15【基础】直角三角形全等判定(基础课程讲义例题练习含答案)

三角形全等测试题及答案一、选择题1. 两个三角形全等的条件是（）A. 有两条边和它们的夹角对应相等B. 三条边对应相等C. 有两条边和其中一条边的对角对应相等D. 有两条边和其中一条边的邻角对应相等答案：B2. 如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形（）A. 一定全等B. 可能相似C. 一定相似D. 无法确定答案：B二、填空题3. 已知三角形ABC与三角形DEF全等，且∠A=∠D，AB=DE，那么AC=______。

答案：EF4. 如果两个三角形的两边和夹角对应相等，那么这两个三角形是______。

答案：全等三、判断题5. 如果两个三角形的对应边成比例，那么这两个三角形一定全等。

（）答案：错误6. 如果两个三角形的两边和夹角对应相等，那么这两个三角形一定相似。

（）答案：正确四、解答题7. 如图所示，已知三角形ABC与三角形DEF全等，且AB=5cm，BC=7cm，∠A=∠D=90°，求DE的长度。

答案：DE=7cm8. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB=3cm，BC=4cm，DE=6cm，求AC的长度。

答案：AC=8cm五、证明题9. 已知三角形ABC与三角形DEF全等，且∠A=∠D，AB=DE，证明：AC=EF。

证明：由于三角形ABC与三角形DEF全等，根据全等三角形的性质，对应边相等，所以AC=EF。

10. 已知∠A=∠D，AB=DE，AC=DF，求证：三角形ABC≌三角形DEF。

证明：根据SAS（边角边）判定方法，已知∠A=∠D，AB=DE，AC=DF，所以三角形ABC≌三角形DEF。

1.2.2 直角三角形全等的判定1.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,则这两个直角三角形全等的依是(C)A.SSSB.AASC.SASD.HL2．如图，∠C＝∠D＝90°，若利用“HL”可以判定Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需要添加的条件是(B)A．∠BAC＝∠BADB．BC＝BD或AC＝ADC．∠ABC＝∠ABDD．以上都不正确3．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是(B)A．两条直角边对应相等B．两个锐角对应相等C．一个锐角和一条直角边对应相等D．斜边和一条直角边对应相等4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，E为AC上一点，ED⊥AB于点D，BD＝BC，连接BE，若AC＝6 cm，则AE＋DE等于(C)A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm【点拨】由已知可证Rt△BDE≌Rt△BCE，∴DE＝CE.∴AE＋DE＝AE＋CE＝AC＝6 cm.5.如图，BD＝CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE＝CD，若∠AFD＝134°，则∠EDF的度数为(A)A．44° B．36° C．46° D．34°【点拨】∵BD＝CF，BE＝CD，FD⊥BC，DE⊥AB，∴Rt△BDE≌Rt△CFD(HL)．∴∠BDE＝∠CFD.又∵∠CFD＝180°－∠AFD＝46°，∠EDF＋∠EDB＝90°，∴∠EDF＝90°－46°＝44°.【答案】A6．如图，在△ABC中，△C＝90°，AD＝AC，DE△AB交BC于点E.若△B＝28°，则△AEC＝(B)A．28°B．59°C．60°D．62°7．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD，CE 相交于点O，AO的延长线交BC于点F，则图中全等的直角三角形有(D) A．3对B．4对C．5对D．6对8．如图，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH＝DC.下列结论：①BD＝AD；②BC＝AC；③BH＝AC；④CE＝CD.其中正确的有(B)A．1个B．2个C．3个D．4个9．(中考·凉山州)如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF.下列结论：①EM＝FN；②CD＝DN；③∠F AN＝∠EAM；④△ACN≌△ABM.其中正确的有(C)A．1个B．2个C．3个D．4个10.(中考·南京)如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为(D)A．a＋c B．b＋cC．a－b＋c D．a＋b－c【点拨】∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A＋∠D＝90°，∠C＋∠D＝90°.∴∠A＝∠C.又∵AB＝CD，∴△ABF≌△CDE(AAS)．∴AF＝CE＝a，DE＝BF＝b.∵EF＝c，∴AD＝AF＋DF＝a＋(b－c)＝a＋b－c.【答案】D二．填空题11.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC于点D,要使△ABD≌△ACD,若根据“HL”判定,还需要加条件__AB=AC__ ,若加条件∠B=∠C,则可用_______AAS__________判定.第11题图第12题图第13题图12.如图所示,OD⊥AB于点D,OP⊥AC于点P,且OD=OP,则△AOD与△AOP全等的理由是____HL或斜边直角边定理_____13.如图所示,已知AB⊥CD,垂足为点B,BC=BE,若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE,则需要添加的一个条件是__AC=DE____14．如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D在直线MN上，点B，C在直线PQ上，点E在AB上，AD＋BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝___7_____．【点拨】∵MN∥PQ，AB⊥PQ，∴∠DAE＝∠EBC＝90°.∵AD＝BE，DE＝EC，∴Rt△ADE≌Rt△BEC.∴AE＝BC.∵AD＋BC＝7，∴AB＝AE＋BE＝BC＋AD＝7.三．计算证明题15.如图，在△ABC中，AB＝42，D为BC上一点，AD＝BD＝4，在AD上找一点E，使BE＝AC.(1)判断△ABD的形状，并说明理由；(2)求证：△BDE≌△ADC.解：(1)△ABD是等腰直角三角形．理由：在△ABD中，∵AD＝BD＝4，∴AD2＋BD2＝32.又∵AB＝42，∴AB2＝32，∴AD2＋BD2＝AB2，∴△ABD为等腰直角三角形．(2)证明：∵∠ADB＝90°且∠ADB＋∠ADC＝180°，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∴△ADC 和△BDE 为直角三角形．在Rt △ADC 和Rt △BDE 中，⎩⎨⎧AC ＝BE ，AD ＝BD ，∴Rt △ADC ≌Rt △BDE (HL)．16．如图，AC △BC ，AD △BD ，AD ＝BC ，CE △AB ，DF △AB ，垂足分别是E ，F .求证：CE ＝DF .证明：∵AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，∴∠ACB ＝∠ADB ＝∠AEC ＝∠BFD ＝90°.在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，⎩⎨⎧AB ＝BA ，BC ＝AD ，∴Rt △ABC ≌Rt △BAD (HL)，∴AC ＝BD ，∠CAE ＝∠DBF .∵在△ACE 和△BDF 中，⎩⎨⎧∠CAE ＝∠DBF ，∠AEC ＝∠BFD ，AC ＝BD ，∴△ACE ≌△BDF (AAS)，∴CE ＝DF .17．如图，在△ABC 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE ＝CF.(1)求证：Rt △ABE ≌Rt △CBF ；(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．（1）证明：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝∠ABE＝90°.在Rt△ABE和Rt△CBF中，∵AE＝CF，AB＝CB，∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．(2）解：∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠CAB＝∠ACB＝45°.∴∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝45°－30°＝15°.由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF＝∠BAE＝15°，∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝15°＋45°＝60°.18.【中考·哈尔滨】已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE ＝90°，连接AE，BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N.(1) 如图①，求证：AE ＝BD ； (2) 如图②，若AC ＝DC ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四对全等的直角三角形．（1）证明：∵△ACB 和△DCE 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠ACB ＋∠ACD ＝∠DCE ＋∠ACD ，∴∠BCD ＝∠ACE ，在△ACE 与△BCD 中，⎩⎨⎧AC ＝BC ，∠ACE ＝∠BCD ，CE ＝CD ，∴△ACE ≌△BCD (SAS)，∴AE ＝BD .（2）解：△ACB ≌△DCE ，△EMC ≌△BNC ，△AON ≌△DOM ，△AOB ≌△DOE.19．如图，∠C ＝∠D ，AC ＝AD .求证：BC ＝BD .【思路点拨】当图中的一对三角形根据已知条件无法证明全等时，可通过作辅助线将图形进行分割或添补，构造全等三角形．本题可过点A 分别作BC ，BD 的垂线，构造出几组全等的直角三角形．证明：过点A 作AM ⊥BC ，AN ⊥BD ，分别交BC ，BD 的延长线于点M ，N ，∴∠M ＝∠N ＝90°.∵∠ACB ＝∠ADB ，∴∠ACM ＝∠ADN .在△ACM 和△ADN 中，⎩⎨⎧∠M ＝∠N ，∠ACM ＝∠ADN ，AC ＝AD ，∴△ACM ≌△ADN (AAS)．∴AM ＝AN ，CM ＝DN .在Rt △ABM 和Rt △ABN 中，⎩⎨⎧AB ＝AB ，AM ＝AN ，∴Rt △ABM ≌Rt △ABN (HL)．∴BM ＝BN .∴BM －CM ＝BN －DN ，即BC ＝BD .20.如图,在△ABC 中,AB=AC,点P 从点B 出发沿线段BA 移动,同时,点Q 从点C 出发沿线段AC 的延长线移动,点P,Q 移动的速度相同,PQ 与直线BC 相交于点D.(1)如图①,求证PD=QD.(2)如图②,过点P 作直线BC 的垂线,垂足为E,当P,Q 在移动过程中,线段BE,ED,CD 中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由.图3 图4(1)证明:如图3,过点P作PF//AC交BC于点F.∵点P和点Q同时出发,且速度相同,∴BP=CQ.∴PF//AQ,∴∠PFB=∠ACB,∠DPF=∠CQD.∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.∴∠B=∠PFB.∴BP=FP.∴FP=CQ.在△PFD和△QCD中,∠DPF=∠DQC,∠PDF=∠QDC,FP=CQ,∴△PFD≌△QCD(AAS),∴PD=QD.(2)解:ED的长度保持不变.理由如下:如图4,过点P作PF//AC交BC于点F.由(1)知PB=PF.△PE△BF,△BE=EF.由(1)知△PFD△△QCD,△FD=CD.△ED=EF+FD=BE+CD=1BC.2△ED的长度为定值.。

