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LINEAR ALGEBRA 线性代数山东科技大学刘洪霞5.4对称矩阵的特征值与特征向量的性质设 A 为 n 阶方阵，如果满足，即那么 A 称为对称矩阵，简称对称阵.(),1,2,,ij ji a a i j n ==T A A =1261680106A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭0110A -⎛⎫= ⎪⎝⎭21101A E λλλλ---==+=-iλ=±性质1 实对称矩阵的特征值都是实数.例如因为A 是n 阶实对称矩阵，323530A A A E -+-=求A 的特征值.323530λλλ-+-=设A 是n 阶实对称矩阵例1 1,12,12i iλλλ==+=-解得 所以 1.λ=即A 的全部特征值为1. 解 设 为A 的任一特征值，则 λ性质2 设 λ1 , λ2 是对称矩阵 A 的两个特征值,p 1 , p 2 是对应的特征向量, 若 λ1 ≠ λ2 , 则 p 1 , p 2 正交.λ1p 1 = Ap 1 , λ2p 2 = Ap 2 , λ1 ≠ λ2 . 证明 内积 p 1T p 2 = 0(λ1p 1)T = (Ap 1)T λ1p 1T = = p 1T A T =p 1T A ,= p 1T (λ2 p 2 ) λ1 p 1T p 2 = p 1T A p 2 = λ2 p 1T p 2 ,即 (λ1 -λ2 )p 1T p 2 = 0 .但 λ1 ≠ λ2 , 故 p 1T p 2 = 0, 即 p 1 与 p 2 正交.于是设A 是4阶实对称矩阵,且12[,]0αα=例1 11,A αα=22,A αα=-1(1,2,,3),T t α=-2(2,1,3,1),T t α=---求 t .1λ=1λ=-解 ()211,2,,3031t t ⎛⎫ ⎪- ⎪-= ⎪- ⎪-⎝⎭22(1)330t t +--+=3t =性质3 实对称矩阵 A 的 k 重特征值对应的线性无关的特征向量恰有k 个.231λλ==()0.A E x -=时，解方程 当 2121p -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭得基础解系 例如 110430102A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭1232, 1.λλλ=== 的特征值为 二重根只有一个性质3实对称矩阵A 的k 重特征值对应的线性无关的特征向量恰有k 个. 性质4 n 阶实对称矩阵 A 必有n 个线性无关的特征向量.结论实对称矩阵一定与对角矩阵相似.例2 下列矩阵中,不能相似于对角矩阵的是( ) 001010100A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭111022003B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭121242121C -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭212533102D -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭(A ) (B ) (C ) (D ) 实对称矩阵 1,2,3有三个不同的特征值 1232,0λλλ=-==0有两个线性无关的特征向量 是3重特征值 1λ=-但只有一个线性无关的特征向量 D判别一个矩阵是否相似于对角矩阵的步骤:(1) 是否是实对称矩阵，实对称矩阵一定相似于对角矩阵;(2) 特征值是否都是实单根，若是，则相似于对角矩阵;(3) 特征值是k 重根时若对应有k个线性无关的特征向量，则相似于对角矩阵；若对应的线性无关的特征向量少于k个(不可能多于k个)，则不能相似于对角矩阵.例3 设A 为三阶实对称矩阵，A 的特征值为 , , 且矩阵A 的对应于特征值 的特征向量为对应于特征值的一个特征向量为 18,λ=23 2.λλ==(1,,1),Ta (1,1,1).T 18λ=232λλ==(1)求参数 a 及特征值 对应的另一个线性无关的特征向量；(2)求矩阵 A . 232λλ==1(1,,1)101a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解（1） 232λλ==设 对应的另一个线性无关的特征向量为 123(,,),T x x x 123123200x x x x x x -+=⎧⎨++=⎩则 (1,0,1),T -该方程组的基础解系为则 即为所求. (1,0,1)T-110a ++= 2.a =-(2) 令 111210,111P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭183212262.2123A P P --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1822P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则 所以1P AP -=Λ1A P P -=Λ性质1实对称矩阵的特征值都是实数.性质2实对称矩阵的相异特征值所对应的特征向量必正交.性质3实对称矩阵A 的k 重特征值对应的线性无关的特征向量恰有k 个.结论实对称矩阵一定与对角矩阵相似.感谢观看THANK YOU。
