新湘教版数学九年级下册教案：2.5.4 三角形的内切圆

湘教版数学九年级下册《2.5.4三角形的内切圆》教学设计2一. 教材分析湘教版数学九年级下册《2.5.4三角形的内切圆》是初中数学的重要内容，主要让学生了解三角形的内切圆的概念，理解三角形的内切圆与角平分线、中线的性质，学会用三角形的内切圆解决一些几何问题。

本节课的内容对于学生来说比较抽象，需要通过具体的教学活动，让学生理解和掌握。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了三角形的角平分线、中线的性质，对几何图形的性质有一定的了解。

但是，对于三角形的内切圆这一概念，学生可能比较陌生，需要通过具体的教学活动，让学生理解和掌握。

三. 教学目标1.了解三角形的内切圆的概念，理解三角形的内切圆与角平分线、中线的性质。

2.学会用三角形的内切圆解决一些几何问题。

3.培养学生的空间想象能力，提高学生的几何思维能力。

四. 教学重难点1.三角形的内切圆的概念。

2.三角形的内切圆与角平分线、中线的性质。

3.用三角形的内切圆解决几何问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究三角形的内切圆的性质。

2.采用几何画板等软件，直观展示三角形的内切圆的性质，帮助学生理解。

3.通过具体的例题，让学生学会用三角形的内切圆解决几何问题。

六. 教学准备1.准备相关的几何画板软件。

2.准备相关的教学PPT。

3.准备一些具体的例题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习三角形的角平分线、中线的性质，引导学生思考：三角形的内切圆与角平分线、中线有什么关系？从而引出本节课的主题——三角形的内切圆。

2.呈现（10分钟）使用几何画板软件，展示三角形的内切圆的性质，让学生直观地感受三角形的内切圆与角平分线、中线的关系。

3.操练（10分钟）让学生通过观察几何画板软件中的图形，尝试总结出三角形的内切圆的性质。

教师在旁边引导，帮助学生归纳出三角形的内切圆的性质。

4.巩固（10分钟）让学生通过自主探究，尝试证明三角形的内切圆的性质。

2.5.4 三角形的内切圆1.了解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆.2.会进行三角形内切圆的相关计算.自学指导 阅读教材第72至74页，完成下列问题. 知识探究1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫作三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形2.三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点.自学反馈1.如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，且∠A BC=50°，∠ACB=80°，则∠BOC=115°.2.⊙O 为△ABC 的内切圆，D 、E 、F 为切点，∠DOB=73°，∠DOE=120°，则∠DOF=146°，∠C=60°，∠A=86°.3.自学教材P74练习1、2、3.活动 小组讨论例1 如图，已知⊙O 是Rt △ABC(∠C=90°)的内切圆，切点分别为D 、E 、F.(1)求证：四边形ODCE 是正方形.(2)设BC=a ，AC=b ，AB=c ，求⊙O 的半径r.解：(1)证明略；(2)2a b c +-.这里(2)的结论可记住作为公式来用.例2 如图所示，点I 是△ABC 的内心，∠A=70°，求∠BIC 的度数.解：125°.若I 为内心，∠BIC=90°+12∠A ；若I 为外心，∠BIC=2∠A. 活动2 跟踪训练1.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则△ABC的内切圆半径r=2.2.如图，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，若∠BOC=140°，则∠BIC=125°.3.△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝18 c m，BC＝28 cm，CA＝26 cm，求AF，BD，CE的长．解：根据切线长定理得AE＝AF，BF＝BD，CE＝CD.设AF＝AE＝x cm，则CE＝CD＝(26－x)cm，BF＝BD＝(18－x)cm.∵BC＝28 cm，∴(18－x)＋(26－x)＝28.解得x＝8.∴AF＝8 cm，BD＝10 cm，CE＝18 cm.活动3 课堂小结会进行三角形的内切圆相关计算及内心，直角三角形内切圆半径公式的应用.。

直线与圆的位置关系【学习内容】直线与圆的位置关系——三角形的内切圆【学习目标】1．理解三角形内切圆及内心的定义。

2．会用尺规作三角形的内切圆。

【学习重难点】1．内切圆、内心的概念及三角形内切圆的画法。

2．探索三角形内切圆的画法。

【学习过程】一、知识回顾如何作三角形的外接圆？它外心是如何确定的呢？二、情景导入木工师傅如何在一块三角形木板上裁一个最大的圆形木板？这个圆与三角形三边应成什么位置关系？三、新知探究（一）探究一：探究与三角形三边都相切的圆画一画→议一议→点评→归纳：与三角形的三条边都相切的圆有且只有一个。

