江苏省常州市奔牛高级中学2021届高三上学期周练10数学试卷(word版,无答案)

一：填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接写在横线上） 1.设全集S ＝{}{})(,1,0,1,2,1,0,1,2T S C T s ⋂-=--则集合＝ ▲ ．2.已知命题{}{}2:;0:2<=∈<-=∈x x B a q x x x A a p 命题，那么p 是q 的 ▲ 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）3. 在等比数列}{n a 中，如果53a a 和是一元二次方程0452=+-x x 的两个根，那么642a a a 的值为 ▲ ．4．函数)23(log 221+-=x x y 的增区间是 ▲ ．5.已知数列{a n }成等差数列，S n 表示它的前n 项和，且a 1＋a 3＋a 5＝6，S 4＝12.则数列{a n }的通项公式a n ＝ ▲ ．6．在△ABC 中，A =60,b =1,其面积为3，则ABC ∆外接圆的半径为 ▲ ． 7．定义在(－1,1)上的函数f(x)＝－5x ＋sinx ，如果f(1－a)＋f(1－a 2)>0，则实数a 的取值范围为 ▲ ．8. 已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>－2x 的解集为(1,3)．若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的根，则实数a ＝ ▲ ．9．设OM ＝112⎛⎫ ⎪⎝⎭，，ON ＝(0，1)，O 为坐标原点，动点P (x ，y )满足0≤OP OM ⋅≤1，0≤OP ON ⋅≤1，则z ＝y －x 的最小值是 ▲ ．10．设周期函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 的最小正周期为3，且满足(1)f ＞－2，(2)f ＝m m -2，则m 的取值范围是 ▲ ．11．设n S 表示等比数列}{n a （*N n ∈）的前n 项和，已知3510=S S ，则=515S S▲ . 12．已知{a n }是首项a 1＝－52，公差为d 的等差数列，它的前n 项和为S n ，S 4＝2S 2＋4，b n ＝1＋a na n.则当n b 取得最大值是，n= ▲ ．13．若不等式a ＋21x x -≥2log 2x在x ∈(12，2)上恒成立，则实数a 的取值范围为 ▲ ．14．如图放置的等腰直角三角形ABC 薄片(∠ACB ＝90︒，AC ＝2)沿x 轴滚动，设顶点A (x ，y )的轨迹方程是y ＝()f x ，则()f x 在其相邻两个零点间的图象与x 轴所围区域的面积为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.在ABC ∆中，c ,b ,a 分别是角A 、B 、C 的对边，,a (n ),C cos ,c b (m =-=→→2)A cos ，且→→n //m ． （1）求角A 的大小；（2）求)23cos(sin 22B B y -+=π的值域．16.设命题p ：实数x 满足x2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0；命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且q ∧p 为真，求实数x 的取值范围；(2)若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．17．已知函数f(x)=x|x 2-3|，x ∈［0，m ］其中m ∈R ，且m>0. （1）若m<1，求证：函数f(x)是增函数。

