直线与圆的位置关系(1)

直线与圆的位置关系:直线与圆的位置关系有三种：直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离。

（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点AB与⊙O相交，d<r；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。

AB与⊙O相切，d=r。

（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离,AB与圆O相离，d>r。

（d为圆心到直线的距离）直线与圆的三种位置关系的判定与性质：（1）数量法：通过比较圆心O到直线距离d与圆半径的大小关系来判定，如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：直线l与⊙O相交d<r；直线l与⊙O相切d=r；直线l与⊙O相离d>r；（2）公共点法：通过确定直线与圆的公共点个数来判定。

直线l与⊙O相交d<r2个公共点；直线l与⊙O相切d=r有唯一公共点；直线l与⊙O相离d>r无公共点。

圆的切线的判定和性质（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

直线与圆的位置关系判定方法:平面内，直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）/B，（其中B不等于0），代入x2+y2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程如果b2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

如果b2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

如果b2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x2+y2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）2+（y-b）2=r2。

直线与圆的位置关系知识要点：1．直线和圆的位置关系如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，那么： （1）直线l 和相交⇔d ＜r ，直线和圆有两个交点； （2）直线l 和⊙O 相切⇔d=r ，直线和圆只有一个交点； （3）直线l 和⊙O 相离⇔d ＞r ，直线和圆没有交点。

2．切线的判定和性质：（1）判定：经过半径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。

（2）性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。

推论；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

3．外切多边形：（1）和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形。

（2）圆的外切四边形的性质：圆外切四边形两组对边的和相等。

4．切线长定理：（1）在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

(1)(2)(3)二星级题：1．已知⊙A 的直径为6，A 点坐标是（－3，－4），则⊙A 与x 轴的位置关系是 ，与y 轴的位置关系是 ，与直线y=x 的位置关系是 。

2．如图所示，已知菱形ABCD ，对角线AC=16，BD=12，以B 点为圆心，以R 为半径作⊙B 与AD 相切。

求⊙B 的半径。

3．已知C 是AB 的中点，D 点在OC 延长线长，AC 平分∠BAD 。

求证：AD 是⊙O 的切线。

三星级题：1．如图，已知同心⊙O ，外⊙O 的弦AB 、AC 切内⊙O 于点M 、N ，过M 、N 两点的直线交外⊙O 于点D 、E 。

求证：∠DAB=∠EDC 。

2．如图，已知等边三角形一边长的高为h ，内切圆半径为r ，求证：h=3r 。

BDE如图所示，已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，以AB 为直径作⊙O 切DC 于E 点。

直线和圆有哪几种位置关系？
答：直线和圆有三种位置关系．它们是直线和圆相交；直线和圆相切；直线和圆相离．
直线和圆的三种位置关系是这样定义的：
(1)直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．
(2)直线和圆有唯一个公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．
(3)直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
根据定义，容易看出：
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么
直线和圆的位置关系可以用它们交点的个数来区分，也可以用圆心到直线的距离与半径的大小来区分，它们是一致的．
直线和圆的位置关系，可用下表表示．
例1 已知⊙O的半径为11厘米，当直线MN与⊙O的位置是相离、相切、相交时，O点到直线MN的距离分别如何？
解⊙O的半径r=11厘米，所以有：
当直线MN与⊙O相离时，圆心O到直线MN的距离d大于半径11厘米．当直线MN与⊙O相切时，圆心O到直线MN的距离d等于11厘米．
当直线MN与⊙O相交时，圆心O到直线MN的距离d小于11厘米．
例2 已知Rt△ABC的斜边AB=6厘米，直角边AC=3厘米．圆心为C，半径分别为2厘米、4厘米的两个圆与AB有怎样的位置关系？半径多长时，AB 与圆相切？
解：过C作CD⊥AB，垂足为D(如图)．
在直角△ABC中，有
根据三角形的面积公式，有
CD·AB=AC·BC．
当⊙C的半径为2厘米时，⊙C与AB相离；
当⊙C的半径为4厘米时，⊙C与AB相交；
由以上两例可以看出：直线和圆的位置关系是由公共点的个数确定的，可以由圆心到直线的距离与圆的半径的关系来决定．。