1.3 直角三角形全等的判定一、选择题(本大题共8小题)1. 在以下条件中,不能判定两个直角三角形全等的是( )2. 如下图,AB=CD,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,AE=CF,那么图中全等的三角形有( )第2题图第5题图第6题图3.以下说法中正确的选项是〔〕A．a，b，c是三角形的三边长，那么a2+b2=c2B．在直角三角形中，两边长和的平方等于第三边长的平方C．在Rt△ABC中，假设∠C=90°，那么三角形对应的三边满足a2+b2=c2D．在Rt△ABC中，假设∠A=90°，那么三角形对应的三边满足a2+b2=c24. 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，∠A=∠B′，AB=B′A，那么以下结论中正确的选项是〔〕A. AC=A′C′B.BC=B′C′C.AC=B′C′D.∠A=∠A′5. 如下图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC交D点，E、F分别是DB、DC的中点，那么图中全等三角形的对数是〔〕6. 如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，那么△BCE的面积等于〔〕A．10 B．7 C．5 D． 47. 在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,那么以下条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是( )A.AB=DE,AC=DFB.AC=EF,BC=DFC.AB=DE,BC=EFD.∠C=∠F,BC=EF8. 如图,在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA,过点D作DE⊥BC交AB于点E,那么有( )A.DE=DBB.DE=AEC.AE=BED.AE=BD第8题图第9题图二、填空题(本大题共4小题)9. ：如图，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，AE=DF，AB=DC，那么△ABE≌△__________.10. 如图,BD⊥AE于点B,C是BD上一点,且BC=BE,要使Rt△ABC≌Rt△DBE,应补充的条件是∠A=∠D或__________或__________或__________.第10题图第11题图11. 如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，要使△ABD≌△ACD，假设根据“HL〞判定，还需要加一个条件__________.12. ：如图，AB=CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且DE=BF，∠D=60°，那么∠A=__________.三、计算题(本大题共4小题)13. ：如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE求证：OB=OC.14. ：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CD⊥BE15. 如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；说明：〔1〕CF=EB．〔2〕AB=AF+2EB．16. 如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF.(1)求证：BF=2AE;(2)假设CD=2，求AD的长.参考答案：一、选择题(本大题共8小题)1.A2. D3. C4. C5. D6. B7. B8. C二、填空题(本大题共6小题)9.分析：根据直角三角形全等的条件HL判定即可。

