2019—2020年最新高中数学苏教版必修一2.5.1《函数的零点》课堂同步练习题.doc

2.5.1 函数的零点
教学目标：
1．理解函数的零点的概念，了解函数的零点与方程根的联系．
2．理解“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”这一结论的实质，并运用其解决有关一元二次方程根的分布问题．
3．通过函数零点内容的学习，分析解决对一元二次方程根的分布的有关问题，转变学生对数学学习的态度，加强学生对数形结合、分类讨论等数学思想的进一步认识．
教学重点：
函数零点存在性的判断．
教学难点：
数形结合思想，转化化归思想的培养与应用．
教学方法：
的零点及不等式f (x )＞0与f (x )＜0
例2 求证：二次函数y ＝2x 2＋3x －7有两个不同的零点． 例3 判断函数f (x )＝x 2－2x －1在区间(2，3)上是否存在零点？ 例4 求证：函数f (x )＝x 3＋x 2＋1在区间(－2，－1)上存在零点． （3）二次函数y ＝2x 2＋px ＋15的一个零点是－3，则另一个零点是 ； （4）已知函数f (x )＝x 3－3x ＋3在R 上有且只有一个零点，且该零点在区间[t ，t ＋1]上，则实数t ＝___ __．
五、要点归纳与方法小结
1．函数零点的概念、求法．
2．函数与方程的相互转化，即转化思想；以及数形结合思想．六、作业
课本P
－习题1，2．
81。

§2.5 函数与方程2．5.1 函数的零点课时目标 1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数，理解二次函数的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的存在性定理．1．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应的ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系2.一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的______．3．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的________，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的______．4．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有______⇔函数y＝f(x)有______．函数零点的存在性的判断方法若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．一、填空题1．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点个数是________．2．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法不正确的是________．(填序号)①若f(a)f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0；②若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0；③若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c ∈(a ，b)使得f(c)＝0；④若f(a)f(b)<0，有可能不存在实数c ∈(a ，b)使得f(c)＝0.3．若函数f(x)＝ax ＋b(a ≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx 2－ax 的零点是________．4．已知函数y ＝f(x)是偶函数，其部分图象如图所示，则这个函数的零点至少有________个．5．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x>0零点的个数为________．6．已知函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则实数b 的取值范围是________．7．已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有______个零点，这几个零点的和等于______．8．函数f(x)＝lnx －x ＋2的零点个数为________． 9．根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个实根所在的区间为(k ，k ＋1)(k ∈N)，则k 的值为________.10．证明：方程x 4－4x －2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．11．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围． 能力提升 12．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2， x>0，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则方程f(x)＝x 的解的个数是_______________________．13．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围．2．5.1 函数的零点知识梳理1．2个1个0个2个1个 2.零点 3.实数根横坐标4．交点零点作业设计1．2个解析方程ax2＋bx＋c＝0中，∵ac<0，∴a≠0，∴Δ＝b2－4ac>0，即方程ax2＋bx＋c＝0有2个不同实数根，则对应函数的零点个数为2个．2．①②④解析对于①，可能存在根；对于②，必存在但不一定唯一；④显然不成立．3．0，－1 2解析∵a≠0,2a＋b＝0，∴b≠0，ab＝－12.令bx2－ax＝0，得x＝0或x＝ab＝－12.4．4解析由图象可知，当x>0时，函数至少有2个零点，因为偶函数的图象关于y轴对称，故此函数的零点至少有4个．5．2解析x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3.x>0时，f(x)＝lnx－2在(0，＋∞)上递增，f(1)＝－2<0，f(e3)＝1>0，∴f(1)f(e3)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．综上，f(x)在R上有2个零点．6．(－∞，0)解析设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，则由f(0)＝0可得d ＝0，f(x)＝x(ax2＋bx＋c)＝ax(x－1)(x－2)⇒b＝－3a，又由x∈(0,1)时f(x)>0，可得a>0，∴b<0.7．