2017-2018学年高中数学北师大版必修5课时作业：第2章 解三角形 章末检测 Word版含答案

第二章章末检测班级__________ 姓名__________ 考号__________ 分数__________本试卷满分100分，考试时间90分钟．一、选择题：本大题共10题，每题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A B 的值是( )A.53B.35C.37D.572．已知△ABC 的面积为32，b ＝2，c ＝3，则A 等于( )A ．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 的值为( )A.63 B. 223 C. －63 D. －2234．已知△ABC 的三边长分别是x 2＋x ＋1，x 2－1和2x ＋1(x >1)，则△ABC 的最大角为( )A ．150° B．120° C．60° D．75°5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 所对边的边长，若(a ＋b ＋c )·(sin A ＋sin B －sin C )＝3a sin B ，则∠C ＝( )A ．30° B．60° C．120° D．150°6．在△ABC 中，角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c ，且c ＝42，B ＝45°，面积S ＝2，则b 等于( )A.1132B ．5 C.41 D ．25 7．在△ABC 中，B ＝60°，a 2＝bc ，则△ABC 一定是( )A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形 8．下列命题中，正确的是( )A ．△ABC 中，若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 为等腰三角形B ．△ABC 中，若b ＝43，c ＝2，C ＝30°，则这个三角形有两解 C ．△ABC 中，a ＝26，b ＝6＋23，c ＝43，则最小角为45°D ．△ABC 中，a ＋b a ＝sin A ＋sin Bsin A9．已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝c ＝6＋2，且∠A ＝75°，则b ＝( )A. 2B. 4＋2 3C. 4－2 3D. 6－ 210．设a 、b 、c 是△ABC 的三边，对任意实数x ，f (x )＝b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x ＋c 2有( ) A ．f (x )＝0 B ．f (x )>0 C ．f (x )≤0 D．f (x )<0二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填在题中横线上． 11．在△ABC 中，已知AC ＝2，BC ＝3，cos A ＝－513，则sin B ＝________.12．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角B ＝________.13．在△ABC 中，若sin B ＝34，b ＝10，则边长c 的取值范围是 ________.三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14．在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．15．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos(B－C)－1＝6cos B cos C.(1)求cos A；(2)若a＝3，△ABC的面积为22，求b，c.16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝b cos C＋c sin B.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．17．如图所示，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？18．已知函数f (x )＝m ·n ，其中m ＝(sin ωx ＋cos ωx ，3cos ωx )，n ＝(cos ωx －sin ωx,2sin ωx )，其中ω＞0，若f (x )相邻两对称轴间的距离不小于π2.(1)求ω的取值范围；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a ＝3，b ＋c ＝3，当ω最大时，f (A )＝1，求△ABC 的面积．一、选择题1．A 由正弦定理知sin AB ＝a b ＝2．D 由S ＝12bc sin A ，得12bc sin A ＝32，即12×2×3sin A ＝32，所以sin A ＝32.于是A＝60°或120°.3．A 由正弦定理即得．4．B 令x ＝2，得x 2＋x ＋1＝7，x 2－1＝3,2x ＋1＝5，∴最大边x 2＋x ＋1应对最大角，设最大角为α，∴cos α＝x 2－2＋x ＋2－x 2＋x ＋2x 2－x ＋＝－12，∴最大角为120°.5．B 根据正弦定理，由已知条件可得(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，再根据余弦定理有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，故∠C ＝60°.6．B S ＝12ac sin B ，∴12×42×a ×sin45°＝2，a ＝1，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，b 2＝25，b ＝5.7．C 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－ac ，又a 2＝bc ，消去b 得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2＝a 2＋c 2－ac ，∴a 4＝a 2c2＋c 4－ac 3，a 4－c 4－a 2c 2＋ac 3＝0，∴(a 2＋c 2)(a ＋c )(a －c )－ac 2(a －c )＝0，(a 3＋a 2c ＋c 3)(a －c )＝0，∴a ＝c ，进而b ＝a ，所以三角形是等边三角形．