成都七中高中二年级文科数学下期期末考试考试卷

四川省成都市第七中学高二数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若平面α内有无数条直线与平面β平行，则α与β的位置关系是（）A．平行B．相交C．平行或相交D．重合参考答案：C【考点】平面与平面之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】当α∥β时，平面α内有无数条直线与平面β平行；当α与β相交时，平面α内有无数条平行直线与平面β平行．【解答】解：由平面α内有无数条直线与平面β平行，知：当α∥β时，平面α内有无数条直线与平面β平行；当α与β相交时，平面α内有无数条平行直线与平面β平行．∴α与β的位置关系是平行或相交．故选：C．【点评】本题考查两平面的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．2. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（）A.18B.24C.30D.36参考答案：C略3. 下列函数中，最小值为4的函数是（）A．y=x+B．y=sinx+（0＜x＜π）C．y=e x+4e﹣x D．y=log3x+4log x3参考答案：C【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的使用法则“一正二定三相等”即可判断出结论．【解答】解：A．x＜0时，y＜0，不成立；B．令sinx=t∈（0，1），则y=t+，y′=1﹣＜0，因此函数单调递减，∴y＞5，不成立．C．y=4，当且仅当x=0时取等号，成立．D．x∈（0，1）时，log3x，log x3＜0，不成立．故选：C．【点评】本题考查了基本不等式的使用法则“一正二定三相等”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4. 有3位同学参加某项测试，假设每位同学能通过测试的概率都是，且各人能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为A. B.C. D.参考答案：D5. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（）A. (－∞,－2]B.C. D. (－2,+∞)参考答案：D【分析】先将函数在区间内存在单调递增区间，转化为在区间上有解，再转化为，进而可求出结果.【详解】因为在区间内存在单调递增区间，所以在区间上成立，即在区间上有解，因此，只需，解得.故选D6. 点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=0参考答案：C【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由垂径定理，得AB中点与圆心C的连线与AB互相垂直，由此算出AB的斜率k=1，结合直线方程的点斜式列式，即可得到直线AB的方程．【解答】解：∵AB是圆（x﹣1）2+y2=25的弦，圆心为C（1，0）∴设AB的中点是P（2，﹣1）满足AB⊥CP因此，PQ的斜率k===1可得直线PQ的方程是y+1=x﹣2，化简得x﹣y﹣3=0故选：C7. 与为同一函数的是（）.A． B. C. D. 参考答案：B8. 下列命题，正确的是（）A.若z∈C，则z2≥0B.若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋iC.若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数D.若z＝，则z3＋1对应的点在复平面内的第一象限参考答案：D略9. 若集合M={y|y=2x}, P={x|y=}, M∩P=（）A．B．C．D．参考答案：A10. 设，满足约束条件且的最小值为7，则（）A.-5B.3C.-5或3D.5或-3参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数．那么函数的最小正周期为参考答案：试题分析：考点：三角函数化简及性质12. 两平行线：4x+3y－1=0，8x+6y－5=0间的距离等于 .参考答案：13. 已知在上单调递减，则实数的取值范围是_________参考答案： [-2，1]14. 已知具有线性相关关系的变量x 和y ，测得一组数据如下表：若已求得它们的回归直线方程的斜率为6.5，则这条回归直线的方程为 ．y=6.5x ﹣2.5【考点】BK ：线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，由回归直线的 斜率可求回归直线的方程 【解答】解：∵，∴这组数据的样本中心点是（5，30） 把样本中心点（5，30）代入回归直线方程，可得a=﹣2.5∴回归直线的方程为y=6.5x ﹣2.5 故答案为：y=6.5x ﹣2.515. 如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为 .参考答案：2416. 展开式中的系数为-___ _____.参考答案： 3 略17. 椭圆的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上,且直线PA 2斜率的取值范围是[－2,－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是___________.参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

四川省成都市第七中学（高新校区）2023-2024学年高二下学期4月学科素养测试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在数列{}n a 中，若11a =，142n n a a +=-，则12a =（ ） A ．2- B ．43- C ．1 D ．4 2．下列命题中错误的是（ ）A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β3．已知数列{}n a 是等比数列，若332a =，392S =，则1a 的值为（ ） A ．6 B ．32 C ．4 D ．6或324．已知等差数列{}n a ，若2a 、4038a 是函数()32113f x x x mx =-++的极值点，则2020a 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．1±D ．0 5．有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为（ ） A ．15 B ．16 C ．17 D ．18 6．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，对任意的实数x ，都有()10f x '+<，且(1)1f =-，则（ ）A ．(0)0f <B ．()f e e <-C ．()(0)f e f >D ．(2)(1)f f > 7．函数lg xy x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．设O 为坐标原点，12,F F 为椭圆22:143x y C +=的两个焦点，点P 在C 上，123cos 5F PF ∠=，则12PF PF ⋅=u u u r u u u u r （ ）A ．94B ．74C ．2D ．72二、多选题9．关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（ ）A ．若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则数列{}n a 为等比数列B ．若{}n b 的前n 项和22=++n S n n ，则数列{}n b 为等差数列C ．若数列{}n a 为等比数列，n S 为前n 项和，则232,,,n n n n n S S S S S --L 成等比数列D ．若数列{}n b 为等差数列，n S 为前n 项和，则232,,,n n n n n S S S S S --L 成等差数列10．已知椭圆C ：22162x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且点()1,1P 为线段MN 的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．椭圆CB ．12PF F △的面积为1C ．直线l 的方程为340x y +-=D ．MN =11．已知函数()3e 1x f x x a =-+-，则下列选项正确的是（ ）A ．()y f x =在()2,3上单调递减B ．()y f x =恰有一个极大值C ．当1a >时，()y f x =有三个零点D ．当1a =时，()()0f f x =有三个实数解三、填空题12．抛物线21x y a=的准线方程为1y =，则实数a 的值为. 13．若函数()e x f x x =-在区间()4,-a a 上存在最大值，则实数a 的取值范围是．14．在数列{}n a 的首项为11a =，且满足132n n n a a ++=⋅，设数列{}n a 的前n 项和n S ，则n a =，9S =．四、解答题15．已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，公差0d >，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 16．已知()()ln 1f x x a x =+-.(1)讨论()f x 的单调性；(2)当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围.17．如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o .（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=o ，求二面角A −PB −C 的余弦值.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(2)8,(2,0)A x y B ++=，动圆P 经过点B 且与圆A 相外切，记动圆的圆心P 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)试问，在x 轴上是否存在点M ，使得过点M 的动直线l 交C 于E ，F 两点时，恒有EAM FAM ∠=∠？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.19．已知R a ∈，函数()2e x f x ax =+，()g x 是()f x 的导函数．(1)当0a >时，求证：存在唯一的01,02x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()00g x =； (2)若存在实数a ，b ，使得()f x b ≥恒成立，求a b -的最小值．。