1．判定两个三角形全等的基本事实：边边边（SSS）（1）基本事实：三边分别相等的两个三角形全等，简写成“__________”或“SSS”．（2）这个基本事实告诉我们：当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定．这也是三角形具有稳定性的原因．2．判定两个三角形全等的基本事实：边角边（SAS）（1）基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“__________”．（2）此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注意元素的“对应”关系．【注意】（1）此方法是证明两个三角形全等最常用的方法之一，应用时，可以从图形上直接观察到三个对应元素必须符合“两边夹角”，即“SAS”，不要误认为有两边一角就能判定两个三角形全等．（2）在书写时也要按照“边→角→边”的顺序排列条件，必须牢记“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件．3．判定两个三角形全等的基本事实：角边角（ASA）（1）基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“__________”．（2）用“ASA”来判定两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边分别相等，证明时要加强对夹边的认识．4．判定两个三角形全等的基本事实：角角边（AAS）（1）基本事实：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“__________”．（2）这一结论很容易由“ASA”推得，将这一结论与“ASA”结合起来，即可得出：两个三角形如果具备两角和一条边对应相等，就可判定其全等．5．直角三角形全等的判定方法：斜边、直角边（HL）（1）基本事实：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“________”．（2）“HL ”定理是直角三角形所独有的，对于一般三角形不成立． 【归纳】判定两个三角形全等常用的思路方法如下： HL SAS SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS ⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎩一直角边一斜边—已知两边找夹角—找另一边—边为角的对边—找任一角—找夹角的另一边—已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角—找边的对角—找夹边—已知两角找任一角的对边—K 知识参考答案：1．（1）边边边2．（1）SAS 3．（1）ASA4．（1）AAS5．（1）HLK —重点 三角形全等的判定K —难点 三角形全等的判定和性质的综合运用 K —易错三角形全等的判定一、用边边边（SSS ）证明三角形全等明确要证明全等的两个三角形，在书写两个三角形全等时，“≌”左边三角形的三边与“≌”右边三角形的三边的前后顺序要保持一致．【例1】如图，ABC △中，AB AC =，EB EC =，则由“SSS ”可判定A ．ABD △≌ACD △B ．ABE △≌ACE △△D．以上答案都不对C．BDE△≌CDE【答案】B二、用边角边（SAS）证明三角形全等此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注意元素的“对应”关系．【例2】如图，AB=AC，添加下列条件，能用SAS判断△ABE≌△ACD的是A．∠B=∠C B．∠AEB=∠ADC C．AE=AD D．BE=DC【答案】C【解析】∵AB=AC（已知），∠A=∠A（公共角），∴只需要AE=AD，∴△ABE≌△ACD，故选C．三、用角边角、角角边（ASA、AAS）证明三角形全等1．不能说“有两角和一边分别相等的两个三角形全等”，这是因为：假设这条边是两角的夹边，则根据角边角可知正确；假设一个三角形的一边是两角的夹边，而与另一个三角形相等的边是其中一等角的对边，则两个三角形不一定全等．2．有三个角对应相等的两个三角形不一定全等．【例3】如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得ED的长，就得出AB的长，判定△EDC≌△ABC的理由是A．SSS B．SASC．SAA D．ASA【答案】D【解析】∵BF⊥AB，DE⊥BD，∴∠ABC=∠BDE．又∵CD=BC，∠ACB=∠DCE，∴△EDC≌△ABC（ASA）．故选D．【例4】如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠A=∠D，BF=EC，AB∥DE，若∠1=80°，求∠BFD 的度数．四、用斜边、直角边（HL）证明直角三角形全等1．当证明两个直角三角形全等时，若不适合应用“HL”，也可考虑用“SAS”“ASA”或“AAS”来证明．2．在用一般方法证明时，因为两个直角三角形中已具备一对直角相等的条件，故只需找另外两个条件即可，在实际证明中可根据条件灵活选用不同的方法．【例5】如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌△Rt△DCF，则还需要添加一个条件是A．AE=DF B．∠A=∠D C．∠B=∠C D．AB=DC【答案】D五、全等三角形的判定和性质的综合寻找解决问题的思路方法可以从求证的结论出发，结合已知条件，逐步寻求解决问题所需要的条件．同时要注意对图形本身隐含条件的挖掘，如对顶角、公共角、公共边等．【例6】如图，AB与CD交于点O，OA=OC，OD=OB，∠A=50°，∠B=30°，则∠D的度数为A．50°B．30°C．80°D．100°【答案】B【解析】∵OA=OC，OD=OB，∠AOD=∠COB，∴△AOD≌△COB（SAS），∴∠D=∠B=30°．故选B．【例7】如图，已知∠CAB=∠DBA，∠CBD=∠DAC．求证：BC=AD．【解析】∵∠CAB=∠DBA，∠CBD=∠DAC，∴∠DAB=∠CBA．在△ADB与△BCA中，CAB DBA AB ABDAB CBA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADB≌△BCA（ASA），∴BC=AD．。

第十一章：全等三角形一、基础知识1.全等图形的有关概念 （1）全等图形的定义能够完全重合的两个图形就是全等图形。

例如：图13-1和图13-2就是全等图形图13-1图13-2 （2）全等多边形的定义两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。

例如：图13-3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。

图13-3 图13-4（3）全等多边形的对应顶点、对应角、对应边两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。

（4）全等多边形的表示例如：图13-5中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE ≌五边形A ’B ’C ’D ’E ’（这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”）。

图13-5表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置。

（5）全等多边形的性质全等多边形的对应边、对应角分别相等。

A B DC E B ’A ’ C ’ D ’ E ’（6）全等多边形的识别多边形相等、对应角相等的两个多边形全等。

2.全等三角形的识别（1）根据定义若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。

（2）根据SSS如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

相似三角形的识别法中有一个与（SSS）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时，就成为全等三角形。

（3）根据SAS如果两个三角形有两边机器夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，即为全等三角形。

