江苏省盐城市2011届高三数学调研考试试卷

盐城市2011届高三第二次调研考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分，不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上。

1、复数i z +=2的共轭复数为 ▲ .2、已知集合A={x|x+1>0}，B={x|x-3<0}，则=⋂B A ▲ .3、从{1，2，3}中随机选取一个数a ，从{2，3}中随机取一个数b ，则b>a 的概率是 ▲ .4、已知a ，b ，c 是非零实数，则“a,b,c 成等比数列”是ac b =的 ▲ 条件（从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）.5、将参加数学夏令营的100名同学编号为001，002，……100，现采用系统抽样方法抽取一个容量为25的样本，且第一段中随机抽得号码为004，则在046至078号中，被抽中的人数为 ▲ .6、如图，运行伪代码所示的程序，则输出的结果是 ▲ .7、函数)32cos()62sin(ππ-++=x x y 的最大值为 ▲ .8、已知公差不为零的等差数列{}n a 满足931,,a a a 成等比数列，{}n S 为数列{}n a 的前n 项和，则67911S S S S --的值是 ▲ .9、已知命题：“若x ⊥y,y ∥z ，则x ⊥z ”成立，那么字母x,y,z 在空间所表示 的几何图形有可能是：①都是直线；②都是平面；③x ，y 是直线，z 是平面； ④x ，z 是平面，y 是直线。

上述判断中，正确的有 ▲ （请你将认为正确 的判断序号都填上）.10、已知函数b x a x f x+-=)(的零点))(1,(0Z k k k x ∈+∈，其中常数a ，b 满足 493,23==ba，则k= ▲ . 11、在平面直角坐标系xoy 中，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，右顶点为A ，P 是椭圆上一点，L 为左准线，PQ ⊥L 垂足为Q ，若四边形PQFA 为平行四边形，则椭圆的离心率e 的取值范围是 ▲.12、如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD=DC=1， AB=3，动点P 在△BCD 内运动（含边界），设 ),(R ∈+=βαβα，则βα+的取值范围是 ▲ . 13、已知函数12)(,1)(332++-=++=a a x x g a x x x f 若存在， )1(,1,21>⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈a a a ξξ，使得9|)()(|21≤-ξξf f ，则a 的取值范围是 ▲ .14、已知函数∑∑==----===nk nnk n nn k g n k f S x x g x x f 2121)2)1((21)2)1((2,sin )(,cos )(ππ记11,.....21<+++=m m m T S S S T 若，则m 的最大值为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，计90分。

数学试题（理科）参考答案一、填空题1．(,0)(2,)-∞+∞ 2．2 3．3 4．{}0,1,3,4,6 5．7 6．[)0,1 7．213a -<<8．13m ≤≤ 9．01a ≤≤ 10．3 11．)( 12．1 13．13 14．915 二、解答题15．（1）A={x|0<x≤1} B={y|y≥43} （2）A B=[1,43] A C R B=（0,43） 16．解：（1） 函数bx ax x f ++=21)(是奇函数，则)()(x f x f -=-()0,,0,1122=∴--=+-∴≠++-=+--+∴b b x b x a b x ax b x x a ………（3分）又函数)(x f 的图像经过点（1，3），,0,311,3)1(==++∴=∴b b a f∴a=2 ……（6分） （2）由（1）知()01221)(2≠+=+=x xx x x x f ………（7分） 当0>x 时，,2212212=⋅≥+xx x x 当且仅当,12x x = 即22=x 时取等号…（10分） 当0<x 时，()()2212,2212212-≤+∴=-⋅-≥-+-xx x x x x 当且仅当,1)2(x x -=-即22-=x 时取等号……………（13分） 综上可知函数)(x f 的值域为(][)+∞⋃-∞-,2222,…………（12分） 17．依题意，得.32,113,4tan)1(==-='m m f 即π 因为.31,)1(-==n n f 所以…………6分（II ）令.22,012)(2±==-='x x x f 得…………8分 当;012)(,2212>-='-<<-x x f x 时当;012)(,22222<-='<<-x x f x 时 当;012)(,3222>-='<<x x f x 时 又.15)3(,32)22(,32)22(,31)1(=-==-=-f f f f因此， 当.15)(32,]3,1[≤≤--∈x f x 时…………12分要使得不等式]3,1[1993)(-∈-≤x k x f 对于恒成立，则.2008199315=+≥k 所以，存在最小的正整数.2008=k 使得不等式]3,1[1993)(-∈-≤x k x f 对于恒成立18．（1）由(0)22f c ==可知，……………………………1分又{}2A 1212(1)0.ax b x c =+-+=，，故，是方程的两实根1-b 1+2=a ,c2=a⎧⎪⎪∴⎨⎪⎪⎩…………………3分 1,2a b ==-解得…………4分[]22()22(1)1,2,2f x x x x x ∴=-+=-+∈-min 1()(1)1,1x f x f m ====当时，即……………………………5分max 2()(2)10,10.x f x f M =-=-==当时，即……………………………6分 （2）2(1)0ax b x c +-+=由题意知，方程有两相等实根x=2, x=1∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+a c a b 2111， 即⎩⎨⎧=-=a c a b 21 ……………………………8分 ∴f （x ）=ax 2+（1-2a ）x+a, x ∈[-2,2] 其对称轴方程为x==-a a 214-1a 21又a≥1，故1-⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,2121a ……………………………9分∴M=f （-2）=9a-2 …………………………10分 m=aa a f 411)212(-=- ……………………………11分g （a ）=M+m=9a-a 41-1 ……………………………14分[)min 63()1,1().4g a a g a +∞∴==又在区间上为单调递增的，当时，=431 ………16分 19．由于,AMDC AN DN =则AM ＝32x x -故S AMPN ＝AN •AM ＝232x x - …………4分 （1）由S AMPN > 32 得 232x x - > 32 ，因为x >2，所以2332640x x -+>，即（3x －8）（x －8）> 0 从而8283x x <<> 或 即AN 长的取值范围是8(2)(8)3∞ ，，+…………8分（2）令y ＝232x x -，则y′＝2226(2)334)(2)(2)x x x x x x x ---=--（ ………… 10分 因为当[3,4)x ∈时，y′< 0，所以函数y ＝232x x -在[3,4)上为单调递减函数， 从而当x ＝3时y ＝232x x -取得最大值，即花坛AMPN 的面积最大27平方米，此时AN ＝3米，AM=9米 …………15 20．1）当0b =时，()24f x ax x =-，…………………………………………………1分若0a =，()4f x x =-，则()f x 在(],2-∞上单调递减，符合题意；………3分 若0a ≠，要使()f x 在(],2-∞上单调递减，必须满足0,42,2a a >⎧⎪⎨≥⎪⎩ ……………………………………………………………………5分∴01a <≤．综上所述，a 的取值范围是[]0,1 …………………………………6分（2）若0a =，()f x =-，则()f x 无最大值，………………………7分 故0a ≠，∴()f x 为二次函数，要使()f x 有最大值，必须满足20,420,a b b <⎧⎨+-≥⎩即0a <且11b ≤≤，…8分此时，0x ()f x 有最大值．………………………………………分又()g x 取最小值时，0x a =，………………………………………………………分a =∈Z，则2a ，…………分∵0a <且11b≤，∴)20a a <≤∈Z ，得1a =-，………………分此时1b =-或3b =．∴满足条件的整数对(),a b 是()()1,1,1,3---．……………………………12分（3）当整数对是()()1,1,1,3---时，()22f x x x =--(2)()h x h x += ，()h x ∴是以2为周期的周期函数，………………………分又当()2,0x ∈-时，,构造()h x 如下：当()22,2,x k k k ∈-∈Z ，则，()()()()()222222h x h x k f x k x k x k =-=-=----，故()()()()2222,22,2,.h x x k x k x k k k =----∈-∈Z ... 附加题参考答案 1．证明：（放缩法）1111111 (1222222)n n n n n n +++>++=++解：不妨设正方体的棱长为1，以1,,DA DC DD 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz ，则各点的坐标为A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），1A （1，0，1），1C （0，1，1），E （12,1,0）, F （0 , 12,0） 2．（1）因为111(1,0,1),(,,0),22A D EF =--=-- 所以11110022A D EF A D EF =====++=可知向量1A D 与EF 的夹角为60︒因此1A D 与EF 所成角的大小为60︒ （2）在正方体1111ABCD A B C D -中，因为AB ⊥平面11B C CB ,所以AB 是平面1B EB 的法向量 因为 (1,1,0)(1,0,0)(0,1,0)AB =-=111(0,,0)(1,0,1)(1,,1)22A F =-=--所以131,,2AB A F == 112A F AB =，由11cos ,3A F AB <>= ，所以可得向量之间的夹角约为19.47︒（3）因为1AC ⊥平面11B D C ，所以1AC是平面11B D C 的法向量，因为111(1,1,1),(1,1,0),2AC AC AC AC AC AC =-=-===所以1cos ,3AC AC <>= ，所以可得两向量的夹角为35.26︒根据二面角夹角相等或互补可知，二面角约为35.26︒3．（1）由11,2x t =+得22t x =-2(22)2y x ∴=+-20y -+=，此方程表示直线（2）由2y t =+，得2t y =- 21(2)x y ∴=+-即2(2)1y x -=-，此方程表示抛物线4．（1）记事件A 为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知.51)(2623==C C A P ………………………………4分（2）ξ可取1，2，3，4． 103)2(,21)1(151316131613=⋅=====C C C C P C C P ξξ， 201)4(,203)3(1313141115121613141315121613=⋅⋅⋅===⋅⋅==C C C C C C C C P C C C C C C P ξξ；………………8分.420420310221=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE答：ξ的数学期望为.47………………………………10分。

