算法的功能以及S＞1 时，终止循环；再根据 S 的值求出终止循环时的i 值即可．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=0S=lg3，不满足条件 1＜S，执行循环体， i=3，S=lg3+lg=lg5，不满足条件 1＜S，执行循环体， i=5，S=lg5+lg=lg7，不满足条件 1＜S，执行循环体， i=7，S=lg5+lg=lg9，13不满足条件 1＜S，执行循环体， i=9，S=lg9+lg =lg11，满足条件 1＜S，跳出循环，输出 i 的值为 9．故选： B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基础题．．（分）若2+2f（ x） dx，则f（x）dx=（）8 5f（x） =xA．﹣ 1B．﹣C．D．1【考点】 67：定积分、微积分基本定理．【专题】 53：导数的综合应用．【分析】把定积分项看成常数对两侧积分，化简求解即可．【解答】解：令f（ x）dx=t，对 f （ x）=x2+2 f （x） dx，两边积分可得：t= +2tdx= +2t，解得 t=f（x）dx=﹣，故选： B．【点评】本题考查定积分以及微积分基本定理的应用，是基础题．9．（5 分）在平面直角坐标系中，A， B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆 C 与直线 2x+y﹣ 4=0 相切，则圆 C 面积的最小值为（）A．πB．πC．（6﹣2）πD．π【考点】 J9：直线与圆的位置关系．【专题】 5B：直线与圆．【分析】如图，设AB 的中点为 C，坐标原点为 O，圆半径为 r ，由已知得 | OC| =| CE| =r，过点 O 作直线 2x+y﹣ 4=0 的垂直线段 OF，交 AB 于 D，交直线2x+y﹣ 4=0 于 F，则当 D 恰为 AB 中点时，圆 C 的半径最小，即面积最小．14【解答】解：如图，设 AB 的中点为 C，坐标原点为 O，圆半径为 r，由已知得 | OC| =| CE| =r，过点 O 作直线 2x+y﹣4=0 的垂直线段 OF，交 AB 于 D，交直线 2x+y﹣ 4=0 于 F，则当 D 恰为 OF 中点时，圆 C 的半径最小，即面积最小此时圆的直径为O（0，0）到直线 2x+y﹣4=0 的距离为：d==，此时 r=∴圆 C 的面积的最小值为： S π×（）2=．min=故选： A．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查圆的面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．10．（ 5 分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1 C1D1中， AB=11， AD=7，AA1=12．一质点从顶点 A 射向点 E（4，3，12），遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第 i﹣1 次到第 i 次反射点之间的线段记为l i（ i=2， 3， 4），l1=AE，将线段 l1，l2，l3，l4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）15A．B．C．D．【考点】 JH：空间中的点的坐标； MK：点、线、面间的距离计算．【专题】 5H：空间向量及应用．【分析】根据平面反射定理，列出反射线与入射线的关系，得到入射线与反射平面的交点，再利用两点间的距离公式，求出距离，即可求解．【解答】解：根据题意有：A的坐标为：（ 0， 0， 0），B 的坐标为（ 11，0，0），C 的坐标为（ 11，7，0），D的坐标为（ 0， 7，0）；A1的坐标为：（ 0，0，12），B1的坐标为（ 11，0，12），C1的坐标为（ 11，7，12），16D1的坐标为（ 0，7，12）；E 的坐标为（ 4， 3， 12）（ 1） l1长度计算所以： l1．=| AE| ==13（ 2） l2长度计算将平面 A1 B1C1D1沿 Z 轴正向平移 AA1个单位，得到平面A2B2C2D2；显然有：A2的坐标为：（ 0，0，24），B2的坐标为（ 11，0，24），C2的坐标为（ 11，7，24），D2的坐标为（ 0，7，24）；显然平面 A2B2C2D2和平面 ABCD关于平面 A1B1C1D1对称．设 AE 与的延长线与平面 A2B2C2D2相交于： E2（x E2，y E2， 24）根据相似三角形易知：x E2=2x E=2× 4=8，y E2=2y E=2× 3=6，即： E2（8，6，24）根据坐标可知， E2在长方形 A2B2C2D2内．根据反射原理， E2在平面 ABCD上的投影即为AE反射光与平面 ABCD的交点．所以 F 的坐标为（ 8， 6， 0）．因此： l2=| EF| ==13．