2017-2018学年甘肃省兰州市第一中学高一数学上期末考试试题(含答案)

兰州市第一中学高一数学期末考试真题1. 解方程：已知二次方程$3x^2-7x-6=0$，求其根。

解析：我们可以使用求根公式来解这个方程。

二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$，其中$a$、$b$、$c$为常数。

根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，我们可以将给定的方程与求根公式进行对应。

比较系数可得：$a=3$，$b=-7$，$c=-6$。

代入求根公式，我们可以得到：$x=\frac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4(3)(-6)}}{2(3)}$$x=\frac{7\pm\sqrt{49+72}}{6}$$x=\frac{7\pm\sqrt{121}}{6}$$x=\frac{7\pm11}{6}$解得两个根：$x_1=\frac{7+11}{6}=\frac{9}{2}$，$x_2=\frac{7-11}{6}=-\frac{2}{3}$。

因此，原方程的根为$x=\frac{9}{2}$和$x=-\frac{2}{3}$。

2. 计算概率：一个骰子抛掷一次，求出现奇数的概率。

解析：一个骰子有6个面，分别标有1、2、3、4、5、6。

其中有3个奇数（1、3、5）和3个偶数（2、4、6）。

假设每个面出现的概率是相等的，即$\frac{1}{6}$。

出现奇数的可能性有3种，即1、3、5，总共6种可能性。

因此，出现奇数的概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。

所以，抛掷一次骰子出现奇数的概率为$\frac{1}{2}$。

3. 几何问题：已知直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，求斜边的长度。

解析：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两条直角边的平方和。

设斜边的长度为$x$，则根据勾股定理可以得到：$x^2=3^2+4^2$$x^2=9+16$$x^2=25$$x=\sqrt{25}$$x=5$因此，直角三角形的斜边长度为5cm。

兰州一中2017-2018-2学期期末考试试题高一数学说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟. 选择题使用2B 铅笔填涂，非选择题答案写在答题卡上，交卷时只交答题卷卡.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知A (3, 7)，B (5,2)，把向量AB 按向量a =(1,2)平移后，所得向量A B ''的坐标是（ ） A. (2, －5) B. (1, －7) C. (0, 4) D. (3, －3) 2．已知扇形AOB 的圆心角为120，半径长为6，则扇形AOB 的面积是（ ）A ．B ．4πC ．12πD ．24π 3．已知()1,1a =-，()1,0b =，()1,2c =-，若a 与mb c -垂直，则m =（ ） A ．-1 B ．1 C ．2 D ．3 4．已知向量a ，b 的夹角为120，且2a =，5b =，则(2)a b a -⋅=（ ） A ．3 B ．9 C ．12 D ．13 5．下列命题：①若⋅=⋅，且≠0，则=； ②在△ABC 中，必有=++；③在=++，则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点； ④若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等． 其中真命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 6．为了得到函数y ＝sin(2x －π6)的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度7．cos36cos72()=A ．12B ．14C ．18D ．1168．函数2tan ()1tan xf x x =-的最小正周期为（ ） A ．4πB ．2πC ．πD ．2π9．函数y ＝cos x |tan x |(0≤x ＜3π2且x ≠π2)的图象是下列图象中的( )10． 已知O 是△ABC 所在平面上的定点, 动点P 满足(),||||AB ACOP OA AB AC λ=++λ∈R , 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 内心B. 外心C.重心D.垂心 11．a,b,e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为4π，向量b 满足217+602⋅+=b e b ，则||-a b 的最小值是( )AB ．C ．2D 112．已知函数)0(21sin 212sin)(2>-+=ωωωx xx f ，x ∈R . 若)(x f 在区间(,2)ππ内没 有零点，则ω的取值范围是（ ）A. ]81,0( B. ]85,41[]81,0( C. ]85,0( D. )1,85[]41,0(二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．sin 750= .14．2007年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25， 直角三角形中较大的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于．15．已知2cos 3β=，角αβ-的终边在y 轴的非负半轴上，则cos(23)αβ-的值是 . 16．给出命题： ①函数3cos()22y x π=+是奇函数；②若α、β是第一象限角且αβ<，则tan tan αβ<；③32sin2y x =在区间[,]32ππ-上的最小值是-2④曲线5sin(2)4y x π=+的对称中心是点(,0)28k ππ-()k ∈z . 其中正确命题的序号是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．(本小题10分) 已知函数f (x ))44cos(2π-=x .(1)求函数f (x )的最大值以及相应的x 的取值集合； (2)若直线x ＝m 是函数f (x )的对称轴，求实数m 的值．18．(本小题12分) 已知,αβ为锐角，4tan ,cos()3ααβ=+= (1)求cos 2α的值； (2)求tan()αβ-的值.19．(本小题12分) 已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝⎛⎭⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3. (1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的单调性.20．(本小题12分) 如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点A ，且(,)62ππα∈， 将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆 于点B ，记1122(,),(,)A x y B x y . (1)若113x =，求2x ；(2)分别过A ，B 作x 轴的垂线，垂足依次为C ，D ，记△AOC 的面积为1S ，△BOD 的面积为2S ，若122S S =，求角α的值.21．（本题满分12分）如图所示，在△ABC 中，点M 在边BC 上，且BM MC =，点N在边AC 上，且3AN NC =，AM 与BN 相交于点P . (1)设||4,||5,BC AM ==求AB AC ⋅的值； (2)设CA =a ，CB =b , 用a ，b 表示CP .22．（本小题12分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1，2)，又点A (8，0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t ) (0≤θ≤π2).(1)若AB →⊥a ，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →；(2) 若向量AC →与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求OA →·OC →.兰州一中2017-2018-2学期期末考试试题高一数学答案说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟. 选择题使用2B 铅笔填涂，非选择题答案写在答题卡上，交卷时只交答题卷卡.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知A (3,7)，B (5,2)，把向量AB 按向量a =(1,2)平移后，所得向量A B ''的坐标是（ ） A. (2, －5) B. (1, －7) C. (0, 4) D. (3, －3) 答案：A2．已知扇形AOB 的圆心角为120，半径长为6，则扇形AOB 的面积是（ ）A ．B ．4πC ．12πD ．24π 答案：C3．已知()1,1a =-，()1,0b =，()1,2c =-，若a 与mb c -垂直，则m =（ ） A ．-1 B ．1 C ．2 D ．3 答案：D4．已知向量a ，b 的夹角为120，且2a =，5b =，则(2)a b a -⋅=（ ） A ．3 B ．9 C ．12 D ．13 答案：D 5．下列命题：①若c b c a ⋅=⋅，且c ≠0，则b a =； ②在△ABC 中，必有=++；③在0=++CA BC AB ，则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点； ④若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等． 其中真命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案：B6．为了得到函数y ＝sin(2x －π6)的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度答案：D7．cos36cos72()=A ．12B ．14C ．18D ．116答案：B 8．函数2tan ()1tan xf x x =-的最小正周期为（ ） A ．4πB ．2πC ．πD ．2π答案：C9．函数y ＝cos x |tan x | (0≤x ＜3π2且x ≠π2) 的图象是下列图象中的( ) 答案：C10． 已知O 是△ABC 所在平面上的定点, 动点P 满足(),||||AB ACOP OA AB AC λ=++λ∈R , 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 内心B. 外心C.重心D.垂心 答案：A11．a,b,e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为4π，向量b 满足217+602⋅+=b e b ，则||-a b 的最小值是( )A B ． C ．2D 1答案：A12．已知函数)0(21sin 212sin)(2>-+=ωωωx xx f ，x ∈R . 若)(x f 在区间(,2)ππ内没 有零点，则ω的取值范围是（ ）A. ]81,0( B. ]85,41[]81,0( C. ]85,0( D. )1,85[]41,0(【答案】B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．sin 750= . 【答案】1214．2007年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方 形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形 的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于 ．答案：725-15．已知2cos 3β=，角αβ-的终边在y 轴的非负半轴上，则cos(23)αβ-的值是 . 答案：23-16．给出命题： ①函数3cos()22y x π=+是奇函数；②若α、β是第一象限角且αβ<，则tan tan αβ<；③32sin2y x =在区间[,]32ππ-上的最小值是-2 ④曲线5sin(2)4y x π=+的对称中心是点(,0)28k ππ-()k ∈z . 其中正确命题的序号是 ． 答案：① ④三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．(本小题10分) 已知函数f (x ))44cos(2π-=x .(1)求函数f (x )的最大值以及相应的x 的取值集合； (2)若直线x ＝m 是函数f (x )的对称轴，求实数m 的值． 解：(1)∵f (x ))44cos(2π-=x .∴f (x )的最大值为2. 此时4x - π4＝2k π，则x 的取值集合为{x |x ＝216ππk +(k ∈Z )} .............................5分 (2)令4x - π4＝k π(k ∈Z )，则x ＝k π4＋π16(k ∈Z )．∵x ＝m 是函数f (x )的对称轴，∴m ＝k π4＋π16(k ∈Z )． ...............................................................................10分18．(本小题12分) 已知,αβ为锐角，4tan ,cos()3ααβ=+= (1)求cos 2α的值； (2)求tan()αβ-的值. 解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，． ...............................................................6分（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此． 因为，所以，因此，． ..............12分19．(本小题12分) 已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝⎛⎭⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3. (1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的单调性.解：(1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π2＋k π，k ∈Z . .....................1分f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－3 ＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－3 ＝4sin x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x －3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－3 ＝sin 2x －3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， .....................5分 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. .....................6分(2)令z ＝2x －π3，函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z . 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z . ...................8分 设A ＝⎣⎡⎦⎤－π4，π4， B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ， 易知A ∩B ＝[,]124ππ-.所以，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4 时，f (x )在区间[,]124ππ-上单调递增，在区间[,]412ππ--上单调递减. .....................12分20．(本小题12分) 如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点A ，且(,)62ππα∈， 将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆 于点B ，记1122(,),(,)A x y B x y . (1)若113x =，求2x ；(2)分别过A ，B 作x 轴的垂线，垂足依次为C ，D ，记△AOC 的面积为1S ，△BOD 的面积为2S ，若122S S =，求角α的值.解：（1）由三角函数定义得12cos ,cos()3x x παα==+.因为1(,),cos 623ππαα∈=，所以sin α==所以21cos()cos 32x πααα=+==. .....................6分 (2)依题意得12sin ,sin()3y y παα==+， 所以111111cos sin sin 2224S x y ααα===， 2221112||[cos()]sin()sin(2)223343S x y πππααα==-+⋅+=-+ 依题意得2sin 22sin(2)3παα=-+整理得cos 20α=，因为62ππα<<，所以23παπ<<， 所以22πα=，即4πα=. .....................1２分21．（本题满分12分）如图所示，在△ABC 中，点M 在边BC 上，且BM MC =，点N 在边AC 上，且3AN NC =，AM 与BN 相交于点P .(1)设||4,||5,BC AM ==求AB AC ⋅的值；(2)设CA =a ，CB =b , 用a ，b 表示CP .解：（1）BM MC =，且||4,BC =MC MB ∴=-，且1|||| 2.2MB BC == .....................２分 ()()AB AC AM MB AM MC ∴⋅=+⋅+()()AM MB AM MB =+⋅-22225221.AM MB =-=-= .....................6分（2）∵A 、P 、M 三点共线，设AP AM λ=，B 、P 、N 三点共线，设BP BN μ=， .....................8分1=()(1)2CP CA AP CA AM CA AC CM CA CB λλλλ+=+=++=-+， 1=()(1)4C P C B B P C B B N C B B C C N C B C A μμμμ+=+=++=-+，.............10分 ∴114λμ-=，112μλ-=，解得47μ=， ∴4141(1)7477CP CA CB =-+⨯=a 37+b ． .....................12分22．（本小题12分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1，2)，又点A (8，0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t ) (0≤θ≤π2). (1)若AB →⊥a ，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →；(2) 若向量AC →与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求OA →·OC →.解：(1)由题设知AB →＝(n －8，t )，∵AB →⊥a ，∴8－n ＋2t ＝0. 又∵5|OA →|＝|AB →|，∴5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，得t ＝±8.当t ＝8时，n ＝24；当t ＝－8时，n ＝－8，∴OB →＝(24，8)或OB →＝(－8，－8). ....................................6分(2)由题设知AC →＝(k sin θ－8，t )，∵AC →与a 共线，∴t ＝－2k sin θ＋16，t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k (sin θ－4k )2＋32k. ∵k >4，∴0<4k <1，∴当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k. 由32k ＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，OC →＝(4，8)，∴OA →·OC →＝(8，0)·(4，8)＝32........................................12分。

