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§4 保角映射的物理应用拉普拉斯方程式02=∇φ为工程数学中最重要偏微分方程式之一，因为它应用于有关重力场、静电场、稳态热传导以及不可压缩流体之流动问题．本文所及者皆为二维问题，它们虽原三维空间内之物理系统，但是诸如位势中与空间第三坐标无关，因此拉普拉斯方程为022222=∂∂+∂∂=∇=∆yx φφφφ （1）称曲线=),(y x φ常数为等位线．定义1对于区域G 内的实值函数),(y x φ（或)(z φ），如果其本身以及一阶、二阶偏导数连续而且满足（1），则称φ在G 内调和或φ是区域G 的调和函数．注意：对于定义中调和函数的光滑性要求可以减弱。
可以说明调和性是共性映射（保角映射）下的不变性质，因为若)(ζz z =是区域D 到G 的共性映射，记))(()(ζζz u U =，不难验证：)()()(2z u z U ∆'=∆ζζ．因此，若)(z u 在G 内调和，必有)(ζU 在D 内调和．定义2设)(z u 和)(z v 在区域G 内调和，如果x y y x v u v u -==,，则称)(z v 是)(z u 的共轭调和函数．称dy u dx u du x y +-=*为dy u dx u du y x +=的共轭微分．理论上说，一个调和函数的共轭函数的存在性虽有待讨论，但其共轭微分总是有意义的．定理1若)(z u 是单连通区域G 内的调和函数，则其共轭调和函数)(z v 一定存在，因此为)()()(z iv z u z f +=G 内的解析函数． 证明例2 已知调和函数22(,)u x y x y xy =-+，求其共轭调和函数(,)v x y 及解析函数()(,)(,)f z u x y i v x y =+.解 利用C-R 方程，(2)2v u y x y x x y∂∂=-=--+=-∂∂ 所以2(2)2()2x v y x dx xy g y =-=-+⎰.因此，2()vx g y y ∂'=+∂2u x y x∂==+∂，比较两式可得：2()2,()x g y x y g y y ''+=+=故，有2()2yg y ydy C ==+⎰.因此，22222x y v xy C =-++。
保角映射函数
保角映射函数是一种数学工具，它可以将一个平面区域映射到另一个平面区域，同时保持角度的不变性。
这种函数在解决物理问题、图像处理和数值分析等领域有着广泛的应用。
在解决物理问题方面，保角映射函数可以用来研究流体动力学、电磁学和光学等领域的问题。
通过保角映射函数，可以将复杂的物理问题简化为更易于处理的形式，从而更好地理解和解决这些问题。
在图像处理方面，保角映射函数可以用于图像缩放、旋转和平移等操作。
通过保角映射函数，可以保持图像中的角度不变，从而实现高质量的图像处理效果。
在数值分析方面，保角映射函数可以用于求解微分方程、积分方程和线性方程组等问题。
通过保角映射函数，可以将复杂的数学问题转化为易于求解的形式，从而提高数值分析的精度和效率。
总之，保角映射函数是一种非常重要的数学工具，它在许多领域都有着广泛的应用。
通过学习和掌握保角映射函数，我们可以更好地解决各种问题，提高自己的数学素养和综合能力。
第六章 保角映射§1保角映射的概念一、 保角映射的基本问题在实用上，往往是给出两个区域D 和G ，要求找出一个解析函数，它将区域D 保形地变换到区域G 。
这就是保交映射的基本问题，比较一般的是归结为要找出一个解析函数，将区域D 保形地变换到单位圆内部区域的问题。
另外，要求这种保形变换必须是一一对应的，因此，要求被变换的区域必须是单连域。
黎曼定理：1．一个边界至少包含两点的单连域D ，存在一个解析函数)(z f w =，将区域D 保形地变 换为单位圆1<w 。
如果在D 内再任意指定一点0z ，并令,0)(0≠z f 及)(0'z f 是正实数，则保形变换函数是唯一存在的。
这个定理从理论上指出保形变换函数的存在与唯一性。
2．如果给出两个单连域D 和G ，它们的边界分别是多于两点的曲线C 和Γ，若能找到在 D 内是解析的，在闭区域C D D +=上是连续的，且能作出将C 到Γ双方正向的，一一对应的变换函数)(z f w =,则)(z f w =将D 保形变换到G 。
