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第2课时利用二次函数解决利润问题1.经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程,体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,并感受数学的应用价值.2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值,发展解决问题的能力.1.经历销售中最大利润问题的探究过程,让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.2.发展学生运用数学知识解决实际问题的能力.1.体会数学与人类社会的密切联系,了解数学的价值,增进对数学的理解和学好数学的信心.2.认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具,了解数学对促进社会进步和人类发展的作用.【重点】1.探索销售中最大利润问题,从数学角度理解“何时获得最大利润”的意义.2.引导学生将简单的实际问题转化为数学问题,并运用二次函数知识求出实际问题的最大(小)值,从而得到解决某些实际生活中最大(小)值问题的思想方法.【难点】能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并能利用二次函数知识解决某些实际生活中的最大(小)值问题.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习关于销售的相关量之间的关系及二次函数最值的求法.导入一:【引入】如果你是某企业老总,你最关心的是什么?是的,当然是利润,因为它是企业生存的根本,并且每个企业都想在限定条件内获得更大利润.本节课我们就来探究形如最大利润的问题.[设计意图]开门见山,直入正题,让学生对本节课所要了解的知识一目了然,使他们的学习更有针对性.导入二:请同学们思考下面的问题:某工厂生产一种产品的总利润L(元)是产量x(件)的二次函数L=-x2+2000x-10000,则产量是多少时总利润最大?最大利润是多少?学生分析数量关系:求总利润最大就是求二次函数L=-x2+2000x-10000的最大值是多少.即L=-x2+2000x-10000=-(x2-2000x+10002-10002)-10000=-(x-1000)2+990000.∴当产量为1000件时,总利润最大,最大利润为99万元.【引入】显然我们可以通过求二次函数最大值来确定最大利润,你能利用这种思路求解下面的问题吗?[设计意图]让学生通过对导入问题的解答,进一步强化将实际问题转化为数学模型的意识,使学生感受到“何时获得最大利润”就是在自变量取值范围内,此二次函数何时取得最大值问题.服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元.根据市场调查,以单价13元批发给经销商,经销商愿意经销5000件,并且表示单价每降价0.1元,愿意多经销500件.请你帮助分析,厂家批发单价是多少时可以获利最多?思路一教师引导学生思考下面的问题:1.此题主要研究哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?生审题后回答:批发价为自变量,所获利润为因变量.2.此题的等量关系是什么?3.若设批发价为x元,该服装厂获得的利润为y元,请完成下面的填空题:(1)销售量可以表示为;(2)每件T恤衫的销售利润可以表示为;(3)所获利润与批发价之间的关系式可以表示为.4.求可以获得的最大利润实质上就是求什么?【师生活动】教师启发学生依次探究问题,根据引导要求学生独立解答后,小组交流,共同解决所发现的问题.解:设批发价为x元,该服装厂获得的利润为y元.由题意得y=(x-10)=(70000-5000x)(x-10)=-5000(x-12)2+20000.∴当x=12时,y=20000.最大∴厂家批发价是12元时可以获利最多.思路二【思考】此题还有其他的解法吗?可以不直接设批发价吗?【师生活动】学生进行小组讨论,师巡视并参与到学生的讨论之中去.组长发言,师生共同订正.解:设降价x元,该服装厂获得的利润为y元.则y=(13-10-x)=(5000+5000x)(3-x)=-5000(x-1)2+20000,=20000.∴当x=1时,y最大13-1=12.∴厂家批发价是12元时可以获利最多.【教师点评】在利用二次函数解决利润的问题时,可以直接设未知数,也可以间接设未知数.