1、直线与圆的三种位置关系：（1）当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离；（2）当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切。

这时直线叫做圆的切线，唯一公共点叫切点。

（3）当直线与圆有两个公共点（即交点）时，叫做直线与圆相交。

这时直线叫做圆的割线。

2、直线与圆位置关系的数量描述： 如果O 的半径为R ，圆心O 到直线L 的距离为d ，那么（1）直线L 与O 相交⇔0≤d<R （2）直线L 与O 相切⇔d=R （3）直线L 与O 相离⇔d>R3、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

二、例题精讲：例1、如图，在Rt ABC ∆中，ACB=90A=30BC=4∠∠，， （1）以C 为圆心、3为半径的C 与直线AB 有怎样的位置关系？ （2）以C为圆心、3.5为半径的C 与直线AB 有怎样的位置关系？（3）要使C 与直线AB 相切，C 的半径长应该是多少？（4）设C 的半径长为R ，如果C 与直线AB 有公共点，请写出R 的取值范围。

例2、如图，在ABC ∆中，C=90A=30∠∠，，O 是AB 上一点，BO=a ，O 的半径r 为12；问：当a 在什么范围内取值时，直线BC 与O 相离？相切？相交？CBAB例3、如图、已知折线ABCD ，作ABC ∠、DCB ∠的平分线相交于点I ，又作IE BC ⊥，E 是垂足。

以I为圆心、IE 为半径作I（1）请说明I 与BC 必相切。

（2）请问：I 与AB 、CD 都相切吗？为什么？例4、已知AB 是O 的直径，C 是AB 延长线上一点，且BC=OB（1）如图①，过点C 作射线CD ，使30ACD ∠=。