3．.边界对应原理：设单连域D 和G 的边界分别为C 和Γ。
若存在一个在D 内解析，在C 上连续的函数)(z f w =，它将z 平面上的边界C 一一对应地映射成w 平面上的边界Γ。
当原像点z 和像点w 在边界上的绕向一致时，则C 内的区域D 将映射成由边界Γ所围成的区域G ；反之，则C 内的区域D 将映射成Γ的外部区域'G 。
1）当321z z z →→，有321w w w →→，绕向一致时，则有00w z →，则区域D 将映射成区域G ；2）当321z z z →→，有123w w w →→，绕向相反时，则区域D 将映射成Γ的外部区域。
二、解析函数导数的几何意义设函数)(z f w =在区域D 内解析，0z 是D 内的一点，它与w 平面上的一点0w 对应，当z在经过0z 的某条曲线C 上移动时，则相应地w 在经过点0w 的一条曲线Γ移动。
§2 保角映射一、保角映射及其性质[保角映射及其充分必要条件] 如果在区域D 内任一点z 的邻域里函数)(z f 的映射满足条件：(i )伸缩性不变（§1，一），（ii ）旋转角不变，并保持角的定向（§1，一），那末称函数)(z f 的映射是区域D 内的保角映射（保角变换）.)(z f 在区域D 内是保角映射的充分必要条件是：)(z f 在D 内解析且导数)(z f 在D 内处处不等于零.[区域D 内保角映射)(z f 的性质]1o D 内任一无穷小圆周的象在相差一个高阶无穷小的程度内是圆周. 2o D 内两曲线的夹角映射后保持不变（保角性）. 3o D 内任一区域（包括D 自身）的象是区域.4o 在D 内任一点，|)(|z f 不能达到极大值，也不能达到极小值.5o D 内任一点z ，都各有一邻域，在这邻域里，|)(|z f 是单叶的.二、分式线性映射及其性质分式线性函数)0(bc ad dcz baz所实现的映射称为分式线性映射（分式线性变换）.它的逆映射)0( bc ad ac bd z也是一个分式线性映射.规定)0( c c d z 与 z 分别对应 与ca，当c =0时，规定 z 对应 ，那末分式线性映射确定了一个扩充z 平面与扩充 平面之间的一个一对一的对应关系.同时，除了点cdz 0是一阶极点外，在扩充平面上处处解析.反过来，如果函数)(z f 在扩充z 平面上单叶，并且除了一点0z （这一点是函数的一阶极点）外处处解析，那末)(z f 必是分式线性函数. 分式线性映射具有性质：1o 在扩充平面上处处有保角性（通过 处两直线的夹角定义为两直线经变换z1后的两曲线在0 处的夹角）.2o 在分式线性变换下，圆周仍变为圆周（直线当作半径无限大的圆周）. 3o 关于圆或直线的对称点（见§2，三的脚注）映射后的象保持对称性.4o 存在唯一的分式线性映射把z 平面上的任意三点 321,,z z z 分别映射到 平面上的 任意三点321,, ，这样的分式线性映射是321231321231::z z z z z z z z5o 扩充z 平面上的任意一个圆，都可以找到一个分式线性映射将它映射到扩充 平面上的任意一个圆.6o 在分式线性映射下，四点4321,,,z z z z 的交比保持不变（4321,,,z z z z 的交比是43234121:z z z z z z z z ）.注意，四点共圆（或共线）的充分必要条件是它们的交比为实数.三、简单分式线性映射z平面 w平面[伸缩与旋转映射]z平面 w平面[反演映射]z平面 w平面[上半平面到上半平面（或下半平面）的映射]z平面 w平面(a0)adbcz平面 w平面(b0)adbc图形z 平面 w 平面 [单位圆内到单位圆内的映射] （圆1 z 内一点a 映射到0 w ）z 平面 w 平面四、对称原理与多边形映射[对称原理] 设D 和D 是z 平面上关于它们公共边界C （一段圆弧）对称的两个区域，而G 和G 是 平面上关于它们公共边界 （一段圆弧）对称的两个区域. 如果函数)(z f 满足下列条件：（i）)(z f 将D 保角映射到G ；（ii）)(z f 在C D 上连续，将C 单叶映射到Γ.那末存在一个函数)(z F 具有性质： 1o )(z F 把区域D C D 保角映射到区域G ΓG . 