（4）根据ASA如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

（5）根据AAS如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

3.直角三角形全等的识别（1）根据HL如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。

2.7 直角三角形全等判定考查题型一 直角三角形全等判定定理1．老师在画∠AOB 的平分线OP时，设计了①，②两种做法，这两种做法均可由△OMP ≌△ONP 得知，其全等的依据分别是（ ）①如图1，在边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，调整角尺，使角尺的顶点到点M ，N 的距离相等，此时，角尺的顶点为P ，画出射线OP ；②如图2，在边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，再分别过点M ，N ，作OA ，OB 的垂线，交点为P ，画出射线OP ．A ．SSS ；HLB ．SAS ；HLC ．SSS ；SASD ．SAS ；SSS【答案】A 【分析】根据作图过程可得MO = NO ，MP = NP ，再利用SSS 可判定△MPO ≌△PNO ，可得OP 是∠AOB 的平分线；根据题意得出Rt △MOP ≌Rt △NOP (HL )，进而得出射线OP 为∠AOB 的角平分线．【详解】解：如图①：在△MPO 和△NPO 中OM =ON OP =OP MP =NP，∴△MPO ≌△PNO (SSS )∴∠AOP =∠BOP ，即射线OP 为∠AOB 的角平分线；如图②，在Rt △MOP 和Rt △NOP 中，OP=OPMO=NO，∴Rt△MOP≌Rt△NOP (HL)∴∠MOP=∠NOP，即射线OP为∠AOB的角平分线；故选：A．【点睛】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定，关键是掌握判定三角形全等的方法．2．如图，在△ABC中，BE⊥AC于点E，AF分别交BE，BC于点F，D，AE=BE，若依据“HL”说明△AEF≌△BEC，则下列所添条件合理的是（）A．EF=CE B．∠AFE=∠C C．BD⊥AD D．AF=BC【答案】D【分析】根据“HL”进行判断即可．【详解】解：由题意得，△AEF和△BEC中，有一组直角边对应相等，即AE=BE缺少斜边对应相等，即AF=BC，故选：D．【点睛】此题主要考查了“HL”的应用，熟练掌握直角三角形的判定方法是解答此题的关键．3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是AB上的一点，且BE=BC，过E作DE⊥AB交AC于D，如果AC=5cm，则AD+DE等于（ ）A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm【答案】B【分析】证明Rt△BED≌Rt△BCD(HL)，得到DE=DC，进而可得答案．【详解】解：∵DE⊥AB，A．①②B【答案】D【分析】根据HL证明△=2∠PAS=∠BAS，即可得到ADE≌Rt△BEC是解题的关键．6．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠DAB，CB⊥AB，CE⊥AD交AD的延长线于点E．(1)求证：△ACD是等腰三角形；(2)连接BE，与AC相交于点F，求证：AC垂直平分BE．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】（1）由题意易得∠DAC=∠BAC,∠BAC=∠DCA，则有∠DAC=∠DCA，然后问题可求证；（2）由角平分线的性质定理可得CE=CB，易证△ABC≌△AEC，然后问题可求证【详解】（1）证明：∵AB∥DC，AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC,∠BAC=∠DCA，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=CD，∴△ACD是等腰三角形；（2）证明：∵AC平分∠DAB，CB⊥AB，CE⊥AD，∴CE=CB，∠CEA=∠CBA=90°，在Rt△CEA和Rt△CBA中，CE=CBAC=AC，∴Rt△CEA≌Rt△CBA(HL)，∴AE=AB，∴点A、点C在线段BE的垂直平分线上，∴AC垂直平分BE．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定、角平分线的性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质证得∠DAC=∠CAB．7．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD垂直平分EF．【答案】见解析【分析】利用角平分线的性质证得DE=DF，再由全等证得AE=AF，即可证得AD垂直平分EF．【详解】证明：设AD、EF的交点为K，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，在Rt△ADE和Rt△ADF中，AD=ADDE=DF，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE=AF，∴AD是线段EF的垂直平分线．【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等的性质和判定，垂直平分线的判定，解决本题的关键是熟练掌握相关的几何定理．8．如图，DE⊥AB交AB延长线于E，DF⊥AC于F，BD=CD，BE=CF．(1)求证：AD平分∠BAC；(2)直接写出AB+AC与AE之间的数量关系．【答案】(1)见解析(2)AB+AC=2AE【分析】（1）求出∠E=∠DFC=90°，根据全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD，推出DE=DF，根据角平分线性质得出即可；（2）根据全等三角形的性质得出AE=AF，再根据BE=CF，即可求出答案．【详解】（1）解：证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E=∠DFC=90°，∴在Rt△BED和Rt△CFD中，BD=CDBE=CF，∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，∴DE=DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC；（2）解：AB+AC=2AE．理由如下：由（1）知AD平分∠BAC，∴DE=DF，在Rt△ADE和Rt△ADF中，DE=DFAD=AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，∴AE=AF，∵BE=CF，∴AB+AC=AE―BE+AF+CF=2AE．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，全等三角形的对应边相等，对应角相等．9．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BCA=90°，点D在CA上，点E在BC的延长线上，且BD=AE．(1)求证：△BCD≌△ACE；(2)若∠BAE=80°，求∠DBA的度数．【答案】(1)见解析(2)10°【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义得到AC=BC，∠ACE=90°，再利用HL证明即可；（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=∠CBA=45°，继而求出∠CAE，根据全等三角形的性质得到∠CAE=∠CBD=35°，再利用角的和差计算即可．【详解】（1）解：∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC=BC，∵∠BCA=90°，∴∠ACE=90°，在Rt△BCD和Rt△ACE中，BC=ACBD=AE∴Rt△BCD≌Rt△ACE(HL)；（2）∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠CAB=∠CBA=45°，∵∠BAE=80°，∴∠CAE=∠BAE―∠CAB=35°，∵△BCD≌△ACE，∴∠CAE=∠CBD=35°，∴∠DBA=∠CBA―∠CBD=10°．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用全等三角形的性质得到相等的角．