-轴对称例题与讲解

13.13专题19：轴对称--动点问题一．【知识要点】1.方法：“以静制动”解决。

二．【经典例题】2．（绵阳2015年第25题本题满分14分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线时的一点，且DG = AD，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿着A→C→G的路线向G点匀速运动（M不与A，G重合），设运动时间为t秒，连接BM并延长AG于N．（1）是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明理由；（2）当点N在AD边上时，若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分线于H，求证：BN = HN．三．【题库】【A】【B】1.如图,已知△ABC为等边三角形,点D由点C出发,在BC的延长线上运动,连结AD,以AD为边作等边三角形ADE,连结CE.(1)请写出AC、CD、CE之间的数量关系,并证明;(2)若AB=6cm,点D的运动速度为每秒2cm,运动时间为t秒,则t为何值时,CE⊥AD?【C】1.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,0),以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB,点C为x正半轴上一动点(OC>1),连接BC,以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD,连接DA并延长,交y轴于点E.①△OBC与△ABD全等吗?判断并证明你的结论;②当点C运动到什么位置时,以A,E,C为顶点的三角形是等腰三角形?【D】1.已知，△ABC是边长为4cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度均为1cm/s．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P 的运动时间为t（s）．（1）如图1，连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．（2）如图2，当t为何值时，△PBQ是直角三角形？（3）如图3，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，请直接写出∠CMQ度数．。

典型例题例1 如图，已知：△ABC，直线MN，求作△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于MN对称．分析：按照轴对称的概念，只要分别过A、B、C向直线MN作垂线，并将垂线段延长一倍即可得到点A、B、C关于直线MN的对称点，连结所得到的这三个点．作法：（1）作AD⊥MN于D，延长AD至A1使A1D＝AD，得点A的对称点A1（2）同法作点B、C关于MN的对称点B1、、C1（3）顺次连结A1、B1、C1∴△A1B1C1即为所求说明：首先做出关键的点关于直线的对称点．例2 如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC、BD，且AC＝BD，若A到河岸CD的中点的距离为500cm．问：（1）牧童从A处牧牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？（2）最短路程是多少？分析：若A、B两点在直线的两侧，自然想到连结AB，交点即为所求的点，但本题的A、B在直线的同侧，如何转化为异侧呢？我们容易想到“翻折”即“轴对称”．若点A关于直线的对称点A1，则对于直线上的任意点到A和A1的距离总相等．解：问题可转化为已知直线CD和CD同侧两点A、B，在CD上作一点M，使AM+BM最小，先作点A关于CD的对称点A1，再连结A1B，交CD于点M，则点M为所求的点．证明：（1）在CD上任取一点M1，连结A1M1、AM1、BM1、AM∵直线CD是A、A1的对称轴，M、M1在CD上∴AM＝A1M，AM1＝A1M1∴AM+BM＝AM1+BM＝A1B在△A1 M1B中∵A1 M1+BM1＞AM+BN即AM+BM最小（2）由（1）可得AM＝AM1，A1C＝AC＝BD∴△A1CM≌△BDM∴A1M＝BM，CM＝DM即M为CD中点，且A1B＝2AM∵AM＝500m∴最简路程A1B＝AM+BM＝2AM＝1000m说明：所求问题可转化为在CD上取一点M使其AM+BM为最小；在上述基础上，利用三角形性质．实际问题要善于转化为数学问题.例3 已知：如图，△ABC是等边三角形，延长BC至D，延长BA到E，使AE＝BD，连结CE、DE求证：CE＝DE分析：要证CE＝DE，即证明E在CD的垂直平分线上即可，为此，我们构造出关于CD的垂直平分线的轴对称图形来证明．证明：延长BD至F，使DF＝BC，连结EF∵AE＝BD，△ABC为等边三角形∴BF＝BE，∠B＝∴△BEF为等边三角形∴△BEC≌△FED∴CE＝DE说明：解题关键是作出正确的辅助线。

第十三章《轴对称》一、知识点归纳（一）轴对称和轴对称图形1、有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．2、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

（对称轴必须是直线）3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

5．画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。

（二）、轴对称与轴对称图形的区别和联系区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．联系：1：都是折叠重合2;如果把成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。

（三）线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．（证明是必须有两个点）因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．（四）用坐标表示轴对称1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（-x，y）；2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（x，-y）；(五）关于坐标轴夹角平分线对称点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y＝x对称的点的坐标是（y，x）点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y＝－x对称的点的坐标是（－y，－x）（六）关于平行于坐标轴的直线对称点P（x，y）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－x，y）；点P（x，y）关于直线y＝n对称的点的坐标是（x，2n－y）；(七）等腰三角形1、等腰三角形性质：性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

八年级轴对称典型例题一、等腰三角形与轴对称性质相关例题例题1：已知等腰三角形ABC中，AB = AC，∠A = 36°，请找出这个等腰三角形的所有对称轴。

解析：1. 因为等腰三角形ABC中，AB = AC，等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的高（或顶角平分线或底边的中线）所在的直线。