2o 在D 内，)()(z f z F .3o 将区域D C D 内关于C 对称的两点映射到区域G ΓG 内关于 对称的两点. [多边形映射] 多边形映射是把半平面映射到一个多边形的映射.设z 平面实轴上有n 个点)(21 n k a a a a ， 平面上一n 边形，顶点是n A A A ,,21，在点k A 处的顶角是),,2,1,20(n k a a k k ，那末施瓦兹-克里斯托弗尔积分zz n k a k C z a z C z f k 0111d )()(*点z 和*z 关于圆周C ：R z z ||0对称，是指这两点都在同一条过点0z 的射线上，并且满足等式 20*0||||R z z z z10,,(C C z 是三个常数）把z 平面的上半平面映射到已给n 边形内部, z 平面实轴上的n 个点),,2,1(n k a k 分别映射到 平面的n 边形的n 个顶点k A ),,2,1(n k （图10.4）. 如果z 平面的无穷远点（设 n a ）与n 边形一个顶点（设n A ）对应，那末映射简化成z z n k a kC z az C z f k 01111d )()(例 求矩形映射把z 平面的上半平面0Im z 映射到 平面上的一个矩形4321A A A A 的内部（图10.5）.解 首先考虑z 平面的第一象限映射到矩形内部的右半部分B A OA 21.同时让21,,1,A B A O O 的原象记为)10(,1k k.把这个映射关于y 轴的正半轴应用对称原理，就有431,1A A k，同时根据施瓦兹-克里斯托弗尔积分，所求的映射就是z z C z k z zC C k z z z C 0122210222)1)(1(d 1)1(d 由于00 ，所以01 C ，又由于211,1A kA .所以10222)1)(1(d t k t tC h (1)k kt k t t iC h t k t t C h i h 1101222222)1)(1(d )1)(1(d即k t k t tC h 10222)1)(1(d (2)设 常数)10( k k 已知，适当选择矩形的长和宽（即h 和h ），使（1）、（2）式中的常数1 c .z z k z tC 0222)1)(1(d这是第一类椭圆积分（第十二章§1，十）.五、保角映射的存在唯一性定理（黎曼定理）除去两个例外（扩充平面或扩充平面除去一点），对单连通区域有下面的保角映射的存在唯一性定理：设z 平面上单连通区域D （不包含 ）的边界点不止一个，那末在D 上存在唯一的单叶解析函数)(z f 把D 单叶保角映射到单位圆内部1|| ，同时满足(i );,0)(00D z z f (ii ) 0000(20,)(arg z f 是一常数).。
函数的等距映射与保角映射概述在微分几何中，等距映射（isometry）和保角映射（conformal mapping）是两个重要的概念。
等距映射是指保持距离不变的映射，而保角映射是指保持角度不变的映射。
这两个概念在许多数学领域都有着广泛的应用，例如几何学、拓扑学、分析学和物理学。
等距映射等距映射是指保持距离不变的映射。
也就是说，如果X和Y是两个度量空间，f:X→Y是一个映射，并且对于X中的任意两点x1和x2，都有d(f(x1),f(x2))=d(x1,x2)，那么f就是等距映射。
等距映射的一个重要性质是，它保持度量空间的几何结构。
例如，如果X是一个欧几里得空间，那么f是一个等距映射，则Y也是一个欧几里得空间。
此外，等距映射也保持度量空间的拓扑结构。
等距映射在许多数学领域都有着广泛的应用，例如几何学、拓扑学、分析学和物理学。
例如，在几何学中，等距映射可以用来研究几何图形的性质，在拓扑学中，等距映射可以用来研究拓扑空间的性质，在分析学中，等距映射可以用来研究函数的性质，在物理学中，等距映射可以用来研究时空的性质。
保角映射保角映射是指保持角度不变的映射。
也就是说，如果X和Y是两个黎曼流形，f:X→Y是一个映射，并且对于X中的任意两条相交曲线C1和C2，都有∠(C1,C2)=∠(f(C1),f(C2))，那么f就是保角映射。
保角映射的一个重要性质是，它保持黎曼流形的共形结构。
也就是说，如果X和Y 是两个共形流形，那么f是一个保角映射，则Y也是一个共形流形。
此外，保角映射也保持黎曼流形的度量结构。
保角映射在许多数学领域都有着广泛的应用，例如几何学、拓扑学、分析学和物理学。