求证：CD 是O 的切线（2）如图②，作弦AP ，使30PAC ∠=，联结CP 。

问：CP 是不是O 的切线？并说明理由。

例5、如图，ABC ∆内接于O ，过点B 作射线BP ，使CBP=BAC ∠∠。

求证：BP 是O 的切线。

第三节直线与圆、圆与圆的位置关系(一)复习目标学法指导1.直线与圆相切.2.直线与圆相交.3.利用相切、相交的条件求参数的范围.4.利用相切、相交求切线长或弦长.1.处理直线与圆相切、相交问题通常有两种方法:(1)代数法由直线与圆的方程组成的方程组消去一个未知数后,所得到的一元二次方程的判别式为Δ,当Δ=0时,直线与圆相切,当Δ>0时,直线与圆相交.(2)几何法设圆心(a,b)到直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的距离为d,则当d=r时,直线与圆相切,当d<r时,直线与圆相交.2.熟练运用“数形结合”,能有效解决本节问题.一、直线与圆的位置关系把直线的方程与圆的方程组成的方程组转化为一元二次方程,其判别式为Δ,设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r.位置关系列表如表:相离相切相交图形量代数观点Δ<0 Δ=0 Δ>0化 几何观点 d>r d=r d<r二、直线被圆截得弦长的求法1.几何法:圆的弦长的计算常用弦心距d 、弦长一半12l 及圆的半径r所构成的直角三角形来解,即2l =22r d -.2.代数法:即利用根与系数的关系及弦长公式. |AB|=21k +|x A -x B |=()()2214AB A B k x x x x ⎡⎤++-⎣⎦.说明:圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.1.概念理解判断直线与圆的位置关系时,若两方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法,若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达式较繁琐,则用代数法,能用几何法,尽量不用代数法. 2.相关结论 (1)圆中弦长的求法 ①用弦长公式21k +1-x 2()22121214k x x x x ++-211k +·|y 1-y 2|;②用垂径定理和勾股定理,在半径、半弦长、弦心距组成的直角三角形中有||2AB 22r d -(2)圆的切线的求法①点P(x 0,y 0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上时,设出切线(分k 存在与否),利用圆心到切线的距离等于半径列出方程;②点P(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=r 2上时,切线方程为x ·x 0+y ·y 0=r 2.(3)圆的直径式方程:以线段AB(A(x 1,y 1),B(x 2,y 2))为直径的圆的方程为(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0.1.圆(x-2)2+y 2=1与直线3x+4y+2=0的位置关系是( C ) (A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)以上三种情况解析:圆(x-2)2+y 2=1的圆心坐标是(2,0),半径是r=1,因为圆心(2,0)到直线3x+4y+2=0的距离d=2325⨯+=85,满足d>r,所以圆(x-2)2+y 2=1与直线3x+4y+2=0的位置关系是相离, 故选C. 2.“3l:y=k(x+2)与圆x 2+y 2=1相切”的( A )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 解析:因为直线l:y=k(x+2)与圆x 2+y 2=1相切, 221k k +所以k=3所以“3l:y=k(x+2)与圆x 2+y 2=1相切”的充分不必要条件. 故选A.3.圆(x+2)2+(y-3)2=9上到直线x+y=0的距离等于2的点有( A ) (A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个 解析:圆的圆心为(-2,3),半径为3, 圆心到直线的距离232-+2,可知2-2<3,2+2<3,由图可知,圆上到直线距离等于2的点共有4个. 故选A.4.已知圆C 的圆心在x 轴上,5且与直线x-2y=0相切,那么圆C 的方程是 . 解析:设圆心C(a,0), 因为圆心在x 轴上,5的圆C 与直线x-2y=0相切,所以圆心到直线x-2y=05a 5所以a=±5,所以圆C 的方程为(x-5)2+y 2=5或(x+5)2+y 2=5 答案:(x-5)2+y 2=5或(x+5)2+y 2=55.点P(x,y)在圆x 2+y 2=1上运动,若a 为常数,且|x+3y+a|+|x+3y-4|的值是与点P 的位置无关的常数,则实数a 的取值范围是 .解析:由题设有对圆上的任意的点P(x,y),总有(x+3y+a)(x+3y-4)≤0,而圆x 2+y 2=1始终在直线x+3y-4=0的下方,所以x+3y-4<0,也就是x+3y+a ≥0,故圆x 2+y 2=1应该在直线x+3y-a=0的上方(可以相切),故1,100,aa ≥>⎩解得a 10.