高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 1.3.1 三角函数的周期性》3

1.3 三角函数的图象和性质

1.3.1 三角函数的周期性

1.理解周期函数的定义.难点2.知道正弦函数、余弦函数的最小正周期.重点3.会求函数y＝sinωx＋φ和y＝cosωx＋φ的周期.重点

[基础·初探]

教材整理1 周期函数的定义

阅读教材P24～P25例1以上的部分内容，完成下列问题．

1.周期函数的定义：

一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．

2.最小正周期：

对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．

3.正弦函数、余弦函数的周期：

正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)周期函数都一定有最小正周期．( ) (2)周期函数的周期只有唯一一个．( )

(3)周期函数的周期可以有无数多个．( )

【★答案★】 (1)× (2)× (3)√

教材整理2 正、余弦函数的周期

阅读教材P25例2及其后面的部分内容，完成下列问题．

函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期：

一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(其

中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝2πω.

1．函数y＝3sinπx＋π4的周期是________．

【解析】 T＝2ππ＝2.

【★答案★】

2

2.函数f(x)＝－2cos(4x＋30°)的周期是________．

【解析】 T＝2π4＝π2.

【★答案★】 π2

[小组合作型]

求三角函数的周期

求下列函数的最小正周期．

(1)f(x)＝2sinx3＋π3；

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三点剖析

1.周期函数与周期的意义

【例1】 求下列三角函数的周期.

（1）y=sin(x+3);（2）y=3sin(2x+5).

思路分析：运用周期函数的定义即可.

解：（1）令z=x+3,而sin(2π+z)=sinz,

即f(2π+z)=f(z),

f［(2π+x)+ 3］=f(x+3).

∴周期T=2π.

(2)令z=2x+5,

则f(x)=3sinz

=3sin(z+2π)

=3sin(2x+5+2π)

=3sin(524x)

=f(x+4π).

∴T=4π.

温馨提示

理解好周期函数与周期的意义.对定义中的任意一个x满足f(x+T)=f(x),而非某一个x值.也可用公式T=2求周期.

2.判断函数是否具有周期性和求周期

【例2】 求证：（1）y=cos2x+sin2x的周期为π;

(2)y=|sinx|+|cosx|的周期为2.

思路分析：观察特征，运用定义.

证明：（1）f(x+π)=cos2(x+π)+sin2(x+π)=cos(2π+2x)+sin(2π+2x)=cos2x+sin2x=f(x),

∴y=cos2x+sin2x的周期是π.

(2)f(x+2)=|sin(x+2)|+|cos(x+2)|=|cosx|+|-sinx|=|sinx|+|cosx|=f(x),

∴y=|sinx|+|cosx|的周期是2.

温馨提示

“f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立.可以用上式验证一个量是否是一个函数的周期.

3.判断函数是否具有周期性

【例3】证明y=sin|x|不是周期函数.

思路分析：运用定义进行证明. 高中数学-打印版

最新版高中数学 证明：假设y=sin|x|是周期函数，且周期为T，则sin|x+T|=sin|x|(x∈R).

(1)当T≥2时，

1．3.1 三角函数的周期性

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三点剖析

1.周期函数与周期的意义

【例 1】 求下列三角函数的周期.

（1）y=sin(x+ 3 );（2）y=3sin( x

2 + 5 ).

思路分析：运用周期函数的定义即可. 解：（1）令 z=x+ ,而 sin(2π+z)=sinz, 3

即 f(2π+z)=f(z), f［(2π+x)+ ］=f(x+ 3

∴周期 T=2π.

3 ).

(2)令 z= x

2 + 5 ,

则 f(x)=3sinz

=3sin(z+2π) x =3sin( + +2π) 2 5 x 4 =3sin( ) 2 5

=f(x+4π).

∴T=4π.

温馨提示

理解好周期函数与周期的意义.对定义中的任意一个 x满足 f(x+T)=f(x),而非某一个 x值. 2 也可用公式 T= 求周期.

2.判断函数是否具有周期性和求周期

【例 2】 求证：（1）y=cos2x+sin2x的周期为 π;

(2)y=|sinx|+|cosx|的周期为 2 .

思路分析：观察特征，运用定义.

证明：（1）f(x+π)=cos2(x+π)+sin2(x+π)=cos(2π+2x)+sin(2π+2x)=cos2x+sin2x=f(x),

∴y=cos2x+sin2x 的周期是 π. (2)f(x+ )=|sin(x+ )|+|cos(x+ 2 2

∴y=|sinx|+|cosx|的周期是 . 2

温馨提示

2 )|=|cosx|+|-sinx|=|sinx|+|cosx|=f(x),

“f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立.可以用上式验证 一个量是否是一个函数的周期.

13.判断函数是否具有周期性

【例 3】证明 y=sin|x|不是周期函数.

思路分析：运用定义进行证明.

证明：假设 y=sin|x|是周期函数，且周期为 T，则 sin|x+T|=sin|x|(x∈R). (1)当 T≥ 时， 2 令 x= ,得 sin| +T| 2 2 =sin| +T)=sin cosT=1; |sin( 2 2 2 令 x=- ,得 sin|- +T|=sin|- | 2 2 2

1

1 第九课时 §1.3.1 三角函数的周期性

【教学目标】

一、知识与技能：

1.理解周期函数、最小正周期的定义；

2.会求正、余弦函数的最小正周期。

二、过程与方法

通过对周期的定义的理解，对熟悉正余弦函数的有关图象与性质有着重要作用

三、情感态度价值观：

通过周期定义的理解，使学生认识到事物之间的相互联系关系。

教学重点难点：函数的周期性、最小正周期的定义

【教学过程】

一、创设情景，提出问题

1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……

（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？

2．观察正（余）弦函数的图象总结规律：

自变量x 2 32  2 0 2  32 2

函数值sinx 0 1 0 1 0 1 0

1 0

正弦函数()sinfxx性质如下：

文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；

符号语言：当x增加2k（kZ）时，总有(2)sin(2)sin()fxkxkxfx．

也即：（1）当自变量x增加2k时，正弦函数的值又重复出现；

（2）对于定义域内的任意x，sin(2)sinxkx恒成立。 –

– 

2 2 2 5  2 5 O x y 1

1 1

1 余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。

二、新课讲解：

1．周期函数的定义：

对于函数()fx，如果存在一个非零常数．．．．T，使得当x取定义域内的每一个值．．．．时，都有()()fxTfx，那么函数()fx就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

说明：（1）T必须是常数，且不为零；

（2）对周期函数来说()()fxTfx必须对定义域内的任意x都成立。

【思考】

（1）对于函数sinyx，xR有2sin()sin636，能否说23是它的周期？