江苏省常州市田家炳高级中学2020-2021学年高一下学期数学三月阶段测试卷

2021-2022学年江苏省常州市前黄高级中学高一下学期3月期初调研数学试题一、单选题1．在复平面内，复数534z ii=-（i 为虚数单位），则z 对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4 B ．()4,3- C ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．43,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据复数运算法则进行运算后，再由复数的几何意义得解. 【详解】因为()()()53453443343434555i i i i i i i z i +-====-+--+，所以4355z i =--，所以复数z 所对应的点的坐标为43,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故选:D .2．已知A B R ⊆⊆，且()RA B =（ ）A ．B B ．RA C ．BA D ．∅【答案】D【分析】按照交集和补集直接运算即可. 【详解】由A B ⊆可得()RA B =∅.故选：D.3．若1sin()33απ-=-，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．79-B ．13-C ．13D ．79【答案】A【分析】利用诱导公式求得cos()6πα+的值，再利用二倍角的余弦公式求得2cos(2)2cos ()136ππαα+=+-的值.【详解】1sin()cos()336ππαα-=-=+，∴27cos(2)2cos ()1369ππαα+=+-=-，故选：A.【点睛】该题主要考查诱导公式､二倍角的余弦公式的应用，属于中档题目. 4．函数2()ln f x x x=-的零点所在的区间是（ ） A ．(34)，B ．(23)，C ．(1)2，D ．(01)， 【答案】B【分析】根据函数零点存在性定理判断即可． 【详解】(2)ln 210f =-<，2(3)ln 303f =->，(2)(3)0f f ⋅<，故零点所在区间为(2,3) 故选：B5．函数21cos 21x x y x +=⋅-的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】令()()21cos 021x x f x y x x +==⋅≠-，由()()f x f x -=-可排除B 、D ；由当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，可排除C ；即可得解.【详解】令()()21cos 021x x f x y x x +==⋅≠-，则()()()1121212cos cos cos 1211212xx x x x xf x x x x f x --+++-=-⋅=⋅=⋅=----， 所以函数()f x 为奇函数，可排除B 、D ；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，21021x x+>-，所以()0f x >，故排除C. 故选：A.【点睛】本题考查了函数图象的识别，考查了函数奇偶性与三角函数性质的应用，属于基础题. 6．设sin35sin72sin55sin18a =︒︒-︒︒，cos3214sin172cos188b ︒-=︒︒，221tan 361tan 36c -︒=+︒，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C【分析】利用三角变换化简,,a b c ，再根据正弦函数的单调性可得正确的选项. 【详解】sin35cos18cos35sin18sin17a =︒︒-︒︒=︒， 2cos3212sin 16sin164sin172cos1884sin8cos8b ︒-︒===︒︒︒︒︒，22221tan 36cos 36sin 36cos 72sin181tan 36c -︒==︒-︒=︒=︒+︒， 因为016171890︒<︒<︒<︒<︒，故sin16sin17sin18︒<︒<︒. 故c a b >>， 故选：C.7．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.受其启发，某同学设计了一个图形，该图形是由三个全等的钝角三角形与中间的一个小正三角形拼成的一个大正三角形，如图2所示，若7AB =，2DE =，则cos ABD ∠=（ ）A ．914B ．1114C ．1314D 113【答案】B【分析】在ABD △中用余弦定理求出BD 长，再由余弦定理计算即可得解.【详解】在ABD △中，设BD t =，依题意，2AD BE BD DE t ==+=+，而120ADB ∠=，由余弦定理2222cos AB BD AD BD AD ADB =+-⋅∠得：22217(2)2(2)()2t t t t =++-+⋅-，而0t >，解得3t =，再由余弦定理得22222273511cos 223714AB BD AD ABD BD AB +-+-∠===⋅⋅⋅. 故选：B8．已知函数 ()()2,3,34xf x x x =∈-+，若对任意 ()3,3x ∈-，总存在 []1,2a ∈-，使得不等 式 ()2104f x at t ++-< 都恒成立，则实数 t 的取值范围为（ ） A ．()2,0- B ．()()1,00,2-⋃C ．()0,1D ．()()2,00,1-⋃【答案】D【分析】探讨函数()f x 性质，求出()f x 最大值，再借助关于a 的函数单调性列式计算作答. 【详解】依题意， ()()24xf x f x x --==-+，则()f x 是()3,3-上的奇函数，当03x <<时，()41f x x x=+， ()f x 在(0,2)上单调递增，在(2,3)上单调递减，则()max 1(2)4f x f ==， 由奇函数性质知，函数 ()24xf x x =+在()3,3-上的最大值是14，依题意，存在 []1,2a ∈-，20at t +<，令2()g a ta t =+，显然()g a 是一次型函数， 因此，2(1)0g t t -=-<或2(2)20g t t =+<，解得01t <<或20t -<<， 所以实数 t 的取值范围为()()2,00,1-⋃. 故选：D二、多选题9．i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ） A ．若复数z 满足0z z ⋅=，则0z =B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数()z a ai a R =+∈，则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足234z i =+，则z 对应的点在第一象限或第三象限 【答案】AD【解析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果； B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果； C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果. 【详解】A 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则其共轭复数为(),z a bi a b R =-∈， 则220z z a b ⋅=+=，所以0a b ，即0z =；A 正确；B 选项，若11z =，2z i =，满足1212z z z z +=-，但12z z i =不为0；B 错；C 选项，若复数()z a ai a R =+∈表示纯虚数，需要实部为0，即0a =，但此时复数0z =表示实数，故C 错；D 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则()2222234z a bi a abi b i =+=+-=+，所以22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，则2z i =+或2z i =--，所以其对应的点分别为()2,1或()2,1--，所以对应点的在第一象限或第三象限；D 正确. 故选：AD.10．若定义在R 上的奇函数()f x 满足()(2)f x f x =-，且当[1,0)x ∈-时，()2f x x =-，则（ ） A ．()f x 在(3,5)上单调递增 B ．(1)y f x =+为偶函数C ．()f x 的最小正周期4T =D ．()f x 所有零点的集合为{}2,x x n n Z =∈【答案】BCD【分析】题目考察函数奇偶性，周期性和对称性的综合应用，结合函数的三个性质，根据[1,0)x ∈-时()2f x x =-，可以得到函数在R 上的函数性质，从而判断各选项的正确性 【详解】由题得：()()(2)2f x f x f x =-=--，令2x x =-，则()()(2)(22)44f x f x f x f x -=-+=-=--，所以()(4)f x f x =-，所以()f x 的最小正周期4T =，故C 正确；当[1,0)x ∈-时，()2f x x =-，因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以当[]0,1x ∈时，()2f x x =-，所以()f x 在(1,1)-上单调递减，因为()f x 的最小正周期4T =，所以()f x 在(3,5)上单调递减，故A 错误； 当[]13,x ∈-时，()()()00,200f f f ===，结合周期性可得：()20f n =，故D 正确；由()(2)f x f x =-得：()f x 图像关于1x =对称，(1)y f x =+是将()y f x =图像向左平移一个单位得到的，所以(1)y f x =+图像关于y 轴对称，所以(1)y f x =+是偶函数，故B 选项正确； 故选：BCD11．下列选项其中错误的是（ ）A ．对于△ABC ，若222sin sin cos 1ABC ++<，则△ABC 为锐角三角形 B ．对于△ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin sin A B >， 则A B >C ．P 在△ABC 所在平面内，若0PA PB PC ++=，则P 是△ABC 的重心D ．设a ，b 为非零向量，若0a b ⋅>，则a ，b 的夹角为锐角 【答案】AD【分析】A 、B 应用正余弦定理的边角关系即可判断正误；C 若D 为AB 中点，易得2PA PB PD +=，结合已知可得,,C P D 的关系，进而判断P 是△ABC 的何种心；D 当a ，b 同向共线时0a b ⋅>也成立. 【详解】A ：由222sin sin cos 1A B C ++<知：222sin sin sin A B C +<，由正弦定理知：222a b c +<， 由余弦定理易知：cos 0C <，即2C ππ<<，故错误；B ：由sin sin A B >及正弦定理知：a b >，根据三角形中大边对大角可知：A B >，正确；C ：若D 为AB 中点，则2PA PB PD +=，又0PA PB PC ++=知：2PC PD =-，即,,C P D 共线且2PC PD =，即P 是△ABC 的重心，正确；D ：当非零向量a ，b 同向共线时，0a b ⋅>，此时a ，b 的夹角为0，错误. 故选：AD12．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如[]2.13-=-，[]2.12=.