给定一棵二叉搜索树的先序遍历序列,要求你找出任意两结点的最近公共祖先结点(简称

二叉树相关的面试题一、二叉树面试题常见类型1. 二叉树的概念二叉树就是每个节点最多有两个子树的树结构，这两个子树被分别称为左子树和右子树。

比如说，我们可以想象成一棵家族树，一个爸爸最多有两个孩子，左孩子和右孩子，这就是二叉树的基本概念啦。

2. 二叉树的遍历有前序遍历、中序遍历和后序遍历哦。

前序遍历就是先访问根节点，再访问左子树，最后访问右子树。

就像我们去旅游先到一个景点的大门（根节点），然后去左边的小景点（左子树），最后去右边的小景点（右子树）。

中序遍历是先左子树，再根节点，最后右子树，这就好比先看左边的小景色，再看大门，最后看右边的小景色。

后序遍历是先左子树，再右子树，最后根节点，就像把两边小景色都看完了，最后再看大门整体的感觉。

3. 二叉树的高度计算二叉树的高度就是从根节点到叶节点最长路径上的节点数。

计算的时候要一层一层地去数，从根开始，一直到最深的叶子那里。

4. 二叉树的平衡判断一棵二叉树是平衡二叉树的话，它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右子树都是平衡二叉树。

这就像两边的孩子不能长得太不均衡啦，一边特别高，一边特别矮可不行。

5. 二叉树的构建可以根据给定的遍历序列来构建二叉树。

比如说给了前序遍历和中序遍历的序列，我们就可以通过分析先确定根节点，再根据中序遍历确定左右子树，然后逐步构建出二叉树。

这就像是根据一些线索去拼凑出一个完整的图形一样有趣。

二、二叉树面试题实例1. 题目：给定一个二叉树的前序遍历序列为[1, 2, 4, 5, 3, 6, 7]，中序遍历序列为[4, 2, 5, 1, 6, 3, 7]，构建出这个二叉树。

解答：首先从前序遍历知道根节点是1，然后在中序遍历中找到1，1左边的[4, 2, 5]就是左子树的中序遍历，右边的[6, 3, 7]就是右子树的中序遍历。

再根据前序遍历中左子树节点的顺序[2, 4, 5]，可以确定2是左子树的根节点，然后继续这样分析下去就可以构建出二叉树啦。

二叉树的遍历题目及答案1. 二叉树的基本组成部分是：根（N）、左子树（L）和右子树（R）。

因而二叉树的遍历次序有六种。

最常用的是三种：前序法（即按N L R次序），后序法（即按L R N 次序）和中序法（也称对称序法，即按L N R次序）。

这三种方法相互之间有关联。

若已知一棵二叉树的前序序列是BEFCGDH，中序序列是FEBGCHD，则它的后序序列必是 F E G H D C B 。

解：法1：先由已知条件画图，再后序遍历得到结果；法2：不画图也能快速得出后序序列，只要找到根的位置特征。

由前序先确定root，由中序先确定左子树。

例如，前序遍历BEFCGDH中，根结点在最前面，是B；则后序遍历中B一定在最后面。

法3：递归计算。

如B在前序序列中第一，中序中在中间（可知左右子树上有哪些元素），则在后序中必为最后。

如法对B的左右子树同样处理，则问题得解。

2.给定二叉树的两种遍历序列，分别是：前序遍历序列：D，A，C，E，B，H，F，G，I；中序遍历序列：D，C，B，E，H，A，G，I，F，试画出二叉树B，并简述由任意二叉树B的前序遍历序列和中序遍历序列求二叉树B的思想方法。

解：方法是：由前序先确定root，由中序可确定root的左、右子树。

然后由其左子树的元素集合和右子树的集合对应前序遍历序列中的元素集合，可继续确定root的左右孩子。

将他们分别作为新的root，不断递归，则所有元素都将被唯一确定，问题得解。

3、当一棵二叉树的前序序列和中序序列分别是HGEDBFCA和EGBDHFAC时，其后序序列必是A. BDEAGFHCB. EBDGACFHC. HGFEDCBAD. HFGDEABC答案：B4. 已知一棵二叉树的前序遍历为ABDECF，中序遍历为DBEAFC，则对该树进行后序遍历得到的序列为______。