1．如图（一），点P在⊙O上，过点P作⊙O的切线。

2．如图（二），点D、E、F在⊙O上，分别过点D、E、F作⊙O的切线，3条切线两两相交于点A、B、C。

3．思考：这样得到的△ABC ，它的各边都与⊙O，圆心O 到各边的距离都 。

反过来，如果已知△ABC ，如何作⊙O ，使它与△ABC 的三边都相切呢？解：（二）探究二：三角形的内切圆等概念已知：△ABC ；求作：⊙O ，使它与△ABC 的各边都相切。

归纳：与三角形各边都相切的圆叫做 ；内切圆的圆心叫做 ；这个三角形叫做 。

（三）探究三：例题讲解△ABC 中，⊙O 是△ABC 的内切圆，∠A=70°，求∠BOC 的度数。

四、知识梳理本节课你学到了什么？有什么收获和体会？还有什么困惑？1．与三角形各边都 的圆叫三角形的内切圆；内切圆的圆心叫 ；这个三角形叫做 。

2．内心的性质：3．如何△ABC 的内切圆？ A B C O。

2.5.4 三角形的内切圆师者，所以传道，授业，解惑也。

韩愈市实验学校陈思思【知识与技能】1.理解三角形内切圆的定义，会求三角形的内切圆的半径.2.能用尺规作三角形的内切圆.【过程与方法】经历作一个三角形的内切圆的过程,培养学生的作图能力.【教学重点】三角形内切圆的定义及有关计算.【教学难点】作三角形的内切圆及有关计算.一、情境导入，初步认识如图,已知△ABC,请作出△ABC的三条角平分线.问:所作的三条角平分线是否相交于一点,这一点到三角形三边的距离是否相等,为什么?归纳:三角形三条角平分线交点到三边距离相等.二、思考探究，获取新知1.三角形内切圆的作法如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？教师引导学生，作与三角形三边相切的圆，圆心到三角形的三条边的距离相等.学生思考下列问题:圆心如何确定?学生回答:【教学说明】分别作出∠B、∠C的平分线BM和CN.设它们相交于点I,那么点I到三边的距离相等.以点I为圆心,点I到BC的距离ID为半径作圆,则⊙I与△ABC的三条边都相切.2.三角形内切圆的相关概念与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.【教学说明】要将三角形的外心与内心区别开来,三角形的外心是三边垂直平分线的交点,三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等,三角形的外心可以在三角形的内部、外部和边上,而三角形的内心只能在三角形内部.3.例题讲解例1如图,⊙O是△ABC的内切圆,已知∠A=70°,求∠BOC的度数.解:∵⊙O是△ABC的内切圆，∴∠1=12∠ABC,∠2=12∠ACB.∵∠A=70°.∴∠ABC+∠ACB=110°. ∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-12(∠ABC+∠ACB)=180°-12×110°=125°.例2如图所示，已知⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径______.【解析】作OD⊥BC,OE⊥AB,连结OB,OC.由点O为内切圆的圆心,得∠ABO=∠CBO=∠BCO=30°,所以OB=OC，点D为BC的中点，即BD=1.设OD=r,则OB=2r.根据勾股定理，得12+r2=(2r)2,解得r=33(舍去负值）.答案:3 3【教学说明】本题还可以利用Rt△BOD中的条件，用三角函数或解直角三角形来解决比较容易.四、运用新知，深化理解.下面说法正确的是()A.与三角形两边相切的圆一定是三角形的内切圆B.经过三角形的三个顶点的圆一定是三角形的内切圆C.任意一个三角形都有且只有一个内切圆D.任意一个三角形都有无数个内切圆2.如图,△ABC的内切圆的半径为2cm,三边的切点分另为D、E、F,△ABC的周长为10cm，那么S△ABC=______cm2.第2题图第3题图3.如图，在Rt△ABC中，∠=90°,AC=5，⊙O与Rt△ABC的三边AB、BC、AC相切于D、E、F，半径r=2，则△ABC的周长为_____.4.如图，△ABC的内切圆分别与BC、AC、AB相切于点D、E、F，且AB=9cm,BC=14cm,AC=13cm,求AF、BD、CE的长.第4题图 第5题图5.如图,点E 为△ABC 的内心,AE 交△ABC 的外接圆于点D,求证:D=ED=CD.【学说明】学生自主完成,加深对新知的理解.【答案】1.C 2.10 3.304.解:AF=4cm,BD=5cm,CE=9cm ，提示：设AF=AE=x,BF=BD=y,CE=CD=z,则有9,14,13,x y y z x z +=+=+=⎧⎪⎨⎪⎩解之即可.5.解:连接BE,E 为△ABC 的内心,∴∠BAD=∠CAD,∴BD CD =,∴BD=CD.又∠ABE=∠CBE,∠BED=∠BAD+∠ABE,而∠EBD=∠CBE+∠CBD,又∠CBD=∠CAD,∴∠BED=∠EBD,∴ED=BD,∴BD=ED=CD.四、师生互动，课堂小结1.这节课你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问，请与同学们交流一下.2.本节课先学习了三角形内切圆的作法,接着讲述了三角形内切圆的相关概念,然后是三角形内心的有关计算.1.教材P75第6、7题，P76第8题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课通过学生动手画三角形的内切圆,解决三角形的内切圆有关的题目,常和切线长定理相联系,学习时要体会到这一点.【素材积累】1、冬天，一层薄薄的白雪，像巨大的轻软的羊毛毯子，覆盖摘摘这广漠的荒原上，闪着寒冷的银光。