2018-2019学年甘肃省兰州一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1．（5分）若三点共线则m的值为（）A．B．C．﹣2D．22．（5分）半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A．πR3B．πR3C．πR3D．πR33．（5分）如图是一个水平放置的直观图，它是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积为（）A．2+B．C．D．1+4．（5分）如图，三棱柱A1B1C1﹣ABC中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）A．AC⊥平面ABB1A1B．CC1与B1E是异面直线C．A1C1∥B1E D．AE⊥BB15．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β，则下列命题正确的是（）A．若m⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则m⊥nC．若m∥β，则α∥βD．若α∥β，则m∥n．6．（5分）已知ab＜0，bc＜0，则直线ax+by＝c通过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限7．（5分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm38．（5分）若a2+b2＝2c2（c≠0），则直线ax+by+c＝0被圆x2+y2＝1所截得的弦长为（）A．B．1C．D．9．（5分）在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余各棱的长都为1，则二面角A﹣CD﹣B的余弦值是（）A．B．C．D．10．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（）A．45°B．60°C．90°D．120°11．（5分）若曲线与直线y＝x+b始终有交点，则b的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）已知正三棱锥P﹣ABC（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）的侧面是顶角为30°腰长为2的等腰三角形，若过A的截面与棱PB，PC分别交于点D和点E，则截面△ADE周长的最小值是（）A．B．2C．D．2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案写在答题卡上.）13．（5分）两个球的体积之比为8：27，那么这两个球的表面积的比为．14．（5分）经过点P（3，﹣1），且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程是．15．（5分）等腰直角△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把△ABC折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C﹣BM﹣A的大小为．16．（5分）已知点A（﹣1，1），B（2，﹣2），若直线l：x+my+m＝0与线段AB相交（包含端点的情况），则实数M的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）求满足以下条件的m值．（1）已知直线2mx+y+6＝0与直线（m﹣3）x﹣y+7＝0平行；（2）已知直线mx+（1﹣m）y＝3与直线（m﹣1）x+（2m+3）y＝2互相垂直．18．（12分）如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B 在A的上方），且|AB|＝2．（1）求圆C的标准方程；（2）求圆C在点B处的切线方程．19．（12分）如图，平行四边形ABCD中，CD＝1，∠BCD＝60°，BD⊥CD，正方形ADEF，且面ADEF⊥面ABCD．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ECD．（Ⅱ）求D点到面CEB的距离．20．（12分）已知△ABC的顶点B（﹣1，﹣3），边AB上的高CE所在直线的方程为4x+3y﹣7＝0，BC边上中线AD所在的直线方程为x﹣3y﹣3＝0．（1）求直线AB的方程；（2）求点C的坐标．21．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点，（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．22．（12分）如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，点E和F分别为BC和A1C的中点．（1）求证：EF∥平面A1B1BA；（2）求证：平面AEA1⊥平面BCB1；（3）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．2018-2019学年甘肃省兰州一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1．【解答】解：，∵三点共线∴共线∴5（m﹣3）＝﹣解得m＝故选：A．2．【解答】解：2πr＝πR，所以r＝，则h＝，所以V＝故选：A．3．【解答】解：∵平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，∴平面图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底边长为1，∴梯形的下底边长为1+，∴平面图形的面积S＝×2＝2+．故选：A．4．【解答】解：因为三棱柱A1B1C1﹣ABC中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中点，所以对于A，AC与平面ABB1A1斜交，夹角为60°；故A错误；对于B，CC1与B1E都在平面CC1BB1中不平行，故相交；所以B错误；对于C，A1C1，B1E是异面直线；故C错误；对于D，因为几何体是三棱柱，并且侧棱AA1⊥底面ABC，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中点，所以BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AE，AE⊥BC，得到AE⊥平面BCC1B1，所以AE⊥BB1；故选：D．5．【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β，知：在A中，若m⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故A正确；在B中，若α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，若m∥β，则α与β平行或相交，故C错误；在D中，若α∥β，则m与n平行或异面，故D错误．故选：A．6．【解答】解：直线ax+by＝c即y＝﹣x+，∵ab＜0，bc＜0，∴斜率k＝﹣＞0，直线在y轴上的截距＜0，故直线第一、三、四象限，故选：C．7．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．∴该几何体的体积V＝6×6×3﹣＝100．故选：B．8．【解答】解：圆的圆心（0，0）到直线ax+by+c＝0的距离为：，因为a2+b2＝2c2（c≠0），所以＝＝，半弦长为：，所以直线ax+by+c＝0被圆x2+y2＝1所截得的弦长为：．故选：D．9．【解答】解：由已知可得AD⊥DC又由其余各棱长都为1得正三角形BCD，取CD得中点E，连BE，则BE⊥CD在平面ADC中，过E作AD的平行线交AC于点F，则∠BEF为二面角A﹣CD﹣B的平面角∵EF＝（三角形ACD的中位线），BE＝（正三角形BCD的高），BF＝（等腰RT三角形ABC，F是斜边中点）∴cos∠BEF＝＝＝故选：C．10．【解答】解：如图，连A1B、BC1、A1C1，则A1B＝BC1＝A1C1，且EF∥A1B、GH∥BC1，所以异面直线EF与GH所成的角等于60°，故选：B．11．【解答】解：作出函数y＝与y＝x+b图象，由图可知：﹣1故选：A．12．【解答】解：此正三棱锥的侧面展开图如图所示：则△ADE的周长为AD+DE+EA1，由于两点之间线段最短，∴当D、E处于如图位置时，截面△ADE的周长最小，即为AA1的长；又∠APB＝30°，则∠AP A1＝90°，在等腰三角形P AB中，P A＝PB＝2，∴P A＝P A1＝2，∠AP A1＝90°，∴截面△ADE周长的最小值是：AA1＝＝．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案写在答题卡上.）13．【解答】解：设两个球的半径分别为r，R，由两个球的体积之比为8：27，得到r3：R3＝8：27，所以r：R＝2：3，那么这两个球的表面积的比为r2：R2＝4：9；故答案为：4：9．14．【解答】解：设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，当a＝0时，b＝0，此时直线l过点P（3，﹣1），O（0，0），∴直线l的方程为：，整理，得x+3y＝0；当a≠0时，a＝2b，此时直线l的斜率k＝﹣＝﹣，∴直线l的方程为：y+1＝﹣（x﹣3），整理，得x+2y﹣1＝0故答案为：x+2y﹣1＝0或x+3y＝0．15．【解答】解：在等腰直角三角形ABC中，∵AB＝BC＝1，M为AC中点，∴AM＝CM＝BM＝，AM⊥BM，CM⊥BM，所以沿BM把它折成二面角后，∠AMC就是二面角的平面角．在△AMC中，∵AM＝CM＝，AC＝1，由余弦定理，知cos∠AMC＝＝0，∴∠AMC＝90°．故答案为：90°．16．【解答】解：直线l：x+my+m＝0可化为x+m（y+1）＝0，所以直线恒过定点P（0，﹣1）∵点A（﹣1，1），B（2，﹣2），∴k P A＝﹣2，k PB＝﹣，∵直线l：x+my+m＝0与线段AB相交（包含端点的情况），∴≤﹣2或﹣≥﹣∴m或m≥2∴实数m的取值范围是（﹣∞，]∪[2，+∞）故答案为：（﹣∞，]∪[2，+∞）三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．【解答】解：（1）由2m（m﹣3）+1＝0，解得m＝1或3．经过验证m＝3时两条直线不平行．∴m＝1．（2）m（m﹣1）+（1﹣m）（2m+3）＝0，即m2+2m﹣3＝0，解得m＝1，或m＝﹣3．∴m＝1，或m＝﹣3，两条直线垂直．18．【解答】解：（1）如下图所示，过点C作CM⊥AB于M，连接AC，则|CM|＝|OT|＝1，|AM|＝|AB|＝1，所以圆的半径r＝|AC|═，从而圆心C（1，），即圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣）2＝2；（2）令x＝0得，y＝±1，则B（0，+1），所以直线BC的斜率为，由直线与圆相切的性质知，圆C在点B处的切线的斜率为1，则圆C在点B处的切线方程为y﹣（+1）＝1×（x﹣0），即y＝x++1．19．【解答】（I）证明：∵四边形ADEF为正方形，∴ED⊥AD，又∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD．又∵BD⊥CD，ED∩CD＝D，∴BD⊥平面ECD．（II）解：∵CD＝1，∠BCD＝60°，BD⊥CD，又∵正方形ADEF，∴CB＝2，CE ＝，，∴，∴，Rt△BCD的面积等于S△BCD ＝•1•＝，由得（I）ED⊥平面ABCD，∴点E到平面BCD的距离为ED＝2，设点D到到面CEB 的距离为h，∴＝，∴h ＝，即点D到到面CEB 的距离为．20．【解答】（12分）解：（1）∵CE⊥AB，且直线CE 的斜率为，∴直线AB 的斜率为，∴直线AB 的方程为，即3x﹣4y﹣9＝0．…（6分）（2）设D（a，b），则C（2a+1，2b+3），∴，解得，第11页（共13页）∴D（0，﹣1），C（1，1）．…（12分）21．【解答】（Ⅰ）证明：∵几何体是直棱柱，∴BB1⊥底面ABC，AE⊂底面ABC，∴AE⊥BB1，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E分别是BC的中点，∴AE⊥BC，BC∩BB1＝B，∴AE⊥平面B1BCC1，∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）解：取AB的中点G，连结A1G，CG，由（Ⅰ）可知CG⊥平面A1ABB1，直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，就是∠CA1G，则A1G＝CG ＝，∴AA1＝＝，CF ＝．三棱锥F﹣AEC 的体积：×＝＝．22．【解答】证明：（1）连接A1B，在△A1BC中，∵E和F分别是BC和A1C的中点，∴EF∥A1B，又∵A1B⊂平面A1B1BA，EF⊄平面A1B1BA，∴EF∥平面A1B1BA．（2）∵AB＝AC，E为BC中点，∴AE⊥BC，∵AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，∴BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AE，又∵BC∩BB1＝B，∴AE⊥平面BCB1，又∵AE⊂平面AEA1，∴平面AEA1⊥平面BCB1．解：（3）取BB1中点M和B1C中点N，连接A1M，A1N，NE，∵N和E分别为B1C和BC的中点，∴NE B1B，∴NE A1A，∴四边形A1AEN是平行四边形，∴A1N AE，第12页（共13页）又∵AE⊥平面BCB1，∴A1N⊥平面BCB1，∴∠A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角，在△ABC中，可得AE＝2，∴A1N＝AE＝2，∵BM∥AA1，BM＝AA1，∴A1M∥AB且A1M＝AB，又由AB⊥BB1，∴A1M⊥BB1，在RT△A1MB1中，A1B1＝＝4，在RT△A1NB1中，sin∠A1B1N ＝＝，∴∠A1B1N＝30°，即直线A1B1与平面BCB1所成角的大小为30°．第13页（共13页）。

