人教版2017高二(下学期)数学期中试题(文)附答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A=，则A∩B=（）A．（0，2） B．[0，2]C．{0，1，2}D．{0，2}2．命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定为（）A． B．C．∀x∈R，x2+x+1≤0 D．∀x∈R，x2+x+1＜03．函数的定义域为（）A．（1，4]B．（1，4） C．[1，4]D．[1，4）4．函数的值域为（）A．B．[2，+∞）C． D．（0，2]5．设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x+y＞3，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，则满足f（2x﹣1）＜f（5）的x的取值范围是（）A．（﹣2，3）B．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）C．[﹣2，3]D．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）7．已知函数，则=（）A．﹣2 B．4 C．2 D．﹣18．已知抛物线C：y2=4x，O为坐标原点，F为C的焦点，P为C上的一点，若|PF|=5，则△POF的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．49．当双曲线M：﹣=1（﹣2≤m＜0）的焦距取得最小值时，双曲线M 的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±2x D．y=±x10．已知函数f（x）=x2﹣m是定义在区间[﹣3﹣m，m2﹣m]上的奇函数，则（）A．f（m）＜f（1） B．f（m）＞f（1）C．f（m）=﹣f（1）D．f（m）与f（1）大小不能确定11．已知椭圆（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C． D．12．设函数其中[x]表示不超过x的最大整数如[﹣1.5]=﹣2，[2.5]=2，若直线y=k（x﹣1）（k＜0）与函数y=f（x）的图象只有三个不同的交点，则k的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：每小题5分，共四小题．13．若log3（a+6）=2，则2a=．14．在极坐标系中（0≤θ＜2π），曲线ρcosθ=﹣1与曲线ρ=2sinθ的交点的极坐标为．15．已知抛物线y2=16x，焦点为F，A（8，2）为平面上的一定点，P为抛物线上的一动点，则|PA|+|PF|的最小值为．16．从双曲线的左焦点F引圆x2+y2=4的切线FP交双曲线右支于点P，T为切点，N为线段FP的中点，O为坐标原点，则|NO|﹣|NT|=．三、解答题，共六大题，第17题10分，其余各题12分．17．已知直线l的参数方程为（t为参数t∈R）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程．（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最小值和最大值．18．已知集合P={x|x2﹣2x﹣3≤0}，S={x||x﹣1|≤m}且S不为空集．（1）若（P∪S）⊆P，求实数m的取值范围．（2）是否存在实数m，使得“m∈P”是“m∈S”的充要条件，若存在求出m的值，若不存在，说明理由．19．已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）满足f（x+y）=f（x）•f（y）且f（3）=8．（1）求a，b的值．（2）若方程|f（x）﹣1|=m的有两个不同的解，求实数m的取值范围．20．设抛物线y2=2px（p＞0）被直线y=x﹣1截得弦长为．（1）求抛物线方程．（2）以此弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当此三角形的面积为时，求点P点坐标．21．已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率e=，坐标原点到直线l：y=bx+2的距离为，（1）求椭圆的方程；（2）若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆相交于C、D两点，是否存在实数k，使得以CD为直径的圆过点E（﹣1，0）？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．22．已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=8，定义域为R的函数是奇函数．（1）确定y=g（x）的解析式；（2）求m、n的值；（3）若对任意的t∈R，不等式f（2t﹣3t2）+f（t2﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．参考答案一、CBAAD BABCC AC二、13. 814.15. 1216. 2﹣2三、17．【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数t∈R），∴消去t，得直线l的普通方程为：…2分，∵曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π），即ρ2=2ρsinθ∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0或x2+（y﹣1）2=1…4分．（2）圆心（0，1）到直线l的距离为∴曲线C上的点到直线l的最大距离为2+1=3．…8分，最小距离为2﹣1=1．…10分．18．【解答】解：（1）由S不为空集得m≥0，（P∪S）⊆P得S⊆P．S={x||x﹣1|≤m}={x|1﹣m≤x≤1+m}，P={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}…4’∴，∴{m|0≤m≤2}…6’（2）由题意可知：P=S．由（1）可得…10’∴存在，当m=2时，满足条件…12’19．【解答】解：（1）∵f（x+y）=f（x）•f（y），∴a x+y+b=a x+b•a y+b=a x+y+2b，∴x+y+b=x+y+2b∴b=0，∴f（3）=a3=8，解得a=2．（2）令g（x）=|f（x）﹣1|=|2x﹣1|，作出g（x）的函数图象如图所示：∵方程|f（x）﹣1|=m的有两个不同的解，由图可知0＜m＜1．20．【解答】解：（1）联立方程组，得x2﹣（2+2p）x+1=0，设直线y=x﹣1与抛物线的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1+x2=2+2p，x1x2=1，∴|AB|=•=2，解得P=﹣3（舍去）或P=1，∴抛物线方程为y2=2x．（2）设P点坐标为（x0，0）则P到直线AB的距离为，=××=5，∴S△PAB解得x0=﹣4，或x0=6．∴P坐标为（﹣4，0）或（6，0）．21．【解答】解：（1）直线l：y=bx+2，坐标原点到直线l的距离为．∴=∴b=1∵椭圆的离心率e=∴=（）2，∴a2=3∴所求椭圆的方程是+y2=1；（2）直线y=kx+2代入椭圆方程，消去y可得：（1+3k2）x2+12kx+9=0∴△=36k2﹣36＞0，∴k＞1或k＜﹣1设C（x1，y1），D（x2，y2），则有x1+x2=﹣，x1x2=∵=（x1+1，y1），=（x2+1，y2），且以CD为圆心的圆过点E，∴EC⊥ED∴（x1+1）（x2+1）+y1y2=0∴（1+k2）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0∴（1+k2）×+（2k+1）×（﹣）+5=0解得k=＞1，∴当k=时，以CD为直径的圆过定点E．22．【解答】解：（1）设g（x）=a x（a＞0且a≠1），∵g（3）=8，∴8=a3，解得a=2．∴g（x）=2x；（2），∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=，解得n=1．∴，又f（﹣x）+f（x）=0，∴，化为（m﹣2）（2﹣2x﹣2﹣x）=0，∵上式对于任意实数都成立，∴m﹣2=0，解得m=2．∴m=2，n=1；（3）由（2）可知：f（x）=，∵函数y=2x在R上单调递增，∴f（x）在R上单调递减．∵不等式f（2t﹣3t2）+f（t2﹣k）＞0恒成立，∴f（t2﹣k）＞﹣f（2t﹣3t2）=f（3t2﹣2t）在R上恒成立，∴t2﹣k＜3t2﹣2t在R上恒成立，即2t2﹣2t+k＞0在R上恒成立．∴△=4﹣8k＜0，解得．∴k的取值范围是．。

2017年高二下学期数学（文）期中试卷（成都九校联考附答案）2016～2017 学年度（下期）高201 级期中联考试卷科数学考试时间共120 分钟，满分10 分试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）注意事项：1答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、准考证号用0 毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”。

2选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0 毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。