（ 3） l3长度计算设 G 的坐标为：（x G， y G，z G）如果 G 落在平面 BCC1B1；这个时候有： x G=11， y G≤7，z G≤12根据反射原理有： AE∥ FG于是：向量与向量共线；即有：=λ因为：=（ 4， 3， 12）；=（x G﹣ 8， y G﹣6，z G﹣ 0） =（ 3，y G﹣6，z G）即有：（4，3，12）=λ（3，y G﹣6，z G）17解得： y G= ，z G=9；故 G 的坐标为：（11，，9）因为：＞7，故 G 点不在平面 BCC上，1B1所以： G 点只能在平面DCCD 上；1 1因此有： y G=7；x G≤ 11，z G≤ 12此时：=（ x G﹣8，y G﹣ 6，z G﹣0）=（x G﹣ 8，1，z G）即有：（4，3，12）=λ（x G﹣8，1，z G）解得： x G=，z G=4；满足： x G≤ 11，z G≤ 12故 G 的坐标为：（，7，4）所以： l3=| FG| ==（ 4） l4长度计算设 G点在平面 A1 1 1 1 的投影为G’，坐标为（，7，12）B C D因为光线经过反射后，还会在原来的平面内；即： AEFGH共面故 EG的反射线 GH 只能与平面 A1B1C1 D1相交，且交点 H 只能在 A1G'；易知： l4＞| GG’| =12﹣4=8＞l3．根据以上解析，可知l1，l2， l3， l4要满足以下关系：l1=l2；且 l4＞l3对比 ABCD选项，可知，只有 C 选项满足以上条件．故选： C．18【点评】本题主要考察的空间中点坐标的概念，两点间的距离公式，解法灵活，属于难题．二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题记分，本题共 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不等式选做题11．（ 5 分）对任意 x，y∈R，| x﹣ 1|+| x|+| y﹣1|+| y+1| 的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【考点】 5A：函数最值的应用； R4：绝对值三角不等式．【专题】 59：不等式的解法及应用．【分析】把表达式分成 2 组，利用绝对值三角不等式求解即可得到最小值．【解答】解：对任意 x，y∈R，| x﹣ 1|+| x|+| y﹣1|+| y+1|=| x﹣1|+| ﹣x|+| 1﹣y|+| y+1|≥| x﹣1﹣x|+| 1﹣ y+y+1| =3，当且仅当 x∈ [ 0，1] ，y∈[ ﹣1，1] 成立．故选： C．【点评】本题考查绝对值三角不等式的应用，考查利用分段函数或特殊值求解不等式的最值的方法．坐标系与参数方程选做题12．若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段 y=1﹣x（ 0≤ x≤ 1）的极坐标方程为（）19A．ρ=，0≤θ≤B．ρ=，0≤θ≤C．ρ =cos+sinθ θ，0≤θ≤D．ρ =cos+sinθ θ，0≤θ≤【考点】 Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】 5S：坐标系和参数方程．【分析】根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcos，θy=ρsin，θ把方程y=1﹣x （0≤x≤1）化为极坐标方程．【解答】解：根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcos，θy=ρsin，θy=1﹣x（0≤x≤1），可得ρcos+θρsin θ，=1即ρ=．由 0≤x≤ 1，可得线段 y=1﹣ x（0≤x≤1）在第一象限，故极角θ∈[ 0，] ，故选： A．【点评】本题主要考查把直角坐标方程化为极坐标方程的方法，注意极角θ的范围，属于基础题．三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13．（ 5 分） 10 件产品中有 7 件正品， 3 件次品，从中任取 4 件，则恰好取到1件次品的概率是．【考点】 C6：等可能事件和等可能事件的概率．【专题】 11：计算题．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从 10 件中取 4 件有 C104种结果，满足条件的事件是恰好有 1 件次品有 C73种结果，得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从10 件中取 4 件有 C104种结果，满足条件的事件是恰好有 1 件次品有 C种结果，20∴恰好有一件次品的概率是P==故答案为：【点评】本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是利用组合数写出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，本题是一个基础题．