课时28 三角恒等变换

课时28 三角恒等变换（课前预习案）班级： 姓名：一、高考考纲要求1.掌握两角和与差的三角函数公式，2.掌握二倍角公式；3.能运用这些公式进行三角化简，求值等有关运算问题． 二、高考考点回顾1.两角和与差的三角函数:()=+βαsin ；()=-βαsin ；()=+βαcos ；()=-βαcos ；tan(α+β)＝ ；tan(α－β)＝ . 2.二倍角公式：sin2α＝ ；cos2α＝ ＝ ＝ ；tan2α＝ .3.升幂公式：=+α2cos 1 ， =-α2cos 1 ， 降幂公式=2cos2α， =2sin 2α， =2tan 2α，派生公式：（1）()sin cos sin a x b x x ϕ+=+，sin cos ϕϕ=其中（2）(sin α±cos α)2＝1±sin2α；（3）tan tan tan βα-=+。

三、课前检测1.已知cos α＝35，α是第一象限角，则1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( )．A.25B.75C.145 D ．－252．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 3．设sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝13，则sin 2θ＝( )． A ．－79 B ．－19 C.19 D.794．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20° tan 40°＝________.课内探究案班级： 姓名：考点一：三角函数式的化简【典例1】(1)化简(1＋sin θ＋cos θ)⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0<θ<π)．(2)化简[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°.【变式1】化简下列各式：(1)12－1212＋12cos 2α⎝⎛⎭⎫α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π＝________. (2)cos 2α－sin 2α2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝________.考点二 三角函数的求值或求角问题【典例2】(1)已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值； (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．【变式2】已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，(1)求tan 2α的值；(2)求β.考点三 三角变换的简单应用【典例3】已知f (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋1tan x sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)的值；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．【变式3】设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 3－π6－2cos 2πx6. (1)求y ＝f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，求当x ∈[0,1]时，函数y ＝g (x )的最大值．【当堂检测】1.sin 20°cos 20°cos 50°＝ ( )．A ．2B.22C. 2D.122．(2013·汕头调研)若1＋cos 2αsin 2α＝12，则tan 2α等于 ( )．A.54B ．－54C.43D ．－43 3．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝3，则cos 2θ1＋sin 2θ＝( )．A ．3B ．－3C.34 D ．－344．已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π4，则sin θ－cos θ的值为 ( )．A.23B ．－23C.13D ．－13课后巩固案班级： 姓名： 完成时间：30分钟1.若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为( )． A ．1B.110C ．1或110D ．1或102．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(α－β)的值等于 ( )．A ．－12B.12C ．－13D.23273．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1213，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________. 4．方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >2)的两根为tan A ，tan B ，且A ，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则A ＋B ＝________.5.设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝________. 6. 设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________．1.已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，sin⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，β∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2.(1)求sin 2α和tan 2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．参考答案课前检测1.【答案】C 【解析】∵cos α＝35且α是第一象限角，∴sin α＝45，原式＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝()22cos 2sin cos 2sin cos cos αααααα+=+＝145. 2．【答案】A【解析】由题意可知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3，选A.3．【答案】A【解析】sin 2θ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2θ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋θ－1＝2×⎝⎛⎭⎫132－1＝－79. 4．【答案】 3【解析】∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°，∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＝3－3tan 20°·tan 40°，∴原式＝3－3tan 20°tan 40°＋ 3tan 20°tan 40°＝ 3.【典例1】【解】(1)原式＝⎝⎛⎭⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ24cos 2θ2＝cos θ2·⎝⎛⎭⎫sin 2θ2－cos 2θ2⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2·cos θ⎪⎪⎪⎪cos θ2.因为0<θ<π，所以0<θ2<π2，所以cos θ2>0，所以原式＝－cos θ.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 50°＋sin 10°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°·2·sin 80°＝110?2225021010cos sin sin sin cos ⎛⎫⎪ ⎪⋅⎪ ⎪⎝⎭· 2cos 10°＝22[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)] ＝22sin(50°＋10°)＝22×32＝ 6. 【变式1】答案：(1)sin α2；(2)1解析：(1)原式＝12－121＋cos 2α2＝ 12－12cos 2α＝ 12－12|cos α|＝ 12－12cos α ＝1－cos α2＝⎪⎪⎪⎪sin α2＝sin α2. (2)原式＝cos 2α－sin 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos 2α－sin 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos 2αcos 2α＝1. 