考查题型二角平分线性质定理10. 如图，OC是∠MON内部一条射线，P为射线OC上一点，PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B．下面不能判定OP是∠MON的平分线的是（）A．∠MOC=∠NOC B．PA=PB C．OA=OB D．PB=OB【答案】D【分析】根据角平分线的定义，角平分线的判定定理，三角形全等的判定和性质逐项进行判断即可．A．30°【答案】C【分析】由点O在△ABCA．4B．6【答案】B【分析】过点P作PF⊥AC，PG的点到角的两边的距离相等”可得∵BE，CD分别为∠ABC，∠ACB的平分线，∴PH=PG，PG=PF，∴PH=PF，∴AP为∠BAC的平分线，又∵∠BAC=60°，∵两把直尺为完全相同的长方形，(1)求∠AEB的度数．(2)若∠CEH=∠AEB，AB+BD=16【答案】(1)53°(2)32【分析】（1）过点E作EM⊥BF于点∵CE是∠ACD的平分线，BE是∠ABC由（1）可知：EM=EH=EN，∵AC=6，且S△ACE=12，则SΔACE ∴EN=4∴EM=EH=416．如图，已知△ABC 和△DCE 均是等边三角形，点 B 、C 、E 在同一条直线上，AE 与 BD 交于点 O ，AE 与 CD 交于点 G ，AC 与 BD 交于点 F ，连接 OC 、FG ，则下列结论要：①AE ＝BD ；②AG ＝BF ；③FG ∥BE ；④OC 平分∠BOE ，其中结论正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】首先根据等边三角形的性质，得到BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠BCD＝60°，然后由SAS 判定△BCD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确；又由全等三角形的对应角相等，得到∠CBD＝∠CAE，根据ASA，证得△BCF≌△ACG，即可得到②正确，同理证得CF＝CG，得到△CFG是等边三角形，易得③正确．【详解】∵△ABC和△DCE均是等边三角形，∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠ACD+∠ECD，∠ACD＝60°，∴△BCD≌△ACE(SAS)，∴AE＝BD，①正确；∠CBD＝∠CAE，∵∠BCA＝∠ACG＝60°，AC＝BC，∴△BCF≌△ACG（ASA），∴AG＝BF，②正确；同理：△DFC≌△EGC（ASA），∴CF＝CG，∴△CFG是等边三角形，∴∠CFG＝∠FCB＝60°，∴FG∥BE，③正确；过C作CM⊥AE于M，CN⊥BD于N，∵△BCD≌△ACE，∴∠BDC＝∠AEC，∵CD＝CE，∠CND＝∠CMA＝90°，∴△CDN≌△CEM，∴CM＝CN，∵CM⊥AE，CN⊥BD，∴△Rt△OCN≌Rt△OCM（HL）∴∠BOC＝∠EOC，∴OC平分∠BOE，④正确；故选：D．A．1个B．A．120°B．135°【答案】B∵DE所在直线是BC的垂直平分线，∴BD=CD，【答案】125°/125度【分析】先根据角平分线的判定定理得出ABC+∠ACB=110°，进而求出【详解】解：∵O到三边AB、∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB∴∠NDC=30°，又∵∠MDN=120°，∴∠MDB=30°，∴∠MAD=∠NAD=∠ADN=∠MBD=30°，∴BM=MD，DN=AN，∵DM=DN，∴BM=MD=DN=AN，在Rt△ADM中，设MD=x，则AM=2x，BM=MD=DN=AN=x，∵AB=18，∴3x=18，∴x=6，∴AM=12，MD=DN=AN=6，∴四边形AMDN的周长=AM+MD+DN+AN=12+6+6+6=30；（2）补全图如图乙所示：证明：过点D作DE⊥AB于E，如图丙所示：∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，∴∠DEM=∠DFN=90°，DE=DF，(1)当∠A=30°时，直接写出线段AD与BD的大小关系：(2)若∠A为任意锐角，则线段AD与BD的大小关系是AD论：直角三角形一条直角边的垂直平分线交斜边于一点，这点到三个顶点之间的距离(3)如图2，P是△FHG的边HG上的一个动点，PM⊥FH∴∠A=∠ACD．∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=∠ACD+∠BCD=90°，∴∠B=∠BCD，∴BD=CD，∴AD=BD．故答案为：=．（2）AD=BD理由：∵ED垂直平分AC，∴AD=CD，∴∠A=∠ACD．∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=∠ACD+∠BCD=90°，∴∠B=∠BCD，∴BD=CD，∴AD=BD．②直角三角形一条直角边的垂直平分线交斜边于一点，这点到三个顶点之间的距离相等．故答案为：相等．（3）FP平分∠HFG．理由：如图，作MF的垂直平分线交FP于点O，连接OM，ON．∵PM⊥FH，PN⊥FG，∴△MPF和△NPF都是直角三角形．由(2)中所证可知OF=OP=OM．作线段FN的垂直平分线也必经过FP的中点O，∴OM=OP=OF=ON．又∵MN⊥FP，∴∠OKM=∠OKN=90°．∵OK=OK，∴Rt△OKM≌Rt△OKN，∴MK=NK，又∵∠FKM=∠FNK,FK=FK，∴△FKM≌△FKN，∴∠MFK=∠NFK，即FP平分∠HFG．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，根据直角三角形一条直角边的垂直平分线交斜边于一点，这点到三个顶点之间的距离相等解决问题是解题的关键．23．已知△ABC和△DBE，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°．(1)将△ABC和△DBE按如图1所示位置摆放，点E落在AB上，DE的延长线交AC于点F，连接FB，且FB平分∠CFE．①求证BC=BE；②猜想DE，EF与AF之间的数量关系是__________；(2)若将图1中的△DBE按如图2所示位置摆放，DE交AB于点P，DE的延长线交AC于点F，∠EBP<60°，连接FB，且FB平分∠CFE．试判断（1）中②猜想的结论还成立吗？并说明理由；(3)若将图1中的△DBE按如图3所示位置摆放，DE，DB分别交AC的延长线于点F，P，连接FB，且FB平分∠CFE．你认为（1）中②猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出AF，EF 与DE之间的数量关系．【答案】(1)①证明见解析，②DE=AF+EF，证明见解析；(2)结论成立，证明见解析(3)②的结论不成立，结论为：AF=DE+EF，证明见解析【分析】（1）①由角平分线的性质可得结论；②先证明CF=EF，证明△ABC≌△DBE，可得AC=DE，从而可得结论；（2）证明BC=BE，再证明△BCF≌△BEF(HL)，可得CF=EF．证明△ABC≌△DBE，可得AC=DE，从而可得结论；（3）证明BE=BC，∠BEF=90°=∠BCF，可得BF=BF，证明△BCF≌△BEF(HL)，可得CF=EF．再证明△ABC≌△DBE，可得AC=DE，结合AF=AC+CF，而CF=EF，从而可得结论．【详解】（1）证明：①∵FB平分∠CFE，∠ACB=∠DEB=90°，∴∠CFB=∠EFB，BC=BE．②∵∠BCF=∠BEF=90°，∠CFB=∠EFB，BC=BE，∴△BCF≌△BEF，∴CF=EF，∵∠A=∠D=30°，∠ACB=∠DEB=90°，BC=BE∴△ABC≌△DBE，∴AC=DE，∵AC=AF+CF，而CF=EF，∴DE=AF+EF；（2）∵FB平分∠CFE，∠ACB=∠DEB=90°，∴BC=BE，∠BEF=90°=∠BCF，∵BF=BF，∴△BCF≌△BEF(HL)，∴CF=EF．∵∠A=∠D=30°，∠ACB=∠DEB=90°，∴△ABC≌△DBE，∴AC=DE，∵AC=AF+CF，而CF=EF，∴DE=AF+EF；（3）②的结论不成立，结论为：AF=DE+EF，理由如下：∵FB平分∠CFE，∠ACB=∠DEB=90°，∴BE=BC，∠BEF=90°=∠BCF，∵BF=BF，∴△BCF≌△BEF(HL)，∴CF=EF．∵∠A=∠D=30°，∠ACB=∠DEB=90°，∴△ABC≌△DBE，∴AC=DE，∵AF=AC+CF，而CF=EF，∴AF=DE+EF；【点睛】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记角平分线的性质，全等三角形的判定方法是解本题的关键．。