﹣x14．（ 5 分）若曲线 y=e上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是（﹣ ln2， 2）．【考点】 6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】 11：计算题； 52：导数的概念及应用．【分析】先设 P（ x，y），对函数求导，由在在点P 处的切线与直线2x+y+1=0 平行，求出 x，最后求出 y．【解答】解：设 P（ x， y），则 y=e﹣x，∵y′=﹣e﹣x，在点 P 处的切线与直线 2x+y+1=0 平行，∴﹣ e﹣x=﹣ 2，解得 x=﹣ln2，∴ y=e﹣x=2，故 P（﹣ ln2，2）．故答案为：（﹣ln2，2）．【点评】本题考查了导数的几何意义，即点P 处的切线的斜率是该点出的导数值，以及切点在曲线上和切线上的应用．15．（ 5 分）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，向量=3﹣2与=3 ﹣的夹角为β，则cosβ=．【考点】 9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】 5A：平面向量及应用．【分析】转化向量为平面直角坐标系中的向量，通过向量的数量积求出所求向量的夹角．21【解答】解：单位向量与的夹角为α，且cosα=，不妨=（ 1，0），=，=3 ﹣2 =（），=3﹣=（），∴ cosβ===．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积，两个向量的夹角的求法，考查计算能力．16．（5 分）过点 M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+ =1（a＞b＞0）相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于．【考点】 K4：椭圆的性质．【专题】 5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用点差法，结合M 是线段 AB 的中点，斜率为﹣，即可求出椭圆C 的离心率．【解答】解：设 A（ x1，y1），B（x2， y2），则①，②，∵ M 是线段 AB 的中点，∴=1，=1，∵直线 AB 的方程是 y=﹣（x﹣1）+1，∴ y1﹣y2=﹣（x1﹣x2），∵过点 M （1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（ a＞ b＞ 0）相交于22A，B 两点， M 是线段 AB 的中点，∴①②两式相减可得，即，∴a= b，∴=b，∴e= = ．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键．五、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12 分）已知函数 f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中 a∈ R，θ∈（﹣，）（1）当 a= ，θ= 时，求 f（ x）在区间 [ 0，π]上的最大值与最小值；（2）若 f （）=0， f（π）=1，求 a，θ的值．【考点】 GP：两角和与差的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】 56：三角函数的求值．【分析】（1）由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f （x）=﹣sin（x﹣），再根据 x∈[ 0，π] ，利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最值．（ 2）由条件可得θ∈（﹣，），cosθ﹣asin2θ=0①，﹣sinθ﹣acos2θ=1②，由这两个式子求出 a 和θ的值．【解答】解：（1）当 a=，θ= 时，f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ）=sin（ x+）+cos（x+）=sinx+ cosx﹣sinx=﹣sinx+cosx23=sin（﹣ x） =﹣ sin（x﹣）．∵ x∈[ 0，π] ，∴ x﹣∈[ ﹣，] ，∴ sin（x﹣）∈[﹣，1]，∴﹣ sin（ x﹣）∈ [ ﹣1，] ，故 f（ x）在区间 [ 0，π]上的最小值为﹣ 1，最大值为．（ 2）∵ f（ x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），a∈R，θ∈（﹣，），f（）=0，f（π）=1，∴cosθ﹣asin2 θ=0①，﹣ sin θ﹣acos2θ=1②，由①求得 sin θ=，由②可得 cos2θ==﹣﹣．