A．DEBAFCB．DEFBCAC．DEBCFAD．DEBFCA[解析] 由二叉树前序遍历序列和中序遍历序列可以唯一确定一棵二叉树。

二叉树前中后序遍历做题技巧在计算机科学中，二叉树是一种重要的数据结构，而前序、中序和后序遍历则是二叉树遍历的三种主要方式。

下面将分别对这三种遍历方式进行解析，并提供一些解题技巧。

1.理解遍历顺序前序遍历顺序是：根节点->左子树->右子树中序遍历顺序是：左子树->根节点->右子树后序遍历顺序是：左子树->右子树->根节点理解每种遍历顺序是解题的基础。

2.使用递归或迭代二叉树的遍历可以通过递归或迭代实现。

在递归中，每个节点的处理函数会调用其左右子节点的处理函数。

在迭代中，可以使用栈来模拟递归过程。

3.辨析指针指向在递归或迭代中，需要正确处理指针的指向。

在递归中，通常使用全局变量或函数参数传递指针。

在迭代中，需要使用栈或其他数据结构保存指针。

4.学会断点续传在处理大规模数据时，为了避免内存溢出，可以采用断点续传的方式。

即在遍历过程中，将中间结果保存在文件中，下次遍历时从文件中读取上一次的结果，继续遍历。

5.识别循环和终止条件在遍历二叉树时，要识别是否存在循环，并确定终止条件。

循环可以通过深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）避免。

终止条件通常为达到叶子节点或达到某个深度限制。

6.考虑边界情况在处理二叉树遍历问题时，要考虑边界情况。

例如，对于空二叉树，需要进行特殊处理。

又如，在处理二叉搜索树时，需要考虑节点值的最小和最大边界。

7.优化空间使用在遍历二叉树时，需要优化空间使用。

例如，可以使用in-place排序来避免额外的空间开销。

此外，可以使用懒加载技术来延迟加载子节点，从而减少内存占用。

8.验证答案正确性最后，验证答案的正确性是至关重要的。

可以通过检查输出是否符合预期、是否满足题目的限制条件等方法来验证答案的正确性。

如果可能的话，也可以使用自动化测试工具进行验证。

⼆叉树常见⾯试题（进阶）⼀、常见题型1. 求两个节点的最近公共祖先；2. 求⼆叉树中最远的两个节点的距离；3. 由前序遍历和中序遍历重建⼆叉树（如：前序序列：1 2 3 4 5 6 - 中序序列：3 2 4 1 6 5）；4. 判断⼀棵树是否是完全⼆叉树；5. 将⼆叉搜索树转换成⼀个排序的双向链表。

要求不能创建任何新的结点，只能调整树中结点指针的指向；6.求⼆叉树的宽度；7. 判断⼀棵⼆叉树是否是平衡⼆叉树；8.判断⼀颗⼆叉树是否是另⼀颗树的⼦树。

⼆、解题思路分析1.两个节点的最近公共祖先求两个节点的最近公共祖先可分为三种情况，分别为：（1）求搜索⼆叉树的最近公共祖先。

根据搜索⼆叉树的性质，左⼦树的所有节点⽐根节点⼩，右⼦树的所有节点⽐跟节点⼤。

如果两个节点都⽐根节点⼩，则递归左⼦树；如果两个节点都⽐跟节点⼤，则递归右⼦树；否则，两个节点⼀个在左⼦树，⼀个在右⼦树，则当前节点就是最近公共祖先节点。

1 Node* GetAncestor(Node* root, Node* x1, Node* x2)//1.该⼆叉树为搜索⼆叉树2 {3 assert(x1 && x2);4if (x1->_data <= root->_data && x2->_data <= root->_data)5 {6return GetAncestor(root->_left, x1, x2);//两个节都⼩于根节点，最近公共祖先在左⼦树中7 }8else if (x1->_data > root->_data && x2->_data > root->_data)9 {10return GetAncestor(root->_right, x1, x2);//两个节都⼤于根节点，最近公共祖先在左⼦树中11 }12else13return root; //⼀个在左⼦树，⼀个在右⼦树，找到公共祖先1415 }（2）三叉链，带⽗节点时求最近公共祖先，⼆叉树节点有指向⽗节点的指针。

最近公共祖先（LCA）树中两个节点的公共祖先最近公共祖先 (Lowest Common Ancestor，简称 LCA) 是树中两个节点的公共祖先中离这两个节点最近的一个节点。