已知函数()sin sin f x x x =+，函数()()g x f x ⎡⎤=⎣⎦，则（ ）A ．函数()g x 的值域是{}0,1,2B ．函数()g x 是周期函数C ．函数()g x 的图象关于2x π=对称D ．方程()2g x x π⋅=只有一个实数根【答案】AD【分析】先研究函数()f x 的奇偶性，作出函数()f x 的图象，作出函数()g x 的图象判断选项ABC 的正确性，再分类讨论判断方程()2g x x π⋅=的根的个数得解.【详解】由题得函数()sin sin f x x x =+的定义域为R ,()sin sin()sin |||sin |()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数()f x 为偶函数，当0x π≤≤时，()sin sin 2sin f x x x x =+=； 当2x ππ<<时，()sin sin 0f x x x =-=； 当23x ππ≤≤时，()sin sin 2sin f x x x x =+=；所以函数()f x 的图象如图所示，所以函数()g x 的图象如图所示，所以函数()g x 的值域是{}0,1,2，故选项A 正确； 由函数()g x 的图象得到()g x 不是周期函数， 故选项B 不正确；由函数()g x 的图象得到函数()g x 的图象不关于2x π=对称，故选项C 不正确；对于方程()2g x x π⋅=，当()0g x =时，0x =，方程有一个实数根； 当()1g x =时，2x π=，此时()212g π=≠，此时方程没有实数根； 当()2g x =时，x π=，此时()02g π=≠，此时方程没有实数根； 故方程()2g x x π⋅=只有一个实数根，故选项D 正确.故选：AD【点睛】关键点睛：解答本题的关键是能准确作出函数()()f x g x ，的图象，研究函数的问题，经常要利用数形结合的思想分析解答.三、填空题13．已知i 是虚数单位，若复数z 满足20191zi i =+，则z = ________.【分析】先计算复数，再计算复数的模.【详解】20191()11zii z i i z i z z =+⇒⨯-=+⇒=-+⇒==【点睛】本题考查了复数的计算，属于简单题.14．已知锐角ABC 的内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，且()3sin 5A B +=，()1sin 5A B -=，3c =，则ABC 的面积为______.【答案】3 【分析】由三角函数恒等公式求得sin ,sin ,sin A B C ，用正弦定理求出第二条边，然后再由三角形面积公式求得面积．【详解】∵ABC 的内角A ，B ，C 都是锐角，∴3sin sin()5C A B =+=，4cos()5A B +==-，cos()A B -==cos 2cos[()()]cos()cos()sin()sin()A AB A B A B A B A B A B =++-=+--+-431555=-⨯= 又2cos 212sin A A =-，∴sin A =，同理cos 2B =sin B =，由sin sin a c A C =得3sin 53sin 5c Aa C===， ∴1sin 2ABC S ac B =△1332=⨯⨯=+故答案为：3 【点睛】本题考查正弦定理，考查三角形面积公式，考查三角函数的恒等变换，解题关键是选用恰当的公式进行计算．15．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22sin cos 1A B +=，则cb a-的取值范围为____．【答案】()2,3【分析】先由22sin cos 1A B +=得2B A =，然后利用正弦定理得cb a-2cos 1A =+，再由02π,0π3πB AC A =⎧⎨=-⎩＜＜＜＜，求出角A 的范围，从而可得cb a -的取值范围. 【详解】解：在ABC 中，因为22sin cos 1A B +=，所以cos cos2B A =，所以2B A =． 由正弦定理及题设得()sin sin sin sin sin sin A B c Cb a B A B A +==--- sin cos 2cos sin 2sin 2sin A A A A A A+=-()22sin 2cos 12sin cos 2sin cos sin A A A AA A A-+=-24cos 12cos 12cos 1A A A -==+-， 由02π,0π3πB AC A =⎧⎨=-⎩＜＜＜＜得π03A ＜＜，故1cos 12A ＜＜，所以cb a-的取值范围为()2,3． 故答案为：()2,3【点睛】本小题考查解三角形等基础知识；考查运算求解能力；考查数学运算、直观想象等核心素养，体现基础性，属于基础题．16．已知函数()()lg 1,1,11x x f x xx x ⎧->⎪=⎨<⎪-⎩，()11g x x x =+-，若关于x 的方程()()f g x a =有6个实根，则实数a 的取值范围为______. 【答案】 3,14⎛⎫⎪⎝⎭【分析】作出函数()f x 图像，求()g x 的值域，利用换元法转化为两个函数图像交点问题，利用数形结合进行求解即可.【详解】当=1x -或1x =时不合题意，当1x ≠±时，()()()11,31,g x x x=+-∈-∞-⋃+∞， 当()(),31,t ∈-∞-⋃+∞时，函数()f t 的图像如下：()334f -=， 设方程()f t a =， 当314a <<时方程()f t a =有3根1t ，2t ，3t ，其中13t <-，12t <<，32t > 所以当()()1,2,3i g x t i ==分别有2根，()()f g x a =有6根. 当34a ≤或1a ≥时，不合题意. 故答案为:314a <<四、解答题17．已知复数()242z i i i =+-+. （1）求复数z 的模z ；（2）若223z mz n i --=+（m ，n ∈R ），求m 和n 的值.【答案】（1）5；（2）25m n =-⎧⎨=⎩．【分析】（1）根据复数的代数形式的四则运算及复数的模的计算公式求解即可；（2）由（1）知43z i =+，由此可得4422333m n m --=⎧⎨--=⎩，解出即可．【详解】解：（1）()24224243z i i i i i i =+-+=+-+=-， 则22435z =+=；（2）由（1）知43z i =-，43z i =+， ∴()24343223z mz n i m i n i --=--+-=+，即()4423323m n m i i --+--=+，∴4422333m n m --=⎧⎨--=⎩， 解得25m n =-⎧⎨=⎩．【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算，考查复数的模与共轭复数，属于基础题． 18．已知向量()2cos ,1m x ω=-，()sin cos ,2n x x ωω=-，其中0ω>，函数()3f x m n =⋅+，若函数()f x 图象的两个相邻对称中心的距离为π2.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图象先向左平移π4个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，当ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域．【答案】（1）3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z)；（2）⎡⎣．【分析】（1）根据题意，代入数量积公式表示出()f x ，然后化简得())4f x x πω=-，利用周期计算得1ω=，利用整体法计算单调增区间；（2）利用平移变换得函数()g x 的解析式，利用整体法计算值域.【详解】（1）由题意可得，()32cos (sin cos )23ωωω=⋅+=--+f x m n x x x ，22sin cos 2cos 1sin 2cos 2)4πωωωωωω=-+=-=-x x x x x x .由题意知，22T ππω==，得1ω=，则())4f x x π-，由222,242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈，∴()f x 的单调递增区间为3,()88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（2）将()f x 的图象向左平移4π个单位长度，得到)4y x π=+的图象，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到())4π=+g x x 的图象．∵,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴sin()124π≤+≤x ，故函数()g x 的值域为⎡⎣. 【点睛】关于三角函数解析式的化简问题，首先需要利用和差公式或者诱导公式展开化为同角，其次利用降幂公式进行降次，最后利用辅助角公式进行合一变换，最终得到()()sin f x A x =+ωϕ的形式.19．在①2212tan tan tan tan A A B B+=，②cos cos a A b B =，③cos cos cos a a B b A B =+三个条件中，任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答．ABC 中，2a b =，___________，M 为ABC 内部一点，22290CMA CM BM c ∠=︒+=，（1）判断ABC 的形状． （2）求tan MCA ∠的值．注：如果选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分【答案】选择见解析；（1）直角三角形；（22． 【分析】选条件①：（1）把2212tan tan tan tan A A B B +=整理得到1tan =tan A B，求出=90C ︒，即可求解； （2）设()090MCA θθ∠=︒<<︒，则cos MC b θ=.在BCM 中，利用余弦定理结合已知条件，同角三角函数的基本关系即可求解； 选条件②：（1）把cos cos a A b B =用正弦定理转化为：sin cos sin cos A A B B =,求出=90C ︒，即可求解. （2）设()090MCA θθ∠=︒<<︒，则cos MC b θ=.在BCM 中，利用余弦定理结合已知条件，同角三角函数的基本关系即可求解； 选条件③： （1）把cos cos cos aa Bb A B=+利用正弦定理转化为：2sin sin cos sin cos cos A A B B A B =+，求出=90C ︒，即可求解.（2）设()090MCA θθ∠=︒<<︒，则cos MC b θ=.在BCM 中，利用余弦定理结合已知条件，同角三角函数的基本关系即可求解； 【详解】选条件①：（1）2212tan tan tan tan AA B B+=. 则222tan 1tan 0tan tan A A B B -+=，即21tan 0tan A B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1tan =tan A B ， 所以sin cos =cos sin A BA B,即cos cos sin sin 0A B A B -=,所以()cos 0A B +=， 所以=90A B +︒，所以=90C ︒，所以ABC 为直角三角形；（2）设()090MCA θθ∠=︒<<︒，则cos MC b θ=.