作AD⊥BC于D点，由于AB = AC，根据等腰三角形三线合一的性质，AD所在直线就是等腰三角形ABC的对称轴。

因为∠A=36°，AB = AC，所以∠B=∠C=(180° 36°)/2 = 72°。

这条对称轴将等腰三角形ABC分成两个全等的直角三角形ABD和ACD。

2. 总结：等腰三角形ABC有1条对称轴，即底边上的高AD所在的直线。

二、线段垂直平分线与轴对称例题例题2：如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE = 3cm，△ABD的周长为13cm，求△ABC的周长。

[此处可自行画一个简单的三角形ABC，其中DE是AC的垂直平分线，D在AC上，E在BC上]解析：1. 因为DE是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AD = CD。

2. 已知△ABD的周长为AB+BD + AD = 13cm，由于AD = CD，所以AB+BD+CD = 13cm，即AB + BC = 13cm。

3. 又因为AE = 3cm，且DE垂直平分AC，所以AC = 2AE = 6cm。

4. 那么△ABC的周长为AB+BC + AC=13 + 6 = 19cm。

三、角平分线与轴对称例题例题3：如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，连接CD，求证：OP垂直平分CD。

[画一个∠AOB，OP为角平分线，PC垂直OA于C，PD垂直OB于D，连接CD]解析：1. 因为OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，根据角平分线的性质，可得PC = PD。

2. 在Rt△OPC和Rt△OPD中，OP = OP（公共边），PC = PD，所以Rt△OPC≌Rt △OPD(HL)。

高考数学复习---《利用轴对称解决函数问题》典型例题讲解【典型例题】例1、（2022·全国·高三专题练习）若1x 满足25x x =−，2x 满足2log 5x x +=，则12x x +等于（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】由题意1152x x −=，故有2225log x x −= 故1x 和2x 是直线5y x =−和曲线2xy =、曲线2log y x =交点的横坐标． 根据函数2xy =和函数2log y x =互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称， 故曲线2xy =和曲线2log y x =的图象交点关于直线y x =对称． 即点（x 1，5﹣x 1）和点（x 2，5﹣x 2）构成的线段的中点在直线y =x 上， 即12125522x x x x +−+−=，求得x 1+x 2=5， 故选：D ．例2、（2021春·高一单元测试）设函数()21228log (1)31f x x x =+++，则不等式212(log )(log )2f x f x +≥的解集为（ ）A ．（0，2]B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[2，＋∞）D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦∪[2，＋∞） 【答案】B【解析】由题意，函数()21228log (1)31f x x x =+++的定义域为R ， 且()()2211222288log [()1]log (1)3()131f x x x f x x x −=−++=++=−++， 所以函数()f x 为R 的偶函数，且在[0,)+∞上为单调递减函数， 令2log t x =，可得12log x t=−，则不等式212(log )(log )2f x f x +≥可化为()()2f t f t +−≥，即()22f t ≥，即()1f t ≥，又因为()1281log 2131f =+=+，且()f x 在[0,)+∞上单调递减，在R 为偶函数， 所以11t −≤≤，即21log 1x −≤≤，解得122x ≤≤， 所以不等式的解集为1[,2]2． 故选：B ．例3、（2021春·西藏拉萨·高三校考阶段练习）已知函数()()11332cos 1x x x f x −−+=+−−，则()()0.52310.5log 9log 2f f f −⎛⎫ ⎪⎝⎭、、的大小关系（ ） A ．()()0.5231log 9log 0.52f f f −⎛⎫>> ⎪⎝⎭ B ．0.5321(log )(0.5)(log 9)2f f f −>> C ．0.5321(0.5)(log )(log 9)2f f f −>> D ．0.5231(log 9)(0.5)(log )2f f f −>> 【答案】A【解析】令()(1)332cos x x g x f x x −=+=+−，()()g x g x −=，所以()g x 是偶函数； ()ln3(33)2sin x x g x x −'=−+，当(0,)x π∈时，()0g x '>，()g x 在(0,)π上是增函数， 将()g x 图像向右平移一个单位得到()f x 图像， 所以()f x 关于直线1x =对称，且在(1,1)π+单调递增． ∵23log 94<<，0.50.5−()3312log 2log 22,32−=+∈， ∴0.52314log 92log 0.512−>>−>>，∴()()0.5231log 92log 0.52f f f −⎛⎫>−> ⎪⎝⎭， 又∵()f x 关于直线1x =对称，∴3311log 2log 22f f ⎛⎫⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()()0.5231log 9log 0.52f f f −⎛⎫>> ⎪⎝⎭． 故选：A。

八年级第十三章轴对称典型例题一、关于轴对称图形概念的例题。

例题1：下列图形中，是轴对称图形的是（）A. 平行四边形。

B. 三角形。

C. 梯形。

D. 正方形。

解析：1. 首先分析平行四边形，沿任何一条直线对折后，直线两侧的部分都不能完全重合，所以平行四边形不是轴对称图形。

2. 三角形有多种类型，一般三角形不是轴对称图形，但等腰三角形和等边三角形是轴对称图形，这里说三角形太笼统，不能确定是轴对称图形。

3. 梯形中，一般梯形不是轴对称图形，等腰梯形是轴对称图形，这里说梯形不准确。

4. 正方形沿两条对角线所在直线以及两组对边中点连线对折，直线两侧的部分都能完全重合，所以正方形是轴对称图形。

答案为D。

例题2：正六边形的对称轴有（）条。

A. 3.B. 6.C. 9.D. 12.解析：1. 正六边形可以分别沿三组对边中点连线以及三条对角线所在直线对折后完全重合。

2. 所以正六边形的对称轴有6条。

答案为B。

二、线段垂直平分线性质的例题。

例题3：如图，在△ABC中，AB = AC，DE是AB的垂直平分线，△BCE的周长为14，BC = 6，则AB的长为（）A. 4.B. 6.C. 8.D. 10.解析：1. 因为DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE = BE。