再根据 cos2θ=1﹣2sin2θ，可得﹣﹣=1﹣2×，求得 a=﹣1，∴ sin θ=﹣，θ=﹣．综上可得，所求的a=﹣ 1，θ=﹣．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18．（ 12 分）已知首项是1 的两个数列 { a n} ， { b n } （b n≠0，n∈N*）满足a nb n+1﹣a n+1b n+2b n+1b n =0．（1）令 c n= ，求数列 { c n } 的通项公式；（2）若 b n=3n﹣1，求数列 { a n} 的前 n 项和 S n．【考点】 8E：数列的求和； 8H：数列递推式．【专题】 15：综合题； 54：等差数列与等比数列．【分析】（1）由 a n n+1﹣a n+1n+2b n+1 n ， n，可得数列n } 是以 1 为首项，b b b =0c ={ c2 为公差的等差数列，即可求数列{ c n} 的通项公式；24（ 2）用错位相减法来求和．【解答】解：（1）∵ a n n+1﹣a n+1n+2b n+1 n ， n，b b b =0c =∴c n﹣c n+1+2=0，∴c n+1﹣ c n=2，∵首项是 1 的两个数列 { a n} ，{ b n } ，∴数列 { c n} 是以 1 为首项， 2 为公差的等差数列，∴c n=2n﹣1；（ 2）∵ b n=3n﹣1，c n=，∴a n=（ 2n﹣1）?3n﹣1，∴S n=1×30+3×31+ +（ 2n﹣1）× 3n﹣1，∴3S n=1×3+3×32+ +（2n﹣ 1）× 3n，∴﹣ 2S n=1+2?（31+ +3n﹣1）﹣（ 2n﹣1）?3n，∴S n=（ n﹣ 1） 3n+1．【点评】本题为等差等比数列的综合应用，用好错位相减法是解决问题的关键，属中档题．19．（ 12 分）已知函数 f （x）=（x2+bx+b）（b∈R）（1）当 b=4 时，求 f（ x）的极值；（2）若 f （x）在区间（ 0，）上单调递增，求 b 的取值范围．【考点】 6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】 53：导数的综合应用．【分析】（1）把 b=4 代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点对定义域分段，由导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性，从而求得极值；（ 2）求出原函数的导函数，由导函数在区间（0，）上大于等于0恒成立，得25到对任意 x∈（ 0，）恒成立．由单调性求出的范围得答案．【解答】解：（ 1）当 b=4 时，f（ x）=（x2+4x+4）=（x），则=．由 f ′（x） =0，得 x=﹣ 2 或 x=0．当x＜﹣2 时，f ′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上为减函数．当﹣ 2＜x＜ 0 时， f ′（x）＞ 0， f（x）在（﹣ 2，0）上为增函数．当 0＜x＜时， f ′（x）＜ 0， f（x）在（ 0，）上为减函数．∴当 x=﹣ 2 时， f （x）取极小值为 0．当 x=0 时， f（x）取极大值为 4；（ 2）由 f （x）=（x2+bx+b），得：=．由 f（ x）在区间（ 0，）上单调递增，得 f ′（x）≥ 0 对任意 x∈（ 0，）恒成立．即﹣ 5x2﹣3bx+2x≥0 对任意 x∈（ 0，）恒成立．∴对任意 x∈（ 0，）恒成立．∵．∴．∴ b 的取值范围是．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的极值，考查了数学转化思想方法，是中档题．2620．（ 12 分）如图，四棱锥P﹣ABCD中， ABCD为矩形，平面 PAD⊥平面 ABCD．（1）求证： AB⊥PD；（2）若∠ BPC=90°，PB= ，PC=2，问 AB 为何值时，四棱锥 P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面 BPC与平面 DPC夹角的余弦值．【考点】 MJ：二面角的平面角及求法．【专题】 5G：空间角； 5H：空间向量及应用．【分析】（1）要证 AD⊥PD，可以证明 AB⊥面 PAD，再利用面面垂直以及线面垂直的性质，即可证明AB⊥PD．（ 2）过 P 做 PO⊥ AD 得到 PO⊥平面 ABCD，作 OM⊥BC，连接 PM，由边长关系得到 BC=，PM=，设AB=x，则V P﹣ABCD=，故当时，V P﹣ABCD取最大值，建立空间直角坐标系O﹣AMP，利用向量方法即可得到夹角的余弦值．