在树结构和算法中，寻找最近公共祖先是一项常见的任务，具有很大的实际应用价值。

本文将介绍最近公共祖先树中两个节点的公共祖先的相关知识和算法。

1. 最近公共祖先的定义在树结构中，节点之间存在父子关系。

最近公共祖先是指两个节点在树中的最近的共同祖先，也就是两个节点最低层次的公共父节点。

最近公共祖先的定义在不同的树结构中可能有所不同，但核心概念都是相同的。

最近公共祖先的寻找可以通过遍历树结构和利用树的性质来实现。

2. 二叉树中寻找最近公共祖先的算法二叉树是最常见的树结构之一，因此我们首先介绍在二叉树中寻找最近公共祖先的算法。

最常用的算法是递归算法和迭代算法。

2.1 递归算法递归算法是一种简单且直观的解决方法。

通过从根节点开始递归遍历树的每个节点，找到两个节点的最近公共祖先。

算法步骤如下：- 从根节点开始递归遍历树的每个节点。

- 如果当前节点为空或等于两个给定节点之一，则返回当前节点。

- 在左子树中递归寻找两个给定节点的最近公共祖先。

- 在右子树中递归寻找两个给定节点的最近公共祖先。

- 如果左子树和右子树都找到了最近公共祖先，则当前节点为最近公共祖先。

- 返回最近公共祖先节点。

2.2 迭代算法迭代算法是一种通过迭代遍历树的每个节点来寻找最近公共祖先的方法。

它使用栈或队列来存储节点，以便进行遍历。

算法步骤如下：- 初始化一个栈或队列，并将根节点入栈或入队。

- 循环遍历直到栈或队列为空。

- 弹出栈顶元素或出队头元素作为当前节点。

- 如果当前节点为空，则继续下一次循环。

- 如果当前节点等于两个给定节点之一，则返回当前节点。

- 将当前节点的左子节点入栈或入队。

- 将当前节点的右子节点入栈或入队。

3. 非二叉树中寻找最近公共祖先的算法对于非二叉树结构，最近公共祖先的寻找算法与二叉树有所不同。

阿里巴巴客服面试题及答案面试要通过层层考验，刷题肯定是必不可少的。

这一次面试题，不仅是知识的收获，还将间接地与技术大牛们做了直观的沟通，了解他们的出题思路与考察要点，并加以消化吸收。

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面试题001：如何实现一个高效的单向链表逆序输出？参考答案下面是其中一种写法，也可以有不同的写法，比如递归等。

面试题002：已知sqrt (2)约等于1.414，要求不用数学库，求sqrt (2)精确到小数点后10位。

考察点1.基础算法的灵活应用能力（二分法学过数据结构的同学都知道，但不一定往这个方向考虑；如果学过数值计算的同学，应该还要能想到牛顿迭代法并解释清楚）。

2.退出条件设计。

参考答案1. 已知sqrt(2)约等于1.414，那么就可以在(1.4, 1.5)区间做二分查找，如：a.high=>1.5b.low=>1.4c.mid => (high+low)/2=1.45d. 1.45*1.45>2 ? high=>1.45 : low => 1.45e.循环到c2. 退出条件前后两次的差值的绝对值<=0.0000000001, 则可退出。

代码示例：面试题003：给定一个二叉搜索树(BST)，找到树中第K小的节点。

考察点1. 基础数据结构的理解和编码能力2. 递归使用示例如下图，输入K=3，输出节点值3说明：保证输入的K满足1<=K<=(节点数目）参考答案树相关的题目，第一眼就想到递归求解，左右子树分别遍历。

联想到二叉搜索树的性质，root大于左子树，小于右子树，如果左子树的节点数目等于K-1，那么root就是结果，否则如果左子树节点数目小于K-1，那么结果必然在右子树，否则就在左子树。

因此在搜索的时候同时返回节点数目，跟K做对比，就能得出结果了。

复杂度分析：时间复杂度： O(N），节点最多遍历一遍空间复杂度：O(1），（如果算上递归深度可以当做O(logN)）面试题004：LRU缓存机制。

二叉树先序遍历算法
二叉树先序遍历是一种树的遍历算法，先序遍历过程如下：
1. 先访问根节点；
2. 再访问左子节点；
3. 再访问右子节点；
二叉树先序遍历是一种树状数据结构的深度优先搜索(DFS)算法。

先序遍历对
树状数据结构中的每个节点仅进行一次访问，且访问的次序是从上到下，从左到右的方式。

先序遍历属于深度优先搜索，它以一定的次序访问树或图的每个节点，然后递归访问其子节点，深度优先搜索可以按一定方式去遍历有向图、二叉树等数据结构，对节点都进行一定次序的编号或标签，访问顺序是按从小到大的顺序，从而把BST全部访问一次。

二叉树先序遍历的时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(logn)，应用范围很广，常用于二叉查找树的构造或查找、求树的高度和深度、树的前中后序遍历等，其中在建立二叉查找树时，往往我们都会使用先序遍历；同时，也可用先序遍历来求二叉树的节点数，计算树的深度等。