2. 已知△BCE的周长为14，即BE + EC+BC = 14。

3. 又因为AE = BE，所以AC+BC=14。

4. 已知BC = 6，所以AC = 14 - 6=8。

5. 因为AB = AC，所以AB = 8。

答案为C。

例题4：已知点P在直线l外，点A、B在直线l上，且PA = PB，则直线l与线段AB的关系是（）A. l垂直但不平分AB。

B. l平分但不垂直AB。

C. l垂直且平分AB。

D. l与AB相交但不一定垂直平分。

解析：1. 因为点P在直线l外，PA = PB，所以点P在线段AB的垂直平分线上。

2. 又因为两点确定一条直线，所以直线l是线段AB的垂直平分线。

专题13.1 轴对称知识点1：轴对称图形1.定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴。

这时我们就说这个图形关于这条直线（或轴）对称.2.两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称. 这条直线叫做对称轴，折叠后互相重合的点是对应点，叫做对称点.3.轴对称图形和轴对称的区别：轴对称图形是一个图形，轴对称是两个图形。

4.轴对称和全等的关系：轴对称一定是全等图形，但全等图形不一定是轴对称。

知识点2：轴对称的性质（1）成轴对称的两个图形全等。

（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。

（3）对应点到对称轴的距离相等。

（4）对应点的连线互相平行。

也就是不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.对称的图形都全等.知识点3：线段的垂直平分线1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫这条线段的垂直平分线.2.线段垂直平分线的性质：（1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.（2）与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.【例题1】若下列选项中的图形均为正多边形，则哪一个图形恰有4条对称轴？（）A B C D【例题2】下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【例题3】如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P时直线MN上的点，下列判断错误的是（）A．AM=BM B．AP=BN C．∠MAP=∠MBP D．∠ANM=∠BNM【例题4】如图，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．一、选择题1.下列图形中，是轴对称图形的是（）A B C D2.下列图形一定是轴对称图形的是（）A．直角三角形B．平行四边形C．直角梯形D．正方形3.下列图案属于轴对称图形的是（）A B C D4.下列图形中，是轴对称图形的是（）A B C D二、解答题5.如图所示的是一个在19×16的点阵图上画出的“中国结”，点阵的每行及每列之间的距离都是1，请你画出“中国结”的对称轴，并直接写出阴影部分的面积。

初中数学轴对称基础知识点详解轴对称是初中数学中的基础知识点之一，是在平面几何中经常出现的重要概念。

轴对称是指图形相对于条轴线对称，即图形中的每一点与轴线上与该点距离相等、且在轴线上的点关于轴线对称。

下面将详细介绍轴对称的基本概念、性质和相关例题。

轴对称的基本概念：轴对称是指图形相对于条轴线对称。

轴线可以是任意直线，可以是水平线、垂直线、倾斜线或曲线。

在轴对称中，轴线的选择对图形的对称性质有一定影响，但图形始终是关于轴线对称的。

轴对称的性质：1.图形的每一点关于轴线对称，意味着轴线上的点与轴线之间的距离相等。

2.如果图形的一部分与轴线对称，则图形的其他部分与轴线对称。

3.如果图形中的两个点A、B关于轴线对称，则点A关于点B对称，点B关于点A对称。

轴对称与平移的关系：平移是指将图形沿着一些方向按照一定规律进行移动。

在平移中，图形的每一点都按照相同的方向和相同的距离进行移动，而保持形状不变。

轴对称图形可以通过平移得到相对的轴对称图形，平移的方向和距离与轴线的位置有关。

轴对称与旋转的关系：旋转是指将图形以一些点为中心按照一定角度进行旋转。

在旋转中，图形的每一点都按照相同的角度和相同的方向进行旋转，而保持形状不变。

轴对称图形可以通过旋转得到相对的轴对称图形，旋转的角度和中心与轴线的位置有关。

轴对称的判断：判断一个图形是否具有轴对称性可以通过以下方法进行验证：1.观察图形是否在一个直角坐标系中，并找出其中心轴（满足轴对称性的直线）。

2.随机选择图形中的一点，并绘制一个与中心轴相互垂直的线段。

3.测量选定点到中心轴和该点对称点到中心轴的距离是否相等，若相等则该图形具有轴对称性。

轴对称的性质与应用：1.轴对称性是一种重要的对称性质，它在几何构造中常常用于求解问题。

2.轴对称性可以用于判断一些图形的性质，如判断一个图形是否是正多边形。

3.轴对称性也可以应用于计算几何中的一些问题，如确定一个平面图形的对称中心。

轴对称的例题：1.给定一个图形ABCD，其中AB=BC=4，AD=6，AC=8，请问该图形是否具有轴对称性？如果具有，请给出轴对称线的方程。

轴对称是几何学中的一个重要概念，用来描述平面中的一种关系。

在轴对称中，存在一个轴线，使得轴线上的每个点关于轴线的对称点也在这个平面上。

轴对称的定义：在平面上，如果存在一条直线，对于平面内的任意一点P，如果点P关于这条直线的对称点也在这个平面上，那么就称这个平面具有轴对称性，而这条直线就是这个平面的轴线。