盐城市2011届高三二模数学13、已知函数，若存在121,[,](1)a a aξξ∈>，使得，则a 的取值范围是 ▲ ．13．(]1,4盐城市2011届高三二模数学19．已知函数是定义在R 上的奇函数，其值域为11[,]44-． ⑴．试求a ，b 的值；⑵．函数满足：①当时，g(x)=f(x)；②g(x+3)=g(x)lnm(m≠1) ①求函数g(x)在上的解析式；②若函数g(x)在上的值域是闭区间，试探求m 的取值范围，并说明理由．【解】⑴．()f x 定义域为R ，0b ∴>．又()f x 为奇函数，由()()f x f x -=-对x R ∈恒成立，得0a =，()f x 的值域为111[,],()444f x -∴≤得2400x x b -+≥∴∆=得4b =(或用均值不等式求解)⑵．①当[3,6)x ∈时2(3)ln ()(3)ln (3)4x mg x g x m x -=-=-+，当[6,9)x ∈时222(6)(ln )()(6)(ln )(6)4x m g x g x m x -=-=-+，222(3)ln ,[3,6)(3)4()(6)(ln ),[6,9)(6)4x mx x g x x m x x -⎧∈⎪-+⎪∴=⎨-⎪∈⎪-+⎩ ②当3n x 3n+3(n 0,n Z)≤≤≥∈时，2(3)(ln )()(3)4nx n m g x x n -=-+的值域为(ln )[0,]4n m ，其中当32x n =+时(ln )(324nm f n +=）(1)当|ln |1m >时2(ln )(624n m f n +=）的值趋向无穷大，从而()f x 的值域不为闭区间(2)当ln 1m =时由(3)()g x g x +=得()g x 是3为周期的函数，从而()f x 的值域为闭区间1[0,]4(3)当ln 1m =-时由(3)()g x g x +=-得(6)()g x g x +=得()g x 是6为周期的函数，且当[3,6)x ∈2(3)()(3)4x g x x --=-+值域为1[,0]4-，从而()f x 的值域为闭区间11[,]44- 12)(,1)(332++-=++=a a x x g a x x x f 9|)()(|21≤-ξξf f bx a x x f ++=2)())((R x x g y ∈=[)3,0∈x [)9,3[)+∞∈,0x(4)当0ln 1m <<时由(ln )1(3244n m f n +=<），从而()f x 的值域为闭区间1[0,]4 (5)当1ln 0m -<<时由ln (ln )1(32444n m m f n ≤+=<），从而()f x 的值域为闭区间ln 1[,]44m -， 综上，当1ln 1m -≤≤即1[,1)(1,]m e e∈⋃时()g x 的值域为闭区间 江苏天一中学、海门中学、盐城中学2011届调研考试（2011-02-24） 20．已知函数1)(+=x ax ϕ，a 为正常数． ⑴．若)(ln )(x x x f ϕ+=，且92a =，求函数)(x f 的单调增区间； ⑵．在⑴中当0=a 时，函数)(x f y =的图象上任意不同的两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，线段AB 的中点为),(00y x C ，记直线AB 的斜率为k ，试证明：)(0x f k '>． ⑶．若()|ln |()g x x x ϕ=+，且对任意的(]2,0,21∈x x ，21x x ≠，都有1)()(1212-<--x x x g x g ，求a的取值范围．【解】⑴．22(2)1()(1)x a x f x x x +-+'=+，因92a =，令0)(>'x f 得2>x 或210<<x ，故函数)(x f 的单调增区间为),2(),21,0(+∞⑵．当0=a 时x x f ln )(=，故x x f 1)(='，故210021)(x x x x f +=='，又121212121212lnln ln )()(x x x x x x x x x x x f x f k -=--=--=，不妨设12x x >，要比较k 与)(0x f '的大小，即比较1212lnx x x x -与212x x +的大小，又12x x >，故 即比较12ln x x 与1)1(2)(212122112+-=+-x x x xx x x x 的大小．令2(1)()ln (1)1x h x x x x -=-≥+，则22(1)()0(1)x h x x x -'=≥+，故)(x h 在[1,)+∞上位增函数．又112>x x ，故0)1()(12=>h x x h ，故1)1(2ln 121212+->x x x x x x，即)(0x f k '>，⑶．因1)()(1212-<--x x x g x g ，故221121()[()]0g x x g x x x x +-+<-，由题意得x x g x F +=)()(在区间(0,2]上是减函数．︒1当x x ax x F x +++=≤≤1ln )(,21，故1)1(1)(++-='x a x x F ，由313)1()1(0)(222+++=+++≥⇒≤'x x x x x x a x F 在[1,2]x ∈恒成立．设=)(x m 3132+++xx x ，[1,2]x ∈，则0312)(2>+-='xx x m ，故)(x m 在[1,2]上为增函数，故227)2(=≥m a ， ︒2 当x x ax x F x +++-=<<1ln )(,10，故 1)1(1)(2++--='x a x x F ，由11)1()1(0)(222--+=+++-≥⇒≤'x x x x x x a x F 在)1,0(∈x 恒成立，设=)(x t 112--+xx x ，)1,0(∈x 为增函数，故0)1(=≥t a ，综上：a 的取值范围为227≥a宿迁市2011届高三数学高考押题试卷（二）19．已知曲线21:x C y e e=+（e 为自然对数的底数， 2.72e ≈），曲线2:2ln C y e x =． ⑴．求证：曲线1C 和2C 均与同一条直线l 相切于同一点，并求出该切线l 的方程； ⑵．设直线(0)x t t =>与曲线1C 、2C 及直线l 分别相交于点M 、N 、P ，记()f t PM PN =-，求函数()f t 在区间12[,]e e -上的最大值；⑶．设直线()nx e n N =∈与曲线1C 和2C 的交点分别为n A 和n B ，是否存在正整数m ，使得00m m A B A B =，若存在，求出正整数m 的值；若不存在，请说明理由．【解】⑴．由2x y e e=+，得 2x y e '=，由2ln y e x =，得 2e y x '=，令22x ee x =，得x e=（x e =-舍去），2y '=，把x e =代入2x y e e=+，得2y e =；把x e =代入2ln y e x =得2y e =，故曲线1C 和2C 均与同一条直线l 相切于同一点(,2)e e ，且切线l 方程为：22()y e x e -=-，即2y x =；⑵．因直线(0)x t t =>与曲线12,C C 及直线l 分别相交于点,,M N P ，则它们的坐标分别为：2(,)t M t e e +，(,2ln )N t e t ，(,2)P t t ，由（1）得222ln x e x e x e +≥≥在()0,+∞恒成立，故：22t PM e t e =+-；22ln PN t e t =-，故()h t PM PN =-=2(2)t e t e+--()22ln t e t -=22ln 4t e t t e e +-+，由于22()4t eh t e t '=+-，且0t >，故()40h t '≥=，故函数()h t PM PN =-在区间(0,)+∞上为增函数，故()h t 在区间12[,]e e -上的最大值为232()45h e e e e =-+；⑶．由直线()nx e n N =∈与曲线1C 和2C 的交点分别为n A 和n B 知：2()(,)n nn e A e e e+，(,2)nn B e en ，线段2()n n n e A B e e =+-2en 2()2n e e en e =+-，设2()()2n e g n e en e =+-，（0n >），则()g n '=222()n e e e-，故当](0,1n ∈时，()0g n '≤，当[)1,n ∈+∞时，()0g n '≥，故()g n 在(]0,1上单调递减；在[)1,+∞上单调递增，又001(0)g A B e e==+，(1)220g e e =-=，33(2)43g e e e e e =+-=-，由于3211(3)()(5)()0e e e e e e e e --+=-+->，故313e e e e->+，故不存在正整数m ，使得()(0)g m g =，故不存在正整数m ，使得00m m A B A B =．无锡市2011年普通高中高考模拟试卷(二)20．已知函数)(ln )21()(2R a x x a x f ∈+-=．⑴．当0a =时，求函数()f x 的单调递增区间；⑵．若[1,3]x ∃∈，使x x x f ln )1()(+<成立，求实数a 的取值范围；⑶．若函数()f x 的图象在区间(1,)+∞内恒在直线2y ax =下方，求实数a 的取值范围．【解】⑴．)(ln )21()(2R a x x a x f ∈+-=的定义域为(0,)+∞．当0a =时，21()ln 2f x x x =-+，2'1()x f x x-=．由'()0f x >，结合定义域，解得01x <<，故得函数()f x 的单调递增区间为(0,1)．⑵．x x x f ln )1()(+<，即21()ln ()2a x x x a R -<∈，因[1,3]x ∈，故ln 12x a x <+．令ln 1()2x g x x =+，则[1,3]x ∃∈，使x x x f ln )1()(+<成立，等价于max ()a g x <．因'21ln ()x g x x-=．由'()0g x =，结合[1,3]x ∈，解得：x e =．当1x e ≤<时，/()0g x >；当3e x <≤时，'()0g x <．故得max 11()()2g x g e e ==+．故实数a 的取值范围是11(,)2e -∞+．⑶．令21()()2()2ln 2h x f x ax a x ax x =-=--+，()h x 的定义域为(0,)+∞．函数()f x 的图象在区间(1,)+∞内恒在直线2y ax =下方，等价于()0h x <在(1,)+∞上恒成立，即max ()0h x <，'(1)[(21)1]()x a x h x x---=．①若12a >，令'()0h x =，得1211,21x x a ==-．当211x x >=，即112a <<时，在2(1,)x 上，'()0h x <，()h x 为减函数，在(1,)+∞上，'()0h x >，()h x 为增函数，故()h x 的值域为2((),)g x +∞，不合题意．当211x x ≤=，即1a ≥时，同理可得在(1,)+∞上，/()0h x >，()h x 为增函数，故()h x 的值域为1((),)g x +∞，也不合题意．②若12a ≤，则有210a -≤，此时，在区间(1,)+∞上，恒有'()0h x <，从而()h x 为减函数，max 1()(1)02h x h a ==--≤，结合12a ≤，解得1122a -≤≤． 综合①②可得：实数a 的取值范围1122a -≤≤． 2011年南京师范大学附属中学高考模拟 20．已知函数21()22ln 2f x ax x x =-++，a ∈R ． ⑴．当0a =时，求()f x 的单调增区间；⑵．若()f x 在(1,)+∞上只有一个极值点，求实数a 的取值范围；⑶．对于任意12,(0,1]x x ∈，都有1212|||()()|x x f x f x -≤-，求实数a 的取值范围．【解】⑴．当0a =时，()22ln f x x x =-++，令'12()0x f x x -=>，解出：102x <<，故()f x 的单调增区间为1(0,)2或1(0,]2．⑵．令2'21()0ax x f x x-+==，()f x 在(1,)+∞上只有一个极值点⇔'()0f x =在(1,)+∞上只有一个根且不是重根．令2()21g x ax x =-+，(1,)x ∈+∞，①当0a =时，()21g x x =-+，不在(1,)+∞上有一个根，舍去．②当0a >时，2()21g x ax x =-+，在(1,)+∞上只有一个根且不是重根⇔(1)0g <⇔01a <<；③当0a <时，2()21g x ax x =-+，在(1,)+∞上只有一个根且不是重根⇔(1)0g >⇔1a >；矛盾！综上所述，实数a 的取值范围是：01a <<． 注：②③可以合并为：(1)0ag <⇔01a <<． ⑶．当12x x =，显然满足，以下讨论12x x ≠的情况．⑴ 当1a ≥时，2'11()1()a x a a f x x--+=，1(0,1],(0,1]x a ∈∈∴2111()110a x a a a --+≥-≥，得到'()0f x ≥，即()f x 在(0,1]上单调递增．对于任意12,(0,1]x x ∈，不放设12x x <，则有12()()f x f x <，且21x x >代入不等式1212|||()()|x x f x f x -≤-⇔2121()()f x f x x x -≥-⇔2211()()f x x f x x -≥-，引入新函数：21()()()32ln 2h x f x x f x ax x x =-==-++，2'31()ax x h x x-+=，故问题转化为'()0,(0,1]h x x ≥∈上恒成立，⇔2310ax x -+≥⇔231x a x -≥⇔max 231()x a x -≥，令231()x l x x -=，通过求导或不等式判断都可以：'323()x l x x-=，当'20,()03x l x <<>；'21,()03x l x <<<，故当max 229,()()334x l x l ===，故94a ≥；⑵当1a <且0a ≠时，2'21()ax x f x x-+=，令2()210k x ax x =-+=，方程判别式440a ∆=->且(1)10k a =-<；故()f x 在(0,1)上只有一个极大值．不妨设极大值点为1x ，记11(,())A x f x ，在A 点处的切线的斜率为0；过A 点作一条割线AB ，肯定存在点22(,())B x f x 使的||1AB k <，因||AB k 慢慢变成0．这样存在存在12,x x ，使得1212|()()|1||f x f x x x -<-与1212|||()()|x x f x f x -≤-矛盾！当0a =时，()f x 在(0,1)上只有一个极大值，同样得出矛盾！ 综上所述，求实数a 的取值范围为94a ≥． 镇江市2011年高三期末考试试卷2011．0120．函数y ＝e x (e 为自然对数的底数)的图象向下平移b (0＜b ，b ≠1)个单位后得到的图象记为C b ，C b 与x 轴交于A b 点，与y 轴交于B b 点，O 为坐标系原点．⑴．写出C b 的解析式和A b 、B b 两点的坐标；⑵．判断线段OA b 、OB b 长度大小，并证明你的结论；⑶．是否存在两个互不相等且都不等于1的正实数m 、n ，使得Rt △OA m B m 与Rt △OA n B n 相似，如果相似，能否全等？证明你的结论．【解】⑴． 由题意得y ＝e x －b ，令y ＝0，A b (ln b,0)；令x ＝0，B b (0,1－b )．⑵．OA b ＝|ln b |，OB b ＝|1－b |，① 当0＜b ＜1时，OA b ＝－ln b ，OB b ＝1－b ，设函数f (x )＝1－x ＋ln x (0＜x ＜1)，f ′(x )＝1x－1＞0，故 f (x )＝1－x ＋ln x 在x ∈(0,1)上单调递增，故 f (x )＜f (1)＝0，故 －ln x ＞－x ＋1，故 OA b ＞OB b ．② b ＞1时，同理可得OA b ＜OB b ．⑶．① 当三角形同在第二象限时，0＜m ＜1,0＜n ＜1，OA b ＞OB b ，若Rt △OA m B m 与Rt △OA n B n相似，只有1－m －ln m ＝1－n －ln n，故1－m ln m ＝1－n ln n ．设函数g (x )＝1－x ln x (0＜x ＜1)，g ′(x )＝x －x ln x －1x ln 2x (0＜x ＜1)．设函数h (x )＝x －1－x ln x ，h ′(x )＝－ln x ＞0在x ∈(0,1)上恒成立，故 h (x )在x ∈(0,1)上单调递增，故 h (x )＜h (1)＝0在x ∈(0,1)上恒成立，故 g ′(x )＜0在x ∈(0,1)上恒成立，g (x )在x ∈(0,1)上单调递减．故当0＜m ＜1,0＜n ＜1时，不存在；② 当三角形同在第四象限时，m ＞1，n ＞1，同理可得m 、n 不存在；③ 当三角形在不同象限时，不妨设0＜m ＜1，n ＞1时，若Rt △OA m B m 与Rt △OA n B n 相似，OA m ＞OB m ，OA n ＜OB n ，则有ln m m －1＝n －1ln n ，设M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫f 1m f 1m ＝ln m m －1＜m ＜，N＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫f 2n f 2n ＝n －1ln n n ＞．由g (x )性质可得：取m ∈(1e 3，1e )，f 1(m )＝ln m m －1在(1e 3，1e )上单调递减，故f 1(m )∈⎣⎡⎦⎤e e －1，3e 3e 3－1，2∈⎣⎡⎦⎤e e －1，3e 3e 3－1；取n ∈[e ，e 2]，则f 2(n )＝n －1ln n 在[e ，e 2]上递增，f 2(n )＝n －1ln n ∈⎣⎡⎦⎤e －1，e 2－12，2∈⎣⎡⎦⎤e －1，e 2－12，可得：M ∩N ≠∅，因此存在正实数0＜m ＜1，n ＞1，使得Rt △OA m B m 与Rt △OA n B n 相似．如果全等，则有⎩⎪⎨⎪⎧ OA m ＝OB n OB m ＝OA n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧－ln m ＝n －11－m ＝ln n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ln m ＝1－n ，ln n ＝1－m .