三角形的判定大题知识点1、全等三角形的判定边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”)边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”)角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”) 斜边.直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL”)4、证明两个三角形全等的基本思路：例题精讲---sss例1.如图，，，求证：.例2.如图，AB = DE，AC = DF，BE = CF. 求证：AB∥DE.对应练习3.如图CE=CB，CD=CA，DE=AB，求证：∠DCA=∠ECB4.已知：如图A、F、B、D四点在同一直线上，且AC＝DE，CB＝EF，AF＝DB．求证：∠A＝∠D．例题精讲---ASA例1：.如图，已知：AD是BC上的中线，BE∥CF.求证：DF=DE.对应练习7.如图，点A，C，B，D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD，求证：AE=FC.例题精讲--AAS例1.如图，在△ABC中，，，,垂足为，，垂足为.求证：.例2 .如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F. 求证：DF=EF.对应练习10：.如图已知：如图，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，CD∥AB，AB=CD。

求证：△ABF≌△CDE。

11.已知：如图，∠ABC=90°，AB=BC，CE⊥BE，AD⊥BE，求证：△ABD≌△BCE.例题精讲-SAS例1.如图，已知AC=AD，∠CAB=∠DAB，求证：∠C=∠D。

例2.如图，点B，E，F，C在一条直线上，AB=DC，BE=CF，∠B=∠C．求证：∠A=∠D。

对应练习13.如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，∠ABC=∠DEF，BE=CF，求证：∠ACB=∠F．例题精讲--HL14.如图，，，，垂足分别为, ，.求证：.15.如图，AB⊥BD，AC⊥CD，垂足分别为点B、C，AB=CD。

12.2 三角形全等的判定1.理解和掌握边边边、边角边的方法判断三角形全等；2.理解和掌握角边角和角角边的方法判断三角形全等；3.理解和掌握直角三角形的判定方法。

一、判定方法一：边边边（SSS ）1.边边边：三边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边“或“SSS “)。

2.书写格式①先写出所要判定的两个三角形。

②列出条件：用大括号将两个三角形中相等的边分别写出。

③得出结论：两个三角形全等。

如下图，在△ABC 和 △A ′B ′C ′中，∵AB =A ′B ′,BC =B ′C ′,AC =A ′C ′,∴△ABC≅△A ′B ′C ′(SSS ).书写判定两个三角形全等的条件：在书写全等的过程中，等号左边表示同一个三角形的量，等号右边表示另一个三角形的量。

如上图，等号左边表示△ABC 的量，等号右边表示 △A ′B ′C ′的量。

3.作一个角等于已知角已知：∠AOB 。

求作： ∠A ′O ′B ′,使 ∠A ′O ′B ′=∠AOB .作法：如上图所示，①以点O 为圆心、任意长为半径画弧，分别交 OA ，OB 于点 C ，D 。

②画一条射线( O ′A ′,以点 O ′为圆心、OC 长为半径画弧，交( O ′A ′于点 C ′.③以点C ′为圆心、CD 长为半径画弧，与上一步中所画的弧交于点 D ′.④过点。

