抛物线的几何性质

沈阳市第六十八中学高中教务处制 课题 2.4.2抛物线的简单几何性质（二） 授课时间

任课教师 授课年级 高二

教

学

目

标 知识目标 掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质

能力目标 掌握焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式

德育目标 在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化

教学重点 抛物线的几何性质及其运用

教学难点 抛物线几何性质的运用

教法 探究法,讲练结合法,讲授法 使用教具 计算机直尺、投影仪、计算器

教

学

过

程 一、复习引入： 抛物线的几何性质：

标准方程 图形 顶点 对称轴 焦点 准线 离心率

022ppxy xyOFl 0,0 x轴 0,2p 2px 1e

022ppxy xyOFl 0,0 x轴 0,2p 2px 1e

022ppyx

0,0 y轴 2,0p 2py 1e

022ppyx

0,0 y轴 2,0p 2py 1e

注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离

抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线 沈阳市第六十八中学高中教务处制 二、讲解新课：

1.抛物线的焦半径及其应用：

定义：抛物线上任意一点M与抛物线焦点F的连线段，叫做抛物线的焦半径

焦半径公式：

抛物线)0(22ppxy，0022xppxPF

抛物线)0(22ppxy，0022xppxPF

抛物线)0(22ppyx，0022yppyPF

抛物线)0(22ppyx，0022yppyPF

2．直线与抛物线：

（1）位置关系：

相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）

下面分别就公共点的个数进行讨论：对于)0(22ppxy

当直线为0yy，即0k，直线平行于对称轴时，与抛物线只有唯一的交点

一、抛物线的定义

抛物线是一种特殊的二次函数，其图像呈现出对称轴且开口方向确定的特点。一般而言，抛物线的标准方程可表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是实数且a≠0。

二、抛物线的图像特点

1. 抛物线的开口方向由二次项系数a决定，若a>0则开口向上，若a<0则开口向下。

2. 抛物线的对称轴是与顶点相关的直线，其方程为x=-b/2a。

3. 抛物线的顶点的纵坐标为c-b^2/4a。

4. 抛物线的焦点坐标为(-b/2a, c-b^2+1/4a)。

5. 抛物线的焦距为1/4a。

三、抛物线的焦点及直边

1. 抛物线是缺点耀焦点在n位上。

2. 抛物线与其焦点的连线是垂直的。

3. 抛物线是直行的。

四、抛物线与直线的关系

1. 抛物线与直线的交点个数与直线的位置关系有关，一般情况下有两个交点。

2. 若抛物线和直线相切，则称该直线为抛物线的切线。

五、抛物线与拱门的关系

1. 拱门的形状大多呈现出抛物线的形态，这也是抛物线在建筑和土木工程中的应用之一。

2. 抛物线拱桥由于其结构特点，比较稳固且能够将荷载有效地传递到桥墩上，因此在桥梁工程中得到广泛应用。

六、抛物线的几何性质

1. 抛物线的离心率为1，故它是一种特殊的椭圆。

2. 两条平行于抛物线对称轴的直线与抛物线所夹的面积是相等的。

3. 顶点位于原点的抛物线的焦点至原点的距离等于焦距的一半。

七、抛物线的物理应用

1. 在物理学中，抛物线经常用来描述抛体运动的轨迹，比如抛出的子弹、投掷的物体等。

2. 抛物线还被用来研究光学中的抛物线面镜、抛物面反射器等设备。

八、抛物线的数学模型

1. 抛物线可以用来建立二次函数方程的数学模型，利用这种模型，可以求解许多现实生活中的问题，比如自由落体运动、物体弹跳的高度等。

九、抛物线的轨迹方程

1. 一个抛物线上的点P(x, y)的轨迹方程为y=ax^2。

十、抛物线的渐近线

1. 抛物线的渐近线是与抛物线趋于无穷远时的方向呈现出一定的趋势的直线。

高二年级数学学科 第十二周 使用时间2017年11月23号 编制：吴新平 审核：庄元奋

1 抛物线的几何性质

班级： 姓名： 组内评价： 教师评价：

学习目标:

1掌握抛物线的简单几何性质

2能根据抛物线方程解决简单的应用问题

学习重点: 抛物线的几何性质

学习难点: 抛物线几何性质的应用

学习方法: ①点拨、质疑、探究、合作②小组合作

学习过程

【自主预习案】

一课前准备

（一） 复习

1. 抛物线的定义：

2. 抛物线标准方程的四种形式:

（二） 预习教材第52-53页，找出疑惑之处.

【合作探究案】

二 新课导学

根据抛物线)0(22ppxy的图像

研究抛物线的几何性质

1范围：

2对称性：从图像上看：抛物线关于 轴对称.

从方程上看：把y换成-y方程不变，图象关于 轴对称.

3、顶点:.

4、开口方向：

高二年级数学学科 第十二周 使用时间2017年11月23号 编制：吴新平 审核：庄元奋

2

抛物线的几何性质归纳

图 形 方程 范围 顶点 对称轴 开口方向

)0(22ppxy

)0(22ppxy

)0(22ppyx

)0(2-2ppyx

三例题解析

例1 求顶点在原点，焦点为)0,5(F的抛物线的方程.

动手试试

1、求适合下列条件的抛物线的标准方程.

(1) 顶点在原点，准线方程为1-x

(2) 顶点在原点，且过点(1,2)

1 第2课时 抛物线的简单几何性质

一、抛物线的性质

1．抛物线2y＝2px(p>0)的简单几何性质

(1)对称性：以－y代y，方程2y＝2px(p>0)不变，因此这条抛物线是以x轴为对称轴的轴对称图形．

抛物线的对称轴叫做抛物线的轴，抛物线只有一条对称轴．

(2)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．

(3)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，

(4)通径：过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为2p.

(5)范围：由y2＝2px≥0，p>0知x≥0，所以抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，p值越大，它开口越开阔．

2．焦半径

抛物线上一点与焦点F连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为

3.p表示焦点到准线的距离，p>0.p值越大，抛物线的开口越宽；p值越小，抛物线的开口越窄。

4．焦点弦问题

如图所示：AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，抛物线的准线为l.

(1)以AB为直径的圆必与准线l相切；

(2)|AB|＝2(x0＋p2)＝x1＋x2＋p；

(3)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝42p，y1·y2＝2p.

题型一、抛物线的对称性

例1、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长．

[解析] 如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且它们坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)则：y21＝2px1，y22＝2px2.

又|OA|＝|OB|，∴x21＋y21＝x22＋y22，即x21－x22＋2px1－2px2＝0，

∴(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.

∵x1>0，x2>0,2p>0，∴x1＝x2，