高二数学双曲线的几何性质1

高二数学双曲线的几何性质教案

一、教学目标

知识与技能

1、给定双曲线方程，能正确写出有关几何元素，包括顶点、焦点、实轴虚轴长、离心率、渐近线方程等，认识相关元素的内在联系。

2、给定相关几何元素，正确得出相应的双曲线方程。

3、理解离心率、渐近线对双曲线张口大小的影响，能正确说出其中的规律。

过程与方法

1、在经历一个较完整的数学问题探求过程中，提高学生的观察猜想和验证能力

2、在椭圆与双曲线性质的类比过程中，提高学生的归纳能力。

3、在几何性质探求过程中，培养学生曲线方程思想和意识

情感、态度与价值观

培养学生主动探求知识、合作交流的意识，改变学习方式，改善数学学习信念．

二、教学重点、难点

教学重点：双曲线的离心率和渐近线

教学难点：双曲线的离心率对双曲线的刻画，渐近线的含义及离心率与渐近线斜率间的联系

三、教学准备

学生熟练掌握椭圆、双曲线的定义标准方程及椭圆的几何性质，认识椭圆和双曲线的内在联系，并掌握几何画板的一般操作步骤。

教师制作易于学生发现和掌握规律的几何画板实验平台（具体内容详见网络硬盘/?zhiyong-5833）

四、教学过程

4．1 创设情境，引入课题

复习1、双曲线的概念及标准方程

122PFPFa，22221xyab或22221yxab（其中222bca）（让学生适当举例）

复习2、椭圆的几何性质

范围 ,xayb

对称性 关于坐标轴对称，关于原点中心对称

顶点 ,0,0,ab

离心率 cea刻画椭圆扁平程度的几何量，表示焦点离开中心的程度。

动画演示平面截圆锥面的过程、椭圆双曲线的生成过程，让学生进一步体会两曲线的内在联系，从而激发探究本课题的动机。 4．2 活动探究，认识性质

1、范围、对称性、顶点的探求

结合椭圆的性质，让学生类比猜想得出双曲线的相关性质（范围此阶段限于xa），并结合方程加以数学的验证。

2、双曲线的离心率

1 学案：2.3.2双曲线的简单几何性质（第1课时）

【学习目标】

1、通过对双曲线标准方程的讨论，掌握双曲线的范围，对称性，顶点，渐近线和离心率等几何性质与双曲线的中心，实轴，虚轴，渐进线，等轴双曲线的概念，加深对a、b、c、e的关系及其几何意义的理解。

2、能利用双曲线的简单几何性质及标准方程解决相关的基本问题。

【学习重点】双曲线的简单几何性质及其应用。

【学习难点】渐近线方程的导出。

一、 知识回顾

1、双曲线的定义：

2、双曲线的标准方程：

3、回想我们是怎样利用椭圆的标准方程探究椭圆性质的？

二、合作探究

（一）试一试

类比探究椭圆的简单几何性质的方法，根据双曲线的标准方程)0,0(,12222babyax，研究它的几何性质。

①范围 ：由双曲线的标准方程可得：22by 从而得x的范围： ；即双曲线在不等式 和

所表示的区域内。22ax= 从而得y的范围为 。

②对称性：以x代x，方程不变，这说明

所以双曲线关于 对称。同理，以y代y，方程不变得双曲线关于 对称，以x代x，且以y代y，方程也不变，得双曲线关于 对称。

③顶点：即双曲线与对称轴的交点。在方程12222byax里，令y=0,得x= 得到双曲线的顶点坐标为1A（ ）2A（ ） ；我们把1B（ ）2B（ ）也画在y轴上（如图）。线段 分别叫做双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别为 。

④离心率：双曲线的离心率e= ，范围为 。

学科教师辅导讲义

年 级：高二 辅导科目： 数学 课时数：

课 题 双曲线的标准方程及性质（一）

教学目的 1、理解双曲线的定义，掌握两种类型的双曲线的标准方程；

2、会通过方程来研究双曲线的几何性质；

3、掌握双曲线的机会性质及其简单的应用。

教学内容

【知识梳理】

1、双曲线的定义：

平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定长2a（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线。

说明：

①||PF1|-|PF2||=2a（2a<|F1F2|）是双曲线；

若2a=|F1F2|，轨迹是以F1、F2为端点的射线；2a>|F1F2|时无轨迹。

②设M是双曲线上任意一点，若M点在双曲线右边一支上，则|MF1|>|MF2|，|MF1|-|MF2|=2a；若M在双曲线的左支上，则|MF1|<|MF2|，|MF1|-|MF2|=-2a，故|MF1|-|MF2|=±2a，这是与椭圆不同的地方。

2、双曲线的方程及几何性质

标准方程 )0b,0a(1byax2222 )0b,0a(1bxay2222

图形

焦点 F1（-c，0），F2（c，0） F1（0，-c），F2（0，c）

顶点 A1（a，0），A2（-a，0） A1（0，a），A2（0，-a）

对称轴 实轴2a，虚轴2b，实轴在x轴上，c2=a2+b2 实轴2a，虚轴2b，实轴在y轴上，c2=a2+b2

渐近线方程 0,0byaxbyax 0,0aybxaybx

3、椭圆与双曲线的定义、标准方程有什么区别和联系？

名 称 椭 圆 双 曲 线

图 象 xOy

xOy

定 义

平面内到两定点21,FF的距离的和为常数（大于21FF）的动点的轨迹叫椭圆。即aMFMF221

当2a﹥2c时，轨迹是椭圆，

双曲线及标准方程、几何性质

一、双曲线的定义及标准方程

【知识要点】

1. 双曲线的定义

第一定义：平面内与两定点21,FF的距离之差的绝对值为常数（小于21FF）的点的轨迹叫双曲线.

第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线)(lFl的距离之比是常数)),1((ee的点的轨迹叫做双曲线。

2. 双曲线的方程

(1)标准方程:12222byax或12222bxay，其中222,0,0bacba。

(2)一般方程：122ByAx，其中0AB

【基础训练】

1．已知点)0,5(1F，)0,5(2F，动点P满足821PFPF，则动点P的轨迹是（ ）

A.椭圆 B.双曲线 C.两条射线 D.线段

2．已知双曲线19422yx上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（ ）

A.1 B.9 C.1或9 D.4或9

3．到两定点)5,0(),5,0(BA的距离之差的绝对值为6的动点的轨迹方程为 。

4．两个焦点的坐标分别为)0,2(),0,2(，并且经过)2,3(的双曲线的标准方程是 。

5．已知平面内有一长度为4的定线段AB，动点P满足3PBPA，O为AB的中点，则OP的最小值为 。

【典例精析】

例1．方程13122mymx表示焦点在y轴上的双曲线，则m的范围是（ ）

A. 3m且1m B.1m且3m C.31m D.3m或1m

例2．已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,分别求满足下列条件的双曲线的方程.

(1)一个焦点为)0,4(，且一条渐近线的方程是023yx;

(2)离心率为2,且过点)10,4(P.