2024届成都市七中高三数学（文）下学期入学考试卷2024.02考试时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2Z 2150A x x x =∈--<，{}R 10B x x =∈-≤，则()A B Rð的真子集的个数为（）A．9B．8C．7D．62．若函数()21f x x ax =++是定义在(,22)b b --上的偶函数，则2b f ⎛⎫=⎪⎝⎭（）A．14B．54C．74D．23．已知复数z 满足1i 1i z -=+，则z z +=（）A．i -B．i C．1D．1-4．设m、n 是不同的直线，α、β是不同的平面，以下是真命题的为（）A．若αβ⊥，//m α，则m β⊥B．若n α⊥，n β⊥，则//βαC．若αβ⊥，m α⊥，则//m βD．若m α⊥，m n ⊥，则//n α5．已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()23341S a =+，()24441S a =+．则（）A．1020a =B．550S =C．5758a S +=D．2nna S ≥6．已知π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4417sin cos 25θθ+=，则πtan 4θ⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A．13B．12C．2D．37．口袋中共有3个白球4个黑球，从中随机取出两个球，则两个球颜色恰好相同的概率为（）A．35B．25C．37D．278．对于数列{}n a ，若满足：12321111333n n n nR a a a a -=+++⋅⋅⋅+，则称n R 为数列{}n a 的“优值”，现已知数列{}n a 的“优值”13n n R =，记数列83na ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则n S 的最大值为（）A．223B．233C．243D．2539．设函数π()2sin(),(0),6f x x ωω=+>若存在12ππ,[,],33x x ω∈-且12x x ≠，使得()()121f x f x ==，则ω的取值范围是（）A．[)4,∞+B．(]4,6C．[)6,∞+D．(]6,1010．在四面体ABCD中，AB =1AD BC CD ===，2πBAD ABC ∠==∠，则该四面体的外接球表面积为（）A．7π2B．7πC．8πD．10π11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(1)(2)2C x y ++-=，若圆22:()(1)2D x a y -+-=上存在点P，由点P 向圆C 引一条切线，切点为M，且满足|||PM PO =，则实数a 的取值范围为（）A．[1]B．[4,2]-C．[3,3]-D．[2,4]-12．已知函数()22x xf x -=-，若不等式()()1ln 0f ax f x ++>在()0,∞+上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．2,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B．()1,-+∞C．2,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D．(),1-∞-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若双曲线2221(0)y x b b -=>的一条渐近线与直线240x y +-=平行，则双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为．14．若x，y 满足约束条件202x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值与最小值的和为.15．在平面直角坐标系xOy 内，O 为坐标原点，对于任意两点()()1122,,,A x y B x y ，定义它们之间的“曼哈顿距离”为1212AB x x y y =-+-，以对于平面上任意一点P，若2OP =，则动点P 的轨迹长度为．16．设数列{}n a 满足11a =，22a =，()*21,N 2,n n n a n a n a n ++⎧=∈⎨⎩为奇数为偶数，令()22221πlog sin 2n n n b a a -⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭，则数列{}n b的前100项和为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的分组作出频率分布直方图如图所示.(1)求频率分布直方图中a 的值，并估计本次竞赛成绩的中位数和平均数；(2)若按照分层随机抽样从成绩在[80,90),[90,100]的两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人的成绩在[]90,100内的概率.18．在锐角ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b csin Ca b =+．(1)求B 的值；(2)若2b =，求ABC 面积的取值范围．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，22PA PB AB BC CD ====，AB //CD ，AB BC ⊥，平面PAB ⊥平面ABCD.(1)求证：BD PC ⊥；(2)设2AB =，求三棱锥A PCD -的体积.20．设点P 是椭圆221:14x C y +=上任意一点，过点P 作椭圆的切线，与椭圆()22222:114x y C t t t +=>交于A B ，两点.(1)求证：PA PB=;(2)OAB 的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.21．已知函数()2()21ln f x x a x a x a=-+++（a 为实数）．(1)当1a =-时，求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 在(0,1)内存在两个极值点，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选一题作答．如果多选，则按所做的第一题记分．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为()sin cos 3ρθθ+=．(1)写出曲线1C 的极坐标方程，曲线2C 的直角坐标方程；(2)曲线1C 与曲线2C ，如有公共点，求出公共点坐标；如无公共点，设,A B 分别为曲线1C 与曲线2C 上的动点，求线段AB的最小值．【选修4-5：不等式选讲】23．已知函数()223f x x x =--．(1)求不等式()5f x ≥的解集；(2)设函数()()12g x f x x =+++的最小值为m ，若0,0a b >>且2a b m +=，求证：2242a b +≥．1．C【分析】解不等式求出集合A，求出集合B 的补集，即可确定()A B R ð的元素，根据元素的个数，即可求得()A B R ð的真子集的个数.【详解】由题意{}{}2Z 2150Z (3)(5)0A x x x x x x =∈--<=∈+-<{}Z 35{2,1,0,1,2,3,4}x x =∈-<<=--，{}R 10{|1}B x x x x =∈-≤=≤，故R {|1}B x x =>ð，故{2,3,()4}A B =R ð，则()A B R ð的真子集的个数为3217-=，故选：C 2．D【分析】利用偶函数的定义可计算,a b 的值，再根据解析式计算函数值即可.【详解】因为函数2()1=++f x x ax 是定义在(,22)b b --上的偶函数，所以220b b -+-=且()()2211f x x ax x ax f x -=-+=++=，则02a b =⎧⎨=⎩，所以2()1f x x =+，则2(1)1122b f f ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故选：D．3．C【分析】利用复数的四则运算求出复数z 即可得出答案.【详解】由题意，复数z 满足1i 1i z -=+，可得()()11i 11i i i 1i 1i 1i 22z -=+=+=+++-，所以1122z i=-．则z z +=1，故选：C．4．B【分析】根据空间中点线面的位置关系，借助于正方体，逐项分析即可.