2017-2018学年甘肃省兰州一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知直线a，b，平面α满足a∥α，b⊂α，则直线a与直线b的位置关系是（）A. 平行B. 相交或异面C. 异面D. 平行或异面2.下列四条直线，倾斜角最大的是（）A. B. C. D.3.若直线2mx+y+6=0与直线（m-3）x-y+7=0平行，则m的值为（）A. B. 1 C. 1或 D. 34.如图，三棱柱A1B1C1-ABC中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）A. ⊥平面B. 与是异面直线C.D. ⊥5.已知两个不重合的平面α，β和两条不同直线m，n，则下列说法正确的是（）A. 若⊥，⊥，⊂，则⊥B. 若，⊥，⊥，则C. 若⊥，⊂，⊂，则⊥D. 若，⊂，，则6.已知直线ax+by+c=0的图形如图所示，则（）A. 若，则，B. 若，则，C. 若，则，D. 若，则，7.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的表面积为（）A. B. C. D.8.斜率为4的直线经过点A（3，5），B（a，7），C（-1，b）三点，则a，b的值为（）A. B. ，C. ，D. ，9.如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A. 6B. 8C.D.10.如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，使得∠B′AC=60°．那么这个二面角大小是（）A.B.C.D.11.若点，和，都在直线l：x+y=1上，又点P，和点，，则（）A. 点P和Q都不在直线l上B. 点P和Q都在直线l上C. 点P在直线l上且Q不在直线l上D. 点P不在直线l上且Q在直线l上12.已知点A（2，-3），B（-3，-2），直线l：mx+y-m-1=0与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A. 或B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的高为______．14.经过点P（3，-1），且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程是______．15.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3cm，AD＝2cm，AA1＝1cm，则三棱锥B1-ABD1的体积为________cm3．16.如图，在四面体A-BCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，则二面角A-CD-B的平面角的余弦值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知直线l平行于直线3x+4y-7=0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．18.已知四棱锥P－ABCD的体积为，其三视图如图所示，其中正视图为等腰三角形，侧视图为直角三角形，俯视图是直角梯形．(1)求正视图的面积；(2)求四棱锥P－ABCD的侧面积．19.如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形E，F分别为线段DD1，BD的中点．（1）求证EF∥平面ABC1D1；（2）四棱柱ABCD－A1B1C1D1的外接球的表面积为16π，求异面直线EF与BC所成角的大小．20.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PB，且侧面PAB⊥平面ABCD，点E是AB的中点．（1）求证：PE⊥AD；（2）若CA=CB，求证：平面PEC⊥平面PAB．21.已知△ABC的顶点B（-1，-3），边AB上的高CE所在直线的方程为4x+3y-7=0，BC边上中线AD所在的直线方程为x-3y-3=0．（1）求直线AB的方程；（2）求点C的坐标．22.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1，M、N分别是A1B、B1C1的中点．（Ⅰ）求证：MN⊥平面A1BC；（Ⅱ）求直线BC1和平面A1BC所成角的大小．答案和解析1.【答案】D【解析】解：直线a，b，平面α满足a∥α，b⊂α，直线a与直线b的位置关系可能异面，可能平行，不能相交，故选：D．直线a与直线b的位置关系可能异面，可能平行，不能相交．本题考查两直线关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．2.【答案】A【解析】解：直线方程y=-x+1的斜率为-1，倾斜角为135°，直线方程y=x+1的斜率为1，倾斜角为45°，直线方程y=2x+1的斜率为2，倾斜角为α（60°＜α＜90°），直线方程x=1的斜率不存在，倾斜角为90°．所以A中直线的倾斜角最大．故选：A．由直线方程求出直线的斜率，再由直线的斜率得出直线的倾斜角．本题考查了直线的倾斜角，也考查了直线的倾斜角和斜率的关系，是基础题目．3.【答案】B【解析】解：因为两条直线平行，所以：解得m=1故选B．直接利用两条直线平行的充要条件，解答即可．本题考查两条直线平行的判定，容易疏忽截距问题，是基础题．4.【答案】D【解析】解：因为三棱柱A1B1C1-ABC中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中点，所以对于A，AC与平面ABB1A1斜交，夹角为60°；故A错误；对于B，CC1与B1E都在平面CC1BB1中不平行，故相交；所以B错误；对于C，A1C1，B1E是异面直线；故C错误；对于D，因为几何体是三棱柱，并且侧棱AA1⊥底面ABC，底面三角形ABC 是正三角形，E是BC中点，所以BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AE，AE⊥BC，得到AE⊥平面BCC1B1，所以AE⊥BB1；故选：D．利用三棱柱的性质对选项分别分析选择．本题考查了三棱锥的性质；关键是利用正三棱柱的性质得到线线关系、线面关系，利用相关的定理解答．5.【答案】B【解析】解：A．若n⊥α，m⊥n，则m∥α或m⊂α，又m⊂β，∴α⊥β不成立，∴A错误．B．若α∥β，n⊥α，则n⊥β，又m⊥β，∴m∥n成立，∴B正确．C．当α∩β时，也满足若m⊥n，n⊂α，m⊂β，∴C错误．D．若α∥β，n⊂α，m∥β，则m∥n或m，n为异面直线，∴D错误．故选：B．A．利用面面垂直的判定定理进行判断．B．利用面面平行和线面平行的性质进行判断．C．利用面面垂直的定义和性质进行判断．D．利用面面平行和线面平行的性质进行判断．本题主要考查空间直线和平面，平面和平面之间位置关系的判断，要求熟练掌握平行或垂直的判定定理．6.【答案】D【解析】解：由直线ax+by+c=0可得y=-x-．根据图象可得-＜0，-＞0．∴若c＜0，则a＞0，b＞0．故选：D．把直线的方程化为斜截式，判断斜率的符号和直线在y轴上的截距上的符号，即可得出结论．本题考查一次函数的图象的位置，由直线的斜率以及在y轴上的截距共同确定．7.【答案】D【解析】解：由三视图知几何体为圆柱挖去一个圆锥所得的组合体，且圆锥与圆柱的底面直径都为4，高为2，则圆锥的母线长为=2，∴该几何体的表面积S==（12+4）π，故选：D．由三视图知该几何体为圆柱挖去一个圆锥所得的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由圆柱、圆锥的表面积公式求出该几何体的表面积．本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查了由两点坐标求斜率的应用问题，是基础题．利用AB 和AC 的斜率相等，把点的坐标代入两点表示的斜率公式计算即可．【解答】解：斜率为4的直线经过三点A（3，5），B（a，7），C（-1，b），则==4，解得a=，b=-11．故选C．9.【答案】B【解析】解：作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段C′B′∥x′轴，所以在原图形中对应的线段平行于x轴且长度不变，点C′和B′在原图形中对应的点C和B的纵坐标是O′B′的2倍，则OB=2，所以OC=3，则四边形OABC的长度为8．故选：B．根据题目给出的直观图的形状，画出对应的原平面图形的形状，求出相应的边长，则问题可求．本题考查了平面图形的直观图，考查了数形结合思想，解答此题的关键是掌握平面图形的直观图的画法，能正确的画出直观图的原图形．10.【答案】C【解析】解：设等腰直角△ABC中AB=AC=a，则BC=，∴，∵等腰直角△ABC斜边BC上的高是AD，∴B′D⊥AD，CD⊥AD，∴∠B′DC是二面角B′-AD-C的平面角．连结B′，C，∵∠B′AC=60°，∴B′C=a，∴B′D2+CD2=B′C2，∴∠B′DC=90°．∴二面角B′-AD-C的大小是90°．故选：C．设等腰直角△ABC中AB=AC=a，则BC=，，由已知条件推导出∠B′DC是二面角B′-AD-C的平面角．由此能求出二面角B′-AD-C的大小．本题考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．11.【答案】B【解析】解：∵点和都在直线l：x+y=1上，∴，b+=1，∴=1，化为c+=1，∴点P和点都在直线l上．故选：B．点和都在直线l：x+y=1上，可得，b+=1，可得c+=1，即可判断出点P，Q与l的位置关系．本题考查了点与直线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.【答案】A【解析】解：根据题意，直线l：mx+y-m-1=0与线段AB相交，则点A、B在直线的两侧或在直线上，则有（2m-3-m-1）（-3m-2-m-1）≤0，变形可得（m-4）（-4m-3）≤0，解可得m≤-或m≥4，而直线l：mx+y-m-1=0的斜率k=-m，则其斜率k的取值范围是k≥或k≤-4；故选：A．根据题意，直线l：mx+y-m-1=0与线段AB相交，则点A、B在直线的两侧或在直线上，由二元一次不等式与平面区域的关系分析可得（m-4）（-4m-3）≤0，解可得m的取值范围，又由直线的斜率k=-m，分析可得答案．本题考查二元一次不等式与平面区域的关系，注意直线与线段AB相交，即点A、B在直线的两侧或在直线上．13.【答案】2【解析】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则，解得l=1，r=1．∴圆锥的高h===．故答案为：．根据圆锥侧面展开图与圆锥的对应关系列方程解出圆锥的底面半径和母线长，计算出圆锥的高．本题考查了圆锥的结构特征，弧长公式，属于基础题．14.【答案】x+2y-1=0或x+3y=0【解析】解：设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，当a=0时，b=0，此时直线l过点P（3，-1），O（0，0），∴直线l的方程为：，整理，得x+3y=0；当a≠0时，a=2b，此时直线l的斜率k=-=-，∴直线l的方程为：y+1=-（x-3），整理，得x+2y-1=0故答案为：x+2y-1=0或x+3y=0．设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，当a=0时，b=0，当a≠0时，a=2b，由此利用题设条件能求出直线l的方程．本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不要丢解．15.【答案】1【解析】解：由长方体的性质可得：点D1到平面ABB1A1的距离为AD．====1，故答案为：1．利用=即可得出．本题考查了三棱锥的体积计算公式、“等体积变形”、线面垂直的判定及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：过A作AO⊥平面BCD，垂足为O，连结OD，∵在四面体A-BCD中，棱AC的长为，其余各棱长都为1，∴AD⊥CD，∴OD⊥CD，∴OB⊥BC，∴∠ADO是二面角A-CD-B的平面角，∴△BCD是等边三角形，∴∠BOD=120°，设PO=x，OB=OD=y，由余弦定理得：BD2=OB2+OD2-2OB•OD•cos120°，即1=y2+y2-2y2cos120°，解得y=，x==，∴cos∠ADO==．∴二面角A-CD-B的平面角的余弦值为．故答案为：．过A作AO⊥平面BCD，垂足为O，连结OD，推导出AD⊥CD，OD⊥CD，OB⊥BC，从而∠ADO是二面角A-CD-B的平面角，由△BCD是等边三角形，得∠BOD=120°，由余弦定理得求出BD=，由此能求出二面角A-CD-B的平面角的余弦值．本题考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．17.【答案】解：设直线l的方程为：3x+4y+m=0，令x=0，得y=-；令y=0，得x=-．∴直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为|-|×|-|=24，解得m=±24．∴直线l的方程为3x+4y±24=0．【解析】设直线l的方程为：3x+4y+m=0，求出截距，代入面积公式解出m即可得出直线l的方程．本题考查了直线的位置关系，直线方程的求解，属于中档题．18.【答案】（12分）解：（1）如图所示四棱锥P-ABCD的高为PA，底面积为S=•CD=×1=∴四棱锥P-ABCD的体积V四棱锥P-ABCD=S•PA=וPA=．解得PA=∴正视图的面积为S=×2×=．…（4分）（2）如图所示，过A作AE∥CD交BC于E，连结PE．根据三视图可知，E是BC的中点，且BE=CE=1，AE=CD=1，且BC⊥AE，AB=又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，PA⊥DC，PD=∴BC⊥面PAE，∴BC⊥PE，又DC⊥AD，∴DC⊥面PAD，∴DC⊥PD，且PA⊥平面ABCD．∴PA⊥AE，∴PE2=PA2+AE2=3．∴PE=．∴四棱锥P-ABCD的侧面积为S=S△PAB+S△PAD+S△PCD+S△PBC=••+••1+•1•+•2•=．…（12分）【解析】（1）四棱锥P-ABCD的高为PA，底面积为S=•CD=，由四棱锥=．求出PA=，由此能求出正视图的面积．P-ABCD的体积V四棱锥P-ABCD（2）过A作AE∥CD交BC于E，连结PE．四棱锥P-ABCD的侧面积为S=S△PAB+S△PAD+S△PCD+S△PBC．本题考查几何体的正视图面积的求法，考查四棱锥的侧面积的求法，考查四棱锥的外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（1）连接BD1，在△DD1B中，E、F分别为线段DD1、BD的中点，∴EF为中位线，∴EF∥D1B，∵D1B⊂面ABC1D1，EF⊄面ABC1D1，∴EF∥平面ABC1D1；（2）由（1）知EF∥D1B，故∠D1BC即为异面直线EF与BC所成的角，∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球的表面积为16π，∴四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球的半径R=2，设AA1=a，则，解得a=，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∵BC⊥平面CDD1C1，CD1⊄平面CD-D1C1，∴BC⊥CD1，在RT△CC1D1中，BC=2，CD1=，D1C⊥BC，∴tan∠D1BC=，则∠D1BC=60°，∴异面直线EF与BC所成的角为60°．【解析】（1）连接BD1，由中位线定理证明EF∥D1B，由线面平行的判定定理证明EF∥平面ABC1D1；（2）由（1）和异面直线所成角的定义，得异面直线EF与BC所成的角是∠D1BC，由题意和球的表面积公式求出外接球的半径，由勾股定理求出侧棱AA1的长，由直四棱柱的结构特征和线面垂直的定义，判断出BC⊥CD1，在RT△CC1D1中求出tan∠D1BC，求出∠D1BC可得答案．本题考查了异面直线所成角的定义以及求法，线面平行的判定定理，球的表面积公式，以及直四棱柱的结构特征，属于中档题．20.【答案】（12分）证明：（1）因为PA=PB，点E是棱AB的中点，所以PE⊥AB，因为平面PAB⊥平面ABCD，PE⊂平面PAB，所以PE⊥平面ABCD，因为AD⊂平面ABCD，所以PE⊥AD．…（6分）（2）因为CA=CB，点E是AB的中点，所以CE⊥AB．由（1）可得PE⊥AB，又因为CE∩PE=E，所以AB⊥平面PEC，又因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PEC．…（12分）【解析】（1）证明PE⊥AB，推出PE⊥平面ABCD，然后证明PE⊥AD．（2）证明CE⊥AB．PE⊥AB，然后证明AB⊥平面PEC，即可证明平面PAB⊥平面PEC．本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．21.【答案】（12分）解：（1）∵CE⊥AB，且直线CE的斜率为，∴直线AB的斜率为，∴直线AB的方程为，即3x-4y-9=0．…（6分）（2）设D（a，b），则C（2a+1，2b+3），∴ ，解得，∴D（0，-1），C（1，1）．…（12分）【解析】（1）由CE⊥AB，且直线CE的斜率为，得直线AB的斜率为，由此能求出直线AB的方程．（2）设D（a，b），则C（2a+1，2b+3），列出方程组，能求出点C的坐标．本题考查直线方程、点的坐标的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．22.【答案】证明：（Ⅰ）由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，AC与CC1在平面ACC1A1内相交于C点，所以BC⊥平面ACC1A1．连接AC1，则BC⊥AC1．由已知，侧面ACC1A1是矩形，所以A1C⊥AC1．又BC∩A1C=C，BC与A1C在平面A1BC内；所以AC1⊥平面A1BC．因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连接AB1，则点M是AB1的中点．又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1．故MN⊥平面A1BC．（Ⅱ）因为AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，连接BD，则∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成角．设AC=BC=CC1=a，则C1D=a，BC1=a．在Rt△BDC1中，sin∠C1BD=，所以∠C1BD=30°，故直线BC1和平面A1BC所成的角为30°．【解析】（Ⅰ）由BC⊥AC，BC⊥CC1，则BC⊥平面ACC1A1，连接AC1，则BC⊥AC1．侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1．又BC∩A1C=C，根据线面垂直的判定定理可知AC1⊥平面A1BC，因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连接AB1，则点M是AB1的中点，又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1，从而MN⊥平面A1BC；（Ⅱ）根据AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，连接BD，根据线面所成角的定义可知∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成角，设AC=BC=CC1=a，求出C1D，BC1，在Rt△BDC1中，求出∠C1BD，即可求出所求．本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成角的度量，同时考查了化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，属于中档题．。