3考试结束后由监考老师将答题卡收回。

第Ⅰ卷（选择题，共60 分）一、选择题（本大题共12 小题，每小题分，共60 分；在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．在复平面内，复数z ៕ 3  4i 则z 的共轭复数的模为（）A 3B 4 D 22．函数f ( x) ៕ sin x  ex ，则f ‘(0)的值为（）A 1B 2 3D 03 已知，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是（）A．若∥α，n∥α，则∥nB．若⊥α，n⊂α，则⊥n ．若⊥α，⊥n，则n∥αD．若∥α，⊥n，则n⊥α4．已知a 为函数f ( x) ៕ x3 ᠄ 3x 的极小值点，则a៕（）A-1B -22D 1函数f ( x) ៕  x ៖ 1 单调递减区间是（）6．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区户家庭，得到如下统计数据表：收入x （万元）8286100113119支出（万元）62780898根据上表可得回归直线方程ˆ ៕ bˆx  aˆ，其中bˆ ៕ 076, aˆ ៕ ᠄ bˆx，据此估计，该社区一户收入为14 万元家庭年支出为（）A．1104 万元B．1108 万元．1212 万元D．1202万元7． f ( x) ៕ x  s x, x  0, ɤ 的最大值是（）4122628．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是（）A 3 B 92 3D 229．若对任意的x>0，恒有lnx≤px－1(p>0)，则p 的取值范围是（）A．(0,1]B．(1，＋∞)．(0,1)D．[1，＋∞)（第8 题图）10．甲、乙两人约定在下午4:30  :00 间在某地相见，且他们在4:30  :00 之间到达的时刻是等可能的，约好当其中一人先到后一定要等另一人20 分钟，若另一人仍不到则可以离去，则这两人能相见的概率是（）161211．已知៕ f  x  是定义在R 上的偶函数，且当x  ᠄᠐, 0 , f  x   xf ‘  x  ។ 01成立（f ‘  x  是函数f  x 的导数），若a ៕2f lg 22  ，b ៕ ln 2  fln 2  ៕ 2 f ᠄2  ，则a, b, 的大小关系是（）2D．a ៖ ៖ b12．已知F1 ，F2 分别为双曲线：᠄a 2b 2៕ 1 的左、右焦点，若存在过F1 的直分别交双曲线的左、右支于A ，B 两点，使得BAF2 ៕ BF2 F1 ，则双曲线的离心率e 的取值范围是（）第12 题图第Ⅱ卷（非选择题，共90 分）二、填空题（本大题共4 小题，每小题分，共20 分）13．已知 f ( x) ៕ ax ln x  1, x  (0, ᠐) （a  R ），f ( x) 为f ( x) 的导函数，f (1) ៕ 2 ，则a ៕ 14．甲、乙两位学生参加数学化知识竞赛培训。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．关于复数，给出下列判断：①3＞3i；②16＞（4i）2；③2+i＞1+i；④|2+3i|＞|2+i|．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．下面四个推理中，属于演绎推理的是（）A．观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72015的末两位数字为43 B．观察（x2）′=2x，（x4）′=4x3，（cosx）′=﹣sinx，可得偶函数的导函数为奇函数C．在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似的，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积之比为1：8 D．已知碱金属都能与水发生还原反应，钠为碱金属，所以钠能与水发生反应3．函数f（x）=（2x﹣1）e x的递增区间为（）A．（﹣∞，+∞）B．C．D．4．已知（n∈N*），则当k∈N*时，f（k+1）﹣f（k）等于（）A．B．C． D．5．已知复数z满足（z﹣5）（1﹣i）=1+i，则复数z的共轭复数为（）A．5+i B．5﹣i C．﹣5+i D．﹣5﹣i6．如图所示，阴影部分的面积为（）A．B．C．1 D．7．若函数f（x）=x3+x2+（a+6）x+a有极大值和极小值，则（）A． B． C． D．8．观察数组：（﹣1，1，﹣1），（1，2，2），（3，4，12），（5，8，40），…，（a n，b n，c n），则c n的值不可能为（）A．112 B．278 C．704 D．16649．P为椭圆上异于左右顶点A1、A2的任意一点，则直线PA1与PA2的斜率之积为定值．将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：P为双曲线上异于左右顶点A1、A2的任意一点，则（）A．直线PA1与PA2的斜率之和为定值B．直线PA1与PA2的斜率之和为定值2C．直线PA1与PA2的斜率之积为定值D．直线PA1与PA2的斜率之积为定值210．已知对于任意的x∈（1，+∞）恒成立，则（）A．a的最小值为﹣3 B．a的最小值为﹣4C．a的最大值为2 D．a的最大值为411．已知复数z=x+（x﹣a）i，若对任意实数x∈（1，2），恒有|z|＞|z+i|，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．12．定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f′（x）满足，则下列不等式中，一定成立的是（）A．f（9）﹣1＜f（4）＜f（1）+1 B．f（1）+1＜f（4）＜f（9）﹣1 C．f（5）+2＜f（4）＜f（1）﹣1 D．f（1）﹣1＜f（4）＜f（5）+2二、填空题13复数在复平面内对应的点位于第象限．14．若（x＞0），则．15．已知[x]表示不大于x的最大整数，设函数f（x）=[log2x]，得到下列结论：结论1：当1＜x＜2时，f（x）=0；结论2：当2＜x＜4时，f（x）=1；结论3：当4＜x＜8时，f（x）=2；照此规律，得到结论10：．16．若函数f（x）=x3﹣3x+5﹣a（a∈R）在上有2个零点，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知f（x）=|x+2|﹣|2x﹣1|，M为不等式f（x）＞0的解集．（1）求M；（2）求证：当x，y∈M时，|x+y+xy|＜15．18．（12分）已知复数z满足，|z|=5．（1）求复数z的虚部；（2）求复数的实部．19．（12分）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|，x∈R．（1）解不等式f（x）≤5；（2）若不等式m2﹣m＜f（x），∀x∈R都成立，求实数m的取值范围．20．（12分）（1）当x＞1时，求证：；（2）若a＜e，用反证法证明：函数f（x）=xe x﹣ax2（x＞0）无零点．21．（12分）现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D，作DE∥OA、CF∥OB分别交弧AB于点E、F，且BD=AC，现用渔网沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成如图所示的养殖区域．已知OA=1km，∠AOB=，∠EOF=θ（0＜θ＜）．（1）若区域Ⅱ的总面积为，求θ的值；（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是30万元、40万元、20万元，试问：当θ为多少时，年总收入最大？22．（12分）已知f（x）=ln（1+x）﹣，x∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为5，求a的值；（2）若函数f（x）的最小值为﹣a，求a的值；（3）当x＞﹣1时，（1+x）ln（1+x）+（lnk﹣1）x+lnk＞0恒成立，求实数k的取值范围．参考答案一、BDDDB CCBCA CA二、13. 四14. 115. 当29＜x＜210时，f（x）=9．16.三、17．【解答】解：（1）f（x）=，当x＜﹣2时，由x﹣3＞0得，x＞3，舍去；当﹣2≤x≤时，由3x+1＞0得，x＞﹣，即﹣＜x≤；当x＞时，由﹣x+3＞0得，x＜3，即＜x＜3，综上，M=（﹣，3）；（2）证明：∵x，y∈M，∴|x|＜3，|y|＜3，∴|x+y+xy|≤|x+y|+|xy|≤|x|+|y|+|xy|=|x|+|y|+|x||y|＜3+3+3×3=15．18．【解答】解：（1）设复数z=a+bi（a，b∈R），∴=a﹣bi，∴，∴a=3．∴⇒b=±4，即复数z的虚部为±4．（2）当b=4时，==，其实部为．当b=﹣4时，==，其实部为．19．【解答】解：（1）原不等式等价于①，或②，或③．解①求得，解②求得，解③求得，因此不等式的解集为．（2）∵f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|≥|2x﹣1﹣（2x﹣3）|=2，∴m2﹣m＜2，解得﹣1＜m＜2，即实数m的取值范围为（﹣1，2）．20．【解答】证明：（1）分析法：∵x＞1，∴要证，只需证2x4+1＞2x3+x，即证2x3（x﹣1）＞x﹣1，∵x＞1，∴只需证2x3＞1，∵x＞1，∴2x3＞2＞1，故得证．令，则，即，则，从而．（2）反证法：假设函数f（x）=xe x﹣ax2（x＞0）有零点，则f（x）=0在（0，+∞）上有解，即在（0，+∞）上有解．设（x＞0），（x＞0），当0＜x＜1时，g'（x）＜0；当x＞1时，g'（x）＞0．∴g（x）≥g（x）min=g（1）=e，∴a≥e，但这与条件a＜e矛盾，故假设不成立，即原命题得证．21．【解答】解：（1）∵BD=AC，OB=OA，∴OD=OC．∵∠AOB=，DE∥OA，CF∥OB，∴DE⊥OB，CF⊥OA．又∵OE=OF，∴Rt△ODE≌Rt△OCF．∴∠DOE=∠COF=，又OC=OF•cos∠COF=•OC•OF•sin∠COF=cosθ∴S△COF=（0＜θ＜）．∴S区域Ⅱ由，得cosθ=，∵0＜θ＜，∴θ=．=，∴S区域Ⅲ=S总﹣S区域Ⅰ﹣S区域Ⅱ=cosθ．（2）∵S区域Ⅰ记年总收入为y万元，则y=30×cosθ=5π+5θ+10cosθ（0＜θ＜），所以y'=5（1﹣2sinθ），令y'=0，则θ=．当0＜θ＜时，y'＞0；当时，y'＜0．故当θ=时，y有最大值，即年总收入最大．22．【解答】解：（1）∵，∴f'（0）=1﹣a=5，∴a=﹣4．（2）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），=，令f'（x）=0，则x=a﹣1，①当a﹣1≤﹣1，即a≤0时，在（﹣1，+∞）上，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，无最小值．