【解答】解：（1）∵在四棱锥 P﹣ ABCD中， ABCD为矩形，∴AB⊥AD，又∵平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD=AD，∴AB⊥面 PAD，∴ AB⊥ PD．（2）过 P 做 PO⊥ AD，∴ PO⊥平面 ABCD，作 OM⊥BC，连接 PM∴PM⊥ BC，∵∠ BPC=90°， PB= ， PC=2，∴ BC= ， PM== =，BM== ，设 AB=x，∴ OM=x∴ PO=，=x×==，∴ V P﹣ABCD× ×27当，即 x=，V ﹣ABCD，P=建立空间直角坐标系 O﹣ AMP，如图所示，则 P（0，0，），D（﹣，0， 0），C（﹣，，0），M（0，，0），B（，，0）面 PBC的法向量为=（ 0， 1， 1），面 DPC的法向量为=（ 1， 0，﹣ 2）∴ cosθ==﹣=﹣．由图可知二面角为锐角，即cos【点评】本题考查线面位置关系、线线位置关系、线面角的度量，考查分析解决问题、空间想象、转化、计算的能力与方程思想．21．（ 13 分）如图，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的右焦点为F，点 A，B 分别在 C 的两条渐近线 AF⊥x 轴， AB⊥OB，BF∥OA（O 为坐标原点）．（ 1）求双曲线 C 的方程；（ 2）过 C 上一点 P（ x0，y0）（y0≠0）的直线 l：﹣y0与直线AF 相交于y=1点 M ，与直线 x=相交于点N．证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．28【考点】 KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】 5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）依题意知， A（ c，），设B（t，﹣），利用AB⊥OB，BF∥ OA，可求得 a=，从而可得双曲线 C 的方程；（ 2）易求 A（2，），l的方程为：﹣y0y=1，直线l：﹣y0y=1与直线AF 相交于点 M，与直线 x=相交于点N，可求得M（2，），N（，），于是化简=可得其值为，于是原结论得证．【解答】（1）解：依题意知， A（c，），设B（t，﹣），∵AB⊥OB，BF∥OA，∴? =﹣1，=，整理得： t=，a=，∴双曲线 C 的方程为﹣y2=1；（ 2）证明：由（ 1）知 A（2，），l的方程为：﹣y0y=1，又 F（ 2，0），直线 l：﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N．29于是可得 M（2，），N（，），∴==== =．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，推理论证能力、运算求解能力、函数与方程思想，属于难题．22．（ 14 分）随机将 1，2，，2n（n∈N*， n≥ 2）这 2n 个连续正整数分成A、B 两组，每组 n 个数， A 组最小数为 a1，最大数为 a2；B 组最小数为 b1，最大数为 b2；记ξ=a2﹣ a1，η=b2﹣ b1．（1）当 n=3 时，求ξ的分布列和数学期望；（2） C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件 C 发生的概率 P（C）；（3）对（ 2）中的事件 C，表示 C 的对立事件，判断 P（C）和 P（）的大小关系，并说明理由．【考点】 CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】 5I：概率与统计．【分析】（1）当 n=3 时，ξ的取值可能为 2，3，4，5，求出随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式可得其数学期望Eξ．（2）根据 C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，利用分类加法原理，可得事件 C 发生的概率 P（C）的表达式；（3）判断 P（ C）和 P（）的大小关系，即判断 P（ C）和的大小关系，根据30（2）的公式，可得答案．【解答】解：（1）当 n=3 时，ξ的取值可能为 2，3，4，5其中 P（ξ=2）= = ，P（ξ =3）= =，P（ξ =4）= =，P（ξ =5）= =，故随机变量ξ的分布列为：ξ2345Pξ的数学期望 E（ξ） =2×+3×+4×+5×=；（2）∵ C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，∴ P（ C） =2×（ 3）当 n=2 时， P（C）=2×=，此时P（）＜；即 P（）＜P（C）；当 n≥3 时， P（ C） =2×＜，此时P（）＞；即 P（）＞P（C）；【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．31。