河南省南阳市2016届高三上学期期中质量评估数学(文)试卷

河南省南阳市2023-2024学年高一下学期4月期中质量评估数学试题一、单选题1．与角20244'-o 终边相同的角是（ ） A ．4044'-oB ．2244'-oC ．31556'oD ．67556'o2．已知()1,2A ，()4,3B ，(),6C x ，若AB AC ∥u u u r u u u r，则x =（ ） A ．10B ．11C ．12D ．133．在扇形AOB 中，2AOB ∠=，弦2AB =，则扇形AOB 的面积是（ ） A ．1sin1B ．()21sin1 C ．sin1D ．()2sin14．在梯形ABCD 中，90BAD CDA ∠=∠=︒，5AD =，则AD BC ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．25B ．15C ．10D ．55．在ABC V 与111A B C △中，已知11111π,3AB A B x BC B C C C =====，若对任意这样两个三角形,总有111ABC A B C ≅△△，则（ ）A ．30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦B ．(x ∈C ．)x ∞∈+D ．)32x ∞⎧⎫∈+⋃⎨⎬⎩⎭6．小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为G u r，两人手臂上的拉力分别为1F u u r ，2F u u r ，且12F F =u u r u u r ，1F u u r 与2F u u r 的夹角为θ，下列结论中正确的是（ ）A ．θ越小越费力，θ越大越省力B ．始终有122G F F ==ru u r u u rC ．当2π3θ=时，1F G =u u r r D ．当π2θ=时，1F G =u u r r7．若π,,0,2αβθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且c o s t a n αα=，cos ββ=，cos sin θθ=，则α，β，θ的大小是（ ）A ．αθβ<<B ．αβθ<<C ．βαθ<<D ．βθα<<8．已知()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，0πϕ<<.其部分图象如下图，则π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1-B ．C ．12-D ．二、多选题9．下列等式恒成立的是（ ） A ．()sin πsin αα+=B ．πcos sin 2αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．3πsin cos 2αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭D ．()tan πtan αα+=-10．已知向量()1,2a =r，2b =r ，a b +=r r ）A ．a r 在b r 上的投影数量是12-B ．b r 在a r 上的投影向量是⎛ ⎝⎭C ．a r 与b rD ．()4a b b +⊥r r r11．设函数f x =A sin ωx +φ （其中0A >，0ω>，π0ϕ-<<），若()f x 在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且π5ππ266f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭）A ．2A =B ．23ω=C ．π2ϕ=-D ．当π3π,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x ⎡∈-⎣ 12．在ABC V 中，2AB =，3AC =，60BAC ∠=︒，则（ ）A ．ABC V 的周长是5B ．BCC ．BCD ．BC三、填空题13．若[]0,2πx ∈，满足条件sin cos 0x x +>的x 的集合是.14．将函数1sin 22y x =的图象上各点向左平移π3个单位长度，再把横坐标缩短为原来的13，得到的图象的函数解析式是.15．已知5πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭19πcos 6α⎛⎫-=⎪⎝⎭. 16．在ABC V 中，D 为BC 边上的任一点，若1cos 3B =，22AB AD BD DC =+⋅，则sin C =.四、解答题17．如图，以Ox 为始边作角α与π0π2ββα⎛⎫<<<< ⎪⎝⎭，它们的终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，已知点Q 的坐标为x ⎛ ⎝⎭.(1)求2sin 5cos 3sin 2cos ββββ+-的值；(2)若OP OQ ⊥，求P 的坐标.18．如图，在平行四边形ABCD 中，点M 为AB 中点，点N 在BD 上，3BN BD =.(1)设AD a =u u u r r ，AB b =u u u r r ，用a r ，b r 表示向量u u u rNC ； (2)求证：M ，N ，C 三点共线.19．（1）已知()1,0A -，()0,2B ，求满足5AB AD ⋅=u u u r u u u r，210AD =u u u r 的点D 的坐标；（2）设a r ，b r 为单位向量，且12a b ⋅=-r r ，向量c r 与a b +r r 共线，求b c +r r 的最小值.20．在锐角ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2c B a b =-. (1)求C ；(2)若5b =，c =ABC V 的面积.21．已知()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在5,612ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调函数，函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，且对任意的x ∈R ，都有()512f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭. (1)求()f x 解析式；(2)若函数()()()g x f x m m =-∈R 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个零点1x ，2x ，求()12f x x +的值.22．已知a ，b ，c 分别为ABC V 中角A ，B ，C 的对边，G 为ABC V 的重心，AD 为BC 边上的中线.(1)若ABC V 60CGD ∠=o ，1CG =，求AB 的长； (2)若GB GC ⊥，求cos BAC ∠的最小值.。

2023-2024学年河南省南阳市高三上学期期中联考数学试题✽一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列四个集合中，是空集.( )A. B. ，且C. D.2.命题“，”的否定为( )A. ，B. ，C. ，D. ，3.若复数z满足，则( )A. B. 2 C. D. 4i4.公比不为1的等比数列满足，若，则m的值为( )A. 8B. 9C. 10D. 115.若函数有两个零点，则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.6.已知，，，则( )A. B.C. D.7.已知a，b，c分别为的三个内角的对边，若点P在的内部，且满足，则称P为的布洛卡点，称为布洛卡角.布洛卡角满足：注：则( )A. B. C. D.8.已知在上单调递减，则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下图是函数的部分图像，则( )A. B. C. D.10.已知是数列的前n项和，，则( )A.是等比数列 B. C. D.11.设，若，则的值可能为( )A. B. C. 1 D. 212.设，若为函数的极小值点，则下列关系可能成立的是( )A. 且B. 且C. 且D. 且三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.一个正实数的小数部分的2倍，整数部分和自身成等差数列，则这个正实数是__________.14.四边形ABCD中，，，BD是四边形ABCD的外接圆的直径，则__________.15.奇函数满足，，则__________.16.互不相等且均不为1的正数a，b，c满足b是a，c的等比中项，则函数的最小值为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.本小题10分设数列为等差数列，其前n项和为，数列为等比数列．已知求数列和的通项公式；求数列的前n项和18.本小题12分已知函数，其中，若实数满足时，的最小值为求的值及的单调递减区间；若不等式对任意时恒成立，求实数a应满足的条件.19.本小题12分记为数列的前n项和.已知证明：是等差数列；若，，成等比数列，求数列的前2024项的和.20.本小题12分在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_____.从以下两个条件中任选一个补充在上面横线上作为已知，将其序号写在答题卡的横线上并作答条件①：条件②：求角A；若为锐角三角形，，求面积的取值范围.21.本小题12分已知函数，，曲线在点处的切线也是曲线的切线.若，求求a的取值范围.22.本小题12分已知函数，判断函数的单调性并证明；设n为大于1的整数，证明：答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了学生对空集的理解，属于基础题.根据空集的定义求解即可.【解答】解：对于选项A，含有一个元素0，不是空集；对于选项B，小于且大于2的实数不存在，因此，且为空集；对于选项C，，含有一个元素，不是空集；对于选项D，是无限集，不是空集.故本题选：2.【答案】A【解析】【分析】本题考查全称量词命题与存在量词命题，属于基础题.存在量词命题的否定为全称量词命题，据此得到答案.【解答】解：命题“，”的否定为“，”.故选：A3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查复数的除法运算，考查共轭复数，属于基础题.根据复数的除法运算法则，求得z，进一步计算即可.【解答】解：因为，所以，，则，故选：4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查等比中项，属于基础题.根据等比数列的性质列方程求得m的值.【解答】解：依题意，数列是等比数列，且公比，，，所以 .故选：C5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数零点与方程根的个数问题，属于中档题.利用函数有零点等价于对应方程有实根，通过换元将其转化成一元二次方程的根的问题即可求得.【解答】解：由函数有两个零点可知，方程有两个不相等的实根.不妨设则，依题意可知方程有两个不相等的正实根，故有，解得即实数a的取值范围为故选：6.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查指数函数图象与性质比较大小，考查三角函数值域，属于中档题.由，得到，再利用指数函数和幂函数的单调性求解.【解答】解：因为，所以，所以，所以，即，故选：7.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查正弦定理及变形，考查诱导公式等，属于中档题.结合图象，求得，，分别在，，中利用正弦定理可求得，，，三数相加化简即可.【解答】解：如图所示，，故，同理，，在中，由正弦定理得：，即，所以，在中同理可得：，在中同理可得：，所以，故选：8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了利用导数解决函数单调性问题，属于较难题.利用必要性探路得到，再证明充分性可以避免繁琐的讨论，简化运算，是解题的关键.确定在上恒成立，根据得到，再证明充分性，，设，求导得到单调区间，计算最值得到证明.【解答】解：，在上恒成立，设，，，①必要性：，恒成立，故，故，若，则存在，使时，，单调递增，，不满足条件；②充分性：，，设，在恒成立，故单调递减，，故恒成立，综上所述： .故选：9.【答案】BC【解析】【分析】本题主要考查了利用三角函数图象求三角函数的解析式，也考查了诱导公式的灵活应用，属于基础题.首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.【解答】解：由函数图像可知：，则，所以排除选项A，当时，，解得：，即函数的解析式为：而，故选项D项不正确.故选：10.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查等比数列的判断或证明，等比数列的通项公式，前n项和公式，等比中项等问题，属于中档题.利用递推关系求得，逐项验证即可.【解答】解：因为，①当时，则，当时，，②① - ②得，则，故是以1为首项，公比为的等比数列，且，故A正确；又，故B正确；，故C错误；由题中，，故D正确，故选：11.【答案】BC【解析】【分析】本题考查一元二次方程的解集问题，属于中档题.根据题意，由判别式法即可得到的范围，从而得到结果.【解答】解：令，则，代入可得，，关于x的方程有解，则，解得，所以，则BC选项符合题意.故选：12.【答案】AC【解析】【分析】本题考查利用导数根据极值点求参，属于较难题.根据题意，求得，结合函数极值点的定义，分类讨论，列出不等式，即可求解.【解答】解：由函数，可得，令，可得或，要使得为函数的极小值点，当时，则满足，解得，所以A正确；当时，则满足，解得，所以C正确.故选：13.【答案】或【解析】【分析】本题主要考查等差中项问题，属于基础题.根据等差数列的知识列方程，化简求得这个正实数.【解答】解：设这个正实数的小数部分是，整数部分是y，自身是，则，所以，由于，，当时，；当时，；当时，，不符合.综上所述，这个正实数是或 .故答案为：或14.【答案】【解析】【分析】本题主要考查向量数量积的运算，属于中档题.根据圆内接四边形的性质及数量积的定义即可求解.【解答】解：依题意：，故答案为：15.【答案】【解析】【分析】本题主要考查利用函数的奇偶性求函数值，考查函数的周期性，属于中档题.根据奇函数得到，确定函数周期为 6 ，计算得到答案.【解答】解：奇函数满足，则，，故，函数周期为 6 ，.故答案为： .16.【答案】4【解析】【分析】本题考查等比中项，利用基本不等式求取值范围，属于较难题.先根据条件：成等比数列，得到的关系，再用基本不等式求的最小值.【解答】解：是的等比中项，，是互不相等且均不为1的正数，， ..因为是互不相等且均不为1的正数，所以上式只能在，，时，即时取等号.故答案为：17.【答案】解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由可得，即，解得，所以，，，，则；，则①，可得②，① - ②得：，因此， .【解析】本题考查等差、等比数列的基本计算，错位相减法求和，考查运算求解能力，是中档题.设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，根据题意，列方程求解即可得答案；根据错位相减法求和即可.18.【答案】解：由题意，函数，因为实数满足时，的最小值为，所以的最小正周期，解得，所以，由，解得，所以的单调递减区间为由，因为，可得，令，则，所以，，即，即，令，可得，又由函数在为递减函数，所以，所以，解得，即实数a的取值范围是【解析】本题考查三角恒等变换的综合应用，三角函数的图象与性质，对勾函数的图象与性质，属于较难题.化简为，结合最小正周期求得，得到，结合三角函数的性质，即可求解函数的单调递减区间；化简，令，得到，结合函数的性质，即可求解.19.【答案】解：证明：，即①，当时，②，① - ②得，，即，即，所以，且，所以是以1为公差的等差数列.，，，，成等比数列，，解得，故，故 .数列的前2024项和为：【解析】本题考查裂项相消法求和，考查等比中项，等差数列的判定等，属于中档题.，，两式相减整理得到，得到证明；根据等比中项计算得到，确定，再利用裂项相消法求和即可.20.【答案】解：选择①，由及正弦定理，得，整理得，由余弦定理得，而，所以 .选择②，由，得，即，解得，又，所以 .由知，，由正弦定理得，即，而是锐角三角形，则，解得，，即，因此，，所以面积的取值范围是 .【解析】本题考查三角形面积公式，正余弦定理，诱导公式等，属于中档题.选择①，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得；选择②，利用诱导公式及同角三角函数的基本关系式求解即得.利用正弦定理求出边b的范围，再利用三角形面积公式求解即得.21.【答案】解：，，且故在点处的切线方程为又与相切，将直线代入得由得，曲线在点处的切线方程为，即由得，设在点处的切线方程为，即，，令，则当或时，，此时函数单调递减;当或时，，此时函数单调递增又，，，，故【解析】本题考查利用导数研究函数的切线方程，属于较难题.22.【答案】解：函数的定义域为，函数的定义域为函数在上单调递减，在上单调递增证明：，则为上的偶函数.，，故，所以函数在上单调递减，在上单调递增.证法一要证明，需证明即证明，即，由可知即证 .且在单调递增，所以对，成立.证法二要证明，即证明，即证，即证，设函数，，故函数在上单调递增又，，即成立，故原不等式成立.【解析】本题主要考查函数单调区间，利用导数证明不等式等，属于较难题.先求导，再分析导数的符号，进而可得函数的单调性.证法一将问题转化为证，由可知即证，进而可得答案.证法二将问题转化为证，即证，即可得出答案.。