8．D ∵sin2A ＝sin2B ，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°，∴A ＝B 或A ＋B ＝90°，即△ABC 为等腰三角形或直角三角形．∴A 错；∵b sin B ＝csin C，∴sin B ＝43×sin30°2＝3>1，这个三角形无解，故B 错；由题意可知最小边为a ＝26，设最小角为α， ∴cos a ＝＋232＋32－62＋233＝32，∴a ＝30°≠45°，∴C 错；故选D.9．A sin A ＝sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋sin45°cos30°＝2＋64，由a ＝c ＝6＋2可知，∠C ＝75°，所以∠B ＝30°，sin B ＝12，由正弦定理得b ＝asin A·sin B ＝2＋62＋64×12＝2，故选A. 10．B 将本题中的函数看成关于x 的二次函数，令f (x )＝0得对应的△＝(b 2＋c 2－a 2)2－4b 2c 2＝(2bc cos A )2－4b 2c 2＝4b 2c 2·(cos 2A －1)<0，∴f (x )>0恒成立．二、填空题 11.813解析：∵cos A ＝－513，∴sin A ＝1213，由正弦定理得sin B ＝2×12133＝813.12.π6解析：由m ⊥n 得m ·n ＝0，即3cos A －sin A ＝0， 即2cos(A ＋π6)＝0，由π6＜A ＋π6＜7π6知A ＋π6＝π2，即A ＝π3. 又a cos B ＋b cos A ＝2R sin A cos B ＋2R sin B cos A ＝2R sin(A ＋B )＝2R sin C ＝c sin C .所以sin C ＝1，C ＝π2，所以B ＝π－π3－π2＝π6.13.⎝⎛⎦⎥⎤0，403解析：∵b sin B ＝c sin C ，∴c ＝b sin C sin B ＝10sin C 34＝403sin C .又sin C ∈(0,1]，∴c ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，403.三、解答题14．解：在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC ＝120°，∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°， 由正弦定理得AB sin∠ADB ＝ADsin B， ∴AB ＝AD ·sin∠ADB sin B ＝10sin60°sin45°＝10×3222＝5 6.15．解：(1)由已知3(cos B cos C ＋sin B sin C )－1＝6cos B cos C ， 3cos B cos C －3sin B sin C ＝－1，3cos(B ＋C )＝－1，cos(π－A )＝－13，则cos A ＝13.(2)由(1)得sin A ＝223，由面积可得bc ＝6，①则根据余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a22bc＝b 2＋c 2－912＝13.则b 2＋c 2＝13，②①②两式联立可得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，b ＝2.16．解：(1)因为a ＝b cos C ＋c sin B ，所以由正弦定理，得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，所以sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C sin B ，即cos B sin C ＝sin C sin B ，因为sin C ≠0，所以tan B ＝1，解得B ＝π4.(2)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos π4，即4＝a 2＋c 2－2ac ＝(a －c )2＋2ac －2ac ≥2ac －2ac ，当且仅当a ＝c 时，取等号，所以4≥(2－2)ac ，解得ac ≤4＋22，所以△ABC 的面积为12ac sin π4≤24×(4＋22)＝2＋1，所以△ABC 面积的最大值为2＋1.17．解：由题意知AB ＝5(3＋3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△DAB 中，由正弦定理得DB sin∠DAB ＝ABsin∠ADB ，∴DB ＝AB ·sin∠DABsin∠ADB ＝＋3sin105°＝＋3sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝533＋3＋12＝103(海里)，又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203(海里)， 在△DBC 中，由余弦定理得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos∠DBC＝300＋1200－2×103×203×12＝900，∴CD ＝30(海里)，则需要的时间t ＝3030＝1(小时)．答：救援船到达D 点需要1小时．18．解：(1)f (x )＝cos 2ωx －sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx ＝cos2ωx ＋3sin2ωx ＝2sin(2ωx ＋π6)．∵ω＞0，∴函数f (x )的周期T ＝2π2ω＝πω，由题意可知T 2≥π2，即T ≥π，解得0＜ω≤1，即ω的取值范围是{ω|0＜ω≤1}． (2)由(1)可知ω的最大值为1， ∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)，∵f (A )＝1，∴sin(2A ＋π6)＝12.而π6＜2A ＋π6＜136π， ∴2A ＋π6＝56π，∴A ＝π3.由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∴b 2＋c 2－bc ＝3，又b ＋c ＝3，联立解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1c ＝2，1 2bc sin A＝32.∴S△ABC＝。