高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 1.3.1 三角函数的周期性》3

三角函数的周期性 三角函数知多少 正弦函数作代表

赣榆区 赣马高级中学 李春利

一、教学目标及分析

1知识与技能

1、了解周期函数的概念

2、会判断一些简单、常见的函数的周期

3、会求一些简单三角函数的周期

2过程与方法

1、通过组织学生从生活实际周期现象出发，逐步抽象出函数周期性的定义，不断增强学生分析问题、解决问题的能力

2、通过本节的学习，归纳正弦函数、余弦函数的最小正周期，使学生进一步体会观察、比较、归纳、分析等一般科学方法的运用

3、通过对例2的学习，使学生进一步理解周期函数的定义和正弦函数、余弦函数的最小正周期，通过观察、归纳、类比方法的运用得出一般情况：

3情感、态度与价值观

1 通过生活实例，使学生感受周期现象的广泛存在，让学生体会数学律，体会从感性到理性的思维过程，

2 在教学过程中，通过学生的相互交流，来加深对三角函数周期性的理解，让学生在亲身经历数学研究的过程中，增强学生数学交流能力，培养学生倾听、接受别人意见的优良品质。

二、学情分析 ,,0,0AA其中为常数，且1s2inyATx的周期2c2osyATx的周期 三角函数是必修4整本教材的核心内容，虽然初中学生已对三角函数有了一定的了解，但那只局限在直角三角形中，对三角函数的特征还很茫然。进入高中后学生学习了三角函数的定义，诱导公式，让学生具备了有一定能力去进行深入的研究，而周期性是三角函数的重要性质之一，在高中数学课程编排中是以三角函数为载体引出周期性这一概念的，理解三角函数周期性的本质对于函数周期性的后续学习起到至关重要的作用。正弦、余弦函数作为最重要的两类三角函数，对其周期性的学习对后面它们的图像和性质的探究和学习起到了非常关键的作用。因此本节课的学习至关重要。

1.3.1 三角函数的周期性

学习目标 重点难点

1．记住周期函数与最小正周期的定义．

2．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期. 重点：利用周期函数及最小正周期的定义，求正、余弦函数的周期．

难点：利用周期函数解决相关问题.

1．周期函数的概念

(1)周期函数的定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．

(2)最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．

预习交流1

周期函数的定义中，能否把“定义域内的每一个x值”改为“定义域内存在一个x值”？

提示：不能．反例：y＝sin x(x∈R)对于x＝π3，T＝π3，显然有sin(x＋T)＝sinπ3＋π3＝sin π3＝sin x，

但T＝π3不是它的周期．

2．三角函数的周期

(1)正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π；正切函数y＝tan x也是周期函数，且最小正周期是π.

(2)一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝2πω.若函数y＝f(x)的周期为T，则函数y＝Af(ωx＋φ)的周期为T|ω|(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω≠0)．

预习交流2

所有周期函数都有最小正周期吗？为什么？

提示：并不是所有的周期函数都存在最小正周期．例如，常数函数f(x)＝5，x∈R.当x为定义域内的任何值时，都有f(x)＝C，即对定义域内的每一个x值，f(x)都有f(x＋T)＝C＝f(x)，因此f(x)是周期函数．由于T是不为零的任意常数，而正数集合中没有最小者，所以f(x)＝C没有最小正周期．

[课 题]：1.3.1三角函数的周期性

[知识摘记]

[例题解析]

例1.若钟摆的高度mmh与时间st之间的函数关系如图所示.

(1) 求该函数的周期；

(2) 求st10时钟摆的高度；

例2.求下列函数的周期:

(1)xxf2cos (2)62sin2xxg

例3.已知0,4sinxy的最小正周期为32，则 ；

例4.已知函数43sin2xkxf,如果使xf的周期在43,32内,求正整数k的值.

例5.(1)已知xfxf1，求证:xf是周期函数，并求出它的最小正周期；

(2)已知xfxf12，求证:xf是周期函数，并求出它的最小正周期.

[练习与反思]

1.写出下列函数的周期:

(1)xy3sin； (2)3cosxy； (3)34cosxy；

(4)421sin3xy； (5)xy31cos2.

反思： [课外作业]

1．函数)32sin(xy的周期是 ．

２．函数)621cos(xy的周期是 ．

３．函数))(2125sin(Zkkxy的周期是 ．

４．函数)3sin(2)(kxxf与函数)6tan(3)(kxxg的周期之和为2，则正实数k

的值为

5．定义在R上的函数)(xf既是偶函数又是周期函数.若)(xf的最小正周期是，且当]2,0[x时，xxfsin)(，则)35(f=

6．若函数)3cos(3xy的周期为T，且T∈(2，3)，则正整数是______ __．

三角函数的图象和性质

1．3.1 三角函数的周期性

预习课本P24～25，思考并完成下列问题

1．周期函数的定义是什么？

2．什么是最小正周期？

3．y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的周期的计算公式是什么？

[新知初探]

1．周期函数

对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．

2．最小正周期

(1)定义：对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期．

(2)正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π.

(3)正切函数y＝tan x也是周期函数，并且最小正周期是π. 3．一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的周期T＝2πω.

[点睛]

(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．

(2)如果T是函数ƒ(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是ƒ(x)的周期．

[小试身手]

1．函数y＝5sin25x的最小正周期是________．

★答案★：5π

2．函数y＝tan3x－π4的最小正周期为________．

★答案★：π3

3．函数y＝2cosπ4－2x的最小正周期为________．

解析：T＝2π|－2|＝π.

★答案★：π

4．已知函数f(x)＝sinπx－π2－1，则下列命题正确的是________．

①f(x)是最小正周期为1的函数；

②f(x)是最小正周期为2的函数；

③f(x)是最小正周期为12的函数；

④f(x)是最小正周期为π的函数．

解析：f(x)＝sinπx－π2－1＝－cos πx－1，