2021-2021学年江苏省常州高级中学高三〔上〕期中数学试卷〔理科〕一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸的相应位置上．1．〔5分〕复数，〔m∈R，i是虚数单位〕是纯虚数，那么m的值是﹣1 ．考点：复数的根本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：化简复数z为a+bi〔a、b为实数〕的形式，它是纯虚数，实部=0，虚部≠0求出m 即可．解答：解：复数，它是纯虚数，所以m=﹣1故答案为：﹣1点评：此题考查复数的根本概念，复数代数形式的乘除运算，是根底题．2．〔5分〕〔2021•南京模拟〕设集合，那么A∪B= {x|﹣1＜x＜1} ．考点：并集及其运算．分析：集合A为指数不等式的解集，可利用指数函数的单调性求解；集合B为分式不等式的解集，可用穿根法或转化为二次不等式解决．解答：解：=；，故A∪B={x|﹣1＜x＜1}故答案为：{x|﹣1＜x＜1}点评：此题考查解指数不等式和分式不等式、以及集合的概念、运算等，属基此题．3．〔5分〕函数的单调递增区间是[0，] ．考点：正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：依题意，可求得2x+的范围，利用正弦函数的单调性即可求得f〔x〕的单调递增区间．解答：解：∵0≤x≤，∴≤2x+≤，由≤2x+≤得：0≤x≤．故f〔x〕的单调递增区间为[0，]．故答案为：[0，]．点评：此题考查正弦函数的单调性，求得2x+的范围，再利用正弦函数的单调性是关键，属于中档题．4．〔5分〕过点〔1，0〕且倾斜角是直线2x+3y+3=0的倾斜角的两倍的直线方程是12x+5y ﹣12=0 ．考点：直线的点斜式方程．专题：计算题．分析：先求直线2x+3y+3=0的斜率，进而转化为倾斜角，用二倍角公式求过点〔1，0〕的斜率，再求解直线方程．解答：解：直线2x+3y+3=0的斜率为k=，倾斜角为α，所以tanα=，过点〔1，0〕的倾斜角为2α，其斜率为tan2α===，故所求直线方程为：y=〔x﹣1〕，即12x+5y﹣12=0故答案为：12x+5y﹣12=0．点评：此题关键是倾斜角的二倍和斜率的关系互化，考查计算能力．5．〔5分〕右边是根据所输入的x值计算y值的一个算法程序，假设x依次取数列〔n∈N+〕中的前200项，那么所得y值中的最小值为 1 ．考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数，即y=1+|x|的函数值，由x依次取数列〔n∈N+〕中的前200项，那么我们易求出|x|的最小值，代入即可求出y 的最小值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数，即y=1+|x|的函数值，又∵x依次取数列〔n∈N+〕中的前200项∴当n=100时，|x|取最小值0此时y=1+|x|有最小值1故答案为：1点评：根据流程图〔或伪代码〕写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图〔或伪代码〕，从流程图〔或伪代码〕中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据〔如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理〕⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．6．〔5分〕设ω＞0，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，那么ω的最小值是．考点：函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．专题：计算题；数形结合；数形结合法．分析：函数的图象向右平移个单位后与原图象重合可判断出是周期的整数倍，由此求出ω的表达式，判断出它的最小值解答：解：∵函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，∴=n×，n∈z∴ω=n×，n∈z又ω＞0，故其最小值是故答案为点评：此题考查由y=Asin〔ωx+φ〕的局部图象确定其解析式，解题的关键是判断出函数图象的特征及此特征与解析式中系数的关系，由此得出关于参数的方程求出参数的值，此题重点是判断出是周期的整数倍，那么问题得解7．〔5分〕设a∈R，那么“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与l2：x+〔a+1〕y+4=0平行〞的充分不必要条件〔填“充分不必要〞“必要不充分〞“充要〞或“既不充分也不必要〞〕考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：利用a=1判断两条直线是否平行；通过两条直线平行是否推出a=1，即可得到答案．解答：解：因为“a=1”时，“直线l1：ax+2y﹣1=0与l2：x+〔a+1〕y+4=0”化为l1：x+2y﹣1=0与l2：x+2y+4=0，显然两条直线平行；如果“直线l1：ax+2y﹣1=0与l2：x+〔a+1〕y+4=0平行〞必有a〔a+1〕=2，解得a=1或a=﹣2，所以“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与l2：x+〔a+1〕y+4=0平行〞的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．点评：此题考查充要条件的判断，能够正确判断两个命题之间的条件与结论的推出关系是解题的关键．8．〔5分〕设点P是曲线上的任意一点，点P处的切线的倾斜角为α，那么α的取值范围为[0°，90°]∪[120°，180°〕．考点：简单复合函数的导数；直线的倾斜角．分析：先对函数进行求导，然后表示出切线的且率，再由切线的斜率与倾斜角之间的关系课得到α的范围确定答案．解答：解：设点P是曲线上的任意一点，∵∴y'=3x2﹣∴点P处的切线的斜率k=3x2﹣∴k∴切线的倾斜角α的范围为：[0°，90°]∪[120°，180°〕故答案为：[0°，90°]∪[120°，180°〕点评：此题主要考查导数的几何意义和斜率与倾斜角的关系．考查知识的综合运用．9．〔5分〕假设，那么a的取值范围是＜a＜或a＜﹣1 ．考点：幂函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：考察函数y=的单调性，讨论x的范围，利用单调性建立关于a的不等关系，可求出a的取值范围．解答：解：∵，y=在〔﹣∞，0〕上单调递减，在〔0，+∞〕上单调递减∴或或解之得＜a＜或a＜﹣1．故答案为：＜a＜或a＜﹣1点此题主要考查了幂函数的性质，以及利用函数的单调性解不等式，同时考查了分类评：讨论的数学思想，属于根底题．10．〔5分〕如图，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l3与l2间的距离是2，正△ABC的三顶点分别在l1，l2，l3上，那么△ABC的边长是．考点：两点间的距离公式．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：过A，C作AE，CF垂直于L2，点E，F是垂足，将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交L2于点G，由此可得结论．解答：解：如图，过A，C作AE，CF垂直于L2，点E，F是垂足，将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交L2于点G．由作图可知：∠DBG=60°，AD=CF=2．在Rt△BDG中，∠BGD=30°．在Rt△AEG中，∠EAG=60°，AE=1，AG=2，DG=4．∴BD=在Rt△ABD中，AB==故答案为：点评：此题考查平行线的性质，等腰三角形，直角三角形的性质，考查学生的计算能力，属于根底题．11．〔5分〕△ABC中，AB边上的中线CM=2，假设动点P满足，那么的最小值是﹣2 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由向量式变形可推得点P在CM上，而而=，故=2，又夹角为π，由数量积的定义结合根本不等式可得答案．解答：解：由题意可得：，∴，又sin2θ+cos2θ=1所以P、M、C三点共线，即点P在CM上，而=，故=2=2cosπ=﹣2，∵，由根本不等式可得：≤=1，故﹣2≥﹣2故答案为：﹣2点评：此题考查向量的数量积的运算和根本不等式的应用，由题意得出P、M、C三点共线是解决问题的关键，属中档题．12．〔5分〕〔2021•扬州模拟〕等差数列{a n}的前n项和为S n，假设〔a2﹣1〕3+2021〔a2﹣1〕=1，〔a2021﹣1〕3+2021〔a2021﹣1〕=﹣1，那么以下四个命题中真命题的序号为②③．①S2021=2021；②S2021=2021；③a2021＜a2；④S2021＜S2．考点：等差数列的性质．专题：常规题型；计算题；压轴题．分析：根据条件可判断a2＞1，0＜a2021＜1，0＜a2021＜1＜a2，从而公差d＜0可判断③，然后两式相加整理可得a2+a2021=2，利用等差数列的性质可知a1+a2021=a2+a2021=2可判断①②，由公差d＜0 可得a2+a2021＞a2+a2021＞a2+a2021，结合等差数列的性质，可得2a1005＞2＞2a1006，从而可得0＜a1006＜1＜a1005，可判断④的正误．解答：解：由〔a2﹣1〕3+2021〔a2﹣1〕=1，〔a2021﹣1〕3+2021〔a2021﹣1〕=﹣1可得a2﹣1＞0，﹣1＜a2021﹣1＜0即a2＞1，0＜a2021＜1，从而可得等差数列的公差d ＜0③a2021＜a2正确把的两式相加可得〔a2﹣1〕3+2021〔a2﹣1〕+〔a2021﹣1〕3+2021〔a2021﹣1〕=0整理可得〔a2+a2021﹣2〕•[〔a2﹣1〕2+〔a2021﹣1〕2﹣〔a2﹣1〕〔a2021﹣1〕+2021]=0 结合上面的判断可知〔a2﹣1〕2+〔a2021﹣1〕2﹣〔a2﹣1〕〔a2021﹣1〕+2021＞0所以a2+a2021=2，而②正确由于d＜0，a2021＜a2021＜1，那么S2021=S2021﹣a2021=2021﹣a2021＞2021①错误由公差d＜0 可得a2+a2021＞a2+a2021＞a2+a2021，结合等差数列的列的性质，可得2a1005＞2＞2a1006从而可得0＜a1006＜1＜a1005④s2021﹣s2=a3+a4+…+a2021=2007a1006＞0，故④错误故答案为：②③点评：此题注意考查了等差数列的性质的运用，灵活利用m+n=p+q，那么a m+a n=a p+a q，是解决问题的关键，还要求考生具备一定的推理论证能力．13．〔5分〕关于x的实系数一元二次不等式ax2+bx+c≥0〔a＜b〕的解集为R，那么的最小值是8 ．考点：根本不等式；二次函数的性质．专题：计算题；压轴题；转化思想．分析：根据题意，由一元二次不等式的性质，可得△=b2﹣4ac≤0，a＞0，对于M，分子、分母同乘a，进而对其变形可得M=，由换元法，令，结合根本不等式分析可得答案．解答：解：由题意，ax2+bx+c≥0〔a＜b〕的解集为R，那么必有△=b2﹣4ac≤0，a＞0，对于，分子、分母同乘a可得，=，令，那么〔当且仅当t=3，即b=3a时等号成立〕；故答案为8．此题考查根本不等式的应用，关键是对M变形，转化为根本不等式的问题．点评：14．〔5分〕二次函数f〔x〕=x2﹣x+k，k∈Z，假设函数g〔x〕=f〔x〕﹣2在上有两个不同的零点，那么的最小值为．二次函数的性质；函数的零点；一元二次方程的根的分布与系数的关系．考点：计算题；压轴题．专题：分根据函数g〔x〕=x2﹣x+k﹣2在上有两个不同的零点，且k∈Z，求出k 析：值从而得出二次函数f〔x〕=x2﹣x，值域，再将=结合根本不等式即可求出的最小值．解解：假设函数g〔x〕=x2﹣x+k﹣2在上有两个不同的零点，k∈Z，那么答：k=2．∴二次函数f〔x〕=x2﹣x+2，其值域f〔x〕∈[，+∞〕，=≥2=2，当且仅当f〔x〕=即f〔x〕=时取等号，而∉[，+∞〕，∴当f〔x〕=时，的最小值为．故答案为：点评： 本小题主要考查二次函数的性质、函数的零点、根本不等式等根底知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于根底题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．〔10分〕函数．〔1〕求f 〔x 〕的最小正周期和值域； 〔2〕假设x=x 0为f 〔x 〕的一个零点，求sin2x 0的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的正弦函数；函数y=Asin 〔ωx+φ〕的图象变换． 专题： 计算题． 分析：〔1〕利用三角函数的恒等变换化简函数f 〔x 〕的解析式为 ，由此求得最小正周期和〔2〕由求得，根据x 0的范围可得2x，再利用二倍角公式、两角和的正弦公式求出sin2x 0的值．解答：解：〔1〕易得==所以f 〔x 〕周期π，值域为；〔2〕由，得，又由得，所以，故，此时，==点评： 此题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域、周期性，二倍角公式、两角和的题． 16．〔10分〕〔2021•盐城三模〕设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足．〔Ⅰ〕求角B 的大小； 〔Ⅱ〕假设，试求的最小值．考点：平面向量数量积的运算；正弦定理；余弦定理．专题：计算题．分析：〔1〕根据题目中所给的向量的数量积写出数量积的公式，得到关于三角形边和角的等式关系，根据正弦定理把变化为角，逆用两角和的正弦公式，得到角B的余弦值，根据角的范围写出角．〔2〕此题要求向量的数量积的最值，而这两个向量的夹角是上一问求出的B，在表示向量数量积时，只有两边之积是一个变量，因此要表示出两边之积，根据余弦定理和根本不等式得到ac的范围，得到结果．解答：解：〔Ⅰ〕∵，∴〔2a+c〕accosB+cabcosC=0，即〔2a+c〕cosB+bcosC=0，那么〔2sinA+sinC〕cosB+sinBcosC=0∴2sinAcosB+sin〔C+B〕=0，即，B是三角形的一个内角，∴〔Ⅱ〕∵，∴12=a2+c2+ac≥3ac，即ac≤4∴=，即的最小值为﹣2点评：此题是一个三角函数同向量结合的问题，是以向量的数量积为条件，得到三角函数的关系式，在高考时可以以解答题形式出现，此题又牵扯到解三角形，是一个综合题．17．〔15分〕〔2021 •上海〕函数f〔x〕=x+的定义域为〔0，+∞〕，且f〔2〕=2+．设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．〔1〕求a的值．〔2〕问：|PM|•|PN|是否为定值？假设是，那么求出该定值；假设不是，请说明理由．〔3〕设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．考函数与方程的综合运用．点：综合题；压轴题；数形结合；转化思想．专题：分〔1〕由f〔2〕=2+=2+求解a．析：〔2〕先设点P的坐标为〔x0，y0〕，那么有y0=x0+，x0＞0，再由点到直线的距离公式求得|PM|，|PN|计算即可．〔3〕由〔2〕可将S四边形OMPN转化为S△OPM+S△OPN之和，分别用直角三角形面积公式求解，再构造S四边形OMPN面积模型求最值．解解：〔1〕∵f〔2〕=2+=2+，∴a=．答：〔2〕设点P的坐标为〔x0，y0〕，那么有y0=x0+，x0＞0，由点到直线的距离公式可知，|PM|==，|PN|=x0，∴有|PM|•|PN|=1，即|PM|•|PN|为定值，这个值为1．〔3〕由题意可设M〔t，t〕，可知N〔0，y0〕．∵PM与直线y=x垂直，∴k PM•1=﹣1，即=﹣1．解得t=〔x0+y0〕．又y0=x0+，∴t=x0+．∴S△OPM=+，S△O PN=x02+．∴S四边形OMPN=S△OPM+S△OPN=〔x02+〕+≥1+．当且仅当x0=1时，等号成立．此时四边形OMPN的面积有最小值：1+．点评：此题主要考查函数与方程的综合运用，还考查了平面图形的转化与面积模型建立与解决．18．〔15分〕设函数上两点P1〔x1，y1〕、P2〔x2，y2〕，假设，且P点的横坐标为〔1〕求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个值；〔2〕假设，n∈N*，求S n；〔3〕记T n为数列的前n项和，假设对一切n∈N*都成立，试求实数a的取值范围．考点：数列与函数的综合．专题：综合题．分析：〔1〕可设，由，可得，代入解析式验证即可．〔2〕由〔1〕知，而由，可变形为两式相加可得到解决．〔3〕由〔2〕知所以可得到可变形为裂项求得T n，再研究恒成立问题．解答：解：〔1〕设，又∵，∴，又，∴〔2〕由x1+x2=1，得∴，又∴，即〔3〕∵，∴，∴，从而，由，∴令，易证g〔n〕在上是增函数，在上是减函数，我且g〔3〕=7，g〔4〕=7，∴g〔n〕的最大值为7，即，∴点评：此题主要考查函数与数列间的渗透，两者都有规律可循经常结合为难度较大的题目，解决思路往往是通过函数的规律，由点的坐标建立数列模型来考查数列的通项或前N项和，进而设置不等式恒成立问题，考查数列的增减性或放缩的方法．19．〔15分〕〔2021•南汇区二模〕某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y〔毫克/升〕满足，当药剂在水中释放的浓度不低于4〔毫克/升〕时称为有效净化；当药剂在水口释放的浓度不低于4〔毫克/升〕且不高于10〔毫克/升〕时称为最正确净化．〔1〕如果投放的药剂质量为m=4，试问自来水到达有效净化一共可持续几天？〔2〕如果投放的药剂质量为m，为了使在7天〔从投放药剂算起包括7天〕之内的自来水到达最正确净化，试确定该投放的药剂质量m的值．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：〔1〕由m=4，且y=m•f〔x〕，可得药剂在水中释放浓度y的函数；因为函数y是分段函数，在求释放浓度不低于4〔即y≥4〕时，要分区间去求解．〔2〕由函数y是分段函数，故分区间讨论函数的单调性，从而求得y的取值范围，即药剂在水中释放浓度的大小；为使最正确净化，即4≤y≤10恒成立，只要使y的取值范围在区间[4，10]内即可，从而解出m的值．解答：解：〔1〕因为m=4，所以y=m•f〔x〕=；所以，当0＜x≤4时，x+8≥4显然成立，当x＞4时，≥4，得4＜x≤8；综上知，0＜x≤8；所以，自来水到达有效净化一共可持续8天．〔2〕由y=m•f〔x〕=知，在区间〔0，4]上单调递增，即2m＜y≤3m，在区间〔4，7]上单调递减，即≤y＜3m，综上知，≤y≤3m；为使4≤y≤10恒成立，只要≥4，且3m≤10即可，即m=；所以，为了使在7天之内的自来水到达最正确净化，该投放的药剂量应为．点评：此题考查了分段函数模型的灵活应用；分段函数求最值时，要在每一个区间上求出最值，再通过比较，得出函数的最值．20．〔15分〕〔2021•徐州二模〕函数f〔x〕=ax3+bx2+〔b﹣a〕x〔a，b不同时为零的常数〕，导函数为f′〔x〕．〔1〕当时，假设存在x∈[﹣3，﹣1]使得f′〔x〕＞0成立，求b的取值范围；〔2〕求证：函数y=f′〔x〕在〔﹣1，0〕内至少有一个零点；〔3〕假设函数f〔x〕为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0，关于x的方程在[﹣1，t]〔t＞﹣1〕上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围．利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．考点：专计算题；证明题；压轴题；转化思想．题：分〔1〕当时，f′〔x〕==，由二次函数的析：性质，分类讨论可得答案；〔2〕因为f′〔x〕=3ax2+2bx+〔b﹣a〕，所以f′〔0〕=b﹣a，f'〔﹣1〕=2a﹣b，．再由a，b不同时为零，所以，故结论成立；〔3〕将“关于x的方程在[﹣1，t]〔t＞﹣1〕上有且只有一个实数根〞转化为“函数f〔x〕与的交点〞问题解决，先求函数f〔x〕因为f〔x〕=ax3+bx2+〔b﹣a〕x为奇函数，可解得b=0，所以f〔x〕=ax3﹣ax，再由“f〔x〕在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0”解得a，从而得到f〔x〕，再求导，由，知f〔x上是増函数，在上是减函数，明确函数的变化规律，再研究两个函数的相对位置求解．解解：〔1〕当时，f′〔x〕==，答：其对称轴为直线x=﹣b，当，解得，当，b无解，所以b的取值范围为；〔4分〕〔2〕因为f′〔x〕=3ax2+2bx+〔b﹣a〕，∴f′〔0〕=b﹣a，f'〔﹣1〕=2a﹣b，．由于a，b不同时为零，所以，故结论成立．〔3〕因为f〔x〕=ax3+bx2+〔b﹣a〕x为奇函数，所以b=0，所以f〔x〕=ax3﹣ax，又f〔x〕在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0．所以a=1，即f〔x〕=x3﹣x．因为所以f〔x〕在上是増函数，在上是减函数，由f〔x〕=0解得x=±1，x=0，如以下列图，当时，，即，解得；当时，，解得；当t=0时，显然不成立；当时，，即，解得；当时，，故．所以所求t的取值范围是或．点评：此题主要考查利用导数法研究函数的单调性，主要涉及了函数的奇偶性，函数的图象和性质以及方程的根转化为函数图象的交点解决等问题．。