②当a﹣1＞﹣1，即a＞0时，在（﹣1，a﹣1）上，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；在（a﹣1，+∞）上，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，所以函数f（x）的最小值为f（a﹣1）=lna﹣a+1=﹣a，解得．综上，若函数f（x）的最小值为﹣a，则．（3）由（1+x）ln（1+x）+（lnk﹣1）x+lnk＞0，得， +lnk＞0，即﹣lnk＜，令a=1，则f（x）=，由（1）可知，当a=1时，f（x）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，+∞）上，f （x）单调递增，所以在（﹣1，+∞）上，f（x）min=f（0）=0，所以﹣lnk＜0，即k＞1．。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设i是虚数单位，则复数z=的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知函数f（x）=x3+2x2﹣3的导函数为f′（x），则f′（﹣2）等于（）A．4 B．6 C．10 D．203．若20件产品中有3件次品，现从中任取2件，其中是互斥事件的是（）A．恰有1件正品和恰有1件次品B．恰有1件次品和至少有1件次品C．至少有1件次品和至少有1件正品D．全部是次品和至少有1件正品4．一袋子中装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中45个红球，从中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为（）A．0.35 B．0.32 C．0.55 D．0.685．已知复数z满足=（a∈R），若z的实部是虚部的2倍，则a等于（）A．﹣2 B．2 C．4 D．66．袋子中装有大小相同的5个小球，分别有2个红球3个白球，现从中随机抽取2个小球，则这2个球中既有红球也有白球的概率为（）A．B．C．D．7．已知复数z=（3a+2i）（b﹣i）的实部为4，其中a、b为正实数，则2a+b的最小值为（）A．2 B．4 C．D．8．已知a≥1，曲线f（x）=ax3﹣在点（1，f（1））处的切线的斜率为k，则k 的最小值为（）A．B．2 C．2 D．49．已知在平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点．在边AB上任取一点F，则△ADF与△BFE的面积之比不小于1的概率是（）A．B．C．D．10．设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x=﹣4处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．11．若在区间[﹣1，5]上任取一个数b，则函数f（x）=（x﹣b﹣1）e x在（3，+∞）上是单调函数的概率为（）A．B．C．D．12．若函数f（x）=lnx+（a∈N）在（1，3）上只有一个极值点，则a的取值个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上13．从3男1女共4名学生中选出2人参加学校组织的环保活动，则女生被选中的概率为．14．复数z满足（z+2i）i=3﹣i，则|z|=．15．函数f（x）=﹣x﹣cosx在[0，]上的最大值为．16．已知在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB=2，在该四棱锥内部或表面任取一点O，则三棱锥O﹣PAB的体积不小于的概率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．某校为了解学生的视力情况，随机抽查了一部分学生视力，将调查结果分组，分组区间为（3.9，4.2]，（4.2，4.5]，…，（5.1，5.4]．经过数据处理，得到如下频率分布表：（Ⅰ）求频率分布表中未知量n，x，y，z的值；（Ⅱ）从样本中视力在（3.9，4.2]和（5.1，5.4]的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率．18．已知l﹣2i是关于x的方程x2+a=bx的一个根．（1）求a，b的值；（2）同时掷两个骰子，记它们向上的点数分别为m、n，求复数（m﹣a）+（n ﹣b）i在复平面内对应的点位于第二象限的概率．19．已知函数f（x）=x3﹣x2+x．（1）求函数f（x）在[﹣1，2]上的最大值和最小值；（2）若函数g（x）=f（x）﹣4x，x∈[﹣3，2]，求g（x）的单调区间．20．设不等式组表示的平面区域为P，不等式组，表示的平面区域为Q（1）在区域P中任取一点M，求M∈Q的概率；（2）在区域Q中任取一点N（x，y），求≥的概率．21．已知函数f（x）=e x+ax，g（x）=ax﹣lnx，其中a＜0．（1）若函数f（x）是（l，ln 5）上的单调函数，求a的取值范围；（2）若存在区间M，使f（x）和g（x）在区间M上具有相同的单调性，求a 的取值范围．22．已知函数f（x）=ax﹣lnx，函数g（x）=﹣bx，a∈R，b∈R且b≠0．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a=1，且对任意的x1（1，2），总存在x2∈（1，2），使f（x1）+g（x2）=0成立，求实数b的取值范围．参考答案一、CADBD DDDCC CA二、13.14.15.﹣116.三、17．【解答】解：（I）由表可知，样本容量为n，由（5.1，5.4]一组频数为2，频率为0.04，则，得n=50由0；y=50﹣3﹣6﹣25﹣2=14，，（II）设样本视力在（3.9，4.2]的3人为a，b，c；样本视力在（5.1，5.4]的2人为d，e．由题意从5人中任取两人的基本事件空间为：Ω={（a，d），（a，e），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（a，b），（a，c），（b，c），（d，e）}，共10个基本事件；设事件A表示“抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5”，则事件A包含的基本事件有：（a，b），（a，c），（b，c），（d，e），共4个基本事件；P（A）==，故抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5的概率为．18．【解答】解：（1）∵l﹣2i是关于x的方程x2+a=bx的一个根，∴x==1﹣2i，∴，解得a=5，b=2．（2）同时掷两个骰子，记它们向上的点数分别为m、n，基本事件（m，n）的总数N=6×6=36，∵复数（m﹣a）+（n﹣b）i即复数（m﹣5）+（n﹣2）i在复平面内对应的点位于第二象限，∴，即，∴复数（m﹣a）+（n﹣b）i在复平面内对应的点位于第二象限包含的基本事件（m，n）有：（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），共16个，∴复数（m﹣a）+（n﹣b）i在复平面内对应的点位于第二象限的概率p=．19．【解答】解：（1）f′（x）=x2﹣2x+1≥0，故f（x）在[﹣1，2]递增，f（x）max=f（2）=，f（x）min=f（﹣1）=﹣；（2）g（x）=f（x）﹣4x=x3﹣x2﹣3x，x∈[﹣3，2]，g′（x）=x2﹣2x﹣3=（x﹣3）（x+1），令g′（x）＞0，解得：x＜﹣1，令g′（x）＜0，解得：x＞﹣1，故g（x）在[﹣3，﹣1]递增，在[﹣1，2]递减．20．【解答】解：平面区域如图得到区域P的面积为9，不等式组，由得到A（，），所以平面区域为Q的面积为，则（1）在区域P中任取一点M，求M∈Q的概率；（2）在区域Q中任取一点N（x，y），≥的区域如图中区域ACED，其中E（2，），D（，1），所以面积为，所以所求概率为．21．【解答】解：（1）f′（x）=e x+a，∵函数f（x）是（l，ln 5）上的单调函数，∴f′（x）=e x+a在（l，ln 5）上恒大于等于0或恒小于等于0．由f′（x）=e x+a≥0，得a≥﹣e x，∵当x∈（l，ln 5）时，﹣e x∈（﹣5，﹣e），∴a∈[﹣e，0）；由f′（x）=e x+a≤0，得a≤﹣e x，∵当x∈（l，ln 5）时，﹣e x∈（﹣5，﹣e），∴a∈（﹣∞，﹣5]．综上，a的取值范围是（﹣∞，﹣5]∪[﹣e，0）；（2）f′（x）=e x+a，令f′（x）=e x+a=0，得x=ln﹣a，当x∈（﹣∞，ln（﹣a））时，f′（x）＜0，当x∈（ln（﹣a），+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）的减区间为（﹣∞，ln（﹣a）），增区间为（ln（﹣a），+∞）；g′（x）=a﹣（x＞0），∵a＜0，∴g′（x）＜0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减．若存在区间M，使f（x）和g（x）在区间M上具有相同的单调性，则ln（﹣a）＞0，即﹣a＞1，得a＜﹣1．∴a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．22．【解答】解：（1）f（x）=lnx﹣ax，∴x＞0，即函数f（x）的定义域为（0，+∞）∴当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数当a＞0时，∵f'（x）=﹣a=，∵f′（x）＞0，则1﹣ax＞0，ax＜1，x＜，f′（x）＜0，则1﹣ax＜0，ax＞1，x＞即当a＞0时f（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数．（2）则由已知，对于任意的x1∈（1，2），总存在x2∈（1，2），使﹣f（x1）=g（x2），设h（x）=﹣f（x）在（1，2）的值域为A，g（x）在（1，2）的值域为B，得A⊆B由（1）知a=1时，h′（x）=＜0在（1，2）1上是减函数，∴h（x）在x∈（1，2）上单调递减，∴h（x）的值域为A=（ln2﹣2，﹣1）∵g'（x）=bx2﹣b=b（x﹣1）（x+1）∴（i）当b＜0时，g（x）在（1，2）上是减函数，此时，g（x）的值域为B=（b，﹣b）为满足A⊆B，又﹣b≥0＞﹣1∴b≤ln2﹣2．即b≤ln2﹣3．（ii）当b＞0时，g（x）在（1，2）上是单调递增函数，此时，g（x）的值域为B=（﹣b，b）为满足A⊆B，又b≥0＞﹣1．∴﹣b≤ln2﹣2∴b≥﹣（ln2﹣2）=3﹣ln2，综上可知b的取值范围是（﹣∞，ln2﹣3]∪[3﹣ln2，+∞）．。