D ′画射线 O ′B ′,则 ∠A ′O ′B ′=∠AOB .题型一 利用SSS 直接证明三角形全等如图，已知AC DB =，要用“SSS ”判定ABC DCB @V V ，则只需添加一个适当的条件是_____．【答案】AB DC=【分析】根据全等三角形的判定：三边对应相等的两个三角形全等，即可．【详解】∵全等三角形的判定“SSS ”：三边对应相等的两个三角形全等，∴当ABC V 和DCB △中，AC DB BC BC AB DC =ìï=íï=î，∴()SSS ABC DCB @V V ，故答案为：AB DC =．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定()SSS ：三边对应相等的两个三角形全等．1．如图，已知AC DB =，要使得ABC DCB @V V ，根据“SSS ”的判定方法，需要再添加的一个条件是_______．【答案】AB DC=【分析】要使ABC DCB @V V ，由于BC 是公共边，若补充一组边相等，则可用SSS 判定其全等．【详解】解：添加AB DC =．在ABC V 和DCB △中AB DC BC CB AC BD =ìï=íï=î，∴()ABC DCB SSS @△△，故答案为：AB DC =．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．添加时注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择添加的条件是正确解答本题的关键．2．如图，AB DC =，若要用“SSS ”证明ABC DCB △△≌，需要补充一个条件，这个条件是__________．【答案】AC BD=【分析】由图形可知BC 为公共边，则可再加一组边相等，可求得答案．【详解】解：∵AB DC =，BC CB =，∴可补充AC DB =，在ABC V 和DCB V 中，AB DC BC CB AC DB =ìï=íï=î，∴ABC V ≌()SSS DCB V ；故答案为：AC DB =．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．题型二 全等三角形的性质与SSS 综合如图，点E 、点F 在BD 上，且AB CD =，BF DE =，AE CF =，求证：AB CD ∥．【分析】根据全等三角形的判定得出ABE CDF △≌△，推出B D Ð=Ð，利用平行线的判定解答即可．【详解】证明：∵BF DE =，∴BE DF =，在ABE V 和CDF V 中，AB DC AE CF BE DF =ìï=íï=î，∴()SSS ABE CDF V V ≌，∴B D Ð=Ð，∴AB CD ∥．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用全等三角形解决问题，属于中考常考题型．1．已知：如图，RPQ D 中，RP RQ =，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分PRQ Ð．【分析】先根据M 为PQ 的中点得出PM QM =，再由SSS 定理得出PRM QRM V V ≌，由全等三角形的性质即可得出结论．【详解】证明：M Q 为PQ 的中点（已知），PM QM \=，在RPM △和RQM V 中，RP RQ PM QM RM RM =ìï=íï=î，(SSS)RPM RQM \V V ≌，PRM QRM \Ð=Ð（两三角形全等，对应角相等）即RM 平分PRQ Ð．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．2．已知如图，四边形ABCD 中，AB BC =，AD CD =，求证：A C Ð=Ð．【分析】连接BD ，已知两边对应相等，加之一个公共边BD ，则可利用SSS 判定ABD CBD ≌△△，根据全等三角形的对应角相等即可证得．【详解】证明：连接BD ，AB CB =Q ，BD BD =，AD CD =，SSS ABD CBD \≌（）V V ．A C \Ð=Ð．【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有SSS ，SAS ，ASA ，HL 等．题型三 作一个角等于已知角如图：(1)在A Ð的内部利用尺规作CED A Ð=Ð（不写作法，保留作图痕迹）(2)判断直线DE AB 与的位置关系【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法在；A Ð的内部作CED A Ð=Ð，即可求解．（2）根据图形及平行线的判定定理可直接得到答案．【详解】（1）解：如图所示，在A Ð的内部作CED A Ð=Ð， 则CED Ð即为所求；（2）∵CED A ÐÐ＝，∴DE AB ∥．故答案为：DE AB ∥．【点睛】本题主要考查角的尺规作图及平行线的判定，熟练掌握基本作图以及平行线的判定定理是解题的关键．1．如图，已知Ðb 和线段a ，求作ABC V ，使B b Ð=Ð，2,AB a BC a==【分析】先画射线BP ，以B 为圆心，a 为半径画弧，与射线BP 交于点D ，再画DA a =，再以b 的顶点为圆心，a 为半径画弧，交b 的两边分别为E ，F ，再以D 为圆心，EF 为半径画弧，交前弧于C ，再连接AC ，从而可得答案．【详解】解：如图，ABC V 即为所求；【点睛】本题考查的是作三角形，作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段，熟练掌握基本作图是解本题的关键．2．已知a Ð．求作CAB a Ð=Ð．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）【分析】按照作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可．【详解】解：如图，CAB Ð为所作．【点睛】本题主要考查了作与已知角相等的角的尺规作图，熟知相关作图方法是解题的关键．二、判定方法二：边角边（SAS ）1.边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边“或“SAS “)。