2021届江苏省奔牛高级中学周练4高三数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合2{230}A x x x =--≤，{|21,}B x x x Z =-≤<∈，则AB = （ ）A ．{2,1}-B ．{1,0}-C ．{2,0}-D ．{1,1}-2．已知,a b R ∈，则“a b <”是“22log log a b <”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值为 （ ） A ．245B ．285C ．5D ．64．若1sin()33πα-=，则cos(2)3πα+= （ ）A ．79-B ．23C ．23-D ．795．在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术可以视为将一个圆内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到sin3︒的近似值为（π取近似值3.14） （ ） A ．0.012 B ．0.052 C ．0.125 D ．0.2356．已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，若()()'20xfx f x ->，()21f -=，则不等式()214f x x <的解集是 （ ） A ．()2,2- B ．()(),22,-∞-+∞ C ．()()2,00,2- D ．()(),00,2-∞7．函数()sin ln f x x x =⋅的图象大致是 （ ）A ．B ．C ．D ．8．函数()()26,75(2),5x x f x f x x ⎧+-≤<-⎪=⎨-≥-⎪⎩，若函数()()()1g x f x k x =-+有13个零点，则实数k 的取值范围为 （ ）A ．11,86⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,86⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1111,,6886⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D ．1111,,6886⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年江苏省奔牛高级中学数学高三上期末考试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知实数x ，y 满足约束条件202201x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数21y z x -=+的最小值为A ．23-B ．54-C ．43-D ．12-2．定义在R 上的函数()f x 满足()()2log 10()50x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()2019f =（）A ．-1B ．0C ．1D ．23．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ） A ．12B ．14C ．34D ．224．已知函数()f x 满足()()11f x f x -=+，当1x ≥时，()2f x x x=-，则()}{21x f x +>=（ ） A ．{3x x <-或}0x > B ．{0x x <或}2x > C ．{2x x <-或}0x > D ．{2x x <或}4x >5．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )A ．B ．C ．D ．6．已知向量(1,2)a =，(4,1)b λ=-，且a b ⊥，则λ=（ ） A ．12B ．14C ．1D ．27．在直角坐标系中，已知A （1，0），B （4，0），若直线x +my ﹣1=0上存在点P ，使得|PA |=2|PB |，则正实数m 的最小值是( )A ．13B ．3C ．33D ．38．若两个非零向量a 、b 满足()()0a b a b +⋅-=，且2a b a b +=-，则a 与b 夹角的余弦值为（ ） A ．35B ．35±C ．12D ．12±9．数列{}n a 满足：21n n n a a a +++=，11a =，22a =，n S 为其前n 项和，则2019S =（ ） A ．0B ．1C ．3D ．410．执行下面的程序框图，如果输入1995m =，228n =，则计算机输出的数是（ ）A ．58B ．57C ．56D ．5511．已知集合{}{}22(,)4,(,)2xA x y x yB x y y =+===，则AB 元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．412．设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省高三年级数学试卷一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集U =R ，集合{}14A x x =<<，集合{0B x x =<或xx >2}，则集合()UA B = （ ）A. (]1,2B. ()1,2C. ()0,4D. [)0,4【答案】D 【解析】【分析】求出集合U B ，利用并集的定义可求得集合()U A B ∪. 【详解】因为全集U =R ，集合{}14A x x =<<，集合{0B x x =<或xx >2}， 则{}02U Bx x =≤≤ ，所以，()[)0,4UA B = .故选：D.2. 设复数z 满足i 2i 2i z =++（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A.B.C.D. 【答案】C 【解析】【分析】根据复数的四则运算及模长公式化简可得z ，进而可得解.【详解】由已知2i +=，则i 2i z =+，所以2z =，所以2z =+，， 故选：C.3. 已知命题2:,10p x x ax ∃∈−+=R ，命题q :x ∀∈R ，220x ax ++≥，则“命题p 成立”是“命题q ¬成立”成立的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由存在量词命题、全称量词命题为真，结合方程有解及一元二次不等式恒成立化简命题,p q ，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】由命题2:,10p x x ax ∃∈−+=R ，得2140a ∆=−≥，解得2a ≤−或2a ≥， 由命题q :x ∀∈R ，220x ax ++≥，得2280a ∆=−≤，解得a −≤≤ 命题q ¬：a <−或a >q p ¬⇒，而p 不能推出q ¬， 所以“命题p 成立”是“命题q ¬成立”成立的必要不充分条件. 故选：B4. 塑料制品给人们来了极大的方便，但由于其难以自然降解，也给环境造成了不小的污染，某种塑料在自然界降解后的残留量y 与自然降解时间（年）之间的关系为0e kty y =⋅，其中0y 为初始量，k 为降解系数，已知该种塑料经过3年自然降解后的残留量为初始量的80%，则要使得其残留量不超过初始量的10%，该种塑料至少需要自然降解的年数为（ ）（参考数据：lg 20.301≈） A. 30 B. 31 C. 32 D. 33【答案】B 【解析】【分析】由已知当3t =时，00.8y y =，可知1ln 0.83k =，代入解析式，令00.1y y ≤，解不等式即可. 【详解】由已知当3t =时，00.8y y =， 即3008e0.ky y ⋅=，则1ln 0.83k =，令00.1y y ≤，即000.e 1kty y ⋅≤， 解得ln 0.1kt ≤，即1ln 0.8ln 0.13t ≤，解得ln 0.1ln1011333330.9283ln 2ln 0.8ln 8ln101lg 21ln10t −≥⋅=⋅=⋅=⋅≈−−−， 即至少需要自然降解31年， 故选：B.5. 已知向量(),2a x = ，()2,b y = ，()1,2c =− ，若//,a c b c ⊥ ，则向量2a b +在向量c 上的投影向量为（ ） A. ()2,4− B. ()2,4−C. 13,22−−D. 13,22【答案】A 【解析】【分析】由//,a c b c ⊥可确定x y ，，后由投影向量定义可得答案.【详解】因//,a c b c ⊥ ，由题2212201x x y y −==− ⇒ −== ，则()()1,22,1a b =−=，. 则()20,5a b += ，则向量2a b + 在向量c 上的投影向量为：2cos 2,a b a b c e c c ++⋅.又25a b += ，c = ，()2cos 2,2a b c a b c a b c +⋅+==+⋅. 则()22,4e c =−=−.故选：A6. 下列在同一坐标系中的图象，可以作出三次函数ff (xx )=aaxx 3+bbxx 2+ccxx +dd (aa ≠0)及其导函数的图象为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】分析可知，ff ′(xx )的图象为抛物线，利用导函数的符号与原函数单调性之间的关系逐项判断，可得出合适的选项.【详解】因为ff (xx )=aaxx 3+bbxx 2+ccxx +dd (aa ≠0)，则()232f x ax bx c ′=++，则ff ′(xx)的图象为抛物线，对于A 选项，如下图所示：当1x x <或2x x >时，ff ′(xx )<0，则函数()f x 在区间()1,x ∞−、()2,x ∞+上均为减函数， 不合乎题意，A 错；对于B 选项，由图可知，x ∀∈R ，ff ′(xx )>0，则函数()f x 在(),∞∞−+上为增函数，不合乎题意，B 错；对于C 选项，由图可知，x ∀∈R ，ff ′(xx )>0，则函数()f x 在(),∞∞−+上增函数，合乎题意，C 对；对于D 选项，如下图所示：当1x x <或2x x >时，ff ′(xx )<0，则函数()f x 在区间()1,x ∞−、()2,x ∞+上均为减函数， 不合乎题意，D 错. 故选：C.7. 对于任意的0x >，0y >，21223377x y m m x y x y +≥−++恒成立，则m 的最大值为（ ）A.37B. 1−C. 1D. 3【答案】D 【解析】【分析】设23x m x y =+，3y n x y =+，可知172n m n −=+，所以27172n n m n n +++=+，结合基本不等式可得m n +的最小值为37，解不等式2123777m m −≤即可.【详解】设13232xmy x y x ==++，()10,1331y n x x y y=∈++， 则172nm n −=+，为所以27123372x y n n m n x y x y n +++=+=+++()()()2723729772n n n +−++=+()7293337772777n n ++−≥−=+， 当且仅当()7297772n n +=+，即17n =时等号成立， 所以2123777m m −≤，即()()223310m m m m −−=−+≤，解得13m −≤≤， 即m 的最大值为3， 故选：D.8. 已知函数()f x 的定义域为R ，()11f =，()31f x +为偶函数，且函数()122y f x =的图象关于点()1,1对称，则20251()k k f ==∑（ ）A. 4 048B. 4 049C. 4 051D. 4 054【答案】B 【解析】【分析】由题可得()f x 关于1x =，()2,2对称，据此可得()f x 的一个周期为4，即可得答案.【详解】因(31)f x +为偶函数，则()()3131f x f x −+=+，则()f x 图象关于1x =对称；因()122y f x =的图象关于点()1,1对称，则()()112121222f x f x ++−= ， ()()22224f x f x ⇒++−=，得()f x 图象关于()2,2对称； 则()()11f t f t −+=+，()()224f t f t ++−=()()134f t f t ⇒−+++=()()134f t f t ⇒+++=.则()()()()()3541435f t f t f t f t f t +++=⇒+=−+=+，则()f x 的一个周期为4.则()()()()()20251()50612341k f k f f f f f = =++++ ∑.又()()134f t f t +++=，令01t =，，可得()()()()13244f f f f +=+=.则20251()506814049k f k ==×+=∑.故选：B【点睛】结论点睛：()f x 的定义域为R.若()f mx t +为偶函数，则()f x 图象关于x t =对称（()0m ≠）； ()1f mx n关于(),a b 对称，则()f x 图象关于(),ma nb 对称()0m n ≠，； ()f x 图象关于x a =，(),b c 对称，则()f x 的一个周期为4a b −.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9. 在复平面内，复数1z 、2z 对应的向量分别为1a 、2a，则（ ） A. 1212z z a a =++B. 1212z z a a =−−C. 1212z z a a ⋅=⋅D.()112220a z z z a =≠ 【答案】ABD 【解析】【分析】利用特殊值法可判断C 选项；设1i z m n =+，()2i ,,,z x y m n x y =+∈R ，则()1,a m n = ，()2,a x y =，利用平面向量以及复数的模长公式可判断ABD 选项.【详解】设1i z m n =+，()2i ,,,z x y m n x y =+∈R ，则()1,a m n = ，()2,a x y =， 对于A 选项，()()12i z z m x n y +=+++，(),a b m x n y +++，则1212z z a a +==+，A 对；对于B 选项，()()12i z z m x n y −=−+−，(),a b m x n y −−−，则1212z z a a −==−，B 对；对于C 选项，不妨取11i z =+，212i z =+，则()11,1a = ，()21,2a =，则()()121i 12i 13i z z =++=−+，则12z z ==，12123a a ⋅=+=，此时，1212z z a a ⋅≠⋅ ，C 错；对于D 选项，当20z ≠时，20a ≠，则11z a = ，22z a = ，()()()()()()1222i i i i ii i m n x y mx ny nx my z m n z x y x y x y x y +−++−+===++−+，所以，12z z12a a ，D 对. 故选：ABD.10. 已知函数()()πtan 04f x x ωω =−>的图象相邻两个对称中心之间的距离为π4，则（ ） A. 4ωB. ()f x 的最小正周期为π2C. ()f x 的图象的一条渐近线为直线3π8x = D. ()f x 的增区间为()ππ3ππ,164164k k k−++∈Z 【答案】BC 【解析】【分析】AB 选项；利用正切型函数的渐近线可判断C 选项；利用正切型函数的单调性可判断D 选项.【详解】对于AB 选项，因为函数()()πtan 04f x x ωω=−>的图象相邻两个对称中心之间的距离为π4， 则该函数的最小正周期为π2T =，所以，π2Tω==，A 错B 对； 对于C 选项，()πtan 24f x x =−，当3π8x =时，π3πππ24442x −=−=， 所以，()f x 的图象的一条渐近线为直线3π8x =，C 对； 对于D 选项，由()ππππ2π242k x k k −<−<+∈Z ， 可得()πππ3π2828k k x k −<<+∈Z ，所以，()f x 的增区间为()πππ3π,2828k k k−+∈Z ，D 错. 故选：BC.11. 已知函数()2141,21log ,2x x f x x x −< = ≥，若存在实数m 使得方程()f x m =有四个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则（ ）A. ()340f x x =B. 120x x +<C. ()231x f x +>D. ()321x f x +> 【答案】ABD 【解析】【分析】根据分段函数的性质及值域可得m 的范围，再结合函数值相等可知函数解的关系，进而判断各选项.【详解】由()22214,01141,41,02211log ,log ,122log ,1x xx x x x f x x x x x x x −< −<−≤< == ≥−≤< ≥ ， 作出函数图像如图所示，当0x <时，函数()f x 单调递减，此时()()0,1f x ∈； 当102x ≤<时，函数()f x 单调递增，此时()[)0,1f x ∈；当112x ≤<时，函数()f x 单调递减，此时()(]0,1f x ∈； 当1x >时，函数()f x 单调递增，此时()()0,f x ∞∈+；由方程()f x m =，有4个解，即函数yy =ff (xx )与函数y m =有4个交点， 即()0,1m ∈，且123410122x x x x <<<<<<<， 且124141xx −=−，2324log log x x =，即12442x x +=，()2324234log log log 0x x x x +==， 即341x x =，且1244x x +≥1244x x=即12x x =时取等号，即2<，120x x +<，B 选项正确；()()3410f x x f ==，A 选项正确；又()()23f x f x =，所以()()22322241xx f x x f x x +=+=+−，()()3233323log x f x x f x x x +=+=−， 设()41xg x x =+−，10,2x∈，()2log h x x x =−，1,12x∈， 则()41xg x x =+−在10,2 上单调递增，()()102g g x g<<，即()302g x <<，()23302x f x <+<，C 选项错误；又()11ln 2h x x =−′，且()h x ′在�12,1�上单调递增， 则()()1ln 21110ln 2ln 2h x h −<−′=′=<， 所以ℎ(xx )在�12,1�上单调递减，所以()()2log 11h x x x h =−>=， 即()321x f x +>，D 选项正确； 故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共 15 分12. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若45620a S ==，，则10S 的值为_______．【答案】90 【解析】分析】由等差数列通项，求和公式可得答案.【详解】设{}n a 首项为1a ，公差为d ，由等差数列通项，求和公式：41151360510202a a d a S a d d =+== ⇒=+== ，则101104590S a d =+=. 故答案为：90.13. 某超市要搭建一个底面为扇形的柱体展台（如图），用一张矩形的石墨烯显示屏（可弯曲）围成展台的侧面（两个矩形和一个曲面），商品放在展台上展示，显示屏播放商品广告．已知石墨烯显示屏的长度一定，为了使得展台底面扇形面积最大，扇形的圆心角应设计为______弧度．【答案】2 【解析】【分析】根据2r r l α+=，利用基本不等式可得228l r α≤，即可由扇形面积公式求解.【详解】设扇形的半径为r ，圆心角为α，石墨烯显示屏的长度为l ，则2r r l α+=，故2228l r r l r αα+=≥⇒≤，当且仅当2r r α=即2α=时等号成立，故扇形的面积为221216l S r α≤，故当2α=时，面积取到最大值216l .故答案为：214. 函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，人们习惯称其为“取整函数”，例如：[]3.54−=−，[]2.12=，若[]10x x = ，则x 的取值范围为_______．【答案】1011,33【解析】【【分析】由“取整函数”的定义可知[][]1x x x ≤<+，则[][][][]22x x x x x ≤<+，分0x >和0x <两种情况，解不等式即可.【详解】由“取整函数”的定义可知[][]1x x x ≤<+，且[][]1x x x ≤<−， 又[]10x x = ，所以[]1011x x ≤<， 易知0x ≠，且[]0x ≠，当0x >时，[]0x ≥，即[]0x >， 则[][][][]22x x x x x ≤<+，所以[][][][]221011x x x x > ≤ +>[]x <≤由249<<，所以23<<， 则[]3x =，所以10311x ≤<，即101133x ≤<， 当0x <时，[]0x <， 则[][][][]22x x x x x +<≤，即[][][][]221011x x x x < +< ≥[]x <≤又2916<<，即43−<<−， 此时[]x 不存在， 综上所述1011,33x∈， 故答案为：1011,33.四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 已知ABC 的面积为O 为边BC 的中点，5OA =，20OA OB ⋅=．（1）求BC 的长； （2）求角C 的正弦值． 【答案】（1）16（2 【解析】【分析】（1）根据三角形面积及向量数量积可知tan AOB ∠，进而可得OB 与BC ； （2）在AOC △中，用余弦定理可知AC ，再由正弦定理可知角C 的正弦值. 【小问1详解】由已知O 为边BC 的中点，所以22ABC AOB S S AOB =∠ ，即sin OA OB AOB ⋅∠， 又()cos πcos 20OA OB OA OB AOB OA OB AOB ⋅=⋅⋅−∠=−⋅⋅∠=，则tan AOB ∠， 即2π3AOB ∠=， 又5OA = 则5202OB =， 即8OB =，216BC OB ==； 【小问2详解】由（1）得2π3AOB ∠=，8OC OB ==，则π3AOC ∠=，在AOC △中，由余弦定理可知2222cos AC OA OC OA OC AOC =+−⋅⋅∠， 即212564258492AC =+−×××=， 则7AC =，又由正弦定理可知sin sin OA AC CAOC =∠∠，则sin sin OA AOCCAC⋅∠∠==16. 已知数列{}n a 和{}n b 满足1n n n a b a +−=，n n a b λ+=（λ为常数，且1a λ≠）．（1）证明：数列{}n b 是等比数列；（2）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且45S S =，记nn na cb =，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求使得0n T >的n 的最大值．【答案】（1）证明见解析 （2）31 【解析】【分析】（1）由已知条件推到得出12n n a a λ+=−，利用等比数列的定义可证明出数列{}n a λ−为等比数列，求出n a λ−的表达式，再利用等比数列的定义可证得数列{bb nn }是等比数列； （2）根据（1）求出数列{aa nn }、{bb nn }的通项公式，可得出数列{}n c 的通项公式，可求出n T ，分析数列{}n T 的单调性，由310T >，320T <可得出满足0n T >的n 的最大值. 【小问1详解】证明：因为1n n n a b a +−=，n n a b λ+=（λ为常数，且1a λ≠）， 上述两个等式相加可得12n n a a λ+=+，则12n n a a λ+=−，所以，()12n n a a λλ+−=−， 因为1a λ≠，则10a λ−≠，所以，数列{}n a λ−是首项为1a λ−，公比为2的等比数列， 所以，()112n n a a λλ−−−⋅，所以，()112n n n b a a λλ−=−=−−⋅，则()()1111222n n n n a b b a λλ+−−−⋅==−−⋅，即数列{bb nn }是公比为2的等比数列. 【小问2详解】解：因为n S 为数列{aa nn }的前n 项和，且45S S =，则5540a S S =−=，由（1）可知，()()4511216a a a λλλλ−=−×=−=−，所以，11516a λ=， 所以，()115122216n n n n a a λλλλ−−−−=−⋅=−⋅=−⋅，则()512n n a λ−=−，由（1）可得()115122216n n n n b a λλλ−−−=−−⋅=⋅=⋅，所以，()555121122n n nnn na cb λλ−−−−===− ⋅，所以，43251161211111222212n n n T n n −−−− − =++++−=− −32322n n −−， 因为数列{}n c 单调递减，且当4n ≥且n ∗∈N 时，0n c >，且50c =， 所以，当5n ≥且n ∗∈N 时，0n T >， 当6n ≥且n ∗∈N 时，0n c <，所以，数列{}n T 从第6项开始单调递减，因为313132102T =−>，32323202T =−<， 当631n ≤≤且n ∗∈N 时，310n T T ≥>； 当32n ≥且n ∗∈N 时，320n T T ≤<. 所以，使得0n T >的n 的最大值为31.17.已知函数22()2sin cos f x x x x x +（1）求()f x 在区间π0,2上的最值；（2）已知π0,2α ∈，且8()5f α=，求tan α的值． 【答案】（1）答案见解析；（2）8−. 【解析】【分析】（1）由辅助角公式化简()f x ，后令π23x t +=，由题意结合函数单调性可得最值； （2）由可得πsin 6α +与πcos 6α +同号，即可令πsin 6n α+= ，由题可解得n ，即可得答案. 【小问1详解】()222sin cos 2sin 2f x x x x x x x =+=+π2sin 22sin 23x x x=+=+ .因π0,2x∈，则ππ2,π33x t+=∈ ，令()()2sin f x g t t ==注意到()g t 在ππ,32 上单调递增，在π,π2上单调递减.则max π()22f x g ==，πππ23212x t x +==⇒=； ()()min π()min ,ππ03f x g g g ===，此时ππ2π33x t x +==⇒=；故()f x 在π12x =时取最大值2，在π3x =时取最小值0；【小问2详解】 因π0,2α∈，则ππ2π,663α +∈ . 由题πππ()2sin 24sin cos 0366f αααα=+=++>则πsin 6α+ 与πcos 6α +同号，则πππ,662α +∈ 则令π1sin ,162n α+=∈，得4282425254055n n =⇒=⇒−+= ()()2251540n n ⇒−−=，则245n =或215n =（舍），.则ππsin cos 66αα +⇒+，πsin π6tan 2π6cos 6ααα+ +== +.则ππtan tan 866αα =+−=. 18. 已知函数()()2ln R f x x x a =+−∈． （1）当0a =时，证明：()0f x >．（2）若函数()y f x =的图象与x 轴相切，求a 的值 （3）若()f x 存在极大值点，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2）)ln 21a =−−（3）a > 【解析】【分析】（1）求导即可根据函数的单调性求解极值证明，（2）设出切点，求导，根据()120f m m=+−=′，()2ln 0f m m m =−=，即可求解12m =，进而可求解， （3）求导，将问题转化为()120f x x=+−=′有不相同的实数根，分离参数，构造函数()h x =.小问1详解】当0a =时，()2ln f xx x =−，则()1212x f x x x=′−=−， 当12x >时，()()0,f x f x ′>单调递增， 【当102x <<时，()()0,f x f x ′<单调递减， 故()f x 在12x =时取极小值也是最小值，故()12ln 1ln 202f x x x f=−≥=+>，得证. 【小问2详解】函数()y f x =的图象与x 轴相切，故设切点为(),0m ，()12f x x+−′=， 故()120f m m =+−=′，()2ln 0f m m m =+−=，因此1e m a=且e m a =，故e m a =()()1212ln 202m m m −−+=， 由（1）知2ln 0x x −>，故2ln 20m m −+>，因此210m −=，故12m =，所以)12e e ln 21m a ===−−【小问3详解】令()120f x x =+−=′，故()210x f x x−+′==， 故()121120x x x x − ⇒−−=， 当12x =时，()0f x ′=，当120,x −≠1x =，则a =， 记()h x =()e 2x h x x ==′， 当12x >时，()()0,h x h x ′>单调递增， 当102x <<时，()()0,h x h x ′<单调递减， 故ℎ(xx )在12x =时取极小值也是最小值，12h=， 且当x →+∞时，()h x ∞→+，当0x →时，()h x ∞→+， 故()f x存在极大值点，只需要a >.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数ℎ(xx )；(3)利用导数研究ℎ(xx )的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式．19. 已知集合{}123,,,,n A a a a a = ，k A 为集合A 的子集．定义1()ni i S A a ==∑，()0S ∅=． （1）取()*n a n n =∈N ．①若存在i j A A ≠且()()i j S A S A =，求n 的最小值；②对于给定的n ，若存在12,,,k A A A ⋅⋅⋅互不相同且12k A A A ⋅⋅⋅≠∅ ，求k 的最大值()k n 及此时()()1k n ii S A =∑的最大值()f n ．（2）取()*2,nn a qq n =≥∈N ，是否存在n 及,ijA A ，使得ijA A ≠，且()()i jS A S A =？若存在，请举例；若不存在，请证明． 【答案】（1）①3；②()12n k n −=，()()2332n f n n n −=+⋅（2）不存在，证明见解析 【解析】【分析】（1）①结合子集定义与题目所给条件，分别计算1n =、2n =及3n =时的结果即可得；②由题意可得12,,,k A A A ⋅⋅⋅中存在公共元素，则集合12,,,k A A A ⋅⋅⋅去掉公共元素后的新的所有集合必为集合A 中去掉该公共元素后的子集，结合子集个数与元素个数的关系即可得解()k n ，再利用这些新集合中各元素出现次数，结合组合数计算公式与等差数列求和公式即可得()f n ；（2）借助反证法，假设存在符合要求的n ，由题意可设i j A A ∩=∅，,r s j i a a 分别为两者中最大元素，通过计算可得当2q ≥时，数列nn a q =的前n 项和1n n S a +<，则可得s r j i <，r s i j <，由两者矛盾，即可得.【小问1详解】①当1n =时，{}1A =，有两个子集，分别为∅、{}1，此时()0S ∅=，{}()11S =，不符合要求；当2n =时，{}1,2A =，有四个子集，分别为∅、{}1、{}2、{}1,2，此时()0S ∅=，{}()11S =，{}()22S =，{}()1,23S =，不符合要求；当3n =时，{}1,2,3A =，存在{}1,2A ⊆，{}3A ⊆， 有{}()1,23S=，{}()33S =，即n 的最小值为3；②{}1,2,3,,A n = ，*n ∈N ，由12,,,k A A A ⋅⋅⋅互不相同且12k A A A ⋅⋅⋅≠∅ ，设12k A A A B ⋅⋅⋅= ， 则B 中至少有一个元素，假设B 中元素个数()*1,m m m ≥∈N 个，又()12k A A A A ∪∪∪⊆ ，则()()12k A A A A B ∪∪∪∩ 中元素个数最多有n m −个，子集个数最多有2n m −个， 由1m ≥，故当1m =时，()()12k A A A A B ∪∪∪∩ 子集个数最多，且为12n −个， 故k 的最大值()12n k n −=，设此时B 中元素为t A ∈，则集合1A B 、2A B 、 、12n A B − 为集合()()12k A A A A B ∪∪∪∩ 的子集， 其中元素t 在1A 、2A 、 、12n A −中都有， 假设存在a t ≠，且a A ∈，此时2n ≥，则a 在1A 、2A 、 、12n A −中的双元素集合中出现1次，为若3n ≥，则在1A 、2A 、 、12n A −中的三元素集合中出现12C n −次，在1A 、2A 、 、12n A −中的四元素集合中出现22C n −次，在1A 、2A 、 、12n A −中的n 元素集合中出现22C n n −−次，即除t 外集合A 中所有元素都会出现12222221C C C 2n n n n n −−−−−++++=次， 则当t n =时，()()1k n ii S A =∑有最大，此时()()()()()()()11212211n n k n iii i f n S A S A S A S A S A −−=====+++∑∑ ()()()12122312121222322n n n n n n n n n n n n −−−−−−=⋅++++−⋅=⋅+⋅=+⋅ ，即()12n k n −=，()()2332n f n n n −=+⋅；【小问2详解】 不存在，理由如下：假设存在符合要求的n ，且{}11,,,s i i i i A a a a = ，{}11,,,r j j j j A a a a = ， 其中12s i i i <<< ，12r j j j <<< ，s n <，r n <，且*s ∈N ，*r ∈N ， 则s s i ≤，r r j ≤，若i j A A ∩≠∅，由()()i j S A S A =，则对()i A i j A A ∩ 、()j A i j A A ∩ ， 也满足()()()()i j A i j A i jS A A S A A ∩=∩ ，故不妨假设i j A A ∩=∅，则s r i j ≠， 由i j A A ≠，且()()i j S A S A =，由2q ≥，则有：()()12111211ss s s i i i i i i i i i q q S A a a a q q q q q q q−=+++=+++≤+++=−1111111s s s s s i i i i i q q q q q q q a q q q q +++=−<=≤=−−−−， 即()1s i i S A a +<，故1s r j i a a +<，即1s r j i <+，又s r i j ≠，故s r j i <，第21页/共21页 同理可得()1r j j S A a +<，故1r s i j a a +<，即1r s i j <+，又s r i j ≠，故r s i j <， 两者矛盾，故不存在这样的n 及,i j A A .【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于得到当2q ≥时，数列n n a q =的前n 项和1n n S a +<，从而可通过研究i A 、j A 的最大项的关系得到结果.。