2017-2018学年北京市人大附中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸相应的位置上）1．（5分）复数3+4i的共轭复数是（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3+4i D．﹣3﹣4i 2．（5分）如图是《集合》的知识结构图，如果要加入“列举法”，则应该接在（）A．“集合的概念”的后面B．“集合的表示”的后面C．“基本关系”的后面D．“基本运算”的后面3．（5分）用反证法证明命题：“如果a＞b＞0，那么|a|＞|b|”时，假设的内容应是（）A．|a|=|b|B．|a|＜|b|C．|a|≤|b|D．|a|＞|b|且|a|=|b|4．（5分）下列结论正确的个数是（）①回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；②为了研究吸烟与患肺病是否有关，在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，x2的观测值为x2=7.469大于6.635，故我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；③在线性回归分析中，相关系数为r，|r|≤1，并且|r|越接近1，线性相关程度越强．A．0B．1C．2D．35．（5分）函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（5分）类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB，AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：AB2+AC2=BC2，若三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB所在平面两两互相垂直，其三个侧面面积分别为S1，S2，S3，则三棱锥的三个侧面积与底面BCD的面积S之间满足的关系为（）A．B．C．D．7．（5分）为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路，现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：公里）则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（）A．19.5B．20.5C．21.5D．25.58．（5分）设函数f（x）定义如表，数列{x n}满足x1=5，，则x2017的值为（）A．1B．3C．5D．6二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸相应的位置）9．（5分）复数z=1﹣i（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于第象限．10．（5分）经调查某地若干户家庭的年收入x（万元）和年饮食支出y（万元）具有线性相关关系，并得到y关于x的线性回归直线方和：，由回归直线方程预测，家庭年收入为2万元时，年饮食支出大约为万元．11．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否正确的回答对A，B，C三个问题，甲说：我回答对的问题比乙多，但没有回答对B；乙说：我没回答对C；丙说：我们三人都同时答对一个题；由此可判断乙答对的题为．12．（5分）阅读图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是．13．（5分）a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…则a9+b9=．14．（5分）若集合M满足：∀x，y∈M，都有x+y∈M，xy∈M，则称集合M是封闭的．显然，整数集Z，有理数集Q，都是封闭的．在上述定义下，（1）复数集C封闭的（填“是”或“否”）；（2）若Q⊊F⊆C，集合F是封闭，则满足条件的一个F可以是（只写一个）．三、解答题（本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸相应的位置上）15．（8分）已知复数z1=2+4i，z2=a+i（a∈R），z1=z2•（1+i），求|z2|．16．（12分）设函数，且曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为0．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）求函数f（x）在区间上的最小值．17．（10分）对于无穷数列{a n}与{b n}，记集合，集合，若同时满足条件：①数列{a n}，{b n}均单调递增；②A ∩B=∅且A∪B=N*，则称数列{a n}与{b n}是“好友数列”．（1）若a n=2n，，判断数列{a n}与{b n}是否为“好友数列”，并说明理由；（2）若数列{a n}与{b n}是“好友数列”，{a n}为等差数列且a16=36，求数列{a n}与{b n}的通项公式．一、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．请把答案填在答题纸相应的位置上）18．（6分）=（）A．﹣1B．1C．i D．﹣i19．（6分）类比等比数列的定义，定义等积数列为：若数列从第二项起，每一项与前一项的乘积为一个不变的非零常数，则称数列为等积数列，这个常数叫做该数列的公积．若一个等积数列的首项为2，公积为6，则数列的通项公式为（）A．B．C．D．20．（6分）已知函数f（x）=sinx+e x，今f1（x）=f′（x），f2（x）=f′1（x），f3（x）=f′2（x），…，f n+1（x）=f′n（x），（n∈N*）则f2017（x）=（）A．sinx+e x B．cosx+e x C．﹣sinx+e x D．﹣cosx+e x二、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．请把答案填在答题纸相应的位置上）21．（6分）设z∈C，|z|=1，则|z﹣（1+i）|的最大值是．22．（6分）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），且函数y=（1﹣x）f'（x）的图象如下图所示，则函数f（x）的极大值点为x=．23．（6分）等差数列中，a3+a4=4，a5+a7=6．（1）数列的通项公式为a n=．（2）设，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．则数列{b n}的前8项和为．三、解答题（本题共1小题，满分14分．请把解答过程写在答题纸相应的位置上）24．（14分）已知函数，且f′（﹣1）=0．（1）试用含a的代数式表示b；（2）a≤1时，求函数f（x）的单调区间；（3）令a=﹣1，并且设方程f（x）=m有三个不等的实数根，求实数m的取值范围．2017-2018学年北京市人大附中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸相应的位置上）1．（5分）复数3+4i的共轭复数是（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3+4i D．﹣3﹣4i【解答】解：根据题意可得：复数为3+4i，所以结合共轭复数的定义可得：复数3+4i的共轭复数是3﹣4i．故选：A．2．（5分）如图是《集合》的知识结构图，如果要加入“列举法”，则应该接在（）A．“集合的概念”的后面B．“集合的表示”的后面C．“基本关系”的后面D．“基本运算”的后面【解答】解：列举法是集合表示法的一种，在知识结构图中，列举法应该放在集合的表示后面，即它的下位，由此知应选B．故选：B．3．（5分）用反证法证明命题：“如果a＞b＞0，那么|a|＞|b|”时，假设的内容应是（）A．|a|=|b|B．|a|＜|b|C．|a|≤|b|D．|a|＞|b|且|a|=|b|【解答】解：由于结论|a|＞|b|的否定为：|a|≤|b|，用反证法证明命题时，要首先假设结论的否定成立，故应假设：|a|≤|b|，由此推出矛盾．故选：C．4．（5分）下列结论正确的个数是（）①回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；②为了研究吸烟与患肺病是否有关，在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，x2的观测值为x2=7.469大于6.635，故我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；③在线性回归分析中，相关系数为r，|r|≤1，并且|r|越接近1，线性相关程度越强．A．0B．1C．2D．3【解答】解：①，回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法，不是对具有函数关系的变量进行分析，故①正确；②，x2的观测值为x2=7.469大于6.635，故我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，但不表示在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，故②不正确；③，在线性回归分析中，相关系数为r满足|r|越接近1，线性相关程度越强，正确．∴正确结论的个数是2个．故选：C．5．（5分）函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，根据极值点的定义可知，导函数在某点处值为0，左右两侧异号的点为极值点，由图可知，在（a，b）内只有3个极值点．故选：C．6．（5分）类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB，AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：AB2+AC2=BC2，若三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB所在平面两两互相垂直，其三个侧面面积分别为S1，S2，S3，则三棱锥的三个侧面积与底面BCD的面积S之间满足的关系为（）A．B．C．D．【解答】解：由边对应着面，边长对应着面积，由类比可得．故选：A．7．