河南省南阳市2017届高三数学上学期期中质量评估试题文（扫描版）2016年秋期高中三年级期中质量评估数学试题（文）参考答案一、选择题1．C 2．B 3．A 4．A 5．B 6．D 7．D 8. C 9. D 10．B 11．A 12．C 解析：1．()(){}120Z B x x x x =+-<∈，{}12Z x x x =-<<∈，， ∴{}01B =，，∴{}0123A B =，，，，故选C ．2．由i 3i z +=-得32i z =-，所以32i z =+，故选B.3． ()42a b m +=-，，∵()a b b +⊥，∴()122(2)0a b b m +⋅=--=解得8m =，故选A ． 4．由题意得A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数 的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，∴a ＋b ＝－3, 故选A 5．由等差数列性质可知：()1959599292722a a a S a +⨯====，故选53a =， 而108a =，因此公差1051105a a d -==-∴100109098a a d =+=．故选B ．6．由余弦定理得3222452⨯⨯⨯-+=b b ，解得3=b （31-=b 舍去），故选D.7．根据对数函数性质知，a >0，所以幂函数是增函数，排除A(利用(1,1)点也可以排除)； 选项B 从对数函数图像看a <1，与幂函数图像矛盾；选项C 从对数函数图像看a >1， 与幂函数图像矛盾，故选D.8．根据指数函数与对数函数的性质分析比较可得, 故选C ． 9．由图像知A ＝23，12T ＝π2，所以T ＝π，所以ω＝2，又由－7π12×2＋φ＝2k π＋32π，k ∈Z ，所以当k ＝－1时，φ＝2π3；所以y ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3.故选D.10．因为()(02O B O C O B C O A -⋅+-=,所以(0)C B O B O A C O A ⋅-+-=，()()0AB AC AB AC -⋅+=,220AB AC -=,22=0AB AC -,即=AB AC ，故选B.11．∵f′(x)＝x 2＋2ax ＋a 2－1，∴f′(x)的图像开口向上．根据图像分析，若图像不过原点，则a ＝0，f(－1)＝53；若图像过原点，则a 2－1＝0，又对称轴x ＝－a>0，∴a ＝－1，∴f(－1)＝－13.故选A ．12．∵a 满足x+lgx=4，b 满足x+10x=4，∴a ，b 分别为函数y=4-x 与函数y=lgx ，y=10x图象交点的横坐标 由于y=x 与y=4-x 图象交点的横坐标为2，函数y=lgx ，y=10x的图象关于y=x 对称 ∴a+b=4∴函数f （x ）=当x≤0时，关于x 的方程f （x ）=x ，即x 2+4x+2=x ，即x 2+3x+2=0， ∴x=-2或x=-1，满足题意当x ＞0时，关于x 的方程f （x ）=x ，即x=2，满足题意 ∴关于x 的方程f （x ）=x 的解的个数是3 故选C ． 二、填空题13．6 14．⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ 15．4 031 16．18 解析：13．设等比数列{}n a 公比为q ，由已知a 1＝1，a 3＝4，得q 2＝a 3a 1＝4.又{}n a 的各项均为正数，∴q ＝2.而S k ＝1－2k1－2＝63，∴2k－1＝63，解得k ＝6.14．由f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥1.当a ＜1时，有3a －1≥1，∴a≥23，∴23≤a＜1.当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1. 综上，a≥23.15．依题意得，f (x )＝2 016－120161x +＋2 017sin x ，注意到120161x +＋120161x-+ ＝1，且函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数(注：函数y ＝－120161x +与y ＝2 017sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上都是增函数)，故M ＋N ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝4 032－1＝4 031.16．设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则由题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z ＝3x ＋4y 经过点A (2,3)时，z 取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.三、解答题17．解析：（I ）设数列{}n a 公差为d ，且d≠0，∵a 1，a 2，a 5成等比数列，a 1=1 ∴（1+d ）2=1×（1+4d ）解得d=2，∴a n =2n-1．……………………………………5分＜2………………………………………………………………10分 18. 解析：（Ⅰ）∵在△ABC 中，， ∴根据正弦定理，得=﹣，去分母，得cosB （2sinA+sinC ）=﹣sinBcosC ，……………………………………2分 即2cosBsinA+（sinBcosC+cosBsinC ）=0，可得2cosBsinA+sin （B+C ）=0， ∵△ABC 中，sinA=sin （B+C ），∴2cosBsinA+sinA=0，即sinA （2cosB+1）=0．……………………………………4分 又∵△ABC 中，sinA ＞0，∴2cosB+1=0，可得cosB=﹣．∵B∈（0，π），∴B=23π． …………………………………………………………6分 （Ⅱ）∵b=3，cosB=cos π=﹣，∴由余弦定理b 2=a 2+c 2﹣2accosB ，即9=a 2+c 2+ac≥3ac，即ac≤3， ……………8分 ∴S △ABC =acsinB≤×3×=（当且仅当“a=c ”时取“=”号），则△ABC 面积最大值为． ………………………………………………………12分19．解析：（Ⅰ）当2≥n 时，n n n a a S -=--11，则111n n n S a a ++-=-，作差得：1112n n n n a a a a +-+=-+，112n n a a -∴=．………………………………2分又212121211112S a a a a a a a -=---=-⇒=即，由已知0n a ≠，112n n a a -∴=， ∴{}n a 是首项为12，公比为12的等比数列，………………………………………4分 1111222n n n a -∴=⋅=（）． ……………………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：12n n n b +=， ……………………………………………………7分1231234122222n n n n n T -+∴=+++++，①234112341222222n n n n n T ++∴=+++++，② ①－②可得23411111111222222n n n n T ++=+++++-， 111111334221122212n n n n n ++-⋅++=+-=--， ………………………………………………11分332n n n T +∴=-． ………………………………………………………………………12分20. 解析：（Ⅰ）由c bx ax x x f +++=23)(得b ax x x f ++=23)('2，)(x f y =在点))1(,1(f P 处的切线方程为)1)(1(')1(-=-x f f y ，即)1)(23()1(-++=+++-x b a c b a y .而)(x f y =在点))1(,1(f P 处的切线方程为13+=x y ，故⎩⎨⎧=++=+⎩⎨⎧=+++=++30241323c b a b a c b a b a 即 ……………………………………………3分 ∵)(x f y =在2-=x 处有极值，故.124-02-'-=+∴=b a f ，）（联立解得542)(,5,4,223+-+=∴=-==x x x x f c b a . ………………………6分 （Ⅱ）因为b ax x x f ++=23)('2，由（Ⅰ）知b bx x x f b a +-=∴=+23)('.02，依题意在]1,2[-上恒有0)('≥x f ，即032≥+-b bx x即23)1(x x b ≤-在]1,2[-上恒成立. 当1=x 时恒成立；当)1,2[-∈x 时，)0,3[1-∈-x ，613)1(3132+-+-=-≥x x x x b ……………8分而))0,3[1(613)1(3-∈--≤-+-x x x 当且仅当0=x 时成立 0613)1(3≤+-+-∴x x 要使613)1(3+-+-≥x x b 恒成立，只须0≥b . …………………………………11分 所以实数b 的取值范围[)0,+∞ ……………………………………………………12分 21.解析：（Ⅰ）a ·b ＝cos3x 2·cos x 2－sin 3x 2·sin x2＝cos 2x. ………………2分 |a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2＋2cos 2x ＝2cos 2x ＝2|cos x|. …………………………………………4分∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x≥0，∴|a ＋b |＝2cos x. …………………………………………………………6分 （Ⅱ）f(x)＝cos 2x －4λcos x ，即f(x)＝2(cos x －λ)2－1－2λ2. ………………………………………………7分∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴0≤cos x≤1. ①当λ<0时，当且仅当cos x ＝0时，f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾． ②当0≤λ≤1时，当且仅当cosx ＝λ时，f(x)取得最小值－1－2λ2， 即－1－2λ2＝－32，解得λ＝12.③当λ>1时，当且仅当cos x ＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，即1－4λ＝－32，解得λ＝58，这与λ>1相矛盾． ………………………………11分综上所述，λ＝12即为所求．…………………………………………………………12分22.解析：（Ⅰ）∵()(ln 1)f x ax x =-，∴x＞0 ……………………………1分又()()1ln 1ln f x a x x a x x ⎡⎤'=-+⋅=⎢⎥⎣⎦， ……………………………2分令()0f x '>，当0a >时，解得1x >；当0a <时，解得01x <<， …………………………3分所以当0a >时，函数()y f x =的单调递增区间是()1,+∞；当0a <时，函数()y f x =的单调递增区间是()0,1.……………………………4分 （Ⅱ）(1)2211()()()ln 22h x g x x f x x a x ''==-=-，由题意得()min 0h x ≥，因为()2a x a h x x x x-'=-=(x x x +=，所以当x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增； ……………………………6分min 1()2h x h a a ∴==-由1ln 02a a -≥，得ln 1a ≤，解得0e a <≤， 所以实数a 的取值范围是(]0,e ．……………………………………………………8分 (2)由（1）知e a =时，()21eln 02h x x x =-≥在()0,x ∈+∞上恒成立，当x =*x ∴∈N 时，22eln x x <，令1,2,3,x n =⋅⋅⋅，累加可得()22222e ln1ln 2ln3ln 123n n ++++<++++ ，即()2222e2ln 123123,n n ⨯⨯⨯⨯<++++()*n ∈N .……………………12分。