江苏常州市奔牛高级中学高三第一次调研测试（数学文）一、填空题（共70分，每题5分） 1、化简复数2)1(i i -=2、已知全集U={}Z x x x ∈≤<-,43 {}{},3,2,13,1,2=--=B A 则)(B A C U ⋃= 3已知向量),(),1,1(),4,2(λ+⊥==若则实数λ=4、已知数列{}n a 中，)(a ,1,41122n 31*++∈===N n a a a a n n 且则8a =5、已知函数⎩⎨⎧>≤=)0(log )0(,3)(2x x x x f x ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡)41(f f = 6、数列{}n a 满足,1),(2111=∈=+*+a N n a a n n 前n 项和为n S ，则=21S 7、已知函数[]b a x x x x f ,,2)(2∈-=的值域为[]3,1-，则b-a 的取值范围是 8、函数[]1)2(33)(23++++=x a ax x x f 既有极大值又有极小值，则a 的取值范围是9.三角形ABC 中，若∙=∙=4,则边AB 的长等于 10、等差数列{}n a 的前n 项和n S ，220082010,2010200820101=--=S S a ，则2010S = 11、已知,是非零向量，且它们的夹角为,3π若+==12、设函数θθθtan 2cos 33sin )(23++=x x x f ，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈125,0πθ，则导数'f （1）的取值范围是 13、若函数m x x f ++=)cos(2)(ϑω对任意的实数)9()9f(t f t t -=+ππ都有且,3)9(-=πf 则m=14、三角形ABC 中，6π=∠A ，D 为边BC 上任一点（D 不与B.C 重合），DC BD ∙+=,则B ∠=二、解答题：本大题共6小题，共90分。