[设计意图]让学生回顾列一元二次方程解决“每件商品的销售利润×销售这种商品的数量=总利润”这种类型的应用题,做好知识的迁移,为下一环节的教学做好准备,以便降低学生接受知识的(教材例2)某旅馆有客房120间,每间房的日租金为160元时,每天都客满.经市场调查发现,如果每间客房的日租金增加10元,那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素,旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高?〔解析〕此题的等量关系是:客房日租金总收入=提价后每间房的日租金×提价后所租出去的房间数.如果设每间房的日租金提高x个10元,那么提价后每间房的日租金为(160+10x)元,提价后所租出去的房间数为(120-6x)间.解:设每间房的日租金提高10x元,则每天客房出租数会减少6x间.设客房日租金总收入为y元,则y=(160+10x)(120-6x),即y=-60(x-2)2+19440.∵x≥0,且120-6x>0,∴0≤x<20.=19440,当x=2时,y最大这时每间客房的日租金为160+10×2=180(元),因此,每间客房的日租金提高到180元时,客房总收入最高,最高收入为19440元.[设计意图]让学生通过对例题的解答,进一步熟悉和掌握本课所学知识,拓宽知识面,使其解题能力和应用能力得到进一步提升.二、利用二次函数图象解决实际问题课件出示:【议一议】还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗?我们得到表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式y=(600-5x)(100+x)=-5x2+100x+60000.问题(1):利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.请同学们在课本第49页图2-11中画出二次函数y=-5x2+100x+60000的图象.要求:同伴合作,画出图象.师课件出示函数图象,供学生参考.问题(2):增种多少棵橙子树,可以使橙子的总产量在60400个以上?看一看:从图象中你们可以发现什么?增种多少棵橙子树,可以使橙子的总产量在60400个以上?请同学们开始小组讨论交流.学生积极思考,合作交流.请代表展示他们的讨论成果:结论1:当x<10时,橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加;当x=10时,橙子的总产量最大;当x>10时,橙子的总产量随增种橙子树的增加而减少.结论2:由图象可知,增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵,都可以使橙子总产量在60400个以上.能力提升:在分析的过程中,用到了什么数学思想方法?学生迅速得出:用到了数形结合的数学思想方法.[设计意图]让学生绘制该二次函数图象,并利用图象进行直观分析,体会数形结合的思想方法,并感受自变量的取值范围.用二次函数知识解决实际问题的基本思路:(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系;(3)用数学的方式表示它们之间的关系;(4)利用二次函数求解;(5)检验结果的合理性.1.某商店经营2014年巴西世界杯吉祥物,已知所获利润y(元)与销售的单价x(元)之间的关系为y=-x2+24x+2956.则获利最多为()A.3144元B.3100元C.144元D.2956元解析:利润y(元)与销售的单价x(元)之间的关系为y=-x2+24x+2956,∴y=-(x-12)2+3100.∵-1<0,∴当x=12时,y有最大值,为3100.故选B.2.某旅社有100张床位,每床每晚收费10元时,床位可全部租出;若每床每晚收费提高2元,则减少10张床位租出;若每床每晚收费再提高2元,则再减少10张床位租出.以每次提高2元的这种方法变化下去,为了投资少而获利大,每床每晚收费应提高()A.4元或6元B.4元C.6元D.8元解析:设每床每晚收费应提高x个2元,获得利润为y元,根据题意得y=(10+2x)(100-10x)=-20x2+100x+1000=-20+1125.∵x取整数,∴当x=2或3时,y最大,当x=3时,每床收费提高6元,床位最少,即投资少,∴为了投资少而获利大,每床每晚收费应提高6元.故选C.3.某产品进货单价为90元,按100元一件出售时,能售500件,如果这种商品每涨1元,其销售量就减少10件,为了获得最大利润,其单价应定为.