答案10,+∞)考点一 直线与圆的位置关系[例1] (1)在平面直角坐标系xOy 中,直线3x+4y-5=0与圆x 2+y 2=4相交于A,B 两点,则弦AB 的长等于( ) 333 (D)1(2)已知直线l:xcos α+ysin α=1(α∈R)与圆C:x 2+y 2=r 2(r>0)相交,则r 的取值范围是( ) (A)0<r ≤1 (B)0<r<1 (C)r ≥1 (D)r>1(3)一束光线从点A(-1,1)出发经x 轴反射,到达圆C:(x-3)2+(y-2)2=1上一点的最短路程是 ;(4)圆 x 2+y 2=4上的点到直线4x+3y-12=0的最小距离是 .解析:(1)由题意可得,圆心(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离2234+=1,则由圆的性质可得,(||2AB )2=r 2-d 2=3, 即3故选C.(2)圆心到直线的距离为22cos sin αα+=1,故r>1,故选D.(3)根据反射角等于入射角原理,可以得到所求最短路程是点A 关于x 轴的对称点到圆心的距离减去半径,点A 关于x 轴的对称点为(-1,-1),()()223121+++=5,所以所求最短路程为5-1=4.解析:(4)易知该直线与圆相离,圆心到直线的距离为2234+=125,所以圆上的点到直线的最小距离是125-2=25.答案:(1)C (2)D (3)4 答案:(4)25[例2] 设A(1,0),B(0,1),直线l:y=ax,圆C:(x-a)2+y 2=1.若圆C 与线段AB 和直线l 都有公共点,则实数a 的取值范围是 .解析:首先圆C:(x-a)2+y 2=1与线段x+y=1(0≤x ≤1)有公共点,往右最多移至过(1,0),此时a=2,往左最多移至与x+y=1(0≤x ≤1)相切,此时由2=1得a=1-2,所以a 首先要满足1-2≤a ≤2.其次,圆C:(x-a)2+y 2=1与直线l:y=ax 有公共点,所以221a+≤1,得-152+≤a ≤152+.综上,实数a 的取值范围是[1-2,152+].答案:[1-2,152+]判断直线与圆的位置关系时,若两方程已知或圆心到直线的距离易表示,则用几何法,利用d 与r 的关系;若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表示较繁琐,则用代数法,联立方程后利用Δ判断.当正实数m 变化时,斜率不为0的定直线l 始终与圆(x-2m)2+(y+m)2=m 2相切,则直线的方程为 . 解析:l:y=kx+b,21k +=m,即(3k 2+4k)m 2+2b(2k+1)m+b 2=0, 因为该等式对任意m>0成立, 故3k 2+4k=0,2b(2k+1)=0,b 2=0,即k=-43,b=0,则直线的方程为y=-43x.答案:y=-43x考点二直线与圆相交的弦长问题[例3] 已知点P(0,5)及圆C:x2+y2+4x-12y+24=0.(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为43,求l的方程;(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.解:(1)法一圆C的标准方程为(x+2)2+(y-6)2=16,圆心C(-2,6),半径r=4.如图所示3,|AC|=4,设D是线段AB的中点,则CD⊥3,在Rt△ACD中,可得|CD|=2.当直线l的斜率存在时,设所求直线l的斜率为k,则直线l的方程为y-5=kx,即kx-y+5=0,21k+=2,得k=34,此时直线l 的方程为3x-4y+20=0. 又直线l 的斜率不存在时,也满足题意, 此时方程为x=0.所以所求直线l 的方程为3x-4y+20=0或x=0. 法二 当直线l 的斜率存在时, 设斜率为k,则直线l 的方程为y-5=kx, 即y=kx+5.由225,412240,y kx x y x y =+⎧⎪⎨++-+=⎪⎩消去y 得(1+k 2)x 2+(4-2k)x-11=0.(*) 设方程(*)的两根为x 1,x 2,则12212224,111.1k x x k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩,解得k=34,此时直线方程为3x-4y+20=0. 又斜率不存在时也满足题意, 此时直线方程为x=0.所以所求直线的方程为x=0或3x-4y+20=0. 解:(2)设过P 点的圆C 的弦的中点为E(x,y), 则CE ⊥PE, 所以CE u u u r·PE u u u r=0,即(x+2,y-6)·(x,y-5)=0,化简得所求轨迹方程为x 2+y 2+2x-11y+30=0.当直线与圆相交时,讨论直线被圆截得的弦长问题是高考中常见的题型,此时要充分考虑与圆相关的平面几何知识的运用:(1)垂直于弦的直径平分这条弦;(2)圆心与弦的中点连线垂直于这条弦;(3)d 2+(2l )2=r 2.要综合考虑这些几何知识,这样既简单又不容易出错.已知直线l:mx+y+3m-3=0与圆x 2+y 2=12交于A,B 两点,过A,B 分别作l 的垂线与x 轴交于C,D 两点,若|AB|=23,则|CD|=.