解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15（本大题满分14分）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令b n =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 16（本大题满分14分）在ABC ∆中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若sin sin 1B C +=，试判断ABC ∆的形状.17（本大题满分15分）已知x f x x ∙===)(),2sin ,1(),3,cos 2(2（1）求)(x f 的最小正周期（2）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，求f(x)的值域 （3）三角形ABC 中，∠分别为c b a ,,A ，C B,∠∠的对边，C)f （=3， c=1 ，23=S ，且a>b ，求a,b 的值。

江苏省常州市奔牛高级中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数则对任意，下列不等式成立的是（）A． B．C． D．参考答案：D略2. 设，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：B略3. 函数f1（x）=，f2（x）=，…，f n+1（x）=，…，则函数f2015（x）是( )A．奇函数但不是偶函数B．偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数参考答案：A【考点】函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的定义和性质进行判断即可．【解答】解：f1（x）=，则f（x）是奇函数不是偶函数，f2（﹣x）==﹣=﹣f2（x），则f2（x）为奇函数不是偶函数，f3（﹣x）==﹣=﹣f3（x），则f3（x）为奇函数不是偶函数，…则由归纳推理可得函数f2015（x）为奇函数不是偶函数，故选：A【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键．4. 设全集为，集合，则集合可表示为（）A、 B、 C、 D、参考答案：D5. 执行如图的程序框图，如果输出的S=3，则输入的t=（）A. －1B. －3C. 1或3D. 1或－3参考答案：C【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，根据S的值，分类讨论即可得答案．【详解】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，由于输出的S=3，则当t≥1时，可得：4t-t2=3，解得：t=3或1，当t＜1时，可得：3t=3，解得t=1（舍去）．故选：C．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6. 设、为两个不同的平面，、、为三条互不相同的直线，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，，，则；③若，，则；④若、是异面直线，，且，，则．其中真命题的序号是（）A．①③④ B．①②③ C．①③ D．②④参考答案：A7. 给出平面区域G，如图所示，其中，若使目标函数取得最小值的最优解有无穷多个，则的值为A．B．C．2 D．4参考答案：D略8. 已知命题:所有素数都是偶数，则是（）A.所有的素数都不是偶数B.有些素数是偶数C.存在一个素数不是偶数D. 存在一个素数是偶数参考答案：C略9. 如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是a m（0＜a＜12）、4m，不考虑树的粗细．现在想用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD．设此矩形花圃的最大面积为S，若将这棵树围在花圃内，则函数S=f（a）（单位m2）的图象大致是（）A．B．C．D．参考答案：C考点：函数的图象与图象变化．专题：压轴题；分类讨论．分析：为求矩形ABCD面积的最大值S，可先将其面积表达出来，又要注意P点在长方形ABCD内，所以要注意分析自变量的取值范围，并以自变量的限制条件为分类标准进行分类讨论．解答：解：设AD长为x，则CD长为16﹣x又因为要将P点围在矩形ABCD内，∴a≤x≤12则矩形ABCD的面积为x（16﹣x），当0＜a≤8时，当且仅当x=8时，S=64当8＜a＜12时，S=a（16﹣a）S=分段画出函数图形可得其形状与C 接近 故选C ．点评：解决本题的关键是将S 的表达式求出来，结合自变量的取值范围，分类讨论后求出S 的解析式． 10. 复数为虚数单位)在复平面内所对应的点在__________. A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限参考答案：B 略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若变量x ，y 满足约束条件，且z=2x+y 的最小值为﹣6，则k= ．参考答案：﹣2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z 的最优解，然后确定k 的值即可．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分） 由z=2x+y ，得y=﹣2x+z ，平移直线y=﹣2x+z ，由图象可知当直线y=﹣2x+z 经过点A 时，直线y=﹣2x+z 的截距最小，此时z 最小．目标函数为2x+y=﹣6，由，解得，即A （﹣2，﹣2）， ∵点A 也在直线y=k 上， ∴k=﹣2， 故答案为：﹣2．12. 若变量满足约束条件则的最大值等于_____．参考答案：10【知识点】线性规划【试题解析】因为如图为可行域，在取得最大值10故答案为：1013. 执行如图所示的程序框图，若S 0=2，则程序运行后输出的n 的值为 ．参考答案：4【考点】程序框图．【分析】S 0=2，S n ←3S n ﹣1+1，S n ≥202时，输出n ．【解答】解：n=1时，S←3×2+1；n=2时，S←3×7+1；n=3时，S←3×22+1；n=4时，S←3×67+1=202， 因此输出n=4． 故答案为：4．14. 在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是 ．参考答案：45，46试题分析：中位数是将数据按大小顺序排列后位于中间的一个或两个的平均数，因此甲、乙两组数据的中位数分别是45，46 考点：茎叶图 15. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为参考答案：16. 已知向量=（2，3），=（﹣3，2）（O 为坐标原点），若=，则向量与的夹角为 ．参考答案：135°【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用． 【分析】由=，可得，再利用向量夹角公式即可得出．【解答】解：∵ =，∴=（2，3）﹣（﹣3，2）=（5，1），∴===﹣，∴向量与的夹角为135°．【点评】本题考查了向量夹角公式、数量积运算性质、向量的坐标运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17. 如图直角三角形ABC 中，，点E1F 分别在CA 、CB 上，EF∥AB，，则=______________.参考答案：－5 略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

