5-5样条插值

第２８卷第７期　２００７年７月　哈尔滨工程大学学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈａｒｂｉｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｖｏ１．２８　Ｎｏ．７　Ｊｕ！．２００７　

适于高速加工的五次参数样条曲线插补及其速度　

生成算法的研究　

郑金兴，张铭钧，孟庆鑫　（哈尔滨工程大学机电工程学院，黑龙江哈尔滨１５０００１）　

摘要：为适应高速高精加工，针对传统插补算法和速度控制方式在进给过程中存在柔性冲击的问题，提出了一种　五次参数样条曲线插补方法及其速度生成算法．该算法采用二阶连续可导的五次样条和近弧长样条参数提高了进　给运动的连续性；速度控制算法保证机床在高速运行过程中加加速度（加速度的变化率）的二次连续、加速度、速度　和位移与时间关系的高阶连续变化，并且保证在各自的约束范围内，从而使机床的运动平稳，避免产生大的冲击和　振动，同时有利于提高加工质量，减少加工时间．通过仿真验证，表明了这种算法能有效地保证高速加工机床运行过　程中进给速度的连续性和运动轮廓的平滑性．　关键词：五次样条插补；二阶连续加加速度；插补算法；高速加工　中图分类号：ＴＧ６５９文献标识码：Ａ文章编号：１００６—７０４３（２００７）０７－０７９５－０７　

Ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｏｎ　ｑｕｉｎｔｉｃ　ｓｐｌｉｎｅ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｖｅｌｏｃｉｔｙ　

ｐｒｏｆｉｌｅｓ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｆｏｒ　ｈｉｇｈ　ｓｐｅｅｄ　ｍａｃｈｉｎｉｎｇ　

ＺＨＥＮＧ　Ｊｉｎ—ｘｉｎｇ，ＺＨＡＮＧ　Ｍｉｎｇ－ｊｕｎ，Ｍｅｎｇ　Ｑｉｎｇ—ｘｉｎ　

（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　ａｎｄ　Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｈａｒｂｉｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈａｒｂｉｎ　１５０００１，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎａｌ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ　ａｎｄ　ｆｅｅｄ　ｒａｔｅ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｄｏ　ｎｏｔ　ｍｅｅｔ　ｔｈｅ　ｄｅｍａｎｄｓ　ｏｆ　ｈｉｇｈ　ｓｐｅｅｄ　ｍａｃｈｉ—　

ue5 样条曲线编辑技巧

UE5是一款非常强大的游戏引擎，具有强大的渲染能力和灵活的开发工具，可以满足开发者的各种需求。在游戏开发过程中，曲线的设计和编辑是非常常见的任务之一。UE5提供了丰富的工具和功能，使得曲线编辑变得更加简单和高效。本文将介绍UE5中的样条曲线编辑技巧，帮助开发者更好地利用UE5提供的功能进行曲线的设计和编辑。

一、样条曲线简介

在游戏开发中，样条曲线是一种重要的工具，用于创建平滑的、曲线状的路径。UE5支持多种样条曲线类型，包括三次样条曲线、Catmull-Rom样条曲线和贝塞尔曲线等。样条曲线可以用来设计地形、角色移动路径、相机移动路径等等。