解析:设AB 的中点为M, 由题意知,圆的半径33所以|OM|=3,由2|33|1m m -+=3,解得3所以直线3由22360,12,x x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得33),则AC 的直线方程为33BD 的直线方程为33x,令y=0,解得C(-2,0),D(2,0),所以|CD|=4. 答案:4考点三 直线与圆相切问题[例4] 一条光线从点(-2,-3)射出,经y 轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,求反射光线所在直线方程.解:由光的反射原理知,反射光线的反向延长线必过点(2,-3), 设反射光线所在直线的斜率为k, 则反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2), 即kx-y-2k-3=0.又因为光线与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切, 所以232231k k k ----+=1,整理得12k 2+25k+12=0,解得k=-43,或k=-34. 从而所求直线方程为y+3=-43(x-2)或y+3=-34(x-2). 如果所求切线过某已知点,务必弄清该点在圆上还是圆外.(1)若点在圆上,那么圆心和该点的连线和切线垂直,从而求得切线的斜率.(2)若点在圆外,过该点的切线有2条,但在设斜率解题时可能只求出一条,这是因为有一条切线斜率不存在.由直线y=x+2上的点向圆(x-4)2+(y+2)2=1引切线,则切线长的最小值为 .解析:根据直线y=x+2上的点到圆的切线长、到圆心的距离、圆的半径三个量的关系知,当直线上的点到圆心的距离最短时,切线长最短.又半径为1,所以最短的切线长为易知圆心到直线的距离为.答案考点四圆中的对称问题[例5] (1)若圆(x+1)2+(y-3)2=9上的相异两点P,Q关于直线kx+2y-4=0对称,则k的值为;(2)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴,过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|等于.解析:(1)圆是轴对称图形,过圆心的直线都是它的对称轴.已知圆的圆心为(-1,3),由题设知,直线kx+2y-4=0过圆心,则k×(-1)+2×3-4=0,解得k=2.解析:(2)由于直线x+ay-1=0是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴,所以圆心C(2,1)在直线x+ay-1=0上,所以2+a-1=0,所以a=-1,所以A(-4,-1).所以|AC|2=36+4=40.又r=2,所以|AB|2=40-4=36.所以|AB|=6.答案:(1)2 (2)6对称圆的半径不变,圆的对称问题实际上是点的对称问题,求解过程中最重要的就是确定圆心.1.已知圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2-6x+6y+14=0关于直线l 对称,则直线l 的方程是( D )(A)x-2y+1=0 (B)2x-y-1=0(C)x-y+3=0 (D)x-y-3=0解析:两圆的圆心分别为(0,0),(3,-3),圆心连线的中点(32,-32),过两圆圆心的直线的斜率为3030---=-1,所以直线l 的斜率为1,所以直线l的方程为y+32=1×(x-32),即x-y-3=0,故选D. 2.已知点P(1,4)在圆C:x 2+y 2+2ax-4y+b=0上,点P 关于直线x+y-3=0的对称点也在圆C 上,则a= ,b= .解析:P(1,4)在圆C 上,所以2a+b+1=0,又点P 关于直线x+y-3=0的对称点也在圆C 上,所以圆心(-a,2)在x+y-3=0上,得a=-1,所以b=1. 答案:-1 1考点五 易错辨析[例6] 对于任意实数m,直线l:y=m(x-1)+b 恒与圆O:x 2+y 2=a 2(a>0)有两个交点,则a,b 满足的条件是 .解析:由题意知,直线l 经过定点M(1,b).又直线l 恒与圆O:x 2+y 2=a 2(a>0)有两个交点,所以点M 在圆O 的内部,所以12+b 2<a 2,即a 2-b 2>1.对直线方程理解不够,不能从方程中发现直线恒过定点;不能很好地使用点M在圆的内部这个条件,而仍然利用圆心到直线的距离小于半径,或结合方程组,利用判别式大于0求解,将会使运算复杂,甚至解不出.1.已知集合A={(x,y)|x,y为实数,且x2+y2=1}, B={(x,y)|x,y为实数,且x+y=1},则A∩B的元素个数为( C )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1解析:法一(直接法)集合A表示圆,集合B表示一条直线,又圆心(0,0)到直线x+y=1的距离d=2=2<1=r,所以直线与圆相交,故选C. 法二(数形结合法)画图可知选项C正确.2.已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B两点,且AC⊥BC,则实数a的值为.解析:由x2+y2+2x-4y-4=0得(x+1)2+(y-2)2=9,所以圆C的圆心坐标为C(-1,2),半径为3,由AC⊥BC,可知△ABC是直角边长为3的等腰直角三角形,故可得圆心C到直线x-y+a=0的距离为32,122a--+32, 解得a=0或a=6.。