3 0解析∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0)上也单调递增，由f(2)＝－f(－2)＝0.因此在(0，＋∞)上只有一个零点，综上f(x)在R上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0.8．2解析该函数零点的个数就是函数y＝lnx与y＝x－2图象的交点个数．在同一坐标系中作出y＝lnx与y＝x－2的图象如下图：由图象可知，两个函数图象有2个交点，即函数f(x)＝lnx －x ＋2有2个零点．9．1解析 设f(x)＝e 2－(x ＋2)，由题意知f(－1)<0，f(0)<0，f(1)<0，f(2)>0，所以方程的一个实根在区间(1,2)内，即k ＝1.10．证明 设f(x)＝x 4－4x －2，其图象是连续曲线． 因为f(－1)＝3>0，f(0)＝－2<0，f(2)＝6>0. 所以在(－1,0)，(0,2)内都有实数解．从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解． 11．解 令f(x)＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧m>0f 4<0或⎩⎪⎨⎪⎧m<0f 4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧m>026m ＋38<0或⎩⎪⎨⎪⎧m<026m ＋38>0，解得－1913<m<0.12．3解析由已知⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝c ，4－2b ＋c ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝2.∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2， x>0.当x ≤0时，方程为x 2＋4x ＋2＝x ， 即x 2＋3x ＋2＝0， ∴x ＝－1或x ＝－2； 当x>0时，方程为x ＝2， ∴方程f(x)＝x 有3个解．13．解 设f(x)＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1.∵方程f(x)＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，∴⎩⎨⎧f0>0f 1<0f2>0，即⎩⎨⎧2k －1>01＋k －2＋2k －1<04＋2k －4＋2k －1>0∴12<k<23.。

（新课标）2018-2019学年度苏教版高中数学必修一函数的零点1．函数y ＝2x 2－4x －3的零点个数是________．2．若方程2ax 2－x －1＝0在(0,1)内恰有一解，则a 的取值范围是________．3．若函数f(x)＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx 2－ax －1的零点是________．4．已知方程x 2＋(a －1)x ＋(a －2)＝0的一个根比1大，另一个根比1小，则a 的取值范围是________．5．函数223,0,()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点个数为________． 6．设函数y ＝x 3与21()2x y -=的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的端点为整数的区间是______．7．求证：方程5x 2－7x －1＝0的根一个在区间(－1,0)上，另一个在区间(1,2)上．8．已知函数y ＝2x 2＋bx ＋c 在3(,)2-∞-上是单调减函数，在3(,)2-+∞上是单调增函数，且两个零点是x 1、x 2，满足|x 1－x 2|＝2，求这个二次函数的解析式．9 若函数f(x)＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，求实数m 的取值范围．参考答案1．2 解析：∵Δ＝(－4)2－4×2×(－3)＝40＞0，∴方程2x 2－4x －3＝0有两个不相等的实数根，即函数y ＝2x 2－4x －3有两个零点．2．(1，＋∞) 解析：令f(x)＝2ax 2－x －1，∵方程在(0,1)内恰有一个解，∴f(x)与x 轴在(0,1)内恰有一个交点，∴f(0)·f(1)＜0，即－1·(2a －2)＜0，∴a ＞1.3．12-，13- 解析：由题意可知，2,3是方程x 2－ax －b ＝0的两根，由根与系数的关系知，a ＝2＋3＝5，－b ＝2×3，b ＝－6，∴g(x)＝－6x 2－5x －1＝－(2x ＋1)(3x ＋1)，令g(x)＝0，得12x =-，或13x =-，∴函数g(x)的零点为12-，13-. 4．(－∞，1)解析：方程一根比1大，一根比1小，即函数f(x)＝x 2＋(a －1)x ＋(a －2)的零点一个在(1,0)点的右侧，一个在(1,0)点的左侧，画出f(x)的大致图象如图所示，由题意，得f(1)＜0，即1＋(a －1)·1＋(a －2)＜0，解得a ＜1.5．2 解析：由f(x)＝0，得20,230x x x ≤⎧⎨+-=⎩或0,2ln 0,x x >⎧⎨-+=⎩解之可得x ＝－3或x ＝e 2，故零点个数为2.6．(1,2) 解析：法一：设()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()02100402f -⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，()13111102f -⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，()03122702f ⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，()13113326022f ⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，由f(1)·f(2)＜0.知f(x)在(1,2)上有零点(f(x)图象在(1,2)上连续)．∴x 0∈(1,2)．法二(图象法)在同一坐标系内画出两个函数的图象如图，由图象知x 0∈(1,2)．7．解：设f(x)＝5x 2－7x －1，则f(－1)·f(0)＝11×(－1)＝－11＜0，f(1)·f(2)＝(－3)×5＝－15＜0.而二次函数f(x)＝5x 2－7x －1是连续的，所以f(x)在(－1,0)和(1,2)上各有一个零点，即方程5x 2－7x －1＝0的根一个在(－1,0)上，另一个在(1,2)上．8．解：由题意3222b x =-=-⨯，∴b ＝6.故y ＝2x 2＋6x ＋c. 又由韦达定理，得x 1＋x 2＝－3，122c x x =， ∴()21212124922x x x x x x c -=+-=-=. ∴52c =. 经检验2564202∆=-⨯⨯>，符合题意． ∴所求二次函数为25262y x x =++. 9．解：∵f(0)＝1，∴(1)当m＝0时，f(x)＝－3x＋1＝0的根为13x=>，适合题意；(2)当m＜0时，f(x)的图象开口向下，且f(0)＝1＞0，∴f(x)的图象必与x轴正半轴有交点，满足题意；(3)当m＞0时，要使f(x)图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，必须满足()2340,0,30,2m mmmm⎧⎪∆=--≥⎪>⎨⎪-⎪->⎩∴91,0,0 3.m mmm≥≤⎧⎪>⎨⎪<<⎩或∴0＜m≤1.综上，可得m∈(－∞，1]．。