2023-2024学年河南省南阳市高一（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，则A∩B＝（）A．∅B．A C．B D．A∪B2．命题“方程x2﹣8x+15＝0有一个根是偶数”的否定是（）A．方程x2﹣8x+15＝0有一个根不是偶数B．方程x2﹣8x+15＝0至少有一个根不是偶数C．方程x2﹣8x+15＝0至多有一个根不是偶数D．方程x2﹣8x+15＝0的每一个根都不是偶数3．若函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f(x)=1e x+e−x B．f(x)=1e x−e−xC．f(x)=e x−e−xe x+e−x D．f(x)=ex+e−xe x−e−x4．我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表，他通过“对数积”求得ln2≈0.693，ln54≈0.223，由此可知ln5的近似值为（）A．1.519B．1.726C．1.609D．1.3165．已知a=243，b=425，c=2013，则（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜c＜b6．通过北师大版必修一教材57页的详细介绍，我们把y＝[x]称为取整函数．那么“[x]＝[y]”是“|x﹣y|＜1”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要7．若关于x的不等式1x−a ＞1x−b的解集是{x|1＜x＜3}，则下列式子中错误的是（）A．a﹣b＜0B．a+b＝4C．a＝1，b＝3D．a＝3，b＝18．已知函数f(x)={−2x 2+4x ，x ≤2，x−2x+1，x ＞2，若存在三个不相等的实数x 1，x 2，x 3使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则f （x 1+x 2+x 3）的取值范围是（ ） A ．(25，1)B ．(25，+∞)C ．(25，2)D ．（2，+∞）二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．满足函数f （x ）＝x 2﹣ax +1在区间[1，3]上不单调的实数a 的值可能是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．610．下列函数中，具备奇偶性的函数是（ ） A ．f(x)=(√x)2B ．f(x)=1+22x−1C ．f(x)={−x ，x ＜−11，−1＜x ＜1，x ，x ＞1.D ．f(x)=√4−x 22−|x−2|11．已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c 满足f （1+x ）＝f （1﹣x ），且对∀x 1，x 2∈（﹣∞，1），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，则下列结论正确的有（ ）A ．f （1.2）＞f （1.5）B ．2a +b ＝0C ．f(−√2)＜f(√3)D ．abc ＜012．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，则下列结论成立的是（ ） A ．1a +1b的最小值为4B ．1a +ab 的最小值为3C ．11−a+12−b的最小值为2D ．a +1b的最小值为1三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．幂函数f （x ）＝（a 2﹣2a +2）x b （a ＞0）的图像经过点（2，4），则a +b ＝ ． 14．若函数f （x ）的定义域是[2，5]，则函数y =f(2x−3)√x 2−2x−3的定义域是 ．15．已知f （x ）＝x 2+|x |+2；则不等式f （x +1）＜8的解集是 ．16．如图，已知等腰三角形中一腰上的中线长为√6，则该等腰三角形的面积最大值为 ．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）（1）已知x+x﹣1＝3，求是x 12+x−12值；（2）计算：2−12+2+(1−√2)−1−823+2lg5lg20+(lg2)2．18．（12分）已知函数f(x)=x+1x．（1）判断函数f（x）在[1+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明；（2）求函数g(x)=√x2+4x2+5的值域．19．（12分）已知集合A＝{x|x2+ax﹣a﹣1＜0，a∈R}，B＝{x|2＜x＜3}．（1）若0∈A且2∉A，求实数a的取值范围；（2）设p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．20．（12分）为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件20元，出厂价为每件24元，每月的销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：y＝﹣10x+600．（1）设袁阳每月获得的利润为ω（单位：元），写出每月获得的利润ω与销售单价x的函数关系；（2）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于40元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少元？21．（12分）已知log a b+log b a=52，a b＝b a，其中a＞b＞1．（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）＝m•a x+b x+1在定义域[1，2]上为增函数，求实数m的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）的定义域为R．当x＞0时，f（x）＝2x+a，a∈R．（1）若函数f（x）为奇函数，求函数f（x）的表达式；（2）若函数f（x）是奇函数且在R上单调，求实数a的取值范围；（3）在（1）的条件下，若关于x的方程（（f（x）+2+a）（f（x）﹣a）＝0有三个不等的实数根，求实数a的取值范围．2023-2024学年河南省南阳市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，则A∩B＝（）A．∅B．A C．B D．A∪B解：集合A＝{x|1＜x＜3}，则B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}＝{y|1＜y＜5}，故A∩B＝A．故选：B．2．命题“方程x2﹣8x+15＝0有一个根是偶数”的否定是（）A．方程x2﹣8x+15＝0有一个根不是偶数B．方程x2﹣8x+15＝0至少有一个根不是偶数C．方程x2﹣8x+15＝0至多有一个根不是偶数D．方程x2﹣8x+15＝0的每一个根都不是偶数解：“方程x2﹣8x+15＝0有一个根是偶数”的否定是：方程x2﹣8x+15＝0的每一个根都不是偶数．故选：D．3．若函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f(x)=1e x+e−x B．f(x)=1e x−e−xC．f(x)=e x−e−xe x+e−x D．f(x)=ex+e−xe x−e−x解：对于A，f(0)=12，与图象不相符，故A错误；对于B，f（0）无意义，与图象不相符，故B错误；对于C，函数定义域为R，f（0）＝0，f(−x)=e−x−e xe−x+e x=−f(x)，函数为奇函数，符合图象，故C正确；对于D，f（0）无意义，与图象不相符，故D错误．故选：C．4．我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表，他通过“对数积”求得ln2≈0.693，ln 54≈0.223，由此可知ln 5的近似值为（ ）A ．1.519B ．1.726C ．1.609D ．1.316解：因为ln 2≈0.693，ln 54≈0.223=ln 5﹣2ln 2＝ln 5﹣1.386，由此可知ln 5≈1.609．故选：C ． 5．已知a =243，b=425，c=2013，则（ ）A ．b ＜a ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b解：∵a =243=√163，b =425=√165，c =2013=√203，y =x 13=√x 3是R 上的增函数，20＞16，∴√203＞√163，即c ＞a ．再根据√163＞√165，可得a ＞b ． 综上可得，c ＞a ＞b ． 故选：A ．6．通过北师大版必修一教材57页的详细介绍，我们把y ＝[x ]称为取整函数．那么“[x ]＝[y ]”是“|x ﹣y |＜1”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要解：若[x ]＝[y ]，设[x ]＝[y ]＝m ，则x ＝m +a （0≤a ＜1），y ＝m +b （0≤b ＜1）， ∴x ﹣y ＝a ﹣b ∈（﹣1，1），∴|x ﹣y |＜1，反之，令x ＝1.1，y ＝0.9，则满足|x ﹣y |＝0.2＜1，但[x ]＝1，[y ]＝0，[x ]≠[y ]， ∴[x ]＝[y ]是|x ﹣y |＜1的充分不必要条件． 故选：A ． 7．若关于x 的不等式1x−a＞1x−b的解集是{x |1＜x ＜3}，则下列式子中错误的是（ ）A ．a ﹣b ＜0B ．a +b ＝4C ．a ＝1，b ＝3D ．a ＝3，b ＝1解：由1x−a＞1x−b，得1x−a−1x−b＞0，化简得，a−b(x−a)(x−b)＞0，即（a ﹣b ）（x ﹣a ）（x ﹣b ）＞0，∵不等式1x ＞a＞1x−b的解集是{x |1＜x ＜3}，∴a ﹣b ＜0，且1和3是方程（x ﹣a ）（x ﹣b ）＝0的两个根， ∴a ＝1，b ＝3，∴a +b ＝4，故A 正确，B 正确，C 正确，D 错误． 故选：D ．8．已知函数f(x)={−2x 2+4x ，x ≤2，x−2x+1，x ＞2，若存在三个不相等的实数x 1，x 2，x 3使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则f （x 1+x 2+x 3）的取值范围是（ ） A ．(25，1)B ．(25，+∞)C ．(25，2)D ．（2，+∞）解：函数f （x ）={−2x 2+4x ，x ≤2x−2x+1，x ＞2的图象如图所示：由f （x ）在（﹣∞，2]上关于x ＝1对称，且f max （x ）＝2， 当x ∈（2，+∞）时，f （x ）=x−2x+1=1−3x+1是增函数， 且f （x ）=x−2x+1=1−3x+1∈（0，1）， 所以x 1+x 2＝2，x 3∈（2，+∞）， 所以x 1+x 2+x 3∈（4，+∞），又f （4）=4−24+1=25， 故f （x 1+x 2+x 3）∈（25，1）．故选：A ．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．满足函数f （x ）＝x 2﹣ax +1在区间[1，3]上不单调的实数a 的值可能是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6解：因为函数f （x ）＝x 2﹣ax +1在区间[1，3]上不单调，所以1＜12a ＜3，即2＜a ＜6．故选：ABC ．10．下列函数中，具备奇偶性的函数是（ ） A ．f(x)=(√x)2B ．f(x)=1+22x−1C ．f(x)={−x ，x ＜−11，−1＜x ＜1，x ，x ＞1.D ．f(x)=√4−x 22−|x−2|解：根据题意，依次分析选项：对于A ，f （x ）＝（√x ）2，其定义域为[0，+∞），不关于原点对称， 则该函数为非奇非偶函数，不符合题意； 对于B ，f （x ）＝1+22x−1，其定义域为R ， 有f （﹣x ）+f （x ）＝1+22−x −1+1+22x −1=2+2⋅2x1−2x +22x−1=0，即f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 则该函数为奇函数，符合题意；对于C ，f(x)={−x ，x ＜−11，−1＜x ＜1，x ，x ＞1.其定义域为{x |x ≠±1}，当x ＜﹣1时，﹣x ＞1，有f （﹣x ）＝f （x ）＝﹣x ， 当﹣1＜x ＜1时，﹣1＜﹣x ＜1，有f （﹣x ）＝f （x ）＝1， 当x ＞1时，﹣x ＜﹣1，有f （﹣x ）＝f （x ）＝x ，综合可得：∀x ∈{x |x ≠±1}，都有f （x ）＝f （﹣x ），则f （x ）为偶函数，符合题意；对于D ，f （x ）=√4−x 22−|x−2|，则有{4−x 2≥02−|x −2|≠0，解可得﹣2≤x ≤2且x ≠0，即函数的定义域为{x |﹣2≤x ≤2且x ≠0}， 则f （x ）=√4−x 2x，则有f （﹣x ）=−√4−x 2x=−f （x ），则f （x ）为奇函数．故选：BCD ．11．已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c 满足f （1+x ）＝f （1﹣x ），且对∀x 1，x 2∈（﹣∞，1），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，则下列结论正确的有（ ）A ．f （1.2）＞f （1.5）B ．2a +b ＝0C ．f(−√2)＜f(√3)D ．abc ＜0解：因为二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c 满足f （1+x ）＝f （1﹣x ）， 即函数的图象关于x ＝1对称，故−b2a=1，所以b +2a ＝0，B 正确； 对∀x 1，x 2∈（﹣∞，1），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，所以f （x ）在（﹣∞，1）上单调递增，所以a ＜0，b ＝﹣2a ＞0，但c 的正负无法确定，D 错误；根据函数的对称性可知，f （x ）在（1，+∞）上单调递减，则f （1.2）＞f （1.5），A 正确， 又f （−√2）＝f （2+√2）＜f （√3），C 正确． 故选：ABC ．12．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，则下列结论成立的是（ ）A ．1a +1b的最小值为4B ．1a +ab 的最小值为3C ．11−a+12−b的最小值为2D ．a +1b的最小值为1解：对于A ，1a +1b =(a +b)(1a +1b )=2+b a +a b ≥2+2√b a ⋅a b=4，当且仅当a ＝b =12时，取等号，故A 正确；对于B ，1a =a+b a =1+b a ，故1a +a b =1+b a +a b ≥1+2√b a ⋅a b=3，当且仅当a ＝b =12时，取等号，故B 正确；对于C ，由a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，可知（1﹣a ）+（2﹣b ）＝3﹣（a +b ）＝2，且1﹣a ＞0，2﹣b ＞0， 11−a+12−b=12[(1−a)+(2−b)](11−a+12−b)=12(2+2−b 1−a+1−a 2−b)≥12(2+√2−b 1−a ⋅1−a 2−b)=2， 不等式取等号的条件是1﹣a ＝2﹣b ＝1，即a ＝0，b ＝1，与题设a +b ＝1矛盾，故11−a+12−b的最小值大于2，C 不正确；对于D ，a +1b −1=1b −b =1−b 2b =(1+b)(1−b)b ＞0，故a +1b＞1，最小值大于1，故D 不正确．故选：AB ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．幂函数f （x ）＝（a 2﹣2a +2）x b （a ＞0）的图像经过点（2，4），则a +b ＝ 3 ． 解：幂函数f （x ）＝（a 2﹣2a +2）x b （a ＞0）的图像经过点（2，4）， ∴{a 2−2a +2=1f(2)=2b =4，解得a ＝1，b ＝2，则a +b ＝1+2＝3． 故答案为：3．14．若函数f （x ）的定义域是[2，5]，则函数y =f(2x−3)√x 2−2x−3的定义域是 （3，4] ．解：由题意得，{2≤2x −3≤5x 2−2x −3＞0，解得3＜x ≤4．故答案为：（3，4]．15．已知f （x ）＝x 2+|x |+2；则不等式f （x +1）＜8的解集是 （﹣3，1） ．解：对于f （x ）＝x 2+|x |+2，当x ≥0时，f （x ）＝x 2+x +2，当x ＜0时，f （x ）＝x 2﹣x +2， 所以f(x)={x 2+x +2，x ≥0x 2−x +2，x ＜0，当x +1≥0时，即x ≥﹣1时，不等式f （x +1）＜8可化为（x +1）2+（x +1）+2＜8，即x2+3x﹣4＜0，解得﹣4＜x＜1，所以﹣1≤x＜1；当x+1＜0时，即x＜﹣1时，不等式f（x+1）＜8可化为（x+1）2﹣（x+1）+2＜8，即x2+x﹣6＜0，解得﹣3＜x＜2，所以﹣3＜x＜﹣1；综上，不等式f（x+1）＜8的解集为（﹣3，1）．故答案为：（﹣3，1）．16．如图，已知等腰三角形中一腰上的中线长为√6，则该等腰三角形的面积最大值为4．解：如图所示：作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，则AE＝EB，EF＝FB，设DF＝h，FB＝b，故AF＝3b，在△ADF中：6＝9b2+h2≥2√9b2×ℎ2=6bh，即bh≤1，当且仅当9b2＝h2，即h=√3，b=√33时等号成立，S△ABC＝2S△ABD＝4bh≤4．故答案为：4．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）（1）已知x+x﹣1＝3，求是x 12+x−12值；（2）计算：2−12+40√2+(1−√2)−1−823+2lg5lg20+(lg2)2．解：（1）由于(x 12+x12)2=x+x−1+2=5，又x 12+x−12＞0，故x12+x12=√5；（2）原式=√222−（√2+1）﹣4+2＝﹣3．18．（12分）已知函数f(x)=x+1x．（1）判断函数f（x）在[1+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明；（2）求函数g(x)=√x2+4x2+5的值域．解：（1）函数f（x）在[1+∞）上单调递增，证明如下：任取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，x2x1＞1，则f(x2)−f(x1)=(x2+1x2)−(x1+1x1)=x2−x1+1x1=(x2−x1)(x2x1−1)x2x1＞0，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）是[1，+∞）上的增函数．（2）令t=√x2+4(t≥2)，则t2﹣4＝x2，于是g（x）的值域即为求ℎ(t)=tt2+1=1t+1t的值域，由（1）知函数y=t+1t(t≥2)在[2，+∞）是单调递增的，所以当t＝2时，即√x2+4=2，即x＝0处y取最小值y min=2+12=52，所以0＜1t+1t≤25，所以函数g(x)=√x2+4x2+5的值域为(0，25]．19．（12分）已知集合A＝{x|x2+ax﹣a﹣1＜0，a∈R}，B＝{x|2＜x＜3}．（1）若0∈A且2∉A，求实数a的取值范围；（2）设p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．解：（1）由0∈A且2∉A，得{−a−1＜0a+3≥0，∴a＞﹣1，∴a的取值范围为（﹣1，+∞）；（2）由p是q的必要不充分条件，∴B⫋A，∵x2+ax﹣a﹣1＝（x﹣1）（x+a+1）＜0，且B＝{x|2＜x＜3}，故A＝{x|1＜x＜﹣a﹣1}，∴{1＜−a−1−a−1≥3，∴a≤﹣4，∴a的取值范围为（﹣∞，﹣4]．20．（12分）为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件20元，出厂价为每件24元，每月的销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：y＝﹣10x+600．（1）设袁阳每月获得的利润为ω（单位：元），写出每月获得的利润ω与销售单价x 的函数关系；（2）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于40元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少元？解：（1）依题意可知每件的销售利润为（x ﹣20）元，每月的销售量为（﹣10x +600）件，所以每月获得的利润ω与销售单价x 的函数关系为ω＝（x ﹣20）（﹣10x +600）（20≤x ≤60）；（2）由每月获得的利润不小于3000元，即（x ﹣20）（﹣10x +600）≥3000，即x 2﹣80x +1500≤0，即（x ﹣30）（x ﹣50）≤0，解得30≤x ≤50，又因为这种节能灯的销售单价不得高于40元，所以30≤x ≤40，设政府每个月为他承担的总差价为p 元，则p ＝（24﹣20）（﹣10x +600）＝﹣40x +2400，由30≤x ≤40，得800≤p ≤1200，故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为[800，1200]元．21．（12分）已知log a b +log b a =52，a b ＝b a ，其中a ＞b ＞1． （1）求实数a ，b 的值；（2）若函数f （x ）＝m •a x +b x +1在定义域[1，2]上为增函数，求实数m 的取值范围．解：（1）设log b a ＝k ，则k ＞1，因为log a b +log b a =52， 可得k +1k =52，所以k ＝2，则a ＝b 2． 又a b ＝b a ，所以b 2b =b b 2，即2b ＝b 2，又a ＞b ＞1，解得b ＝2，a ＝4．（2）由（1）以及函数f （x ）＝m •a x +b x +1，得f （x ）＝m •4x +2x +1，令t ＝2x ，x ∈[1，2]，则y ＝mt 2+t +1，t ∈[2，4]．为使f （x ）在[1，2]上为增函数，则m ＝0或{m ＞0−12m ＜2或{m ＜0−12m≥4，解得m ＝0或m ＞0或−18≤m ＜0． 综上，m 的取值范围为[−18，+∞)． 22．（12分）已知函数f （x ）的定义域为R ．当x ＞0时，f （x ）＝2x +a ，a ∈R ．（1）若函数f （x ）为奇函数，求函数f （x ）的表达式；（2）若函数f （x ）是奇函数且在R 上单调，求实数a 的取值范围；（3）在（1）的条件下，若关于x 的方程（（f （x ）+2+a ）（f （x ）﹣a ）＝0有三个不等的实数根，求实数a 的取值范围．解：（1）当x ＝0时，f （0）＝0；当x ＜0时，f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣（2﹣x +a ）＝﹣2﹣x ﹣a ；故f(x)={2x +a ，x ＞00，x =0−2−x −a ，x ＜0．（2）因为当x ＞0时，f （x ）＝2x +a 是单调增函数，所以若f （x ）在R 上单调，则f （x ）必为R 上的单调增函数，只须满足﹣20﹣a ≤0≤20+a ，得a ≥﹣1，实数a 的取值范围是[﹣1，+∞）；（3）由方程（f （x ）+2+a ）（f （x ）﹣a ）＝0⋯（*），可得f （x ）＝﹣2﹣a 或f （x ）＝a ，由题意可知，f （x ）不可能是单调函数，故a ＜﹣1，又因为方程（*）有三个不等的实数根，且a ＜1+a ，所以只须1+a ＜﹣2﹣a ＜﹣1﹣a 且﹣2﹣a ≠0，解得a ＜−32且a ≠﹣2， 综上所述，a 的取值范围为(−∞，−2)∪(−2，−32)．。