例如，在几何学中，保角映射可以用来研究几何图形的性质，在拓扑学中，保角映射可以用来研究拓扑空间的性质，在分析学中，保角映射可以用来研究函数的性质，在物理学中，保角映射可以用来研究时空的性质。
应用等距映射和保角映射在许多数学领域都有着广泛的应用，例如几何学、拓扑学、分析学和物理学。
保角映射问题多种解法及验证其等效性的方法保角映射问题是一个数学问题，涉及到在给定的复平面上找到一个保持角度不变的映射函数。
这个问题在复变函数论中有广泛的应用，特别是在解析函数的研究中。
在本文中，我将讨论保角映射问题的多种解法，并介绍验证其等效性的方法。
保角映射问题的一个常见解法是使用Schwarz-Christoffel映射。
Schwarz-Christoffel映射是一种将单位圆盘映射到一个有限区域的保角映射函数。
它的基本思想是将给定区域分成若干个三角形或梯形，然后通过计算这些三角形或梯形的内角和来确定映射函数的形式。
通过使用Schwarz-Christoffel映射，我们可以将任意有限区域映射到复平面上，从而解决了保角映射问题。
另一个解决保角映射问题的方法是使用conformal welding方法。
这种方法的基本思想是将给定区域分成多个简单的几何形状，然后通过将这些形状的边界粘合在一起来构建一个保角映射函数。
可以证明，通过合适的缝合方式，可以得到一个保持角度不变的映射函数。
conformal welding方法可以解决许多复杂的保角映射问题，包括多连通区域和非凸区域。
还有一种解决保角映射问题的方法是使用Riemann映射定理。
Riemann映射定理指出，任何两个连接域可以通过一个保角映射函数互相映射。
这意味着，如果我们能够找到一个保角映射函数将给定区域映射到一个简单的连接域，那么我们就可以通过将这个映射函数和它的逆映射组合起来得到任意两个连接域之间的保角映射函数。
通过使用Riemann映射定理，我们可以将保角映射问题转化为求解连接域之间的保角映射问题，从而简化了问题的求解过程。
除了上述的解法之外，还有一些其他的方法可以用来解决保角映射问题，如图形逼近、解析延拓、数值近似等。
这些方法的具体应用取决于问题的性质和所需的精度。
为了验证不同解法的等效性，可以使用数学推导和实验验证两种方法。
数学推导方法是通过使用已知的数学工具和技术来分析和证明不同解法的等效性。
§4 保角映射的物理应用拉普拉斯方程式02=∇φ为工程数学中最重要偏微分方程式之一，因为它应用于有关重力场、静电场、稳态热传导以及不可压缩流体之流动问题．本文所及者皆为二维问题，它们虽原三维空间内之物理系统，但是诸如位势中与空间第三坐标无关，因此拉普拉斯方程为022222=∂∂+∂∂=∇=∆yx φφφφ （1）称曲线=),(y x φ常数为等位线．定义1对于区域G 内的实值函数),(y x φ（或)(z φ），如果其本身以及一阶、二阶偏导数连续而且满足（1），则称φ在G 内调和或φ是区域G 的调和函数．注意：对于定义中调和函数的光滑性要求可以减弱。
可以说明调和性是共性映射（保角映射）下的不变性质，因为若)(ζz z =是区域D 到G 的共性映射，记))(()(ζζz u U =，不难验证：)()()(2z u z U ∆'=∆ζζ．因此，若)(z u 在G 内调和，必有)(ζU 在D 内调和．定义2设)(z u 和)(z v 在区域G 内调和，如果x y y x v u v u -==,，则称)(z v 是)(z u 的共轭调和函数．称dy u dx u du x y +-=*为dy u dx u du y x +=的共轭微分．理论上说，一个调和函数的共轭函数的存在性虽有待讨论，但其共轭微分总是有意义的．定理1若)(z u 是单连通区域G 内的调和函数，则其共轭调和函数)(z v 一定存在，因此为)()()(z iv z u z f +=G 内的解析函数． 证明例2 已知调和函数22(,)u x y x y xy =-+，求其共轭调和函数(,)v x y 及解析函数()(,)(,)f z u x y i v x y =+.解 利用C-R 方程，(2)2v u y x y x x y∂∂=-=--+=-∂∂ 所以2(2)2()2x v y x dx xy g y =-=-+⎰.因此，2()vx g y y ∂'=+∂2u x y x∂==+∂，比较两式可得：2()2,()x g y x y g y y ''+=+=故，有2()2yg y ydy C ==+⎰.因此，22222x y v xy C =-++。
