§2．3．2 双曲线的简单几何性质
一、教学目标
1．了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等。
2．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题。
二、教学重点、难点
重点：双曲线的几何性质及初步运用。
难点：双曲线的渐近线。
三、教学过程
(一)复习提问引入新课
1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？
2．双曲线的两种标准方程是什么？
下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质．
(二)类比联想得出性质(范围、对称性、顶点)
引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格
(三)渐近线
双曲线的范围在以直线byxa和byxa为边界的平面区域内，那么从x,y的变化趋势看，双曲线22221xyab与直线byxa具有怎样的关系呢？
根据对称性，可以先研究双曲线在第一象限的部分与直线byxa的关系。
双曲线在第一象限的部分可写成：
当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．
在其他象限内也可以证明类似的情况．
现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y轴上的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程，将x、y字
母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y字
这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精
再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线．
(四)离心率
由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：
变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．
这时，指出：焦点在y轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变．
（五）例题讲解
例1求双曲线22143xy的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．
高二上数学双曲线知识点
双曲线是解析几何中的一个重要概念，它具有许多特殊的性质和应用。在高二上数学学习中，我们需要了解双曲线的一些基本知识点，包括双曲线的定义、方程、性质和常见图形等。下面将对这些知识点进行详细介绍。
1. 双曲线的定义
在平面直角坐标系中，以两个定点F1和F2为焦点、定长为2a的点的集合称为双曲线。双曲线的形状并不固定，可以是打开的、封闭的或者无穷远的。双曲线可以分为左右开口的双曲线和上下开口的双曲线两种类型。
2. 双曲线的方程
双曲线的方程可以表示为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 （左右开口）或者 y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1（上下开口），其中a和b分别代表双曲线的参数，决定了双曲线的形状和大小。
3. 双曲线的性质
双曲线有许多特殊的性质，包括焦点、顶点、直线渐近、离心率等。焦点是双曲线上距离两个定点F1和F2距离之差为定值的点，顶点是双曲线上对称于坐标原点的点。直线渐近是通过两个焦点和顶点的直线，双曲线靠近这些直线时，曲线的形状趋于无限接近于直线。离心率是用来描述焦点与顶点之间距离比顶点与双曲线某一点之间的距离的比值，离心率是双曲线的一个重要参数，它的取值范围在1与无穷大之间。
4. 常见图形
在数学中，我们经常遇到的一些图形可以用双曲线来进行描述，例如马鞍面、双曲抛物面等。这些图形在应用数学和物理学中具有重要的地位，通过对双曲线的研究，我们能够更深入地理解和分析这些图形的特性和行为。
总结：
双曲线是解析几何中的重要内容，通过学习双曲线的定义、方程、性质以及常见的图形，我们能够更好地理解这一概念在数学中的应用。在高二上学期的数学学习中，当我们遇到与双曲线相关的问题时，可以借助所学的知识点进行分析和求解。掌握双曲线的基本知识点，对于我们理解更高级的数学概念和解题方法都具有很大的帮助。
高二数学双曲线的几何性质教案
一、教学目标
知识与技能
1、给定双曲线方程，能正确写出有关几何元素，包括顶点、焦点、实轴虚轴长、离心率、渐近线方程等，认识相关元素的内在联系。
2、给定相关几何元素，正确得出相应的双曲线方程。
3、理解离心率、渐近线对双曲线张口大小的影响，能正确说出其中的规律。
过程与方法
1、在经历一个较完整的数学问题探求过程中，提高学生的观察猜想和验证能力
2、在椭圆与双曲线性质的类比过程中，提高学生的归纳能力。
3、在几何性质探求过程中，培养学生曲线方程思想和意识
情感、态度与价值观
培养学生主动探求知识、合作交流的意识，改变学习方式，改善数学学习信念．
二、教学重点、难点
教学重点：双曲线的离心率和渐近线
教学难点：双曲线的离心率对双曲线的刻画，渐近线的含义及离心率与渐近线斜率间的联系
三、教学准备
学生熟练掌握椭圆、双曲线的定义标准方程及椭圆的几何性质，认识椭圆和双曲线的内在联系，并掌握几何画板的一般操作步骤。
教师制作易于学生发现和掌握规律的几何画板实验平台（具体内容详见网络硬盘/?zhiyong-5833）
四、教学过程
4．1 创设情境，引入课题
复习1、双曲线的概念及标准方程
122PFPFa，22221xyab或22221yxab（其中222bca）（让学生适当举例）
复习2、椭圆的几何性质
范围 ,xayb
对称性 关于坐标轴对称，关于原点中心对称
顶点 ,0,0,ab
离心率 cea刻画椭圆扁平程度的几何量，表示焦点离开中心的程度。
动画演示平面截圆锥面的过程、椭圆双曲线的生成过程，让学生进一步体会两曲线的内在联系，从而激发探究本课题的动机。 4．2 活动探究，认识性质
1、范围、对称性、顶点的探求
结合椭圆的性质，让学生类比猜想得出双曲线的相关性质（范围此阶段限于xa），并结合方程加以数学的验证。
2、双曲线的离心率
★ 济宁市实验中学第五届教学能手比赛讲课教案
人 教 A 版 数 学 选 修 2-1 P56—58
高二数学组 陈 辉
2011年12月
1 双曲线的简单几何性质
陈 辉
教学目标：
（1） 知识目标
能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心率、渐近线方程等，熟练掌握双曲线的几何性质.
（2）能力目标
通过类比椭圆的简单几何性质的方法来研究双曲线的简单几何性质，在老师的指导下让学生积极讨论、归纳，培养学生的观察、研究能力，增强学生的自信心.
(3） 情感目标
通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动，培养学生自尊、自强、自信、自主等良好的心理潜能和主人翁意识、集体主义精神.
教学重点：双曲线的几何性质.
教学难点：双曲线的渐近线.
教学方法：启发诱导、练讲结合
教学用具：多媒体
教学过程：
一、复习回顾，问题引入：
问题1：双曲线的定义及其标准方程？
问题2：椭圆的简单几何性质有哪些？我们是如何研究的？双曲线是否也有 2 类似性质？又该怎样研究？
二、合作交流，探究性质：
1.范围：
双曲线在不等式x≥a与x≤－a所表示的区域内.
2.对称性：
双曲线关于每个坐标轴和原点都对称，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫双曲线中心.
3.顶点：
（1）双曲线和它的对称轴有两个交点A1(－a,0)、A2(a,0)，它们叫做双曲线的顶点.
（2）线段A1A2叫双曲线的实轴，它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长；线段B1B2叫双曲线的虚轴，它的长等于2b, b叫做双曲线的虚半轴长.
（3）实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，其方程为：
4.渐近线
（1）概念：双曲线)0,0(12222babyax的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近！故把这两条直线叫做双曲线的渐近线！
（2）双曲线12222byax的渐近线方程为：xaby ,即0byax