《三角形的内切圆》精品教案讲授新课一、三角形的内切圆【议一议】想在一块三角形硬纸板上剪下一个面积最大的圆形纸板，应当怎样剪？（出示课件5）回答：这个圆应当与三角形的三条边都相切。

【动脑筋】与三角形的三条边都相切的圆存在吗？若存在，如何画出这样的圆？（出示课件6）分析：1.如果圆与△ABC的三条边都相切，那么圆心O与三角形三边的距离应等于圆的半径，从而这些距离相等。

2.到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，因此圆心O应是∠A与∠B的平分线的交点。

作法：（1）作∠A，∠B的平分线AD，BE，它们相交于点O；（2）过点O作AB的垂线，垂足为M；（3）以点O为圆心，OM为半径作圆．⊙O 就是所求作的圆。

师：请同学们总结一下画三角形的内切圆的步骤是什么呢？回答：画角平分线→定内心→定半径→画圆→结论师：这样的圆可以作出几个?为什么?思考并回答问题动手作图，画三角形的内切圆通过提问，让学生知道内切圆的概念通过动手操作，让学生知道怎样画三角形的内切圆通过提问，让学（出示课件8）∵直线BE和CF只有一个交点I，并且点I 到△ABC三边的距离相等∴和△ABC三边都相切的圆可以作出一个，并且只能作一个。

【内切圆的概念】（出示课件9）师：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心叫作三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形。