兰州一中2018－2018－1学期高一年级期末数学试题说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分100分，考试时间100分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷(选择题，共36分)一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)请将答案写在答题卡上． 1．若θ 为第一象限角，那么能确定为正值的是 ( ) A ．2secθ B ．2sinθ C ．2cosθD ．2tanθ2．下列结论中正确的个数是 ( ) ①||a a nn= ②312132)(a a = ③log 2M 2＝2log 2M④N2log 2＝N (N ＞0)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．函数y ＝3＋a x －1(a ＞0，且a ≠1)的反函数恒过定点A ，那么点A 的坐标为( ) A ．(1，3) B ．(1，4) C ．(4，1) D ．(3，1) 4．下列四个数中最大的为 ( ) A ．(ln2)2B ．ln (ln2)C ．2lnD ．ln25．设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则“a 1＜0且0＜q ＜1”是“对于任意正整数n 都有a n ＋1＞a n ”的 ( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 6．等差数列{a n }的前n 项的和为S n ．若S 12＝21，则a 3＋a 5＋a 8＋a 10＝( ) A ．7 B ．27 C ．47 D ．221 7．函数1)1(log 21-+=x y 的定义域是 ( )A ．[1，＋∞)B ．),21[+∞-C ．]21,1(--D ．]21,(--∞8．函数y ＝f (x )的图象向右平移一个单位后与函数y ＝ln x 的图象关于y 轴对称．若f (m )＝0则m 的值为 ( ) A ．0 B ．－2 C ．2 D ．1 9．数列{a n }中)12)(12(1+-=n n a n ，S n 为其前n 项的和，若157=n S ，则n ＝( )A ．3B ．5C ．7D ． 1510．若函数y ＝f (x )对任意m ∈R ，n ∈R 都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )＋2mn 且f (1)＝2，则f (－2)＝ ( ) A ．2 B ．－2 C ．6 D ．－611．函数y ＝f (x )是周期为4的奇函数，当x ∈(－2，－1)时，f (x )＝2x ＋1，则=)211(f ( ) A ．－2 B ．2 C ． 0 D ． 4 12．某人于年初贷款a 万元，年利率为r ，从年末开始每年末偿还一定金额，预计m 年还清，则每年应偿还的金额数为( )万元．A ．1)1()1(-++m mr r aB ．m m r r ar )1(1)1(+-+C ．1)1()1(1-++-m m r r arD ．1)1()1(-++m mr r ar答题卡一、选择题(每题3分，共36分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案第Ⅱ卷(非选择题，满分64分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 13．计算(log 83＋log 89)×(log 916－log 94)＝______． 14．数列3，8，15，24，…的一个通项公式是______． 15．函数)32(log 221--=x x y 的单调递增区间是______．16．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，415=a ，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝______． 三、解答题(本大题共4小题，共48分)17．(8分，只有1—12班学生做)已知等差数列{a n }中，a 2＝10，a 10＝－6．S n 是它的前n项和．当n 为何值时，S n 最大？最大值是多少？17'．(8分，只有13、14班学生做)已知等差数列{a n }中，S n 是它的前n 项和．S 4＝25，S n －4＝223，S n ＝286(n ＞4)，求n 的值为多少？18．(8分)数列{a n }的前n 项的和S n 满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1．求数列{a n }的通项公式．19．(8分)求函数f (x )＝4x －2x ＋1＋1，x ∈[－1，log 23]的值域．20．(12分)若函数11)(+-=x x a a x f ，(a ＞1).(1)求f －1(x )及其定义域；(2)判断f (x )的单调性并证明．21．(12分，只有1—12班学生做)已知数列{a n }的首项321=a ，121+=+n n n a a a ，n ∈N *．(两问)(1)证明数列}11{-n a 是等比数列；(2)求数列}{na n的前n 项的和S n ．21'．(12分，只有13、14班学生做)设函数f (x )满足f (0)＝1，且对任意x ，y ∈R ，都有f (xy＋1)＝f (x )·f (y )－f (y )－x ＋2． (1)求f (x )的解析式；(2)若数列{a n }满足a n ＋1＝3f (a n )－1(n ∈N *)，且a 1＝1，求数列{a n }通项公式；(3)设12+=n n a nb ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：491<≤n T ．兰州一中高一数学期末考试参考答案一、选择题(每题3分，共36分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DACDBACBCABD二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 13．1；14．a n ＝n 2＋2n ； 15．(－∞，－1)； 16．)411(332n -． 三、解答题(共48分) 17．(8分)解：28106-=--=d ，则a n ＝－2n ＋14 因为－2n ＋14≥0 所以n ≤7． 则42)2(25661276=-⨯⨯+⨯==S S 为最大．17'．(8分)解：由题意，知a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝S n －S n －4＝286－223＝63．又由S 4＝25知,a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝25．从而，有4(a 1＋a n )＝88，所以a 1＋a n ＝22．∴.286112)(1==+=n a a n S n n ∴n ＝26． 18．(8分)解：S n ＝2n ＋1－1⎩⎨⎧≥-==+222131n n a nn n 即⎩⎨⎧≥==2213n n a nn ． 19．(8分)解：f (x )＝(2x )2－2·2x ＋1，x ∈[－1，log 23]．令2x ＝t ，则]3,21[∈t即f (x )min ＝1－2＋1＝0，f (x )max ＝32－2·3＋1＝4 故函数f (x )定义域为[0，4]．20．(12分)解：(1)(y －1)a x ＝－y －1，即yya x-+=11 因为，011>-+yy所以y ∈(－1，1) 则)1,1(,11log )(1-∈-+=-x xxx fa． (2)证明：任取x 1＜x 2，1111)()(221121+--+-=-x x x x aa aa x f x f)1)(1()(22121++-=x x x x a a a a 因为a ＞1所以21xxa a -＜0，2xa ＋1＞1xa ＋1＞0． 则f (x )是增函数．21．(12分)(1)证明：2122211112111111=--+=--+=--+n n n nn n nn a a a a a a a a又021123111=/=-=-a 即}11{-na 是等比数列． (2)因为n n n a a )21()21)(11(1111=-=--， 所以n n a n n n +⋅=)21(． 则2)1(2222)1()21(2211)211(2121+++-=++⋅---⋅=+n n n n n n S n n n n ． 21'．(12分)解：(1)Qf (0)＝1∴令x ＝y ＝0⇒f (1)＝f (0)f (0)－f (0)－0＋2＝2 ∴令y ＝0⇒f (1)＝f (x )f (0)－f (0)－x ＋2＝2 ∴f (x )＝x ＋1 (2)Qf (x )＝x ＋1∴a n ＋1＝3(a n ＋1)－1⇒a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)又Qa 1＋1＝2≠0⇒a 2＋1≠0⇒L ⇒a n ＋1≠0． ∴{a n ＋1}为等比数列．∴a n ＋1＝2g 3n －1⇒a n ＝2g 3n －1－1．(3)13-=n n n b∴12131313312311-⨯++⨯+⨯+⨯=n n n L T∴nn n L T 3131331231131321⨯++⨯+⨯+⨯=两式相减得：n n n n T 3)311(2332--=， ∴1342349-⨯+-=n n n T ，∴49<n T 又b n ＞0⇒T n 为关于n 的增函数，∴T n ≥T 1＝1∴491≤≤n T。