2019-2020年高中数学苏教版必修一2.5.1《函数的零点》word 学案1．函数零点的概念． 对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点．例如：y ＝2x ＋1的函数图象与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 ，有一个零点是－12． 二次函数y ＝x 2－x －2函数图象与x 轴的交点为(－1，0)，(2，0) ，有两个零点是－1与2．2．函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根，亦即函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．例如：已知函数f (x )的零点为x ＝3，则方程f (x )＝0的实数根为x ＝3，亦即函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标为3．3．方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． 4．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么函数y ＝f (x )在(a ，b )内有零点．例如：二次函数f (x )＝x 2－2x －3的图象：f (－2) ·f (1)＜0(填“＜”或“＞”)．在区间(－2，1)上有零点．5．零点是“数”，而不是“点”，如函数f (x )＝3x －2的零点是23，而不是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0.,一、二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系结合二次函数的图象及零点的定义可知，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的零点就是相应方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，也是相应不等式ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)或ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)的解集的端点．二、零点的存在性的判断1．判断方程在某区间内是否有解，主要依据有两点，一是该方程相应的函数在区间内是否连续；二是在区间端点处函数值是否异号．即连续函数在区间端点处函数值异号，则相应方程在区间内一定有解，如若同号，则无法确定是否有解．2．若f (x )满足零点存在定理， 只能说明f (x )在(a ，b )上至少有一个零点，不能具体判断零点的个数．3．零点存在定理的逆定理不成立，即若f (x )在(a ，b )上有零点，不一定有f (a )f (b )<0.如f (x )＝x 2－1在(－2，2)上有零点，1和－1，但f (－2)f (2)＝9>0.基础巩固1．若x 0是方程lg x ＋x ＝2的解，则x 0属于区间(D ) A ．(0，1) B ．(1，1.25)C ．(1.25，1.75)D ．(1.75，2)解析：设f (x )＝lg x ＋x －2，则f (1.75)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫74＝lg 74－14<0，f (2)＝lg 2>0.2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为(C )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 解析：x ≤0时由x 2＋2x －3＝0⇒x ＝－3；x >0时由－2＋ln x ＝0⇒x ＝e 2.3．设函数f (x )＝x 2－x ＋a (a >0)，若f (m )<0，则(A ) A ．f (m －1)>0 B ．f (m －1)<0 C ．f (m －1)＝0D ．f (m －1)与0的大小不能确定 解析：结合图象易判断．4．(2014·北京卷)f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是(C )A ．(0，1) B. (1，2) C. (2，4) D ．(4，＋∞)解析：利用零点存在性定理，验证f (x )在各区间端点处的函数值的符号．由题意知，函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，又f (1)＝6－0＝6＞0，f (2)＝3－1＝2＞0，f (4)＝64－log 24＝32－2＝－12＜0，由零点存在性定理，可知函数f (x )在区间(2，4)上必存在零点．5．函数f (x )＝4x －2x ＋1－3的零点是________．解析：由4x －2x ＋1－3＝0⇒(2x ＋1)(2x －3)＝0⇒2x＝3，∴x ＝log 23. 答案：log 23 6．函数f (x )＝(x －1)(x 2－3x ＋1)的零点是________________________________________________________________________．解析：利用定义可求解．答案：1，3±527．若函数y ＝x 2－ax ＋2有一个零点为1，则a 等于________． 解析：由零点定义可求解． 答案：38．已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0且a ≠1)，当2<a <3<b <4时，函数f (x )的零点为x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈N *)，则n ＝________．解析：根据f (2)＝log a 2＋2－b <log a a ＋2－3＝0， f (3)＝log a 3＋3－b >log a a ＋3－4＝0， ∴x 0∈(2，3)，故n ＝2. 答案：29．证明：方程x ·2x＝1至少有一个小于1的正根．