直线与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系位置关系有三种：相交、相切、相离．判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：（1）代数法：将直线方程与圆的方程联立成方程组，利用消元法消去一个元后，得到关于另一个元的一元二次方程，求出其∆的值，然后比较判别式∆与0的大小关系．若0∆<，则直线与圆相离；若0∆=，则直线与圆相切；若0∆>，则直线与圆相交．（2）几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系：d r <⇔相交，d r =⇔相切，d r >⇔相离．二、计算直线被圆截得的弦长的常用方法（1）几何方法：运用弦心距、弦长的一半及半径构成的直角三角形计算．（2）代数方法：运用韦达定理及弦长公式2221(1)[()4]A B A B A B AB k x x k x x x x =+-=++-三、圆与圆的位置关系的判定设2222221111122222:()()(0),:()()(0)C x a y b r r C x a y b r r -+-=>-+-=>，则有：12121C C r r C >+⇔与2C 外离；12121C C r r C =+⇔与2C 外切；1212121r r C C r r C -<<+⇔与2C 相交；1212121()C C r r r r C =-≠⇔与2C 内切；12121C C r r C <-⇔与2C 内含； 四、圆的切线方程问题（1）已知22222222123:,:()(),:0,O x y r O x a y b r O x y Dx Ey F +=-+-=++++=则以00(,)M x y 为切点的1O 的切线方程200;xx yy r +=2O 的切线方程200()()()(),x a x a y b y b r --+--=3O 切线方程0000()()022D x xE y y xx yyF ++++++= （2）已知圆的222x y r +=的切线斜率为k ，则圆的切线方程为21y kx r k =±+（3）已知切线过圆外一点11(,)P x y ,可设切线方程为11(),y y k x x -=-利用相切条件确定斜率k ，此时必有两条切线，不能漏掉斜率不存在的那一条切线．（4）切线长公式：从圆外一点00(,)P x y 引圆222()()x a y b r -+-=的切线，则P 到切点的切线段长为22200()()d x x y y r =-+--；从圆外一点00(,)P x y 引圆220x y Dx Ey F ++++=的切线，则P 到切点的切线段长为220000d x y Dx Ey F =++++五、圆系方程（1）同心圆系2220000()(),,x x y y r x y -+-=为常数，r 为参数．（2）圆心共线且半径相等圆系22200()(),x x y y r -+-=r 为常数，圆心00(,)x y 在直线0ax by c ++=上移动．（3）过两已知圆22(,)0(1,2)i i i i f x y x y D x E y F i =++++==的交点的圆系方程为2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=即12(,)(,)0(1)f x y f x y λλ+=≠-．当1λ=-时，方程变为121212()()0,D D x E E y F F -+-+-=表示过两圆的交点的直线（当两圆是同心圆时，此直线不存在），当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的公切线；当两圆相离时，此直线为与两圆连心垂直的直线．（4）过直线与圆交点的圆系方程：直线:0l Ax By C ++=与圆22:0C x y Dx Ey F ++++=相交，则方程22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=表示过直线l 与圆C 的两个交点的圆系方程．题型一、直线与圆相交【例1】 直线10x y -+=与圆()2211x y ++=的位置关系是_________．【例2】 圆222430x x y y +++-=上到直线10x y ++=的距离为2的点共有_________个．【例3】 判断直线210x y -+=和圆2222410x y mx my m +--+-=的位置关系，结论为（ ）A ．相交但直线不过圆心B ．相交且直线过圆心C ．相交或相切D ．相交、相切或相离 【例4】 自点()64P -，向圆2220x y +=引割线，所得弦长为62，则这条割线所在直线的方程是 ．【例5】 直线023=+-y x 被圆224x y +=截得的弦长为_______.【例6】 若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l ：y kx =的距离为22，则k 的取值范围是_________．【例7】 圆22(2)(3)4x y -++=上与直线20x y -+=距离最远的点的坐标是_________．【例8】 若直线l 与圆22(1)4x y ++=相交于A ,B 两点，且线段AB 的中点坐标是(1,2)-，则直线l的方程为 ．题型二、直线与圆相切【例9】 若直线30ax by +-=与圆22410x y x ++-=切于点(12)P -，，则ab 的积为_________． 【例10】 过点()4,4引圆()()22134x y -+-=的切线，则切线长是_________．【例11】 动圆C 经过点)0,1(F ，并且与直线1-=x 相切，若动圆C 与直线122++=x y 总有公共点，则圆C 的面积（ ）A ．有最大值8πB ．有最小值2πC ．有最小值3πD ．有最小值4π【例12】 求过点(24)A ，向圆224x y +=所引的切线方程为 ．【例13】 已知圆的方程为22220x y ax y a ++++=，一定点为(1,1)A --，要使过定点A 作圆的切线有两条，则a 的取值范围是_________．【例14】 过点(2,4)A --且与直线l ：3260x y +-=相切于点(8,6)B 的圆的方程为 ．【例15】 过直线2x =上一点M 向圆()()22511x y ++-=作切线，则M 到切点的最小距离为_______．【例16】 已知P 是直线3480x y ++=上的动点，PA 、PB 是圆:C 222210x y x y +--+=的两条切线，,A B 是切点，那么四边形PACB 面积的最小值为_______，此时P 点的坐标为_______． 【例17】 已知圆224O x y +=：，过点(2,4)P 与圆O 相切的两条切线为,PA PB ，其中A B 、为切点，求直线AB 的方程．题型三、综合问题【例18】 直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M ，N 两点，若23MN ≥，则k 的取值范围是_________．【例19】 圆224x y +=被直线3230x y +-=截得的劣弧所对的圆心角的大小为_________．【例20】 过点()2,0P 与圆22230x y y ++-=相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是_________．【例21】 若直线220(,0)ax by a b -+=>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则11a b+的最小值为____________．【例22】 若过定点(10)M -，且斜率为k 的直线与圆22450x x y ++-=在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是____________． 【例23】 若过定点(1,0)M -且斜率为k 的直线与圆22450x x y ++-=在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是_________．【例24】 直线经过点332P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，被圆2225x y +=截得的弦长为8，则此弦所在直线方程为____________．课后练习【题1】 圆2244100x y x y +---=上的点到直线140x y +-=的最大距离与最小距离的差是_________．【题2】 直线2x =被圆224x a y -+=（）所截得的弦长等于23，则a 的为_________．【题3】 如果直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且不通过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围是________．【题4】 经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则弦AB 所在直线方程为____________．【题5】 过点(1,2)P 的直线将圆22450x y x +--=分成两个弓形，当这两个弓形面积之差最大时，这条直线的方程为____________．【题6】 过点(1,2)的直线l 将圆22(2)4x y -+=分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k =_________．【题7】 已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)740()l m x m y m m +++--=∈R ．（1）证明直线l 与圆相交；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长最小时，求直线l 的方程．【题8】 已知圆22:2440C x y x y +-+-=，问最否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在，写出直线方程；若不存在，说明理由．。