甘肃省兰州一中2018-2019-1学期高一年级期末考试试题数学说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．.） 1．若A （-2，3），B （3，-2），C （12，m ）三点共线，则m 的值是（ ） A. 12-B. 12C. 2-D. 2 2．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ） A3R B3R C3R D3R 3．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ） A．2+．12 C ．22+．14．如图，三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面三角形ABC 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（ ）A ．AC ⊥平面ABB 1A 1 B ．CC 1与B 1E 是异面直线 C ．A 1C 1∥B 1ED ．AE ⊥BB 15．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m ⊂α，n ⊂β，则下列命题正确的是( )A ．若m ⊥β，则α⊥β；B ．若α⊥β，则m ⊥n ；C ．若m ∥β，则α∥β；D ．若α∥β，则m ∥n . 6．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限11C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限7．已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A ．108 cm 3B ．100 cm 3C ．92 cm 3D ．84 cm 38．若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A ．12B ．1C ．22D ． 2 9．在四面体ABCD 中，已知棱AC 的长为2，其余各棱长都为1，则二面角A —CD —B 的余弦值为（ ）A ．12 B ．13 C 10．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别为AA 1、AB 、BB 1、B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°11．若曲线21x y -=与直线b x y +=始终有交点，则b 的取值范围是（ ）A ． [-B ．[-C ．D ．12．已知正三棱锥P —ABC （顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）的侧面是顶角为30°腰长为2的等腰三角形，若过A 的截面与棱PB ，PC 分别交于点D 和点E ，则截面△ADE 周长的最小值是（ ）A ．．．第Ⅱ卷（非选择题）二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上．．．．．．．．．.） 13．两个球的体积之比为8 ：27，则这两个球的表面积之比为________．14．经过点(3,1)P -，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线l 的方程是______________________．15．等腰直角△ABC 中，AB =BC =1，M 为AC 的中点，沿BM 把△ABC 折成二面角，折后A 与C 的距离为1，则二面角C —BM —A 的大小为_____________．16．已知点A (－1,1)，B (2，－2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段AB 相交(包含端点的情况)，则实数m 的取值范围是________________． 三、解答题（本大题共6 小题，共70分） 17. （本小题满分10分）求满足以下条件的m 值． (1)已知直线2mx ＋y +6＝0与直线 (m －3)x -y +7=0平行；(2)已知直线mx ＋(1－m )y ＝3与直线(m －1)x ＋(2m ＋3)y ＝2互相垂直.18. （本小题满分12分）如图，已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.(1)求圆C 的标准方程； (2)求圆C 在点B 处的切线方程．19．（本小题满分12分）如图，平行四边形ABCD 中，CD =1，∠BCD =60°，BD ⊥CD ，正方形ADEF ，且面ADEF ⊥面ABCD ．（1）求证：BD ⊥平面ECD ； （2）求D 点到面CEB 的距离．20．（本小题满分12分）已知△ABC 的顶点B （-1，-3），边AB 上的高CE 所在直线的方程为4370x y +-=，BC 边上中线AD 所在的直线方程为330x y --=．(1) 求直线AB 的方程；(2) 求点C 的坐标．21.（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，E ，F 分别是BC ，CC 1的中点．（1）证明：平面AEF ⊥平面B 1BCC 1；（2）若直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角为45°，求三棱锥F -AEC 的体积．22.（本小题满分12分）如图，已知AA 1⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1，AB ＝AC ＝3，BC ＝25，AA 1＝7，BB 1＝27，点E 和F 分别为BC 和A 1C 的中点． (1)求证：EF ∥平面A 1B 1BA ；(2)求直线A 1B 1与平面BCB 1所成角的大小．1A甘肃省兰州一中2018-2019-1学期高一数学期末考试答案一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分）二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,）13.4: 9 14.或（只写对一个方程不给分）15. 16．三、解答题（本大题共6 小题，共70分）17. （10分）也可用m(m－1)＋(1－m)(2m＋3)＝0，即m2＋2m－3＝0，解得m＝1，或m＝－3.………10分18．（12分解：(1)过点C作CM⊥AB于M，连接AC，则|CM|＝|OT|＝1，|AM |＝21|AB |＝1，所以圆的半径r ＝|AC |＝＝，从而圆心C (1，)， 即圆的标准方程为(x －1)2＋(y －)2＝2…………6分 (2)令x ＝0得，y ＝±1， 则B (0，＋1)，所以直线BC 的斜率为k ＝0－12＝－1，由直线与圆相切的性质知，圆C 在点B 处的切线的斜率为1， 则圆C 在点B 处的切线方程为y －(＋1)＝1×(x －0)， 即y ＝x ＋＋1………….12分 19．（12分）解:（ 1）证明：∵四边形ADEF 为正方形， ∴ED ⊥AD ，又∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF∩平面ABCD=AD ， ∴ED ⊥平面ABCD ，∴ED ⊥BD ． 又∵BD ⊥CD ，ED∩CD=D， ∴BD ⊥平面ECD ．…………..4分 （ 2）∵CD=1，∠BCD=60°，BD ⊥CD ， 又∵正方形ADEF ，∴CB=2，CE=，，∴，∴，Rt△BCD 的面积等于 S △BCD =1=，由得（ I ）ED ⊥平面ABCD ，∴点E 到平面BCD 的距离为ED=2，设点D 到到面CEB 的距离为h ，∴=，∴h=，即点D 到到面CEB 的距离为………………12分20.（12分）解：（1）∵,且直线的斜率为，∴直线的斜率为，∴直线的方程为，即．………………6分（2）设，则，∴，解得，∴．………………12分21.（12分）解：（1）证明：如图，因为三棱柱ABC A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AE ⊥BB 1.又E 是正三角形ABC 的边BC 的中点，所以AE ⊥BC . 又，因此AE ⊥平面B 1BCC 1. ……3分而AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面B 1BCC 1. ……5分（2）设AB 的中点为D ，连接A 1D ，CD .因为△ABC 是正三角形，所以CD ⊥AB .又三棱柱ABC A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CD ⊥AA 1. 又，因此CD ⊥平面A 1ABB 1，于是∠CA 1D 为直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角． ……8分 由题设，∠CA 1D ＝45°，所以A 1D ＝CD ＝23AB ＝.在Rt△AA 1D 中，AA 1＝＝＝，所以FC ＝21AA 1＝22. ……10分 故三棱锥F AEC 的体积V ＝31S △AEC ·FC ＝31××＝126. ……12分 22.（12分）解：(1)证明：如图，连接A 1B .在△A 1BC 中，因为E 和F 分别是BC 和A 1C 的中点， 所以EF ∥BA 1. 又EF ⊄平面A 1B 1BA ，所以EF ∥平面A 1B 1BA ………..4分 (2)解：因为AB ＝AC ，E 为BC 的中点， 所以AE ⊥BC .因为AA 1⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1， 所以BB 1⊥平面ABC ，从而BB 1⊥AE . 又BC ∩BB 1＝B ，所以AE ⊥平面BCB 1，.取BB 1的中点M 和B 1C 的中点N ，连接A 1M ，A 1N ，NE . 因为N 和E 分别为B 1C 和BC 的中点， 所以NE ∥B 1B ，NE ＝21B 1B ， 故NE ∥A 1A 且NE ＝A 1A ， 所以A 1N ∥AE ，且A 1N ＝AE .因为AE ⊥平面BCB 1，所以A 1N ⊥平面BCB 1， 从而∠A 1B 1N 为直线A 1B 1与平面BCB 1所成的角． 在△ABC 中，可得AE ＝2，所以A 1N ＝AE ＝2. 因为BM ∥AA 1，BM ＝AA 1， 所以A 1M ∥AB ，A 1M ＝AB ， 由AB ⊥BB 1，有A 1M ⊥BB 1. 在Rt △A 1MB 1中， 可得A 1B 1＝＝4.在Rt △A 1NB 1中，sin ∠A 1B 1N ＝＝， 因此∠A 1B 1N ＝30°.所以直线A1B1与平面BCB1所成的角为30°……………12分。