由ln m ＝1－n ，得m ＝e 1－n 代入ln n ＝1－m ，ln n ＝1－e 1－n ⇒e n ln n ＝e n －e ．设函数F (x )＝e x ln x －e x ＋e(x ＞1)，F ′(x )＝e xln x ＋e x x －e x ＝e x (ln x ＋1x －1)＝e x x(x ln x －x ＋1)．设函数H (x )＝x ln x－x ＋1(x ＞1)，H ′(x )＝ln x ＋1－1＝ln x ＞0，故H (x )在x ∈(1，＋∞)上单调递增，故 H (x )＞H (1)＝0．故 F ′(x )＞0在x ∈(1，＋∞)上恒成立，F (x )在x ∈(1，＋∞)上单调递增，故 F (x )＞F (1)＝0．因此不存在n ＞1使得e n ln n ＝e n －e ．故不存在两个互不相等且都不等于1的正实数0＜m ＜1，n ＞1，使得Rt △OA m B m 与Rt △OA n B n 全等．无锡市2011年普通高中高考模拟试卷(四)20．如果实数x ，y ，t 满足|x —t |≤|y —t |，则称x 比y 接近t ．⑴．设a 为实数，若a |a | 比a 更接近1，求a 的取值范围；⑵．1()ln 1x f x x -=+，证明：2()nk f k =∑2更接近0（k ∈Z ）．【解】⑴．|a |a |—1|≤|a —1|，①．当0<a<1时， |a 2—1|≤|a—1|，1-a 2≤1—a ，得a≥1或a≤0(舍) ②．当a≥1时，a 2—1≤a—1，得a= 1； ③．当 a≤0时， a 2+1≤1—a ，—1≤a≤0． 综上，a 的取值范围是{a|—1≤a ≤0或a=1}；⑵．因+=∑=31ln )(2nk k f 42ln +53ln +…+11ln +-n n =)1(2ln +n n ，故2|()0|nk f k =--∑2220|ln (1)n n -=-+．令n （n +1）=t ，2≥n 故t ∈),6[+∞，且t ∈Z ，则()ln 2ln F t t =-+．'()0F x =< ，故F （x ）在),2[+∞单调递减，故F （t ）≤f （6）<F(2)=—ln 1—0=0．故0222ln ≤---t t t，即22ln 0(1)n n -≤+．故2()nk f k =∑2更接近0．盐城市2010/2011学年度高三年级摸底考试20．对于函数(),(0,)y f x x =∈+∞，如果,,a b c 是一个三角形的三边长，那么(),(),()f a f b f c 也是一个三角形的三边长，则称函数()f x 为“保三角形函数”．对于函数(),[0,)y g x x =∈+∞，如果,,a b c 是任意的非负实数，都有(),(),()g a g b g c 是一个三角形的三边长，则称函数()g x 为“恒三角形函数”．⑴．判断三个函数“2123(),()()3f x x f x f x x ==（定义域均为(0,)x ∈+∞）”中，哪些是“保三角形函数”？请说明理由；⑵．若函数221(),[0,)1x kx g x x x x ++=∈+∞-+是“恒三角形函数”，试求实数k 的取值范围； ⑶．如果函数()h x 是定义在(0,)+∞上的周期函数，且值域也为(0,)+∞，试证明：()h x 既不是“恒三角形函数”，也不是“保三角形函数”．【解】⑴．对于1()f x x =，它在(0,)+∞上是增函数，不妨设a b c ≤≤，则111()()()f a f b f c ≤≤，因a b c +>，故111()()()f a f b a b c f c +=+>=，故1()f x 是“保三角形函数”，对于2()f x =(0,)+∞上是增函数，不妨设a b c ≤≤，则222()()()f a f b f c ≤≤，因a b c +>，故22()()f a f b +==>>2()f c =，故2()f x 是“保三角形函数”，对于23()3f x x =，取3,3,5a b c ===，显然,,a b c 是一个三角形的三边长，但因222333()()3(33)35()f a f b f c +=⨯+<⨯=，故(),(),()f a f b f c 不是三角形的三边长，故3()f x 不是“保三角形函数” ⑵．法一：因2(1)()11k xg x x x +=+-+，故当0x =时，()1g x =；当0x >时，1()111k g x x x+=++-． ① 当1k =-时，因()1g x =，适合题意 ②当1k >-时，因1()11211k g x k x x +=+≤=++-，故(]()1,2g x k ∈+， 从而当1k >-时，()[1,2]g x k ∈+，由112k +>+，得0k <，故10k -<<；③ 当1k <-时，因1()11211k g x k x x +=+≥=++-，故[)()2,1g x k ∈+， 从而当1k <-时，()[2,1]g x k ∈+，由20(2)(2)1k k k +>⎧⎨+++>⎩，得32k >-，故312k -<<-，综上所述，所求k 的取值范围是302k -<< 法二:因22(1)(1)(1)()(1)k x x g x x x ++-'=--+， ① 当1k =-时，因()1g x =，适合题意；②当1k >-时，可知()g x 在[)0,1上递增，在(1,)+∞上递减，而(0)1g =，(1)2g k =+，且当1x >时，()1g x >，故此时()[1,2g x k ∈+；③当1k <-时，可知()g x 在[)0,1上递减，在(1,)+∞上递增，而(0)1g =，(1)2g k =+，且当1x >时， ()1g x <，故此时()[2,1]g x k ∈+．（以下同法一． 按此方法求解的，类似给分．）⑶．①因()h x 的值域为(0,)+∞，故存在正实数,,a b c ，使得()1,()1,()2h a h b h c ===，显然这样的(),(),()h a h b h c 不是一个三角形的三边长，故()h x 不是“恒三角形函数”②因()h x 是值域为(0,)+∞的周期函数，故存在0n m >>，使得()1,()2h m h n ==，设()h x 的最小正周期为(0)T T >，令,a b m kT c n ==+=，其中*k N ∈，且22n mk T->，则a b c +>，又显然,b c a c a b +>+>，故,,a b c 是一个三角形的三边长，但因()()()1,()()2h a h b h m h c h n =====，故(),(),()h a h b h c 不是一个三角形的三边长，故()h x 也不是“保三角形函数”(说明：也可以先证()h x 不是“保三角形函数”，然后据此知()h x 也不是“恒三角形函数”) 江苏省盐城中学2010—2011学年度第一学期期中考试（2010．11） 20．已知函数)(3)(3R a ax x x f ∈-=,()ln g x x =． ⑴．当1=a 时，求)(x f 在区间[2,2]-上的最小值；⑵．若在区间[1,2]上()f x 的图象恒在()g x 图象的上方，求a 的取值范围； ⑶．设()|()|,[1,1]h x f x x =∈-，求()h x 的最大值)(a F 的解析式． 【解】⑴．2()330f x x '=-=1x ∴=±，列表得min ()2f x =-⑵．在区间[1,2]上()f x 的图象恒在()g x 图象的上方，33ln x ax x ∴-≥在[1,2]上恒成立得2ln 3x a x x ≤-在[1,2]上恒成立，设()h x =2ln x x x -则3221ln ()x x h x x-+'=，3210,ln 0()0x x h x '-≥≥∴≥min ()(1)1h x h ∴==，13a ∴≤分⑶．因上的故只要求在上是偶函数在]1,0[,]1,1[|3||)|)(3--==ax x fx x g 最大值①当0≤a 时，)()(,0)0(]1,0[)(,0)('x f x g f x f x f =∴=≥上单调递增且在.31)1()(a f a F -==②当0>a 时，),)((333)(2'a x a x a x x f -+=-=（ⅰ）当1,1≥≥a a 即13)1()(,]1,0[)(),(|)(|)(-=-=--==a f a F x f x f x f x g 此时上单调递增在 （ⅱ）当10,10<<<<a a 即时，,],0[)(上单调递减在a x f 在]1,[a 单调递增；1°当131,031)1(<≤≤-=a a f 即时， ,]1,[,],0[)(),(|)(|)(上单调递减在上单调递增在a a x f x f x f x g --==a a a f a F 2)()(=-=； 2°当310,031)1(<<>-=a a f 即 （ⅰ）当a f a F a a f a f 31)1()(,410,31)1()(-==≤<-=≤-时即 （ⅱ）当a a a f a F a a f a f 2)()(,3141,31)1()(=-=<<-=>-时即综上 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<<≤-=)1(,13)141(,2)41(,31)(a a a a a a a x F扬州市2010—2011学年度第二学期第三次调研测试2011．0520．已知定义在实数集上的函数*(),n n f x x n N =∈，其导函数记为'()n f x ，且满足2221212121()()'[()]f x f x f x a x x x x -+-=-，12,,a x x 为常数，12x x ≠．⑴．试求a 的值；⑵．记函数13()()ln ()F x b f x f x =⋅-，(0,]x e ∈，若()F x 的最小值为6，求实数b 的值；⑶．对于⑵中的b ，设函数()()3xb g x =，1122(,),(,)A x y B x y （12x x <）是函数()g x 图象上两点，若21021'()y y g x x x -=-，试判断012,,x x x 的大小，并加以证明．【解】⑴．22()f x x =，'2()2f x x =，依题意，2221121212[()]x x x a x x x x -⋅+-=-，得，12a =．⑵．()3ln ,F x bx x =-3'()F x b x=-,(0,]x e ∈， ①若3b e≤，3'()0F x a x =-≤，()F x 在(0,]e 上单调递减，()F x 的最小值是()F e ，由()6F e =得，9b e=（舍去）；②若3b e >，3'()()b F x x x b =-，令'()0F x =得3x b =，当3(0,)x b ∈时,'()0F x < ，()F x 在3(0,)b 上单调递减；当3(,]x e b ∈时,'()0F x >，()F x 在3(,]e b上单调递增；故()F x 的最小值是3()F b ，由3()6F b=得，3b e =．⑶．()x g x e =，结合图象猜测102x x x <<．只需证012xxxe e e <<，因2102102121'()x x x y y e e g x e x x x x --===--，故只需证211221x x x x e e e e x x -<<-，即证：11221()0x x x e e x x e +--<，且22121()0x x x e e x x e ---<，设22()()x x x h x e e x x e =+--，2'()()x h x e x x =--，当2x x ≤时，'()0h x ≥，故()h x 在2(,]x -∞上是增函数，12x x <，故12()()h x h x <，即11221()0x x x e e x x e +--<，设11()()x x x x e e x x e ϕ=---，则1'()()x x e x x ϕ=--，当1x x ≥时，'()0x ϕ≤，故()x ϕ在1[,)x +∞上是减函数，12x x <，故12()()x x ϕϕ>，即22121()0x x x e e x x e ---<．综上所述，102x x x <<． 2011届高三数学综合题19．已知函数2()(1)f x x =-，()ln g x a x =．⑴．若两曲线()y f x =，()y g x =在2x =处的切线互相垂直，求a 的值，并判断函数()()()F x f x g x =-的单调性并写出其单调区间；⑵．若函数1()()()x af x g x aϕ=+的图象与直线y x =至少有一个交点，求实数a 的取值范围；⑶．证明：对任意*n N ∈，都有211ln(1)ni i n i=-+>∑成立． 【解】⑴．由题意得，''(2)(2)1f g =-，即212a =-，故1a =-，故2'112()22()0x F x x-+=>，故函数()y F x =为增函数，单调增区间为(0,)+∞．⑵．设2()(1)ln x a x x ϕ=-+，令2()()(1)ln h x x x a x x x ϕ=-=--+，由题意得，方程()0h x =在区间(0,)+∞上至少有一解，①若0a =时，'1()xh x x-=，故()y h x =在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，故max ()(1)10h x h ==-<，故方程()0h x =无解，若0a ≠，'(21)(1)()ax x h x x--=，令'()0h x =得，112x a =，21x =． ②当0a <时，由'()0h x >得，1(,1)2x a ∈，由'()0h x <得，1(,)2x a∈-∞或(1,)x ∈+∞，故()y h x =的单调增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞，故max ()(1)10h x h ==-<，故方程()0h x =无解；③当102a <<时，可得()y h x =的单调增区间为(0,1)与1(,)2a +∞，减区间为1(1)2a，，故()y h x =的极大值为(1)10h =-<，极小值为1()02h a<，又21111(1)(1)(1)ln(1)0h e a e e e a a a a++=++-+++++>，故方程()0h x =恰好有一解；④当12a =时，'()0h x ≥，故函数()y h x =为增函数，由上得方程()0h x =也恰好有一解； ⑤当12a >时，函数()y h x =单调增区间为1(0,)2a ，(1,)+∞，减区间为1(1)2a，，同上得方程()0h x =在(0,)+∞至少有一解；综上得所求的取值范围为(0,)+∞．⑶．(法一)由⑵可得：当1a =时，函数2()(1)ln h x a x x x =--+在(1,)+∞上单调递增，2(1)ln (1)1x x x h --+≥=-，即2ln 32x x x ≥-+-，令*11,x n N n=+∈，故2111ln(1)n n n +≥-，故2111111ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)12311n ++++++⋅⋅⋅++≥-+2221111112233n n -+-+⋅⋅⋅+-，即2111111ln[(1)(1)(1)]()12ni n ii =+++≥-∑，即211ln(1)ni i n i=-+>∑，故所证结论成立．(法二)令211()ln(1)ni i g n n i=-=+-∑，则2111()(1)ln(1)g n g n n n n --=+-+，令11x n +=，则*11,,(1,2]x n N x n=-∈∈，记22()(1)(1)ln 32ln h x x x x x x x =---+=-++，则'(21)(1)()0x x h x x--=>，故()y h x =单调递增，又(1)0h =，故()0h x >，故当(1,2]x ∈时，即()(1)0g n g n -->，故()g n 单调递增，又(1)ln 20g =>，故()0g n >，故所证结论成立．2011届高三数学综合题18．已知a R ∈，函数2()()f x x x a =-．⑴．求函数()f x 在区间[1,2]上的最小值()h a ；⑵．对⑴中的()h a ，若关于a 的方程1()()2h a k a =+有两个不同的实数解，求实数k 的取值范围；⑶．若点11(,())A a h a ，22(,())B a h a ，33(,())C a h a 从左至右依次是函数()y h a =的图像时的三点，且这三点不共线，求证：ABC ∆是钝角三角形．【解】⑴．因2()()f x x x a =-，故'2()3()3a f x x x =-，令'()0f x =得，0x =或23a = a①若23a <，即2013a<<时，则当12x ≤≤时，'()0f x >，故()f x 在区间[1,2]上为增函数，故()(1)1h a f a ==-；②若332a ≤<，即2123a ≤<时，则当213a x ≤<时，'()0f x <，当223a x <≤时，'()0f x >，故()f x 在区间2[1,]3a 上为减函数，在区间2[,2]3a上为增函数，故324()()327a a h a f ==-； ③若3a ≥，即223a≥时，则当12x ≤≤时，'()0f x ≤，故()f x 在区间[1,2]上为减函数，故()(2)84h a f a ==-；综上所述，函数()f x 在区间[1,2]上的最小值331,,243(),3,27284,3a a a h a a a a ⎧-<⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩；⑵．因方程1()()2h a k a =+有两个不同的实数解，令1()2y k a =+，可得()y h a =的图像与直线1()2y k a =+有两个不同的交点，而直线1()2y k a =+恒过定点1(,0)2-，由图像可得k 的取值范围是(4,1)--；⑶证：不妨设123a a a <<，由⑵知，123()()()h a h a h a >>，1212(,()())BA a a h a h a =--，3232(,()())BC a a h a h a =--，故12321232()()[()())][()())]BA BC a a a a h a h a h a h a ⋅=--+--，因120a a -<，320a a ->，12()()0h a h a ->，32()()0h a h a -<，故0BA BC ⋅<，由A ，B ，C 三点不共线，故(,)2B ππ∈，即ABC ∆是钝角三角形．