全等三角形判定基础练习（有答案）一．选择题（共3小题）1．如图，已知AD=AE，添加下列条件仍无法证明△ABE≌△ACD的是（）A．AB=AC B．∠ADC=∠AEB C．∠B=∠C D．BE=CD2．判定两个三角形全等，给出如下四组条件：①两边和一角对应相等；②两角和一边对应相等；③两个直角三角形中斜边和一条直角边对应相等；④三个角对应相等；其中能判定这两个三角形全等的条件是（）A．①和②B．①和④C．②和③D．③和④3．如图，下列各组条件中，不能得到△ABC≌△BAD的是（）A．BC=AD，∠ABC=∠BAD B．BC=AD，AC=BDC．AC=BD，∠CAB=∠DBA D．BC=AD，∠CAB=∠DBA二．解答题（共6小题）4．如图，AB=CB，BE=BF，∠1=∠2，证明：△ABE≌△CBF．5．如图所示，有两个直角三角形△ABC和△QPA按如图位置摆放C，P，A在同一条直线上，并且BC=PA．当QP与AB垂直时，△ABC能和△QPA全等吗，请说明理由．6．如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，CF、BE相交于点D，且BD=CD．求证：AD平分∠BAC．7．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，点D在BC的延长线上，且BD=AB，过B作BE⊥AC，与BD的垂线DE交于点E．求证：△ABC≌△BDE．8．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，且BD=CE．求证：△ABE≌△ACD．9．如图，已知点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C．求证：△ABE≌△ACD．全等三角形判定（孙雨欣）初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．如图，已知AD=AE，添加下列条件仍无法证明△ABE≌△ACD的是（）A．AB=AC B．∠ADC=∠AEB C．∠B=∠C D．BE=CD【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，看看条件是否符合判定定理即可．【解答】解：A、∵在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），正确，故本选项错误；B、∵在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），正确，故本选项错误；C、∵在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（AAS），正确，故本选项错误；D、根据AE=AD，BE=CD和∠A=∠A不能推出△ABE和△ACD全等，错误，故本选项正确；故选D．【点评】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．2．判定两个三角形全等，给出如下四组条件：①两边和一角对应相等；②两角和一边对应相等；③两个直角三角形中斜边和一条直角边对应相等；④三个角对应相等；其中能判定这两个三角形全等的条件是（）A．①和②B．①和④C．②和③D．③和④【分析】认真分析各选项提供的已知条件，结合全等三角形判定方法对选项提供的已知条件逐一判断．【解答】解：①两边和一角对应相等不正确，应该是两边的夹角，故本选项错误，②两角和一边对应相等，符合AAS，故本选项正确，③两个直角三角形中斜边和一条直角边对应相等，符合SAS，故本选项正确，④三个角对应相等，可以相似不全等，故本选项错误，故选C．【点评】本题主要考查了对全等三角形的判定方法的理解及运用．常用的判定方法有AAS，SSS，SAS 等，难度适中．3．如图，下列各组条件中，不能得到△ABC≌△BAD的是（）A．BC=AD，∠ABC=∠BAD B．BC=AD，AC=BDC．AC=BD，∠CAB=∠DBA D．BC=AD，∠CAB=∠DBA【分析】根据图形可得公共边AB=AB，再加上选项所给条件，利用判定定理SSS、SAS、ASA、AAS分别进行分析即可．【解答】解：根据图形可得公共边：AB=AB，A、BC=AD，∠ABC=∠BAD可利用SAS证明△ABC≌△BAD，故此选项不合题意；B、BC=AD，AC=BD可利用SSS证明△ABC≌△BAD，故此选项不合题意；C、AC=BD，∠CAB=∠DBA可利用SAS证明△ABC≌△BAD，故此选项不合题意；D、BC=AD，∠CAB=∠DBA不能证明△ABC≌△BAD，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．二．解答题（共7小题）4．如图，AB=CB，BE=BF，∠1=∠2，证明：△ABE≌△CBF．【分析】利用∠1=∠2，即可得出∠ABE=∠CBF，再利用全等三角形的判定SAS得出即可．【解答】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠FBE=∠2+∠FBE，即∠ABE=∠CBF，在△ABE与△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS）．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．5．如图所示，有两个直角三角形△ABC和△QPA按如图位置摆放C，P，A在同一条直线上，并且BC=PA．当QP与AB垂直时，△ABC能和△QPA全等吗，请说明理由．【分析】首先根据∠QAP=90°，AB⊥PQ可证出∠PQA=∠BAC，在加上条件BC=AP，∠C=∠QAP=90°，可利用AAS定理证明△ABC和△QPA全等．【解答】△ABC能和△QPA全等；证明：∵∠QAP=90°，∴∠PQA+∠QPA=90°，∵QP⊥AB，∴∠BAC+∠APQ=90°，∴∠PQA=∠BAC，在△ABC和△QPA中，，∴△ABC≌△QPA（AAS）．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．6．如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，CF、BE相交于点D，且BD=CD．求证：AD平分∠BAC．【分析】要证AD平分∠BAC，只需证DF=DE．可通过证△BDF≌△CDE（AAS）来实现．根据已知条件，利用AAS可直接证明△BDF≌△CDE，从而可得出AD平分∠BAC．【解答】证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD=∠CED=90°．在△BDF与△CDE中，，∴Rt△BDF≌Rt△CDE（AAS）．∴DF=DE，∴AD是∠BAC的平分线．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及到角两边距离相等的点在角平分线上等知识．发现并利用△BDF≌△CDE是正确解答本题的关键．7．如图AB，CD相交于点O，AD=CB，AB⊥DA，CD⊥CB，求证：△ABD≌△CDB．【分析】首先根据AB⊥DA，CD⊥CB，可得∠A=∠C=90°，再利用HL定理证明Rt△ABD≌Rt△CBD即可．【解答】证明：∵AB⊥DA，CD⊥CB，∴∠A=∠C=90°，在Rt△ABD和Rt△CBD中，∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL）．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．8．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，且BD=CE．求证：△ABE≌△ACD．【分析】由AB=AC可得∠B=∠C，然后根据BD=CE可证BE=CD，根据SAS即可判定三角形的全等．【解答】证明∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵BD=EC，∴BE=CD，在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS）．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．9．如图，已知点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C．求证：△ABE≌△ACD．【分析】根据全等三角形的判定定理ASA推出即可．【解答】证明：∵在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD（ASA）．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．10．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，点D在BC的延长线上，且BD=AB，过B作BE⊥AC，与BD的垂线DE交于点E．求证：△ABC≌△BDE．【分析】利用已知得出∠A=∠DBE，进而利用ASA得出△ABC≌△BDE即可．【解答】证明：在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，∴∠ABE+∠DBE=90°，∵BE⊥AC，∴∠ABE+∠A=90°，∴∠A=∠DBE，∵DE是BD的垂线，∴∠D=90°，在△ABC和△BDE中，∵，∴△ABC≌△BDE（ASA）．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，三角形内角和定理的应用，正确发现图形中等量关系∠A=∠DBE是解题关键．。

12.2.4直角三角形全等的判定(HL)夯实基础篇一、单选题：1．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，下列条件中不能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是（）A．AC=A′C′，∠B=∠B′B．∠A=∠A′，∠B=∠B′C．AB=A′B′，AC=A′C′D．AB=A′B′，∠A=∠A′【答案】B【知识点】直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】解：A、根据全等三角形的判定定理AAS可以判定△ABC≌△A′B′C′．故本选项不符合题意；B、根据AAA不能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′．故本选项符合题意；C、根据全等三角形的判定定理可以判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′．故本选项不符合题意；D、根据全等三角形的判定定理AAS可以判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′．故本选项不符合题意；故选B．【分析】根据三角形全等的判定方法，SSS、SAS、ASA、AAS，HL等逐一检验．2．下面说法不正确的是（）A．有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等B．有两边对应相等的两个直角三角形全等C．有两角对应相等的两个直角三角形全等D．有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等【答案】C【知识点】直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】A、∵直角三角形的斜边和一锐角对应相等，所以另一锐角必然相等，∴符合ASA定理，不符合题意；B、两边对应相等的两个直角三角形全等，若是两条直角边，可以根据SAS判定全等，若是直角边与斜边，可根据HL判定全等．不符合题意；C、有两个锐角相等的两个直角三角形相似，符合题意；D、有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形符合ASA定理，可判定相等，不符合题意．故答案为：C【分析】直角三角形中已经有一个直角对应相等，需要它们全等的话，只需要再有一个角和一组边对应相等，利用AAS或者ASA判断出它们全等；或者只需要两组边对应相等，利用HL或者SAS就可判定出它们全等；根据判定方法即可一一判断出答案。