2017-2018学年甘肃省兰州一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1．（2017一中）（5分）已知直线,a b ，平面α满足//a b αα⊂，，则直线a 与直线b 的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交或异面C ．异面D ．平行或异面【答案】D【解析】解：直线,a b ，平面α满足//a b αα⊂，直线a 与直线b 的位置关系可能异面，可能平行，不能相交， 2．（2017一中）（5分）下列四条直线，倾斜角最大的是（ ） A ．1y x =-+ B ．1y x =+C ．21y x =+D ．1x =【答案】A 【解析】A 选项中，直线方程1y x =-+的斜率为1-，倾斜角为135，B 选项中，直线方程1y x =+的斜率为1，倾斜角为45，C 选项中，直线方程21y x =+的斜率为2，倾斜角为α（6090α<<），D 选项中，直线方程1x =的斜率不存在，倾斜角为90． 所以A 中直线的倾斜角最大．3．（2017一中）（5分）若直线260mx y ++=与直线()370m x y --+=平行，则m 的值为（ ）A ．1-B ．1C ．1-或1D ．3【答案】B【解析】因为两条直线平行，所以216317m m =≠--，解得1m = 4．（2017一中）（5分）如图，三棱柱111A BC ABC -中，侧棱1AAABC ⊥底面，底面三角形ABC 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（ ）A ．11AC ABB A ⊥平面 B ．1CC 与1B E 是异面直线 C ．111//AC B ED ．1AE BB ⊥【答案】D【解析】因为三棱柱111A BC ABC -中，侧棱1AAABC ⊥底面，底面三角形ABC 是正三角形，E 是BC 中点 所以对于A AC ，与平面1ABB A 斜交，夹角为60；故A 错误； 对于1B CC ，与1B E 都在平面11CC BB 中不平行，故相交；所以B 错误； 对于111C AC B E ，，是异面直线；故C 错误； 对于D ，因为几何体是三棱柱，并且侧棱1AA ABC ⊥底面，底面三角形ABC 是正三角形，E 是BC 中点， 所以1BB ABC ⊥底面，所以1BB AE AE BC ⊥⊥，，得到11AE BCC B ⊥平面，所以1AE BB ⊥；5．（2017一中）（5分）已知两个不重合的平面αβ，和两条不同直线m n ，则下列说法正确的是（ ） A ．若m n n m αβ⊥⊥⊂，，，则αβ⊥ B ．若//n m αβαβ⊥⊥，，，则//m n C ．若m n n m αβ⊥⊂⊂，，，则αβ⊥ D ．若////n m αβαβ⊂，，，则//m n【答案】B【解析】A ．若//n m n m αα⊥⊥⇒，或m α⊂，又m β⊂，所以αβ⊥不成立，所以A ．错误． B ．若//n αβα⊥，n β⇒⊥，又m β⊥，所以//m n 成立，所以B 正确． C ．当αβ⋂时，也满足若m n n m αβ⊥⊂⊂，，，所以C 错误． D ．若////n m αβαβ⊂，，，则//m n 或,m n 为异面直线，所以D 错误． 6．（2017一中）（5分）已知直线0ax by c ++=的图形如图所示，则（ ）A ．若0c >，则00a b >>，B ．若0c >，则00a b <>，C ．若0c <，则00a b ><，D ．若0c <，则00a b >>，【答案】D【解析】由直线0ax by c ++=可得a cy x b b =--由图像可知0,0a cb b-<->所以若0c <，则00a b >>，7．（2017一中）（5分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的表面积为（ ）A ．(442π+B ．()642π+C ．()842π+D ．(1242π+【答案】D【解析】由三视图可知几何体为圆柱挖去一个圆锥所得的组合体， 且圆锥与圆柱的底面直径都为4，高为2，222+2=22所以该几何体的表面积22222222S πππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯(1242π+8．（2017一中）（5分）斜率为4的直线经过点()()()3,5,71,A B a C b ，，-三点，则,a b 的值为（ ）A ．7,02a b ==B ．7,112a b =-=-C ．7,112a b ==-D ．7,112a b ==-【答案】C【解析】因为斜率为4的直线经过点()()()3,5,71,A B a C b ，，-三点 所以7554313b a --==--- 解得7,112a b ==-．9．（2017一中）（5分）如图所示，正方形O A B C ''''的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）A ．6B ．8C ．232+D ．223+【答案】B【解析】根据原图可作出该直观图的原图形，如右所示因为直观图中的线段//C B x '''轴，所以在原图形中对应的线段平行于x 轴且长度不变，点C '和B '在原图形中对应的点C 和B 的纵坐标是O B ''的2倍，则22OB =，所以3OC =，则四边形OABC 的长度为810．（2017一中）（5分）如图所示，将等腰直角ABC ∆沿斜边BC 上的高AD 折成一个二面角，使得60B AC '∠=．那么这个二面角大小是（ ）A．30B．60C．90D．120【答案】C【解析】设等腰直角ABC∆中AB AC a==，则2BC a=，所以2B D CD a'==，因为等腰直角ABC∆斜边BC上的高是AD所以B D AD CD AD'⊥⊥，，所以B DC∠'是二面角B AD C'--的平面角．连结,B C'，因为60B AC∠'=︒，所以B C a'=，所以222B D CD B C'+='，所以B DC∠'=90．所以二面角B AD C'--的大小是90．11．（2017一中）（5分）若点1,M ab⎛⎫⎪⎝⎭和1b,Nc⎛⎫⎪⎝⎭都在直线:1l x y+=上，又点1c,Pa⎛⎫⎪⎝⎭和点1,Q bc⎛⎫⎪⎝⎭，则（）A．点P和Q都不在直线l上B．点P和Q都在直线l上C．点P在直线l上且Q不在直线l上D．点P不在直线l上且Q在直线l上【答案】B【解析】因为点1,M ab⎛⎫⎪⎝⎭和1b,Nc⎛⎫⎪⎝⎭都在直线:1l x y+=上，所以1=1a b +，1b+1c=，所以111111a c ac+=⇒+=-， 所以点1c,P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和点1,Q b c ⎛⎫⎪⎝⎭都在直线l 上．12．（2017一中）（5分）已知点2,33,2A B --（）,（-），直线10l mx y m +--=：与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．34k ≥或4k ≤- B ．344k -≤≤ C ．15k <-D ．344k -≤≤ 【答案】A【解析】直线10l mx y m +--=：与线段AB 相交，则点A B 、在直线的两侧或在直线上，则有()()2313210m m m m -------≤，解可得34m ≤-或4m ≥， 而直线10l mx y m +--=：的斜率k m =-，则其斜率k 的取值范围是34k ≥或4k ≤-； 二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案写在答题卡上.）13．（2017一中）（5分）已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为120 的扇形，则这个圆锥的高为 ．【答案】【解析】解：设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则32233l r ππ=⎧⎪⎨=⨯⎪⎩， 解得1r =．所以圆锥的高h 14．（2017一中）（5分）经过点()3,1P -，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线l 的方程是 ．【答案】30x y +=或210x y +-=【解析】设直线l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ， 当0a =时，0b =，此时直线l 过点()3,1P -，()0,0O ，所以直线l 的方程为：13y x -=，整理，得30x y +=； 当0a ≠时，2a b =，此时直线l 的斜率122b k b =-=-， 所以直线l 的方程为：()1132y x +=--， 整理，得210x y +-=综上可知，30x y +=或210x y +-=．15．（2017一中）（5分）如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，3AB cm =，2AD cm =，11AA cm =，则三棱锥11B ABD ﹣的体积为 3cm ．【答案】1【解析】由长方体的性质可得：点1D 到平面11ABB A 的距离为AD ． 111111112311332ABB B ABD ABB V V AD S ∆--==••=⨯⨯⨯⨯=三棱锥三棱锥D16．（2017一中）（5分）如图，在四面体A BCD -中，已知棱AC 21，则二面角A CD B --的平面角的余弦值为 ．【答案】3 【解析】取CD 中点为E ，取AC 中点为F ，连接BF BE FE 、、， 又由题可知1,2AB AD BD BC CD AC ======则有BF AC ⊥，即22122BF AB AC ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭BE CD ⊥，即22132BE BC CD ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭11=22FE AD = 又222AC AD CD =+ 所以AD CD EF CD ⊥，⊥则 FEB ∠为二面角A CD B --的平面角 又由上可知222BE BF FE =+所以BFE ∆为直角三角形，90BFE ∠=则有3cos =EF FEB BE ∠=所以二面角A CD B --的平面角的余弦值为3． 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（2017一中）（10分）已知直线l 平行于直线3470x y +-=，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l 的方程． 【答案】【解析】设直线l 的方程为340x y m ++=，令0x =，得4m y =-；令0y =，得3m x =-． 所以直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为1=24243m m⨯-⨯-， 解得24m =±．所以直线l 的方程为34240x y ++=．18．（2017一中）（12分）已知四棱锥P ABCD -的体积为2，其三视图如图所示，其中正视图为等腰三角形，侧视图为直角三角形，俯视图是直角梯形． （1）求正视图的面积；（2）求四棱锥P ABCD -的侧面积．【答案】（12（2）2+2+23S =【解析】（1）依据三视图可复原出立体图像，如图所示 则四棱锥P ABCD -的高为PA底面积为322AD BD S CD +=⨯= 所以四棱锥P ABCD -的体积113332P ABCD V S PA PA -=⨯⨯=⨯⨯四棱锥解得2PA 所以正视图的面积为12222S =⨯（2）由三视图可知，ABCD 是直角梯形，E 是BC 中点 且121AD BC AE CD ====、、则2222222BC AC AD CD AB AE ⎛⎫=+==+= ⎪⎝⎭、因为PA ⊥平面ABCD所以PA AB PA AD PA AE PA AC PA DC ⊥⊥⊥⊥⊥，，，，又由（1）可知2PA =所以222PC PA AC =+=、222PB PA AB =+=、223PD PA AD =+=、223PE PA AE =+=112PAB S PA AB ∆=⨯⨯=，122PAD S PA AD ∆=⨯⨯=因为PC PB =,E 是BC 中点 所以PE BC ⊥132PBC S BC PE ∆=⨯⨯= 因为PA DC ⊥，AD DC ⊥，PA PAD ⊂平面，AD PAD ⊂平面，PA AD A =所以DC PAD ⊥平面 又PD PAD ⊂平面 所以PD DC ⊥132PCD S PD CD ∆=⨯⨯= 综上可知四棱锥P ABCD -的侧面积2+2+23PAB PAD PBC PCD S S S S S ∆∆∆∆=+++=19．（2017一中）（12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，E F 、分别为线段1,DD BD 的中点． （1）求证：//EF 平面11ABC D ；线（2）四棱柱1111ABCD A BC D -的外接球的表面积为16π，求异面直EF 与BC 所成的角的大小．【答案】（1）略；（2）60【解析】（1）连接1BD ，在1DD B ∆中，E 、F 分别为线段1DD BD 、的中点，所以EF 为中位线，所以//EF 1BD ，因为1BD ⊂面11ABC D ，EF ⊄面ABC 1D 111ABC D ，所以//EF 平面11ABC D ；（2）由（1）知//EF 1BD则1D BC ∠即为异面直线EF 与BC 所成的角因为四棱柱1111ABCD A BC D -的外接球的表面积为16π，所以四棱柱1111ABCD A BC D -的外接球的半径2R =， 设1AA a =，则222222R a =++，解得122AA a ==，因为1111ABCD A BC D -是直四棱柱，底面ABCD 是边长为2的正方形 所以11BC C D DC ⊥，1BCD ∆为直角三角形124D B R ==,2BC =则111cos 2BC D BC D B ∠==,160D BC ∠= 因此异面直线EF 与BC 所成的角为6020．（2017一中）（12分）如图，在四棱P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA PB =，且侧面PAB ⊥平面ABCD ，点E 是AB 的中点．（1）求证：PE AD ⊥；（2）若CA CB =，求证：平面PEC ⊥平面PAB ．【答案】（1）略；（2）略【解析】（1）因为PA PB =，点E 是AB 的中点 所以PE AB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，PE ⊂平面PAB ， 所以PE ⊥平面ABCD ，因为AD ⊂平面ABCD ，所以PE AD ⊥（2）因为CA CB =，点E 是AB 的中点，所以CE AB ⊥．由（1）可得PE AB ⊥，又因为CE PE E ⋂=，所以AB ⊥平面PEC ，又因为AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PEC ．21．（2017一中）（12分）已知ABC ∆的顶点()1,3B --，边AB 上的高CE 所在直线的方程为4370x y +-=，BC 边上中线AD 所在的直线方程为330x y --=．（1）求直线AB 的方程；（2）求点C 的坐标．【答案】（1）3490x y --=；（2）()1,1【解析】（1）因为CE AB ⊥，且直线CE 的斜率为43-，所以直线AB 的斜率为34又因为()1,3B --所以直线AB 的方程为()3314y x +=+，即3490x y --=（2）设(),D a b因为D 为BC 中点，()1,3B --所以()21,23C a b ++则()()33042132370a b a b --=⎧⎪⎨+++-=⎪⎩解得01a b =⎧⎨=-⎩所以点C 的坐标()1,122．（2017一中）（12分）如图，在直三棱柱11ABC A B C -中，AC BC ⊥，1AC BC CC ==，M N 、分别是111A B BC 、的中点．（1）求证：MN ⊥平面1A BC ；（2）求直线1BC 和平面1A BC 所成角的大小．【答案】（1）略；（2）30【解析】（1）由题意可知在直三棱柱11ABC A B C -中 由已知1BC AC BC CC ⊥⊥，所以BC ⊥平面1ACC A ．连接1AC ，则1BC AC ⊥． 由题意可知，侧面1ACC A 是矩形，所以11AC AC ⊥． 又1BC AC C ⋂=，所以1AC ⊥平面1A BC ． 因为侧面11ABB A 是矩形，M 是1A B 的中点，连接1AB ，则M 是1AB 的中点． 又点N 是11BC 的中点，则MN 是11AB C ∆的中位线，所以1//MN AC ．故MN ⊥平面1A BC ．（2）设1AC 与1AC 相交于点D ，连接BD因为1AC ⊥平面1A BC所以1C BD ∠为直线1BC 和平面1A BC 所成角 又因为DB ⊂平面1A BC所以1AC DB ⊥设1AC BC CC a ===，则12C D a =，12C B a =．在1Rt BDC ∆中，1111sin 2C D C BD BC ∠==，所以130C BD ∠=因此，直线1BC 和平面1A BC 所成的角为30．。