直线与圆的位置关系直线与圆是几何学中常见的两种图形，它们之间的位置关系可以分为三种情况：直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交。

本文将对这三种情况进行详细的论述。

1. 直线与圆相离当一条直线与一个圆没有任何交点时，我们称它们为相离的关系。

在平面几何中，相离意味着直线与圆之间没有任何交集。

下面是一个例子来说明这种情况。

（插入图片：直线与圆相离）如图所示，直线AB与圆O没有任何交点，因此它们是相离的。

在这种情况下，我们可以观察到直线与圆的位置关系是平行的，但是它们之间没有任何交集。

2. 直线与圆相切当一条直线与一个圆只有一个交点时，我们称它们为相切的关系。

在平面几何中，相切意味着直线与圆刚好接触，并且只有一个交点。

下面是一个例子来说明这种情况。

（插入图片：直线与圆相切）如图所示，直线AB与圆O只有一个交点C，因此它们是相切的。

在这种情况下，我们可以观察到直线与圆的位置关系是垂直的，且交点处的切线方向与直线相同。

3. 直线与圆相交当一条直线与一个圆有两个不同的交点时，我们称它们为相交的关系。

在平面几何中，相交意味着直线与圆有两个交点。

下面是一个例子来说明这种情况。

（插入图片：直线与圆相交）如图所示，直线AB与圆O有两个交点C和D，因此它们是相交的。

在这种情况下，我们可以观察到直线与圆的位置关系是斜交的，且交点处的切线方向与直线不同。

总结：直线与圆的位置关系可以归纳为相离、相切和相交三种情况。

相离表示直线与圆之间没有任何交点，相切表示直线与圆刚好接触并且只有一个交点，相交表示直线与圆有两个不同的交点。

在几何学中，我们可以通过观察直线与圆的交点个数来确定它们的位置关系。

这些位置关系对于解决实际问题和几何证明都有着重要的意义。

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