从而得到解析函数()(,)(,)f z u x y i v x y =+2222()(2)22x y x y xy i xy iC =-++-++ ()()2222222i x i xy y x i xy y iC =+--+-+ 212i z iC ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 定义3 设(,)x y ϕ为区域D 内一调和函数，且),(y x ψ为D 内的“共轭”调和函数，则()(,)(,)F z x y i x y ϕψ=+为解析函数，称此)(z F 为对应于实位势)(z φ的复位势．说明：应用复位势F 有两优点．其一，就技术层面来说，解析函数)(z F 较其实部，虚部函数更易处理．其二，就物理自身而言，ψ有一很重要意义．据保角性，曲线ψ为常数，与等位线φ为常数相交为直角，因此，具有电力线之方向等意义，故称力线．这些力线可表示带电粒子之运动轨迹．例1 两平行板之间的位势 求电位分别为1φ和2φ之无穷延伸两平行电板之间的电场的位势．解：由实际情况可知φ仅有x有关．那么由0=''=∆φφ，可得b ax x +=)(φ．将边界条件代入，12(1)(1)a b a b ϕϕϕϕ=-=-+⎧⎨==+⎩， 解得212111()()()22x x ϕϕϕϕϕ=-++，易知ϕ的一个共轭调和函数ay =ψ，故复位势b az iay b ax z F +=++=)(．力线为x 轴平行之线． 例2 共轴圆柱之间的位势． 解 显然，φ仅与22y x r +=有关（对称性），而且与θ无关，因此考虑变量代换，对解φ⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ， 则由求偏导的链式法则，不难算得：011y 222222222=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∆θφφφφφu r r r rx ，因此，0='+''φφr ，（对r 求导），即r 1-='''φφ。
a r dr rdr ~ln 1+-=-='''⎰⎰φφ，即 a r ~ln ln +-='φ，所以rar =')(φ，b r a r +=ln )(φ．因此b z a z +=ln )(φ．可以知道)(z φ的一个“共轭”函数z a z arg .)(=ψ，故复位势b z a z F +=ln )(，其力线为经原点的直线．例3 非同心轴圆柱间的位势．解：这里主要用到两个知识点，其一，同心圆柱之势，如同例2是我们熟识的，因此如何寻找这两个二连通区域之间的共形映射是关键．我们前面学到过的分式线性变换可以做到这一点．其二，利用调和函数的共形映射不变性．映射要求：15252;110<=→=-=→=r w z w z． 设zz z z z T w 001)(--==，其中10<z ．合理的要求：0054,0r r →-→。
因此，000000000014455441.155z r r z z z r z z z -⎧-=⇒=⎪⎪⎪⎨--⎪===⎪--⎪⎩)2()1( 解（2）得210=r ，或20=r （舍去）．故z z z z z T w --=--==21221121)(． b由例2，w 平面上的复位势b w a w F +=ln )(*为实数）， 因此实位势b w a w F v u +==Φln )(Re ),(**．由条件1=w 时，0)(*=Φw ，21=w 时，110)(*=Φw ．得2ln 110,0-==a b ． 所以z z a z F F z F --==212ln))(()(*． 实位势zz a z F y x --==Φ212ln )(Re ),(．)2ln 110(-=a请诸位根据所得结果，自己注明电力线方向．