河南省南阳市多校2024--2025学年上学期期中考试数学试题（2）一、单选题1．2-的绝对值是（）A ．2-B ．2C ．2±D ．12±2．与()3m n -+相等的是（）A ．3m n --B ．3m n -+C ．33m n --D ．33m n -+3．光伏发电作为一种可再生能源形式，其在减少碳排放和实现可持续发展方面具有巨大潜力．根据国家能源局发布的数据，截至2024年6月底，中国光伏发电累计并网容量已经达到了7.1293亿千瓦，数据“7.1293亿”用科学记数法表示为（）A ．90.7129310⨯B ．771.29310⨯C ．87.129310⨯D ．97.129310⨯4．一只蚂蚁在数轴上先向左爬行5个单位长度，再向右爬行3个单位长度，正好停在表示2-的位置上，则这只蚂蚁的起始位置所表示的数是（）A ．0B ．1C ．2D ．35．下列计算正确的是（）A ．224a b ab+=B ．2222332x y x y x y ++-=-C ．32xy xy -=D ．()2222a b a b -+=-+6．《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢……”．大意为：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢……．文中的鸟巢共有（）A ．39个B ．310个C ．49个D ．410个7．若一个三位小数“四舍五入”得到的近似数是2.60，则这个三位小数不可能是（）A ．2.601B ．2.595C ．2.599D ．2.6058．有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简a b a --的结果是（）A ．bB ．2a b -C ．2aD ．b-9．如图，左侧四边形的面积为8，右侧五边形的面积为15，左、右两个阴影部分的面积分别为a ，()b a b <，则b a -的值为（）A ．9B ．8C ．7D ．610．如图，将形状、大小完全相同的“·”和线段按照一定的规律摆成下列图案．其中第①个图案用了6个“·”，第②个图案用了11个“·”，第③个图案用了16个“·”，第④个图案用了21个“·”，……，按此规律排列下去，则第⑨个图案用的“·”的个数是（）A ．41B ．46C ．51D ．56二、填空题11．写出323x y -的一个同类项：．12．如图，这是某零件的设计图纸．由此图纸可知，该零件合格的最大长度是．13．魏晋时期数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，图1表示的数值为：()()110++-=，则可推算图2表示的数值是．（请直接写出最后的结果）14．一名同学在计算2A B +时，误将“2A B +”看成了“2A B -”，求得的结果是2235x x -+．已知221B x x =++，则2A B +的正确答案为．15．对于各数位上数字均不为0的三位数自然数N ，记N 的各数位上数字之和为m ．若N 能被m 整除，则称N 是m 的“倍生数”．如：因为()3753753751525÷++=÷=，所以375是15的“倍生数”．216（填“是”或“不是”）9的“倍生数”；如果三位数自然数A 是15的“倍生数”，那么A 最大为．三、解答题16．计算：(1)()2213922-¸--(2)()2222323m n mn mn m n ---17．已知多项式()21523m x m x y xy ---+-是一个五次四项式，求21m -的值．18．小明和小红在游戏中规定：长方形表示正，圆形表示负，求它们的和，结果小者为胜．列式计算，小明和小红谁为胜者？19．阅读材料，解答问题．计算：112312234⎛⎫⎛⎫-÷+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．解：()123112312689523412234⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-÷-=+-⨯-=--+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以原式15=-根据阅读材料提供的方法，计算：()2112534242364轾骣骣犏琪琪-¸-++-´-琪琪犏桫桫臌20．新郑大枣是河南新郑市一大特产．现有10筐新郑大枣，以每筐10千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下：与标准质量的差值/千克0.2-0.15-00.3筐数1243(1)这10筐新郑大枣中，与标准质量差值为0.2千克的有筐，最重的一筐重千克．(2)若新郑大枣每千克售价50元，则出售这10筐新郑大枣总收入多少元?21．如图，某体育馆设计在一个长为y 米、宽为32米的大长方形场地中，且并排新建三个大小一样的标准篮球场．已知两个篮球场之间及篮球场与长方形场地边沿的距离均为a 米，篮球场的宽为b 米．(1)用含a ，b 的代数式表示一个篮球场的周长．(2)若()22150a b -+-=，求整个大长方形场地的面积．22．在2024年巴黎奥运会上，我国网球运动员勇夺网球女单冠军，这一壮举在国内掀起了一阵网球热潮．某商店抓住这一机遇，积极销售某种品牌的网球拍和网球．其中网球拍每副定价为200元，网球每筒定价为25元．“国庆”期间，该商店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．方案一：买一副球拍送2筒球．方案二：网球拍和网球都打九折销售．现小明要在该商店购买网球拍10副，网球()20x x >筒．(1)若小明按方案一购买，需付款元；若小明按方案二购买，需付款元．（用含x 的代数式表示）(2)当30x =时，请通过计算说明，按哪种方案购买更省钱?(3)若两种优惠方案可同时使用，当30x =时，你能给出一种最为省钱的购买方案吗?请说明理由．23．综合与实践杨老师在黑板上布置了一道题，求代数式：()22224696x y x xy y xy --+++的值．（1）请思考该代数式与哪个字母无关?知道哪个字母的值就能求出此代数式的值?【变式应用】（2）若多项式()2313mx m x -+-的值与x 的取值无关，求m 的值．【能力提升】（3）如图1，小长方形的长为a ，宽为b ．用7张小长方形按照图2所示的方式不重叠地放在大长方形ABCD 内，将大长方形中未被覆盖的两个部分涂上阴影，设右上角阴影部分的面积为1S ，左下角阴影部分的面积为2S ．当AB 的长变化时，a 与b 满足什么关系，12S S -的值能始终保持不变。