（5分）为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路，现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：公里）则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（）A．19.5B．20.5C．21.5D．25.5【解答】解：如图，最短总长度应该是：电厂到A，再从A到B、D，然后从D 到C，所以能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是5+4+6+5.5=20.5km．故选：B．8．（5分）设函数f（x）定义如表，数列{x n}满足x1=5，，则x2017的值为（）A．1B．3C．5D．6【解答】解：∵数列{x n}满足x1=5，，∴由表得：x2=f（5）=6，x3=f（6）=3，x4=f（3）=1，x5=f（1）=4，x6=f（4）=2，x7=f（2）=5，x8=f（5）=6，∴数列{x n}是以6为周期的周期数列，∵2017=336×6+1，∴x2017=x1=5．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸相应的位置）9．（5分）复数z=1﹣i（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限．【解答】解：∵复数z=1﹣i在复平面上对应的点的坐标为（1，﹣1），∴复数z=1﹣i（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限．故答案为：四．10．（5分）经调查某地若干户家庭的年收入x（万元）和年饮食支出y（万元）具有线性相关关系，并得到y关于x的线性回归直线方和：，由回归直线方程预测，家庭年收入为2万元时，年饮食支出大约为0.7万元．【解答】解：根据线性回归直线方程，计算x=2时，=0.2×2+0.3=0.7，即预测家庭年收入为2万元时，年饮食支出大约为0.7万元．故答案为：0.7．11．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否正确的回答对A，B，C三个问题，甲说：我回答对的问题比乙多，但没有回答对B；乙说：我没回答对C；丙说：我们三人都同时答对一个题；由此可判断乙答对的题为A．【解答】解：由乙说：我没回答对C，则乙可能答对A或B，但甲说：我回答对的问题比乙多，但没有回答对B，则乙只能是答对A，B中的任一个，再由丙说：我们三人都同时答对一个题，则由此可判断乙答对的题为A．故答案为：A．12．（5分）阅读图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是4．【解答】解：程序在运行过程中各变量变化的如下表示：S n 是否继续循环循环前 2 1/第一圈﹣1 2 是第二圈 3 是第三圈 2 4 否故最后输出的n值为4故答案为：413．（5分）a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…则a9+b9=76．【解答】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第9项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第9项为76，即a9+b9=76，．故答案为：76；14．（5分）若集合M满足：∀x，y∈M，都有x+y∈M，xy∈M，则称集合M是封闭的．显然，整数集Z，有理数集Q，都是封闭的．在上述定义下，（1）复数集C是封闭的（填“是”或“否”）；（2）若Q⊊F⊆C，集合F是封闭，则满足条件的一个F可以是R（只写一个）．【解答】解：（1）根据题意，对于复数集，由复数的运算法则，若x，y∈C，则x+y∈C，xy∈C，则复数C是封闭的，（2）若Q⊊F⊆C，集合F是封闭，则实数集R符合，则满足条件的一个F可以是R；故答案为：（1）是，（2）R．三、解答题（本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸相应的位置上）15．（8分）已知复数z1=2+4i，z2=a+i（a∈R），z1=z2•（1+i），求|z2|．【解答】解：∵z1=2+4i，z2=a+i（a∈R），由z1=z2•（1+i），得2+4i=（a+i）（1+i）=（a﹣1）+（a+1）i．∴，即a=3．∴|z2|=|3+i|=．16．（12分）设函数，且曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为0．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）求函数f（x）在区间上的最小值．【解答】解：（1）函数的导数为：f′（x）=3x﹣，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为0．可得6﹣=0，解得a=4；（2）f（x）=x2﹣12lnx，导数为f′（x）=3x﹣=，由f′（x）＞0，可得x＞2；由f′（x）＜0，可得0＜x＜2；即f（x）的增区间为（2，+∞）．减区间为（0，2）；（3）由（2）可得函数f（x）的极小值为f（2）=6﹣12ln2，且2∈[，e]，可得f（x）的最小值为6﹣12ln2．17．（10分）对于无穷数列{a n}与{b n}，记集合，集合，若同时满足条件：①数列{a n}，{b n}均单调递增；②A ∩B=∅且A∪B=N*，则称数列{a n}与{b n}是“好友数列”．（1）若a n=2n，，判断数列{a n}与{b n}是否为“好友数列”，并说明理由；（2）若数列{a n}与{b n}是“好友数列”，{a n}为等差数列且a16=36，求数列{a n}与{b n}的通项公式．【解答】解：（1）数列{a n}与{b n}不为“好友数列”．由a n=2n，，可得集合A为正偶数集，集合B中不含1，3，虽然满足①数列{a n}，{b n}均单调递增；②A∩B=∅但A∪B≠N*，则数列{a n}与{b n}不为“好友数列”；（2）设数列{a n}的公差为d的等差数列，由a16=36，即有a1+15d=36，由题意可得36﹣15d≥1，解得d=1或2，若d=1，则a1=21，a n=n+20，b n=n（1≤n≤20），与无穷数列{a n}与{b n}矛盾，舍去；若d=2，则a1=6，a n=2n+4，b n=，综上可得a n=2n+4，b n=，n∈N*．一、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．请把答案填在答题纸相应的位置上）18．（6分）=（）A．﹣1B．1C．i D．﹣i【解答】解：∵，∴=i8=（i4）2=1．故选：B．19．（6分）类比等比数列的定义，定义等积数列为：若数列从第二项起，每一项与前一项的乘积为一个不变的非零常数，则称数列为等积数列，这个常数叫做该数列的公积．若一个等积数列的首项为2，公积为6，则数列的通项公式为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得，a n a n+1=6，∵a1=2∴a2=3，a3=2，a4=3，…，∴a n=，（k∈N*）．故选：A．20．（6分）已知函数f（x）=sinx+e x，今f1（x）=f′（x），f2（x）=f′1（x），f3（x）=f′2（x），…，f n+1（x）=f′n（x），（n∈N*）则f2017（x）=（）A．sinx+e x B．cosx+e x C．﹣sinx+e x D．﹣cosx+e x【解答】∵f（x）=sinx+e x，∴，，，，∴f n（x）=f n（x），+4，故选：B．二、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．请把答案填在答题纸相应的位置上）21．（6分）设z∈C，|z|=1，则|z﹣（1+i）|的最大值是1+．【解答】解：由题意可知，复数z的轨迹为单位圆，如图，|z﹣（1+i）|的几何意义为单位圆上的动点到定点P的距离，由图可知，|z﹣（1+i）|的最大值为|AP|=1+．故答案为：1+．22．（6分）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），且函数y=（1﹣x）f'（x）的图象如下图所示，则函数f（x）的极大值点为x=﹣2．【解答】解：由函数的图象可知，f′（﹣2）=0，f′（1）=0，f′（2）=0，并且当x＜﹣2时，f′（x）＞0；当﹣2＜x＜1，f′（x）＜0；当1＜x＜2时，f′（x）＜0；x＞2时，f′（x）＞0，即f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，1）上单调递减，在（1，2）递减，在（2，+∞）递增，所以f（x）在x=﹣2处取得极大值，在x=2处取得极小值，x=1不为极值点，故答案为：﹣2．23．（6分）等差数列中，a3+a4=4，a5+a7=6．（1）数列的通项公式为a n=+．（2）设，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．则数列{b n}的前8项和为16．【解答】解：（1）∵等差数列中，a3+a4=4，a5+a7=6．∴，解得a1=1，d=，∴a n=1+（n﹣1）×=+．故答案为：+．（2）∵，∴数列{b n}的前8项和为：S8=[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]=1+1+1+2+2+3+3+3=16．故答案为：16．三、解答题（本题共1小题，满分14分．请把解答过程写在答题纸相应的位置上）24．（14分）已知函数，且f′（﹣1）=0．（1）试用含a的代数式表示b；（2）a≤1时，求函数f（x）的单调区间；（3）令a=﹣1，并且设方程f（x）=m有三个不等的实数根，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）函数，导数为f′（x）=x2+2ax+b，f′（﹣1）=0，即为1﹣2a+b=0，可得b=2a﹣1；（2）a≤1时，f（x）=x3+ax2+（2a﹣1）x导数为f′（x）=x2+2ax+2a﹣1=（x+1）（x+2a﹣1），当a=1时，f′（x）=（x+1）2≥0，f（x）在R上递增；当a＜1时，1﹣2a＞﹣1，可得f（x）在（﹣1，1﹣2a）递减；在（﹣∞，﹣1），（1﹣2a，+∞）递增；（3）a=﹣1，f（x）=x3﹣x2﹣3x，导数为f′（x）=x2﹣2x﹣3=（x﹣3）（x+1），f（x）在（﹣1，3）递减，在（﹣∞，﹣1），（3，+∞）递增；可得f（x）的极小值为f（3）=﹣27，极大值为f（﹣1）=，方程f（x）=m有三个不等的实数根，可得﹣27＜m＜，即m的取值范围是（﹣27，）．。

