抛物线的几何性质

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抛物线的几何性质

沈阳市第六十八中学高中教务处制课题 2.4.2抛物线的简单几何性质（二）授课时间

任课教师授课年级高二

教

学

目

标知识目标掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质

能力目标掌握焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式

德育目标在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化

教学重点抛物线的几何性质及其运用

教学难点抛物线几何性质的运用

教法探究法,讲练结合法,讲授法使用教具计算机直尺、投影仪、计算器

教

学

过

程一、复习引入：抛物线的几何性质：

标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率

022ppxy xyOFl 0,0 x轴 0,2p 2px 1e

022ppxy xyOFl 0,0 x轴 0,2p 2px 1e

022ppyx

0,0 y轴 2,0p 2py 1e

022ppyx

0,0 y轴 2,0p 2py 1e

注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离

抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线沈阳市第六十八中学高中教务处制二、讲解新课：

1.抛物线的焦半径及其应用：

定义：抛物线上任意一点M与抛物线焦点F的连线段，叫做抛物线的焦半径

焦半径公式：

抛物线)0(22ppxy，0022xppxPF

抛物线)0(22ppxy，0022xppxPF

抛物线)0(22ppyx，0022yppyPF

抛物线)0(22ppyx，0022yppyPF

2．直线与抛物线：

（1）位置关系：

相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）

下面分别就公共点的个数进行讨论：对于)0(22ppxy

当直线为0yy，即0k，直线平行于对称轴时，与抛物线只有唯一的交点

一口气总结33条有关抛物线的结论

一、抛物线的定义

抛物线是一种特殊的二次函数，其图像呈现出对称轴且开口方向确定的特点。一般而言，抛物线的标准方程可表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是实数且a≠0。

二、抛物线的图像特点

1. 抛物线的开口方向由二次项系数a决定，若a>0则开口向上，若a<0则开口向下。

2. 抛物线的对称轴是与顶点相关的直线，其方程为x=-b/2a。

3. 抛物线的顶点的纵坐标为c-b^2/4a。

4. 抛物线的焦点坐标为(-b/2a, c-b^2+1/4a)。

5. 抛物线的焦距为1/4a。

三、抛物线的焦点及直边

1. 抛物线是缺点耀焦点在n位上。

2. 抛物线与其焦点的连线是垂直的。

3. 抛物线是直行的。

四、抛物线与直线的关系

1. 抛物线与直线的交点个数与直线的位置关系有关，一般情况下有两个交点。

2. 若抛物线和直线相切，则称该直线为抛物线的切线。

五、抛物线与拱门的关系

1. 拱门的形状大多呈现出抛物线的形态，这也是抛物线在建筑和土木工程中的应用之一。

2. 抛物线拱桥由于其结构特点，比较稳固且能够将荷载有效地传递到桥墩上，因此在桥梁工程中得到广泛应用。

六、抛物线的几何性质

1. 抛物线的离心率为1，故它是一种特殊的椭圆。

2. 两条平行于抛物线对称轴的直线与抛物线所夹的面积是相等的。

3. 顶点位于原点的抛物线的焦点至原点的距离等于焦距的一半。

七、抛物线的物理应用

1. 在物理学中，抛物线经常用来描述抛体运动的轨迹，比如抛出的子弹、投掷的物体等。

2. 抛物线还被用来研究光学中的抛物线面镜、抛物面反射器等设备。

八、抛物线的数学模型

1. 抛物线可以用来建立二次函数方程的数学模型，利用这种模型，可以求解许多现实生活中的问题，比如自由落体运动、物体弹跳的高度等。

九、抛物线的轨迹方程

1. 一个抛物线上的点P(x, y)的轨迹方程为y=ax^2。

十、抛物线的渐近线

1. 抛物线的渐近线是与抛物线趋于无穷远时的方向呈现出一定的趋势的直线。

抛物线标准方程、几何性质、经典大题归纳总结

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一、第一讲: 抛物线标准方程

二、考点、热点回顾

一、定义: 在平面内,及一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.

即：的轨迹是抛物线。则点若MMNMF,1

三、 (定点F叫做抛物线的焦点, 定直线l叫做抛物线的准线。)

标准方程:

设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0).

取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴, x轴及l交于K, 以线段KF的垂直平分线为y轴, 建立直角坐标系抛物线标准方程、几何性质、经典大题归纳总结

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抛物线上的点M(x, y)到l的距离为d, 抛物线是集合p={M||MF|=d}.

化简后得: y2=2px(p＞0).

由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况, 抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：抛物线标准方程、几何性质、经典大题归纳总结

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二、典型例题

(2)例1.(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x, 求它的焦点坐标和准线方程；

已知抛物线的焦点坐标是F(0, -2), 求它的标准方程．

方程是x2=-8y.

例2.根据下列所给条件, 写出抛物线的标准方程:

(1)焦点是F(3, 0)；抛物线标准方程、几何性质、经典大题归纳总结

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(3)焦点到准线的距离是2.

答案是：(1)y2=12x；(2)y2=-x；(3)y2=4x, y2=-4x, x2=4y, x2=-4y．

三、课堂练习

1. 抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是________

答案：2

解析: 解析: 抛物线y2＝4x的焦点F(1,0), 准线x＝－1.∴焦点到准线的距离为2.

2.分别求适合下列条件的抛物线的标准方程:

(1)过点(－3,2)； (2)焦点在直线x－2y－4＝0上.