流体运动在平面任一点),(y x 处，流体具有某固定之速度，可由向量值函数表示，)),(),,((),(21y x v y x v y x v=→，亦可由复变数示之：)),(),((),(21y x iv y x v y x v += （1）yx可以证明在无旋不可压缩之条件下，存在解析函数),(),()(y x i y x z F ψ+Φ= （2）使得其流线为=),(y x ψ常数，而且速度)(21z F iv v V '=+=． （3）亦可证明),(yx grad V ∂Φ∂∂Φ∂=Φ=→，即yv x v ∂Φ∂=∂Φ∂=21,（4）证明：①先证滑旋函数yV x V y x ∂∂-∂∂=12),(ω．设曲线c 的参数方程为：)()()(s iy s x s z +=．（以弧长s 为自然参数） 设t v 为→v 在切线方向的分号，因此dy v dx v s d v ds v t 21.+==→→，则→→⎰⎰=s d v ds v c c t 1表示流体沿c 之环流． 如果c 是简单闭曲线，由格林公式σd yV x V s d v Dc)(.12∂∂-∂∂=⎰⎰⎰→→． 双重积分内心被积函数称为涡旋函数，记为yV x V y x ∂∂-∂∂=12),( ω．（5）如若无旋流，则有012=∂∂-∂∂yV x V ．（6）由（6）并格林公式，可知如下定义之),(y x Φ为一单位函数dy V dx V y x y x y x 2),(),(100),(+=Φ⎰．而且1V x∂Φ=∂，2V y∂Φ=∂ （7）②在不可压缩条件下，在无源，无汇之区域内，散度21=∂∂+∂∂=yV x Vv div ρ（8）至于散度函数yV x V vdiv ∂∂+∂∂=21ρ可由读者自行推导查阅相关材料．因此将（7）代入（8）即得02222=∂Φ∂+∂Φ∂=∆Φyx ，这说明Φ是个调和函数．③取Φ的共轭调和函数ψ，则)()()(z i z z F ψ+Φ=解析，故21)(iV V xi x x i x z F -=∂Φ∂-∂Φ∂=∂∂+∂Φ∂='ψ， 因此)(21z F iV V V '=+=． （10）例1 绕过一直角的流动。
woyxo解 问题的关键在于将一个“非典型”区域保角映射为 一个“典型”区域。
由于半平面上的流体平行流动较容易 算出其复位势，所以通过幂函数将角域保角映射为上半平面。
①在w 平面),(),()(***v u i v u w F ψ+Φ=，因为在w 平面流速为常速(0)k >，故*()d F w v k k dw===，因此 kw w F =)(*．②2z w =：将第I 象限→上半平面．)2()()(2222*ixy y x k kz z F z F +-===，故流线==kxy 2ψ常数．（双曲线）流速为)(22)(iy x k z k z F V -=='=，即12V kx =，22V ky =-，因此每点的速率为2V k =．例2 绕过一圆柱体的流动1-1w解 如上图，由单位圆外到整个复平面割去裂缝[1,1]-的保角映射为 11()2w z z=+。
如同例1，在w 平面复位势kw w F=)(*，因此*11()()()()22k k F z F w z x iy zx iy==+=+++ 22()2k x iy x iy x y -=+++， 所以流线 22(,)()2k yx y y C x yψ=-=+。
速度22222212()(1)(1)22()k k x y xyiV F z x y z-+'==-=-+，由上式我们可以看出，当点离远点较远时，流速近似于一常数，而方向则近乎沿着水平方向。
茹科夫斯基函数我们称函数11()2w z z=+为茹科夫斯基函数，其一般形式为21()2aw z z=+.（1）当i z re θ=时，21()2i i a w re reθθ=+。
因此，21()cos 2a u r rθ=+，21()sin 2a v r rθ=-（2） 消去参数θ得2222224()()u v a a r r r r+=+-，（3）因此，当r a >时，函数将圆周||z r =映射为上述椭圆。
而当i z ae θ=时，cos w a θ=，故圆周||z a =被映射为实轴上一线段[,]a a -。
这一函数最先被茹科夫斯基用来构造飞机机翼。
实际上设K 为圆心在hi ，且经过实轴上(,0)A a -，(,0)B a 两点的圆周，在茹科夫斯基函数（1）的映射下，K 被映射为在上半平面的过,,hi A B 三点的一段圆弧Γ，而圆周K 外的区域被映射为整个复平面去掉裂缝Γ的区域。