福建省师大附中2017-2018学年高二数学下学期期中试题 文（满分：150分，时间：120分钟）说明：试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答卷。

第Ⅰ卷 共65分一、选择题（每小题5分，共65分；在给出的A,B,C,D 四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是（ ）① 2018能被2整除；②一切偶数都能被2整除；③ 2018是偶数； A ．①②③ B ．②①③ C ．②③① D ．③②①2.用反证法证明命题“三角形的内角中最多只有一个内角是钝角”时，应先假设（ ） A ．没有一个内角是钝角 B ．有两个内角是钝角 C ．有三个内角是钝角 D ．至少有两个内角是钝角3.若实数a b ==则a 与b 的大小关系是（ ） A ．a b = B. a b < C. a b > D. 不确定4. 若复数2(4)(2)(),z x x i x R =-++∈则“2x =”是“z 是纯虚数”的（ ） A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.某工厂为了确定工效，进行了5次试验，收集数据如下：x 与加工时间y 这两个变量，下列判断正确的是（ ）A ．负相关，其回归直线经过点()30,75B ．正相关，其回归直线经过点()30,75C ．负相关，其回归直线经过点()30,76D ．正相关，其回归直线经过点()30,766.观察下列算式：122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，82256=，…用你所发现的规律可得20182的末位数字是（ ） A ．2B ．4C ．6D ．87.如图，在复平面内，复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB ，则12||z z +=（ ）A ．2B ．3C ．．8.给出下面四个类比结论：①实数b a ,，若0=ab ，则0=a 或0=b ；类比向量,a b ，若0a b ⋅=，则0a =或0b = ②实数b a ,，有222()2a b a ab b +=++；类比向量,a b ，有222()2a b a a b b +=+⋅+ ③向量a ，有22a a =；类比复数z 有22z z =④实数b a ,，有022=+b a ，则0==b a ；类比复数12,z z ，有22120z z +=，则120z z ==其中类比结论正确的命题的个数是（ ）A ．0B ．1 C. 2 D. 3 9.某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内填（ ） A.4k > B.k >5 C.k >6 D.k >7 10. 下列不等式对任意的(0,)x ∈+∞恒成立的是（ ）A 、20x x -≥B 、sin 1x x >-+C 、ex e x≥ D 、ln x x >11.如图，可导函数)(x f y =在点P （0x ，)(0x f ）处的切线为l ：)(x g y =， 设)()()(x g x f x h -=，则下列说法正确的是（ ） A.0)(0'=x h ，0x x =是)(x h 的极大值点 B.0)(0'=x h ，0x x =是)(x h 的极小值点 C.0)(0'≠x h ，0x x =不是)(x h 的极值点 D.0)(0'≠x h ，0x x =是)(x h 的极值点 12.已知函数()()21cos ,4f x x x f x '=+是函数()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是（ ）13.设函数2()ln (2)f x x ax a x =---，若不等式()0f x >恰有两个整数解，则实数a 的取值范围是（ ） A. 4ln 21,4+⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B. 4ln 21,4+⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 6ln 34ln 2,126++⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 6ln 34ln 2,126++⎛⎤⎥⎝⎦第Ⅱ卷 共85分二、填空题（每小题5分，共25分）14.已知复数z 满足i i z +=-1)1(，则z ＝_______．15.若根据10名儿童的年龄x （岁）和体重y （㎏）数据用最小二乘法得到用年龄预报体重的回归方程是y = 2 x + 7 ，已知这10名儿童的年龄分别是2、3、3、5、2、6、7、3、4、5，则这10名儿童的平均体重是__________㎏．16. 已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a = ．17. 在一项田径比赛中，甲、乙、丙三人的夺冠呼声最高．观众A 、B 、C 做了一项预测：A 说：“我认为冠军不会是甲，也不会是乙”．B 说：“我觉得冠军不会是甲，冠军会是丙”．C 说：“我认为冠军不会是丙，而是甲”．比赛结果出来后，发现A 、B 、C 三人中有一人的两个判断都对，一人的两个判断都错，还有一人的两个判断一对一错，根据以上情况可判断冠军是_____________． 18.已知函数)(ln 1)(R a x a x xx f ∈+-=在其定义域上不单调，则a 的取值范围是__________．三、解答题（要求写出过程，共60分）19. (本小题满分12分)已知平行四边形OABC 的三个顶点C A O ，，对应的复数为4i 2-2i 30++，，（Ⅰ）求点B 所对应的复数0z ；（Ⅱ）若10=-z z ，求复数z 所对应的点的轨迹.20．(本小题满分12分)为了解学生的课外阅读时间情况，某学校随机抽取了50人进行统计分析，把这50人每天阅读的时间（单位：分钟）绘制成频数分布表，如下表所示：若把每天阅读时间在60分钟以上（含60分钟）的同学称为“阅读达人”，根据统计结果中男女生阅读达人的数据，制作出如图所示的等高条形图：（1）根据已知条件完成2x2列联表;（2）并判断是否有的把握认为“阅读达人”跟性别有关？附：参考公式22()()()()()n ad bc K a c a b b d c d -=++++21.(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为π12000元．(1)将V 表示成r的函数)V(r ，并求该函数的定义域；(2)讨论函数)V(r 的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大． 22.（本小题满分12分）设函数2)1()(ax e x x f x--= （Ⅰ）若21=a ，求)(x f 的极值；（Ⅱ）证明：当1≤a 且0>x 时， 0)(>x f .23.（本小题满分12分）设函数)(,)1(ln )(R a x a x x f ∈+-=（1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）当函数)(x f 有最大值且最大值大于13-a 时，求a 的取值范围。