2011届江苏省苏锡常镇扬五市高三调研测试2011.3 19．设函数2()(1)f x x x =-，0x >． ⑴．求()f x 的极值；⑵．设0a <≤1，记()f x 在(]0,a 上的最大值为()F a ，求函数()()F a G a a=的最小值； ⑶．设函数2()ln 24g x x x x t =-++（t 为常数），若使()g x ≤x m +≤()f x 在(0,)+∞上恒成立的实数m 有且只有一个，求实数m 和t 的值．【解】⑴．f′（x ）=（x ﹣1）2+2x （x ﹣1）=3x 2﹣4x+1=（3x ﹣1）（x ﹣1），x ＞0．令f′（x ）=0，得x=或x=1，f （x ），f′（x ）随x 的变化情况如下表故当x=时，有极大值f （）=，当x=1时，有极小值f （1）=0．⑵．由⑴知：f （x ）在（0]，[1，+∞）上是增函数，在[，1]上是减函数，①0＜a≤时，F （a ）=a （a ﹣1）2，G （a ）=（a ﹣1）2≥，特别的，当a=时，有G （a ）=，②当＜a≤1时，F （a ）=f （）=，G （a ）=≥，特别的，当a=1时，有G （a ）=，由①②0＜a≤1时，函数的最小值为．⑶．由已知得h 1（x ）=x+m ﹣g （x ）=2x 2﹣3x ﹣lnx+m ﹣t≥0在（0，+∞）上恒成立，因，故x ∈（0，1）时，h′1（x ）＜0，x ∈（1，+∞）时，h 1（x ）＞0，故x=1时，h′1（x ）取极小值，也是最小值，故当h 1（1）=m ﹣t ﹣1≥0，m≥t+1时，h 1（x ）≥0在（0，+∞）上恒成立，同样，h 2（x ）=f （x ）﹣x ﹣m=x 3﹣2x 2﹣m≥0在（0，+∞）上恒成立，因h′2（x ）=3x （x ﹣），故x ∈（0，）时，h′2（x ）＜0，x ∈（，+∞），h′2（x ）＞0，故x=时，h 2（x ）取极小值，也是最小值，故=﹣﹣m≥0，m≤﹣时，h 2（x ）≥0在（0，+∞）上恒成立，故t+1≤m≤﹣，因实数m 有且只有一个，故m=﹣，t=．苏州大学2011届高考数学考前指导卷（1）20．已知函数2(2),0,()1, 0x x ax e x f x x x b⎧->⎪=⎨≤⎪⎩ 当1x =时()y f x =取得极值．⑴．求实数a 的值；⑵．若()y f x m =-有两个零点，求实数m 的取值范围； ⑶．设ln ()()xg x b f x =+-，若对于13[0,]2x ∀∈，总21[,]x e e∃∈ (e =2.71828…)，使得12()()f x g x ≥，求实数b 的取值范围．【解】⑴．0x >时，2()(2)x f x x ax e =-，2()e ((22)2)x f x x a x a '=+--．由条件知(1)0f '=，故34a =．⑵．0x >时，23()()e 2x f x x x =-，故1()e (1)(23)2x f x x x '=-+．则(1)2ef =-．① 若b > 0，当m = 0或e2m =-时，()y f x m =-有两个零点；② 若b < 0，当e2m >-时，()y f x m =-有两个零点．⑶．由题意，即要f (x )min ≥g (x )min （*）．当0x >时，23()()e 2x f x x x =-，由⑵知min e()(1)2f x f ==-．当0x >时，0x -<，故ln ln ()(1)()x x g x b b f x x =+=--．2ln 1()x g x b x -'=⋅．因x 2∈1[,e]e ，故2ln 10x x-≤． ① 若b > 0，g (x )在1[,e]e上是减函数，g (x )min =1(e)(1)e g b =-．因min min ()()f x g x <，故（*）不成立．② 若b < 0，g (x )在1[,e]e上是增函数，g (x )min =1()(1e)e g b =+．要使f (x )min ≥g (x )min ，只要e(1e)2b -+≥．则2(1)e b e ≤-+． 江苏省淮安市2011届高三第一次学情调研考试数学试题 2011．119．已知函数32,1,()ln ,1x x bx c x f x a x x ⎧-+++<=⎨≥⎩的图象过坐标原点O ，且在点(1,(1))f --处的切线斜率为5-．⑴．求实数b ，c 的值；⑵．求函数()y f x =在[1,2]-上的最大值；⑶．对任意给定的正实数a ，曲线()y f x =上是否存在两点P ，Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形的斜边中点在y 轴上？说明理由．【解】⑴．当1x <时，'2()32f x x x b =-++，由题意得：'(0)0,(1)5f f =⎧⎨-=-⎩，即0,55c b =⎧⎨-+=-⎩，解得：0b c ==；⑵．由⑴知，32,1,()ln ,1x x x f x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩．①．当11x -≤<时，'2()3()3f x x x =--，令'()0f x =得，0x =或23x =，当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：又(1)2f -=，()327f =，(0)0f =．故函数()y f x =在[1,1)-上的最大值为2； ②．当12x ≤≤时，()ln f x a x =．当0a ≤时，()0f x ≤，函数()y f x =的最大值为0； 当0a >时，函数()y f x =在[1,2]上单调递增．故函数()y f x =在[1,2]最大值为ln 2a ． 综上，当ln 22a ≤时，即2ln 2a ≤时，函数()y f x =在区间[1,2]-上的最大值为2；当ln 22a >时，即2ln 2a >时，函数()y f x =在区间[1,2]-上的最大值为ln 2a ． ⑶．假设曲线()y f x =上存在两点P ，Q 满足题设要求，则点P ，Q 只能在y 轴两侧． 不妨设(,())(0)P t f t t >，则32(,)Q t t t -+，显然1t ≠，因POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，故0OP OQ ⋅=，即232()()0(*)t f t t t -++=，若方程(*)有解，存在满足题设要求的两点P ，Q ；若方程(*)无解，不存在满足题设要求的两点P ，Q ．若01t <<，则32()f t t t =-+代入(*)式得：23232()()0t t t t t -+-++=，即4210t t -+=，而此方程无解，因此1t >．此时()ln f t a t =，代入(*)式得：232(ln )()0t a t t t -++=，即1(1)ln (**)t t a =+，令()(1)ln (1)h x x x x =+≥，则'1()1ln h x x x=++，故()h x 在[1,)+∞上单调递增，因1t >，故()(1)0h t h >=，故()h t 的取值范围是(0,)+∞．故对于0a >，方程(**)总有解，即方程(*)总有解．因此，对任意给定的正实数a ，曲线()y f x =上存在两点P ，Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上． 泰州中学10---11学年度第二学期第四次模拟考试20．已知函数3()y f x x ax b ==++的图象记为曲线C ，若其关于坐标原点对称，且与x 轴相切． ⑴．求a ，b 的值；⑵．若曲线G ：'()()sin f x y h x x xλ==+上存在相互垂直的两条切线，求实数λ的取值范围； ⑶．是否存在实数m ，n ，使得函数()3|()|g x f x =-的定义域与值域均为区间[,]m n ？试证明你的结论．【解】⑴．由()()f x f x -=-可得，0b =，设曲线C 与x 轴切于(,0)T t ，则'()0,()0f t f t =⎧⎨=⎩，即320,30t at t a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，故0a t ==，故3()f x x =； ⑵．'()()sin 3sin f x h x x x x xλλ=+=+，则'()3cos (0)h x x x λ=+≠，设切点11(,())t h t ，22(,())t h t ，则''12()()1h t h t =-，则12(3cos )(3cos )1t t λλ++=-，即2121293(cos cos )cos cos 10t t t t λ++++=．故212129(cos cos )36(cos cos 1)0t t t t ∆=+-+≥，即212(cos cos )4t t -≥，又121cos cos 1t t -≤≤，故212(cos cos )4t t -≤，故212(cos cos )4t t -=，此时1cos 1t =，2cos 1t =-或者1cos 1t =-，2cos 1t =，可得0λ=；⑶．333,0,()3,0x x g x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩，假设存在m ，n 符合题意： (A)．当0m <时，可得(),()g m m g n n=⎧⎨=⎩，即m ，n 是方程()g x x =的两个相异负根得，330x x -+=，令3()3(3)p x x x x =-+<，则'2()310p x x =-=，则x =x ，'()p x ，()p x 的变化情况如下表：由于(0)30p => (B)．当0m ≥时，因3()3g x x =-在区间[,]m n 上是减函数，故(),()g m n g n m =⎧⎨=⎩，即333,3m n n m ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相减可得，221m mn n ++=，即2()1m n mn +-=，由于2()4m n mn +<，即22()()14m n m n ++-<，故m n +<，由0m n ≤<，m <，n <，则33m n +<<，与条件矛盾，此时m ，n 不存在；(C)．当0m n <≤时，因max ()(0)3g x g ==,故3n =，若min ()(3)24g x g ==-，故24m =-，而min (24)3243()g g x -=-<，矛盾，若3min ()()3g x g m m ==+，即33(*)m m +=，因min (3)24()g g x =-≥，故24m ≤-，根据情况(A)知，3()3p x x x =-+在(,24]-∞-上递增，又(24)0p -<，从而方程(*)无满足24m ≤-的解，故不存在．综上所述，不存在实数m ，n ，使函数的定义域与值域均为[,]m n ． 南京市2011届高三第一次模拟考试（数学）2011．01 20．已知函数()1ln ()f x x a x a R =--∈．⑴．若曲线()y f x =在1x =处的切线的方程为330x y --=，求实数a 的值； ⑵．求证：0)(≥x f 恒成立的充要条件是1a =；⑶．若0a <，且对任意12,(0,1]x x ∈，都有121211|()()|4||f x f x x x -≤-，求实数a 的取值范围． 【解】⑴．因'()1af x x=-，故'(1)1f a =-．故曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1a -．又曲线()y f x =在1x =处的切线的方程为330x y --=，故13a -=，解得2a =-；⑵．①．充分性：当1a =时，()1ln f x x x =--，故'1(1)x f x-=，故当1x >时，'()0f x >，即函数()y f x =在(1,)+∞上为增函数，当01x <<时，'()0f x <，即函数()y f x =在(0,1)上为增函数．故()(1)0f x f ≥=．②．必要性：(法一)'()x af x x-=，其中0x >． (i)．当0a ≤时，'()0f x >恒成立，故函数()y f x =在(0,)+∞上为增函数，而(1)0f =，故当(0,1)x ∈时，()0f x <，与()0f x ≥恒成立矛盾，故0a ≤不满足题意．(ii)．当0a >时，因当x a >时，'()0f x >，则函数()y f x =在(,)a +∞上为增函数；当0x a <<时，'()0f x <，则函数()y f x =在(0,)a 上为减函数．故()()1ln f x f a a a a ≥=--．因(1)0f =，故当1a ≠时，()(1)0f a f <=，此时与()0f x ≥恒成立矛盾，故1a =．综上所述，()0f x ≥恒成立的充要条件为1a =．(法二)'()x af x x-=，其中0x >． (i)．当0a ≤时，'()0f x >恒成立，故函数()y f x =在(0,)+∞上为增函数，而(1)0f =，故当(0,1)x ∈时，()0f x <，与()0f x ≥恒成立矛盾，故0a ≤不满足题意．(ii)．当0a >时，因当x a >时，'()0f x >，则函数()y f x =在(,)a +∞上为增函数；当0x a <<时，'()0f x <，则函数()y f x =在(0,)a 上为减函数．故()()1ln f x f a a a a ≥=--．于是由()0f x ≥恒成立可知，存在0a >，使得()1ln 0f a a a a =--≥．记()1ln x x x x ϕ=--，则'()ln x x ϕ=-，当01x <<时，'()0x ϕ>，故函数()x ϕ在(0,1)上为增函数，当1x >时，'()0x ϕ<，故函数()x ϕ在(1,)+∞上为减函数，即()(1)0x ϕϕ≤=，故1a =．综上所述，()0f x ≥恒成立的充要条件为1a =．⑶．由⑵知，当0a <时，函数()y f x =在(0,1]上为增函数．又函数1y x =在(0,1]上为减函数．不妨设1201x x <≤≤，则1221|()()|()()f x f x f x f x -=-，12121111||x x x x -=-，故12|()()|f x f x -≤ 12114||x x -等价于211244()()f x f x x x -≤-，即212144()()f x f x x x +≤+，设4()()h x f x x =+= 41ln x a x x +--，则121211|()()|4||f x f x x x -≤-等价于函数()h x 在区间(0,1]上是减函数．因2'24()x ax h x x --=，故240x ax --≤在(0,1]上恒成立，即4a x x ≥-在(0,1]上恒成立，而4x x-的最大值为3-．故3a ≥-．又0a <，即[3,0)a ∈-．另解：042≤--ax x 在(0,1]x ∈上恒成立，设4)(2--=ax x x g ，只需(0)40(1)1400g g a a =-<⎧⎪=--≤⎨⎪<⎩，故[3,0)a ∈-．盐城市、南京市2010-2011学年度高三年级第三次调研考试 20．已知函数)()(23R a ax x x x f ∈-+=．⑴．当0a =时，求与直线100x y --=平行，且与曲线()y f x =相切的直线的方程； ⑵．求函数)1(ln )()(>-=x x a xx f x g 的单调递减区间； ⑶．如果存在[3,9]a ∈，使函数]),3[)(()()(b x x f x f x h -∈'+=在3x =-处取得最大值，试求b 的最大值．【解】⑴．设切点为32000(,)T x x x +，由'2()32f x x x =+及题意得，200321x x +=．解得01x =-或013x =．故(1,0)T -或14(,)327T ．故切线方程为10x y -+=或272750x y --=；⑵．因2()ln (1)g x x x a a x x =+-->，故由'()210ag x x x=+->得，220x x a +->．令2()2(1)x x x a x ϕ=+->，因()x ϕ在(1,)+∞上递增，故()(1)3x a ϕϕ>=-．当30a -≥，即3a ≤时，()g x 的增区间为(1,)+∞；当30a -<，即3a >时，因(1)30a ϕ=-<，故()x ϕ的一个零点小于1、另一个零点大于1．由()0x ϕ=得，零点1114x -=<，2114x -+=>，从而()0(1)x x ϕ>>的解集为1()4-++∞，即()g x的增区间为)+∞；⑶．法一：设32()4(2)h x x x a x a =++--，则'2()382h x x x a =++-．因存在[3,9]a ∈，令'()0h x =得，1x =2x =．当1x x <或2x x >时，'()0h x >；当12x x x <<时，'()0h x <．故要使()([3,])h x x b ∈-在3x =-处取得最大值，必有123,3x x ≤-⎧⎨>-⎩，解得5a ≥，即[5,9]a ∈．故存在[5,9]a ∈使()([3,])h x x b ∈-在3x =-处取得最大值的充要条件为(3)()h h b -≥，即存在[5,9]a ∈使32(3)(423)0b a b b b +-++-≥成立．因30b +>，故329(3)(423)0b b b b +-++-≥，即2(3)(10)0b b b ++-≤．解得1122b --≤≤，故b 的最大值为12-+． 法二：32()4(2)h x x x a x a =++--，据题意知，()(3)h x h ≤-在区间[3,]b -上恒成立．即32(27)4(9)(2)(3)0x x a x ++-+-+≤，即2(3)(1)0x x x a ++--≤①．若3x =-时，不等式①成立；若3x b -<≤时，不等式①可化为210x x a +--≤，即21x x a +≤+②．令2()x x x ϕ=+．当32b -<≤时，()x ϕ在区间[3,]b -上的最大值为(3)6ϕ-=，不等式②恒成立等价于61a ≤+，即5a ≥，符合题意；当2b ≥时，()x ϕ的最大值为2()b b b ϕ=+，不等式②恒成立等价于21b b a +≤+．由题意知这个关于a 的不等式在区间[3,9]上有解．故2max (1)b b a +≤+，即210b b +≤，解得，122b -+<≤．综上所述，b ，此时唯有9a =符合题意．。