【详解】对于A,如上图正方体中，设平面11ABB A 为α，平面1111D C B A 为β，CD 为m ，满足αβ⊥，//m α，此时//m β，故A 错误；对于B，因为n α⊥，n β⊥，α、β是不同的平面，则必有//βα，故B 正确；对于C，如上图正方体中，设平面11ABB A 为α，平面1111D C B A 为β，11A D 为m ，满足αβ⊥，m α⊥，此时m β⊂，故C 错误；对于D，如上图正方体中，设平面11ABB A 为α，11A D 为m ，11A B 为n ，则满足m α⊥，m n ⊥，此时n ⊂α，故D 错误.故选:B.5．C【分析】由等差数列,n na S 的关系结合已知等式化简，可得2d =，结合()23341S a =+，求出首项，即可得等差数列的通项公式以及前n 项和公式，由此一一判断各选项，即可得解.【详解】设正项等差数列{}n a 的公差为d，因为()23341S a =+，()24441S a =+，所以两式相减得()()22443411a a a =+-+，可得()4434a a a =-()432a a ++，即()143a d d +=()1252a d ++，所以()()12250d a d -+=，因为{}n a 是正项等差数列，则0,0n a d >≥，则1250a d +>，所以2d =，由()23341S a +＝，得()212314()21a a a a d ++=++，得()2114(33)21a d a d +=++，即()2114(36)5a a +=+，所以11a =，所以21n a n =-，2(121)2n n n S n +-==，得1019a =，525S =，A，B 错误；5794958a S +=+=，C 正确；22211111n n a n S n n -⎛⎫==--+≤ ⎪⎝⎭，D 错误，故选：C.6．D【分析】由同角三角函数的基本关系可得出关于sin θ、cos θ的方程组，解出这两个量的值，可得出tan θ的值，再利用两角和的正切公式可求得πtan 4θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【详解】由已知可得442217sin cos 25sin cos 120sin 22cos 12θθθθθθ⎧+=⎪⎪+=⎪⎪⎨<<⎪<<⎩，解得sin cos θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以，sin 1tan cos 52θθθ===，故π1tan tan1π42tan 3π141tan tan 1142θθθ++⎛⎫+== ⎪⎝⎭--⨯.故选：D.7．C【分析】列举取球所有可能的结果，由两球同色时的情况，求解概率即可【详解】设3个白球分别为,,A B C ，4个黑球为a b c d ,,,，从中随机取出两个球，则所有可能的情况有(),A B ，(),A C ，(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),A d ，(),B C ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),B d ，(),C a ，(),C b ，(),C c ，(),C d ，(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d 共21种情况，其中两个球颜色相同的情况有(),A B ，(),A C ，(),B C ，(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d ，共9种情况，所以两个球颜色相同的概率为93217=.故选：C.8．D【分析】将1231221111133333n n n n n n a a a a a ---=+++⋅⋅⋅++中的n 变为n 1-后两式相减可得数列{}n a 的通项公式，然后令830n a +>即可求出n S 的最大值.【详解】由已知得1231221111133333n nn n n n a a a a a ---=+++⋅⋅⋅++①，则当2n ≥时，123112211113333n n n n a a a a ----=+++⋅⋅⋅+②所以①-②得1111333n n n n n n a ----=，即()21133n n a n n =--=-+，又当1n =时，113a =，符合213n a n =-+，故213n a n =-+，所以2113383n a n ++=-令21103833n a n =+-+>，得5n ≤，所以n S 的最大值为513525323S ⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭==.故选：D.9．A【分析】根据题意，需将π6x ω+看成整体角X ，由x 范围ππ[,],33ω-求得X 范围πππ[,]362ω-+，结合函数2sin y X =的图象，求得使1sin 2X =的两个解，由题只需使π7π66x ω+≤-即可，计算即得.【详解】不妨取π6X x ω=+，由ππ[,]33x ω∈-可得：ππππ[,]6362X x ωω=+∈-+，由2sin 1X =可得1sin 2X =，由图可取12π7π,,66X X ==-要使存在12ππ,[,],33x x ω∈-且12x x ≠，使得()()121f x f x ==，需使，ππ7π366ω-+≤-，解得4ω≥.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题主要考查与正弦型函数图象有关的等高线问题.解决的关键在于将π6x ω+看成整体角，作出正弦函数的图象，结合求得的整体角的范围求得最近的符合要求的角，从而界定参数范围.10．B【分析】根据题设条件作出四面体的高DH ，通过相关条件推理计算分别求出,AH DH ，最后在直角梯形HEOD ，利用勾股定理列出方程即可求得外接球半径.【详解】如图，作DH ⊥平面ABC ，连接,,AH HB HC ，易得,DH AB ⊥因AB AD ⊥，,,AD DH D AD DH ⋂=⊂平面DAH ，所以AB ⊥平面DAH ，AH ⊂平面DAH ，故AB AH ⊥,由题可得30BAC ∠=，2AC =，则120HAC ∠= .不妨设,AH x DH h ==，则有221x h +=①，在HAC △中，由余弦定理，222422cos12024HC x x x x =+-⨯=++ ，在HDC △中，22246h x x +++=②，将两式相减化简即得：12x =，h =.取线段AC 中点E ，过点E 作OE ⊥平面ABC ，其中点O 为外接球的球心，设外接球半径为R ，由余弦定理求得211712cos120424HE =+-⨯= ，在直角梯形HEOD 中，221OE R =-，由2237)24R =-+计算可得：274R =，则该四面体的外接球表面积为7π.故选：B.【点睛】方法点睛：本题主要考查四面体的外接球的表面积，属于中档题.求解多面体的外接球的主要方法有：（1）构造模型法:即寻找适合题意的长方体，正方体，圆柱等几何体，借助于这些几何体迅速求得外接球半径；（2）建立直角梯形或直角三角形法：即先找到底面多边形的外心，作出外接球球心，借助于题设中的条件得到多面体的高，构成直角梯形或直角三角形来求解.11．D【分析】根据PM PO=可求出点P 的轨迹方程，根据点P 的轨迹与圆D 有交点列出不等式求解.【详解】设点P 的坐标为(),x y ，如图所示：由PM 可知：222PM PO=，而222PM PC CM=-，∴2222PC CM PO-=∴()()()22221222x y x y ++--=+，整理得222430xy x y +-+-=，即()()22128x y -++=.∴点P 的轨迹为以点()1,2E -为圆心，P 在圆D 上，∴所以点P 为圆D 与圆E 的交点，即要想满足题意，只要让圆D 和圆E ≤≤解得24a -≤≤.故选：D 12．D【分析】判断函数()22x xf x -=-的奇偶性以及单调性，从而将不等式()()1ln 0f ax f x ++>在()0,∞+上恒成立，转化为1ln ax x +<-在()0,∞+上恒成立，参变分离，再结合构造函数，利用导数求得函数的最小值，即可得答案.【详解】由于函数()22x xf x -=-，定义域为R，满足()()22x x f x f x --=-=-，得()f x 是奇函数，且在R 上为减函数.()()1ln 0f ax f x ++> 在()0,∞+上恒成立，()()()1ln ln f ax f x f x ∴+>-=-在()0,∞+上恒成立，1ln ax x ∴+<-在()0,∞+上恒成立，ln 1x a x +∴<-在()0,∞+上恒成立.令()()ln 1,0,x g x x x ∞+=-∈+，则()2ln xg x x '=，当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，故()g x在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()11,1g x g a∴≥=-∴<-，即a的取值范围为(),1-∞-，故选：D.13．12##0.5【分析】根据已知条件求得b，再求焦点到渐近线距离即可.【详解】根据题意可得12b-=-，故可得12b=，则c=，则右焦点坐标为⎫⎪⎪⎝⎭，一条渐近线为12y x=，右焦点到一条渐近线的距离142 d==.故答案为：1 2.14．8【分析】作出可行域，确定目标函数取最大值时过可行域内的点，求出该点坐标，代入求值，可得答案.【详解】作出不等式组202 x yx yx y+≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，如图所示（阴影部分）：平移直线30x y+=，当直线过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最大，即目标函数3z x y=+取得最大值，联立202x yx y-=⎧⎨-=⎩，解得(4,2)A，得max42310z=+⨯=；当直线过可行域内的点B时，直线在y轴上的截距最小，即目标函数3z x y=+取得最小值，联立20x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得(1,1)B -，故()min 1132z =+-⨯=-，故3z x y =+的最大值与最小值的和为8.