人教版高二（下学期）数学期中大联考试卷
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选型是符合题目要求的）
1．设复数z满足iz=1+2i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．在用反证法证明“在△ABC中，若∠C是直角，则∠A和∠B都是锐角”的过程中，应该假设（）
A．∠A和∠B都不是锐角B．∠A和∠B不都是锐角
C．∠A和∠B都是钝角 D．∠A和∠B都是直角
3．A﹣C等于（）
A．0 B．﹣10 C．10 D．﹣40
4．已知a，b，c∈R，c≠0，n∈N*，下列使用类比推理恰当的是（）A．“若a?5=b?5，则a=b”类比推出“若a?0=b?0，则a=b”B．“（ab）n=a n b n”类比推出“（a+b）n=a n+b n”
C．“（a+b）?c=ac+bc”类比推出“（a?b）?c=ac?bc”
D．“（a+b）?c=ac+bc”类比推出“=+”
5．已知函数f（x）=6﹣x3，g（x）=e x﹣1，则这两个函数的导函数
分别为（）
A．f′（x）=6﹣3x2，g′（x）=e x B．f′（x）=﹣3x2，g′（x）=e x﹣1
C．f′（x）=﹣3x2，g′（x）=e x D．f′（x）=6﹣3x2，g′（x）=e x
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衢州四校2017学年第二学期高二年级期中联考数学试题第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. ）C. D.【答案】A集的定义可求。

A。

点睛：本题主要考查补集运算、一元二次不等式的解法、整数集的符号表示等知识。

意在考查学生的计算求解能力。

2. ，则复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C，变形得-1,-2），判断点所在象限。

所以复数在复平面内对应的点为（-1，-2），故复数在复平面内对应的点在第三象限。

故选C。

点睛：本题主要考查复数乘法、除法运算、复平面内的点与复数的对应关系等知识点。

意在考查学生的转化与计算求解能力。

3. 已知（）B. C. D.【答案】B，再求根据分段函数求。

，所以因为-1<0，所以。

故选B。

点睛：（1）分段函数求函数值，应按照自变量的范围分段代入。

（24. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.C. D.【答案】D【解析】分析：平行一个平面的两条直线有三种位置关系：相交、异面、平行，排除A；两面垂直，平行其中一个平面的直线与该平面有三种位置关系：平行、相交、在面内，故排除B；平行与一条直线的两个平面有两种位置关系：平行、相交，故排除C；由直线与平面垂直和平面与平面垂直的判定可知选项D正确。

详解：对于选项A A错；对于选项BB错；对于选项C C错；对于选项D，若，由平面与平面垂直的判定定理可知D正确。

故选D。

点睛：判断直线与平面的位置关系，应熟练掌握直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系，以及判定定理、性质定理。

5. ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B”，那么，故选B。

点睛：解决有关数列的问题可将条件转化为基本量，来求基本量的取值或范围，进而可解决问题。

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．复数等于（）A．4i B．﹣4i C．2i D．﹣2i2．正弦函数是奇函数，因为f（x）=sin（x+1）是正弦函数，所以f（x）=sin（x+1）是奇函数．以上推理（）A．结论正确B．大前提错误C．小前提错误D．以上都不对3．当x在（﹣∞，+∞）上变化时，导函数f′（x）的符号变化如下表：则函数f（x）的图象的大致形状为（）A．B．C．D．4．已知函数y=f（x）（x∈R）上任一点（x0，f（x0））处的切线斜率k=（x0﹣2）（x0+1）2，则函数f（x）的极值点的个数（）A．0个 B．1个 C．两个D．三个5．若（2x+）dx=3+ln2，则a的值是（）A．6 B．4 C．3 D．26．已知函数有最大值﹣4，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣47．设f（x），g（x）在[a，b]上可导，且f'（x）＞g'（x），则当a＜x＜b时有（）A．f（x）＞g（x）B．f（x）＜g（x）C．f（x）+g（b）＞g（x）+f（b）D．f（x）+g（a）＞g（x）+f（a）8．将正奇数1，3，5，7，…排成五列（如表），按此表的排列规律，2017所在的位置是（）A．第一列B．第二列C．第三列D．第四列二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为．10．若函数f（x）=e x﹣ax（x＞0）有极值，则实数a的取值范围是．11．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足关系式，则f'（2）的值等于．12．底面是正方形，容积为16的无盖水箱，它的高为时最省材料．13．若曲线f（x）=ax3+ln（﹣2x）存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是．14．定义：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），满足f′（x1）=，f′（x2）=，则称函数y=f（x）在区间[a，b]上的一个双中值函数，已知函数f（x）=x3﹣x2是区间[0，a]上的双中值函数，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（13分）已知曲线C1：y2=2x与C2：y=在第一象限内交点为P．（1）求过点P且与曲线C2相切的直线方程；（2）求两条曲线所围图形（如图所示阴影部分）的面积S．16．（13分）设．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程；（2）当时，求f（x）的极大值和极小值．17．（13分）已知函数f（x）=x2﹣2lnx，h（x）=x2﹣x+a．（1）其求函数f（x）的极值；（2）设函数k（x）=f（x）﹣h（x），若函数k（x）在[1，3]上恰有两个不同零点求实数a的取值范围．18．（13分）已知数列，，…，，…，S n为该数列的前n项和，（1）计算S1，S2，S3，S4，（2）根据计算结果，猜想S n的表达式，并用数学归纳法进行证明．19．（14分）已知直线l：y=x+m与函数f（x）=ln（x+2）的图象相切于点P．（1）求实数m的值；（2）证明除切点P外，直线l总在函数f（x）的图象的上方；（3）设a，b，c是两两不相等的正实数，且a，b，c成等比数列，试判断f（a）+f（c）与2f（b）的大小关系，并证明你的结论．20．（14分）已知函数f（x）=lnx+．（1）当a＜0时，证明函数f（x）在（0，+∞）是单调函数；（2）当a＜e时，函数f（x）在区间[1，e]上的最小值是，求a的值；（3）设g（x）=f（x）﹣，A，B是函数g（x）图象上任意不同的两点，记线段AB的中点的横坐标是x0，证明直线AB的斜率k＞g'（x0）．参考答案一、CCCBD BDB二、9. ﹣210. （1，+∞）11.12.13. （0，+∞）14. （）三、15．【解答】解：（1）曲线C1：y2=2x与C2：y=在第一象限内交点为P（2，2）C2：y=的导数y'=xy'|x=2=2而切点的坐标为（2，2）∴曲线C2：y=在x=2的处的切线方程为y﹣2=2（x﹣2），即2x﹣y﹣2=0．（2）由曲线C1：y2=2x与C2：y=可得两曲线的交点坐标为（0，0），（2，2）∴两条曲线所围图形（如图所示阴影部分）的面积：S=（﹣）dx=（×x﹣）=．16．【解答】解：（1）当a=1时，切线斜率∴切点为（﹣1，）∴切线为（2）当时，x＜﹣2时，f′（x）＞0；﹣2＜x＜3时，f′（x）＜0；x＞3时，f′（x）＞0∴x=﹣2时，f（x）的极大值为8，x=3时，f（x）的极小值为17．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=2x﹣，令f′（x）=0，∵x＞0，∴x=1，所以f（x）的极小值为1，无极大值．（Ⅱ）∵又∵k（x）=f（x）﹣g（x）=﹣2lnx+x﹣a，∴k′（x）=﹣+1，若k′（x）=0，则x=2当x∈[1，2）时，f′（x）＜0；当x∈（2，3]时，f′（x）＞0．故k（x）在x∈[1，2）上递减，在x∈（2，3]上递增．（10分）∴，∴，∴2﹣2ln2＜a≤3﹣2ln3．所以实数a的取值范围是：（2﹣2ln2，3﹣2ln3]（15分）18．【解答】解：（1）S1==，S2==，S3=S2+=，S4=S3+=．推测S n=（n∈N*）．用数学归纳法证明如下：…（1）当n=1时，S1==，等式成立（2）假设当n=k时，等式成立，即S k=，那么当n=k+1时，S k=S k++1=+====也就是说，当n=k+1时，等式成立．根据（1）和（2），可知对一切n∈N*，等式均成立…（10分）19．【解答】解：（1）设切点为P（x0，x0+m），则f'（x0）=1．由，有，解得x0=﹣1，于是m﹣1=0，得m=1．…（2分）（2）构造函数g（x）=x+1﹣ln（x+2），其导数．当x∈（﹣2，﹣1）时，g'（x）＜0；当x∈（﹣1，+∞）时，g'（x）＞0；所以g（x）在区间（﹣2，﹣1）单调递减，在区间（﹣1，+∞）单调递增．所以g（x）＞g（﹣1）=0．因此对于x∈（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞），总有x+1＞ln（x+2），即除切点（﹣1，0）外，直线l总在函数f（x）的图象的上方．…（7分）（3）因为a，b，c是两两不相等的正实数，所以．又因为a，b，c成等比数列，所以b2=ac，于是．而f（a）+f（c）=ln[（a+2）（c+2）]=ln[ac+2（a+c）+4]，2f（b）=2ln（b+2）=ln（b2+4b+4）．由于ac+2（a+c）+4=b2+2（a+c）+4＞b2+4b+4，且函数f（x）=ln（x+2）是增函数，因此ln[ac+2（a+c）+4]＞ln（b2+4b+4），故f（a）+f（c）＞2f（b）．…（14分）20．【解答】（1）解：．因为a＜0，x＞0，所以f'（x）＞0．∴函数f（x）在（0，+∞）是单增函数；…（2分）（2）解：在[1，e]上，分如下情况讨论：当1＜a＜e时，函数f（x）在[1，a）上有f'（x）＜0，单调递减，在（a，e]上有f'（x）＞0，单调递增，∴函数f（x）的最小值为，得．…（8分）当a≤1时，函数f（x）在[1，e]上有f'（x）＞0，单调递增，∴函数f（x）的最小值为f（1）=a=＞1，故不存在综上，得．（3）证明：，．又，不妨设x2＞x1，要比较k与g'（x0）的大小，即比较与的大小，又因为x2＞x1，所以即比较ln与=的大小．令h（x）=lnx﹣，则h′（x）=，∴h（x）在[1，+∞）上是增函数．又，∴h（）＞h（1）=0，∴，即k＞g'（x0）．…（14分）。