2011年江苏省苏东三市高三调研数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分 1. 命题“对任意的X ∈R ，x 3−x 2+1≤0”的否定是：________．2. 已知集合M ={x|x <3}，N ={x|log 2x >1}，则M ∩N =________．3. 将复数1+2i 3+i 3表示为a +bi （a ，b ∈R ，i 为虚数单位）的形式为________．4. 若平面上三点A 、B 、C 满足|AB →|=3，|BC →|=4，|CA →|=5，则AB →⋅BC →+BC →⋅CA →+CA →⋅AB →的值等于________．5. 一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工________人．6. （文）若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆x 26+y 22=1的右焦点重合，则实数p 的值是________．7. 设a ，b 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出下列四个命题： ①若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊄α，则b // α； ②若a // α，α⊥β，则a ⊥β；③若a ⊥β，α⊥β，则a // α或a ⊂α； ④若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β则α⊥β．其中正确的命题是________（请把所有正确命题的序号都填上）． 8. 若f(x)=asin(x +π4)+3sin(x −π4)是偶函数，则a =________．9. 已知数列{a n }中，a 1=2，a n+1=3a n +4．则数列{a n }的通项公式是________．10. 直线y =2x +m 和圆x 2+y 2=1交于点A 、B ，以x 轴的正方向为始边，OA 为终边（O 是坐标原点）的角为α，OB 为终边的角为β，若|AB|=√3，那么sin(α−β)的值是________．11. 如图所示，在单位正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的面对角线A 1B 上存在一点P 使得AP +D 1P 最短，则AP +D 1P 的最小值为________．12. 设实数x ，y 满足{x −y −2≤0x +2y −5≥0y −2≤0 则u =y 2−x 2xy 的取值范围是________．13. 已知椭圆方程x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，当a 2+16b(a−b)的最小值时，椭圆的离心率e =________．14. 设a ，b 为互不相等的正整数，方程ax 2+8x +b =0的两个实根为x 1，x 2(x 1≠x 2)，且|x 1|<|x 2|<1，则a +b 的最小值为________．二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知角A，B，C为△ABC的三个内角，其对边分别为a，b，c，若m=(−cos A2，sin A2)，n=(cos A2，sin A2)，a=2√3，且m⋅n=12．（1）求角A的值．（2）求b+c的取值范围．16. 设函数f(x)=(x+1)2−2klnx．（1）当k=2时，求函数f(x)的增区间；（2）当k<0时，求函数g(x)=f′(x)在区间(0, 2]上的最小值．17. 如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．(1)求证：AE⊥BE；(2)设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN // 平面DAE．18. 已知圆M:x2+(y−2)2=1，设点B，C是直线l:x−2y=0上的两点，它们的横坐标分别是t，t+4(t∈R)，点P在线段BC上，过P点作圆M的切线PA，切点为A．（1）若t=0，MP=√5，求直线PA的方程；（2）经过A，P，M三点的圆的圆心是D，求线段DO长的最小值L(t)．19. 将数列{a n}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10…记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为{b n}，b1=a1=1．S n为数列{b n}的前n项和，且满足2b nb n S n−S n2=1(n≥2)．（1）证明数列{1S n}成等差数列，并求数列{b n}的通项公式；（2）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当a81=−491时，求上表中第k(k≥3)行所有项的和．20. f(x)是定义在D上的函数，若对任何实数α∈(0, 1)以及D中的任意两数x1，x2，恒有f(αx1+(1−α)x2)≤αf(x1)+(1−α)f(x2)，则称f(x)为定义在D上的C函数．（1）试判断函数f1(x)=x2，f2(x)=1x(x<0)中哪些是各自定义域上的C函数，并说明理由；（2）已知f(x)是R上的C函数，m是给定的正整数，设a n=f(n)，n=0，1，2，…，m，且a0=0，a m=2m，记S f=a1+a2+...+a m．对于满足条件的任意函数f(x)，试求S f的最大值．2011年江苏省苏东三市高三调研数学试卷答案1. 存在x0∈R，x03−x02+1>02. {x|2<x<3}3. 110+710i4. −255. 106. 47. ①③④8. −39. a n=4.3n−1−210. ±√3211. √2+√212. [−83, 3 2 ]13. √32 14. 915. 解：（1）m=(−cos A2，sin A2)，n=(cos A2，sin A2)，且m⋅n=12．∴ −cos2A2+sin2A2=12，即−cosA=12，又A∈(0, π)，∴ A=2π3；（2）由正弦定理得：bsinB =csinC=asinA=2√3sin2π3=4，又B+C=π−A=π3，∴ b+c=4sinB+4sinC=4sinB+4sin(π3−B)=4sin(B+π3)∵ 0<B<π3，则π3<B+π3<2π3．则√32<sin(B+π3)≤1，即b+c的取值范围是(2√3，4].16. 解（1）k=2，f(x)=(x+1)2−4lnx．则f′(x)=2x+2−4x =2x(x−1)(x+2)>0，（此处用“≥”同样给分）注意到x>0，故x>1，于是函数的增区间为(1, +∞)．（写为[1, +∞）同样给分）（2）当k<0时，g(x)=f′(x)=2x+2−2kx．g(x)=2(x+−kx)+2≥4√−k+2，当且仅当x=√−k时，上述“≥”中取“=”．①若√−k∈(0, 2]，即当k∈[−4, 0)时, 函数g(x)在区间(0, 2]上的最小值为4√−k+2；②若k<−4，则g′(x)=2(1+kx2)在(0, 2]上为负恒成立，故g(x)在区间(0, 2]上为减函数，，于是g(x)在区间(0, 2]上的最小值为g(2)=6−k．综上所述，当k∈[−4, 0)时, 函数g(x)在区间(0, 2]上的最小值为4√−k+2；当k<−4时，函数g(x)在区间(0, 2]上的最小值为6−k．17. (1)证明：∵ AD⊥平面ABE，AD // BC，∴ BC⊥平面ABE，则AE⊥BC.又∵ BF⊥平面ACE，∴ AE⊥BF.∵ BC∩BF=B，∴ AE⊥平面BCE，且BE⊂平面BCE，∴ AE⊥BE.(2)在△ABE中，过M点作MG // AE交BE于G点，在△BEC中过G点作GN // BC交EC于N点，连接MN.∵ AM=2MB，∴ CN=13CE.∵ MG // AE，MG⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，∴ MG // 平面ADE.同理可证，GN // 平面ADE，∵ MG∩GN=G，∴ 平面MGN // 平面ADE.又∵ MN⊂平面MGN，∴ MN // 平面ADE，∴ N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点.18. 解：（1）由圆M:x2+(y−2)2=1，得到圆心M(0, 2)，半径r=1，设P(2a, a)(0≤a≤2)．∵ M(0,2),MP=√5，∴ √(2a)2+(a−2)2=√5．解得a=1或a=−15（舍去）．∴ P(2, 1)．由题意知切线PA的斜率存在，设斜率为k．所以直线PA的方程为y−1=k(x−2)，即kx−y−2k+1=0．∵ 直线PA与圆M相切，∴√1+k2=1，解得k =0或k =−43．∴ 直线PA 的方程是y =1或4x +3y −11=0；（2）设f(a)min =f(t2+2)=54(t2+2)2+(t2+2)+1=1516t 2+3t +8 ∵ PA 与圆M 相切于点A ，∴ PA ⊥MA ．∴ 经过A ，P ，M 三点的圆的圆心D 是线段MP 的中点． ∵ M(0, 2)，∴ D 的坐标是(a,a2+1)． 设DO 2=f(a)．∴ f(a)=a 2+(a2+1)2=54a 2+a +1=54(a +25)2+45．当t 2>−25，即t >−45时，f(a)min =f(t 2)=516t 2+t2+1； 当t2≤−25≤t2+2，即−245≤t ≤−45时，f(a)min =f(−25)=45；当t2+2<−25，即t <−245时，f(a)min =f(t2+2)=54(t2+2)2+(t2+2)+1=1516t 2+3t +8则L(t)={14√5t 2+8t +16，t >−452√55，−245≤t ≤−4514√5t 2+48t +128，t <−245．19. 解：（1）证明：由已知，当n ≥2时，2b nb n S n −S n2=1，又S n =b 1+b 2+...+b n ， 所以2(S n −S n−1)(S n −S n−1)S n −S n2=1⇒2(S n −S n−1)−S n−1S n=1⇒1S n−1S n−1=12，又S 1=b 1=a 1=1．所以数列{1S n}是首项为1，公差为12的等差数列．由上可知1S n=1+12(n −1)=n+12，⇒S n =2n+1．所以当n ≥2时，b n =S n −S n−1=2n+1−2n=−2n(n+1)．因此b n ={1,n =1−2n(n+1)，n ≥2（2）设上表中从第三行起，每行的公比都为q ，且q >0． 因为1+2+⋯+12=12×132=78，所以表中第1行至第12行共含有数列{a n }的前78项，故a 81在表中第13行第三列， 因此a 81=b 13⋅q 2=−491．又b 13=−213×14，所以q =2． 记表中第k(k ≥3)行所有项的和为S ， 则S =b k (1−q k )1−q=−2k(k+1)⋅(1−2k )1−2=2k(k+1)(1−2k )(k ≥3)．20. 解：（1）f1(x)=x2是C函数，证明如下：对任意实数x1，x2及α∈(0, 1)，有f(αx1+(1−α)x2)−αf(x1)−(1−α)f(x2)=(αx1+(1−α)x2)2−αx12−(1−α)x22=−α(1−α)x12−α(1−α)x22+2α(1−α)x1x2=−α(1−α)(x1−x2)2≤0．即f(αx1+(1−α)x2)≤αf(x1)+(1−α)f(x2)．∴ f1(x)=x2是C函数．f2(x)=1x(x<0)不是C函数，证明如下：取x1=−3，x2=−1，α=12，则f(αx1+(1−α)x2)−αf(x1)−(1−α)f(x2)=f(−2)−12f(−3)−12f(−1)=−12+16+12>0．即f(αx1+(1−α)x2)>αf(x1)+(1−α)f(x2)．∴ f2(x)=1x(x<0)不是C函数．（2）对任意0≤n≤m，取x1=m，x2=0，α=nm∈[0,1]，∵ f(x)是R上的C函数，a n=f(n)，且a0=0，a m=2m，∴ a n=f(n)=f(αx1+(1−α)x2)≤αf(x1)+(1−α)f(x2)=nm×2m=2n；那么S f=a1+a2+...+a m≤2×(1+2+...+m)=m2+m．可证f(x)=2x是C函数，且使得a n=2n(n=0, 1, 2,…,m)都成立，此时S f=m2+m．综上所述，S f的最大值为m2+m．。