解析:设应涨价x元,则所获利润为y=(100+x)(500-10x)-90×(500-10x)=-10x2+400x+5000=-10(x2-40x+400)+9000=-10(x-20)2+9000,可见当涨价20元,即单价为100+20=120元时获利最大.故填120元.4.(2014·沈阳中考)某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件.若使利润最大,每件的售价应为元.解析:设最大利润为w元,则w=(x-20)(30-x)=-(x-25)2+25.∵20≤x≤30,x为整数,∴当x=25时,w 有最大值,为25.故填25.5.每年六、七月份,南方某市荔枝大量上市,今年某水果商以5元/千克的价格购进一批荔枝进行销售,运输过程中质量损耗5%,运输费用是0.7元/千克,假设不计其他费用.(1)水果商要把荔枝售价至少定为多少才不会亏本?(2)在销售过程中,水果商发现每天荔枝的销售量m(千克)与销售单价x(元)之间满足关系:m=-10x+120,那么当销售单价定为多少时,每天获得的利润w最大?解:(1)设购进荔枝k千克,荔枝售价定为y元/千克时,水果商才不会亏本,由题意,得y·k(1-5%)≥(5+0.7)k.∵k>0,∴95%y≥5.7,∴y≥6.∴水果商要把荔枝售价至少定为6元/千克才不会亏本.(2)由(1)可知,每千克荔枝的平均成本为6元,由题意得w=(x-6)m=(x-6)(-10x+120)=-10(x-9)2+90,∵a=-10<0,∴当x=9时,w有最大值.∴当销售单价定为9元时,每天可获利润w最大.第2课时用二次函数知识解决实际问题的基本思路:(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系;(3)用数学的方式表示它们之间的关系;(4)利用二次函数求解;(5)检验结果的合理性.一、教材作业【必做题】1.教材第49页随堂练习.2.教材第50页习题2.9第1,2题.【选做题】教材第50页习题2.9第3题.二、课后作业【基础巩固】1.学校商店销售一种练习本所获得的总利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式为y=-2(x-2)2+48,则下列叙述正确的是()A.当x=2时,利润有最大值48元B.当x=-2时,利润有最大值48元C.当x=2时,利润有最小值48元D.当x=-2时,利润有最小值48元2.一件工艺品进价为100元,按标价135元售出,每天可售出100件.若每降价1元出售,则每天可多售出4件.要使每天获得的利润最大,每件需降价()A.5元B.10元C.12元D.15元3.某民俗旅游村为接待游客住宿需要,开设了有100张床位的旅馆,当每张床位每天收费100元时,床位可全部租出.若每张床位每天收费提高20元,则相应地减少了10张床位租出.如果每张床位每天以20元为单位提高收费,为使租出的床位少且租金高,那么每张床位每天最合适的收费是元.4.(2015·营口中考)某服装店购进单价为15元的童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为25元时,平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元,平均每天能多售出4件,当每件的定价为元时,该服装店平均每天的销售利润最大.【能力提升】5.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y (单位:万元)与销售量x (单位:辆)之间分别满足:y 1=-x 2+10x ,y 2=2x ,若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车,则能获得的最大利润为()A.30万元B.40万元C.45万元D.46万元6.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价0.1元/千克,每天可多售出40千克.另外,每天的房租等固定成本共24元,为了减少库存,该经营户要想每天盈利200元,应将每千克小型西瓜的售价降低()A.0.2元或0.3元B.0.4元C.0.3元D.0.2元7.某商场购进一种每件价格为100元的新商品,在商场试销发现:销售单价x(元)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系.(1)求出y与x之间的函数关系式;(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式.若你是商场负责人,会将售价定为多少,来保证每天获得的利润最大?最大利润是多少?8.