球的“内切”“外接”问题

球的切、接问题方法总结与类型

1. 方法总结。

正方体的外接球：正方体的体对角线长等于外接球的直径。设正方体棱长为a，则体对角线长l = √(a^2)+a^{2+a^2}=√(3)a，外接球半径R=(√(3))/(2)a。

长方体的外接球：长方体的体对角线长等于外接球的直径。设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则体对角线长l=√(a^2)+b^{2+c^2}，外接球半径R =

frac{√(a^2)+b^{2+c^2}}{2}。

正四面体的外接球：可将正四面体补成一个正方体，利用正方体的外接球来求解正四面体的外接球半径。设正四面体的棱长为a，则补成的正方体棱长为(√(2))/(2)a，正方体的体对角线长为√(3)×(√(2))/(2)a=(√(6))/(2)a，正四面体的外接球半径R=(√(6))/(4)a。

球与平面相切：球心到平面的距离等于球的半径。

球与多面体的内切球：对于三棱锥等多面体，利用等体积法求解内切球半径r，即V=(1)/(3)S_表r（V是多面体体积，S_表是多面体表面积）。

2. 类型。

外接球问题：求正方体、长方体、正四面体等几何体的外接球半径或相关问题。

内切球问题：求多面体的内切球半径或相关问题。

球与平面相切问题：涉及球与平面的切点、球心到平面的距离等问题。

二、根据上述内容出题。

1. 题目1（外接球问题 正方体）

题目：已知正方体棱长为2，求其外接球的体积。（人教版） 解析：

正方体棱长a = 2，正方体的体对角线长l=√(3)a，则体对角线长l=√(3)×2 =

2√(3)。

因为正方体的体对角线长等于外接球的直径d，所以d = 2√(3)，外接球半径R=√(3)。

球的体积公式V=(4)/(3)π R^3，所以外接球体积V=(4)/(3)π×(√(3))^3=4√(3)π。

2. 题目2（外接球问题 长方体）

1 与球相关的外接与内切问题

一．方法综述

如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时，可构造长方体或正方体.

与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积来求球的半径.

二．解题策略

类型一 构造法（补形法）

【例1】已知,,,SABC是球O上的点SAABC平面， ABBC, 1SAAB，

2BC,则球O的表面积等于________________．

【例2】刘徽《九章算术•商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（

）

A． B． C． D．

2

【举一反三】

1、已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为

A． B． C． D．

2、在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）

A． B． C． D．

3、某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为（ ）

1 球的“内切”“外接”问题

一、球的体积和表面积公式：

①34=3VR球:； ②2=4SR球面

二、球与多面体的外接和内切

定义1.若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则这个多面体是这个球的内接多面体；这个球是这个多面体的外接球。

定义2.若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则这个多面体是这个球的外切多面体；这个球是这个多面体的内切球。

与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图是关键，可使这类问题迎刃而解。

三、球与棱柱的组合体问题

1.正方体的内切球：

球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为a，球半径为R。如图1，截面图为正方形EFGH的内切圆，得2aR；

2.与正方体各棱相切的球：

球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图2作截面图，圆O为正方形EFGH的外接圆，易得aR22。

3.正方体的外接球：

正方体的八个顶点都在球面上，如图3，以对角面1AA作截面图得，圆O为矩形CCAA11的外接圆，易得aOAR231。

4.构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题

正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。

例1.已知三棱柱111CBAABC的六个顶点在球1O上，又知球2O与此正三棱柱的5个面都相切，求球1O与球2O的体积之比与表面积之比。

分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。 图1 图2

图3 2 解：如图4，由题意得两球心1O、2O是重合的，过正三棱柱的一条侧棱1AA和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为a，则aR632，正三棱柱的高为aRh3322，由ODARt11中，得

专题4.2 与球相关的外接与内切问题

一．方法综述

如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力。

研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：

（1）多面体外接球半径的求法，当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时，可构造长方体或正方体.

（2）与球的外切问题，解答时首先要找准切点，可通过作截面来解决.

（3）球自身的对称性与多面体的对称性；

二．解题策略

类型一 柱体与球

【例1】（2020·河南高三（理））已知长方体1111ABCDABCD的表面积为208，118ABBCAA，则该长方体的外接球的表面积为（ ）

A．116 B．106 C．56 D．53

【答案】A

【解析】

【分析】由题意得出11118104ABBCAAABBCBCAAABAA，由这两个等式计算出2221ABBCAA，可求出长方体外接球的半径，再利用球体表面积公式可计算出结果.

【详解】依题意，118ABBCAA，11104ABBCBCAAABAA，

所以，222211112116ABBCAAABBCAAABBCBCAAABAA，

故外接球半径2221292ABBCAAr，

因此，所求长方体的外接球表面积24116Sr.故选：A.

【点睛】本题考查长方体外接球表面积的计算，解题的关键就是利用长方体的棱长来表示外接球的半径.

【举一反三】

1.（2020·河南高三模拟）已知三棱柱的底面是边长为3的等边三角形，侧棱垂直于底面且侧棱长为2，若该棱柱的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A．73

B．113 C．5 D．8