二次根式
1、 算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，那么这个正数x 叫做
a 的算术平方根。
2、 解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。
如：-2x ＞4，不等式两边同除以-2得x ＜-2。不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。如
3、 分母≠0
4、 绝对值：｜a ｜=a （a ≥0）；｜a ｜= - a （a ＜0） 一、 二次根式的概念
一般地，我们把形如 a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。 ★ 正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：
（1） 二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“ ”，“ ”的根指数
为2，即“2 ”，我们一般省略根指数2，写作“ ”。如2
5 可以写作 5 。 （2） 二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。 （3） 式子 a 表示非负数a 的算术平方根，因此a ≥0， a ≥0。其中a ≥0是 a 有意
义的前提条件。
（4） 在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a ≥0这一隐含条件。 （5） 形如b a （a ≥0）的式子也是二次根式，b 与 a 是相乘的关系。要注意当b 是分
数时不能写成带分数，例如83 2 可写成8 2 3 ，但不能写成2 2
3
2 。
练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ； （2）-18 ； （3）x 2+1 ； （4）3
-8 ； （5）x 2
+2x+1 ； （6）3｜x ｜ ； （7）1+2x （x ＜- 1
2
）
二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？ （1）2-5x ； （2）4x 2+4x+1 二、二次根式的性质：
练习：计算（1）（3
5
）2 (2) （4 3 ）2 (3) （-62) （4）-
（- 18
）2
（6）x 2-2x+1 + x 2-6x+9 （1≤x ≤3）
★（ a ）2（a ≥0）与a 2 的区别与联系：
三、代数式
用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式。例：3，x ，x+y ，3x （x ≥0），-ab ，s
t （t ≠0，x 3都是代数式
注（1）单独一个数或字母也是代数式；（2）代数式中不能含有关系符号（＞，＜，=等） （1） 将两个代数式用关系符号（＞，＜，=等）连接起来的式子叫关系式，方程和不
等式都是关系式。如2x+3＞3x-5是关系式。
练习：下列式子：①0；②π2
③2+x=4；④x-2
3
＞1；⑤2a+3b ；⑥2-x (x ≤2)，其中
是代数式的有（ ）
列代数式的常用方法：
（1）直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式。
（2）公式法：根据公式列出代数式。
（3）探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来。
练习：列代数式
（1）把a本书平均分给若干名学生，若每人分5本，还余3本，则学生人数为（）（2）若圆A的半径r是圆B的半径的5倍，则这两个圆的周长之和为（）
典型例题剖析
题型一：二次根式有意义的条件
当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）x+5-3-2x；（2）2x-1
1-x
；（3）x-3+3+x
题型二：利用二次根式的非负性化简求值
已知a2+b-2=4a-4，求ab的值。
题型三：二次根式非负性的简单应用
已知实数x，y满足｜x-4｜+y-8=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）题型四：利用a2 =｜a｜并结合数轴化简求值
已知实数a，b在数轴上的位置如图所示。
试化简：a2+b2+（a-b）2+（b-1）2-（a-1）2
题型五：a2 =｜a｜与三角形三边关系的综合应用
在△ABC中，a，b，c是三角形的三边长，化简（a-b+c）2-2｜c-a-b｜
题型六：逆用（ a ）2 = a（a≥0）在实数范围内分解因式
在实数范围内分解因式：（1）x4-4；（2）x4-4x2+4
二次根式的乘除
1、单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个
单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
2、单项式与单项式相除，把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在
被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
一、二次根式的乘法法则
a ．
b =ab （a≥0，b≥0）即：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变（1）进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，b均为非负数这一条件。（2）推广① a ． b ．
c =abc （a≥0，b≥0，c≥0）②a b ．c
d =ac bd
③乘法交换律和结合律在二次根式的乘法中任然可应用。
练习：（1）28 ．7 ；（2）1
4
．256 ；（3）4xy ．
1
y
(4)627 ．（-2 3 ）
二、二次根式乘法法则的逆用
ab = a ． b （a≥0，b≥0）即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积利用这个性质可以把二次根式化简，在进行二次根式的化简运算时，先将被开方数进行因式分解或因数分解，然后再将能开得尽方的因式或因数开方后移到根号外。
注：（1）公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0，实际上，公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可，如（-4）×（-9）≠-4 ．-9 。（2）在本章中如果没有特别说明，所有的字母都表示正数。
推广：abcd = a ． b ． c ． d （a≥0，b≥0，c≥0，d≥0）
练习：化简（1）300 ；（2）（-14）×（-112）；
（3）200a5b4c3；（4）132-122；（5）16x4+32x2
三、二次根式的除法法则
a b =
a
b
（a≥0，b＞0）即：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。