河南省南阳市2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．已知平面向量a r ，b r 满足，1b =r ，则向量b r ）a rB ．-14arD共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，这位公公最年幼的儿子的岁数为（ ）A ．11B ．13C ．14D ．166．已知数列{}n a 为等比数列，,,,m t p q 均为正整数，设甲：m t p q a a a a =；乙：m t p q +=+，则（ ）A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件7．在锐角ABC V 中，已知()sin 22sin sin B A A C +=-，则A ，C 的大小关系为（ ）A ．C A >B ．C A=C ．C A<D ．无法确定8．已知函数()f x 是定义在R 上的连续可导函数，且满足①()()32226128f x f x x x x --=-+-，②()f x 为奇函数，令()()3g x f x x =+，则下列说法错误的是（ ）A ．()g x 的图象关于1x =对称B ．()13f ¢=-C ．()320242024f =D ．()2202532025f =-´¢故32322(26128)(260()()128)g x x x x x x g x x -=-+-+-+--+=，则得()g x 的图象关于1x =对称，故A 正确；对于B ，由A 项已得()g x 的图象关于1x =对称，则(1)0g ¢=，由()()3g x f x x =+，可得()()23g x f x x ¢+¢=，则()()1133f g =-¢=-¢，故B 正确；对于C ，因()f x 为奇函数，故()()3g x f x x =+也是奇函数，图象关于(0,0)对称，因()g x 的图象关于1x =对称，故函数()g x 的周期为4|10|4T =-=，又()()3g x f x x =+，则()3(2024)(0)020242024g g f ===+，解得()320242024f =-，故C 错误；对于D ，因()()3g x f x x =+为奇函数，且周期为4，则()()23g x f x x ¢+¢=，由()()23g x f x x ¢¢-=-+，因()[()][()]()f x f x f x f x ¢¢¢¢-=--=--=，故()()g x g x ¢¢-=，即函数()()23g x f x x ¢+¢=为偶函数；由()()344(4)g x f x x +=+++，可得()()2443(4)g x f x x +=+++¢¢，因()()3g x f x x =+的周期为4，则()()4g x g x +=，求导得()4()g x g x +=¢¢，即函数()()23g x f x x ¢+¢=的周期为4.于是，2(2025)(1)0(2025)32025g g f ¢¢¢===+´，故得2(2025)32025f ¢=-´，即D 正确.故选：C.【点睛】思路点睛：本题主要考查抽象函数与导函数的奇偶性，周期性，对称性等性质的应用，属于难题.18．(1)1a=2(2)①(]0,1；②证明见解析【分析】（1）求导，根据（2）①对a进行讨论，即数单调性，即可根据单调。

2015年秋期期终质量评估高三年级数学（理）参考答案一、选择题CBDCA ABBDA CB二、填空题13.14. 15. 9(,2][0,2)4--三、解答题：17.解：（1）由正弦定理得：B A C C A sin 232cos sin 2cossin 22=+ 即B A C C A sin 232cos 1sin 2cos 1sin =+++ ………2分 ∴B C A C A C A sin 3sin cos cos sin sin sin =+++即B C A C A sin 3)sin(sin sin =+++ ………4分 ∵B C A sin )sin(=+∴B C A sin 2sin sin =+ 即b c a 2=+∴c b a 、、成等差数列。

………6分 （余弦定理也可解决）（2）∵3443sin 21===ac B ac S ∴16=ac ………8分 又ac c a ac c a B ac c a b 3)(cos 2222222-+=-+=-+= ………10分由（1）得：b c a 2=+ ∴48422-=b b∴162=b 即4=b ………12分 18. 解：（1）记“从15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A ………1分………4分，M=5，n=3，ξ的可能值为0，1，2，3，………6分（3 一年中空气质量达到一级或二级的天数为η ………10分………12分19. （1）证明：11AE A B ⊥ ，11A B ∥ABAB AE ∴⊥ 又1AB AA ⊥ 1A E A A A⋂=AB ∴⊥面11A ACC 又AC ⊂ 面11A ACC A B A C ∴⊥ ………2分以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz -则()0,0,0A ,10,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,11,,022F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,1(0,0,1)A ,1(1,0,1)B 设(),,D x y z ，111AD AB λ= 且[0,1]λ∈,即：()(),,11,0,0x y z λ-=(),0,1D λ∴ 11,,122DF λ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭10,1,2AE ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭ ………5分 ∴11022DF AE =-= DF AE ∴⊥ ………6分 （2）假设存在,设面DEF 的法向量为 (),,n x y z = ， 则 00n FE n DF ⎧=⎨=⎩ 111,,222FE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 11,,122DF λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 111022211022x y z x y z λ⎧-++=⎪⎪∴⎨⎛⎫⎪-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩ 即： ()()3211221x z y z λλλ⎧=⎪-⎪⎨+⎪=⎪-⎩ 令()21z λ=- ()()3,12,21n λλ∴=+- . ………8分 由题可知面ABC 的法向量()0,0,1m = ………9分平面DEF 与平面ABC ()cos ,14m n m n m n ∴== 14= 12λ∴=或74λ= （舍） ………11分 ∴ 当点D 为11A B 中点时，满足要求. ………12分 20. 解：（Ⅰ）由题意得1,32c a a c ⎧=⎪⎨⎪-=⎩1,3c a =⎧⇒⎨=⎩82=⇒b . 椭圆C 的方程为：221.98x y +=……………………………………………………4分 （Ⅱ）设),9(1y G ),9(2y H ，则GH 的中点为)2,9(21y y Q +，12GH y y =-,所以以GH 为直径的圆的方程为：4)()2()9(2212212y y y y y x -=+-+-. 令0=y ，得212(9)x y y -=-，设,,M A B 的坐标分别为00(,)M x y ,)0,3(-A ,)0,3(B ，因为A 、M 、G 三点共线，则010,123y y x =+因为M 、B 、H 三点共线，则020,63y y x =+ 两式相乘得201220729y y y x =-. 因为P 在椭圆上，所以2222000081(9)989x y y x +=⇒=-， 所以1212864729y y y y =-⇒=-.……………………………………………………8分 所以2(9)64x -=1,17x x ==得.所以，以GH 为直径的圆恒过x 轴上的定点(17,0),(1,0).…………………………12分 21. 解（Ⅰ）由()e 1x f x ax =--，则()e x f x a '=-．当0a ≤时，对x ∈R ，有'()0f x >，所以函数()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递增； 当0a >时，由'()0f x >，得ln x a >；由'()0f x <，得ln x a <，此时函数()f x 的单调增区间为(ln ,)a +∞，单调减区间为(,ln )a -∞．综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞；当0a >时，函数()f x 的单调增区间为(ln ,)a +∞，单调减区间为(,ln )a -∞． ················ 4分 （Ⅱ）函数()()ln F x f x x x =-的定义域为(0,)+∞，由()0F x =，得e 1ln x a x x-=-（0x >） ············································································ 5分 令()h x =e 1ln x x x --（0x >），则()h x '=2(e 1)(1)x x x --， ················································ 6分 由于0x >，e 10x ->，可知当1x >，'()0h x >；当01x <<时，'()0h x <，故函数()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故()(1)e 1h x h ≥=-．又由（Ⅰ）知当1a =时，对任意0x >，有()(ln )0f x f a >=，即111x xe e x x -->⇔>， （随着0x >的增长，e 1x y =-的增长速度越来越快，会超过并远远大于y x =的增长速度，而ln y x =的增长速度则会越来越慢．则当0x >且x 无限接近于0时，()h x 趋向于正无穷大.） 当e 1a >-时，函数()F x 有两个不同的零点；当e 1a =-时，函数()F x 有且仅有一个零点；当e 1a <-时，函数()F x 没有零点． ··················································································· 8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知当0x >时，1x e x ->，故对任意0,()0x g x >>，先分析法证明：任意0x >，()g x x <． ·············································································· 10分 要证任意0x >，()g x x <，只需证任意10,x x e x e x-><，即证任意0,10x x x xe e >-+>， 构造函数()H x =1(0)x x xe e x -+>，则'()0x H x xe =>，故函数()H x 在(0,)+∞单调递增，所以()(0)0H x H >=，则任意0,10x x x xe e >-+>成立． 当1a ≤时，由（Ⅰ），()f x 在(0,)+∞单调递增，则(())()f g x f x <在(0,)x ∈+∞上恒成立； 当1a >时，由（Ⅰ），函数()f x 在(ln ,)a +∞单调递增，在(0,ln )a 单调递减，故当0ln x a <<时，0()ln g x x a <<<，所以(())()f g x f x >，则不满足题意．所以满足题意的a 的取值范围是(,1]-∞． …………12分22. 证明:(1)∵PM 是圆O 的切线, NAB 是圆O 的割线, N 是PM 的中点,∴NB NA PN MN ⋅==22, ∴PNNA BN PN =, 又∵BNP PNA ∠=∠, ∴△PNA ∽△BNP ,∴PBN APN ∠=∠, 即PBA APM ∠=∠.∵BC MC =, ∴BAC MAC ∠=∠, ∴PAB MAP ∠=∠,∴△APM ∽△ABP . ………5分 (2)∵PBN ACD ∠=∠,∴APN PBN ACD ∠=∠=∠,即CPM PCD ∠=∠,∴CD PM //, ∵△APM ∽△ABP ,∴BPA PMA ∠=∠,∵PM 是圆O 的切线,∴MCP PMA ∠=∠,∴BPA PMA ∠=∠MCP ∠=,即MCP DPC ∠=∠,∴PD MC //, ∴四边形PMCD 是平行四边形. ………10分23.解：（I ）圆1C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=， 直线2C 的直角坐标方程为40x y +-=。