在BCM 中，利用余弦定理可得：()()()222222cos 90cos 2cos cos 90BM CB CM CB CM a b ab θθθθ=+-︒-=+-︒-因为222=BM CM c +，故22222cos 2cos sin a b ab c θθθ+-=，因为2a b =，所以5c b =，代入化简得：22cos 4cos sin sin =0θθθθ--，所以2tan 4tan 1=0θθ+-，解得：tan =25θ±因为090θ︒<<︒，所以tan =25θ+选条件②：（1）cos cos a A b B =.利用正弦定理得：sin cos sin cos A A B B =,即sin 2sin 2A B =， 所以A B =或=90A B +︒.因为2a b =，所以A B ≠，所以=90A B +︒，即=90C ︒，所以ABC 为直角三角形； （2）设()090MCA θθ∠=︒<<︒，则cos MC b θ=.在BCM 中，利用余弦定理可得：()()()222222cos 90cos 2cos cos 90BM CB CM CB CM a b ab θθθθ=+-︒-=+-︒-因为222=BM CM c +，故22222cos 2cos sin a b ab c θθθ+-=，因为2a b =，所以5c b =，代入化简得：22cos 4cos sin sin =0θθθθ--，所以2tan 4tan 1=0θθ+-，解得：tan =25θ±因为090θ︒<<︒，所以tan =25θ+选条件③：（1）cos cos cos aa Bb A B=+. 利用正弦定理可得：sin sin cos sin cos cos AA B B A B=+,即2sin sin cos sin cos cos A A B B A B =+，化简得：()sin sin sin cos cos =0B A B A B -.所以()cos =0A B +，所以=90A B +︒，所以=90C ︒，所以ABC 为直角三角形； （2）设()090MCA θθ∠=︒<<︒，则cos MC b θ=.在BCM 中，利用余弦定理可得：()()()222222cos 90cos 2cos cos 90BM CB CM CB CM a b ab θθθθ=+-︒-=+-︒-因为222=BM CM c +，故22222cos 2cos sin a b ab c θθθ+-=，因为2a b =，所以c =，代入化简得：22cos 4cos sin sin =0θθθθ--，所以2tan 4tan 1=0θθ+-，解得：tan =2θ±因为090θ︒<<︒，所以tan =2θ+20．已知函数()33x xf x a -=+⋅为偶函数.(1)求实数a 的值；(2)若关于x 的不等式()()20f x mf x -≥恒成立，求实数m 的取值范围；(3)设函数()()33xg x f x x -=+--的零点为0x ，求证：()0529210f x <<. 【答案】(1)1a = (2)1m (3)证明见解析【分析】（1）根据偶函数的定义求得a 的值.（2）利用分离常数法，结合换元法、函数的单调性来求得m 的取值范围. （3）先求得0x 的取值范围，结合函数的单调性证得不等式成立.【详解】（1）()33x xf x a --=+⋅，由于()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，即3333x x x x a a --+⋅=+⋅，所以1a =，()33x xf x -=+.（2）依题意关于x 的不等式()()20f x mf x -≥恒成立，即()2233330x x x xm --+-+≥，()22233233233333333x xx x x xx x x x x xm ------+-+≤==+-+++，令332x x t -=+≥=，当0x =时等号成立， 由于()22y t t t =-≥是单调递增函数，2212-=，即21t t -≥， 所以1m .（3）函数()()333333033x x x x xg x f x x x x ---=+--=+-=+-+-=的零点为0x ，即00330xx +-=，函数()33xg x x =+-在R 上递增，()33log 22log 230g =+-<，()33log 2.5 2.5log 2.53log 0.50g =+->=，所以3030log 2log 2.51x <<<<，对任意120x x <<，()()1122123333x x x xf x f x ---=+--()1212121212123333133333333x x x x x x x x x x x x -⋅-=--=-⋅⋅⋅，其中1212330,3310x x x x -<⋅->，所以()()12f x f x <，即()f x 在()0,∞+上递增， 所以()()()303log 2log 2.5f f x f <<， 即()0529210f x <<. 21．由于2020年1月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常．李克强总理在6月1日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意，已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中120APB ∠=，且在该区域内点R 处有一个路灯，经测量点R 到区域边界PA 、PB 的距离分别为4m RS =，6m RT =，（m 为长度单位）．陈某准备过点R 修建一条长椅MN （点M 、N 分别落在PA 、PB 上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息．(1)求点P 到点R 的距离；(2)为优化经营面积，当PM 等于多少时，该三角形PMN 区域面积最小？并求出面积的最小值． 【答案】(1)421m 3(2)当83m PM =时，三角形PMN 区域面积取最小值2323m【分析】（1）连接ST 、PR ，计算出60SRT ∠=，利用余弦定理可求得ST 的长；计算出cos STR ∠，可得出sin PTS ∠，利用正弦定理可求得SP 的长，再利用勾股定理可求得PR 的长； （2）利用三角形的面积公式可得出3234PM PN PM PN ⋅=+，利用基本不等式可求得PM PN ⋅的最小值，即可求得PMN 面积的最小值.【详解】（1）解：连接ST 、PR ，在RST 中，因为RS PA ⊥，RT PB ⊥，则60SRT ∠=， 由余弦定理可得：22246246cos6028ST =+-⨯⨯⨯=，所以，()27m ST =.在RST 中，由余弦定理可得，22227cos 2ST RT SR STR ST RT +-∠==⋅ 在PST 中，()27sin sin 90cos PTS STR STR ∠=-∠=∠=， 由正弦定理可得sin sin120SP ST PTS =∠，解得sin 83sin120ST PTS SP ∠==． 在直角SPR △中，222228311243PR RS SP =+=+=⎝⎭，所以，)421m PR =. （2）解：因为13sin12024PMN S PM PN PN =⋅⋅=⋅△， 11462322PMN PRM PRNS S S PM PN PM PN =+=⨯+⨯=+△△△．23PM PN PM PN ⋅=+≥128PM PN ⋅≥，当且仅当PM =)2m PMN S PN =⋅≥△． 22．布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点"函数，而称0x 为该函数的一个不动点． 现新定义： 若0x 满足()00f x x =-，则称0x 为()f x 的次不动点． (1)判断函数22f x x 是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点； 若不是，请说明理由 (2)已知函数()112g x x =+，若a 是()g x 的次不动点，求实数a 的值： (3)若函数()()12log 42x xh x b =-⋅在[]0,1上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数b 的取值范围．【答案】(1)是“不动点”函数，不动点是2和1-； (2)23a =-；(3)[]0,1.【分析】(1)根据不动点定义列出方程，求解方程即可作答. (2)根据次不动点定义列出方程，求解方程即可作答.(3)设出不动点和次不动点，建立函数关系，求出函数最值推理作答.【详解】（1）依题意，设0x 为()f x 的不动点，即()00f x x =，于是得2002x x -=，解得02x =或01x =-，所以22f x x 是“不动点” 函数，不动点是2和1-.（2）因()112g x x =+是“次不动点”函数，依题意有()g a a =-，即112a a +=-，显然0a ≤，解得23a =-，所以实数a 的值是23-.（3）设,m n 分别是函数()()12log 42x xh x b =-⋅在0,1上的不动点和次不动点，且,m n 唯一，由()h m m =得：()12log 42m m b m -⋅=，即142()2m m m b -⋅=，整理得：124mm b =-，令()124mm m ϕ=-，显然函数()m ϕ在0,1上单调递增，则()min(0)0m ϕϕ==，()max 7(1)4m ϕϕ==，则704b ≤≤， 由()h n n =-得：()12log 42n nb n -⋅=-，即422n n n b -⋅=，整理得：21n b =-， 令()21nu n =-，显然函数()u n 在0,1上单调递增，min ()(0)0u n u ==，max ()(1)1u n u ==，则01b ≤≤，综上得：01b ≤≤， 所以实数b 的取值范围0,1.【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.。