证明：令f (x )＝x ·2x－1， 则f (x )在区间(－∞，＋∞)上的图象是一条连续不断的曲线．当x ＝0时，f (x )＝－1<0.当x ＝1时，f (x )＝1>0.f (0)·f (1)<0，故在(0，1)内至少有一个x 0，当x ＝x 0时，f (x )＝0.即至少有一个x 0，满足0<x 0<1，且f (x 0)＝0，故方程x ·2x＝1至少有一个小于1的正根．10．求函数y ＝(x 2－x )2＋32(x －x 2)＋60的零点解析：由(x 2－x )2＋32(x －x 2)＋60＝0得(x 2－x －2)(x 2－x －30)＝0⇒x 2－x －2＝0或x2－x －30＝0，由x 2－x －2＝0得x ＝－1或2，由x 2－x －30＝0得x ＝－5或6，∴原函数的零点为－1，2，－5，6..能力提升11．实数a ，b ，c 是图象连续不断的函数y ＝f (x )的定义域中的三个数，且满足a <b <c ，f (a )·f (b )<0，f (b )·f (c )<0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，c )上的零点个数是(C)A ．2个B ．奇数个C ．偶数个D ．至多2个解析：由函数零点存在性判定定理并结合图象可得．12．(2014·天津卷)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围是________．解析：在同一坐标系中，分别作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象，将方程根的个数问题转化为两图象交点的个数问题求解．设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|，在同一平面直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象如图所示．由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图象有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a （1－x ）有两组不同解．消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0有两个不等实根，所以Δ＝(3－a )2－4a ＞0，即a 2－10a ＋9＞0. 解得a ＜1或a ＞9.又由图象得a ＞0，∴0＜a ＜或a ＞9. 答案：(0，1)∪(9，＋∞)13．已知函数y ＝f (x )是偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则函数所有零点之和是________．解析：由偶函数图象对称性的特点，结合函数零点的定义可得． 答案：014．(2013·天津卷)函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为________．解析：由2x|log 0.5x |－1＝0⇒|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，画出y ＝|log 0.5x |和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，可知它们有两个交点．答案：2个15．求证：函数f (x )＝2x－2－xx ＋1在(0，1)内有且只有一个零点． 证明：f (x )＝2x－2－x x ＋1＝2x ＋1－3x ＋1(x ≠1)．设－1＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－3x 1＋1－2x 2＋3x 2＋1＝2x 1－2x 2＋3（x 1－x 2）（x 1＋1）（x 2＋1）.∵－1＜x 1＜x 2，∴2x 1－2x 2＜0，x 1－x 2＜0，x 1＋1＞0，x 2＋1＞0.∴2x 1－2x 2＋3（x 1－x 2）（x 1＋1）（x 2＋1）＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．∴f (x )在(－1，＋∞)上是增函数．而f (0)＝20－2＝－1<0，f (1)＝21－12＝32>0，即f (0)·f (1)<0.所以函数f (x )在区间(0，1)内有零点且只有一个零点．16．已知x 0是函数f (x )＝2x＋11－x的一个零点，若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，试判断f (x 1)和f (x 2)的符号．解析：由2x ＋11－x ＝0⇒2x ＝1x －1，分别画出g (x )＝2x和h (x )＝1x －1的图象，可见当x 1∈(1，x 0)时，h (x 1)>g (x 1)，∴f (x 1)＝g (x 1)－h (x 1)<0；当x 2∈(x 0，＋∞)时，g (x 2)>h (x 2)，∴f (x 2)＝g (x 2)－h (x 2)>0.故f (x 1)为负数，f (x 2)为正数．17．若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根在(－2，0)内，另一个根在(1，3)内，求实数a 的取值范围．解析：令f (x )＝3x 2－5x ＋a ，由已知： ⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）>0，f （0）<0，f （1）<0，f （3）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧12＋10＋a >0，a <0，3－5＋a <0，27－15＋a >0，解得：－12<a <0.∴a 的取值范围是{a |－12＜a ＜0}．18．对于函数f (x )，若存在x 0∈R ，使f (x 0)＝x 0成立，则称x 0为f (x )的不动点．已知函数f (x )＝ax 2＋(b ＋1)x ＋(b －1)(a ≠0)．(1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的不动点；(2)若对任意实数b ，函数f (x )恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围．解析：(1)因为a ＝1，b ＝－2，所以f (x )＝x 2－x －3.所以x 2－x －3＝x ，解得f (x )的不动点为－1，3.(2)函数f (x )恒有两个相异的不动点，则函数f (x )＝x ，即ax 2＋bx ＋(b －1)＝0(a ≠0)有两个零点．则Δ1＝b 2－4a (b －1)>0(b ∈R )恒成立，即b 2－4ab ＋4a >0(b ∈R )．∴Δ2＝16a2－16a<0，解得0<a<1.故当b∈R，函数f(x)恒有两个相异的不动点时，a的取值范围为{a|0<a<1}．。