【三角形内心的性质】师：三角形内心的性质是什么呢？请同学们和同桌商量一下再回答。

回答：①三角形的内心是三角形角平分线的交点；②三角形的内心到三边的距离相等；③三角形的内心一定在三角形的内部。

【三角形内心与外心的区别与联系】师：请同学们完成下面的表格，可以和同桌商量。

师：关于三角形的内心和外心的理解，我们一起来看看几个题。

（出示课件12）1.如图1，△ABC是⊙O的内接三角形。

⊙O 是△ABC的外接圆，点O叫△ABC的外心，它是三角形三边垂直平分线的交点。

点O到△ABC的三个顶点距离相等。

2．5.4 三角形的内切圆1．了解有关三角形的内切圆和三角形内心的概念；(重点)2．能运用三角形内切圆、内心的知识进行有关的计算．(难点)一、情境导入 新农村建设中，张村计划在一块三角形场地中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．二、合作探究 探究点一：三角形的内切圆的相关计算 【类型一】 利用三角形的内切圆求角的度数如图，⊙O 内切于△ABC ，切点D ，E ，F 分别在BC ，AB ，AC 上．已知∠B ＝45°，∠C ＝65°，连接OE ，OF ，DE ，DF ，那么∠EDF 等于()A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°解析：∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∠B＝45°，∠C ＝65°，∴∠A ＝70°.∵⊙O 内切于△ABC ，切点分别为D 、E 、F ，∴∠OEA ＝∠OF A ＝90°，∴∠EOF ＝360°－∠A －∠OEA －∠OF A ＝110°，∴∠EDF ＝12∠EOF ＝55°.故选B. 方法总结：解决本题的关键是利用三角形内切圆的性质，求出∠EOF 的度数． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】 求三角形的内切圆的半径如图，⊙O 是边长为2的等边△ABC 的内切圆，则⊙O 的半径为________．解析：如图，连接OD 、OC .由等边三角形的内切圆的圆心即为底边上的中线，底边上的高和顶角的平分线的交点，所以∠OCD ＝30°，OD ⊥BC ，所以CD ＝12BC ，OC ＝2OD .又由BC ＝2，则CD ＝1.在Rt △OCD 中，根据勾股定理得OD 2＋CD 2＝OC 2，所以OD 2＋12＝(2OD )2，所以OD ＝33.即⊙O 的半径为33.故答案为33. 方法总结：等边三角形的内切圆的圆心为等边三角形中线、高、角平分线的交点，它到等边三角形三边的距离相等．而在解直角三角形内切圆的相关问题时，经常要用到“圆心到切线的距离等于半径”这条性质．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题【类型三】求三角形的周长如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB、BC分别相切于点D、E，过劣弧DE︵(不包括端点D、E)上任一点P作⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N.若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为()A．r B.32r C．2r D.52r解析：连接OD，OE，∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC.又∵MD，MP都是⊙O的切线，且D、P是切点，∴MD＝MP，同理可得NP＝NE，∴C Rt△MBN＝MB＋BN＋NM＝MB＋BN＋NP＋PM＝MB＋MD＋BN＋NE＝BD＋BE＝2r.故选C.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题探究点二：三角形的内心的相关证明与计算如图，已知E是△ABC的内心，∠A的平分线交BC于点F，且与△ABC的外接圆相交于点D.(1)求证：BD＝ED；(2)若AD＝8cm，DF∶F A＝1∶3.求DE的长．解析：(1)求证BD＝ED，可利用等角对等边证明．只要证明∠DBE＝∠DEB即可；(2)要求DE的长，可转化为求BD的长．利用△BDF∽△ADB，用比例式即可求解．(1)证明：∵E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD.又∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD.∴∠CBE＋∠CBD＝∠ABE＋∠BAD.即∠DBE＝∠DEB，故BD＝ED；(2)解：∵AD＝8cm，DF∶F A＝1∶3，∴DF＝14AD＝14×8＝2(cm)．∵∠CBD＝∠BAD，∠D＝∠D，∴△BDF∽△ADB，∴BDAD＝DFBD.∴BD2＝AD·DF＝8×2＝16，∴BD＝4cm，又∵BD＝DE，∴DE＝4cm.方法总结：(1)充分利用内心的意义以及三角形的外角、同弧所对的圆周角来证明角相等，最后利用等角对等边证明线段相等；(2)用相似三角形得比例式，由比例式求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题三、板书设计相等.。

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2.5.4 三角形的内切圆1.了解三角形的内切圆及内心的特点,会画三角形的内切圆。

2。

会进行三角形内切圆的相关计算.自学指导阅读教材第72至74页，完成下列问题.知识探究1。

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫作三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形2.三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点.自学反馈1.如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠A BC=50°，∠ACB=80°,则∠BOC=115°。

2.⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F为切点，∠DOB=73°，∠DOE=120°，则∠DOF=146°,∠C=60°，∠A=86°。

3。

自学教材P74练习1、2、3。

活动小组讨论例1如图，已知⊙O是Rt△ABC(∠C=90°）的内切圆，切点分别为D、E、F.（1)求证：四边形ODCE是正方形。

（2)设BC=a，AC=b，AB=c，求⊙O的半径r.解:（1）证明略；（2)2a b c +-. 这里（2）的结论可记住作为公式来用.例2 如图所示，点I 是△ABC 的内心,∠A=70°，求∠BIC 的度数.解：125°.若I 为内心，∠BIC=90°+12∠A;若I 为外心,∠BIC=2∠A 。