因此，二叉树先序遍历是一种基本而又重要的数据结构遍历算法，在许多应用
场景中都可以被朂泛使用，深受各个计算机领域的热捧。

数据结构之树的最近公共祖先最近公共祖先的定义应用和算法实现树是一种常见的数据结构，在计算机科学中有着广泛的应用。

树的最近公共祖先是指给定一棵树以及其中的两个节点，找出这两个节点的最近的公共父节点。

本文将介绍最近公共祖先的定义、应用以及一些常见的算法实现。

一、最近公共祖先的定义最近公共祖先(Lowest Common Ancestor, LCA)是指在一个树或者有向无环图中，节点p和节点q之间最近的公共父节点。

最近公共祖先的时间复杂度是O(N)，其中N表示树中节点的数量。

二、最近公共祖先的应用最近公共祖先在计算机科学中有着广泛的应用，例如：1. 二叉树中两个节点的最近公共祖先：在二叉树中，可以通过递归的方式来找到最近公共祖先。

从根节点开始，如果根节点等于节点p 或节点q，或者根节点的左子树中包含节点p或节点q，或者根节点的右子树中包含节点p或节点q，则根节点就是最近公共祖先。

否则，如果节点p和节点q分别在根节点的左右子树中，那么根节点就不是最近公共祖先。

此时，递归地在左子树和右子树中继续寻找最近公共祖先。

2. 并查集中两个元素的最近公共祖先：并查集是一种数据结构，它用于处理节点的合并与查询问题。

在并查集中，每个节点都有一个指向父节点的指针，通过指针的追踪，可以找到节点的祖先。

最近公共祖先的查找可以通过不断向上追溯节点的祖先来实现，直到找到两个节点的公共祖先为止。

3. 最近公共祖先在计算机网络中的应用：在计算机网络中，寻找最近公共祖先可以用来实现路由算法，例如计算两个节点之间的最短路径。

三、最近公共祖先的算法实现1. 二叉树中两个节点的最近公共祖先算法实现：可以通过递归或非递归方式实现二叉树中两个节点的最近公共祖先查找。

递归方法可以按照上述定义进行实现，非递归方法可以使用栈或队列来辅助实现。

2. 并查集中两个元素的最近公共祖先算法实现：并查集可以通过路径压缩和按秩合并的方式来优化查询和合并操作。

在查找最近公共祖先时，可以通过路径压缩的方式将每个节点的父节点直接指向最近公共祖先，以减少查询时间。

最近公共祖先问题LCA2018-03-10 18:04:55在图论和计算机科学中，最近公共祖先，LCA(Lowest Common Ancestor)是指在⼀个树或者有向⽆环图中同时拥有v和w作为后代的最深的节点。

计算最近公共祖先往往是很有⽤的，⽐如在计算树中两个节点的距离的时候，可以分别计算根到各个节点的距离，然后计算根到最近公共祖先的距离，⽤之前的距离和减去2倍的根到最近公共祖先的距离就可以得到两个节点的距离。

计算最近公共祖先问题是⼀个⾮常经典的问题，相关的研究也进⾏了很多年，这类问题的求解⽅法也有很多种，这⾥会对其中的⼀些主流的算法做⼀些介绍。

⼀、⼆叉搜索树中的LCA问题描述：给定⼀个⼆叉搜索树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先。

百度百科中最近公共祖先的定义为：“对于有根树 T 的两个结点 p、q，最近公共祖先表⽰为⼀个结点 x，满⾜ x 是 p、q 的祖先且 x 的深度尽可能⼤（⼀个节点也可以是它⾃⼰的祖先）。

”例如，给定如下⼆叉搜索树: root = [6,2,8,0,4,7,9,null,null,3,5]⽰例 1:输⼊: root = [6,2,8,0,4,7,9,null,null,3,5], p = 2, q = 8输出: 6解释: 节点 2 和节点 8 的最近公共祖先是 6。

⽰例 2:输⼊: root = [6,2,8,0,4,7,9,null,null,3,5], p = 2, q = 4输出: 2解释: 节点 2 和节点 4 的最近公共祖先是 2, 因为根据定义最近公共祖先节点可以为节点本⾝。