2021年高三上学期周日（1.10）考试数学试题含答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“，，成等差数列”是“”成立的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2.已知为虚数单位，，若是纯虚数，则的值为（）A．或B． C． D．3.已知等差数列的首项为，公差为，前项和为．若（），则的值为（）A． B． C． D．或4.集合，，则集合的所有元素组成的图形的面积是（）A． B． C． D．5.若函数（）的图象与轴相邻两个交点间的距离为，则实数的值为（）A． B． C． D．6.已知抛物线与点，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点，若，则（）A． B． C． D．7.函数的值域为（）A． B． C． D．8.某公司招聘来名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有（）A．种 B．种 C．种 D．种9.三棱锥及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱的长为（）A． B． C． D．11.在平面直角坐标系中，圆，圆．若圆上存在一点，使得过点可作一条射线与圆依次交于点，，满足，则半径的取值范围是（）A． B． C． D．12.已知函数，如在区间上存在（，）个不同的数，，，，，使得比值成立，则的取值集合是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在半径为的球面上有不同的四点，，，，若，则平面被球所截得的图形的面积为．14.已知，，满足，则的最小值为．15.直线分别与直线，曲线交于，两点，则的最小值为．16.手表的表面在一平面上．整点，，，这个数字等间隔地分布在半径为的圆周上．从整点到整点的向量记作，则等于．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列的前项和满足，等差数列满足，．（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前项和．18.（本小题满分12分）在中，，，所对的边分别为，，，若，且，求的面积的最大值．19.（本小题满分12分）现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了人，他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表．月收入（单位百元）频数赞成人数限购令”的态度有差异；月收入低于百元的人数月收入低于百元的人数合计赞成不赞成合计“楼市限购令”人数为，求随机变量的分布列及数学期望．参考数据：20.（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，，．（1）求证：；（2）若，求二面角的正弦值．21.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆（）的左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于，两点．当直线斜率为时，．（1）求椭圆的标准方程；（2）试问以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论．22.（本小题满分12分）已知函数，．（1）时，证明：；（2），若，求的取值范围．武邑中学xx学年高三数学周日测试（12）答案一、选择题1.A2.C3.B4.C5.D6.D7.A8.B9.B 10.B 11.A 12.C二、填空题13. 14. 15. 16.三、解答题17.解：（1）当时，，．当时，()()111212122n n n n n n na S S a a a a---=-=---=-，即．数列是以为首项，为公比的等比数列，（）．（6分）（2）()()111111212122121nn ncb b n n n n+⎛⎫===-⎪-+-+⎝⎭．（9分）11111111112335212122121nnn n n n⎛⎫⎛⎫T=-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭（）．（12分）18.解：由，得，代入，得，即，由余弦定理得，，（6分）所以222248315sin C1cos Cb a a--=-==则的面积()2222 11831511sin C83158315 2244aS ab ab a a a a-===-=-()222211511515831511551583154341541524155a a a a +-=⨯-≤⨯⨯=⨯⨯=， （10分）当且仅当时取等号，此时，所以的面积的最大值为． （12分） 19.解：（I ）月收入低于百元的人数月收入低于百元的人数合计 赞成 不赞成 合计()()()()()2250311729 6.47 6.635372911329711⨯⨯-⨯K =≈<++++所以没有%的把握认为月收入以为分界点对“楼市限购令”的态度有差异． （6分） （II ）的可能取值：，，，， ，， ， 分布列为：（12分）20.解：（1）连接，，则和皆为正三角形．取的中点，连接，，则，．又，所以平面． 又平面，所以． （4分） （2）由（1）知，，又，所以．如图所示，以为原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，． （6分） 设平面的一个法向量为， 因为，，所以， 取． （8分） 设平面的一个法向量为， 因为，，所以， 取． （10分）则，所以二面角的正弦值是． （12分） 21.解：（1）设，直线斜率为时，， ，，，，，化为．联立，，．椭圆的标准方程为． （4分） （2）以为直径的圆过定点． （5分） 下面给出证明： 设，则，且，即． ，直线方程为，令，可得．直线方程为，令，可得． （8分）以为直径的圆为()()00002200022y y x x y y x x ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭，即，，，令，则，解得，以为直径的圆过定点． （12分） 22.解：（1）由题意得，，令，则．在区间上，，单调递减；在区间上，，单调递增． 所以的最小值为，即，所以函数在区间上单调递增，即． （4分） （2）令，则， 令，．由（1），得，则在区间上单调递减． ①当时，，且．在区间上，，单调递增，则区间上，，单调递减，所以的最大值为，即恒成立．（7分）②当时，．时，，解得．即时，，单调递减．又，所以此时，与恒成立矛盾．（9分）③当时，．时，，解得．即时，，单调递增．又，所以此时，与恒成立矛盾．综上，的取值为．（12分）29288 7268 牨A27864 6CD8 泘39388 99DC 駜W{33753 83D9 菙30989 790D 礍25716 6474 摴36709 8F65 轥24292 5EE4 廤22590 583E 堾};30181 75E5 痥。

2021年江苏省常州市高级中学分校高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 复数（i是虚数单位）等于（）A．4+3i B．4－3i C．－4+3i D．－4－3i参考答案：D2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为A． B． C． D．参考答案：A略3. 已知展开式中常数项为5670，其中是常数，则展开式中各项系数的和是A．28B．48C．28或48D．1或28参考答案：C4. 函数的图象A.关于直线对称B.关于直线对称C.关于点对称D.关于点对称参考答案：B略5. 在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）表示的区域面积等于1，则抛物线y=ax2的准线方程为（）A．y=﹣B．x=﹣C．x=﹣D．y=﹣参考答案：D【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】首先作出可行域，根据区域面积达到共赢a的方程，然后求抛物线的准线方程．【解答】解：作可行域如图：由题知：A（2，2a+1），B（1，a+1），C（1，0.5），D（2，0）所以s=，a=；所以抛物线为，即：x2=6y，准线方程为：．故选D．6. 若函数在区间上的图像如图所示,则的值可能是A.B．C．D．参考答案：B略7. 函数的一个零点落在下列哪个区;间 (.）A．(0,1) B． (1,2) C． (2,3) D． (3,4)参考答案：B8. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象A.向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度Ks5u参考答案：B略9. 已知等比数列是等差数列，且等于A．2 B．4 C．6 D．8 参考答案：D10. 已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.参考答案：C圆心为F（c，0），渐渐线为：，由题，所以，即离心率为，选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知集合，则。

江苏省常州高级中学2021届高三上学期期初质量检查（数学）江苏省常州高级中学2021届高三上学期期初质量检查理科数学试卷2021．10注：1。

请在答题纸上填写以下问题的所有答案；2.本卷总分200分，考试时间120分钟。

1.填空：（每个小问题5分，共70分）ks5u1．命题p：“？x？R，所以x2？x？1？0”，然后呢？p:。

1≤22?x?8}，b?{x?r||log2x|?1}，则a?(erb)等2ks5u2．已知集合a?{x?z|于．3.集合a={（x，y）|ax+y=1}，B={（x，y）|x+ay=1}，C={（x，y）|x2+y2=1}。

如果（a）∪ b）∩ C有两个元素，a的所有值的集合是。

4.如果f（2x×1）？x2？1，那么F （0）的值为。

5.函数f（x）？十、2（x？[1,3]）的值范围为。

Xks5u6。

已知函数f（x）是R上定义的奇数函数，当x？什么时候0，f（x）？X（1？X）。

那么x什么时候？0时，f(x)的表达式为．7.R上定义的函数f？十、满足f？十、F十、2.13.如果f？1.2，那么f？99? 价值为．Ks5u8。

将Sn设置为算术序列？一如果是S5？10，s10？？5，则公差为。

9.已知的比例级数？一前n项之和为Sn，如果是Sn？十、3n？1，那么X的值是。

10? 一见A1？3a2？3a3？…？32n？1安？n*，n？n、那序列呢？一is一般条款3ks5u11．已知函数y?x，给出下列四个命题：x?1(1)函数图象关于点（1，1）对称；(2)函数在定义域内单调递减；（3）将图像向左平移一个单位，然后向下平移一个单位，然后与函数y进行比较？其中，正确的命题数为。

12.已知函数f（x）？对ks5u1的图象重合．x3?ax(a?1)在区间?0,1?上是减函数，则实数a的取值范围a?11（5？2a）x？1x？113.已知函数f（x）？？X（a？0和a？1）满足任何X1？都是ax?1?f(x1)?f(x2)?0成立，则实数a的最小值是_______________________．x1？X214。

常州市联盟学校2024—2025学年度第一学期学情调研高三年级数学试卷2024.10考试时间120分钟本试卷共19大题满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}3,2,1,0,1,2,3A =---，102x B xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，则集合A B ⋂的真子集的个数为（）A ．7B ．8C ．15D ．162．已知复数()()1i 2i m +-在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m 的取值范围为（）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．(),2-∞-D ．()2,2-3.在空间中，设m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列命题正确的是（）A ．若//m α且//αβ，则//m βB ．若m n ､是异面直线，,m m α⊂∥,,n n ββ⊂∥α，则α∥βC ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥D ．若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则//n β4.函数f (x )的图象如图所示，设f (x )的导函数为)('x f ，则0)()('>x f x f 的解集为()A ．(1,6)B ．(1,4)C ．(－∞，1)∪(6，＋∞)D ．(1,4)∪(6，＋∞)5．已知6π2cos sin 3αα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．59-B ．19-C ．19D ．596．已知0m >，0n >，直线1e y x m =+与曲线ln 4y x n =-+相切，则11m n +的最小值是（）A ．4B ．3C ．2D ．17．将函数π()sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的1(0)ωω>，纵坐标不变，所得图象在区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，且在ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为（）A ．9,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．9,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．11,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,64⎛⎤ ⎥⎝⎦8．若函数()f x 的定义域为 ，且有()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]0,1x ∈时，()x f x a b =-．若(2)(0)2f f -=，则()2log 200f 所在的区间是（）第4题图A ．(),1∞--B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ． ∞二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知π0π2αβ<<<<，()sin cos ααβ=+=）A．cos 5α=B ．()sinαβ+=C ．3cos 5β=-D ．()sin αβ-=10．如图，正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，P Q 、分别是棱1CC ，棱BC 的中点，点M 是其侧面11ADD A 上的动点（含边界），下列结论正确的是（）A ．沿正方体的表面从点A 到点P B ．过点,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面面积为92C．当PM =时，点M 的轨迹长度为2π3D ．保持PM 与1BD 垂直时，点M 的运动轨迹长度为11.已知()()32231f x x x a x b =-+-+，则下列结论正确的是（）A ．若()f x 在()0,∞+上单调递增，则a 的取值范围是(),0-∞B ．当1a =且()0,πx ∈时，()()2sin sin f x f x ≤C ．若过点()1,m 可作出曲线()()1y f x a x b =+--的三条切线，则m 的取值范围是5,14⎛--⎫ ⎪⎝⎭D ．若()f x 存在极值点0x ，且()()01f x f x =，其中10x x ≠，则01322x x +=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点34,55P ⎛⎫-⎪⎝⎭，则()()2cos πcos sin πααα-=-+．13．已知边长为2的菱形ABCD 中，π3DAB ∠=，点F 为线段BD （含端点）上一动点，点E 满足3DE EC = ，则AF DE ⋅的取值范围为．14．在平面直角坐标系xOy 中，M 为曲线xe y x=上一点且位于第一象限，将线段OM 绕x 轴旋转一周，得到一个圆锥的侧面，再将其展开成扇形，则该扇形的圆心角的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．Q第10题图15．(13分)在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量2cos ,sin 2C m C ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，cos ,2sin 2C n C ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，且m n ⊥ .(1)求角C 的值；(2)若3c =，6sin sin 2A B +=，求ABC V 的面积．16．(15分)已知函数2)1()(+-=x a x x f (1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )的单调区间．17．(15分)如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，ACD 为等边三角形，24AD DE AB ===，F 为CD 的中点.(1)求证：//AF 平面BCE ；(2)求证：平面BCE ⊥平面CDE ；(3)求直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值.第17题图18．(17分)如图，在平面四边形ABCD 中，点B 与点D 分别在AC 的两侧，对角线AC 与BD 交于点E ，2AB BC ==.(1)ABC V 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若ABC V的面积为()2224S b c a =--，23A A E C = ，求ABC ∠的大小和CBD ∠；(2)设BAC α∠=，已知2AD CD =，且π3ADC ∠=，求对角线BD 的最大值和此时α的值.19．(17分)对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，且00x ≠，满足()()00f x f x -=，则称()f x 为“弱偶函数”.若在定义域内存在实数0x ，满足()()00f x f x -=-，则称()f x 为“弱奇函数”.(1)判断函数()31,0,0x f x x x x ⎧<⎪=⎨⎪≥⎩是否为“弱奇函数”或“弱偶函数”并说明理由；(2)已知函数()()23234,14,1x x m x h x x ⎧-⋅-≥-⎪=⎨-<-⎪⎩，为其定义域上的“弱奇函数”，求实数m 的取值范围；(3)已知1a >，对于任意的31,2b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,函数()()2ln 1h x x a x x b =++++-都是定义域为[]1,1-上的“弱奇函数”，求实数a 的取值范围.第18题图。