江苏省常州市高级中学2020-2021学年高一数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，，则等于（）A．B．C．D．参考答案：C2. 在等差数列中，已知，且的前项和，则在中，最大的一个是（）A． B．C． D．参考答案：A解析：由得，，，又因为3. 已知f（x）=log（x2﹣2x）的单调递增区间是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，1）参考答案：C【考点】复合函数的单调性．【分析】令t=x2﹣2x＞0，求得函数的定义域，且f（x）=g（t）=log t，根据复合函数的单调性，本题即求函数t=x2﹣2x在定义域内的减区间，利用二次函数的性质可得函数t=x2﹣2x在定义域内的减区间．【解答】解：令t=x2﹣2x＞0，求得x＜0，或x＞2，故函数的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞），且f（x）=log（x2﹣2x）=g（t）=log t．根据复合函数的单调性，本题即求函数t=x2﹣2x在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得函数t=x2﹣2x在定义域内的减区间为（﹣∞，0），故选：C．4. 设全集U=｛1，2，3，4，5｝，集合A=｛1，2｝，B=｛2，3｝，则A∩=( )A． B． C ． D．参考答案：C5. 设全集为，集合是的子集，定义集合的运算：，则等于A．B．C．D．参考答案：B6. 在中，，则等于（）A． B． C． D．参考答案：D7. 若，，则的值是（）A．B．C．D．参考答案：A 解析：8. 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，若将f（x）图象上所有点的横坐标缩短来原来的倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为（）A．y=sin（4x+）B．y=sin（4x+）C．y=sin（x+）D．y=sin（x+）参考答案：A【考点】正弦函数的图象．【分析】首先根据函数的图象确定确定A，ω，?的值，进一步利用函数图象的平移变换求出结果．【解答】解：根据函数的图象：A=1，则：T=π利用解得：?=k（k∈Z）由于|?|＜所以：?=求得：f（x）=将f（x）图象上所有点的横坐标缩短来原来的倍（纵标不变）g（x）=故选：A9. 若函数y=既存在最大值M，又存在最小值m，则M+m的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4参考答案：D【考点】三角函数的最值．【分析】将4=4sin2x+4cos2x代入函数式化简得y=﹣2+，令g（x）=，则g（x）为奇函数，故而M+m=﹣4．【解答】解：y===﹣2+．令g（x）=，则M=﹣2+g max（x），m=﹣2+g min（x）．∵g（﹣x）==﹣g（x）．∴g（x）是奇函数．∴g max（x）+g min（x）=0，∴M+m=﹣2+g max（x）﹣2+g min（x）=﹣4．故选：D．10. 设为奇函数且在(－∞,0)上单调递减，，则的解集为（）A.(－2,0)∪(2,+∞)B. (－∞,－2)∪(0,2)C. (－∞,－2)∪(2,+∞)D. (－2,0)∪(0,2)参考答案：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知正数a ，b 满足，则的最小值为．参考答案：7已知正数a ,b 满足ab =a+b +1,则，a >0，得到b >1，所以，当且仅当b =2时等号成立； 所以a +2b 的最小值为7. 12.化为弧度角等于 ；参考答案：略 13. 若，且，则向量与的夹角为 ．参考答案：14. 已知定义在R 上的偶函数f （x ）在[0，+∞）上递减，且f （1）=0，则不等式f （log 4x ）+f （log x ）≥0的解集为 ．参考答案：[，4]【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据对数的运算性质进行化简，结合函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．【解答】解：∵定义在R 上的偶函数f （x ）在[0，+∞）上递减，且f （1）=0， ∴不等式f （log 4x ）+f （log x ）≥0等价为不等式f （log 4x ）+f （﹣log 4x ）≥0 即2f （log 4x ）≥0，则f （|log 4x|）≥f（1）， 即|log 4x|≤1，即﹣1≤log 4x≤1，则﹣≤x≤4，即不等式的解集为[，4]，故答案为：[，4]．【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化是解决本题的关键．15. 向量a=（2x ，1），b=（4，x ），且a 与b 的夹角为180。

2020-2021学年江苏省常州市教育学会高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 函数f(x)=sin2x 的最小正周期是( )A. π4B. π2C. πD. 2π2. 在△ABC 中，已知sin A ：sin B ：sinC =2：3：4，那么△ABC 最小内角的余弦值为( )A. 524B. 1116C. 78D. −143. 将函数f(x)=sin2x 的图象向右平移π6个单位长度得到g(x)图象，则函数的解析式是( )A. g(x)=sin(2x +π3) B. g(x)=sin(2x +π6) C. g(x)=sin(2x −π3)D. g(x)=sin(2x −π6)4. 欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ(i 为虚数单位，e 为自然对数的底数)是由瑞士著名数学家欧拉给出的，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，e 3i 表示的复数在复平面中对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 已知向量(cosα,sinα)与向量(1,3)共线，则tan2α=( )A. −3B. 3C. −34D. 346. 若sin(α+β)sin(α−β)=3，且α，β≠kπ2(其中k ∈Z)，则tanβtanα=( )A. 12B. −12C. 2D. −27. 边长为2的菱形ABCD 中，M 为边CD 的中点，若BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 1B. 3C. √3D. −√38. 在△ABC 中，B =π4，D 为BC 边上一点，AD =√13，AC =7，CD =4，则AB =( )A. √62B. √6C. 3√62D. 2√6二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 设向量a⃗ =(k,2)，b ⃗ =(1,−1)，则下列命题中正确的有( ) A. |a ⃗ +b ⃗ |的最小值为3 B. |a ⃗ −b ⃗ |的最小值为3 C. 若a ⃗ //b ⃗ ，则k =−2D. 若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则k =210. 设z 1，z 2是复数，则下列命题中正确的有( )A. 若|z 1−z 2|=0，则z 1=z 2B. 若|z 1|=|z 2|，则z 12=z 22C. 若(z1−1)2+(z2−1)2=0，则z1=z2=1D. 若|z1|=1，|z2−5i|=2，则2≤|z1−z2|≤811.若函数f(x)=2cosx(cosx−sinx)，则()A. f(x)的最大值是4B. f(x)的最小正周期是πC. f(x)的图象关于直线x=−π8对称D. f(x)在区间[3π8,7π8]上单调递减12.设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，下列条件中，可以判定△ABC一定为等腰三角形的有()A. acosA=bcosBB. acosB=bcosAC. bsinB=csinCD. sinA=2sinBcosC三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在平面直角坐标系xOy中，角α，α+π4的始边均为x轴的正半轴，若点P(5,m)，Q(5,12)分别在α，α+π4的终边上，则实数m的值是______ ．14.在平面四边形ABCD中，AB=√2，BC=√3，AB⊥AD，AC⊥CD，AD=3AC，则AD=______ ．15.笛卡尔坐标系是直角坐标系与斜角坐标系的统称，如图，在平面斜角坐标系xOy中，两坐标轴的正半轴的夹角为60°，e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量a⃗=x e1⃗⃗⃗ +y e2⃗⃗⃗ ，则称有序实数对(x,y)为a⃗在该斜角坐标系下的坐标.若向量m⃗⃗⃗ ，n⃗在该斜角坐标系下的坐标分别为(3,2)，(2,k)，当k=______ 时，m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=11．16.用sinα表示sin3α，则sin3α=______ ；利用该等式并结合sin54°=cos36°，可得sin18°=______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知平面向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=2，|b⃗ |=3，a⃗，b⃗ 的夹角为45°．(1)求a⃗⋅b⃗ ；(2)求|a⃗+b⃗ |2+|a⃗−b⃗ |2．18.已知定义在R上的函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤π2)在x=π6时取到最大值2√2，f(x)的最小的正的零点为7π6．(1)求f(x)的解析式；(2)若关于x的方程f(x−π6)=m在区间[0,π]上有实根，求实数m的取值范围．19.已知虚数z满足|z|=2，i为虚数单位．(1)若z(1+√3i)是纯虚数，求z；(2)求证：z−2z+2为纯虚数．20.在△ABC中，a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，sin2A+sin2B−sin2C=sinAsinB．(1)求C；(2)若2sinA−sinB=√33，求cos A．21. 如图，在直角梯形ABCD 中，AB//DC ，AB ⊥BC ，AB =8，CD =14，点M ，N分别在线段AD ，AC 上(均不与A 重合)，且AM =√2AN ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2． (1)求tan∠CAD ； (2)求边BC 的长．22. 已知有半径为r ，圆心角为α(其中α为给定的锐角)的扇形铁皮OMN ，现利用这块铁皮并根据下列方案之一，裁剪出一个矩形．方案1：如图1，裁剪出的矩形ABCD 的顶点A ，B 在线段ON 上，点C 在弧MN 上，点D 在线段OM 上；方案2：如图2，裁剪出的矩形PQRS 的顶点P ，S 分别在线段OM ，ON 上，顶点Q ，R 在弧MN ⏜上，并且满足PQ//RS//OE ，其中点E 为弧MN⏜的中点． (1)按照方案1裁剪，设∠NOC =θ，用θ表示矩形ABCD 的面积，并求出其最大面积；(2)按照方案2裁剪，求矩形PQRS的最大面积，并与(1)中的结果比较后指出按哪种方案可以裁剪出面积最大的矩形．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由正弦函数的周期公式可得：T=2π2=π；故选C．直接利用正弦函数的周期公式求解即可．考查正弦函数的周期公式的应用，基础题送分题．2.【答案】C【解析】解：∵sinA：sin B：sinC=2：3：4，∴由正弦定理可得a：b：c=2：3：4，∴a=2b3，c=4b3，A为三角形的最小内角，∴由余弦定理可得cosA=b2+c2−a22bc =b2+16b29−4b292b×4b3=78．故选：C．由正弦定理可得a：b：c=2：3：4，进而可用b表示a，c，可求A为三角形的最小内角，代入余弦定理化简即可得解．本题考查正余弦定理的应用，用b表示a，c是解决问题的关键，属于基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．【解答】解：由题意，将函数f(x)=sin2x的图象向右平移π6个单位长度，可得g(x)=sin2(x−π6)=sin(2x−π3)的图象，故选C．4.【答案】B【解析】解：由题意可得e3i=cos3+isin3，因为π2<3<π，所以cos3<0，sin3>0，所以e3i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故选：B．由题意可得e3i=cos3+isin3，再根据3的范围即可求解．