说明:所有节点的值都是唯⼀的。

p、q 为不同节点且均存在于给定的⼆叉搜索树中。

问题求解：⼆叉搜索树中的LCA问题可以认为是普通LCA问题的简化版本，因为在⼆叉搜索树中可以通过⽐较数值的⼤⼩来确定当前节点和待查找节点的相对位置关系。

具体来说如下(不妨设v < w):v <= cur <= w :说明v和w位于cur的两侧，或者就是cur，那么cur就是他们的最近公共祖先；cur < v :说明cur ⽐这两个待查找的节点都⼩，也就是说这两个节点都在其右⼦树上，因此递归的在其右⼦树上进⾏查找就可以了；cur > w :同理，只需要递归的在其左⼦树上查找即可。

LCA算法概况CA（Lowest Common Ancestors），即最近公共祖先，是指在有根树中，找出某两个结点u和v最近的公共祖先。

基本介绍LCA（Least Common Ancestors），即最近公共祖先，是指在有根树中，找出某两个结点u和v最近的公共祖先。

对于有根树T的两个结点u、v，最近公共祖先LCA(T,u,v)表⽰⼀个结点x，满⾜x是u、v的祖先且x的深度尽可能⼤。

另⼀种理解⽅式是把T理解为⼀个⽆向⽆环图，⽽LCA(T,u,v)即u到v的最短路上深度最⼩的点。

这⾥给出⼀个LCA的例⼦：对于T=<V,E>V={1,2,3,4,5}E={(1,2),(1,3),(3,4),(3,5)}则有：LCA(T,5,2)=1LCA(T,3,4)=3LCA(T,4,5)=3实现暴⼒/Tarjan/DFS+ST/倍增暴⼒枚举（朴素算法）对于有根树T的两个结点u、v，⾸先将u，v中深度较深的那⼀个点向上蹦到和深度较浅的点，然后两个点⼀起向上蹦，直到蹦到同⼀个点，这个点就是u，v的最近公共祖先，记作LCA（u，v）。

但是这种⽅法的时间复杂度在极端情况下会达到O（n）。

特别是有多组数据求解时，时间复杂度将会达到O（n*m）。

例： [1]在当这棵树是⼆叉查找树的情况下，如下图：那么从树根开始：如果当前结点t ⼤于结点u、v，说明u、v都在t 的左侧，所以它们的共同祖先必定在t 的左⼦树中，故从t 的左⼦树中继续查找；如果当前结点t ⼩于结点u、v，说明u、v都在t 的右侧，所以它们的共同祖先必定在t 的右⼦树中，故从t 的右⼦树中继续查找；如果当前结点t 满⾜ u <t < v，说明u和v分居在t 的两侧，故当前结点t 即为最近公共祖先；⽽如果u是v的祖先，那么返回u的⽗结点，同理，如果v是u的祖先，那么返回v的⽗结点。

[2]C++代码如下：12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19int query(Node t, Node u, Node v) {int left = u.value;int right = v.value;//⼆叉查找树内，如果左结点⼤于右结点，不对，交换 if(left > right) {int temp = left;left = right;right = temp;}while(true) {//如果t⼩于u、v，往t的右⼦树中查找if(t.value < left)t = t.right; //如果t⼤于u、v，往t的左⼦树中查找 else if(t.value > right)t = t.left;elsereturn t.value;}}运⽤DFS序DFS序就是⽤DFS⽅法遍历整棵树得到的序列。

湖南大学2003年数据结构试题注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答题纸上，否则无效一、单项选择题（每小题1分，共15分）1．两个各有n个元素的有序列表并成一个有序表，其最少的比较次数是。

A.nB.2n-1C.2nD.n-12.设循环队列中数组的下标范围是0~ n-1，f表示队首元素的前驱位置，r表示队尾元素的位置，则队列中元素个数为。

A.r-fB.r-f 1C.(r-f 1)mod nD.(r-f n)mod n3.一个5行6列的二维数组s采用从最后一行开始，每一行的元素从右至左的方式映射到一维数组a 中，s和a的下标均从0开始，则s[3][3]在a中的下标是。

A．7 B. 8 C. 9 D. 104．设只含根结点的二叉树的高度为1，则高度为n的二叉树中所含叶子结点的个数最多为个。

A．2n B.n C.2n -1 D.2n-15．设高度为h的二叉树上只有度为0和度为2的结点，则此二叉树中所包含的结点数至少为个（设只含根结点的二叉树的高度为1）。