故答案为：8.15．【分析】由题意得点P 的轨迹方程，发现它的轨迹是正方形，只需求出一条边的距离即可.【详解】由题意设(),P x y ，则2x y +=，用分别用,x y --依次代入该方程，发现该方程不变，所以曲线2x y +=的图象关于坐标轴以及坐标原点对称，不妨设,0x y ≥，此时2x y +=即2x y +=，它与坐标轴的两个交点坐标为()()2,0,0,2，=，所以由对称性得动点P的轨迹长度为4⨯=.故答案为：16．5000-【分析】根据给定的递推公式，求出数列{}n a 的通项公式，进而求出n b ，再利用分组求和法求解即得.【详解】数列{}n a 满足11a =，22a =，()*21,N 2,n n n a n a n a n ++⎧=∈⎨⎩为奇数为偶数，∴数列{}21n a -是以1为首项，1为公差的等差数列，即21n a n -=，数列{}2n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，即22nn a =，因此()222ππlog 2sin sin22nn n n b n =⋅=，显然πsin 2n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的周期为4，则4342414k k k kb b b b ---+++()()()()()()()222243π42π41π4π43sin42sin41sin4sin2222k k k k k k k k ---=-+-+-+()()()224341821k k k =---=--，令4342414n n n n n c b b b b ---+++=，则有()821n c n =--，()()1821182116n n c c n n +⎡⎤⎡⎤=-+----=-⎣⎣⎦-⎦，∴数列{}n c 是等差数列，数列{}n b 的前100项和，即数列{}n c 的前25项和()()2588122550002⎡⎤⨯-+-⨯⎣⎦=-.故答案为：5000-.17．(1)0.020a =，中位数约为74.3，平均数约为75；(2)35.【分析】（1）利用频率分布直方图所有小矩形面积之和等于1求出a 的值，再估计中位数和平均数.（2）求出抽取的6人中在[80,90),[90,100]的人数，再利用列举法结合古典概率求解即得.【详解】（1）由频率分布直方图，得()100.0050.0300.0350.0101a ++++=，解得0.020a =，成绩在[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的频率依次为0.05,0.3,0.35,0.2,0.1，显然本次竞赛成绩的中位数(70,80)m ∈，则0.35(70)0.0350.5m +-⨯=，解得74.3m ≈，本次竞赛成绩的平均数为550.05650.3750.35850.2950.175x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以0.020a =，中位数约为74.3，平均数约为75.（2）由（1）知，成绩在[)80,90，[]90,100的频率之比为0.2:0.12:1=，则在[)80,90中随机抽取2643⨯=人，记为1，2，3，4，在[]90,100中随机抽取1623⨯=人，记为a，b，从6人中随机抽取2人的样本空间为{}12,13,14,1,1,23,24,2,2,34,3,3,4,4,a b a b a b a b ab Ω=，共15个样本点，设事件A =“至少有1人的成绩在[]90,100内”，则{}1,1,2,2,3,3,4,4,A a b a b a b a b ab =，有9个样本点，因此()93155P A ==，所以至少有1人的成绩在[]90,100内的概率35.18．(1)π6B =(2)(S ∈【分析】（1）由正弦定理、余弦定理进行边角转换即可.（2）由正弦定理、三角形面积公式结合三角恒等变换得5π2cos 26S A ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭结合角的范围即可得解.sin Ca b=+ca b=+，即222a c b+-=，由余弦定理得222cos2a c bBac+-==，因为()0,πB∈，所以π6B=．（2）在锐角ABC中，π2,6b B==，记ABC的面积为S．由正弦定理得2πsin sinsin6a cA C==，即4sin,4sina A c C==．所以()()15πsin4sin sin2cos cos2cos226S ac B A C A C A C A⎛⎫⎡⎤===--+=-+⎪⎣⎦⎝⎭．因为在锐角ABC中，π6B=，所以πππ0,,π0,262A C A⎛⎫⎛⎫∈=--∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得ππ5πππ,,2,32666A A⎛⎫⎛⎫∈-∈-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则5πcos2,162A⎛⎤⎛⎫-∈ ⎥⎪⎝⎭⎝⎦，故(S∈．19．(1)证明见解析(2)【分析】（1）设AB中点为O，连结OP，OC，OD，先证明PO BD⊥，再证明BD OC⊥，即可证明；（2）根据A PCD P ACDV V--＝，再根据PO=，11111222ADCS DC BC=⋅=⨯⨯=，求解即可.【详解】（1）证明：设AB中点为O，连结OP，OC，OD，因为PA PB=，所以PO AB⊥，又因为平面PAB⊥平面ABCD且交线为AB，又因为PO⊂平面PAB，所以PO⊥平面ABCD，因为BD⊂平面ABCD，所以PO BD⊥，因为22PA PB AB BC CD====，所以可知四边形OBCD为正方形，所以BD OC⊥，又因为,,PO OC O PO OC⋂=⊂平面POC，所以BD ⊥平面POC ，而PC ⊂平面POC ，所以BD PC ⊥.（2）因为A PCD P ACDV V --＝，又因为PO =11111222ADC S DC BC =⋅=⨯⨯= ，所以1·36A PCD P ACD ACD V V S PO --==.20．(1)见解析(2)是定值，定值为【分析】（1）直线AB 与椭圆方程联立，证明AB 的中点坐标，即切点P 的坐标；（2）首先讨论直线AB 的斜率不存在的情况，以及直线AB 的斜率存在时与椭圆方程联立，并利用韦达定理表示弦长AB，并表示OAB 的面积.【详解】（1）设直线AB 斜率不存在，则点P 在x 轴上，由对称性可知，PA PB=，若直线AB 的斜率存在，设:AB y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，联立()2204y kx m x y λλ=+⎧⎪⎨+=>⎪⎩，可得()222418440k x kmx m λ+++-=，当1λ=时，直线AB 与椭圆切于点P ，()()2222Δ64164110k m k m =-+-=，解得：2241m k =+，02441km x k -=+，当2t λ=时，线段AB 中点的横坐标12024241x x kmx k +-==+，所以点P 为线段AB 的中点，PA PB=，综上，PA PB=；（2）若直线AB 斜率不存在，则:2AB x =±，与椭圆2C方程联立可得，(2,A ±，(B ±，故OAB S = 若直线AB 的斜率存在，由（1）可得122841kmx x k -+=+，221224441m t x x k -=+，2241m k =+AB =点O 到直线AB的距离d ==所以12OAB S AB d =⋅= 综上OAB 的面积为定值【点睛】关键点点睛：本题第一问的关键是转化为直线AB 与椭圆相交和相切的问题，转化为证明AB 的中点，即切点P .21．(1)()f x 的单调递减区间为1(0,2，递增区间为1(,)2+∞(2)110,22⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）求导(21)()()x x a f x x --'=，易知1a =-时，10x a x -=+>，然后由()0f x '<和()0f x '>求解；（2）由（1）知，0a ≤时，不符合题意，0a >时，根据函数()f x 在()0,1内存在两个极值点，得到()0f x '=在()0,1内存在两个变号零点.【详解】（1）函数()y f x =的定义域为(0,)+∞，()(21)()()221a x x a f x x a x x --=-+='+．当1a =-时，10x a x -=+>，所以当1(0,2x ∈时，()0f x '<，当1(,)2x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 的单调递减区间为1(0,2，递增区间为1(,)2+∞.（2）由（1）知，0a ≤时，当1(0,2x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在1(0,)2内单调递减；当1(,)2x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在1(1)2，内单调递增，所以()f x 在()0,1内存在唯一极值点，不合题意；当0a >时，要使函数()f x 在()0,1内存在两个极值点，则22(21)x ()0x a af x x -++'==在()0,1内存在两个变号零点，即方程22(21)0x a x a -++=在()0,1内存在两个不相等的实数根，因为22(21)0x a x a -++=的两根()110,12x =∈，()20,1x a =∈，所以只需()0,1a ∈且12a ≠即可，故a 的取值范围为11(0,)(,1)22 ．【点睛】方法点睛：本题第2问考查已知原函数的极值点的情况求参数的范围，且问题最终转化为二次函数根的分布问题，对于二次函数根的分布问题，主要有两种方法：1.直接求出方程的根，然后使得根满足相应的条件列出对应的不等式组求解.（适用范围：原式可因式分解）；2.