2022年秋期高中三年级期中质量评估数学试题（文）（答案在最后）注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效.2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.选择题答案使用2B 铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.5.保持卷面清洁，不折叠、不破损.第I 卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合401x A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，{}54B x x =-<<，则()R A B ⋂=ð（）A.(](),14,-∞-+∞ B.()(),14,-∞-⋃+∞ C.()5,1-- D.(]5,1--【答案】D 【解析】【分析】解不等式得到集合A ，然后利用补集和交集的定义计算即可.【详解】由题意得集合{}14A x x =-<≤，{R 1A x x =≤-ð或}4x >，所以(){}R 51A B x x ⋂=-<≤-ð.故选：D.2.若2z i z i +=-=，则z =（）A.1B.C.D.2【答案】C 【解析】【分析】设i z x y =+，,R x y ∈，由条件列方程求,x y ，再由复数的模的公式求z .【详解】设i z x y =+，,R x y ∈，因为2z i z i +=-=，2=2=，所以0y =，23x =，所以z ==，故选：C.3.已知()()()2lg5lg 10lg f x x x =⋅+，则()2f =（）A.1B.2C.3D.4【答案】A 【解析】【分析】根据对数的运算性质及函数值的定义即可求解.【详解】因为()()()2lg5lg 10lg f x x x =⋅+，所以()()()()()()()22222lg5lg 20lg 2lg5lg 4lg 2l 5g5l g lg5lg g 2l 22f ⨯=⨯+++=⨯+=+⨯()()22lg 5lg 2lg101=+==.故选：A.4.已知数列{}n a 的前n 项和211n S n n =-.若710k a <<，则k =（）A.9B.10C.11D.12【答案】B 【解析】【分析】先求得n a ，然后根据710k a <<求得k 的值.【详解】依题意211n S n n =-，当1n =时，110a =-；当2n ≥时，211n S n n =-，()()22111111312n S n n n n -=---=-+，两式相减得()2122n a n n =-≥，1a 也符合上式，所以212n a n =-，*N k ∈，由721210k <-<解得911k <<，所以10k =.故选：B5.若x ，y 满足3020x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩则2x y -的最小值是（）A.3-B.5- C.8 D.7-【答案】D 【解析】【分析】根据题意画出可行域，令2z x y =-，即1122y x z =-，所以平移斜率为12的直线，12z -相当于在y 轴上的截距，找到使y 轴上的截距最值时的点代入即可.【详解】由题知，画出满足题意的可行域如下所示，令2z x y =-，即1122y x z =-，12z -相当于直线1122y x z =-在y 轴上的截距，平移直线12y x =，当直线过A 点时，截距最大，z 最小，联立203x y x -+=⎧⎨=⎩，可得()A 3,5，故在A 点时取得最优解，代入2z x y =-，可得7z =-.故选：D.6.已知：()1,2a =r，b = a b - 的最大值是（）A.B. C.+ D.-【答案】B 【解析】【分析】设向量a 与b的夹角为()0πθθ≤≤，由()1,2a =r 可得a =得a b -=.【详解】设向量a 与b的夹角为()0πθθ≤≤，由()1,2a =r ，得a == 所以a b -== ，因为0πθ≤≤，所以1cos θ1-＃，即52520cos 45θ≤-≤≤≤所以a b -的最大值为.故选：B.7.函数()f x 的部分图像如图所示，则()f x 的解析式可能为（）A.()1cos f x x x=+ B.()1sin f x x x =+C.()1cos f x x x=- D.()1sin f x x x=-【答案】D 【解析】【分析】由函数的奇偶性排除A ，C ，由函数在0x =处的变化趋势排除B ，得正确选项．【详解】由函数图像可知,函数()f x 为奇函数,对于A:()()()11cos cos f x x x f x x x-=-+=+≠---，()f x 不是奇函数排除A 选项；()()()11cos cos f x x x f x x x-=--=+≠--，()f x 不是奇函数排除C 选项；对于B ,当0x >，且x 趋近于0时，由图知()f x 趋近于-∞，但()10,sin 0x f x x x→=+>排除B ；故选：D.8.若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πcos 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=（）A.6B.6- C.3D.36【答案】B 【解析】【分析】先由已知条件求出πsin 6α⎛⎫+⎪⎝⎭，然后由ππsin sin 66αα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦化简计算可得答案.【详解】因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ2π,663α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，因为πcos 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以πsin 63α⎛⎫+=== ⎪⎝⎭，所以ππsin sin 66αα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππππsin cos cos sin6666αα⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭132326-=⨯-⨯=，故选：B9.在ABC 中，30C =︒，b =，c x =.若满足条件的ABC 有且只有一个，则x 的可能取值是（）A.12B.32C.1D.【答案】D 【解析】【分析】利用正弦定理得到sin 2B x=，再分030B ︒<≤和30B ︒>两种情况讨论，结合正弦函数的性质求出x 的取值范围，即可判断.【详解】解：由正弦定理sin sin b c B C =，即sin sin 30x B ︒=，所以sin 2B x=，因为ABC 只有一解，若30B ︒>，则90B ︒=，若030B ︒<≤显然满足题意，所以10sin 2B <£或sin 1B =，所以1022x <≤或12x =，解得x ≥或2x =；故选：D10.若将函数()π2sin ,03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期后，与函数()()2cos 2g x x ϕ=+的图像重合，则ϕ的一个可能取值为（）A.π3B.π3-C.2π3-D.4π3-【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数图像平移规律得到平移后的解析式，再对()g x 的解析式变形处理，列出等式，即可判断.【详解】()π2sin ,03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，周期2πT ω=，函数()π2sin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期后，得函数πππ2sin 2sin 236y x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图像，而()()()ππ2cos 22sin 22sin 222g x x x x ϕϕϕ⎡⎤⎛⎫=+=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，由题意π2,2π,Z π26k k ωϕ=+=-∈，Z 2,π32πk k ϕ∴=-∈，令32ππ2π3k ϕ=-=，得1Z 2k =∉，故A 错误；令32ππ23πk ϕ=-=-，得1Z 6=∉k ，故B 错误；令2π2π332πk ϕ=-=-，得0Z k =∈，故C 正确；令32π34π2πk ϕ=-=-，得1Z 3=-∉k ，故D 错误.故选：C.11.已知函数()πe (cos ),0,2π1,,02x x a x f x x x ⎧⎛⎫-∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎤⎪--∈- ⎥⎪⎝⎦⎩在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A.1a ≥B.3a ≥ C.2a ≥ D.12a ≤≤【答案】C 【解析】【分析】利用导数求解π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()f x 单调递减满足的条件，即可结合分段函数的性质求解.【详解】当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()e (cos )x f x x a =-，则()e (cos sin )0xf x x x a '=--≤所以πcos sin 4a x x x ⎛⎫≥-=+ ⎪⎝⎭恒成立，由于π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ3π,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()π1,14x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，因此1a ≥，要使()f x 在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则需要()()01201e cos0a a f a ≥⎧⇒≥⎨=-≥-⎩,故选：C12.已知：22π1tan 8π1tan 8a -=+，2b =，4log 3c =，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.c<a<b D.c b a<<【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数的公式求出22a =，然后借助指数函数的单调性得到2log 31.5232<=<=，即可得到a c <，构造函数()22xf x x =-，利用函数的单调性得到0>，整理后即可得到b c >.【详解】222222πππ1tan cos sin π888cos πππ421tan cos sin 888a --====++，2242log 3log 3log 3log 42c ===，∵2log 31.5232<=<=，2log 3<，则2log 322<，即a c <，设函数()22xf x x =-，则()2ln 22x f x '=-，∵()22412ln 22ln 4ln ln 0f '=-=-=<e e ，()21624ln 22ln 0f '=-=>e，且函数()f x '单调递增，∴()f x '只存在一个0x 使()00f x '=，且()01,2x ∈，当0x x <时，()0f x '<，()f x 在()0,x -∞单调递减，∴()102f f ⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭，即22log 30log 222>⇒>⇒>，即b c >，所以a c b <<.故选：B.【点睛】方法点睛：比较数值大小方法．（1）估值法：找出式子的取值区间，以此判断各个式子的大小关系；（2）构造函数法：当无法进行估值判断式子大小时，可通过构造函数，利用导数判断其单调性，从而判断式子大小．第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数()sin ,sin cos cos ,sin cos ,x x xf x x x x ≤⎧=⎨>⎩，则2023π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【答案】12##0.5【解析】【分析】根据2023π2023πsin cos 33⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎝⎭⎝⎭可得解.【详解】2023ππsin πsin 674πsin 3332⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎝⎭⎝⎭，2023ππ1cos πcos 674πcos 3332⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以2023π2023πsin cos 33⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎝⎭⎝⎭，可得202320231πcos π332⎛⎫==⎪⎝⎭f .故答案为：12.14.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c)cos c b A a -=，b =ABC 的外接圆面积为__________.【答案】9π【解析】【分析】在ABC)cos c b A a -=)sin sin cos sin C B A A -=利用π--C B A =消角可得cos 2B =，则角B可求，又b =，可利用正弦定理求ABC 的外接圆直径，ABC 的外接圆面积可求.【详解】 在ABC)cos c b A a -=，∴)sin sin cos sin C B A A -=，又π--C B A =，())sin sin cos sin B A B A A +-=，)sin cos cos sin sin cos sin B A B A B A A +-=，sin sin B A A =，又在ABC 中sin 0A >，∴2cos 2B =.又 在ABC ，0πB <<，∴π4B =，∴ABC的外接圆直径=6sin 22b B ==，∴ABC 的外接圆的面积为9π.故答案为：9π.15.若()e e 1xx f x =+，则()2e 11ef x +-<的解集是______________.【答案】()0,2【解析】【分析】根据题意求得()f x 为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，结合()2e 11(1)ef f +==，把不等式转化为()1(1)f x f -<，得到11x -<，即可求解.【详解】由函数()e e 1xx f x =+，可得()()11e e e ex xx xf x f x ---=+=+=，所以()f x 为偶函数，当0x ≥时，可得()e e0x xf x -'=+>，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增，又由()2e 11(1)e f f +==，所以不等式()2e 11ef x +-<等价于()1(1)f x f -<，则满足11x -<，解得02x <<，即不等式的解集为()0,2.故答案为：()0,2.16.不等式()()222e 1a b a b m m -+--≥-对任意实数a ，b 恒成立，则实数m 的取值范围是___________.【答案】[1,2]-【解析】【分析】设(,e ),(1,)a P a Q b b +，则可得22PQ m m ≥-，而,P Q 分别在曲线()x f x e =和直线1y x =-上，将直线1y x =-平移恰好与曲线()x f x e =相切时，可求出PQ 的最小值，从而可解关于m 的不等式可得答案.【详解】由题意设(,e ),(1,)aP a Q b b +，则()()222e 1aPQ b a b =-+--，所以22PQ m m ≥-，因为,P Q 分别在曲线()x f x e =和直线1y x =-上，所以将直线1y x =-平移恰好与曲线()x f x e =相切时，切点到直线1y x =-的距离最小，此时PQ 最小，设切线为y x m =+，切点为00(,)x y ，则()x f x e =，得()e x f x '=，所以0e 1x =，得00x =，则01y =，所以PQ 的最小值为点(0,1)到直线1y x =-的距离d ，d ==，即PQ ，所以22m m ≥-，即220m m --≤，解得12m -≤≤，所以实数m 的取值范围是[1,2]-，故答案为：[1,2]-【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查导数的几何意义，解题的关键是将问题转化为(,e ),(1,)a P a Q b b +，22PQ m m ≥-，进一步转化为曲线()x f x e =上的点和直线1y x =-的点的距离最小问题，考查数学转化思想，属于较难题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .AB AC ⋅=- ，ABC 的面积等于3.（1）求A ；（2）求222b c a +的最小值.【答案】（1）2π3A =（2）23【解析】【分析】（1）根据平面向量的数量积定义及三角形的面积公式可得tan A =，进而求解即可；（2）由（1）可得bc =，结合余弦定理可得222b c a +=-22221b c a a +=-，再根据基本不等式可得2222b c a bc +=-≥=2a ≥.【小问1详解】因为cos cos AB AC AB AC A bc A ⋅=⋅⋅=⋅=- 又1sin 32ABC S bc A ==△，两式相除得，tan A =又0πA <<，所以2π3A =.【小问2详解】由（1）知，cos bc A ⋅=-2π3A =，所以bc =，又2221cos 22b c a A bc +-==-，即222b c a +=-所以2222221b c a a a a+=--=，又因为2222b c a bc +=-=1423b c ==⨯时等号成立，所以2a ≥210a <≤，即214303a -≤-<，即2243113a≤-<，所以222b c a +的最小值为23.18.已知数列{}n a 和{}n b 满足：11a =，22a =，0n a >，)*N n b n =∈，且{}n b 是以2为公比的等比数列.（1）证明：24n n a a +=；（2）若2122n n n c a a -=+，求数列{}n c 的通项公式及其前n 项和n S .【答案】（1）证明见解析（2）154n n c -=⋅，()5413n n S =-【解析】【分析】（1）先求得n b ，然后根据递推关系证得24n n a a +=.（2）先求得n c ，然后结合等比数列前n 项和公式求得n S .【小问1详解】依题意，11a =，22a =，0n a >，)*N n b n =∈，1b ==，且{}n b 是以2为公比的等比数列，所以11222n n nb --==，所以1212122n n n n a a --+==，则21122n n n a a +++=，两式相除得224,4n n n na a a a ++==.【小问2详解】由（1）知数列{}2n a 和数列{}21n a -都是公比为4的等比数列，所以1211222221142,42n n n n n n a a a a -----=⋅==⋅=，22211212222254n n n n n n c a a ----=+=+⨯=⨯，1154,4n n n nc c c ++=⨯=，所以数列{}n c 是首项为5，公比为4的等比数列，所以()()514541143n n n S -==--.19.已知函数()222cos sin 3f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.（1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）若函数()()02g x f x πϕϕ⎛⎫=+<<⎪⎝⎭的图像关于点,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，求()y g x =在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】（1）5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈（2）11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及和差角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）首先表示出()g x ，根据对称性求出ϕ，即可得到()g x 的解析式，再根据x 的取值范围求出2x 的范围，最后根据正弦函数的性质计算可得；【小问1详解】解：()222cos sin 3f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭cos 211cos 23222x x π⎛⎫++ ⎪-⎝⎭=--22cos 2cos sin 2sin 11cos 233222x x x ππ-+-=--1cos 2211cos 222222x x x --+-=--13cos 2211cos 222222x x x --+-=--3cos 2sin 2144x x =++1cos 2sin 21222x x ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭sin 2123x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即()sin 2123f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令222,Z 232k x k k πππππ-≤+≤+∈，解得5,Z 1212k x k k ππππ-≤≤+∈，所以函数的单调递增区间为5,,Z 1212ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k .【小问2详解】解：因为()()()33sin 212212323g x f x x x ππϕϕϕ⎡⎤⎛⎫=+=+++=+++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，又()g x 的图像关于点,12π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，所以2,Z 3k k ππϕπ++=∈，解得21,Z 32k k πϕπ=-+∈，因为02πϕ<<，所以3πϕ=，所以()()sin 21sin 2122g x x x π=++=-+，当,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时22,33x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 2,12x ⎤∈⎥⎣⎦，所以()11,24g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.20.已知函数()ln a f x x x x=+-，其中a ∈R .（1）当2a =时，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）如果对于任意()1,x ∈+∞，都有()2f x >，求实数a 的取值范围.【答案】（1）450x y --=（2）1a ≤-【解析】【分析】（1）先将2a =代入得到()f x 解析式，对()f x 求导可得切线的斜率，由()1f 得切点的坐标，利用点斜式得到切线方程；（2）将()f x 代入得到2ln 2a x x x x <+-，所以将对于任意()1,x ∈+∞都有()2f x >转化成了()2min ln 2<+-a x x x x ，构造函数()2ln 2g x x x x x =+-，对()g x 求导判断函数()g x 单调递增，从而得()()1g x g >，即得证.【小问1详解】当2a =时，由已知得()2ln =+-f x x x x ，故()2121=++'f x x x ，所以()11214f '=++=，又因为()21ln1111=+-=-f ，所以函数()f x 的图象在点()1,1-处的切线方程为()141+=-y x ，即450x y --=；【小问2详解】由()2f x >，()1,x ∈+∞，得2ln 2<-+a x x x x ，设函数()2ln 2g x x x x x =+-，()1,x ∈+∞，则()1ln 22ln 21g x x x x x x x'=+⋅+-=+-，因为()1,x ∈+∞，所以ln 0x >，210x ->，所以当()1,x ∈+∞时，()ln 210g x x x '=+->，故函数()g x 在()1,x ∈+∞上单调递增，所以当()1,x ∈+∞时，()()11ln11211g x g >=⨯+-⨯=-，因为对于任意()1,x ∈+∞，都有()2f x >成立，所以对于任意()1,x ∈+∞，都有()a g x <成立．所以1a ≤-．【点睛】思路点睛：本题利用导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导数判断函数的单调区间、利用导数求函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.21.数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，24a =，()()*21n n S n a n +=∈N.（1）求证：数列{}n a 是等差数列，并求出其通项公式；（2）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和53n T <.【答案】（1）32n a n =-（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差得到1(2)(1)1(2)n n n a n a n --=--≥，从而得到12(3)(2)1(3)n n n a n a n ---=--≥，即可得到122(3)n n n a a a n --=+≥，从而得证，再求出公差，即可求出通项公式；（2）由（1）可得()1231n S n n =-，适当放大再利用裂项相消法求和即可.【小问1详解】数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，24a =，*2(1)(N )n n S n a n =+∈①，当1n =时，1121a a =+，解得11a =；当2n ≥时，112(1)(1)n n S n a --=-+②，①-②得1(2)(1)1(2)n n n a n a n --=--≥③，所以12(3)(2)1(3)n n n a n a n ---=--≥④，由③④得122(3)n n n a a a n --=+≥，所以数列{}n a 为等差数列，所以公差21413d a a =-=-=，所以13(1)32n a n n =+-=-．【小问2详解】由（1）可得()3212n n n S -+=，所以，所以()1231n S n n =-，当1n =时，11513S =<，当2n ≥时，()122121211(13133(1)31()3n S n n n n n n n n ==⋅<⋅=----，12111n nT S S S =++⋯+211211211131232331n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 525333n =-<,综上53n T <.22.已知()21e 12x f x x x =---.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设()f x '是()f x 的导数.当[]1,1x ∈-时，记函数()f x 的最大值为M ，函数()f x '的最大值为N .求证：M N <.【答案】（1）()f x 在R 上单调递增（2）见解析【解析】【分析】（1）求导即可由导函数的正负求解原函数的单调性，（2）根据（1）的结论，分别求解M ，N ，即可作差求解大小.【小问1详解】函数()f x 的定义域为R ,()e 1xf x x '=--，令()()(),e 1xx f x x ϕϕ''==-，当()()0,0,x x x ϕϕ'>>单调递增，当()()0,0,x x x ϕϕ'<<单调递减，所以()(0)0x ϕϕ≥=，即()e 10x f x x ¢=--³故函数()f x 在R 上单调递增【小问2详解】由（1）知()f x 在[]1,1x ∈-时，单调递增，且()00f =，故()()[]()(],0,1,1,0f x x y f x f x x ⎧∈⎪==⎨-∈-⎪⎩，所以()(){}max 1,1M f f =-，由于()()115111e 3e 0e 22ef f --=---=--<，所以()()11f f -<，故()51e 2M f ==-,而()51e 2e 2N f M '≥=->-=,因此M N <。