轴对称的性质：1.因为轴对称是一条直线，所以它没有长度和宽度，只有方向。

2.平面中的任意两点关于轴线对称，其对称点也在同一条直线上。

3.对于平面内的任意一点P，点P关于轴线的对称点为P'，则有PP'=r，其中r为轴线到点P的距离。

轴对称的判定方法：1.直接判定：根据定义，通过观察图形，判断图形是否具有轴对称性。

2.射线法：可以用一根射线作为轴线，将图形分成两部分，再观察这两部分是否关于射线对称。

3.过相应点法：如果图形上已知两个或多个对称点，则可以连接这些点，得到的直线就是轴线。

轴对称的应用：1.在几何证明中，轴对称常常被用来构造等边、等角等形状。

2.在日常生活中，很多物体都具有轴对称性，比如书本、门窗等。

轴对称的例题：例题1：判断下列图形是否具有轴对称性，并给出轴线的方程。

(1)点A(1,1)关于直线y=1对称；(2)点B(3,4)关于直线x=3对称；(3)点C(-2,5)关于直线y=-2x+3对称。

解答：(1)点A(1,1)关于直线y=1对称，所以图形具有轴对称性。

轴线的方程为y=1(2)点B(3,4)关于直线x=3对称，所以图形具有轴对称性。

轴线的方程为x=3(3)点C(-2,5)关于直线y=-2x+3对称，所以图形具有轴对称性。

轴线的方程为y=-2x+3例题2：已知A(2,3)关于直线y=2x对称，求点A'的坐标。

解答：因为A(2,3)关于直线y=2x对称，所以A和A'关于这条直线对称。

设点A'的坐标为(x,y)。

根据对称性可以得到以下关系：x+2y=4（点A和A'在直线y=2x上）2x+x=4（点A和A'在直线x=2上）解方程组得到x=1，y=1所以A'的坐标为(1,1)。

《轴对称现象》典型例题例1指出以下图形中的轴对称图形〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕例2 指出以下图形中的轴对称图形，并指出轴对称图形的对称轴．〔1〕正方形；〔2〕长方形；〔3〕圆；〔4〕平行四边形．例3画出以下图形的对称轴。

例4 指出下边哪组图形是轴对称的，并指出对称轴．〔1〕任意两个半径相等的圆；〔2〕正方形的一条对角线把一个正方形分成的两个三角形；〔3〕长方形的一条对角线把长方形分成的两个三角形；〔4〕两个全等的三角形．例5找出下面的轴对称图形，并说出它们各有几条对称轴．例6 以下图形中，不是轴对称图形的是〔〕〔A〕有两个角相等的三角形〔B〕有一个内角是︒45的直角三角形〔C〕有一个内角是︒120的三角形30，另一个内角为︒〔D〕有一个角是︒30的直角三角形例7观察中(1)～(5)，它们是不是轴对称图形?有什么共同特点?例8请分别画出以下图中3个图形的对称轴．例9如图，(1)正三角形，(2)正四边形，(3)正五边形，(4)正六边形，(5)正八边形，(6)正九边形都是轴对称图形，数一数它们的对称轴的条数．观察后分析：正多边形对称轴的条数与边数"有什么关系?根据你的分析结果答复，正十边形，正十六边形，正二十九边形分别有几条对称轴?正五十边形呢?正一百边形呢?参考答案例1分析：正确理解轴对称图形概念．解：轴对称图形是〔2〕〔3〕〔4〕〔6〕〔7〕〔8〕例2 分析：判断一个图形是否是轴对称图形，关键是能否找到一条直线使该图的两局部沿这条直线对折后完全重合．解：〔1〕、〔2〕、〔3〕都是轴对称图形，〔4〕不是轴对称图形．正方形的对称轴是两条对边中点所在的直线和正方形对角线所在的直线；长方形的对称轴是两条对边中点所在的直线；圆的对称轴是任意一条直径所在的直线．说明：对称轴是一条直线，不是线段．例3分析：依据定义可以画出，但可能是多条．解：如图例4 分析：判断两个图形是否是轴对称，关键是能否找到一条直线使这两个图形沿这条直线对折后能够重合．解：〔1〕和〔2〕每组的两个图形都是轴对称的．〔3〕和〔4〕每组的两个图形不是轴对称的．〔1〕的对称轴是连结两个圆心的线段的垂直平分线；〔2〕的对称轴就是原正方形分成两三角形时的这条对角线所在的直线．说明：对称轴是直线而非线段．例5分析：此题主要考查识别轴对称图形的能力．根据轴对称图形的概念来认真识别．但要注意．图(9)(10)这两个图也有“对称〞性，但它们没有对称轴．不能把它们误认为是轴对称图形．解：根据图形可知：(1)是轴对称图形，它有3条对称轴；(2)是轴对称图形，它有5条对称轴；(3)是轴对称图形．它有4条对称轴.(4)是轴对称图形．它有1条对称轴；(5)是轴对称图形，它有2条对称轴；(6)不是轴对称图形；(7)是轴对称图形，它有1条对称轴；(8)是轴对称图形，它有1条对称轴；(9)(10)虽然有“对称〞性，但都不是轴对称图形．例6 分析：在〔A〕中，有两个角相等的三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形一定是轴对称图形，它的对称轴为底边上的高〔或底边上的中线或顶角的平分线〕. 而〔B〕和〔C〕中的两个三角形同样也是等腰三角形，所以也是轴对称图形. 那么〔D〕中三角形的三个内角各不相等，不是等腰三角形，所以〔D〕不是轴对称图形.解：选〔D〕说明：在三角形中，只有等腰三角形才是轴对称图形，而不是等腰三角形的三角形就一定不是轴对称图形.例7分析：此题主要考查两个图形成轴对称图形的理解．可以利用轴对称的概念加以判断，但不能把两个图形成轴对称与一个图形是轴对称图形的概念相混淆．解：它们都是轴对称图形，每一组中都有两个图形．可以沿某一条直线对折使两个图形能完全重合在一起，所以每幅图中的两个图形成轴对称．轴对称图形是一个图形．可以有一条或许多条对称轴．(1)～(5)两个图形成轴对称，一般来说只有一条对称轴．例8分析：找对称轴从不同角度观察，全面分析．解：(1)有6条对称轴；(2)有5条对称轴；(3)有6条对称轴．画图略．例9分析：正多边形并不都是轴对称图形．但是，是轴对称图形的正多边形的对称轴的条数与其边数有着密切的联系，请仔细找出它们之间的规律．解：正三角形有3条对称轴，正四边形有4条对称轴，正五边形有5条对称轴，正六边形就有6条对称轴，正八边形有8条对称轴，正九边形有9条对称轴．正多边形对称轴的条数与边数n之间的关系是：边数是n，对称轴的条数是n条．所以正十边形有10条对称轴，正十六边形有16条对称轴，正二十九边形就有29条对称轴，正五十边形就有50条对称轴，正一百边形就有100条对称轴．。