盐城市2010/2011学年度高三年级第三次调研考试数学试卷注意事项：1、本试卷共160分。

考试时间150分钟。

2、答题前，考生务必将学校、姓名、准考证号写在答题纸的对应位置。

答案写在答题纸上对应题目的横线上。

考试结束后，请交回答题纸。

一、题空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．。

1、命题“0sin ,>∈∀x R x ”的否定 ▲ .2、已知复数i z 43+=（i 为虚数单位），则复数i z 5+的虚部为 ▲ .3、如图，已知集合A={2，3，4，5，6，8}，B={1，3，4，5，7}，C={2，4，5，7，8，9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为 ▲ .4、在水平放置的长为5cm 的木杆上挂一盏灯，则悬挂点与木杆两端距离都大于2cm 的概率是▲ .5、设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥++≤-030101y x y x x ，则目标函数y x z +=2的最小值是 ▲ .6、右图是一个算法的流程图，则输出的值是 ▲ .7、已知函数==+=)413(,3)4(),2sin(2)(ππϕf f x x f 则若 ▲ . 8、已知l ，m ，n 是三条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，下列命题：①若l ∥m ，n ⊥m ，则n ⊥l ；②若l ∥m ，m ⊂α，则l ∥α；③若l ⊂α，m ⊂β，α∥β，则l ∥m ；④若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l ，则l ⊥γ其中真命题是 ▲ .（写出所有真命题的序号）。

9、如图，在△ABC 中，∠ABC=900，AB=6，D 在斜边BC 上，且CD=2DB ， 则∙的值为________▲_______.10、已知数列{}n a 的前n 项和12.11,2172>+=+=+k k n a a a pn n S 若，则正整数k 的最小值为 ▲ .11、若不等式xy y x k29422≥+对一切正数x ，y 恒成立，则整数k 的最大值为 ▲ . 12、已知直线)(R m mx y ∈=与函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤-=0,1210,)21(2)(2x x x x f x 的图象恰有三个不同的公共点，则实数m 的取值范围是 ▲ .13、已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得e PF PF =21，则该离心率e 的取值范围是 ▲ . 14、如图，已知正方形ABCD 的边长为1，过正方形中心O 的直线MN 分别交 正方形的边AB ，CD 于点M ，N ，则当BN MN 取最小值时，CN= ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定的区域内．．．．．．．．．作答，解答是时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

江苏省盐城市重点中学2011届高三检测理科数学试题
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数 学 试 题盐城市2011年高中阶段教育招生统一考试注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答 题卡上．一、选择题（本大题共有８小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．-2的绝对值是A ．-2B ．- 12C ．2D ．12【答案】C 。

【考点】绝对值。

【分析】根据绝对值的定义，直接得出结果。

2．下列运算正确的是A ．x 2+ x 3= x 5B ．x 4²x 2= x 6 C ．x 6÷x 2 = x 3D ．( x 2)3 = x 8【答案】B 。

【考点】同底幂的乘法。

【分析】42426x x x x +⋅==3．下面四个几何体中，俯视图为四边形的是【答案】D 。

【考点】几何体的三视图。

【分析】根据几何体的三视图，直接得出结果。

4．已知a -b =1，则代数式2a -2b -3的值是A ．-1B ．1C ．-5D ．5【答案】A 。

【考点】代数式代换。

【分析】()22323231a b a b --=--=-=-5．若⊙O 1、⊙O 2的半径分别为4和6，圆心距O 1O 2=8，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是 A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离 【答案】B 。

【考点】圆心距。

A B CD【分析】126464<O O <-+∴ 两圆相交。

6．对于反比例函数y = 1x，下列说法正确的是A ．图象经过点（1，-1）B ．图象位于第二、四象限C ．图象是中心对称图形D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大 【答案】C 。