根据根的分布画出二次函数的图像，从图像上列出不等式组求解.（适用范围：原式不可因式分解).22．(1)曲线1C 极坐标方程()22cos sin 10ρρθθ--+=，曲线2C 的直角坐标方程为30x y +-=(2)无公共点，1【分析】(1)由参数方程，直角坐标方程及极坐标方程互化求解；(2)由直线与圆的位置关系求解即可.【详解】（1）曲线1C 的普通方程()()22111x y -++=，极坐标方程()()22cos 1sin 11ρθρθ-++=，()22cos sin 10ρρθθ∴--+=，曲线2C 的极坐标方程为()sin cos 3ρθθ+=．化为直角坐标方程为30x y +-=；（2）曲线1C 的普通方程()()22111x y -++=，圆心为()11,1O -，到直线30x y +-=的距离为12d ==>，故曲线1C 与曲线2C 的无公共点，即直线与圆相离，得线段AB 的最小值为3212-．23．(1)][(),24,-∞-⋃+∞(2)证明见解析【分析】（1）解绝对值不等式时，一般考虑分类讨论法求解，最后再合并；（2）分类讨论()g x 的单调性，判断其在不同区间上的最小值，最后确定m 的值，利用基本不等式即可证明.【详解】（1）不等式()5f x ≥可化为2235x x --≥或2235x x --≤-，由2235x x --≥，可得2280x x --≥，解得4x ≥或2x ≤-；由2235x x --≤-，可得2220x x -+≤，解得x ∈∅，所以不等式()5f x ≥的解集为][(),24,∞∞--⋃+．（2）由题意，知()()()()123112g x f x x x x x =+++=-++++，当1x ≤-时，()(3)(1)(1)2g x x x x =-+-++2317()24x =--，因()g x 在(,1]-∞-上单调递减，则min ()(1)2g x g =-=；当13x -<<时，()(3)(1)(1)2g x x x x =--++++=233324x ⎛⎫--+⎪⎝⎭，因()g x 在3(1,)2-上单调递增，在3(,3)2上单调递减，故()g x 在(1,3)-无最小值，但是()2g x >；当3x ≥时，()(3)(1)(1)2g x x x x =-++++211()24x =--，因()g x 在[3,)+∞上单调递增，则min ()(3)6g x g ==.综上，当=1x -时，函数()g x 取得最小值2，即2m =，所以22a b +=，因0,0a b >>，所以()()2222224222a b a b a b ++=+≥=，当且仅当1,12a b ==时等号成立，故2242a b +≥．。

一、选择题1．(0分)[ID ：13881]已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(A 、ω、ϕ均为正的常数)的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） A ．()()()220f f f -<< B ．()()()220f f f <-< C ．()()()202f f f -<<D ．()()()022f f f <-<2．(0分)[ID ：13873]( ) A ．sin2cos2+ B ．cos2sin2- C ．sin2cos2-D ．cos2sin2±-3．(0分)[ID ：13856]已知函数()()x cos x 0f x ωωω=+>最小正周期为π，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于直线12x π=对称B ．关于直线512x π=对称 C ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 4．(0分)[ID ：13895]已知1sin()62πθ-=，且02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则cos()3πθ-=( )A ．0B ．12C ．1D 5．(0分)[ID ：13872]若将函数1()cos 22f x x =的图像向左平移6π个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（ ） A ．(,0)12πB ．(,0)6πC ．(,0)3πD ．(,0)2π6．(0分)[ID ：13870]在锐角ABC 中，4sin 3cos 5,4cos 3sin A B A B +=+=则角C 等于（ ）A ．150B ．120C ．60D ．307．(0分)[ID ：13868]已知2sin2α＝1＋cos2α，则tan2α＝（ ） A ．43-B ．43C ．43-或0 D ．43或0 8．(0分)[ID ：13867]已知P （14，1），Q （54，－1）分别是函数()()cos f x x ωϕ=＋0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图象上相邻的最高点和最低点，则ωϕ-=（ ） A ．54π-B ．54π C ．－34π D ．34π 9．(0分)[ID ：13842]设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3,2BM MC DN NC ==，则AM NM ⋅=（ ） A ．20B ．15C ．9D ．610．(0分)[ID ：13840]已知4cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ） A ．725B ．725-C ．2425D ．2425-11．(0分)[ID ：13920]延长正方形CD AB 的边CD 至E ，使得D CD E =．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若λμAP =AB +AE ，下列判断正确的是（ ）A ．满足2λμ+=的点P 必为CB 的中点 B ．满足1λμ+=的点P 有且只有一个C ．λμ+的最小值不存在D ．λμ+的最大值为312．(0分)[ID ：13911]已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ωϕωφπ=+>><的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )A ．2sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．2sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭或32sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．32sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．32sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭13．(0分)[ID ：13908]已知4sin 5α，并且α是第二象限的角，那么tan()απ+的值等于 A ．43-B ．34-C ．34D ．4314．(0分)[ID ：13901]已知向量i 和j 是互相垂直的单位向量，向量n a 满足n i a n ⋅=，21n j a n ⋅=+，其中*n ∈N ，设n θ为i 和n a 的夹角，则（ ）A ．n θ随着n 的增大而增大B ．n θ随着n 的增大而减小C ．随着n 的增大，n θ先增大后减小D ．随着n 的增大，n θ先减小后增大15．(0分)[ID ：13898]已知tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,则sin 2α=（ ） A ．310B ．35 C ．65-D ．125-二、填空题16．(0分)[ID ：14017]设向量(,1),(1,2)a x x b =+=，且a b ⊥，则x = __________． 17．(0分)[ID ：14004]已知1tan 43πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则2sin sin()cos()απαπα--+的值为__________.18．(0分)[ID ：13996]空间四点,,,A B C D 满足3AB =，=7BC ，||=11CD ，||=9DA ，则·AC BD =_______．19．(0分)[ID ：13981]已知角α的终边上一点)1A-，则()sin tan 2παπα⎛⎫-++= ⎪⎝⎭__________． 20．(0分)[ID ：13978]已知函数()cos()5f x x π=-的对称轴方程为__________．21．(0分)[ID ：13991]在△ABC 中，120A ∠=︒，2133AM AB AC =+，12AB AC ⋅=-，则线段AM 长的最小值为____________．22．(0分)[ID ：13952]在矩形ABCD 中， 3AB =， 1AD =，若M ， N 分别在边BC ， CD 上运动（包括端点，且满足BM CN BCCD=，则AM AN ⋅的取值范围是__________．23．(0分)[ID ：13948]若sincos022αα<<，则角α的终边落在第________象限.24．(0分)[ID ：13942]已知函数()tan 0y x ωω=>的图像与y m =（m 为常数）的图像相交的相邻两交点间的距离为2π，则=ω__________．25．(0分)[ID ：13935]函数ππ()2sin()(0,)22f x x ωϕωϕ=+>-<< 的部分图象如图所示，则ϕ= ________.三、解答题26．(0分)[ID ：14107]已知函数()3 22.3f x cos x sinxcosx π⎛⎫-⎪⎝⎭=- （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调递增区间.27．(0分)[ID ：14095]已知OA ，OB 是不平行的两个向量，k 是实数，且AP k AB =（k ∈R ）．