班级小组姓名成绩（满分120）一、轴对称现象（一）轴对称和轴对称图形（共4小题，每题3分，题组共计12分）例1.如图,下列图案是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有()A.1个B.2个C.3个D.4个例1.变式1.下列图形中对称轴最多是()A.圆B.正方形C.角D.线段例1.变式2.如图所示的图形是由棋子围成的正方形图案，图案的每条边有4个棋子，这个图案有条对称轴.例1.变式3.如图所示的方格纸中，请你把任意五个方格涂黑，使这五个方格构成一个轴对称图形(图形不能重复，至少设计三个)二、探索轴对称的性质（一）轴对称的性质（共4小题，每题3分，题组共计12分）例2.下列说法：①长方形的对称轴有两条；②角是轴对称图形，它的平分线就是它的对称轴；③两点关于连接它们的线段的垂直平分线对称.其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.0个例2.变式1.如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，且∠A=78°,∠C'=48°,则∠B的度数为()A.48°B.54°C.74°D.78°例2.变式2.如图所示，AC垂直平分线段BD，若AB=3cm，CD=5cm，则四边形ABCD的周长是()A.11cmB.13cmC.16cmD.18cm例2.变式3.如图，把一张长方形纸ABCD折叠,使点C与点A重合，折痕为EF.如果∠DEF=123°,那么∠BAF=.（三）轴对称的性质及应用（共4小题，每题3分，题组共计12分）例3.轴对称图形对应点连线被,对应角、对应线段都.例3.变式1.如图，∠AOB内有一点P，分别画出P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2=5cm，则△PMN的周长为多少?例3.变式2.如图，将长方形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落到点B'的位置，AB'与CD交于点E，若AB=8，AD=3，则图中阴影部分的周长为()A.16B.19C.22D.25例3.变式3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AB上，连接CD，将△BCD沿CD翻折得到△ECD，使DE∥AC，CE交AB于点F，若∠B=α，则∠ADC的度数是(用含α的代数式表示).三、简单的轴对称图形（一）等腰三角形的性质（共4小题，每题3分，题组共计12分）例4.等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是()A.过顶点的直线B.底边上的高C.腰上的高所在的直线D.顶角平分线所在的直线例4.变式1.等边三角形对称轴的条数是()A.1B.2C.3D.4例4.变式2.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是()A.6B.7C.8D.9例4.变式3.等腰三角形中有一个角是50°，那么这个等腰三角形的底角是.（二）等腰三角形的性质二（共4小题，每题3分，题组共计12分）例5.下列说法中正确的是()A.关于某条直线对称的两个三角形是全等三角形B.全等三角形一定是关于某条直线对称的C.两个图形关于某条直线对称,则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧D.若A，B两点关于直线MN对称，则AB垂直平分MN例5.变式1.如图，BD是△ABC的角平分线，∠ABD=36°，∠C=72°，则图中的等腰三角形有个.例2.变式2.如图，在△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=.例5.变式3.有一个三角形的支架如图所示，AB=AC，小明过点A和BC边的中点D又架了一个细木条，经测量∠B=30°,你在不用任何测量工具的前提下,能得到∠BAD和∠ADC的度数吗?（三）线段和角的轴对称性（共4小题，每题3分，题组共计12分）例6.如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，已知PE=3，则点P到AB的距离是()A.3B.4C.5D.6例6.变式1.如图所示，下列推理中正确的个数是()①因为OC平分∠AOB，点P，D，E分别在OC，OA，OB上，所以PD=PE；②因为P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，所以PD=PE；③因为P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，且OC平分∠AOB，所以PD=PE.A.0B.1C.3D.4例6.变式2.小明把一张长方形的纸对折了两次，如图所示，使A，B都落在DC上，折痕分别是DE，DF,则∠EDF的度数为.例6.变式3.如图，已知△ABC中，DE垂直平分AC，且交AC于点E，交BC于点D，△ABD的周长是20，AC=8，你能计算出△ABC的周长吗？（四）等腰(边)三角形的性质的综合应用（共4小题，每题3分，题组共计12分）例7.在△ABC中，若BC=AC，∠A=58°，则∠C=,∠B=.例7.变式1.等边三角形的两条中线相交所成的钝角度数是.例7.变式2.如图P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，则∠BAC=.例7.变式3.如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC<BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等.（1）用直尺和圆规，作出点D的位置(不写作法,保留作图痕迹)；（2）连接AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数.（五）轴对称图形的综合运用（共4小题，每题3分，题组共计12分）例8.如图所示，△ABC中，∠B与∠C的平分线相交于点O，过点O作MN∥BC，分别交AB，AC于点M，N，若AB=6cm，AC=9cm，BC=12cm，则△AMN的周长为.例8.变式1.如图所示，将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形有个.例8.变式2.如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，AB+AC+BC=50cm，AB+BD+AD=40cm，则AD=cm.例8.变式3.如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；照这样画下去,直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了,则n=.（六）轴对称图形的综合运用二（共4小题，每题3分，题组共计12分）例9.如图，D，E是△ABC的BC边上的两点，且BD=DE=EC=AD=AE，求∠BAC的度数.例9.变式1.如图，∠1=∠2，AE⊥OB于点E，BD⊥OA于点D，AE，BD交于点C，试说明AC=BC.例9.变式2.如图所示,△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，DE∥AB，AE∥BC，DE与AE交于点E，点G是AE的中点，GF∥DE，EF∥AC，EF交GF于点F，若AB=4cm，则图形ABCDEFG的外围的周长是多少?例9.变式3.如图，△ABC中，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，你能说明DC⊥AC吗?四、利用轴对称进行设计（共4小题，每题3分，题组共计12分）例10.如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是()A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形例10.变式1.如左下图，将一张正方形纸片沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个大小相等的圆洞，最后将正方形纸片展开，得到的图案是右下图中的()例10.变式2.当你面对镜子的时候，右手拿笔向左挥动，对于镜子中的像来说是()A.右手拿笔,向右挥动B.左手拿笔,向左挥动C.右手拿笔,向左挥动D.左手拿笔,向右挥动例10.变式3.某一车牌在平面镜中的像是,则这辆车的实际号码是()。