2021届江苏省奔牛高级中学周练7高三数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知,,,A B C D 是平面内四个不同的点，则“//C B D A ”是“四边形ABCD 为平行四边形”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件2.已知集合{}01A x x =<≤，{}sin cos ,B y y x x x R ==⋅∈，则AB = （ ）A ．{}11x x -<≤B ．102x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C ．102x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ D ．{}11x x -≤≤3.若2z i =-，则2z z -= （ ） A ．3B ．2C ．10D ．264.一种药在病人血液中的量保持1500mg 以上才有效，而低于500mg 病人就有危险．现给某病人注射了这种药2500mg ，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过 （ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：1g20.301=，1g30.4771=，答案采取四舍五入精确到0.1h ）A ．2.3小时B ．3.5小时C ．5.6小时D ．8.8小时5.已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点()1,m ，其中0m >，若2an 21t 5α=-，则()cos 2m απ+= （ ）A ．613-B ．1213-C ．613D ．12136.函数()3sin 22xf x x =-的部分图象大致为 （ ） A ． B ． C ． D ．7.若()f x 为偶函数，满足()()32020f x f x ⋅+=，()11f -=，则()2020f 的值为 （ ） A ．0 B ．1C ．1010D ．20208.设,,a b c 是单位向量，且0a b ⋅=，则()()a cbc -⋅-的最小值为 （ ）A ．2-B ．22-C ．1-D ．12-二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题2021年 1月参照公式：样本数据 x1， x2，， x n的方差 s2 1 n( x i x)2，其中 x = 1nx i．n i1n i1一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应地址上．．．．．．．．．1．设会集A x x21，x R ，B x 0 ≤ x ≤2，那么 AI B =▲．2．假设1 mi1 ni 〔 m，n R ， i 为虚数单位〕，那么 mn 的值为▲．i223．双曲线x2y1(a0) 的一条渐近线方程为 2x y 0 ，那么 a 的值为▲．a44．某学校选修羽毛球课程的学生中，高一，高二年级分别有80名， 50名．现用分层抽样的方法在这130 名学生中抽取一个样本，在高一年级学生中抽取了24名，那么在高二年级学生中应抽取的人数为▲．5．某市连续 5 天测得空气中PM2.5 〔直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物〕的数据〔单位：mg / m3〕分别为115，125， 132， 128，125，那么该组数据的方差为▲．6．函数 y2sin 2 x3cos 2 x4的最小正周期为▲．7．5瓶饮料中有且仅有 2 瓶是果汁类饮料．从这5瓶饮料中随机取 2 瓶，那么所取 2瓶中最少有一瓶是果汁类饮料的概率为▲．x≥ ，y 38．实数 x ，y满足拘束条件y ≤3，那么z5x2y2的最大值为▲．x ≤ ，39．假设曲线 C1： y3x4ax3 6 x2与曲线 C2： y e x在x 1 处的切线互相垂直，那么实数a 的值为▲．10．给出以下命题：（1〕假设两个平面平行，那么其中一个平面内的直线必然平行于另一个平面；（2〕假设两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线必然垂直于另一个平面；（3〕假设两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线必然平行于另一个平面；（4〕假设两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线必然垂直于另一个平面．那么其中所有真命题的序号为▲．p pa n中， a1133，假设数列a n的前 202111． q,，等比数列， a4tan 3q 669项的和为 0，那么q的值为▲．1x12．函数 f(x)＝, x， 2))f (k ) ，那么实数 k 的取值范围为20 假设 f ( f ( ▲ ．2，(x1) , x ≥13．在△ ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，假设 tan A 7tan B ，a 2b 23 ，那么 cc▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，圆 O ： x 2 y 2 16 ，点 P(1,2) ，M ，N 为圆 O 上不同样的uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur两点，且满足 PM PN 0．假设 PQ PM PN ，那么 PQ 的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定地域 内作答，解答时应写出文．．．．．．．字说明、证明过程或演算步骤． 15．〔本小题总分值 14 分〕 在△ ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为ur r(cos C,cos A) ．a ，b ，c ．设向量 m ( a, c) ， n ur r3a ，求角 A ；〔 1〕假设 m ∥ n ， cur r4，求 cosC 的值．〔 2〕假设 m n 3b sin B ， cos A516．〔本小题总分值 14 分〕A 1A如图，在直三棱柱A 1B 1C 1ABC 中， AB ⊥BC ，E ，F 分别是 A 1B ， AC 1 的中点． E 〔 1〕求证： EF ∥平面 ABC ；FB 1B〔 2〕求证：平面 AEF ⊥平面 AA 1B 1B ；〔 3〕假设 A 1A 2 AB 2 BC 2a ，求三棱锥F ABC的体积．C 1C〔第 16 题〕17．〔本小题总分值 14 分〕设等差数列 { a n } 的公差为 d ，前 n 项和为 S n ， S 3 a 5 ， S 5 25 ．〔 1〕求数列 { a n } 的通项公式；〔 2〕假设 p ， q 为互不相等的正整数，且等差数列{ b n } 满足 b a p p ， b a q q ，求数列 { b n }的前 n 项和 T n ． y18．〔本小题总分值 16分〕lBP在平面直角坐标系xOy 中，椭圆MQOxA 〔第 18 题〕22E:xa2yb 21(a b0) 的右准线为直线l，动直线y kx m (k0， m0) 交椭圆于A，B 两点，线段AB 的中点为M，射线OM分别交椭圆及直线l 于P，Q 两点，如图．假设A，圆 E 的右极点，上极点时，点Q 的纵坐标为1〔其中e 为椭圆的离心率〕，e且OQ5OM ．〔 1〕求椭圆 E 的标准方程；〔 2〕若是 OP 是 OM ， OQ 的等比中项，那么m 可否为常数？假设是，求出该常数；假设不k是，请说明原由．19．〔本小题总分值16 分〕几名大学毕业生合作开设3D 打印店，生产并销售某种3D 产品．该店每个月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产本钱为34 元，该店的月总本钱由两局部组成：第一局部是月销售产品的生产本钱，第二局部是其他固定支出20000 元．假设该产品的月销售量 t ( x) 〔件〕与销售价格x 〔元/件〕〔 x N〕之间满足以下关系：①当34 ≤ x ≤ 60时，t( x)a( x5) 2 10050；②当 60≤ x ≤ 70 时，t( x)100x7600．设该店月利润为 M 〔元〕，月利润=月销售总数－月总本钱．（1〕求M关于销售价格 x 的函数关系式；（2〕求该打印店月利润M的最大值及此时产品的销售价格．20．〔本小题总分值16 分〕a函数 f ( x) ln x x，a R ．x（1〕当a 0时，求函数f (x)的极大值；（2〕求函数f ( x)的单调区间；〔 3〕当a1时，设函数 g( x) f ( x1)x1a，假设实数 b 满足： b a 且x1g b g(a) ， g (b)2g a b，求证： 4 b 5 ．b12常州市教育学会学生学业水平监测数学Ⅱ〔附加题〕2021年 1月21．【选做题】在 A、 B、 C、 D 四小题中只能选做两题，每题 10 分，共计 20 分．请在答．．．．．．．题卡指定地域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．．．A．选修 4— 1：几何证明选讲如图，等腰梯形 ABCD内接于⊙O，AB∥ CD．过B A点 A 作⊙O的切线交 CD的延长线于点 E．求证：∠ DAE=∠ BAC.OC D E B．选修 4—2：矩阵与变换〔第 21-A 题〕直线 l : ax y 0 在矩阵A01 对应的变换作用下获取直线l ，假设直线 l过点12〔 1, 1〕，求实数a 的值．C．选修 4— 4：坐标系与参数方程在极坐标系中，点p)，直线l:r cos(p) 2 2，求点 P 到直线 l 的距离．P(2 3,q4 6D．选修 4—5：不等式选讲x ≥1，y≥1，求证：x2y xy21≤x2 y2x y ．【必做题】第22 题、第23 题，每题10 分，共计20 分．请在答题卡指定地域内作答，解．．．．．．．答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题总分值10 分)如图，三棱锥P－ ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AC⊥ BC， AC=BC=2a，点O， D分别是 AB， PB 的中点， PO⊥ AB，连结 CD．〔 1〕假设PA2a ，求异面直线PA 与 CD 所成角的余弦值的大小；P〔 2〕假设二面角 A－ PB－ C 的余弦值的大小为5 ，求D 5PA．OA B 23．〔本小题总分值10 分〕设会集 A， B 是非空会集 M 的两个不同样子集，满足： AC 不是 B 的子集，且 B 也不是 A〔第 22 题〕的子集．〔 1〕假设 M= { a1, a2, a3, a4}，直接写出所有不同样的有序会集对( A,B) 的个数；〔 2〕假设 M= { a1, a2, a3, ,a n}，求所有不同样的有序会集对( A,B) 的个数．常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题参照答案及评分标准一、填空 ：本大 共 14 小 ，每小 5 分，共 70 分1． 0,12 ． 13． 14．155．31.6 〔写成158也 〕6． p 7． 75108．19 ．110．〔 1〕〔 2〕11． p12． (log 1 9,4)13． 414．3 352 3e9 2二、解答 ：本大 共6 小 ，共90 分．解答 写出文字 明、 明 程或演算步 ．ur rc cosC ．由正弦定理，得sin AcosA sinCcosC ．15．解：〔 1〕∵ m ∥ n ，∴ a cosA化 ，得 sin2 A sin2C ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分∵ A,C(0,p ) ，∴ 2A 2C 或2A 2C p ，从而 A C 〔舍〕或 ACp．∴ Bp ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分22在 Rt △ABC 中， tan A a 3 ， A p ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分ur rc363b cos B ，∴ a cosC ccosA 3b sin B ．〔 2〕∵ m n由正弦定理，得 sin A cosC sin C cos A 3sin 2 B ，从而 sin( A C )3sin 2 B ．∵ A B Cp ，∴ sin( AC )sin B ． 从而 sin B1 ． ⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分3∵ cos A 40 ， A (0,p ) ，∴ A(0, p) ， sin A3 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分525∵ sin AsinB ，∴ a b ，从而 AB ， B 角， cosB2 2 ． ⋯⋯⋯ 12 分3∴ cos Ccos( A B) cos Acos B sin Asin B= 42 23 1 3 8 2 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分535 3 1516． 明：〔 1〕 A 1 C ．∵直三棱柱 A 1 B 1C 1 ABC 中， AA 1C 1C 是矩形， ∴点 F 在 A 1 C 上，且A 1 C 的中点．在△ A 1BC 中，∵ E ， F 分 是 A 1B ， A 1C 的中点， ∴ EF ∥BC ． ⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分又∵ BC平面 ABC， EF平面 ABC，所以 EF∥平面 ABC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分〔 2〕∵直三棱柱A1B1C1ABC 中， B1 B平面 ABC，∴ B1 B BC．∵ EF∥ BC， AB⊥ BC，∴ AB⊥EF， B1 B EF．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分∵ B1BI AB B ，∴ EF⊥平面 ABB1 A1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分∵ EF平面 AEF，∴平面 AEF⊥平面 ABB1 A1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分〔 3〕V111S⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分F ABC A ABC ABC1V123AA23=111 a 22a a．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分232617．解：〔 1〕由，得3a13d a14d，解得a11,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分5a110d，d 2.25∴ a n2n 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分〔 2〕p，q正整数，由〔 1〕得 a p2p 1 ， a q2q1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分一步由，得b2 p 1p ， b2q 1q ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分∵ { b n } 是等差数列，p q ，∴{ b n}的公差d q p 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分2q 2 p2由b2 b 1b1(2 p 2) d p ，得 b1 1 ．23n ．∴ T n nb1n( n1)d n4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分218．解：当 A， B 两点分是 E 的右点和上点，A(a,0) ， B(0, b) ， M ( a,b) ．2221 b∵ Q( a,1)，∴由 O， M， Q 三点共，得e2，化，得 b 1 ．⋯⋯⋯2分ac e aca 2∵ OQ5OM ，∴c5，化，得2a5c．a2a2b2c2，a25,由 b1，解得⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分c2 4.2a5c，2〔 1〕 E 的 准方程xy2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分5 12〔 2〕把 ykx m(k0,m 0) ，代入xy 21 ，得5(5k 2 1)x 2 10mkx 5m 2 50 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分当△0 ， 5k 2m 21 0 ， x M5mk ， y Mm，5k22115k从而点 M(5mk , m ) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分5k 22 11 5k所以直 OM 的方程 y1x ．5ky1 ，25k x225k12 分由 2得 x P． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5k 2x2 1，15y∵ OP 是 OM ，OQ 的等比中 ，∴OP 2 OM OQ ，2x Mx Q 25mk．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分从而 x P2(5k 2 1)由 25k225mk ，得 m2k ，从而m2 ， 足△0 ． ⋯⋯⋯⋯⋯ 15 分5k 212(5k 2 1)k∴m常数2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分k19．解：〔 1〕当 x60 ， t(60) 1600 ，代入 t(x)a( x 5)2 10050 ，解得 a 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分∴ M ( x)( 2 x 220x10000)( x 34) 20000,34 ≤ x 60, x Ν ,( 100x7600)( x 34)20000,60≤ x ≤ 70, xΝ .即 M ( x)2 x3 48x 2 10680x 360000,34 ≤ x 60, x Ν , ⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分100 x21100 x 278400,60 ≤ x ≤ 70, x Ν .〔注：写到上一步，不扣分． 〕〔 2〕 g (u )( 2u 2 20u10000)( u 34) 20000 ， 34 ≤ u60 ， u R ，g (u )6(u 2 16u 1780) ．令 g (u ) 0 ，解得 u 1 8 2 461 〔舍去〕， u 2 82 461 (50,51) ．⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分当 34 u 50 ， g (u ) 0 ， g(u) 增；当 51 u60 ， g (u) 0 ， g (u ) 减． ⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分∵ x Ν，M(50) 44000 ， M (51) 44226 ，∴ M ( x) 的最大44226．⋯⋯⋯ 12 分当 60 ≤ x ≤ 70 ， M (x) 100( x 2 110 x 2584) 20000 减，故此 M (x) 的最大 M (60)216000 ．⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分上所述，当x 51 ，月利 M ( x) 有最大 44226元．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15 分答： 打印店店月利 最大44226元，此 品的 售价格51元/件． ⋯⋯ 16 分20．解：函数 f ( x) 的定 域 (0,) ．〔 1〕当 a0 ， f ( x)ln x x ， f( x)11 ，令 f (x)0 得 x 1．⋯⋯⋯1分x列表：x (0,1)1(1,)f (x) +f (x)↗极大↘所以 f (x) 的极大 f (1)1 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分(2) f ( x)1 1ax 2x axx 22．x令 f ( x)0 ，得2x a0 ， 1 4a ． x〔ⅰ〕当 a ≤1 ， f ( x) ≤ 0 ，所以 f ( x) 减区 (0,)； ⋯⋯⋯⋯ 5分4〔ⅱ〕当 a1，由 f ( x)0 得 x 1 11 4a , x2 1 1 4a ，422①假设1 a 0 ， x 1 x 20 ，4由 f (x) 0 ，得 0 x x 2 ， xx 1 ；由 f ( x) 0 ，得 x 2 x x 1 ．所以，f ( x) 的 减区 (0, 1 1 4a ) ，( 11 4a ,) ， 增区22( 1 14a , 1 1 4a ) ； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分22②假设 a 0 ，由〔 1〕知 f (x) 增区 (0,1) ， 减区(1,) ；③假设 a 0 ， x 10 x 2 ，由 f (x) 0 ，得 xx 1 ；由 f ( x) 0 ，得 0 x x 1 ．f ( x) 的 减区 (11 4a , ) ， 增区 (0,11 4a) ． ⋯⋯ 9 分22上所述：当 a ≤1， f ( x) 的 减区(0,) ；4当1 a 0 ， f (x) 的 减区 (0, 11 4a ) ， ( 11 4a , ) ，422增区 (11 4a , 11 4a ) ；22当 a ≥ 0， f ( x)减 区(11 4a , )，增区2(0, 11 4 a ) ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分2〔 3〕 g( x)ln( x 1) 〔 x 1 〕．b) g ( a) 得 ln1 ln( a 1) ．由 g(b1b 1∵ 1a b ， ∴ b 1 a 1(舍)，或 ( a 1)(b 1)1 ．∵ 1 ( a 1)(b 1) (b 1)2，∴ b2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯由 g( b)2g (a b) 得，2ln(b1)a b1)1[( a 1) (b1)] ，(*)2 ln(2 2 ln2因a1 b 1 ≥ ( a 1)(b 1)=1 ，2所以〔 * 〕式可化 ln( b1) 2ln 1[( a1) (b 1)] ，2即1 12⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯b 1 [ 〔b〕 ．2b 11 ]令 b1 t(t1) ， t[ 1 (t1)]2，整理，得 t 4 4t 3 2t 2 1 0 ，2t从而 (t1)(t 33t2t 1) 0 ，即 t 33t2t 1 0 ．12 分14 分h(t )t33t2t 1,t 1 ． h (t ) 3t26t 1 ， 令 h ( t)0 得 t12 3〔舍〕，3t 12 3，列表：3t2 32 3(1,1) (1, )33 h ( t)+h(t )↘ ↗所以， h(t ) 在 (1,123) 减，在(1 2 3 ,) 增，又因 h(3) 0, h(4) 0 ，33所以 3 t 4，从而 4 b 5 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅱ〔附加题〕参照答案21、【做】在A、 B、C、 D 四小中只能做两，每小10 分，共20 分．．．．．．．A．修 4— 1：几何明明：∵ ABCD是等腰梯形， AB∥ CD，∴ AD=BC．??从而 AD BC ．∴∠ ACD=∠ BAC.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分∵ AE的切，∴∠EAD=∠ACD.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分∴∠ DAE=∠BAC.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分B．修 4—2：矩与解： P(x, y) 直l上任意一点，在矩 A 的下直 l 上点P ( x , y )，x01x ，y12y化，得x 2 x y ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分y x .代入 ax y 0 ，整理，得(2 a1)x ay 0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分将点〔 1, 1〕代入上述方程，解得a=- 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分C．修 4— 4：坐系与参数方程解：点 P 的直角坐(3, 3) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分直 l 的一般方程 x y 40 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分33426 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分从而点 P 到直 l 的距离22D．修 4— 5：不等式明：左- 右 = ( y y2 )x2( y21)x y 1 (1 y)[ yx2(1 y) x 1] ⋯⋯⋯ 4 分= (1 y)( xy1)( x 1) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分∵x≥1，y≥1，∴ 1 y ≤0, xy 1 ≥0, x 1≥0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分从而左 - 右≤ 0，∴ x2 y xy2 1 ≤x2 y2x y ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分【必做】第22 、第 23 ，每10 分，共 20 分．22．解：OC．∵平面 PAB⊥平面 ABC， PO⊥ AB，∴ PO⊥平面 ABC．从而 PO⊥AB， PO⊥ OC．∵ AC=BC，点 O是 AB 的中点，∴OC⊥AB．且zOA OB OC2a．⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分P如，建立空直角坐系O xyz ．D〔1〕PA2a， PO2a ．O B A(0,2a,0) ， B(0,2a,0) ， C(2a,0,0)，A y2 a ,2a CP(0,0,2a)， D(0,) ．⋯⋯⋯⋯ 4 分x22uuur(0， 2a,2a)uuur( 2a，2a,2a)．从而 PA， CD22uuur uuur uuur uuur2a23∵ cosPA CDPA,CD uuur uuur2a3a，PA CD3∴异面直 PA 与 CD 所成角的余弦的大小3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分3〔 2〕PO h ，P(0,0, h)．∵PO⊥OC，OC⊥AB，∴OC⊥平面PAB．uuur(2a,0,0) 是平面 PAB的一个法向量．从而 OC不如 平面 PBC 的一个法向量r ( x, y, z) ， nuuuruuurr uuur0,2ay hz,(0， 2 a, (2a ，2a,0) ， nPB∵ PBh) ， BCruuur0.∴y.n BCx不如令 x=1， y=1， zr 2a) ． 8 分2a， n (1,1, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯hhuuur r由，得5 OC n2a，化 ，得 h22 a 2．uuur r5OC n2a22a 23h 2∴ PAPO 2 OA 22 a 2 2a 2 2 6 a ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分3323．解：〔 1〕110；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分〔2〕会集 M 有 2n 个子集，不同样的有序会集( A,B) 有 2n (2 n 1) 个．假设 A B ，并 B 中含有≤ ≤ n, k N *) 个元素， 足A B的有序k(1 kn C n k (2 knC n k 2knC n k 3n2n 个 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯会集 (A,B) 有1)6 分k 1kk 0同理， 足 BA 的有序会集 ( A,B) 有 3n 2n 个．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8分故足条件的 有序集合( A,B)的个数2n (2 n 1) 2(3n 2n ) 4n 2n 2 3n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分。