（1）用OA ，OB 表示OP ；（2）若||2OA =，||1OB =，23AOB π∠=，记()||OP f k =，求()f k 及其最小值． 28．(0分)[ID ：14083]已知函数()44f x sin x asinx cosx cos x.=+⋅+(Ⅰ)当a 1=时，求()f x 的值域；(Ⅱ)若方程()f x 2=有解，求实数a 的取值范围．29．(0分)[ID ：14082]已知6sin 5θ=-，32ππθ<<.（Ⅰ）求cos θ，tan θ的值； （Ⅱ）求()()3sin sin cos cos 522ππθπθθθπ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++⋅-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦的值. 30．(0分)[ID ：14056]已知α∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，且sin 2α ＋cos 2α 6(1)求cos α的值； (2)若sin(α－β)＝－35 ，β∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，求cos β的值．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．C3．D4．C5．A6．D7．D8．B9．C10．B11．D12．C13．A14．B15．B二、填空题16．【解析】因为所以故答案为17．【解析】【分析】先根据已知求出最后化简代入的值得解【详解】由题得由题得=故答案为【点睛】本题主要考查差角的正切和同角的商数关系平方关系意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力18．0【解析】【分析】由代入再由代入进一步化简整理即可【详解】因为故答案为0【点睛】本题主要考查向量的数量积运算灵活运用数量积的运算公式即可属于常考题型19．【解析】分析：先根据三角函数定义得再根据诱导公式化简求值详解：因为角的终边上一点所以因此点睛：本题考查三角函数定义以及诱导公式考查基本求解能力20．【解析】分析：令解出即可详解：函数对称轴方程为故答案为：点睛：考查了余弦函数的图像的性质》21．【解析】【分析】由可以求出由即可求出答案【详解】由题意知可得则（当且仅当即2时取=）故即线段长的最小值为【点睛】本题考查向量的数量积向量的模向量在几何中的应用及基本不等式求最值属于中档题22．19【解析】设则也即是化简得到其中故填点睛：向量数量积的计算有3个基本的思路：（1）基底法：如果题设中有一组不共线的向量它们的模长和夹角已知则其余的向量可以用基底向量去表示数量积也就可以通过基底向量23．二【解析】由题意结合三角函数的性质可得：则据此可得角的终边落在第二象限24．【解析】由题意得25．【解析】∵T=−(−)=π∴T=π∴ω=2把(2)代入得2sin(π+φ)=2⇒π+φ=+2kπ∴φ=−+2kπk∈Z∵∴φ=点睛：已知函数的图象求解析式(1)(2)由函数的周期求(3)利用五点法中三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】依题意得，函数f （x ）的周期为π， ∵ω＞0，∴ω=2ππ=2．又∵当x=23π 时，函数f （x ）取得最小值， ∴2×23π +φ=2kπ+32π ，k ∈Z ，可解得：φ=2kπ+6π，k ∈Z ， ∴f （x ）=Asin （2x+2kπ+6π）=Asin （2x+6π）． ∴f （﹣2）=Asin （﹣4+6π）=Asin （6π﹣4+2π）＞0． f （2）=Asin （4+6π）＜0， f （0）=Asin 6π=Asin 56π＞0， 又∵32π＞6π﹣4+2π＞56π＞2π，而f （x ）=Asinx 在区间（2π，32π）是单调递减的，∴f （2）＜f （﹣2）＜f （0）． 故选：B ．2．C解析：C 【解析】 【分析】先利用诱导公式化简角，然后利用正弦的二倍角公式和完全平方式结合角在各个象限中的符号化简即可得到答案. 【详解】==，∵22ππ<<，∴sin2cos20->.∴原式sin2cos2=-. 故选C. 【点睛】本题考查诱导公式和二倍角公式以及三角函数在各个象限中的符号的应用，属于基础题.3．D解析：D 【解析】分析：先化简函数f(x)=2sin()6wx π+,再根据周期求出w ，再讨论每一个选项的真假.详解：由题得f(x)=2sin()6wx π+，因为2,2,()2sin(2).6w f x x w πππ=∴=∴=+对于选项A,把12x π=代入函数得(=2sin()21266f πππ+=≠±），所以选项A 是错误的；对于选项B, 把512x π=代入函数得55(=2sin()021266f πππ+=≠±），所以选项B 是错误的；对于选项C,令2,,.6212k x k k z x ππππ+=∈∴=-无论k 取何整数，x 都取不到12π,所以选项C 是错误的. 对于选项D, 令2,,.6212k x k k z x ππππ+=∈∴=-当k=1时，512x π=，所以函数的图像关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于三角函数图像和性质的判断，要灵活，不要死记硬背.4．C解析：C 【解析】 【分析】解法一：由题意求出θ的值，然后代入求出结果；解法二：由两角差的余弦公式求出结果 【详解】 解法一：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3θ=，代入πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭得， πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos01=，故选C ．解法二：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，πcos 6θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以πππππππcos cos cos cos sin sin 13666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C ． 【点睛】本题考查了运用两角差的余弦公式来求出三角函数值，较为基础5．A解析：A 【解析】 【分析】 通过平移得到1cos(2)23y x π=+，即可求得函数的对称中心的坐标，得到答案. 【详解】向左平移6π个单位长度后得到1cos 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则其对称中心为(),0122k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,或将选项进行逐个验证,选A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角函数的图象变换，以及熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6．D解析：D 【解析】 【分析】由题：()()224sin 3cos 25,4cos 3sin 12A B A B +=+=，两式相加即可求出sin()A B +，进而求出A B +，角C 得解.【详解】由题：()()224sin 3cos 25,4cos 3sin 12A B A B +=+=，2216sin 24sin cos 9cos 25A A B B ++=，2216cos 24cos sin 9sin 12A A B B ++=，两式相加得：()1624sin cos cos sin 937A B A B +++=，1sin()2A B +=，所以1sin sin(())2C A B π=-+=，且C 为锐角， 所以30C =.故选：D 【点睛】此题考查同角三角函数基本关系与三角恒等变换综合应用，考查对基本公式的掌握和常见问题的处理方法.7．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：把2sin 21cos2αα=+的两边平方得224sin 2(1cos 2)αα=+，整理可得2244cos 412cos 2cos 2ααα-=++，即25cos 22cos 230αα+-=，所以(5cos 23)(cos 21)0αα-+=，解得3cos 25α=或cos21α=-，当2312sin 5α-=时，1cos 244sin 2,tan 2253ααα+===；当cos21α=-时，1cos 2sin 20,tan 202ααα+===，所以4tan 23α=或0，故选D. 考点：三角函数的基本关系式及三角函数的化简求值.8．B解析：B 【解析】 【分析】由点P,Q 两点可以求出函数的周期，进而求出ω，再将点P 或点Q 的坐标代入，求得ϕ，即求出ωϕ-． 【详解】 因为512244πω⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以ωπ=，把1,14P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的坐标代入方程()cos y x πϕ=+，得 ()24k k Z ϕππ=-+∈，因为2πϕ<，所以5,44ππϕωϕ=--=，故选B ． 【点睛】本题主要考查利用三角函数的性质求其解析式．9．C解析：C 【解析】 【分析】 根据图形得出3344AM AB BC AB AD =+=+,2233AN AD DC AD AB =+=+,AM NM ⋅2()AM AM AN AM AM AN =⋅-=-⋅,结合向量的数量积求解即可.