2022年秋期高中三年级期终质量评估数学试题（理）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 5．保持卷面清洁，不折叠、不破损．第I 卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合{}2230A x x x =--≤∣，{}2log 1B x x =≤∣，则A B ⋃＝（ ） A ．［－1，3]B ．(,3]-∞C ．（0，2]D ．（0，3]2．已知复数z 满足(i 1)2i z -=，则 z （ ）A ．1B CD ．23．从3，4，5，6四个数中任取三个数作为三角形的三边长，则构成的三角形是锐角三角形的概率是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．344．已知向量(4,2a =-，(1,5)b =，则向量b 在向量a 方向上的投影是（ ）A ．B ．－1C ．1D5．已知x ∈R ，y ∈R ，若:|1||2|1p x y ++-≥，22:2440q x y x y ++-+≥，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 点M 在C 的右支上，直线1F M 与C 的左支交于点N ，若1F N b =，且2||MF MN =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．13y x =±B ．3y x =±C ．12y x =±D ．2y x =±7．设f （x ）是定义在R 上且周期为4的奇函数，当02x ≤≤时，,01()2,12x x f x x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩，令g （x ）＝f （x ）＋f （x ＋1），则函数y ＝g （x ）的最大值为（ ） A ．1B ．－1C ．2D ．－28．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,π上单调递增，且2()3f x f π⎛⎫≥-⎪⎝⎭恒成立，则ω的值为（ ） A ．2B ．32C ．1D ．129．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线C 于点A ，B （A 在x 轴上方），与抛物线准线交于点M ．若|BM |＝2|BF |，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．60°B ．30°或150°C ．30°D ．60°或120°10．对于函数()sin xf x x x e =+-，[0,]x π∈，下列说法正确的是（ ） A ．函数f （x ）有唯一的极大值点 B ．函数f （x ）有唯一的极小值点 C ．函数f （x ）有最大值没有最小值D ．函数f （x ）有最小值没有最大值11．如图为“杨辉三角”示意图，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前n 项和为n S ，设n b ={}n b 中的整数项依次取出组成新的数列记为{}n c ，则2023c 的值为（ ）A ．5052B ．5057C ．5058D ．506312．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于120时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120°；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知a ，b ，c 分别是ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，且22()6b a c --=，cos sin 2cos 6A C B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若点P 为ABC △的费马点，则PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅=（ ） A ．－6B ．－4C ．－3D ．－2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．上级将5名农业技术员分派去3个村指导农作物种植技术，要求每村至少去一人，一人只能去一个村，则不同的分派种数有______．（数字作答）14．如图，△ABC 内接于椭圆，其中A 与椭圆右顶点重合，边BC 过椭圆中心O ，若AC 边上中线BM 恰好过椭圆右焦点F ，则该椭圆的离心率为______．15．《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，全书总结了战国、泰、汉时期的数学成就，内容十分丰富，在数学史上有其独到的成就．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为“鳖臑”，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，几何体P －ABCD 为一个阳马，其中PD ⊥平面ABCD ，若DE PA ⊥，DF PB ⊥，DG PC ⊥，且PD ＝AD ＝2AB ＝4，则几何体EFGABCD 的外接球表面积为______．16．已知函数1()ln (0)mx x f x x mx x e+=-+>的值域为[0,)+∞，则实数m 取值范围为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚） 17．（本题满分12分）已知数列{}n a 是各项均为正数．．的等差数列， n S 是其前n 项和，且()()122n n n a a S -+=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若89nn n b a ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，求n b 取得最大值时的n ． 18．（本题满分12分）在2022年卡塔尔世界杯亚洲区预选赛十二强赛中，中国男足以1胜3平6负进9球失19球的成绩惨败出局．甲、乙足球爱好者决定加强训练提高球技，两人轮流进行定位球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得－1分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为12，乙每次踢球命中的概率为23，甲扑到乙踢出球的概率为12，乙扑到甲踢出球的概率15，且各次踢球互不影响，（1）经过一轮踢球，记甲的得分为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）若经过两轮踢球，用2p 表示经过第2轮踢球后甲累计得分高于乙累计得分的概率，求2p ．19．（本题满分12分）如图，四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=，PB ⊥底面ABCD ，112PB AB AD BC ====，设平面P AD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面P AB ；（2）设Q 为l 上的动点，求PD 与平面QAB 所成角的正弦值的最大值． 20．（本题满分12分）已知函数2()ln f x a x x ax =-+． （1）当a ＝1时，求证：()0f x ≤；（2）若函数f （x ）有且只有一个零点，求实数a 的取值范围． 21．（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，离心率为12，其左右焦点分别为1F ，2F ，点A （1，－1）在椭圆内，P 为椭圆上一个动点，且1||PF PA +的最大值为5． （1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 的上半部分取两点M ，N （不包含椭圆左右端点），且122FM F N =，求四边形12F F NM 的面积．选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分． 22．【选修4－4：坐标系与参数方程】（10分） 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos (sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）， （1）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求曲线C 极坐标方程； （2）若点A ，B 为曲线C 上的两个点且OA OB ⊥，求证：2211||||OA OB +为定值． 23．【选修4－5：不等式选讲】（10分）已知存在0x ∈R ，使得0024x a x b +--≥成立，a ，b +∈R ． （1）求a ＋2b 的取值范围；（2）求22a b +的最小值．2022年秋期高中三年级期终质量评估数学（理）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）13．150 14．13 15．20π 16．21,e ∞⎛⎤- ⎥⎝⎦ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【解析】（1）当1n =时，()()1111122a a S a -+==，解得：12a =或者11a =-，因为0n a >，故12a =． 方法一：因为()()1222n n n n a a n a S ++==，所以()()()21222n n n n a a a +-+=，又0n a >，即可得1n a n =+．方法二：当2n =时，()()22221222a a S a -+=+=，易得：23a =．因为数列{}n a 是等差数列，故1n a n =+．（2）由（1）知，()819n n b n ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，故()11829n n b n ++⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭．18799nn n n b b +-⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭， 当7n <时，1n n b b +>；当7n =时，1n n b b +=； 当n >7时，1n n b b +<；故数列{}n b 的最大项为7b ，8b ，即7n =或8 18．【解析】（1）记一轮踢球，甲进球为事件A ，乙进球为事件B ，A ，B 相互独立， 由题意得：()1121?255P A ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，()2111323P B ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭， 甲的得分X 的可能取值为－1，0，1，()()()()21111535P X P AB P A P B ⎛⎫=-===-⨯= ⎪⎝⎭，()()()()()()()21218011535315P X P AB P AB P A P B P A P B ⎛⎫⎛⎫==+=+=⨯+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()214115315P X P AB P A P B ⎛⎫====⨯-=⎪⎝⎭， 所以X 的分布列为：所以()411015151515E X =-⨯+⨯+⨯= （2）根据题意，经过第2轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的情况有三种； 分别是：甲两轮中第1轮得0分，第2轮得1分； 或者甲第1轮得1分，第2轮得0分； 或者甲两轮各得1分，于是：()()()()()201101p P X P X P X P X P X ⎡⎤==⋅=+=⋅=+=⎣⎦8448416151515151545⎛⎫=⨯+⨯+= ⎪⎝⎭ 19．【解析】（1）证明：因为PB ⊥底面ABCD ，所以PB BC ⊥． 又底面ABCD 为直角梯形，且2ABC BAD π∠∠==，所以AB BC ⊥．因此BC ⊥平面PAB ．因为BC AD ∥，BC ⊄平面PAD ， 所以BC ∥平面PAD ．又由题平面PAD 与平面PBC 的交线为l ， 所以l BC ∥，故l ⊥平面PAB ．（2）以B 为坐标原点，BC 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -， 则()0,0,0B ，()2,0,0C ，()0,1,0A ，()0,0,1P ，由（1）可设(),0,1Q a ，则(),0,1BQ a =．设(),,n x y z =是平面QAB 的法向量，则00n BQ n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00ax z y +=⎧⎨=⎩，可取()1,0,n a =-所以cos ,3n PD n PD n PD⋅-==⋅设PD 与平面QAB 所成角为θ，则sinθ==因此：当0a>≤（当且仅当1a=时等号成立）又当0a≤时，易知不符合题意．所以PD与平面QAB所成角的正弦值的最大值为3．20．【解析】（1）()()()221112121x xx xf x xx x x----++='=-+=故f（x）在（0，1）上是单调增加的，在（1，＋∞）上是单调减少的．所以()()max10f x f==，即()0f x≤（2）当a＝0时，()2f x x=-，不存在零点当0a≠时，由()0f x=得21ln x xa x+=，()0,x∞∈+设()2ln x xg xx+=，则()312ln x xg xx--'=令()12lnh x x x=--，易知()h x在()0,∞+上是单调减少的，且()10h=．故()g x在()0,1上是单调增加的，在()1,∞+上是单调减少的．由于21111egee-+⎛⎫=<⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭，()11g=，且当1x>时，()0g x>故若函数()f x有且只有一个零点，则只须11a=或1a<即当(){},01a∞∈-⋃时，函数()f x有且只有一个零点．21．【解析】（1）由题意知：12ca=，即2a c=，又由椭圆定义可得：()122PF PA a PA PF+=+-2225a AF a≤+==，又∵222a b c =+，且52a ≤， 故可得：2a =，b =1c =．即椭圆C ：的方程为：22143x y += （2）延长1F M 交椭圆于点P ，由122FM F N =， 根据椭圆的对称性可得112F M PF =．设()11,M x y ，()22,P x y ，则()22,N x y --．显然，10y >． 设直线PM 的方程为1x my =-，联立221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()2234690m y my +--=，∴122634my y m +=+① 122934y y m =-+②又112FM PF =，得122y y =-③由①②③得，m =得直线PM的方程为15x y =-20y -+=， 设2F 到直线PM 的距离为d ，则由距离公式得：3d ==，又由弦长公式得：12PM y =-==将m =278PM =， 设四边形12F F NM 的面积为S ，易知1127228S PM d =⋅⋅=⨯= 【选做题】 22．【解析】（1）因为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩，所以曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=． 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以，曲线C 的极坐标方程为：2243sin 1ρθ=+（2）由于OA OB ⊥，故可设()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭21243sin 1ρθ=+，22243cos 1ρθ=+，所以2222121111||||OA OB ρρ+=+ ()()223cos 13sin 1544θθ+++==．即2211||||OA OB +为定值5423．【解析】（1）由题知：()()2222x a x b x a x b a b a b +--≤+--=+=+， 因为存在0x R ∈，使得0024x a x b +--≥，所以只需24a b +≥， 即2a b +的取值范围是[)4,∞+． （2）方法一：由（1）知24a b +≥，因为,a b R +∈，不妨设22t a b =+， 当2b ≥时，224t a b =+>，当02b <<时，有222(42)t b a b -=≥-，整理得，2281651616555t b b b ⎛⎫≥-+=-+ ⎪⎝⎭，此时t 的最小值为165；综上：22a b +的最小值为165．方法二：令222t a b =+，不妨设cos a t θ=，sin b t θ=，因为24a b +≥，所以4cos 2sin t θθ≥≥+，所以：2165t ≥，即22a b +的最小值为165．。

