高中数学选修4-4知识点总结

四柱坐标系与球坐标系简介

1．柱坐标系

(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z∈R.

(2)空间任意一点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，z＝z.

2．球坐标系

(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记作P(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.

(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为 x＝rsin φcos θ，y＝rsin φsin θ，z＝rcos φ.

柱坐标与直角坐标的互相转化

[例1] (1)设点A的直角坐标为(1，3，5)，求它的柱坐标．

(2)已知点P的柱坐标为4，π3，8，求它的直角坐标．

[思路点拨] 直接利用变换公式求解． [解] (1)由变换公式 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得ρ2＝x2＋y2，z＝z，

即ρ2＝12＋(3)2＝4，∴ρ＝2.

tan θ＝yx＝3，又x＞0，y＞0.

高中数学选修4­4

坐标系与参数方程知识点总结第一讲

一平面直角坐标系

1．平面直角坐标系

(1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系．

(2)平面直角坐标系：

①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称

为直角坐标系；

②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为

两条数轴的正方向；

③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y

轴统称为坐标轴；④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点；

⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系．

(3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2

的中点为P，填表：两点间的距离公式中点P的坐标公式

|P1P2|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2x＝x1＋x2

2

y＝y1＋y2

2

2.平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ

：x′＝λx（λ>0）

y′＝μy（μ>0）的作用下，

点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．

二极坐标系(1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立

了一个极坐标系．

(2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．

(3)图示2．极坐标

(1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，

记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，

θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．

(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，

选修4—4 极坐标与参数方程

一、伸缩变换

设),(yxP是平面直角坐标系中任意一点，在变换yyxx: )0()0(的作用下，点),(yxP对应),(yxP，称为平面直角坐标系中的伸缩变换。

练习

1．将1422yx的横坐标压缩为原来的2，纵坐标伸长为原来的21倍，则曲线的方程变为 。

2．在平面直角坐标系中，方程122yx所对应的图形经过伸缩变换yyxx32，后的图形所对应的方程是 ．

二、极坐标

（一）极坐标系与极坐标

1、极坐标系：在平面上取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox一个长度单位及计算角度的正方向（通常取逆时针方向），合称为一个极坐标系.O点称为极点，Ox称为极轴.

2、极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度和从Ox到OM的角度

来刻画.这两个数组成的有序数对),(称为点M的极坐标.称为极径，称为极角.

注：①在通常情况下，总认为0，只在事先说明的情况下，才允许取0；

①极点O的坐标为：),0()(R

①点),(与),(关于极点O对称；

点),(与),(关于极轴对称

①点),(，)2,(k，)2.(k（允许小于0时）表示同一点. （二）极坐标与直角坐标的关系

设M为平面上的点，它的直角坐标为),(yx，极坐标为),(，关系如下：

xyyxyxtansincos222)0(x

注：在极坐标系中，)0(表示以极点为起点的一条射线；)(R表示以极点为起点的一条直线.

练习

1、点M的直角坐标为)1,3(化为极坐标为 .

2、极坐标为（1，π）的点M的直角坐标为 .

高中数学选修4-4知识点总结

1、知识归纳总结：

1．伸缩变换：设点),(yxP是平面直角坐标系中的任意一点，在变换).0(,yy0),(x,x:的作用下，点),(yxP对应到点),(yxP，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

3．点M的极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离||OM叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM叫做点M的极角，记为。有序数对),(叫做点M的极坐标，记为),(M.

极坐标),(与)Z)(2,(kk表示同一个点。极点O的坐标为)R)(,0(.

4.若0,则0,规定点),(与点),(关于极点对称，即),(与),(表示同一点。

如果规定20,0，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(表示；同时，极坐标),(表示的点也是唯一确定的。

5．极坐标与直角坐标的互化：

6。圆的极坐标方程：

在极坐标系中，以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是 r；

在极坐标系中，以 )0,(aC)0(a为圆心， a为半径的圆的极坐标方程是 cos2a；

在极坐标系中，以 )2,(aC)0(a为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是sin2a；

7.在极坐标系中，)0(表示以极点为起点的一条射线；)R(表示过极点的一条直线.

在极坐标系中，过点)0)(0,(aaA，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是acos. )0(nt,sin,cos,222xxyayxyx 8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标yx,都是某个变数t的函数),(),(tgytfx 并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(yxM都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数yx,的变数t叫做参变数，简称参数。