【详解】因为四边形ABCD 为平行四边形,点M 、N 满足3,2BM MC DN NC ==,∴根据图形可得:3344AM AB BC AB AD =+=+, 2233AN AD DC AD AB =+=+, NM AM AN ∴=-,2()AM NM AM AM AN AM AM AN ⋅=⋅-=-⋅,22239216AM AB AB AD AD =+⋅+,22233342AM AN AB AD AD AB ⋅=++⋅, 6,4AB AD ==， 22131239316AM NM AB AD ∴⋅=-=-=， 故选C.本题考查了平面向量的运算,数量积的运用,考查了数形结合的思想,关键是向量的分解,表示.考点：向量运算.10．B解析：B 【解析】 【分析】由题意首先求得sin α的值，然后利用二倍角公式整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意结合诱导公式可得：4sin cos 25παα⎛⎫=-=⎪⎝⎭， 则2247cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯=- ⎪⎝⎭. 本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．D解析：D 【解析】试题分析：设正方形的边长为1，建立如图所示直角坐标系，则,,,,A B C D E 的坐标为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),(1,1)-，则(1,0),(1,1)AB AE ==-设(,)AP a b =，由λμAP =AB +AE 得(,)(,)a b λμμ=-，所以{a b λμμ=-=，当P 在线段AB 上时，01,0a b ≤≤=，此时0,a μλ==，此时a λμ+=，所以01λμ≤+≤；当P 在线段BC 上时，，此时,1b a b μλμ==+=+，此时12b λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段CD 上时，，此时1,1a a μλμ==+=+，此时2a λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段DA 上时，0,01,a b =≤≤，此时,b a b μλμ==+=，此时2b λμ+=，所以02λμ≤+≤；由以上讨论可知，当2λμ+=时，P 可为BC 的中点，也可以是点D ，所以A 错；使1λμ+=的点有两个，分别为点B 与AD 中点，所以B 错，当P 运动到点A 时，λμ+有最小值0，故C 错，当P 运动到点C 时，λμ+有最大值3，所以D 正确，故选D ．考点：向量的坐标运算．【名师点睛】本题考查平面向量线性运算，属中档题．平面向量是高考的必考内容，向量坐标化是联系图形与代数运算的渠道，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，通过加、减、数乘的运算法则，实现了数形的紧密结合，同时将参数的取值范围问题转化为求目标函数的取值范围问题，在解题过程中，还常利用向量相等则坐标相同这一原则，通过列方程（组）求解，体现方程思想的应用．12．C解析：C 【解析】 【分析】由图观察出A 和T 后代入最高点，利用φπ<可得ϕ，进而得到解析式． 【详解】由图象可知2A =，因为884πππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，所以T π=，2ω=. 当8x π=-时，2sin 228πφ⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭， 即sin 14πφ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又φπ<， 解得34πφ=.故函数的解析式为32sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 故选C. 【点睛】本题考查由()y sin A x ωϕ=+的部分图象确定函数表达式，属基础题．13．A解析：A 【解析】 【分析】由诱导公式可得()tan tan παα+=，由角的正弦值和角所在的象限，求出角的余弦值，然后，正弦值除以余弦值得正切值．即可得到答案 【详解】 ∵4sin 5α=，并且α是第二象限的角，，35cos α∴-＝ ， ∴tanα＝43-，则么()4tan tan 3παα+==-. 故选A ． 【点睛】本题考查给值求值问题．掌握同角三角函数的基本关系式和诱导公式，并会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．14．B解析：B 【解析】 【分析】分别以i 和j 所在的直线为x 轴和y 轴,以向量所在方向为正方向,建立平面直角坐标系, 可得()1,0i =,()0,1j =,设(),n n n a x y =,进而可得到tan n θ的表达式,结合函数的单调性可选出答案. 【详解】分别以i 和j 所在的直线为x 轴和y 轴,以向量所在方向为正方向,建立平面直角坐标系, 则()1,0i =,()0,1j =,设(),n n n a x y =,因为n i a n ⋅=，21n j a n ⋅=+,所以,21n n x n y n ==+,则(),21n a n n =+,n θ为i 和n a 的夹角，211tan 2n n n n y n n x θ+===+,*n ∈N ,tan 0n θ>,则π0,2n θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 显然1tan 2n nθ=+为减函数, 又因为函数tan y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数,所以n θ随着n 的增大而减小. 故选:B. 【点睛】本题考查了向量的数量积的运算,考查了学生的推理能力,利用坐标法是解决本题的一个较好方法,属于中档题.15．B解析：B 【解析】 【分析】 根据tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭求得tan 3α=，2222sin cos 2tan sin 2sin cos tan 1ααααααα==++即可求解. 【详解】 由题：tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， tan 121tan αα+=--，解得tan 3α=，2222sin cos 2tan 63sin 2sin cos tan 1105ααααααα====++.故选：B 【点睛】此题考查三角恒等变换，涉及二倍角公式与同角三角函数的关系，合理构造齐次式可以降低解题难度.二、填空题16．【解析】因为所以故答案为解析：23-【解析】因为a b ⊥，所以()20,210,3a b x x x ⋅=++=∴=-，故答案为23-. 17．【解析】【分析】先根据已知求出最后化简代入的值得解【详解】由题得由题得=故答案为【点睛】本题主要考查差角的正切和同角的商数关系平方关系意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力解析：35【解析】 【分析】先根据已知求出tan α，最后化简2sin sin()cos()απαπα--+,代入tan α的值得解. 【详解】 由题得tan 111,tan 1+tan 32ααα-=-∴=.由题得22222sin +sin cos sin sin()cos()=sin +sin cos =sin +cos ααααπαπαααααα--+ =2211tan tan 3421tan 1514ααα++==++. 故答案为35【点睛】本题主要考查差角的正切和同角的商数关系平方关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18．0【解析】【分析】由代入再由代入进一步化简整理即可【详解】因为故答案为0【点睛】本题主要考查向量的数量积运算灵活运用数量积的运算公式即可属于常考题型解析：0 【解析】 【分析】由BD AD AB =-代入·AC BD ，再由AC AD DC AC AB BC ，=+=+代入进一步化简整理即可. 【详解】因为()()()······AC BD AC AD AB AC AD AC AB AD DC AD AB BC =-=-=+-+ ()()222222211··22AB AD DC AD AB BC AB AD DC AD DC AD AB =+--=++-+--()()()2222222221111122222BC AB BC AB AD AC DC AD AB AC +++=+-+--+ ()()()222222111811219490222BC AB AD DC AB BC ++=--+=--+=. 故答案为0【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，灵活运用数量积的运算公式即可，属于常考题型.19．【解析】分析：先根据三角函数定义得再根据诱导公式化简求值详解：因为角的终边上一点所以因此点睛：本题考查三角函数定义以及诱导公式考查基本求解能力【解析】分析：先根据三角函数定义得cos ,tan αα，再根据诱导公式化简求值.详解：因为角α的终边上一点)1A-，，所以cos tanαα===, 因此()sin tan 2παπα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭cos tanαα=+== 点睛：本题考查三角函数定义以及诱导公式，考查基本求解能力.20．【解析】分析：令解出即可详解：函数对称轴方程为故答案为：点睛：考查了余弦函数的图像的性质》 解析：ππ,5x k k z =+∈【解析】 分析：令=,5x k k z ππ-∈，解出即可.详解：函数()cos 5f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对称轴方程为=,5x k k z ππ-∈，,5x k k z ππ=+∈故答案为：ππ,5x k k z =+∈. 点睛：考查了余弦函数的图像的性质》21．