2023年秋期高中三年级期中质量评估数学试题注意事项：1本试卷分第1卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效。

2答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上3选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚4请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．5保持卷面清洁，不折叠、不破损。

第1卷选择题（共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）］．下列集合中，表示空集的是A.{O}c.{xeN忙－1=0}2命题“3x。

ER'点＋X。

＋1,,0"的否定为A.\::/xER, x2+x+l>OC. V xE R, x2 +x+l,, 03．若复数z满足(l+z)i=2,则亡z= A.-2 B.2 B.{xlx<-2，主＞2}o.{xlx>4}B.3.x ER, x2+x+1>0 D．玉ER,x2+x+l<0C.-4iD.4i4公比不为1的等比数列{a,,｝满足a5a7+a凸＝16,若a2a3a9a,,,= 64,则m的值为A.8B.9C.10D.115若函数f(x)=4x-(a-1)2飞a2-5有两个零点，则实数a．的取值范围为A.(-1门B.(-1，.Js) 叶石，订 D (1+2气］6已知GE [0，王］（． ）Sina' y=c''' =s i n °0'"4 , x =(sinaY'"", y =(c o sa)""", z = (si n a)，则A.x<y<zB.x<z < yC.y<x<zD.z <x< y7已知a,b, c分别为6.ABC的三个内角A,B, C的对边，若点P在6.ABC的内部，且满足乙PAB ＝乙PBC ＝乙PCA=0,则称P 为6.ABC 的布洛卡(Brocard)点，0称为布洛卡角布洛卡角满足：PA PB PCcot0 = c otA + cotB + c ote（注：tanxcotx=1)则—+—-＋—-＝c a bA.2sin0B. 2cos0C.2tan0D.2cot08已知f(x) = a e x +�x 2 -ax 在(0,+oo ）上单调递减，则实数a．的取值范围为A.(--00,－1]B. (--00,-1)c.(O,+oo）D.[0,+oo）二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9如图是函数f(x) = sin (mx + rp ）的部分图象，则函数f(x )=yxA.si n(x +f )C.c os（三）B.sin（气－2x )D.c os（子－2x )10已知S,，是数列忆｝的前n项和，3S,，＝a,，＋2，则A.{a,,}是等比数列B.a 9+a.i o>OC.a 孔o a.11> 0D.S,, >01l 设x,yeR,若4x2+ y 2 +xy=l,则x+y 的值可能为A.-2B.-1C.ID.212设a;,r:O,若x=a 为函数f(x)= a (x-a/ (x-b)的极小值点，则下列关系可能成立的是A.a>O 且a>bC.a<O 且a<bB.a>O 且a<bD.a<O 且a>b第II 卷非选择题（共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13一个正实数的小数部分的2倍，整数部分和自身成等差数列，则这个正实数是＿＿＿14．四边形ABCD 中，AD=2,CD=3, BD 是四边形ABCD 的外接圆的直径，则AC-BD=15奇函数f(x)满足f(2+x)= J(l-x), /(-1)= 2023,则/(2023)=16互不相等且均不为1的正数a,b, c满足b是a,C的等比中项，则函数f(x) =a x +2b-·'+e x的最小值为四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17（本小题满分10分）设数列伈｝为等差数列其前n项和为S,,(neN.），数列｛丸｝为等比数列已知a1=b1=1,a5 = 3b2, S4 = 4S2(I)求数列忆｝和｛丸｝的通项公式；(2)求数列{a,,·b,,}的前n项和T”18（本小题满分12分）已知函数f(x)＝五sin皿coswx-sin汤x+½,其中w>O,若买数X1,X2满足V估）－f伈）1=2时，|凸一对的最小值为一(I)求0的值及．f'(x)的单调递减区间；(2)若不等式[f(x)J +2acos(2x＋勹－2a-2<0对任意XE(－工工12 6 ' )时恒成立，求实数a的取值范围．19（本小题满分12分）2S记S,，为数列伈｝的前n项和已知—�+n=2a,,+l(I)证明：忆｝是等差数列；(2)若QI'生，a7成等比数列，求数列{d,1:／1+1}的前2024项的和20（本小题满分12分）在L::;.ABC中，角A,B, C的对边分别为a,b, c,且满足＿＿＿（从以下两个条件中任选一个补充在上面横线上作为已知，将其序号写在答题卡的横线上并作答）条件CD,(b+c)(sinB+sinC) =a sinA+3bsinC条件＠：cos2（于小cosA=¾（l)求角A;(2)若L::;.ABC为锐角三角形，c=l.求L::;.ABC面积的取值范围21（本小题满分12分）已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a, aeR,曲线y=f(x)在卢、(xEf(x l))处的切线也是曲线y=g(x)的切线(I)若x l=1，求a;(2)求a的取值范围22（本小题满分12分）(I)已知函数f(x)=x l nx,判断函数g(x)= f(l+x)+ f(l-x)的单调性并证明．I.Il+－ l--(2)设n为大于1的整数，证明：（n＋1) "(n-l) n >n22023年秋期高中三年级期中质量评估一选择题：1-8.BADC CDBA二选择题：9.BC三填空题：4 8 13.－或－3 3 四解答题：JO.ABO14.-5数学参考答案II.BCl5.－2O2317解：（l）设等差数列忆｝的公差为d,等比数列｛丸｝的公比为q,由S4= 4S2可得4a,+6d = 4(2a1 +d),即6d+4=4(d+2)，解得d=2,所以，a,,=a1 +(n-l)d =1+2(n-1) =2n-l.3b2 = 3q = a5= 9, :. q = 3则b,.=b1q"一I=3•-I;(2)a;,b,,=(2n-1)· 3"-1,则T,,= 1-3° +3·31 +5-32 +···+(2n-1)·3"一1@，12.AC 16.4可得3兀＝1·31+3·32 +.. ·+(2n -3)·3n 一I +(2n-1)·3'危），6 l -3'1一l@－＠得：－2T,, = l + 2(31 + 32 +.. · + 3"一I)-(2n -1) · 3" = 1 + （）II1-3= (2-2n ) · 3" -2,因此，T,,=(n -1)·3" +ll8解：（l ）f(）✓3s i n(J)XCO S (J)X -s i n 2 1x l =.J 3s in(J)X C O S (J)x in (J)x +－2 石l -cos2(J)X.l =—sin2{JJX-＋－22 2石l =—sin2(J)x+-=-cos2(J)X2 2 =S i 中三）因为实数斗，X 2满足V 伈）－f 伈）1=2时，怀－对的最小值为：2冗所以f(x)的最小正周期T ＝冗＝—,解得cv=l,2Q-2n -l · 3',（）所以/(x)=sin （三）由2k 冗十%::,2x+¾::,2k 冗子(k eZ)得f (x)的单调递减区间为[k冗2冗冗＋一，k 冗＋—］(k e Z 6.3） (2)不等式[f(x)J +2acos(2气）－2a-2<0对任意XE(－启）时恒成立，[.f (x )J +2a cos （三）－2a -2= s in 2（三）＋2acos （三）－2a -2= -cos 2（三）＋2acos （三）－2a-l令I =CO S （三）气E (o :）c os （三）e (O,l )一t 2+2a t-2a -1<0,tE{0,1) t 2 + 12a(t -l)矿＋L 2a>—恒成立t -1t 2 +l m江2m+2 2令m=t -l E(-1,0)，一—=＝m+-=+2<-1 t -1m m:. 2a... -L 解得：a2':一一，12l故实数a 的取值范围是[-½,+oo)2S19解：（l)因为—'.!!..+n=2a 11+l,即2S,,+ n 2 = 2na11 + n(D,n当n2':2时，2S,,一1+(n-1/ =2(n-l)a,,一I +(n-1)@,＠－＠得，2S 11+1产2S 11一）－（n-1/ = 2na 11 + n-2(n-l)a,,一）－（n-1),即2a ,,+2n-l =2na 11 -2(n-l)a,'一i +L即2(n-l)a ,,-2(n-l)a ,,一）＝2(n-l)，所以a 11-a n -I = 1,,i 2': 2且n E N •,所以{a,,｝是以1为公差的等经数列(2)由（I)可得a 3=c� +2, � =a 1+6又a 1,a 3, a 1成等比数列，所以(a 1+2/ =a 1 ·(a 1 +6),解得a 1=2,所以a.=n +l1 1 1 1 ... -= � =—-．a ,,a ,,+1 (n+l)(n+2) n +l n+2 :．数列{a ,1:／1+1}的前2024项和为·且－i）＋（主计（曰）＋＋（幸声）千幸倡20解：解析：（l)选择条件＠：由题意及正弦定理知(b+c)=a 2+3bc,b 2 +c 2＿矿l:. a 2=b 2+c 2-bc, :. cosA =�=..'.:..·:O<A<冗，．·.A=色．32bc 2选择条件＠：因为cos2(f+ A )+cosA = ¾，所以sin 2A +cosA = ¾,5 45 1即l-cos 2A +co sA=－，解得cos A ＝一，又O<A ＜冗，42冗所以A=－3(2)由 b C—=—可得s i nB sinCb=气sm[！C+C )石l一cos C +�s i nC 1石）2 2 = --=-----= -＋—· sinC 2 2 tanC冗2因为t0:.ABC 是锐角三角形，由（l )知A =.:.:.,A+B+C ＝冗得到B+C ＝一冗，3 3O<C<.:.:..冗故｛卢－C 2＜工，解得产<C ＜亨所以½<b<232I,..✓3石"3Sil.ABC= ½bcs i n A＝了b 'Sil.ABC E(／＇了）21解：（I)巾题意知，f(l )=O,f'(x)=3x 2一l,f'（l )＝3-l =2,则y =f(x)在点(l,0)处的切线方程为y =2(x -l),y=2x-2设该切线与g(x)切千点化，g （凸）），g'(x)=2x,则g ＇（凸）＝2-Xz =2,解得x 2=1,则g(l )=l+a=2-2=0,解得a=-1;(2)因为f'(x)=3x 2-L 则y=f(x)在点(x I ,f （凸））处的切线方程为y-（式－x 1)= (3x� -l )(x-x,),整理得y =(3x 12－小－勾，设该切线与g (x)切千点化，g （凸）），g'(x)=2x,则g ＇（凸）＝勾～则切线方程为y-（斗＋a)=2凸(x 飞），整理得y =2x 2x －式＋a,则厂：：：：飞X+a，整理行a ＝x 户-2x f=（孚－订－2x f=：亡2x f －扫叶93 2,l令h(x)= �x 4-2x 3-�x +－，则h'(x)=9i 3-6x 2-3x = 3x(3x+l)(x -l ),4 2 4令h'(x)>0，解得－一<x<O 或x>1,3令h'(x)<0，解得x<-－或O<x<L3则x 变化时，h'(x),h(x)的变化悄况如下表：(－OO六）lX h'(x) 。