甘肃省2017—2018学年高一数学上学期期末考试试卷（共3套）甘肃省2017—2018学年高一数学上学期期末考试试卷（一）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．直线l：x+y+3=0的倾斜角α为（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A．25π B．50π C．125πD．75π3．设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A．若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥αB．若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l∥m C．若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n D．若l⊥m，l⊥n，则n∥m4．如图是一个水平放置的直观图，它是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积为（）A．2+B．C．D．1+5．直线l将圆x2+y2﹣2x﹣4y=0平分，且与直线x+2y=0平行，直线l的方程为（）A．2x﹣y=0 B．2x﹣y﹣2=0 C．x+2y﹣3=0 D．x+2y﹣5=06．圆x2+y2﹣6x=0与圆x2+y2+8y+12=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．外切D．内切7．设P是△ABC所在平面α外一点，H是P在α内的射影，且PA，PB，PC 与α所成的角相等，则H是△ABC的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心8．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．由直线y=x+1上的一点向圆（x﹣3）2+y2=1引切线，则切线长的最小值为（）A．1 B．2C．D．310．如图，点E为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1的中点，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为（）A．B．C．D．11．如图，若Ω是长方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是（）A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱D．Ω是棱台12．若关于x的方程﹣kx﹣3+2k=0有且只有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是（）A． B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知点A（x，1，2）和点B（2，3，4），且|AB|=2，则实数x的值是．14．两平行直线x+3y﹣4=0与2x+6y﹣9=0的距离是．15．已知线段AB的端点B的坐标是（8，6），端点A在圆（x+1）2+y2=4上运动，则线段AB的中点P的轨迹方程为．16．自点（﹣3，3）发出的光线射到x轴上，被x轴反射，其反射光线L所在直线与圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0相切，则反射光线L所在直线方程为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AA1的中点，求证：（Ⅰ）A1C∥平面BDE；（Ⅱ）平面A1AC⊥平面BDE．18．△ABC中，A（0，1），AB边上的高CD所在直线的方程为x+2y﹣4=0，AC 边上的中线BE所在直线的方程为2x+y﹣3=0．（1）求直线AB的方程，并把它化为一般式；（2）求直线BC的方程，并把它化为一般式．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．（1）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，并说明理由；（2）证明：直线l⊥平面ADD1A1．20．圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m ∈R）．（1）证明：不论m取什么数，直线l与圆C恒交于两点；（2）求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求此时m的值．21．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PBC⊥底面ABCD，且PB=PC=．（Ⅰ）求证：AB⊥CP；（Ⅱ）求点B到平面PAD的距离；（Ⅲ）设面PAD与面PBC的交线为l，求二面角A﹣l﹣B的大小．22．圆M：x2+y2﹣4x﹣2y+4=0（1）若圆M的切线在x轴上的截距是y轴上的截距的2倍，求切线的方程；（2）从圆外一点P（a，b），向该圆引切线PA，切点为A，且PA=PO，O为坐标原点，求证：以PM为直径的圆过异于M的定点，并求该定点的坐标．参考答案一、单项选择题1．C．2．B．3．C．4．A．5．D．6．C．7．B．8．C．9．C．10．C．11．D．12．D二、填空题13．答案为：6或﹣2．14．答案为：15．答案为：（x﹣）2+（y﹣3）2=1．16．答案为：4x﹣3y+3=0或3x﹣4y﹣3=0．三、解答题17．证明：（Ⅰ）连接AC交BD于O，连接EO，∵E为AA1的中点，O为AC的中点∴EO为△A1AC的中位线∴EO∥A1C又∵EO⊂平面BDE，A1C⊄平面BDE∴A1C∥平面BDE；…（Ⅱ）∵AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD∴AA1⊥BD又∵四边形ABCD是正方形∴AC⊥BD，∵AA1∩AC=A，AA1、AC⊂平面A1AC∴BD⊥平面A1AC又∵BD⊂平面BDE∴平面A1AC⊥平面BDE．…18．解：（1）由已知得直线AB的斜率为2，∴AB边所在的直线方程为y﹣1=2（x﹣0），即2x﹣y+1=0．（2）由得x=，y=2，即直线AB与直线BE的交点为B（，2）．设C（m，n），则由已知条件得，解得m=2，n=1，∴C（2，1）．∴BC的方程为：2x+3y﹣7=019．（1）解：在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行．理由如下：由于直线l不在平面A1BC内，l∥BC，BC⊂平面A1BC，故直线l与平面A1BC平行．（2）证明：在△ABC中，∵AB=AC，D是线段AC的中点，∴AD⊥BC，又l∥BC，∴l⊥AD．又∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥l．而AA1∩AD=A，∴直线l⊥平面ADD1A1．20．（1）证明：由（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，m∈R得：（x+y﹣4）+m（2x+y﹣7）=0，∵m∈R，∴得x=3，y=1，故l恒过定点A（3，1）；又圆心C（1，2），∴|AC|=＜5（半径）∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交．（2）解：∵弦长的一半、该弦弦心距、圆的半径构成一个直角三角形，∴当l⊥AC（此时该弦弦心距最大），直线l被圆C截得的弦长最小，∵k AC=﹣，∴直线l的斜率k l=2，∴由点斜式可得l的方程为2x﹣y﹣5=0．21．（Ⅰ）证明：∵底面ABCD是正方形，∴AB⊥BC，又平面PBC⊥底面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC∴AB⊥平面PBC又PC⊂平面PBC∴AB⊥CP …（Ⅱ）解：∵BC∥AD，BC⊄面PAD，AD⊂面PAD，∴BC∥面PAD取BC中点O，再取AD中点M∵AD⊥MO，AD⊥MP，MO∩MP=M∴AD⊥面MOP，∵AD⊂面ADP∴面ADP⊥面MOP过点O作OH⊥PM，则OH⊥面ADP在Rt△MPO中，由OH•PM=PO•MO，可得OH=∴点B到平面PAD的距离为．…（Ⅲ）解：∵BC∥AD，BC⊄面PAD，AD⊂面PAD，∴BC∥面PAD∵面PAD∩面PBC=l，BC⊂面PBC∴BC∥l∴OP⊥l，MP⊥l∴∠MPO就是二面角A﹣l﹣B的平面角．∴tan∠MPO==1∴∠MPO=45°∴二面角A﹣l﹣B的大小为45°．…22．解：（1）当切线过原点时，设切线为y=kx，由得（舍）当切线不过原点时，设切线为即x+2y=2a，由得6′，所以所求的切线方程为（2）由条件PA2=PO2，得（a﹣2）2+（b﹣1）2﹣1=a2+b2得2a+b=2以PM为直径的圆方程为x2+y2﹣（2+a）x﹣（b+1）y+b+2a=012′x2+y2﹣（2+a）x﹣（3﹣2a）y+2=0所以异于M的定点为甘肃省2017—2018学年高一数学上学期期末考试试卷（二）（考试时间100分钟满分120分）一、单项选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1．如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°2．已知函数f（x）=为自然对数的底数，则f[f（e）]=（）A．0 B．1 C．2 D．eln 23．直线l1：kx+（1﹣k）y﹣3=0和l2：（k﹣1）x+（2k+3）y﹣2=0互相垂直，则k的值是（）A．﹣3 B．1 C．1或﹣3 D．0或14．设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（）①若m⊥α，n⊥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β．A．②B．②③C．③④D．①④5．设点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围（）A．k≥或k≤﹣4 B．≤k≤4 C．﹣4≤k≤D．k≥4或k≤﹣6．如图所示，在空间直角坐标系中，D是坐标原点，有一棱长为a的正方体ABCD ﹣A1B1C1D1，E和F分别是体对角线A1C和棱AB上的动点，则|EF|的最小值为（）A．B．C．a D．7．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A．8﹣ B．8﹣C．8﹣2πD．8．圆x2+2x+y2+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．已知异面直线a与b所成角为60°，过空间内一定点P且与直线a、b所成角均为60°的直线有（）条．A．1 B．2 C．3 D．410．已知函数f（x）是定义域R在上的奇函数，且在区间[0，+∞）单调递增，若实数a满足f（log2a）+f（log2）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．C．D．（0，2]二、填空题：每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上11．已知长方体的长宽高分别为3，2，1，则该长方体外接球的表面积为．12．在平面直角坐标系xOy中，若圆x2+（y﹣1）2=4上存在A，B两点关于点P （1，2）成中心对称，则直线AB的方程为．13．已知集合M={（x，y）|y=}，N={（x，y）|y=x+m}，且M∩N≠∅，则m的取值范围为．14．在侧棱长为的正三棱锥S﹣ABC中，∠ASB=∠BSC=∠CSA=40°，过A 作截面AMN，交SB于M，交SC于N，则截面AMN周长的最小值为．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=AD，F为PD的中点．（1）求证：AF⊥平面PDC；（2）求直线AC与平面PCD所成角的大小．16．已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=25．（1）求证：直线l过定点；（2）当m为何值时，直线l被圆C截得的弦最短．17．已知A、B两点的坐标为（﹣1，0）、（1，0），点P到A、B两点的距离比是一个常数a（a＞0），求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD是一个梯形，且AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AD=4，BD=4，AD=2CD=8．（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（3）当M点位于线段PC什么位置时，PA∥平面MBD？请证明你的结论．参考答案一、单项选择题：1．D2．C．3．C4．A．5．A．6．B．7．A．8．C．9．C．10．D．二、填空题11．答案为：14π．12．答案为：x+y﹣3=0．13．答案为：﹣3≤m≤314．答案为：6．三、解答题15．解：（1）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵正方形ABCD中，CD⊥AD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AF，∵PA=AD，FP=FD∴AF⊥PD又∵CD∩PD=D∴AF⊥平面PDC…（2）连接CF由（1）可知CF是AF在平面PCD内的射影∴∠ACF是AF与平面PCD所成的角∵AF⊥平面PDC∴AF⊥FC在△ACF中，∴AF与平面PCD所成的角为30°．…..16．（1）证明：把直线l的方程整理成m（2x+y﹣7）+（x+y﹣4）=0由于m的任意性，有，解此方程组，得，所以直线l恒过定点D（3，1）；（2）解：当直线l与DC垂直时，被截得的弦最短，此时，直线l与DC的斜率k l•k CD=﹣1，由直线l的方程得，由点C、D的坐标得∴，解得，所以，当时，直线l被圆C截得的弦最短．17．解：由可得：两边同时平方并化简可得（a2﹣1）x2+（a2﹣1）y2﹣2（a2+1）x+a2﹣1=0（1）当a=1时，方程变为x=0，表示y轴，是一条直线；当a≠1时，（1）式两边同时除以（a2﹣1）可得：配方后为：，表示以为圆心，以为半径的圆．18．（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD．∵AD2+BD2=AB2，∴BD⊥AD，∴BD⊥平面ABCD∴平面MBD⊥平面ABCD，（2）解：过P作PO⊥AD交AD于O，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD．即PO为四棱锥P﹣ABCD的高．又∵△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO=2，==24∴V P﹣ABCD（3）当M为PC的三等分点，即2CM=MP时，结论成立．证明：连AC交BD于点N，∵CD∥AB，CD=AB，∴，∴MN∥PA，PA⊄平面MBD，MN⊂平面MBD，∴PA∥平面MBD．甘肃省2017—2018学年高一数学上学期期末考试试卷（三）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.）1．设集合A={x|0≤x≤6}，B={y|0≤y≤2}，从A到B的对应法则f不是映射的是（）A．f：x B．f：x C．f：x D．f：x2．如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是（）A．A∩B B．A∪B C．B∩（∁U A）D．A∩（∁U B）3．与函数y=x是同一函数的函数是（）A．B．C．D．4．下列函数在R上单调递增的是（）A．y=|x|B．y=lgx C．D．y=2x5．函数y=的图象是（）A．B．C．D．6．函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣x+1，则当x＜0时，f（x）等于（）A．﹣x+1 B．﹣x﹣1 C．x+1 D．x﹣17．方程x3﹣x﹣3=0的实数解所在的区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）8．已知函数f（x）=，则的值是（）A．B．﹣C．D．﹣9．下列各式中成立的一项（）A．B．C．D．10．设a＞1，则log0.2a、0.2a、a0.2的大小关系是（）A．0.2a＜log0.2a＜a0.2B．log0.2a＜0.2a＜a0.2C．log0.2a＜a0.2＜0.2a D．0.2a＜a0.2＜log0.2a11．若||=，且|log b a|=﹣log b a，则a，b满足的关系式是（）A．1＜a，1＜b B．1＜a且0＜b＜1 C．1＜b且0＜a＜1 D．0＜a＜1且0＜b＜1 12．若函数f（x）=|4x﹣x2|+a有4个零点，则实数a的取值范围是（）A．[﹣4，0]B．（﹣4，0）C．[0，4]D．（0，4）二、填空题（每小题4分，共20分.）13．已知y=f（x）在定义域R上是减函数，且f（1﹣a）＜f（2a﹣1），则a的取值范围是．14．已知函数f（x+1）=3x+2，则f（x）的解析式是．15．设集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，则A∩B=．16．命题“∀x＞0，x2﹣3x+2＜0”的否定是．17．若f（a+b）=f（a）•f（b），且f（1）=2，则=．三、解答题（写出必要的计算步骤、解答过程，共70分.）18．已知命题p：x∈A，且A={x|a﹣1＜x＜a+1}，命题q：x∈B，且B={x|x2﹣4x+3≥0}（Ⅰ）若A∩B=∅，A∪B=R，求实数a的值；（Ⅱ）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．19．已知命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0；若命题￢（p∧q）是假命题，求实数a的取值范围．20．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0，q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x﹣8＞0，且非p是非q的必要不充分条件，则实数a的范围是．21．已知命题p：1∈{x|x2＜a}；q：2∈{x|x2＜a}（1）若“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围；（2）若“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．22．已知p：|1﹣|≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．若“非p”是“非q”的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．23．已知p：，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．参考答案一、单项选择题：1．A．2．C．3．B．4．D．5．C．6．B7．C8．C．9．D10．B．11．C 12．B二、填空题13．答案为：（﹣∞，）．14．答案为f（x）=3x﹣1．15．答案为：{2}．16．答案为：∃x＞0，x3﹣x2+1≥017．答案为：4024三、解答题18．解：（Ⅰ）B={x|x2﹣4x+3≥0}={x|x≤1，或x≥3}，A={x|a﹣1＜x＜a+1}，由A∩B=∅，A∪B=R，得，得a=2，所以满足A∩B=∅，A∪B=R的实数a的值为2；（Ⅱ）因p是q的充分条件，所以A⊆B，且A≠∅，所以结合数轴可知，a+1≤1或a﹣1≥3，解得a≤0，或a≥4，所以p是q的充分条件的实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．19．解：p真，则a≤1，q真，则△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，即a≥1或a≤﹣2，∵命题￢（p∧q）是假命题，∴p∧q为真命题，∴p，q均为真命题，∴，∴a≤﹣2，或a=1∴实数a的取值范围为a≤﹣2，或a=1．20．解：对于命题p：由x2﹣4ax+3a2＜0及a＜0，得3a＜x＜a，即p：3a＜x＜a．对于命题q：又由x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，由x2+2x﹣8＞0，得x＜﹣4或x ＞2，那么q：x＜﹣4或x≥﹣2．由于，非p是非q的必要不充分条件，即非q⇒非p，且非p推不出非q，等价于p⇒q且q推不出p，于是，得或，解得﹣≤a＜0或a≤﹣4，故所求a的范围为[﹣，0）∪（﹣∞，﹣4]．故答案为：[﹣，0）∪（﹣∞，﹣4]．21．解：若P为真，则1∈{x|x2＜a}，所以12＜a，则a＞1；若q为真，则2∈{x|x2＜a}，有x2＜a，解可得a＞4；（1）若“p∨q”为真，则p、q为至少有一个为真，即a＞1和a＞4中至少有一个成立，取其并集可得a＞1，此时a的取值范围是a＞1；（2）若“p∧q”为真，则p且q同时为真，即a＞1和a＞4同时成立，取其交集可得a＞4，此时a的取值范围是a＞4．22．解：解法一：由p：|1﹣|≤2，解得﹣2≤x≤10，∴“非p”：A={x|x＞10或x＜﹣2}、由q：x2﹣2x+1﹣m2≤0，解得1﹣m≤x≤1+m（m＞0）∴“非q”：B={x|x＞1+m或x＜1﹣m，m＞0=由“非p”是“非q”的必要而不充分条件可知：B⊆A.解得m≥9．∴满足条件的m的取值范围为{m|m≥9}．解法二：由“非p”是“非q”的必要而不充分条件．即“非q”⇒“非p”，但“非p”“非q”，可以等价转换为它的逆否命题：“p⇒q，但q p”．即p是q的充分而不必要条件．由|1﹣|≤2，解得﹣2≤x≤10，∴p={x|﹣2≤x≤10}由x2﹣2x+1﹣m2≤0，解得1﹣m≤x≤1+m（m＞0）∴q={x|1﹣m≤x≤1+m，m＞0}由p是q的充分而不必要条件可知：p⊆q⇔解得m≥9．∴满足条件的m的取值范围为{m|m≥9}．23．解：由，得﹣2＜x≤10．“￢p”：A={x|x＞10或x≤﹣2}．由x2﹣2x+1﹣m2≤0，得1﹣m≤x≤1+m（m＞0）．∴“￢q”：B={x|x＞1+m或x＜1﹣m，m＞0}．∵￢p是￢q的充分而不必要条件，∴A⊂B．∴解得0＜m＜3。

