导数的单调性练习题

用导数研究含参函数的单调性

一、考情分析

函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,

可以说在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题,这是因为单调性是解决后续问题的关键,

单调性在研究函数图像、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关

重要的作用.函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而含有参数的函数单调性的讨论与应用

更是高考中的难点.

二、解题秘籍

连续函数单调区间的分界点就是函数的极值点,也就是导函数的零点,即方程fx

=0的根,所以求解

含参函数的单调性问题,一般要根据fx

=0的根的情况进行分类,分类时先确定导函数是一次型还是

二次型

1.若导函数是一次型,分类步骤是：

①判断是否有根,若没有根,会出现恒成立的情况；

②若有根,求出fx

=0导的根,并判断根是否在定义域内；若根不在定义域内会出现恒成立的情况；

③若根在定义域内,会出现两个单调区间,根据导函数的正负,确定单调性；

2.若导函数是二次型,分类步骤是：

①先判断二次型函数是否有根,若没有根,会出现恒成立的情况；

②判断根是否在定义域内,若仅有一个根在定义域内,会出现两个单调区间,根据导函数的正负,确定单

调性；

③若两个根都在定义域内,需要根据两个根的大小进行讨论,当根的大小确定后,再讨论每个单调区间

上的单调性.

下面我们根据fx

=0的根的情况总结出10类题型及解法,帮助同学们掌握这类问题的求解方法.

类型一：fx

定义域不是R,fx

=0可化为单根型一次方程

思路：根据根是否在定义域内进行分类

例1.讨论fx=x-1-alnx的单调性

类型二：fx定义域不是R,fx

=0可化为单根型类一次方程

思路：根据方程是否有根及根是否在定义域内进行分类

例2.讨论fx=ax-1-alnx+1的单调性

例3.讨论fx=

1

4ax4

-1

3x3

+1

2ax2-x+1的单调性

数学导数单调性练习题

1. 计算函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \) 的导数，并判断其单调性。

2. 已知函数 \( g(x) = e^x - 1 \)，求其导数，并分析其在实数域上的单调性。

3. 对于函数 \( h(x) = \ln(x) + x \)，求导数并讨论其在定义域内的单调性。

4. 考虑函数 \( F(x) = \frac{1}{x} \)，求其导数，并确定其在不同区间上的单调性。

5. 给定函数 \( G(x) = \sqrt{x} \)，求其导数，并分析其在非负实数域上的单调性。

6. 计算函数 \( H(x) = \sin(x) \) 的导数，并讨论其在不同区间上的单调性。

7. 对于函数 \( I(x) = \cos(x) \)，求其导数，并判断其在实数域上的单调区间。

8. 计算函数 \( J(x) = x^2 - 4x + 4 \) 的导数，并找出其单调递增和递减的区间。

9. 给定函数 \( K(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \)，求导数并讨论其在定义域内的单调性。

10. 对于函数 \( L(x) = x^4 - 4x^2 + 4 \)，求导数，并分析其在实数域上的单调性。

导数与单调性习题

1、函数xexxf)3()(的单调递增区间是（ ）

A．)2,( B．(0,3) C．(1,4) D．),2(

2、设函数()yfx在定义域内可导，()yfx的图象如图1所示，则导函数()yfx可能为（ ）

3函数xxy142的单调递增区间是（ ）A．),0( B．),21( C．)1,( D．)21,(

4.求函数2()2lnfxxx的单调区间．

5. 已知函数2()ln3,fxxxxaR．求()fx的单调区间

6．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为( )A．[－1，＋∞) B．(－∞，2] C．(－∞，－1)和(1,2) D．[2，＋∞)

7．已知函数y＝xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是( )

8．函数y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的单调增区间是( )

A.－π，－π2和0，π2 B.－π2，0和0，π2 C.－π，－π2和π2，π D.－π2，0和π2，π

9．

x y

O

图1 x y

O

A x y

O

B x y

O

C y

O

D x 10．已知函数()2ln()fxxaxaaR.讨论()fx的单调性

11．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a、b，若a

A．af(a)≤f(b) B．bf(b)≤f(a) C．af(b)≤bf(a) D．bf(a)≤af(b)

12．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有( )

1 专题8：导数中已知单调性求参数的范围经典例题与练习（解析版）

已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围

解法1：转化为0)(0)(''xfxf或在给定区间上恒成立， 回归基础题型

解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；

做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集

例1：已知Ra，函数xaxaxxf)14(21121)(23．

（Ⅰ）如果函数)()(xfxg是偶函数，求)(xf的极大值和极小值；

（Ⅱ）如果函数)(xf是),(上的单调函数，求a的取值范围．

解：)14()1(41)(2axaxxf.

（Ⅰ）∵ ()fx是偶函数，∴ 1a. 此时xxxf3121)(3，341)(2xxf，

令0)(xf，解得：32x.

列表如下：

x (－∞,－23) －23 (－23,23) 23 (23,+∞)

)(xf + 0 － 0

+

)(xf 递增 极大值 递减 极小值 递增

可知：()fx的极大值为34)32(f， ()fx的极小值为34)32(f.

（Ⅱ）∵函数)(xf是),(上的单调函数，

∴21()(1)(41)04fxxaxa，在给定区间R上恒成立判别式法

则221(1)4(41)204aaaa， 解得：02a.