【考点】反比例函数。

【分析】根据反比例函数性质，直接得出结果。

第6题江苏盐城市2010/2011学年度高三年级第一次调研考试数 学 试 题(总分160分, 考试时间120分钟) 2011-1-20一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上. 1．已知集合{}{}4,2,0,2,4,|13=--=-<<P Q x x ,则PQ = ▲ .2．若复数1234,12(z i z i i =+=+是虚数单位),则12-z z = ▲ . 3．命题:,sin 2x R x ∀∈<的否定是 ▲ .4．某单位有职工100人,其中不到35岁的有45人,35岁到49岁的有2550岁及以上的有30人.现在用分层抽样的方法抽取20人进行问卷调查则35岁到49岁的应抽取 ▲人．5．从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 ▲ . 6．运行如图所示的程序框图,则输出的结果S= ▲ . 7．函数23cos(2)4π=--y x x 的最小正周期为 ▲ . 8．观察下列几个三角恒等式:①tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan101++=； ②tan 5tan100tan100tan(15)+-tan(15)tan 51+-=；③tan13tan35tan35tan 42tan 42tan131++=.一般地,若tan ,tan ,tan αβγ都有意义,你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为 ▲ .9．已知点(,)P a b 关于直线l 的对称点为(1,1)'+-P b a ,则圆22:+C x y 620--=x y 关于直线l 对称的圆'C 的方程为 ▲ .10．设,x y 满足约束条件1210,0≤+⎧⎪≥-⎨⎪≥≥⎩y x y x x y ,若目标函数()0,0z abx y a b =+>>的最大值为35,则a b +的最小值为 ▲ .11．已知平面,,αβγ,直线,l m 满足：,,,αγγαγβ⊥==⊥m l l m ,那么第15题 C 1ABC DEFA 1B1 第16题①m β⊥； ②l α⊥； ③βγ⊥； ④αβ⊥.可由上述条件可推出的结论有 ▲ (请将你认为正确的结论的序号都填上).12．在ABC ∆中,60ACB ∠=,sin :sin 8:5A B =,则以,A B 为焦点且过点C 的椭圆的离心率为 ▲.13．已知{n a }是公差不为0的等差数列,{n b } 是等比数列,其中1122432,1,,2a b a b a b ====,且存在常数α、β ,使得n a =log n b αβ+对每一个正整数n 都成立,则βα= ▲ .14．已知函数2342011()12342011=+-+-+⋅⋅⋅+x x x x f x x ,2342011()12342011=-+-+-⋅⋅⋅-x x x x g x x , 设()(3)(3)=+⋅-F x f x g x ,且函数()F x 的零点均在区间[,](,,)<∈a b a b a b Z 内, 则-b a 的最小值为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.15．(本小题满分14分)如图,O 为坐标原点,点,,A B C 均在⊙O 上,点A 34(,55,点B 在第二象限,点C (1,0).（Ⅰ）设COA θ∠=,求sin 2θ的值；（Ⅱ）若AOB ∆为等边三角形,求点B 的坐标.16．(本小题满分14分)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°,E 、F 分别为A 1C 1、B 1C 1的中点, D 为棱CC 1上任一点. （Ⅰ）求证：直线EF ∥平面ABD ； （Ⅱ）求证：平面ABD ⊥平面BCC 1B 1.17．(本小题满分16分)已知抛物线:C 22(0)y px p =>的准线为l ,焦点为F .⊙M 的圆心在x 轴的正半轴上,且与y 轴相切．过原点O 作倾斜角为3π的直线n ,交l 于点A , 交⊙M 于另一点B ,且2AO OB ==. （Ⅰ）求⊙M 和抛物线C 的方程；（Ⅱ）若P 为抛物线C 上的动点,求PM PF ⋅的最小值；（Ⅲ）过l 上的动点Q 向⊙M 作切线,切点为,S T ,求证：直线ST 恒过一个定点,并求该定点的坐标.18．(本小题满分14分)因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中.为了治污,根据环保部门的建议,现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放(14≤≤a a ,且)∈a R 个单位的药剂,它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x (天)变化的函数关系式近似为()y a f x =⋅,其中161(04)8()15(410)2⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤⎪⎩x xf x x x .若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时,它才能起到有效治污的作用. （Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂,则有效治污时间可达几天?（Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂,6天后再投放a 个单位的药剂,要使接下来的4天中能够持续有效治污,试求a 的最小值(精确到0.1,参考数据取1.4).19．(本小题满分16分)已知数列{}n a 满足12,a =前n 项和为n S ,11()2()n n npa n n a a n n ++-⎧=⎨--⎩为奇数为偶数.（Ⅰ）若数列{}n b 满足221(1)n n n b a a n +=+≥,试求数列{}n b 前n 项和n T ； （Ⅱ）若数列{}n c 满足2n n c a =,试判断{}n c 是否为等比数列,并说明理由； （Ⅲ）当12p =时,问是否存在*n N ∈,使得212(10)1n n S c +-=,若存在,求出所有的n 的值； 若不存在，请说明理由.20．(本小题满分16分)已知函数2()|ln 1|f x x a x =+-,()||22ln 2,0g x x x a a =-+->. （Ⅰ）当1a =时,求函数()f x 在区间[1,]e 上的最大值； （Ⅱ）若3(),[1,)2f x a x ≥∈+∞恒成立,求a 的取值范围；（Ⅲ）对任意1[1,)x ∈+∞,总存在惟一．．的．2[2,)x ∈+∞,使得12()()f x g x =成立, 求a 的取值范围.数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题] B ．（选修4—2：矩阵与变换）求矩阵2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦的特征值及对应的特征向量. C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，直线l 的参数方程是32,545x t y t ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数）．（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与x 轴的交点是M ,N 是曲线C 上一动点,求MN 的最大值.[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22．（本小题满分10分） 设,m n N ∈,()(12)(1)m nf x x x =+++.（Ⅰ）当m n ==2011时,记220110122011()f x a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，求0122011a a a a -+-⋅⋅⋅-；（Ⅱ）若()f x 展开式中x 的系数是20，则当m 、n 变化时，试求2x 系数的最小值． 23．（本小题满分10分）有一种闯三关游戏规则规定如下：用抛掷正四面体型骰子（各面上分别有1，2，3，4点数的质地均匀的正四面体）决定是否过关，在闯第(1,2,3)n n =关时，需要抛掷n 次骰子，当n 次骰子面朝下的点数之和大于2n 时,则算闯此关成功,并且继续闯关，否则停止闯关. 每次抛掷骰子相互独立.（Ⅰ）求仅闯过第一关的概率；（Ⅱ）记成功闯过的关数为ξ，求ξ的分布列和期望．江苏省盐城市2010/2011学年度高三年级第一次调研考试数学试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1.{}0,22.22+i3.,sin 2∃∈≥x R x4.55.346.617.π8.90,tan tan tan tan tan tan 1αβγαββγγα++=++=当时9.22(2)(2)10-+-=x y10.8 11.②④ 12.71313.4 14.9二、解答题：本大题共6小题，计90分. 15．解：（Ⅰ）因为34cos ,sin 55θθ==,所以24sin 22sin cos 25θθθ==………………………………6分 （Ⅱ）因为AOB ∆为等边三角形,所以60AOC ∠=,所以cos cos(60)∠=∠+BOC AOC=………………………………………………………………………………………………10分同理,4sin 10BOC +∠=,故点A的坐标为3433(,)101-+....................................14分 16．（Ⅰ）证明:因为E 、F 分别为11A C 、11B C 的中点,所以11////EF A B AB (4)分而,EF ABD AB ABD⊄⊂面面,所以直线EF∥平面ABD ………………………………………7分（Ⅱ）因为三棱柱111C B A ABC -为直三棱柱,所以1AB BB ⊥,又AB BC ⊥, 而1BB ⊂面11BCC B ,BC ⊂面11BCC B ,且1BB BC B=,所以AB ⊥面11BCC B ………… 11分又AB ABD⊂面,所以平面ABD⊥平面11BCC B …………………………………………………14分17．解：（Ⅰ）因为1cos602122p OA =⋅=⨯=,即2p =,所以抛物线C 的方程为24y x =……… 2分 设⊙M的半径为r ,则122cos60OB r =⋅=,所以M 的方程为22(2)4x y -+=……………… 5分（Ⅱ）设(,P x y x≥,则(2,)(1,)PM PF x y x y ⋅=----=222322x x y x x -++=++……8分所以当x =时,PM PF⋅有最小值为2 ……………………………………………………………10分 （Ⅲ）以点Q 这圆心,QS 为半径作⊙Q,则线段ST 即为⊙Q 与⊙M 的公共弦………………… 11分设点(1,)Q t -,则22245QS QM t =-=+,所以⊙Q 的方程为222(1)()5x y t t ++-=+…13分 从而直线QS的方程为320x ty --=(*)………………………………………………………………14分因为230x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩一定是方程(*)的解,所以直线QS 恒过一个定点,且该定点坐标为2(,0)3……………16分 18．解：（Ⅰ）因为4a =,所以644(04)8202(410)x y x x x ⎧-≤≤⎪=-⎨⎪-<≤⎩…………………………………………………1分则当04x ≤≤时,由64448x-≥-,解得x ≥,所以此时04x ≤≤…………………………………… 3分当410x <≤时,由2024x -≥,解得8x ≤,所以此时48x <≤………………………………………5分综合,得08x ≤≤,若一次投放4个单位的制剂,则有效治污时间可达8天………………………… 6分 （Ⅱ）当6x ≤≤时,1162(5)(1)28(6)y x a x =⨯-+---……………………………………………9分 =161014a x a x -+--=16(14)414ax a x-+---,因为14[4,8]x -∈,而14a ≤≤, 所以[4,8],故当且仅当14x -=时,y有最小值为4a - ………………………12分令44a -≥,解得24624a -≤≤,所以a的最小值为24 1.6-≈ ………………14分19．解：（Ⅰ）据题意得2214n n n b a a n +=+=-,所以{}n b 成等差数列,故222n T n n =--……………4分（Ⅱ）当12p =时,数列{}n c 成等比数列；当12p ≠时,数列{}n c 不为等比数列……………………5分理由如下:因为122212n n n c a pa n +++==+2(4)2n p a n n =--+42n pc pn n =--+,所以12(12)n n n c n p p c c +-=-+,故当12p =时,数列{}n c 是首项为1,公比为12-等比数列； 当12p ≠时,数列{}n c 不成等比数列 ………………………………………………………………… 9分 （Ⅲ）当12p =时,121()2n n n a c -==-,121214()2n n n n a b a n -+=-=---………………………………10分因为2...n n S a b b b +=++++=2222n n --+(1n ≥) ……………………………………………12分212(10)1n n S c +-=，244164n n n ∴++=，设2()44416x f x x x =---(2)x ≥，则()()4ln 484x g x f x x '==--，2()(ln 4)480x g x '∴=->(2)x ≥，且(2)(g f '=>，()f x ∴在[2,)+∞递增，且(30f =），(1)0f ≠， ∴仅存在惟一的3n =使得21(10)1n n S c +-=成立……………………………………………………16分20．解：（Ⅰ）当1a =,[1,]x e ∈时2()ln 1f x x x =-+,1()2(1)1f x x f x''=-≥=, 所以()f x 在[1,]e 递增,所以2max ()()f x f e e== (4)分（Ⅱ）①当e x ≥时，a x a x x f -+=ln )(2，xax x f +='2)(，0>a ，0)(>∴x f 恒成立,)(x f ∴在),[+∞e 上增函数,故当ex =时，2m i n )(e e f y ==…………………………………………5分②当e x <≤1时，2()ln =-+f x x a x a ，)2)(2(22)(a x a x x x a x x f -+=-='，（i ）当,12≤a即20≤<a 时，)(x f '在),1(e x ∈时为正数，所以)(x f 在区间),1[e 上为增函数, 故当1=x 时，ay +=1m i n，且此时)()1(e f f <2=e ……………………………………………7分(ii)当e a <<21,即222e a <<时，)(x f '在)2,1(a x ∈时为负数，在间),2(e ax ∈ 时为正数,所以)(x f 在区间)2,1[a 上为减函数，在],2(e a上为增函数,故当2ax =时，2ln 223min a a a y -=， 且此时)()2(e f af <2=e ………………………………………………………………………8分 (iii)当e a≥2,即 22e a ≥时，)(x f '在),1(e x ∈时为负数，所以)(x f 在区间[1,e]上为减函数，故当e x =时，2m i n )(e e f y == (9)分 综上所述，函数)(x f y =的最小值为⎪⎩⎪⎨⎧>≤<-≤<+=222m i n2,22,2ln 22320,1e a e e a a a a a a y ……………………………10分 所以当312a a +≥时,得02a <≤；当33ln 2222a a a a -≥(222a e <<)时,无解；当232e a ≥（22a e ≥）时,得a ≤不成立. 综上,所求a 的取值范围是02a <≤…………………………………………11分（Ⅲ）①当02a <≤时,()g x 在[2,)+∞单调递增,由(2622ln 21g a a =--≤+）, 得52ln 2233a -≤≤………………………………………………………………………………………12分 ②当122a <≤时，()g x 在[2,)+∞先减后增,由3(2222ln 2ln 222=--<-）a a a g a , 得ln 22ln 20222a a a+--<, 设()ln 22ln 2()2ah t t t t t =+--=,()2ln 0(12)h t t t '=+><<,所以()h t 单调递增且(2)0h =，所以()h t <恒成立得24a <<……………………………………14分③当222a e <<时,()f x 在[2,2a 递增，在[,]2a a 递减，在[,)a +∞递增,所以由()2a g 3ln 222a a a<-,得23ln 22ln 204222a a a a-++-<,设2()3ln 22ln 2m t t t t t =-++-, 则2()22ln 0((2,)m t t t t e '=-+>∈,所以()m t 递增，且(2)0m =, 所以()0m t >恒成立，无解.④当22a e >时，()f x 在[2,]2a 递增，在[,]2a a 递减，在[,)a +∞递增,所以由()2ag e <得2222ln 204a e -+-<无解. 综上,所求a 的取值范围是52[ln 2,4)33a ∈-………………………16分数学附加题部分21．A.证明：连结OF ,因为DF 切⊙O 于F ，所以∠OFD =90°,所以∠OFC +∠CFD =90°．因为OC =OF ，所以∠OCF =∠OFC ,又因为CO ⊥AB 于O ， 所以∠OCF +∠CEO =90°………………………………………………………………………………5分所以∠CFD =∠CEO =∠DEF ，所以DF =DE ,因为DF 是⊙O 的切线,所以DF 2=DB ·DA ． 所以DE 2=DB ·DA ……………………………………………………………………………………10分B. 解：特征多项式2221()(2)14312f λλλλλλ--==--=-+--………………………………3分 由()0f λ=，解得121,3λλ==……6分 将11λ=代入特征方程组，得0,0--=⎧⎨--=⎩x y x y0⇒+=x y ,可取11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦为属于特征值λ1=1的一个特征向量………………………………………8分同理,当23λ=时,由0,00x y x y x y -=⎧⇒-=⎨-+=⎩,所以可取11⎡⎤⎢⎥⎣⎦为属于特征值23λ=的一个特征向量．综上所述,矩阵2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个特征值1213λλ==，；属于11λ=的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， 属于23λ=的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦……………………………………………………………………10分 C. 解：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程可化为22sin ρρθ= ……………………………………………2分又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===,所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=…………4分（Ⅱ）将直线l 的参数方程化为直角坐标方程,得4(2)3y x =--………………………………………6分令0y =,得2x =,即M 点的坐标为(2,0). 又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(1,0)，半径1r =，则MC =分所以1MN MC r +=≤……………………………………………………………………………10分D. 因为0m >，所以10m +>，所以要证()22211a mba mb mm++≤++，即证222()(1)()a mb m a m b +≤++， 即证22(2)0m a ab b -+≥，即证2()0a b -≥，而2()0a b -≥显然成立，故()22211a mba mb m m ++≤++…10分 22.解：（Ⅰ）令1x =-，得01a a aa -+⋅⋅⋅-=20112011(12)(11)1-+-=-………………………4分（Ⅱ）因为112220m n C C m n +=+=，所以202n m =-,则2x 的系数为2222m n C C +2(1)(1)1422(202)(192)222m m n n m m m m --=⨯+=-+--=2441190m m -+ ……………7分所以当5,10m n ==时，()f x 展开式中2x的系数最小，最小值为85…………………………10分23.解：（Ⅰ）记“仅闯过第一关的概率”这一事件为A,则339()41664P A =⋅=……………………4分（Ⅱ）由题意得, ξ的取值有0,1,2,3,且1(0)4p ξ==, 9(1)64p ξ==, (2)p ξ==3135641664⋅⋅273512=, (3)p ξ==313841664⋅⋅39512=, 即随机变量ξ的概率分布列为:……8分所以,19273397350123464512512512E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= (10)。

江苏省盐城市重点中学2011届高三检测试卷数学试题（理科）一、填空题：（每小题5分，共70分）1．函数2lg(2)y x x =-的定义域是______▲______________．2．已知函数)1(log )(+=x x f a 的定义域和值域都是[]0,1，则实数a 的值是 ___▲_____ 3．函数y x a =-的图象关于直线3x =对称．则a =_____▲________． 4．集合}24,{Z xN x x A ∈-∈=且用列举法可表示为A=_____▲________． 5．设M={a,b}，则满足M ∪N ⊆{a,b,c}的非空集合N 的个数为______▲________．6．函数22()1x y x R x =∈+的值域为_________▲_______． 7．设函数()f x 是定义在R 上以3为周期的奇函数，若(1)1f >，23(2)1a f a -=+， 则a 的取值范围是_______▲________．8．已知2()lg(87)f x x x =-+-在(, 1)m m +上是增函数，则m 的取值范围是 ▲ ． 9．若函数12)(22-=+-aax x x f 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____▲_________．10．函数f （x ）=-x 2+4x -1在[t ，t+1]上的最大值为g （t ），则g （t ）的最大值为_____▲_______． 11．设f （x ）是定义在（-1,1）上的偶函数在（0,1）上增，若f （a-2）-f （4-a 2）<0，则a 的取值范围为___▲______． 12．若2()()x u f x e--=的最大值为m ，且f （x ）为偶函数，则m+u=______▲__________．13．已知])9,1[(2log )(3∈+=x x x f ，则函数)()]([22x f x f y +=的最大值是____▲_________．14．某商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过500元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过500元，则超过500元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算：可以享受折扣优惠金额 折扣率不超过200元的部分 5% 超过200元的部分10%某人在此商场购物获得的折扣金额为35元，则他购物实际所付金额为 ▲ 元二、解答题：（本大题共6小题，共90分将解答过程写在答卷纸上相应的位置） 15．（本小题满分14分）A=11x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭，B={}21,y y x x x R =++∈ （1）求A ，B（2）求,R A B A C B ⋃⋂16．（本小题满分14分）：已知函数bx ax x f ++=21)(()0≠a 是奇函数， 并且函数)(x f 的图像经过点（1，3），（1）求实数b a ,的值；（2）求函数)(x f 的值域17．（本小题满分14分）已知：在函数的图象上，x mx x f -=3)(以),1(n N 为切点的切线的倾斜角为.4π（I ）求n m ,的值；（II ）是否存在最小的正整数k ，使得不等式]3,1[1993)(-∈-≤x k x f 对于恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k ，如果不存在，请说明理由。