甘肃省2017—2018学年高一数学上学期期末考试试卷（三）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.）1．设集合A={x|0≤x≤6}，B={y|0≤y≤2}，从A到B的对应法则f不是映射的是（）A．f：x B．f：x C．f：x D．f：x2．如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是（）A．A∩B B．A∪B C．B∩（∁U A）D．A∩（∁U B）3．与函数y=x是同一函数的函数是（）A．B．C．D．4．下列函数在R上单调递增的是（）A．y=|x|B．y=lgx C．D．y=2x5．函数y=的图象是（）A．B． C．D．6．函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣x+1，则当x＜0时，f（x）等于（）A．﹣x+1 B．﹣x﹣1 C．x+1 D．x﹣17．方程x3﹣x﹣3=0的实数解所在的区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）8．已知函数f（x）=，则的值是（）A．B．﹣C．D．﹣9．下列各式中成立的一项（）A．B．C．D．10．设a＞1，则log0.2a、0.2a、a0.2的大小关系是（）A．0.2a＜log0.2a＜a0.2B．log0.2a＜0.2a＜a0.2C．log0.2a＜a0.2＜0.2a D．0.2a＜a0.2＜log0.2a11．若||=，且|log b a|=﹣log b a，则a，b满足的关系式是（）A．1＜a，1＜b B．1＜a且0＜b＜1 C．1＜b且0＜a＜1 D．0＜a＜1且0＜b＜112．若函数f（x）=|4x﹣x2|+a有4个零点，则实数a的取值范围是（）A．[﹣4，0]B．（﹣4，0）C．[0，4]D．（0，4）二、填空题（每小题4分，共20分.）13．已知y=f（x）在定义域R上是减函数，且f（1﹣a）＜f（2a﹣1），则a的取值范围是．14．已知函数f（x+1）=3x+2，则f（x）的解析式是．15．设集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，则A∩B=．16．命题“∀x＞0，x2﹣3x+2＜0”的否定是．17．若f（a+b）=f（a）•f（b），且f（1）=2，则=．三、解答题（写出必要的计算步骤、解答过程，共70分.）18．已知命题p：x∈A，且A={x|a﹣1＜x＜a+1}，命题q：x∈B，且B={x|x2﹣4x+3≥0}（Ⅰ）若A∩B=∅，A∪B=R，求实数a的值；（Ⅱ）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．19．已知命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0；若命题￢（p∧q）是假命题，求实数a的取值范围．20．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0，q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x﹣8＞0，且非p是非q的必要不充分条件，则实数a的范围是．21．已知命题p：1∈{x|x2＜a}；q：2∈{x|x2＜a}（1）若“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围；（2）若“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．22．已知p：|1﹣|≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．若“非p”是“非q”的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．23．已知p：，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．参考答案一、单项选择题：1．A．2．C．3．B．4．D．5．C．6．B7．C8．C．9．D10．B．11．C12．B二、填空题13．答案为：（﹣∞，）．14．答案为f（x）=3x﹣1．15．答案为：{2}．16．答案为：∃x＞0，x3﹣x2+1≥017．答案为：4024三、解答题18．解：（Ⅰ）B={x|x2﹣4x+3≥0}={x|x≤1，或x≥3}，A={x|a﹣1＜x＜a+1}，由A∩B=∅，A∪B=R，得，得a=2，所以满足A∩B=∅，A∪B=R的实数a的值为2；（Ⅱ）因p是q的充分条件，所以A⊆B，且A≠∅，所以结合数轴可知，a+1≤1或a﹣1≥3，解得a≤0，或a≥4，所以p是q的充分条件的实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．19．解：p真，则a≤1，q真，则△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，即a≥1或a≤﹣2，∵命题￢（p∧q）是假命题，∴p∧q为真命题，∴p，q均为真命题，∴，∴a≤﹣2，或a=1∴实数a的取值范围为a≤﹣2，或a=1．20．解：对于命题p：由x2﹣4ax+3a2＜0及a＜0，得3a＜x＜a，即p：3a＜x＜a．对于命题q：又由x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，由x2+2x﹣8＞0，得x＜﹣4或x＞2，那么q：x＜﹣4或x≥﹣2．由于，非p是非q的必要不充分条件，即非q⇒非p，且非p推不出非q，等价于p⇒q且q推不出p，于是，得或，解得﹣≤a＜0或a≤﹣4，故所求a的范围为[﹣，0）∪（﹣∞，﹣4]．故答案为：[﹣，0）∪（﹣∞，﹣4]．21．解：若P为真，则1∈{x|x2＜a}，所以12＜a，则a＞1；若q为真，则2∈{x|x2＜a}，有x2＜a，解可得a＞4；（1）若“p∨q”为真，则p、q为至少有一个为真，即a＞1和a＞4中至少有一个成立，取其并集可得a＞1，此时a的取值范围是a＞1；（2）若“p∧q”为真，则p且q同时为真，即a＞1和a＞4同时成立，取其交集可得a＞4，此时a的取值范围是a＞4．22．解：解法一：由p：|1﹣|≤2，解得﹣2≤x≤10，∴“非p”：A={x|x＞10或x＜﹣2}、由q：x2﹣2x+1﹣m2≤0，解得1﹣m≤x≤1+m（m＞0）∴“非q”：B={x|x＞1+m或x＜1﹣m，m＞0=由“非p”是“非q”的必要而不充分条件可知：B⊆A.解得m≥9．∴满足条件的m的取值范围为{m|m≥9}．解法二：由“非p”是“非q”的必要而不充分条件．即“非q”⇒“非p”，但“非p”“非q”，可以等价转换为它的逆否命题：“p⇒q，但q p”．即p是q的充分而不必要条件．由|1﹣|≤2，解得﹣2≤x≤10，∴p={x|﹣2≤x≤10}由x2﹣2x+1﹣m2≤0，解得1﹣m≤x≤1+m（m＞0）∴q={x|1﹣m≤x≤1+m，m＞0}由p是q的充分而不必要条件可知：p⊆q⇔解得m≥9．∴满足条件的m的取值范围为{m|m≥9}．23．解：由，得﹣2＜x≤10．“￢p”：A={x|x＞10或x≤﹣2}．由x2﹣2x+1﹣m2≤0，得1﹣m≤x≤1+m（m＞0）．∴“￢q”：B={x|x＞1+m或x＜1﹣m，m＞0}．∵￢p是￢q的充分而不必要条件，∴A⊂B．∴解得0＜m＜3。

2017-2018-甘肃省兰州一中上学期高一年级期末考试数学试题（必修一+必修二）一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．.）1. 已知直线a,b，平面α满足a//α,b⊂α，则直线与直线b的位置关系是（）A. 平行B. 相交或异面C. 异面D. 平行或异面【答案】D【解析】∵a∥α，∴a与α没有公共点，b⊂α，∴a、b没有公共点，∴a、b平行或异面。

故选：D.2. 下列四条直线，倾斜角最大的是（）A. y=x+1B. y=2x+1C. y=−x+1D. x=1【答案】C【解析】直线方程y=x+1的斜率为1,倾斜角为45∘，直线方程y=2x+1的斜率为2,倾斜角为α(60∘<α<90∘)，直线方程y=−x+1的斜率为−1,倾斜角为135∘，直线方程x=1的斜率不存在,倾斜角为90∘.所以C中直线的倾斜角最大。

本题选择C选项.点睛：直线的倾斜角与斜率的关系斜率k是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k＝tan α.直线都有斜倾角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率.3. 已知直线2mx+y+6=0与直线(m−3)x−y+7=0平行，则m的值为（）A. 1B. 3C. －1或3D. －1或1【答案】A【解析】因为两条直线平行,所以：2mm−3=1−1≠67解得m=1 故选A.KS5U...KS5U...KS5U...KS5U...KS5U...KS5U...KS5U...4. 如图，三棱柱A1B1C1-ABC中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）A. AC⊥平面ABB1A1B. CC1与B1E是异面直线C. A1C1∥B1ED. AE⊥BB1【答案】D【解析】因为三棱柱A1B1C1-ABC中,侧棱AA1⊥底面ABC，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中点，所以对于A,AC与AB夹角为60°,即两直线不垂直，所以. AC不可能垂直于平面ABB1A1；故A错误；对于B,CC1与B1E都在平面CC1BB1中不平行，故相交；所以B错误；对于C,A1C1,B1E是异面直线；故C错误；故选：D.5. 已知两个不重合的平面α，β和两条不同直线m，n，则下列说法正确的是（）A. 若m⊥n，n⊥α，m⊂β，则α⊥βB. 若α∥β，n⊥α，m⊥β，则m∥nC. 若m⊥n，n⊂α，m⊂β，则α⊥βD. 若α∥β，n⊂α，m∥β，则m∥n【答案】B【解析】试题分析：由题意得，A中，若n⊥α,m⊥n，则m//α或m⊂α，又m⊂β，∴α⊥β不成立，∴A是错误的；B．若α//β,n⊥α，则n⊥β，又m⊥β，∴m//n成立，∴B正确；C．当α∩β时，也满足若m ⊥n ,n ⊂α,m ⊂β，∴C 错误；D ．若α//β,n ⊂α,m //β，则m //n 或m ,n 为异面直线，∴D 错误，故选B ．考点：空间线面平行垂直的判定与性质．【方法点晴】本题主要考查了空间线面位置关系的判定与证明，其中熟记空间线面位置中平行与垂直的判定定理与性质定理是解得此类问题的关键，着重考查了学生的空间想象能和推理能力，属于基础题，本题的解答中，可利用线面位置关系的判定定理和性质定理判定，也可利用举出反例的方式，判定命题的真假． 6. 已知直线ax+by+c=0的图象如图，则（ ）A. 若c>0，则a>0，b>0B. 若c>0，则a<0，b>0C. 若c<0，则a>0，b<0D. 若c<0，则a>0，b>0【答案】D【解析】由ax+by+c =0，得斜率k=-a b ，直线在x ，y 轴上的截距分别为-，-c b .如图，k<0，即-a b <0，所以ab>0，因为->0，-c b >0，所以ac<0，bc <0.若c<0，则a>0，b>0；若c>0，则a<0，b<0;故选D.7. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的表面积为（ ）A. (4+4 )πB. (6+4 )πC. (8+4 2)πD. (12+4 2)π【答案】D【解析】由三视图知几何体为圆柱挖去一个圆锥所得的组合体，且圆锥与圆柱的底面直径都为4，高为2，则圆锥的母线长为 22+22=2 2，∴该几何体的表面积S =π×22+2π×2×2+π×2×2 2=(12+4 2)π， 故选：D.8. 斜率为4的直线经过点A(3,5)，B(a,7)，C(－1，b)三点，则a ，b 的值为（ ）A. a ＝72 ，b ＝0B. a ＝－72，b ＝－11 C. a ＝72，b ＝－11 D. a ＝－72，b ＝11 【答案】C【解析】因为k A B =k A C =4，所以2a −3=b −5−4=4，则a =72,b =−11，故选C 。