A.2h B 2h-1 C.2h 1 D.h 16.对一棵二叉检索树进行得到的结点序列是一个有序序列。

A．前序周游B. 中序周游C.后序周游D. 层次周游7．一棵前序序列为1，2，3，4的二叉树，其中序序列不可能是。

A．4,1,2,3 B.4,3,2,1 C.2,4,3,1 D.3,4,2,18．下列编码中不是前缀码。

A．{00，01，10，11} B．{0,1,00,11}C．{0，10，110，111} D．{10，110，1110，1111}9．在含n个顶点和e条边的有向图的邻接矩阵中，零元素的个数为.A．e B．2e C．n2-e D．n2-2e10．具有n个顶点和e条边的图的深度优先搜索算法的时间复杂度为A．O(n) B．O(n3) C．O(n2) D．O(ne)11.如果具有n个顶点的图是一个环，则它有棵生成树。

A．n B．n l C．n-l D．2n12堆排序算法在平均情况下的时间复杂度为。

写出下图所示二叉树按前序、中序、后序和层次遍历得到的结点序列前序遍历将根节点放在序列最前面，然后按照“根节点->左子树->右子树”的顺序遍历二叉树。

根据给定的二叉树，前序遍历得到的结点序列为：A。

B。

D。

H。

I。

E。

C。

F。

G.中序遍历是一种二叉树遍历的方法。

它的遍历顺序是先遍历左子树，然后是根节点，最后遍历右子树。

根据给定的二叉树，中序遍历得到的结点序列为：H。

D。

I。

B。

E。

A。

F。

C。

G.前序遍历先遍历根节点，再遍历左子树，最后遍历右子树。

根据给定的二叉树，前序遍历得到的结点序列为：A。

B。

D。

H。

I。

E。

C。

F。

G.中序遍历先遍历左子树，再遍历根节点，最后遍历右子树。

根据给定的二叉树，中序遍历得到的结点序列为：H。

D。

I。

B。

E。

A。

F。

C。

G.后序遍历先遍历左子树，再遍历右子树，最后是根节点。

根据给定的二叉树，后序遍历得到的结点序列为：H。

I。

D。

E。

B。

F。

G。

C。

A.层次遍历从上至下逐层遍历二叉树的节点。

根据给定的二叉树，层次遍历得到的结点序列为：A。

B。

C。

D。

E。

F。

G。

H。

I.前序遍历前序遍历是指先访问根节点，然后按照先左后右的顺序遍历左子树和右子树的操作。

根据给定的二叉树，前序遍历得到的结点序列为：A。

B。

D。

H。

E。

I。

C。

F。

G.中序遍历中序遍历是指先遍历左子树，然后访问根节点，最后遍历右子树的操作。

根据给定的二叉树，中序遍历得到的结点序列为：H。

D。

B。

I。

E。

A。

F。

C。

G.后序遍历后序遍历是指先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根节点的操作。

根据给定的二叉树，后序遍历得到的结点序列为：H。

D。

I。

E。

B。

F。

G。

C。

A.层次遍历层次遍历是从上到下，从左到右依次遍历每一层的节点。

根据给定的二叉树，层次遍历得到的结点序列为：A。

B。

C。

D。

E。

F。

G。

H。

I.Binary Tree](binary_tree.png)Binary Tree](binary_tree.png)。

二叉排序树例题二叉排序树的例题二叉排序树（Binary Search Tree）又称二叉查找树或二叉搜索树，是一种特殊的二叉树结构。

在二叉排序树中，每个节点的值大于其左子树中任意节点的值，且小于其右子树中任意节点的值。

这种特性使得二叉排序树成为一种高效的数据结构，可用于解决许多实际问题。

下面将通过一个实例来演示如何构建和操作二叉排序树。

【例题】给定一组整数序列：8, 3, 10, 1, 6, 14, 4, 7, 13。

请按照以下步骤，构建一个二叉排序树。

Step 1: 创建根节点将第一个元素作为根节点，即：8。

此时二叉排序树如下所示：8Step 2: 插入节点依次将剩余的元素按照二叉排序树的规则插入到树中。

- 插入节点3：将3与根节点8比较，由于3小于8，故插入到8的左子树。

此时二叉排序树如下所示：83- 插入节点10：将10与根节点8比较，由于10大于8，故插入到8的右子树。

此时二叉排序树如下所示：8/ \3 10- 插入节点1：将1与根节点8比较，由于1小于8，故插入到3的左子树。

此时二叉排序树如下所示：8/ \3 10/1- 插入节点6：将6与根节点8比较，由于6小于8，故插入到3的右子树。

此时二叉排序树如下所示：/ \3 10/ \1 6- 插入节点14、4、7、13：依次按照二叉排序树的规则将14、4、7、13插入到对应的位置。

最终，构建完成的二叉排序树如下所示：8/ \3 10/ \ \1 6 14/ /4 13\7至此，我们通过插入一组整数序列，成功构建了一个二叉排序树。

二叉排序树的应用十分广泛，其中一个重要应用领域是快速查找。

由于二叉排序树具有严格的有序性，可以通过对树的遍历来快速查找所需元素。

例如，在上述构建的树中，我们可以通过以下步骤来查找节点6：Step 1: 比较根节点将6与根节点8比较，由于6小于8，故继续在左子树中查找。

Step 2: 比较子节点将6与左子节点3比较，由于6大于3，故继续在右子树中查找。