江苏省盐城市2011-2012学年度高三年级摸底考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上. 1．已知集合{}{}2,0,2,4,|03P Q x x =-=<<，则P Q = ▲ .2．命题“0sin ,>∈∀x R x ”的否定是 ▲ .3. 已知复数(2)(z i i i =-为虚数单位)，则z = ▲ .4. 已知等差数列{}n a 满足3710a a +=，则该数列的前9项和9S = ▲ .5．4张卡片上分别写有数字0抽取不同的2率为 ▲ .6. 某校举行2011据的平均值为 ▲ .78．已知向量(3,1),(==-a b 数λ的值为 ▲ .9. 在平面上,为 ▲ . 10．若sin()(0,0,||)2y A x A πωϕωϕ=+>><的最小值为2-，其图象相邻最高点与最低点横坐标之差为2π，且图象过点， 则其解析式是 ▲ .11.如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ， 若090BAO BFO ∠+∠=，则椭圆的离心率是 ▲ .12.与直线3x =相切，且与圆22(1)(1)1x y +++=相内切的半径最小的圆的方程 是 ▲ .13.已知函数2()|6|f x x =-，若0a b <<,且()()f a f b =，则2a b 的最小值是 ▲ .7 98 4 4 4 6 7 9 3第6题第11题14.设等差数列{}n a 满足：公差*d N ∈，*n a N ∈，且{}n a 中任意两项之和也是该数列中的一项. 若513a =，则d 的所有可能取值之和为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分)如图，正三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 的中点. （Ⅰ）求证: AD ⊥平面11BCC B ；（Ⅱ）求证:1A C平面1AB D .16．(本小题满分14分)如图，在ABC ∆中，BC（Ⅰ）求sin BAD ∠的值； （Ⅱ）求AC 边的长．17．(本小题满分14分)某市出租汽车的收费标准如下：在3km 以内(含3km )的路程统一按起步价7元收费，超过．．3km 以外的路程按2.4元/km 收费. 而出租汽车一次载客的运输成本包含以下三个部分:一是固定费用约为2.3元；二是燃油费，约为1.6元/km ；三是折旧费，它与路程的平方近似成正比，且当路程为100km 时，折旧费约为0.1元. 现设一次载客的路程为xkm .(Ⅰ)试将出租汽车一次载客的收费F 与成本C 分别表示为x 的函数；(Ⅱ)若一次载客的路程不少于2km ,则当x 取何值时，该市出租汽车一次载客每km 的收益ABCDA 1B 1C 1B 第16题y (F Cy x-=)取得最大值?18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，(0,8)A ，直线(08)y t t =<<与线段1AF 、2AF 分别交于点P 、Q .(Ⅰ)当3t =时，求以12,F F 为焦点，且过PQ 中点的椭圆的标准方程； (Ⅱ)过点Q 作直线1QRAF 交12F F 于点R ，记1PRF ∆的外接圆为圆C .① 求证:圆心C 在定直线7480x y ++=上；② 圆C 是否恒过异于点1F 的一个定点?若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由.19．(本小题满分16分)已知()f x 为R 上的偶函数，当0x ≥时，()ln(2)f x x =+. (Ⅰ)当0x <时，求()f x 的解析式；(Ⅱ)当m R ∈时，试比较(1)f m -与(3)f m -的大小；第18题(Ⅲ)求最小的整数(2)m m ≥-，使得存在实数t ，对任意的[,10]x m ∈，都有()2ln |3|f x t x +≤+.20．(本小题满分16分) 已知数列{}n a 满足11[2(1)][2(1)]1(1)3n n n n n a a n +++-++-=+-⋅，*n N ∈，12a =.(Ⅰ)求2a ，3a 的值；(Ⅱ)设2121n n n b a a +-=-，*n N ∈，证明: {}n b 是等差数列；(Ⅲ)设212n n c a n =+，求数列{}n c 的前n 项和n S .江苏省盐城市2011/2012学年度高三年级摸底考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题] 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.A.（选修4—1：几何证明选讲）如图，圆O 的直径6AB =，C 为圆周上一点，3BC =，过点C作圆O 的切线l ，过点A 作l 的垂线AD ，D 为垂足，且AD 与圆O 交于点E ，求DAC ∠的度数与线段AE 的长.B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵A =1214⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，求A 的特征值1λ、2λ及对应的特征向量1α、2α.第21(A)题A· OB E l D CC ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，曲线C 的参数方程为2(x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数)，试判断l 与C 的位置关系.D.（选修4—5：不等式选讲）已知,,a b c 为正数，且22214a b c ++=，试求23a b c ++的最大值.[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22．（本小题满分10分）甲、乙等五名深圳大运会志愿者被随机地分到A B C D ，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(Ⅰ)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； (Ⅱ)设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求ξ的分布列． 23．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，1BC =，1AA =， M 是棱1CC 的中点.（Ⅰ）求证：1A B ⊥AM ；（Ⅱ）求直线AM 与平面11AA B B 所成角的正弦值.ABMA 1B 1C 1盐城市2011/2012学年度高三年级摸底考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1．{}2 2．,sin 0x R x ∃∈≤．45 5．136. 85 7．1 8．4 9.1:8 10.2sin(2)3y x π=+11．12 12.22125()(1)24x y -++= 13.－16 14. 364 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分)证:（Ⅰ）因为ABC ∆是正三角形,而D 是BC 的中点，所以AD BC ⊥……………………………… 3分又BC 是两个相互垂直的平面ABC 与面11BCC B 的交线,且AD ABC ⊂面,所以11AD BCC B ⊥面…………………………………………………………………………………… 7分 （Ⅱ）连接1A B ,设11AB A B E =,则E 为1A B 的中点,连接DE ,由D 是BC 的中点,得DEAC ………11分 又1DE AB D ⊂面,且11A C AB D ⊄面,所以1A C平面1AB D ………14分16．(本小题满分14分) 解:（Ⅰ）因为cos 8B =，所以sin 8B =…………………………………………………………2分 又1cos 4ADC ∠=-,所以sin 4ADC ∠=………………………………………………………… 4分所以sin sin()sin cos cos sin BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-∠=∠-∠1()48484=--⨯=………………………………………………………………………7分 （Ⅱ）在ABD ∆中,由正弦定理,得sin sin AD BDB BAD =∠,84=,解得2BD =……………10分故2DC =,从而在ADC ∆中,由余弦定理,得2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠=22132232()164+-⨯⨯⨯-=,所以4AC =………………………………………………………14分 17．(本小题满分14分) 解: (Ⅰ) 703()7 2.4(3)3x F x x x <≤⎧=⎨+⨯->⎩7032.40.23x x x <≤⎧=⎨->⎩…………………………3分 设折旧费2z kx =,将(100,0.1)代入,得.20.1100k =,解得5110k =……………………………………5分所以251() 2.3 1.610C x x x =++…………………………………………………………………………7分 (Ⅱ)因为F C y x -=,所以554.711.623102.510.8()310x x x y x x x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩……………………………………11分①当3x >时,由基本不等式,得0.80.79y ≤-=(当且仅当500x =时取等号)……………12分 ②当23x ≤≤时,由y 在[2,3]上单调递减,得max 554.7221.60.750.7921010y =--=-<…………13分答: 该市出租汽车一次载客路程为500km 时,每km 的收益y 取得最大值…………………………14分 18．(本小题满分16分)解:(Ⅰ)设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>,当3t =时,PQ 的中点为(0,3),所以b=3 (3)分而2216a b -=,所以225a =，故椭圆的标准方程为221204x y +=……………………………………5分 (Ⅱ)①解法一:易得直线12:28;:28AF y x AF y x =+=-+,所以可得88(,),(,)22t tP t Q t --,再由1QR AF ,得(4,0)R t -………………………………………8分 则线段1F R 的中垂线方程为2t x =-, 线段1PF 的中垂线方程为151628t y x -=-+,由1516282t y x t x -⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,解得1PRF ∆的外接圆的圆心坐标为7(,2)28t t --…………………10分经验证,该圆心在定直线7480x y ++=上…………………………………………………… 11分解法二: 易得直线12:28;:28AF y x AF y x =+=-+,所以可得88(,),(,)22t tP t Q t --, 再由1QRAF ,得(4,0)R t -……………………………………………………………………8分设1PRF ∆的外接圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=,则2222(4)(4)0(4)4088()022t t D F y D F t t t D tE F ⎧⎪-+-+=⎪=--+=⎨⎪--⎪++++=⎩,解得744416D tE tF t =⎧⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩…………………………………10分 所以圆心坐标为7(,2)28t t--,经验证,该圆心在定直线7480x y ++=上…………………11分 ②由①可得圆C 的方程为227(4)41604x y tx t y t +++-+-=……………………………13分该方程可整理为22(x y ++则由2241607404x y y x y ⎧++-=⎪⎨-+=⎪⎩所以圆C 恒过异于点1F 16分 19．(本小题满分16分)解: (Ⅰ)当0x <时，()f x 3分 (Ⅱ)当0x ≥时,()ln(f x x =)在(,0)-∞上单调递减,所以(1)f m -＞22(3)|1||3|(1)(3)f m m m m m -⇔->-⇔->-2m ⇔>………………6分所以当2m >时, (1)(3)f m f m ->-；当2m =时, (1)(3)f m f m -=-；当2m <时, (1)(3)f m f m -<-……………………………………………………………… 8分(Ⅲ)当x R ∈时,()ln(||2)f x x =+,则由()2ln |3|f x t x +≤+,得2ln(||2)ln(3)x t x ++≤+,即2||2(3)x t x ++≤+对[,10]x m ∈恒成立………………………………………………………12分从而有225777t x x t x x ⎧≤++⎨≥---⎩对[,10]x m ∈恒成立,因为2m ≥-， 所以22min 22max (57)57(77)77t x x m m t x x m m ⎧≤++=++⎨≥---=---⎩………………………………………………………14分因为存在这样的t ,所以227757m m m m ---≤++,即2670m m ++≥…………………… 15分 又2m ≥-,所以适合题意的最小整数1m =-………………………………………………………16分 20．(本小题满分16分) 解: (Ⅰ)因为11[2(1)][2(1)]1(1)3n n n n n a a n +++-++-=+-⋅ (*),且12a =,所以将1n =代入(*)式,得1232a a +=-,故28a =-……1分 将2n =代入(*)式,得2337a a +=,故35a =…………2分 (Ⅱ)在(*)式中,用2n 代换n ,得2122221[2(1)][2(1)]1(1)6n n n n n a a n +++-++-=+-⋅,即221316n n a a n ++=+ ①,再在(*)式中,用21n -代换n ,得22121212[2(1)][2(1)]1(1)(63)n n n n n a a n ---+-++-=+-⋅-, 即212346n n a a n -+=- ②, ①－②,得21213()123n n a a n +--=-,即41n b n =-…………………6分 则由1(4(1)1)(41)4n n b b n n +-=+---=,得{}n b 是等差数列……………………………………… 8分 (Ⅲ)因为12a =,由(Ⅱ)知,21131532123()()()k k k a a a a a a a a ---=+-+-+⋅⋅⋅+-2(411)(421)(4(1)1)k =+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯--=(1)(21)2k k --+ ③,将③代入②,得23(1)(21)646k k k a k --++=-,即22635k a k k =-+-………………………… 10分所以221211(21)2k k c a k --=+-=27452k k -+,2221(2)2k k c a k =+=2435k k -+-, 则212322k k c c k -+=--,所以21234212()()()k k k S c c c c c c -=++++⋅⋅⋅++=3[(21)2-⨯+3(22)2+⨯+3(2)]2k +⋅⋅⋅+⨯+23335[(21)(22)(2)]2222k k k -⨯++⨯++⋅⋅⋅+⨯+=--……… 13分所以2222122511()(435)3522k k k S S c k k k k k k -=-=----+-=-+…………………………… 15分故221135(21)25(2)2n k k n k S k k n k ⎧-+=-⎪⎪=⎨⎪--=⎪⎩223512()45()4n n n n n n ⎧-+⎪⎪=⎨+⎪-⎪⎩为数为数奇偶………………………………16分数学附加题部分21．A. 解: 连结OC ，因BC=OB=OC=3,因此060CBO ∠=,由于DCA CBO ∠=∠,所以060DCA ∠=， 又AD DC ⊥，故030DAC ∠=…………………………………………………………………………5分 又因为090ACB ∠=,得030CAB ∠=,那么060EAB ∠=,连接BE,则030ABE ∠=， 于是132AE AB ==…………………………………………………………………………………… 10分 B. 解:设A 的一个特征值为λ,由题意知1214λλ---=0,则(2)(3)0λλ--=,解得12λ=或23λ=………………………………………………………………………………………5分 当λ1=2时，由1214⎡⎤⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=2x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得A 属于特征值2的特征向量α1=21⎡⎤⎢⎥⎣⎦…………………8分当λ2=3时，由1214⎡⎤⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=3x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得A 属于特征值3的特征向量α2=11⎡⎤⎢⎥⎣⎦…………………10分 C. 解：直线l 的直角坐标方程为y x =……3分 曲线C 是圆,圆心为(2,0),半径为r =6分因为圆心到直线l的距离d r ===,所以直线与曲线C 相切……………………………10分 D. 解:根据柯西不等式,得22222222(23)()(123)14a b c a b c ++≤++++=………………………8分所以2314a b c ++≤,即23a b c ++的最大值为14…………………………………………………10分22. 解：(Ⅰ)332454140A C A =，即甲、乙两人同时参加A 5分 (Ⅱ)随机变量ξA 岗位服务，则235334541(2)4C A P C A ξ===,10分23.解：（Ⅰ）因为1C C ⊥平面ABC ，BC ⊥AC ，所以分别以CA ，CB ，1CC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则B （0，1，0），1A ，A 0，0）,M ，所以1A B =（，1，）,AM =（0，所以1A B ·AM =3+0-3=0，所以1A B ⊥AM ,即1A B ⊥AM ……………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知(AB =-，1A A =（0，0），设面11AA B B 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0.y ⎧+=⎪=不妨取n =，设直线AM 与平面11AA B B 所成角度为θ,- 11 -则sin |cos ,|||6||||AM nAM n AM n θ⋅=<>==⋅ 所以直线AM 与平面11AA B B 所成角的正弦值为610分 (注:其它建系方法与解法,类似给分)。