【解析】【分析】由可以求出由即可求出答案【详解】由题意知可得则（当且仅当即2时取=）故即线段长的最小值为【点睛】本题考查向量的数量积向量的模向量在几何中的应用及基本不等式求最值属于中档题解析：3【解析】 【分析】由cos120AB AC AB AC ⋅=︒，可以求出1AB AC =，由22222221414414233999999AM AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC⎛⎫=+=++⋅≥⨯+⋅ ⎪⎝⎭，即可求出答案． 【详解】由题意知1cos1202AB AC AB AC ⋅=-=︒，可得1AB AC =， 则222222214144144442223399999999999AM AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=+=++⋅≥⨯+⋅=+⋅=-=⎪⎝⎭，（当且仅当224199AB AC =，即2AB AC =时取“=”.）故23AM ≥，即线段AM 长的最小值为3. 【点睛】本题考查向量的数量积，向量的模，向量在几何中的应用，及基本不等式求最值，属于中档题．22．19【解析】设则也即是化简得到其中故填点睛：向量数量积的计算有3个基本的思路：（1）基底法：如果题设中有一组不共线的向量它们的模长和夹角已知则其余的向量可以用基底向量去表示数量积也就可以通过基底向量解析：[1,9] 【解析】设,BM BC CN CD λλ==，则()()··AM AN AB BM AD DN =++，也即是()()··1AM AN AB BC AD DC λλ⎡⎤=++-⎣⎦，化简得到·98AM AN λ=-，其中[]0,1λ∈，故[]·1,9AM AN ∈，填[]1,9．点睛：向量数量积的计算有3个基本的思路：（1）基底法：如果题设中有一组不共线的向量，它们的模长和夹角已知，则其余的向量可以用基底向量去表示，数量积也就可以通过基底向量间的运算去考虑；（2）坐标法：建立合适的坐标系，把数量积的计算归结为坐标的运算；（2）靠边靠角转化：如果已知某些边和角，那么我们在计算数量积时尽量往这些已知的边和角去转化．23．二【解析】由题意结合三角函数的性质可得：则据此可得角的终边落在第二象限解析：二 【解析】由题意结合三角函数的性质可得：()5322422k k k Z παπππ+<<+∈， 则()544322k k k Z παπππ+<<+∈， 据此可得角α的终边落在第二象限.24．【解析】由题意得解析：12【解析】 由题意得π12π2π2T ω=⇒== 25．【解析】∵T=−(−)=π∴T=π∴ω=2把(2)代入得2sin(π+φ)=2⇒π+φ=+2kπ∴φ=−+2kπk ∈Z ∵∴φ=点睛：已知函数的图象求解析式(1)(2)由函数的周期求(3)利用五点法中 解析：3π-【解析】 ∵34T =512π −(−π3)=3 4π，∴T =π，∴ω=2 把(512π,2)代入，得2sin(56π+φ)=2⇒56π+φ=π2+2kπ， ∴φ=−π3+2kπ，k ∈Z ，∵ππ22ϕ-<<，∴φ=3π-， 点睛：已知函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式(1)max min max min,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ.三、解答题 26．（1）π；（2）()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）利用两角差公式、倍角公式和辅助角公式，把()f x 化为()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，从而求出最小正周期. （2）令222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，求出x 的范围，即得()f x 的单调递增区间. 【详解】（1）() 223f x x sinxcosx π⎛⎫⎪⎝-⎭=-1cos 2cos sin 2sin sin 2cos 22sin 23322x x x x x x ππ⎫⎫=+-=+-⎪⎪⎪⎭⎭12sin 2sin 223x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. ()f x ∴的最小正周期为π.（2）由（1）知()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得51212k x k ππππ-≤≤+， ()f x ∴的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查三角函数的性质和三角恒等变换，属于基础题.27．（1）()1OP k OA kOB =-+（2）()f k =． 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算求解．（2）由22[(1)]OP k OA kOB =-+计算．【详解】解：（1）()()1OP AP AO k AB OA k OB OA OA k OA kOB =-=+=-+=-+ （2）221cos13OA OB π⋅=⨯⨯=-．∴()()()22222253||[1]412171047()77OP k OA kOB k k k k k k k =-+=-+--=-+=-+．∴()f k =()f k 7=． 【点睛】本题考查平面向量的线性运算，考查向量的数量积，解题关键是利用数量积的定义把模的运算转化为数量积．28．（Ⅰ）9[0,]8（Ⅱ）3a ≤-或3a ≥ 【解析】 【分析】（I ）当1a =时，利用降次公式化简()f x ，然后利用换元法将函数转化为二次函数，结合二次函数的知识求得()f x 的值域.（II ）解法一：同（I ）将函数转化为二次函数的形式.对a 分成2,22,2a a a ≥-<<≤-三类，讨论函数的()2f x =是否有解，由此求得a 的取值范围.解法二：化简()2f x -的表达式，换元后分离常数a ，再由此求得a 的取值范围. 【详解】解：（Ⅰ）当1a =时，()2111sin 2sin222f x x x =-+ 令sin2t x =，令()211122h t t t =-++，[]1,1t ∈- 则()90,8h t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 的值域为90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）法一：()211sin 2sin222af x x x =-+ 令sin2t x =，令()21122ah t t t =-++，[]1,1t ∈- ①当12a ≥，即2a ≥时，()1122a h +=≥，且()11222a h -=-≤，解得3a ≥ ②112a -<<，即22a -<<时，21228a a h ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭，无解 ③当12a ≤-，即2a ≤-时，()1122ah --=≥且()1122a h +=≤，解得3a ≤- 综上所述3a ≤-或3a ≥ 法二：()212sin 2sin21022af x x x -=-+-= 令sin2t x =，211022at t -+-= 当0t =，不合题意，∴0t ≠∴2a t t=+，[)(]1,00,1t ∈-⋃ ∵2y t t=+在[)1,0-，(]0,1递减∴23t t +≤-或23t t+≥ ∴3a ≤-或3a ≥【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查利用换元法转化函数，考查二次函数求最值，考查方程有解的问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想，属于难题.解决含有参数的方程有解问题，可以考虑分离常数法将参数分离出来，然后根据表达式的范围，求得参数的范围.29．(Ⅰ)1cos 5θ=-，sin tan cos θθθ==2325. 【解析】试题分析：(Ⅰ)结合角的范围和同角三角函数基本关系可得15cos θ=-，sin tan cos θθθ== (Ⅱ)将原式整理变形，结合(Ⅰ)的结论可得其值为2325. 试题解析： （Ⅰ）因为32ππθ<<，所以0cos θ<， 由于221125cos sin θθ=-=，所以15cos θ=-，所以sin tan cos θθθ== （Ⅱ）原式()()sin cos sin cos θθθθ=-+⋅--. ()222224123252525sin cos sin cos θθθθ=--=-=-=. 30．（1）cos α=;（2）cos β= 【解析】试题分析：(1)把已知条件平方可得sin α＝12,再由已知α∈,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭,可得cos α的值. (2)由条件可得－2π<α－β<2π, cos(α－β)＝45,再根据cos β＝cos[α－(α－β)],利用两角和差的余弦公式,运算求得结果.试题解析： (1)已知sin 2α ＋cos 2α ，两边同时平方，得1＋2sin2αcos 2α＝32 ，则sin α＝12 .又2π<α<π，所以cos α＝－2. (2)因为2π<α<π，2π <β<π，所以－2π<α－β<2π. 又sin(α－β)＝－35 ，所以cos(α－β)＝45 . 则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－2 ×45 ＋12 ×35⎛⎫- ⎪⎝⎭ ＝－310. 点睛: 本题考查的是三角函数式化简中的给值求值问题，看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分β=[α－(α－β)，从而正确使用公式；由条件可得－2π<α－β<2π, cos(α－β)＝45,再根据cos β＝cos[α－(α－β)],利用两角和差的余弦公式,运算求得结果.。