本题考查了复数的运算性质，涉及到三角函数的性质，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：∵向量(cosα,sinα)与向量(1,3)共线，∴3cosα−sinα=0，∴tanα=3，则tan2α=2tanα1−tan2α=−34，故选：C．由题意利用两个向量平行的性质求得tanα，再利用二倍角的正切公式，计算求得结果．本题主要考查两个向量平行的性质，二倍角的正切公式的应用，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：因为sin(α+β)sin(α−β)=3，且α，β≠kπ2(其中k∈Z)，所以sinαcosβ+sinβcosα=3sinαcosβ−3sinβcosα，所以sinαcosβ=2sinβcosα，即tanα=2tanβ，则tanβtanα=12．故选：A．由已知结合两角和与差的正弦公式及同角基本关系进行化简即可求解．本题主要考查了两角和与差的正弦公式及同角基本关系，属于基础题．7.【答案】B【解析】解∵AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=4+1−2=3，故选：B ．首先将AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别用向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，然后进行数量积的运算即可． 本题考查了向量的三角形法则的运用以及向量数量积的运算，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：∵B =π4，D 为BC 边上一点，AD =√13，AC =7，CD =4， ∴△ADC 中，由余弦定理可得，cos∠ADC =AD 2+CD 2−AC 22AD⋅CD =2×√13×4=−5√1326， ∴sin∠ADB =sin∠ADC =√1−cos 2∠ADC =3√3926， ∴△ABD 中，由正弦定理ABsin∠ADB =ADsinB ，可得AB =AD⋅sin∠ADBsinB=√13×3√3926√22=3√62． 故选：C ．在△ADC 中，先由余弦定理求cos∠ADC ，然后结合诱导公式及同角基本关系求sin∠ADB =sin∠ADC ，在△ABD 中由正弦定理ABsin∠ADB =ADsinB 代入即可求解．本题主要考查了利用正弦定理，余弦定理求解三角形，属于中档题．9.【答案】BCD【解析】解：a ⃗ +b ⃗ =(k +1,1)，a ⃗ −b ⃗ =(k −1,3)，|a ⃗ +b ⃗ |=√(k +1)2+1，|a ⃗ −b ⃗ |=√(k −1)2+9， ∴|a ⃗ +b ⃗ |的最小值为1，|a ⃗ −b ⃗ |的最小值为3， 若a ⃗ //b ⃗ ，则−k −2=0，∴k =−2， 若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则a ⃗ ⋅b ⃗ =k −2=0，∴k =2． 故选：BCD ．根据条件可得出|a ⃗ +b ⃗ |=√(k +1)2+1，|a ⃗ −b ⃗ |=√(k −1)2+9，从而可判断选项A 错误，B 正确；a ⃗ //b ⃗ 时，可得出−k −2=0，从而判断C 正确；a ⃗ ⊥b ⃗ 时，可得出a ⃗ ⋅b⃗ =0，从而判断D 正确． 本题考查了向量坐标的加法、减法和数量积的运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，平行向量的坐标关系，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．10.【答案】AD【解析】解：对于选项A：设z1=a+bi，z2=c+di(a,b，c，d∈R)，若|z1−z2|=0，则|(a−c)+(b−d)i|= 0，所以√(a−c)2+(b−d)2=0，所以a=c，b=d，即z1=z2，故选项A正确，对于选项B：令z1=i，z2=1，则|z1|=|z2|=1，而z12=i2=−1，z22=1，所以z12≠z22，故选项B错误，对于选项C：令z1=1+i，z2=2，则(z1−1)2+(z2−1)2=i2+1=0，而z1≠1，z2≠1，故选项C 错误，对于选项D：由题意可知，z1表示以原点(0,0)为圆心，1为半径的圆上的点M，z2表示以点A(0,5)为圆心，2为半径的圆上的点N，所以|z1−z2|表示M，N的距离，∴|z1−z2|min=√(0−0)2+(0−5)2−2−1=2，|z1−z2|max=√(0−0)2+(0−5)2+2+1=8，∴2≤|z1−z2|≤8，故选项D正确，故选：AD．利用复数的概念和复数的模长定义求解．本题主要考查了复数的运算，考查了复数的模长，同时考查了学生的计算能力，是基础题．11.【答案】BC【解析】解：∵f(x)=2cosx(cosx−sinx)=1+cos2x−sin2x=1+√2cos(2x+π4)，∴f(x)的最大值是1+√2，故A错误；f(x)的最小正周期T=2π2=π，故B正确；当x=−π8时，f(−π8)=1+√2cos0=1+√2，∴f(x)的图象关于直线x=−π8对称，故C正确；x∈[3π8,7π8]⇒(2x+π4)∈[π,2π]，∴f(x)在区间[3π8,7π8]上单调递增，故D错误，故选：BC．利用倍角公式可得f(x)=1+√2cos(2x+π4)，利用余弦函数的性质对A、B、C、D四个选项逐一分析可得答案．本题考查余弦函数的周期性、对称性、单调性、最值等性质，考查运算能力，属于中档题．12.【答案】BCD【解析】解：因为acosA=bcosB，由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，所以2A=2B或2A+2B=180°，所以A=B或A+B=90°，△ABC为等腰三角形或直角三角形，A不符合题意；因为acosB=bcosA，由正弦定理得sinAcosB=sinBcosA，即sin(A−B)=0，所以A=B，即△ABC一定为等腰三角形，B符合题意；因为asinB=csinC，由正弦定理得sinB⋅sinB=sinC⋅sinC，即sinC=sinB，所以C=B，△ABC一定为等腰三角形，C符合题意；因为sinA=2sinBcosC，所以sin(B+C)=2sinBcosC，所以sinBcosC+sinCcosB=2sinBcosC，所以sinCcosB=sinBcosC，即sin(B−C)=0，所以B=C，△ABC一定为等腰三角形，D符合题意．故选：BCD．由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简检验各选项即可判断．本题主要考查了正弦定理，和差角公式在三角形形状判断中的应用，公式的灵活应用是求解问题的关键．13.【答案】3517【解析】解：由题意得tanα=m5，tan(α+45°)=125，而tan(α+45°)=tanα+tanπ41+tanαtanπ4=1+m51−m5=125，解得t=3517．故答案为：3517．根据任意角的三角函数定义分别求出tanα和tan(α+π4)，然后利用两角和的正切函数公式及特殊角的三角函数值得到一个关于m的方程，进而可求出m的值．此题考查学生掌握任意角的三角函数的定义，灵活运用两角和与差的正切函数公式化简求值，属于基础题．14.【答案】9【解析】解：设AC=x，AD=3x，在Rt△ACD中，CD=√AD2−AC2=2√2x，所以sin∠CAD=CDAD =2√23，在△ABC中，由余弦定理cos∠BAC=AB 2+AC2−BC22AB⋅AC=x2−12√2x，由于∠BAC+∠CAD=π2，所以cos∠BAC=sin∠CAD，即x2−12√2x =2√23，整理可得3x2−8x−3=0，解得x=3或−13(舍去)，即AC=3，所以AD=3AC=9．故答案为：9．设AC=x，AD=3x，在Rt△ACD中利用勾股定理可求CD=2√2x，可求sin∠CAD=2√23，由余弦定理cos∠BAC=x2−12√2x，由cos∠BAC=sin∠CAD，可得3x2−8x−3=0，解得x的值，进而可求AD的值．本题主要考查了三角形中的几何计算，考查了勾股定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和方程思想，属于中档题．15.【答案】67【解析】解：由题意得，m⃗⃗⃗ =3e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ ，n⃗=2e1⃗⃗⃗ +k e2⃗⃗⃗ ，∴m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=(3e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ )⋅(2e1⃗⃗⃗ +k e2⃗⃗⃗ )=6e1⃗⃗⃗ 2+(3k+4)e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ +2k e2⃗⃗⃗ 2=6+12(3k+4)+2k=11，∴7k=6，∴k=67．故答案为：67．根据题意，得到m⃗⃗⃗ =3e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ ，n⃗=2e1⃗⃗⃗ +k e2⃗⃗⃗ ，再利用数量积的法则，把式子展开即可求出．本题考查向量数量积的运算法则，属于基础题．16.【答案】3sinα−4sin3α√5−14【解析】解：sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα=2sinα(1−sin2α)+(1−2sin2α)sinα= 3sinα−4sin3α.∵sin54°=cos36°，∵cos36°=1−2sin218°，sin54°=3sin18°−4sin318°，∴1−2sin218°=3sin18°−4sin318°，∴3sin18°(1−sin218°)−(sin318°−2sin218°+1)=0，可得3sin18°(1−sin18°)(1+sin18°)−(sin18°−1))(sin218°−sin18°−1)=0，可得(1−sin18°)[3sin18°(1+sin18°)+sin218°−sin18°−1]=0，可得3sin18°(1+sin18°)+sin218°−sin18°−1=0，可得4sin218°+2sin18°−1=0，解得sin18°=−2+2√52×4=√5−14，(负值舍去)．故答案为：3sinα−4sin3α，√5−14．将sin3α化简为sin(2α+α)，利用两角和差的公式和二倍角公式化简即可得解；利用三角函数恒等变换的应用转化为4sin218°+2sin18°−1=0即可求sin18°的值．本题考查了三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵|a⃗|=2，|b⃗ |=3，a⃗，b⃗ 的夹角为45°，∴a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗ |⋅cos45°=6×√22=3√2，(2)∵|a⃗+b⃗ |2=(a⃗+b⃗ )2=a⃗2+2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=4+2×2×3×√22+9=13+6√2，|a⃗−b⃗ |2=(a⃗−b⃗ )2=a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=4−2×2×3×√22+9=13−6√2，∴|a⃗+b⃗ |2+|a⃗−b⃗ |2=26．【解析】(1)利用数量积的定义即可求解．(2)利用已知条件，通过向量的模以及数量积的运算法则，转化求解即可．