二、在UE5中创建样条曲线

在UE5中创建样条曲线非常简单。可以通过以下步骤在游戏世界中创建样条曲线：

1. 打开UE5编辑器，并创建一个新的关卡或打开现有的关卡。

2. 在关卡编辑器中，选择一个适当的地方放置一个样条曲线。

3. 在工具栏中找到“Spline”工具，并将光标放置在关卡中的想要放置样条曲线的位置。

4. 按下鼠标左键并拖动，创建样条曲线的起始点。

5. 继续按住鼠标左键并拖动，以创建曲线的控制点。

6. 通过添加更多的点和控制点，继续扩展和调整样条曲线。

7. 调整曲线的参数和属性，使其符合设计要求。可以修改曲线的弯曲程度、平滑性和分段等属性。

8. 完成曲线的设计后，保存并关闭场景编辑器。

三、UE5样条曲线编辑工具

UE5提供了一系列功能和工具，方便开发者对样条曲线进行编辑和调整。以下是一些常用的样条曲线编辑技巧：

1. 曲线节点：每个样条曲线由一系列的节点和控制点组成。可以通过单击节点并拖动来调整节点的位置。通过拖动控制点可以改变曲线的形状和弯曲程度。

2. 节点类型：UE5中的样条曲线节点可以是Bezier节点、线性节点或自由锚点节点等。不同类型的节点具有不同的编辑方式和属性。

3. 曲线分段：样条曲线可以分为多个段落，每个段落之间可以有不同的属性和参数。可以在曲线的属性面板中进行分段设置。

变系数波动方程的五次样条配置法

五次样条配置法是指利用五个基函数来拟合变系数波动方程的一种法

子。它是变系数波动方程最常用的数值解法之一。

一、基本原理：

五次样条配置法的基本原理是：对变系数波动方程，把复杂的解区间

分割为N段，每段用一个曲线平滑的拟合，这个拟合的曲线就是五次

样条曲线。针对每段解区间，要确定未知系数，从而形成有限基函

数——S1、S2、Si、S4、S5。使用未知系数去拟合原方程，并确保拟

合曲线符合起点、终点处对应的给定条件，以及各段曲线之间的连

续。

二、五次样条基函数：

1.S1：用来表示解区间第一段解，为二次样条基函数：$$S_1(x)=a_0+a_1x+a_2x^2$$2.S2：表示解区间第二段解，也为二次样条基函数：$$S_2(x)=b_0+b_1x+b_2x^2$$3.S3：表示解区间第三段解，也为二次样条基函数：$$S_3(x)=c_0+c_1x+c_2x^2$$4.S4：表示解区间第四段解，也为二次样条基函数：$$S_4(x)=d_0+d_1x+d_2x^2$$5.S5：表示解区间第五段解，也为二次样条基函数：$$S_5(x)=e_0+e_1x+e_2x^2$$

三、计算公式：

1.以S1为例：将S1对x求偏导，得到$$S_1'(x)=a_1+2a_2x$$

其中，偏导数S1'(x)是定值；

2.将S2表示的解区间的第二段的等差序列求和，按照波动方程的定义

又化简，曲线在(xi,xi+1)中表示为：$$S(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\mu(x-xi)^3+\nu(x-xi)^4+\gamma(x-xi)^5$$

3.四段曲线结合在一起，就需要满足4次条件，实际上是4元一次非

齐次线性方程组：$$\mu+xi\nu+\frac{1}{2}xi^2\gamma=0$$$$xi\mu+\frac{1}{2}xi^2\nu+\frac{1}{6}xi^3\gamma=0$$$$2\mu+2xi\nu+\frac{1}{2}xi^2\gamma=S_1'(x_i)$$$$6\mu+3xi\nu+\frac{1}{2}xi^2\gamma=S_1'(x_{i+1})$$

课程名称 计算方法

实验项目名称 函数的数值逼近－插值

实验成绩 指导老师（签名 ） 日期 2011-9-16

一. 实验目的和要求

1． 掌握用Matlab计算Lagrange、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点的数目，对三种插值结果进行初步分析。

2． 通过实例学习如何用插值方法解决实际问题。

二. 实验内容和原理

1） 编程题2-1要求写出Matlab源程序(m文件)，并对每一行语句加上适当的注释语句；

2） 分析应用题2-2，2-3，2-4，2-5要求将问题的分析过程、Matlab源程序、运行结果和结果的解释、算法的分析等写在实验报告上。

2-1 分析应用题

用12yx在0,1,4,9,16x产生5个节点15,,PP。用以下五种不同的节点构造Lagrange插值公式来计算5x处的插值，与精确值比较并进行分析。

function y=lagr(x0,y0,x)

n=length(x0);

m=length(x);

L=zeros(1,n);

y=zeros(1,m);

for k=1:m

s=0;

for i=1:n

L(i)=1;

for j=1:n

if j~=i

L(i)=L(i)*(x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j));

end

end

s=s+y0(i)*L(i);

end

y(k)=s;

end

1） 用34,PP构造；

>> x0=[4,9];

>> y0=[2,3];

>> lagr(x0,y0,5)

ans =