轴对称典例总结知识点一轴对称及相关概念题型1 轴对称图形的判断例1 判断下列图形是不是轴对称图形。

例2 在图中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其它三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由。

A B．C．D．题型2 找轴对称图形的对称轴例3 如图，判断下列图形是否为轴对称图形，若是，说出有几条对称轴。

题型3 判断两个图形是否成轴对称例4 下列各选项中，右边图形与左边图形成轴对称的是（）DCBA例5 如图，若⊿ABC 和⊿A ˊB ˊC ˊ沿着直线l 对折后能够完全重合，我们说这两个图形关于这条直线对此，也就是说这两个三角形成________，直线l 叫做它们的_______，点B 和点B ˊ叫做_______，AC=_______，∠A=________。

lB 'C'A 'CBA例6．下列图形中，有且只有三条对称轴的是（ ）A ．B ．C ．D ．知识点二 线段的垂直平分线线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 题型1 线段垂直平分线的性质例7 如图，有一块三角形田地，AB=AC=10m ，作AB 的垂直平分线ED 交AC 于D ，交AB 于E ，量得△BDC 的周长为17m ，请你替测量人员计算BC 的长。

例8 如图，在△ABC 中，∠BAC=120°，若DE ，FG 分别垂直平分AB ，AC ，△AEF 的周长为10cm ，求∠EAF 的度数及BC 的长。

CFEBGDA题型2 线段垂直平分线的判定例9 如图，△ABC 的边AB 、BC 垂直平分线PM 、PN 交于点P 。

求证：P 在AC 的垂直平分线上。

例10 如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，AD 平分∠BAC ，且DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，连接EF 交AD 于点G 。

求证：AD 垂直平分EF 。

题型3 利用线段垂直平分线的性质作图例11 如图，A ，B 表示公路同侧的两个城镇，l 表示笔直的公路，现要在公路旁建一信号站，使信号站与两个城镇的距离相等，信号站应建在什么地方？例12 某地有两所大学和两条相交叉的公路，如图，点M ，N 表示大学，AO ，BO 表示公路，现计划修建一座仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等。