本题考查向量的数量积的求法，向量的模的求法，是基础题．18.【答案】解：(1)定义在R上的函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤π2)在x=π6时取到最大值2√2，f(x)的最小的正的零点为7π6，∴A=2√2，14⋅2πω=7π6−π6，∴ω=12．再根据f(π6)=2√2sin(12⋅π6+φ)=2√2，∴π12+φ=2kπ+π2，k∈Z，∴φ=5π12，f(x)=2√2sin(12x+5π12).(2)关于x的方程f(x−π6)=m=2√2sin(x2+π3)在区间[0,π]上有实根，即2√2sin(x2+π3)=m在区间[0,π]上有实根，当x∈[0,π]，x2+π3∈[π3,5π6]，sin(x2+π3)∈[12,1]，故m=2√2sin(x2+π3)∈[√2,2√2]，故m的取值范围为[√2,2√2].【解析】(1)由函数的最大值求出A，由周期求出ω，由最值点求出φ的值，可得函数的解析式．(2)由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得m的值．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由函数的最大值求出A，由周期求出ω，由最值点求出φ的值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．19.【答案】解：(1)设z=a+bi，(a,b∈R,b≠0)，∵|z|=2，∴a2+b2=4．∵z(1+√3i)=(a+bi)(1+√3i)=a−√3b+(b+√3a)i是纯虚数，∴a−√3b=0，b+√3a≠0，又a2+b2=4，解得：{a=√3b=1，或{a=−√3b=−1．∴z=√3+i，z=−√3−i；(2)证明：由在为虚数，得z≠−2，∵a2+b2=4，∴z−2z+2=a−2+bia+2+bi=(a−2+bi)(a+2−bi)(a+2+bi)(a+2−bi)=a2+b2−4+4bi(a+2)2+b2=4bi(a+2)2+b2=4bi8+4a=b2+ai，∵b≠0，∴z−2z+2为纯虚数．【解析】(1)设z=a+bi，(a,b∈R,b≠0)，由|z|=2，可得a2+b2=4.由z(1+√3i)=a−√3b+(b+√3a)i是纯虚数，可得a−√3b=0，b+√3a≠0，解得a，b即可得出．(2)由在为虚数，得z≠−2，利用a2+b2=4，代入化简z−2z+2即可证明结论．本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．20.【答案】解：(1)因为sin2A+sin2B−sin2C=sinAsinB，所以由正弦定理可得a2+b2−c2=ab，由余弦定理可得cosC=a2+b2−c22ab =ab2ab=12，又C∈(0,π)，所以C=π3．(2)因为由(1)可得C=π3，又A+B+C=π，所以B=2π3−A，又2sinA−sinB=√33，可得2sinA−sin(2π3−A)=2sinA−√32cosA−12sinA=32sinA−√32cosA=√3sin(A−π6)=√33，所以sin(A−π6)=13，由0<A<2π3，可得−π6<A−π6<π2，可得cos(A−π6)=√1−sin2(A−π6)=2√23，所以cosA=cos[(A−π6)+π6]=cos(A−π6)cosπ6−sin(A−π6)sinπ6=2√23×√32−13×12=2√6−16．【解析】(1)由正弦定理化简已知等式可得a2+b2−c2=ab，由余弦定理可得cosC=12，结合C∈(0,π)，可求C的值．(2)由已知利用三角函数恒等变换的应用可求sin(A−π6)=13，可求范围−π6<A−π6<π2，利用同角三角函数基本关系式可求cos(A−π6)的值，根据A=(A−π6)+π6，利用两角和的余弦函数公式即可计算得解cos A的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．21.【答案】解：(1)设AN =a ，则AM =√2a ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15a 2， 则cos∠CAD =AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=15a 2√2a⋅a=√210>0， ∴∠CAD 为锐角，∴sin∠CAD =√1−(√210)2=7√210，∴tan∠CAD =sin∠CADcos∠CAD =7．(2)过A 作AE ⊥CD 于E ，则BC =AE ，CE =AB =8，DE =6， 设AE =x ，则在Rt △ADE 中，tan∠DAE =DEAE =6x ， 在Rt △ACE 中，tan∠CAE =CEAE =8x ， ∴tan∠CAD =tan(∠DAE +∠CAE)=tan∠DAE+tan∠CAE 1−tan∠DAE⋅tan∠CAE=6x +8x 1−6x ⋅8x=14xx 2−48，∵tan∠CAD =7，∴14xx 2−48=7，即x 2−2x −48=0， 解得x =8或x =−6(舍去)，∴BC =AE =8．【解析】(1)利用向量数量积的定义可以求出cos∠CAD ，进而可求sin∠CAD ，最后求出tan∠CAD ． (2)在两个直角三角形中，求出tan∠DAE 和tan∠CAE ，利用tan∠CAD =tan(∠DAE +∠CAE)=7可求出． 本题考查向量的数量积的应用，直角三角形的边角关系，同角三角函数关系，两角和的正切公式的应用，属于中档题．22.【答案】解：(1)在图1中，∠NOC =θ，θ∈(0,α)，AD =BC =rsinθ，OB =rcosθ， AB =OB −OA =OB −AD tanα=rcosθ−rsinθtanα，S ABCD=rsinθ⋅(rcosθ−rsinθtanα)=r 22(sin2θ−1−cos2θtanα)=r 22(sin2θ+cos2θtanα)−r 22tanα=r 22sinα(sin2θsinα+cos2θcosα)−r 22tanα=r 22sinα⋅cos(2θ−α)−r 22tanα，当θ=α2时，矩形ABCD 的最大面积为r 22(1sinα−1tanα)=r 22tan α2； (2)在图2中，设OE 与边PS ，QR 分别交于G ，H ，则利用(1)的结论，可以得到矩形PQHG的最大面积为r22tanα4，根据对称性，矩形PQRS的最大面积为r2tanα4．∵α为锐角，∴α4∈(0,π8)，于是0<tanα4<tanπ8<1．因此，r 22tanα2−r2tanα4=r2⋅tanα41−tan2α4−r2tanα4=r2tan3α41−tan2α4>0．故按照方案1可以裁剪出面积最大的矩形，其最大面积为r22tanα2．【解析】(1)分别用含有θ的三角函数表示AD，AB，写出矩形面积，利用三角函数求最值；(2)在图2中，设OE与边PS，QR分别交于G，H，则利用(1)的结论，可以得到矩形PQHG的最大面积为r2 2tanα4，根据对称性，矩形PQRS的最大面积为r2tanα4.然后利用作差法比较大小．本题考查函数模型的选择及应用，考查三角函数的运算，考查运算求解能力，是中档题．。

江苏省常州高级中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．已知甲、乙两个水果店在“十一黄金周”七天的水果销售量统计如图所示．则下列说法正确的是（ ）A．甲组数据的极差大于乙组数据的极差B．甲组数据的平均数大于乙组数据的平均数C．甲组数据的方差大于乙组数据的方差D．甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数10．（多选）在试验M“某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记录订阅的情况”中，事件A表示“只订甲报”，事件B表示“至少订一种报”，事件C表示“至多订一种报”，事件D表示“不订甲报”，事件E表示“一种报纸也不订”，则（）四、解答题17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1DD 的中点．111ABC A B C -的体积最大？并求出最大值.此时设1ACD △的中心为P ，11A BC V 的中心为则263PA =，233PQ =，63QT =，则易所以最小球即为以P 为球心，半径R PA ==17．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)借助题设条件运用线面平行的判定定理推证；(2)借助题设运用面面垂直的判定定理推证.【详解】（1）连BD 交AC 于O ，连EO ，因为O 为BD 的中点，E 为1DD 的中点，所以1//EO BD 又1BD Ë平面,EAC EO Ì平面EAC ，所以1//BD 平面EAC（2）因为1,AC BD DD ^^平面ABCD ，所以11,DD AC BD DD ^I 于D ，所以AC ^平面1BDD ，所以1AC BD ^同理可证11^AB BD ，又1AC AB Ç于A ，所以1BD ^平面1AB C ，因为1//EO BD ，所以EO ^平面1AB C ，又EO Ì平面EAC ，所以平面EAC ^平面1AB C ．18．(1)5。

2020-2021学年江苏省常州市第一中学高一下学期3月阶段考试数学试题一、单选题1．在ABC 中，::1:1:4A B C =，则::a b c 等于（ ）A ．2:2B ．C ．1:1:2D ．1:1:4【答案】B【解析】先求得,,A B C ，然后利用正弦定理求得::a b c . 【详解】由于::1:1:4A B C =，且A B C π++=， 所以2,63A B C ππ===，由正弦定理得2::sin :sin :sin sin :sin:sin663a b c A B C πππ===故选：B2．()1sin π3α-=，则cos2=α（ ）A ．89B ．79C ．79-D ．89-【答案】B【分析】由诱导公式及余弦的二倍角公式进行求值. 【详解】因为()1sin πsin 3αα-==，所以217cos212sin 1299αα=-=-⨯=.故选：B3．在平面直角坐标系中，已知向量(1,2)a =，1(3,1)2a b -=，(,3)c x =，若(2)//a b c +，则x ＝（ ） A ．－2 B ．－4 C ．－3 D ．－1【答案】D【解析】可由条件先求出b ，由此可求出2a b +，即可根据向量共线的坐标表示求出x .【详解】因为1(3,1)2a b -=，所以()11,2(3,1)2b -=，则(4,2)b =-．所以()()221,24,2(2,6)a b +=+-=-． 因为(2)//a b c +，所以66,1x x -==-. 故选：D.【点睛】本题考查平面向量关系的坐标表示，属于基础题.4．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．若30C =︒，23b =，60B =︒ ，则边c 的值为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】A【分析】由正弦定理sin sin c bC B=即可得到边c 的大小． 【详解】解：根据正弦定理sin sin c b C B =得23sin 30sin 60c ︒︒=， 所以c ＝23sin 30sin 60︒︒＝2.故选：A5．