2014年全国硕士研究生入学考试招生单位自命题科目A卷861（A卷）第1 页，共3 页安徽工业大学2014年硕士研究生招生专业基础课试卷（A卷）科目名称：数据结构科目代码： 861 满分： 150分考生请注意：所有答案必须写在答题纸上，做在试题纸或者草稿纸上的一律无效！一、在下面每小题选择一个最佳答案(每小题2分，共40分)1、下列序列中，_________是堆。

A）(100,80,55,60,50,40,58,35,20) B） (100,80,55,60,50,40,35,58,20) C）(100,80,55,58,50,40,60,35,20) D）(100,70,55,60,50,40,58,35,20) 2、最短路径的Floyd算法的时间复杂度为______。

A) Ｏ(n) B) Ｏ(n+e) C) Ｏ(n2) D)Ｏ(n3)3、线性表若采用链表存储结构时，要求内存中可用存储单元的地址。

A）必须是不连续的 B）必须是连续的C）连续与否都可以 D）部分地址必须是连续的4、设F是一个森林，B是由F转换得到的二叉树，F中有n个非终端结点，B中右指针域为空的结点有个。

A） n-1 B） n C） n+1 D） n+25、一个图中包含k个连通分量，若按深度优先（DFS）搜索方法访问所有结点，则必须用次深度优先遍历算法。

A）k B）1 C）k-1 D）k+16、表达式a*(b+c)-d的后缀表达式是。

A）abcd*+- B）abc+*d- C）abc*+d- D）-+*abcd7、采用邻接表存储的图的深度优先遍历算法类似于二叉树的算法。

A）先序遍历 B）中序遍历 C）后序遍历 D）按层遍历8、初始序列已经有序，用直接插入排序算法进行排序，需要比较的次数为。

A）n2 B）3(n-1) C）n-1 D）n9、二叉树在线索化后，下列问题中相对较难解决的是。

A）先序线索二叉树中求先序后继 B）中序线索二叉树中求中序后继C）中序线索二叉树中求中序前趋 D）后序线索二叉树中求后序后继10、已知表A中每个元素距其最终位置不远，采用方法最节省时间。

二叉树两节点的最短距离二叉树中两个节点的最短距离，指的是这两个节点之间经过的边的数量最少。

我们可以使用深度优先搜索（DFS）来解决这个问题。

具体的解题思路如下：1. 首先判断两个节点是否存在于树中，若其中一个节点不存在，则返回-1。

2. 如果两个节点相等，则它们之间的最短距离为0。

3. 否则，求出从根节点到这两个节点的路径长度，并分别保存在路径1和路径2中。

4. 对路径1和路径2进行遍历，找到它们的最近公共祖先节点。

假设最近公共祖先节点为LCA（Lowest Common Ancestor）。

5. 计算节点1到LCA的距离和节点2到LCA的距离，将这两个距离相加，即为节点1和节点2之间的最短距离。

下面是用伪代码表示的具体实现过程：```function findShortestDistance(root, node1, node2):if root is null or node1 is null or node2 is null:return -1if node1 == node2:return 0path1 = findPath(root, node1) # 从根节点到节点1的路径 path2 = findPath(root, node2) # 从根节点到节点2的路径if path1 is null or path2 is null:return -1lca = findLowestCommonAncestor(path1, path2) # 最近公共祖先节点distance1 = calculateDistance(path1, lca) # 节点1到最近公共祖先节点的距离distance2 = calculateDistance(path2, lca) # 节点2到最近公共祖先节点的距离return distance1 + distance2function findPath(root, target):if root is null:return nullif root == target:return [root]leftPath = findPath(root.left, target)rightPath = findPath(root.right, target)if leftPath is not null:leftPath.append(root)return leftPathif rightPath is not null:rightPath.append(root)return rightPathreturn nullfunction findLowestCommonAncestor(path1, path2):node = nullindex1 = length(path1) - 1index2 = length(path2) - 1while index1 >= 0 and index2 >= 0:if path1[index1] != path2[index2]:breaknode = path1[index1]index1 = index1 - 1index2 = index2 - 1return nodefunction calculateDistance(path, target):distance = 0for node in path:distance = distance + 1if node == target:breakreturn distance```通过以上的算法，我们可以找到二叉树中任意两个节点之间的最短距离。