图形折叠中的启示——轴对称例1如图 1，矩形纸片ABCD中，AB=3厘米，BC＝4厘米．现将A，C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF．试确定重叠部分△AEF的面积．分析通过折叠以后，我们看到直角梯形ECDF变为直角梯形EAGF．△CDF变为△AGF．换句话说EF所在直线是它们的对称轴，在折纸操作中隐含着轴对称这种图形的运动．解设CE＝x，则AE=AF＝x，BE=4-x．在Rt△，ABE中，AE2=AB2+BE2，即 x2=32＋(4－x)2．通过例1，我们看到折纸是具体实现轴对称的一种形式．一般情况下，关于某条直线为轴对称的两个图形是全等的．通过轴对称这种运动可以将在对称轴一侧的某个图形全等地变到对称轴另一侧的半平面上，达到使本来分散的图形的元素相对集中，从而便于我们揭示其中隐藏的关系．例2点M是凸四边形ABCD的BC边的中点．∠AMD＝120°，些线段相对集中．将△ABM沿AM对折压平到△AB′M的位置．将△CDM沿DM对折压平到△DC′M的位置．这样△AB′M≌△ABM，△MC′D≌△MCD．连结B′C′．由于∠AMD＝120°，所以∠AMB＋∠DMC＝180°-120°＝60°．从而∠B′MA＋∠C′MD＝60°．因此，∠B′MC′=120°-(∠B′MA＋∠C′MD)＝120°－60°＝60°．AB′＋B′C′＋CD≥AD，以上的分析加以简化就是本题的证明．例3如图3，∠POQ=20°，A为OQ上一点，B为OP上一点且OA＝1，OB＝2，在OB上取点A1，在AQ上取点A2．设l =AA1＋A1A2+A2B．求l的最小值．分析要求l=AA1＋A1A2＋A2B的最小值．设法将AA1，A1A2，A2B变位后与一条固定线段相比较，利用“两点间直线段最短”的原理去求解．再由20°角为60°角便于证明．解以OP所在直线为对称轴，作∠POQ的轴对称图形∠POQ0．以OQ所在直线为对称轴，作∠QOP的轴对称图形∠QOP0．这时，A关于OP的对称点为OQ0上的A0点，B关于OQ的对称点为OP0上的B0点． OA0=1，OB0=2，∠A0OB0＝60°．由轴对称性知 A0A1=AA1，B0A2=BA2．所以l=AA1＋A1A2＋A2B=A0A1＋A1A2＋A2B0≥A0B0．因此l的最小值为A0B0的长．问题归结为△A0OB0中，OA0＝1，OB0＝2，∠A0OB0＝60°，求A0B0．对于初二同学可以这样求解，作△A′B′O′，使∠O′A′B′＝90°，O′A′=1，O′B′=2，则∠A′O′B′=60°．(如图4所示)由勾股定理得又△A0OB0与△A′O′B′中，OA0＝A′O′=1，OB0＝O′B′＝2，∠A0OB0＝0∠A′O′B′＝60°．例4矩形ABCD中，AB＝20厘米，BC＝10厘米，若在AC，AB上各取一点M、N，使得BM＋MN的值最小，求这个最小值．解作B关于AC的对称点B′，连结AB′．则N点关于AC的对称点在AB′上的N′点．这时，B到M到N的最小值等于B→M→N′的最小值．等于B到AB′的距离BH′．即BM+MN的最小值为BH′．现在求BH′的长，设AB′与DC交于P点，连结BP，则△ABP的面积等于注意到PA=PC．(想想为什么？)设 AP＝x，则PC=x， DP＝ 20－x．所以由勾股定理，得PA2=DP2＋DA2即 x2＝(20－x)2+102，x2＝400－40x+x2＋100，解得 x=12．56(厘米)．即BM＋MN的最小值是 16厘米．光线折射、打台球弹子折射都有入射角等于反射角，其中都与轴对称相联系．例5在台球桌矩形，ABCD上，放有两个球P和Q，恰有∠PAB和∠QAD相等．如果打击球P使它撞在AB的M点反弹后撞到球Q，其路线记为P→M→Q；如果打击球 Q，使它撞在AD的N点反弹后撞到球P，其路线记为Q→N→P．证明 P→M→Q与Q→N→P 的路线长相等．解台球P撞AB于M反弹打到Q，满足∠PMB=∠QMA，即对P的路线是作P关于BA 的对称点P1，连结P1Q交 BA于 M点，则 P→M→Q为球P的路线．再作Q关于AD的对称点Q1连结PQ1交AD于N点，则 Q→N→P为球Q的路线．由对称性，知P1A=PA，Q1A=QA．∠3＝∠1 ＝∠2＝∠4．PM＋MQ=P1M＋MQ＝P1Q，QN＋NP＝Q1N＋NP=Q1P．因此，要证P→M→Q与Q→N→P的路线长相等，即证明PM＋MQ＝QN＋NP．也就是要证P1Q=Q1P．在△P1AQ与△PAQ1中，∵ P1A＝PA，QA＝Q1A，∠P1AQ＝∠3＋∠BAQ＝∠2+∠BAQ＝90°，而∠PAQ1=∠PAD+∠4=∠PAD+∠1=90°，∴∠P1AQ＝∠PAQ1，∴△P1AQ≌△PAQ1(边，角，边)，∴P1Q=Q1P．所以P→M→Q与Q→N→P的路线长相等．例6 A、B、C三个村庄在一条东西向的公路沿线上，如图8，AB=2千米，BC＝3千米．在B村的正北方有一个D村，测得∠ADC＝45°．今将△ACD区域规划为开发区，除其中4平方千米的水塘外，均作为建筑或绿化用地．试求这个开发区的建筑及绿化用地的面积是多少平方千米？解如图8，作Rt△ADB关于DA所在直线的轴对称图形Rt△ADB1，易知Rt△ADB≌Rt△ADB1．作Rt△CDB关于DC所在直线的轴对称图形Rt△CDB2，易知Rt△CDB≌Rt△CDB2．延长B1A，B2C相交于 E，则B1DB2E是正方形．设BD＝x，则B1D=DB2＝B2E＝EB1=x，AB1=AB=2，CB2＝CB=3，AC=5．∴AE＝x－2，CE＝x-3．在Rt△AEC中，根据勾股定理，得AE2+CE2＝AC2，即 (x－2)2＋(x－3)2＝(2＋3)2．整理，得 x2－5x－6=0，分解因式 (x－6)(x＋1)=0．∵x＞0，则x＋1＞0，∴ x-6＝0，x＝6，即 DB＝6(千米)．由于已知开发区中有4平方千米的水塘，所以这个开发区的建筑及绿化用地面积是15－4＝11(平方千米)．例7单位正方形周界上任意两点之间连一条曲线，如果它把这个正方形分成两个面积相等的部分．试证这个曲线长度不小于1．提示分三种情况讨论．(1)“周界任两点”在正方形一组对边上，如图9(a)，显然结论成立即l≥1．(2)“周界任意两点”在正方形一组邻边上，可连对角线MN，如图9(b)．曲线l必与对角线相交，(如若不然，与这曲线平分正方形面积不苻)．从N开始B1为正方形一组对边上的点，问题转化为(1)的情形，得l≥1．(3)“周界任二点”在正方形同一边上时，如图9(c)，连一组对边中点连线，经过轴对称化归为(1)的情形，参照图9(c)，请读者写出证明．综合(1)，(2)，(3)可得命题成立．在轴对称图形中，经常想到设法利用轴对称性添加辅助线，会使我们证题思路开阔起来．。