如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD 的顶点D 被阴影遮住，则AB AD ⋅＝（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】B【分析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (4，1)，C (6，4)， AB ＝(4，1)，AD BC =＝(2，3)，AB AD ∴⋅＝4×2＋1×3＝11， 故选：B.【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题.6．已知1sin cos 63παα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．518- B ．518C ．79-D ．79【答案】D【详解】试题分析：1sin cos 63παα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，得311sin cos cos sin 2263παααα⎛⎫+-=-= ⎪⎝⎭，得227cos 212sin 16699ππαα⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】三角函数公式.7．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ(0,0,)2A πωϕ>>≤的部分图象如图所示，则()()()()12311f f f f ++++的值等于（ ）A ．2B ．22C ．222+D ．22【答案】C【分析】根据函数的图象求出函数()f x 的解析式和周期，得到()()()1280f f f +++=，转化为()()()()()()()1231191011f f f f f f f ++++=++，代入即可求解.【详解】由函数()()sin f x A x =+ωϕ，可得2,8A T ==，所以4πω=，即()2sin()4f x x πϕ=+，又由图象过点(2,2)，可得sin()22πϕ+=，解得2,k k Z ϕπ=∈，因为2πϕ≤，所以0ϕ=，所以()2sin()4f x x π=，根据正弦函数的性质和周期，可得()()()()12380f f f f ++++=，所以()()()()()()()1231191011f f f f f f f ++++=++332sin(2)2sin(2)2sin(2)2sin 2sin 2sin 222424424πππππππππ=+++++=++=+故选：C.8．已知O 为 ABC 的外心，16AB =，102AC =若AO x AB y AC =+，且322525x y +=，则OA =（ ）A ．8B ．10C ．12D ．14【答案】B【分析】由AO ＝x AB +y AC ，得到2AO ＝x AO AB ⋅+y AO AC ⋅，利用向量数量积的几何意义，分别求出AB AO ⋅，⋅AC AO 后，得出关于x ，y 的代数式，利用32x +25y ＝25整体求解．【详解】解：如图所示：因为AO ＝x AB +y AC ，所以2AO ＝x AO AB ⋅+y AO AC ⋅，因为O 为外心，D ，E 为中点，OD ，OE 分别为两中垂线． 所以AB AO ⋅＝|AB |⋅ |AO |⋅ cos ∠DAO ＝|AB AD ⋅|， ＝|AB |×12×|AB |＝16×8＝128， 同样地，⋅AC AO ＝12|AC |2＝100，所以AO 2＝128x +100y ＝4（32x +25y ）＝100， ∴|AO |＝10． 故选：B ． 二、多选题9．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点()1,P m -（0m ≠），则下列各式的值一定为负的是（ ） A ．cos α B ．sin cos αα-C ．sin cos ααD ．sin tan αα【答案】AD【分析】由任意角的三角函数的定义结合三角函数的正负求解． 【详解】由已知得r ＝|OP |21m + 则sinα21m +2cos 01m α=<+，tanα＝﹣m ．由于不知道m 的正负，故sin cos αα-与sin cos αα符号不确定，∴sin cos tan aa a=＜0． 故一定为负值的是A 、D ． 故选：AD ．10．下列命题中正确的是（ ）A ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量B ．已知A ，B ，C 是平面内任意三点，则0AB BC CA ++=C ．若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=，则△ABC 为等腰三角形D ．若向量a 与b 同向，且a b >，则a b > 【答案】ABC【解析】根据向量共线的定义，向量的线性运算以及向量的数量积运算计算即可判断. 【详解】A.因为零向量与任意向量共线，若向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量，故正确.B. 因为,0AB BC AC AC CA +=+=，所以0AB BC CA ++=，故正确.C. 因为()(2)OB OC OB OC OA -⋅+-()()()220CB AB AC AB AC AB AC AB AC =⋅+=-⋅+=-=，所以AB AC =，则△ABC 为等腰三角形，故正确. D. 向量不能比较大小，故错误. 故选：ABC【点睛】本题主要考查平面向量共线的定义，线性运算以及数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 11．下列命题中正确的是（ ）A ．tan 70tan 5070tan 50︒+︒︒︒的值等于B ．若51tan 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则3tan 2α=-C ()23tan123sin124cos 122-=--D 5=︒ 【答案】AC【分析】利用两角和的正切公式，可得tan 70+tan50=-33tan70tan50+，即可判断A;利用两角和的正切公式，可求得3tan 2α=，判断B;利用三角恒等变换，求得()23tan123sin124cos 122--的值，判断C;利用倍角公式化简求值，判断D.【详解】A tan 70+tan5031-tan70tan1ta 20==0-n5，tan 70+tan50=-33tan70tan50+，所以tan 70tan 503tan 70tan 503+-=-，A 正确 B .若 51tan 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ，则1tan 45π⎛⎫α-= ⎪⎝⎭，即tan 11tan 15αα-=+， 解得3tan 2α= ，B 错误；C()23tan123sin124cos 122--2-3cos1223sin 12-60cos12==2sin12cos 12-1sin 24cos24（）（2）sin 482C 正确；D 0590,sin 50<<>22cos10112sin 52sin 52sin5=--==（），D 错误 故选：AC ．12．关于函数f （x ）=1sin sin x x+的下列四个命题正确的是（ ） A ．f （x ）的图像关于y 轴对称 B ．f （x ）的图像关于原点对称 C ．f （x ）的图像关于直线x =2π对称 D ．f （x ）的最小值为2【答案】BC【分析】通过66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可判断A ；通过()()f x f x -=-可判断B ；通过22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可判断C ；通过当0x π-<<时，()0f x <可判断D. 【详解】对于命题A ，152622f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题A 错误；对于命题B ，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题B 正确；对于命题C ，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题C 正确；对于命题D ，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题④错误. 故答案为：BC.【点睛】本题主要考查了函数的对称性以及最值等基本性质，属于中档题. 三、填空题13．函数sin(2)cos(2)63y x x ππ=+-+的最小正周期和最大值分别为____．【答案】π，3【分析】先根据两角和与差的正弦、余弦公式进行化简，直接求出最小正周期和最大值. 【详解】sin(2)cos(2)63y x x ππ=+-+ ＝31sin 2cos 222x x +﹣13cos 2sin 222x x + ＝3sin 2x 所以周期T ＝22ππ=，最大值为3 故答案为：π，3 14．函数tan()42y x ππ=-的部分图象如图所示，则()OA OB AB +⋅=____.【答案】6【详解】试题分析：由图可知(2,0)A ，(3,1)B ，∴ ()(5,1)(1,1)6OA OB AB +⋅=⋅=. 【解析】正切型函数的图象与平面向量的数量积运算.【方法点睛】本题主要考查了正切型函数的图象与平面向量的数量积运算，属于中档题.本题解答的关键观察图象发现,A B 分别是函数tan()42y x ππ=-y 轴右侧的第一个零点和函数值为1的点，即可求得,A B 的坐标，进而求得向量(),OA OB AB +的坐标，根据平面向量数量积的坐标运算即可求得答案.15．函数sin cos 2sin cos 2y x x x x =+++，若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值是____．【答案】3，3【分析】注意sin x +cos x 与sin x •cos x 之间的关系，进行换元可将原函数转化成一元二次函数来解．【详解】令t ＝sin x +cos x （x +4π），当x ∈[0，2π]时，则t ∈[1]，所以2sin x cos x ＝t 2﹣1，则y ＝t 2+t +1＝（t +12）2+34，在t ∈[1上单调递增，此时y 的最大值是3，而最小值是3．故答案为：33 四、双空题16．已知向量,a b 满足1,2a b ==，则a b a b ++-的最小值是___________，最大值是______．【答案】 4 【详解】设向量,a b 的夹角为θ，由余弦定理有：212a b -=+=212a b +=+54cos a b a b ++-=+令y =[]21016,20y =+， 据此可得：()()maxmin2025,164a b a ba b a b++-==++-=，即a b a b ++-的最小值是4，最大值是 【名师点睛】本题通过设向量,a b 的夹角为θ，结合模长公式， 可得54cos a b a b ++-=+属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求． 五、解答题17．如图，在平行四边形ABCD 中，4AB =，3AD =，60DAB ∠=︒ ，求：(1)AD BC ⋅； (2)AB CD ⋅； (3)AB AD ⋅； (4)AD CD ⋅． 【答案】(1)9 (2)16- (3)6 (4)6-【分析】根据平行四边形的对边平行且相等，利用向量相等或相反的定义，根据数量积公式，即可计算各题中的数量积．