(2015·汕尾中考)九年级数学兴趣小组经过市场调查,得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表:售价/(元/100110120130件)…月销量/200180160140件…已知该运动服的进价为每件60元,设售价为x元.(1)请用含x的式子表示:①销售该运动服每件的利润;②月销量.(2)设销售该运动服的月利润为y元,那么售价为多少时,当月的利润最大?最大利润是多少?【拓展探究】9.(2015·舟山中考)某企业接到一批粽子生产任务,按要求在15天内完成,约定这批粽子的出厂价为每只6元,为按时完成任务,该企业招收了新工人,设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只,y与x 满足下列关系式:y=(1)李明第几天生产的粽子数量为420只?(2)设第x天粽子的成本是p元/只,p与x之间的关系可用如图所示的函数图象来刻画.若李明第x 天创造的利润为w元,求w与x之间的函数表达式,并求出第几天的利润最大,最大利润是多少元?(利润=出厂价-成本)(3)设(2)小题中第m天利润达到最大值,若要使第(m+1)天的利润比第m天的利润至少多48元,则第(m+1)天每只粽子至少应提价几元?【答案与解析】1.A(解析:在y=-2(x-2)2+48中,当x=2时,y有最大值,是48.)2.A(解析:设每件降价x元,利润为y元,每件的利润为(135-100-x)元,每天售出的件数为(100+4x)件,=3600.)由题意,得y=(135-100-x)(100+4x)=-4x2+40x+3500=-4(x-5)2+3600,∵a=-4<0,∴当x=5时,y最大3.160(解析:设每张床位提高x个20元,每天收入为y元.则有y=(100+20x)(100-10x)=-200x2+1000x+10000.当x=-==2.5时,可使y有最大值.又x为整数,则当x=2时,y=11200;当x=3时,y=11200.故为使租出的床位少且租金高,每张床收费100+3×20=160(元).)4.22(解析:设定价为x 元,根据题意得平均每天的销售利润y =(x -15)·[8+2(25-x )]=-2x 2+88x -870,∴y =-2x 2+88x -870=-2(x -22)2+98.∵a =-2<0,∴抛物线开口向下,∴当x =22时,y 最大值=98.故填22.)5.D (解析:设在甲地销售x 辆,则在乙地销售(15-x )辆,根据题意得出:W =y 1+y 2=-x 2+10x +2(15-x )=-x 2+8x +30=-(x -4)2+46,∴最大利润为46万元.)6.C (解析:设应将每千克小型西瓜的售价降低x 元.根据题意,得(3-2-x )-24=200.解这个方程,得x 1=0.2,x 2=0.3.∵要减少库存,且200+>200+,∴应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元.)7.解:(1)设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b (k ≠0),由所给函数图象可知解得故y 与x 的函数关系式为y =-x +180.(2)∵y =-x +180,∴W =(x -100)y =(x -100)(-x +180)=-x 2+280x -18000=-(x -140)2+1600.∵a =-1<0,∴当x =140时,W 最大=1600,∴售价定为140元/件时,每天获得的利润最大,最大利润为1600元.8.解:(1)①销售该运动服每件的利润是(x -60)元.②设月销量w 与x 的关系式为w =kx +b ,由题意得解得∴w =-2x +400.∴月销量为(-2x +400)件.(2)由题意得y =(x -60)(-2x +400)=-2x 2+520x -24000=-2(x -130)2+9800,∴售价为130元时,当月的利润最大,最大利润是9800元.9.解:(1)设李明第n 天生产的粽子数量为420只,由题意可知30n +120=420,解得n =10.答:第10天生产的粽子数量为420只.(2)由图象得当0≤x ≤9时,p =4.1;当9≤x ≤15时,设p =kx +b ,把点(9,4.1),(15,4.7)代入,得解得∴p =0.1x +3.2.①当0≤x ≤5时,w =(6-4.1)×54x =102.6x ,当x =5时,w 最大=513(元);②当5<x ≤9时,w =(6-4.1)×(30x +120)=57x +228,∵x 是整数,∴当x =9时,w 最大=741(元);③当9<x ≤15时,w =(6-0.1x -3.2)×(30x +120)=-3x 2+72x +336,∵a =-3<0,∴当x =-=12时,w 最大=768元.