轴对称例1.如图是由两个等边三角形组成的图形，它是轴对称图形吗？如果不是，请移动其中一个三角形，使它与另一个三角形一起组成轴对称图形，有几种移法？（至少画四种，相同类型的算一种），怎样移动才能使所构成的图形具有尽可能多的对称轴？解：不是。

有以下几种移动方法（如图所示），其中，第3个图的对称轴最多。

例2. 如图所示，C是线段AB的垂直平分线上的一点，垂足为D，则下列结论中正确的有（）A.AD＝BD；②AC＝BC；③∠A＝∠B；④∠ACD＝∠BCD；⑤∠ADC＝∠BDC＝90°A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个分析：由垂直平分线的定义可以直接得出①和⑤；由垂直平分线的性质可得出②；由△ADC≌△BDC可得到③和④。

解：D例3. 写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标。

（－2，3），（1，－2），（－2，－4），（0，2）。

例4.（2007年烟台）生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的反面）：例5. 如图所示，已知线段AB，画出线段AB关于直线l的对称图形。

解：（1）画出点A关于直线l的对称点A'；（2）画出点B关于直线l的对称点B'：（3）连结A'B'，则线段A'B'即为所求。

例6.要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水（如图）。

修在河边什么地方，可使所用水管最短？解：设张村为点A，李庄为点B，张村和李庄这一侧的河岸为直线l。

（1）作点B关于直线l的对称点，（2）连结，交直线l于点C，点C就是所求的水泵站的位置。

（如图所示）1. 下列说法错误的是（）A. 关于某直线对称的两个图形一定能完全重合B. 全等的两个三角形一定关于某直线对称C. 轴对称图形的对称轴至少有一条D. 线段是轴对称图形2. 轴对称图形的对称轴是（）A. 直线B. 线段C. 射线D. 以上都有可能3. 下面各组点关于y轴对称的是（）A. （0，10）与（0，－10）B. （－3，－2）与（3，－2）C. （－3，－2）与（3，2）D. （－3，－2）与（－3，2）*4. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. 一条线段B. 两条相交直线C. 有公共端点的两条相等的线段D. 有公共端点的两条不相等的线段5. （2007年河南）如图，ΔABC与ΔA'B'C'关于直线l对称，则∠B的度数为（）A. 30°B. 50°C. 90°D. 100°6. （2008年江苏苏州）下列图形中，是轴对称图形的是（）*7. （2008年武汉）如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，若∠AFC＋∠BCF ＝150°，则∠AFE＋∠BCD的大小是（）A. 150°B. 300°C. 210°D. 330°**8. （2008年全国数学竞赛浙江预赛）如图，直线l1与直线l2相交，∠α＝60°，点P在∠α内（不在l1，l2上）。