【详解】(1)解：平行四边形ABCD 中，4AB =，3AD =，60DAB ∠=︒， ∵AD BC =，∴29AD BC AD ⋅==； (2)解：∵AB CD =-， ∴216AB CD AB ⋅=-=-；(3)解：根据平面向量数量积的定义知，1cos64362AB AD AB AD ⋅=⨯⨯︒=⨯⨯=；(4)解：由CD AB =-，∴43cos606AD CD AD AB ⋅=-⋅=-⨯⨯︒=-．18．已知角,,A B C 是ABC ∆的内角，,,a b c 分别是其所对边长，向量223sin ,cos 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,22A n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，m n ⊥（1）求角A 的大小；（2）若2,cos a B ==b 的长 .【答案】（1）sin B =2）3b =【详解】试题分析：（1）根据题意，当两个向量垂直时，其数量积为0，结合三角函数的倍角公式进行运算，又()0,A π∈，再三角函数值进行计算，从而求出角A ；（2）结合（1）的结果，由题意，可根据正弦定理进行运算即可. 试题解析：（1）已知m n ⊥ 223sincos 2cos 0222A A Am n ∴⋅=-=cos 1A A -= 2sin 16A π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭1sin 62A π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭ 0A π<< 5666A πππ∴-<-<663A A πππ∴-=∴=（2）cos B =sin B ∴= 由正弦定理sin sin a b A B =得 sin sin B b a A=⋅b ∴=点睛：此题主要考查了两个向量垂直的数量积的运算，三角函数的恒等变换，以及正弦定理的应用等方面的知识，属于中高档题型，也是高频考题.在解决此类问题的过程中，三角函数的倍角公式、两角和差的正弦公式的应用起到了非常关键的作用，还要注意三角形内角的取值范围.19．已知α，β∈(0，π)，且tanα＝2，cosβ＝－10． (1)求cos2α的值； (2)求2α－β的值．【答案】（1）－35 （2）－4π【详解】解：(1)cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2222cos sin sin cos αααα-+＝221tan 1tan αα-+＝1414-+＝－35．(2)因为α∈(0，π)，且tanα＝2，所以α∈(0，2π)． 又cos2α＝－35<0，故2α∈(2π，π)，sin2α＝45．由cosβ，β∈(0，π)，得sinβ＝10，β∈(2π，π)．所以sin(2α－β)＝sin2αcosβ－cos2αsinβ＝45×()－(－35． 又2α－β∈(－2π，2π)，所以2α－β＝－4π． 20．已知()sin ,cos a x x =，()sin ,cos b x x =-，且函数()23sin cos f x a b x x =⋅-（x ∈R ）．(1)求23f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； (2)求函数()1y f x =-的最小正周期和对称中心；(3)求函数()f x 在区间[]0,π的单调增区间．【答案】(1)2(2)最小正周期是π，对称中心是(),1212k k Z ππ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭(3)()f x 在区间[]0,π的单调增区间为2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用向量的数量积运算和二倍角公式得到()2sin 26f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭求解； 可得2232sin 22sin 23362f ππππ⎛⎫⎛⎫=-⨯+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）由（1）得到()12sin 216y f x x π⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭，利用正弦函数的性质求解； （3）令3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，再结合定义域求解.【详解】(1)解：()22sin cos cos f x x x x x =--，22sin cos cos x x x x =--，cos 22x x =-，2sin 26x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，， ∴2232sin 22sin 23362f ππππ⎛⎫⎛⎫=-⨯+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (2)由（1）知：()12sin 216y f x x π⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭， 令2,6x k k Z ππ+=∈，得,212k x k Z ππ=-∈， 所以最小正周期是22T ππ==，对称中心是(),1212k k Z ππ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭(3)令3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， ∴263k x k ππππ+≤≤+，即2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈， ∴()f x 在区间[]0,π的单调增区间为2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.21．已知函数f (x )＝sin 2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭sin x －3cos 2x ＋32 （1）求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；（2）若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值．【答案】（1）x ＝512π＋k π(k ∈Z )，最大值为1；（2）23. 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数f (x )解析式，由正弦函数的性质可得答案.（2）求出函数f (x )的对称轴，得到x 1与x 2的关系，利用诱导公式化简可得答案.【详解】（1）f (x )＝cos x sin x －32 (2cos 2x －1)＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin 2-3x π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 当2x －3π＝2π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1.（2）由（1）知，当x ∈(0，π)时，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π. 又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2.所以x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2， 所以cos(x 1－x 2)＝cos 25-26x π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝sin 22-3x π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 又f (x 2)＝sin 22-3x π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝23， 故cos(x 1－x 2)＝23.【点睛】本题考查三角函数恒等变换，考查正弦函数的图像与性质，属于中档题. 22．如图，在平面凸四边形ABCD 中（凸四边形指没有角度数大于180的四边形），2,4,5AB BC CD ===.（1）若120B ∠=，1cos 5D =，求AD ； （2）已知3AD =，记四边形ABCD 的面积为S .① 求S 的最大值；② 若对于常数λ，不等式S λ≥恒成立，求实数λ的取值范围.（直接写结果，不需要过程）【答案】（1）3；（2）①230；②214λ≤.【分析】（1）在ABC ∆中，利用余弦定理求得AC ；在ACD ∆中利用余弦定理构造关于AD 的方程，解方程求得结果；（2）①在ABC ∆和ACD ∆中利用余弦定理构造等量关系可得15cos 8cos 7D B -=，根据三角形面积公式可得215sin 8sin S D B =+，两式平方后作和可得()26060cos S B D =-+，当()cos 1B D +=-时，可求得S 的最大值；②由S λ≥可知min S λ≤，根据①可知，S 的范围由B D +的范围决定，求解出(),B D πβπα+∈-+且1cos 15α=-，2cos 5β=且α为钝角、β为锐角；根据2S 的单调性可求得最小值，从而求得min S 得到结果.【详解】（1）在ABC ∆中，2AB =，4BC =，120B ∠=由余弦定理得：222cos 27AC AB BC AB BC B =+-⋅=在ACD ∆中，27AC =，5CD =，1cos 5D = 由余弦定理得：222cos AD CD AD CD D AC +-⋅=即：225227AD AD +-=，解得：3AD =（2）①在ABC ∆和ACD ∆中，由余弦定理得：22016cos 3430cos AC B D =-=- 整理可得：15cos 8cos 7D B -=面积：()115sin 8sin 2S D B =+，即：215sin 8sin S D B =+ ()()22244915sin 8sin 15cos 8cos S D B D B ∴+=++-()()22564240cos cos sin sin 289240cos B D B D B D =+--=-+即：()26060cos S B D =-+当B D π+=时，即7cos 23D =，7cos 23B =-时，()min cos 1B D ⎡⎤+=-⎣⎦ 2120S ∴≤ max 230S ⇒=∴四边形ABCD 面积S 的最大值为：230②214λ≤由①知：()26060cos S B D =-+，则需研究B D +的范围.当D 增大时，AC 增大，从而B 随之增大所以，当,,A B C 趋于共线时，B D +趋于πα+，其中钝角α满足1cos 15α=-当D 减小时，AC 减小，从而B 随之减小所以，当,,A B D 趋于共线时，B D +趋于πβ-，其中锐角β满足2cos 5β= (),B D πβπα∴+∈-+令()26060cos S f x x ==-，则()f x 在(),πβπ-上递增，在(),ππα+上递减并且()84f πβ-=，()56f πα+=，()120f π=()(]256,120S f x ∴=∈，即(S ∈λ∴≤【点睛】本题考查解三角形相关知识，涉及到余弦定理解三角形、三角形面积公式、两角和差余弦公式的应用等知识，难点在于求解函数的最值时，角度的取值范围需要根据极限状态来求得，计算难度较大，属于难题.。