综上所述,第12天的利润最大,最大利润为768元.(3)由(2)可知m =12,m +1=13,设第13天每只粽子提价a元,由题意得w=[6+a-(0.1×13+3.2)](30×13+120)=510(a+1.5),∴510(a+1.5)-768≥48,解得a≥130.1.答:第13天每只粽子至少应提价0.1元.本节课设计了以生活场景引入问题,通过探索思考解决问题的教学思路.由于本节课较为抽象,学生直接解决比较困难,因此,在导入问题中,让学生初步接触“何时获得最大利润”这一问题,引导学生分析问题,初步掌握数学建模的方法,然后再放手给学生自主解决问题,并充分发挥小组的合作作用,以“兵教兵”的方式突破难点.在教学过程中,重点关注了学生能否将实际问题表示为函数模型,是否能运用二次函数知识解决实际问题并对结果进行合理解释,加强了学生在教师引导下的独立思考和积极讨论的训练,并注意整个教学过程中给予学生适当的评价和鼓励,收到了非常好的教学效果.对学情估计不足.原本认为学生的计算能力不错,但实际在解题过程中却出现了很多问题.今后还要在计算方法和技巧方面对学生多加以指导,加强学生建立函数模型的意识.随堂练习(教材第49页)解:设销售单价为x元(30≤x<50),销售利润为y元,则y=(x-20)[400-20(x-30)]=-20x2+1400x-20000=-20(x-35)2+4500.当x=35时,y=4500.所以当销售单价为35元时,半月内可以获得的利润最大,最大最大利润为4500元.习题2.9(教材第50页)1.解:设旅行团的人数是x人,营业额为y元,则y=[800-10(x-30)]x=-10x2+1100x=-10(x-55)2+30250,当x=55时,y=30250.答:当旅行团的人数为55人时,旅行社可以获得最大的营业额,为30250元.最大值2.解:设销售单价为x(x≥10)元,每天所获销售利润为y元,则y=(x-8)[100-10(x-10)]=-10x2+280x-=360.答:将销售单价定为14元,才能使每天所获销售利润1600=-10(x-14)2+360,所以当x=14时,y最大值最大,最大利润为360元.3.解:y=x2-13x+42.25+x2-11.8x+34.81+x2-12x+36+x2-13.4x+44.89+x2-9x+20.25=5x2-59.2x+178.2=5(x2-11.84x+35.64)=5[(x-5.92)2+0.5936]=5(x-5.92)2+2.968,当x=5.92时,y的值最小,所以大麦穗长的最佳近似长度为5.92cm.利润问题之前已经有所接触,所以学生课前要熟练掌握进价、销售价、利润之间的关系.找出实际问题中的等量关系是前提,会把二次函数的一般式转化为顶点式是保障,而能熟练运用转化的数学思想方法把实际问题转化为数学问题是运用二次函数解决实际应用问题的关键,所以在解题的过程中要及时总结归纳出用二次函数知识解决实际问题的基本思路,并总结出销售利润问题的数学模型,提高解决此类问题的综合能力.某班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表:时间x/天1≤x<5050≤x≤90售价/(元/x+4090件)每天销量/200-2x件已知该商品的进价为每件30元,设销售该商品的每天利润为y元.(1)求出y与x的函数关系式;(2)销售该商品第几天时,当天销售利润最大?最大利润是多少?(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于4800元?请直接写出结果.〔解析〕(1)根据(售价-进价)×数量=利润,可得答案.(2)根据分段函数的性质,可分别得出最大值,根据有理数的比较,可得答案.(3)根据二次函数值大于或等于4800,一次函数值大于或等于4800,可得不等式组,然后解不等式组,可得答案.解:(1)当1≤x<50时,y=(200-2x)(x+40-30)=-2x2+180x+2000.当50≤x≤90时,y=(200-2x)(90-30)=-120x+12000.综上所述,y=(2)当1≤x<50时,二次函数的图象开口向下,二次函数图象的对称轴为直线x=45,=-2×452+180×45+2000=6050.当x=45时,y最大当50≤x≤90时,y随x的增大而减小,=6000.当x=50时,y最大综上所述,销售该商品第45天时,当天销售利润最大,最大利润是6050元.(3)当20≤x≤60时,即共41天,每天销售利润不低于4800元.。