2021届江苏省奔牛高级中学周练1高三数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}{}11,2,3,4,|2,x A B y y x A -===∈，则A B = （ ）A ．{}1,2B ．{2,4}C ．{1,2,4}D ．∅2．“x y <”是“x y <”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．已知18log 9,185ba ==，则36log 45= （ ）A ．22a - B ．2a b+ C ．2a ba ++ D ．2a ba+-4．函数()()14sin 2xxx f x -=的部分图象大致为 （ ）A ．B ．C ．D ．5．已知函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若()()2f f x ≥-，则x 的取值范围为 （ ）A ．[]2,1-B ．)42,⎡+∞⎣C ．[])42,12,⎡-+∞⎣D ．[])40,12,⎡+∞⎣6．已知()22log 217y x x =-+的值域为[),m +∞，当正数,a b 满足2132m a b a b+=++时，则74a b +的最小值为 （ ） A ．94 B ．5 C ．522+ D ．97.已知函数()()sin 1f x x =-，()g x 满足()()20g x g x -+=，若函数()f x 的图象与函数()g x 的图象恰好有2019个交点，则这2019个交点的横坐标之和为 （ ） A ．4038 B ．2019 C ．2018 D ．10098.若对()12,,x x m ∀∈+∞，且12x x <，都有122121ln ln 1x x x x x x -<-，则m 的最小值是 （ ）A ．1eB ．1C ．eD ．3e二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列各数中，无理数是（）A. 3.14B. √9C. 2πD. 0.1010010001……2. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(1) = 2，f'(1) = 4，则a = （）A. 1B. 2C. 3D. 43. 下列各对数函数中，定义域为实数集的是（）A. y = log2(x + 3)B. y = log3(2x - 1)C. y = log4(x^2 - 2x + 1)D. y = log5(x - 1)4. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (2, -1)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为（）A. 0B. 1/5C. 2/5D. 3/55. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5 = 50，S10 = 150，则公差d = （）A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知函数y = x^3 - 3x + 2，则该函数的对称中心是（）A. (1, 0)B. (0, 2)C. (1, 2)D. (0, 0)7. 在等腰三角形ABC中，AB = AC，∠BAC = 60°，则BC的长度是（）A. 2B. 2√3C. 3D. 3√38. 已知复数z = 1 + i，则|z - 2i|的值是（）A. 2B. √5C. √2D. 19. 若等比数列{an}的首项a1 = 1，公比q = 2，则数列{an^2}的通项公式是（）A. an^2 = 2n - 1B. an^2 = 2nC. an^2 = 2n + 1D. an^2 = 2n + 210. 已知函数y = e^x + ln(x - 1)，则该函数的单调递增区间是（）A. (0, +∞)B. (-∞, 0)C. (1, +∞)D. (-∞, 1)二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 已知等差数列{an}的首项a1 = 2，公差d = 3，则第10项a10 = ________。