设顺序存储的二叉树中有编号为i和j的两个结点,请设计算法求出它们最近的公共祖先
解析
顺序存储的二叉树是一种特殊的二叉树，其中节点数据按照从上
到下、从左到右的顺序存储。

在顺序存储的二叉树中，有编号为i和j 的两个结点，求出它们最近的公共祖先的算法是：
1. 根据结点编号i和j，查找在顺序存储的二叉树中它们的父节点的编号。

2. 向上，递归查找各节点的父节点，当遇到编号相同的结点时，即为它们最近的公共祖先。

3. 查找过程中可能会遇到根节点，此时如果父节点不重复，则
结束查找过程，否则，说明此节点为它们最近的公共祖先。

下面通过一个例子来说明求最近公共祖先的算法的具体实现，
/ \
1 2
/ \ / \
3 4 5 6
/ \ / \
7 8 9 10
假如我们要求出编号为3和7最近的公共祖先，首先我们查找结
点3和7分别的父节点，可以得到它们的父节点分别为1和3，接着将
1和3向上递归查找，可以得到它们的共同父节点为0，查找过程结束，因而得到结点3和7最近的公共祖先为0。

总之求出编号为i和j的两个结点的最近公共祖先的算法是：依
次查找两个结点的父节点，然后递归查找，当遇到编号相同的结点时，即为它们最近的公共祖先。

先序遍历算法范文
先序遍历是一种二叉树的遍历算法，它的基本思想是先访问根节点，然后递归地先序遍历左子树，最后递归地先序遍历右子树。

具体的步骤如下：
1.如果当前节点为空，则返回。

2.访问当前节点。

3.递归地先序遍历当前节点的左子树。

4.递归地先序遍历当前节点的右子树。

通过以上四个步骤，可以完成对二叉树的先序遍历。

先序遍历的时间复杂度是O(n)，其中n是二叉树中节点的个数。

因为对于每个节点，都需要访问一次，所以总的时间复杂度是O(n)。

下面是一个示例：
假设有如下的二叉树：
```
A
/\
BC
/\\
DEF
```
按照先序遍历的算法，遍历过程如下：
1.访问节点A。

2.递归地先序遍历节点B。

1.访问节点B。

2.递归地先序遍历节点D。

1.访问节点D。

2.递归地先序遍历节点E。

1.访问节点E。

3.递归地先序遍历节点E。

1.访问节点E。

3.递归地先序遍历节点C。

1.访问节点C。

2.递归地先序遍历节点F。

1.访问节点F。

所以，按照先序遍历的顺序，访问的节点依次为：A,B,D,E,C,F。

先序遍历的应用非常广泛，它可以用于构建二叉树的表示、遍历二叉树、查找二叉树中的一些节点等问题。

在实际应用中，我们可以使用递归或者栈来实现先序遍历算法。

面试常问的经典算法题1.翻转字符串：给定一个字符串，将其翻转。

例如，输入 'hello world'，输出 'dlrow olleh'。

2. 斐波那契数列：给定一个数 n，求出斐波那契数列的第 n 项。

斐波那契数列是指：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……，其中每一项等于前两项的和。

3. 二叉树的遍历：给定一个二叉树，编写程序实现前序遍历、中序遍历和后序遍历。

4. 查找两个有序数组的中位数：给定两个有序数组 nums1 和nums2，长度分别为 m 和 n，找出这两个数组的中位数。

要求算法的时间复杂度为 O(log(m + n))。

5. 最长公共子序列：给定两个字符串，找出它们的最长公共子序列。

例如，对于字符串 'ABCD' 和 'AEFC'，它们的最长公共子序列是 'AC'。

6. 最大子序和：给定一个数组，找出其中连续子数组的最大和。

例如，对于数组 [-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4]，其最大子序和为 6。

7. 二叉搜索树的最近公共祖先：给定一个二叉搜索树和两个节点 p、q，找出它们的最近公共祖先。

要求算法的时间复杂度为 O(log n)。

8. 判断是否为回文数：给定一个整数，判断它是否为回文数。

例如，输入 121，输出 true；输入 -121，输出 false。

9. 排列组合问题：给定一个集合，求出它的所有排列组合。

例如，对于集合 {1, 2, 3}，其所有排列组合为 {1, 2, 3}、{1, 3, 2}、{2, 1, 3}、{2, 3, 1}、{3, 1, 2} 和 {3, 2, 1}。