【典例2】解：(1)∵0<β<π2<α<π，∴－π4<α2－β<π2，π4<α－β2<π，∴cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝53， sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝459，∴cosα＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝⎝⎛⎭⎫－19×53＋459×23＝7527， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π2，又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.【变式2】解：(1)∵cos α＝17，0<α<π2，∴sin α＝437，∴tan α＝43，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－48＝－8347. (2)∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，∴sin(α－β)＝3314，sin 7α=∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12， ∴β＝π3.【典例3】解：(1)f (x )＝(sin 2x ＋sin x cos x )＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4· cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝12＋12(sin 2x －cos 2x )＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45. cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35.所以，f (α)＝12(sin 2α＋cos 2α)＋12＝35.(2)由(1)，得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12. 由x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，得5π12≤2x ＋π4≤54π. ∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤1,0≤f (x )≤2＋12， 所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋12.【变式3】解：(1)由题意知f (x )＝32sin πx 3－32cos πx 3－1＝3· sin ⎝⎛⎭⎫πx 3－π3－1，所以y ＝f (x )的最小正周期T ＝2ππ3＝6. 由2k π－π2≤π3x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得6k －12≤x ≤6k ＋52，k ∈Z ， 所以y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤6k －12，6k ＋52，k ∈Z . (2)因为函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以当x ∈[0,1]时，y ＝g (x )的最大值即为x ∈[3,4]时，y ＝f (x )的最大值．当x ∈[3,4]时，π3x －π3∈⎣⎡⎦⎤23π，π，sin ⎝⎛⎫π3x －π3∈⎣⎡⎦⎤0，32，f (x )∈⎣⎡⎤－1，12，此时y ＝g (x )的最大值为12. 【当堂检测】1.【答案】D 【解析】原式＝sin 40°2cos 50°＝sin 40°2sin 40°＝12. 2．【答案】D【解析】1＋cos 2αsin 2α＝2cos 2α2sin αcos α＝cos αsin α＝12， ∴tan α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43，故选D. 3．【答案】A【解析】∵tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝1－tan θ1＋tan θ＝3，∴tan θ＝－12. ∴cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝1－tan 2θtan 2θ＋2tan θ＋1＝1－1414－1＋1＝3. 4．【答案】B【解析】∵sin θ＋cos θ＝43，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝169，∴sin 2θ＝79，又0<θ<π4，∴sin θ<cos θ.∴sin θ－cos θ＝－(sin θ－cos θ)2＝－1－sin 2θ＝－23.1.【答案】C【解析】tan(α＋β)＝1⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝lg (10a )＋lg ⎝⎛⎭⎫1a 1－lg (10a )·lg ⎝⎛⎭⎫1a ＝1⇒lg 2a ＋lg a ＝0，所以lg a ＝0或lg a ＝－1，即a ＝1或110. 2．【答案】D【解析】∵cos α＝13，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝223，∴sin 2α＝429，cos 2α＝－79. 又cos(α＋β)＝－13，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝223. ∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝⎝⎛⎭⎫－79×⎝⎛⎭⎫－13＋429×223＝2327.3．【答案】1013【解析】∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝22(cos α＋sin α)＝1213， ∴sin α＋cos α＝12213， 1＋2sin αcos α＝288169，2sin αcos α＝119169， 1－2sin αcos α＝50169， 又∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，∴cos α>sin α，∴cos α－sin α＝5213， cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2α－sin 2α22sin α＋22cos α＝2(cos α－sin α)＝1013. 4．【答案】－3π4【解析】由题意知tan A ＋tan B ＝－3a <－6，tan A ·tan B ＝3a ＋1>7，∴tan A <0，tan B <0，tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3a 1－(3a ＋1)＝1. ∵A ，B ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴A ，B ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， ∴A ＋B ∈(－π，0)，∴A ＋B ＝－3π4. 5.【答案】±3【解析】f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝(2＋a 2)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. 依题意有2＋a 2＝2＋3，∴a ＝±3.6. 【答案】17250【解析】∵α为锐角且cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， ∴α＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，2π3，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4 ＝sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6－22⎣⎡⎦⎤2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫452－1＝12225－7250＝17250.1.解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95， 即1＋sin 2α＝95，∴sin 2α＝45. 又2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos 2α＝1－sin 22α＝35， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43. (2)∵β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，β－π4∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝45， 于是sin 2⎝⎛⎭⎫β－π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫β－π4cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝2425. 又sin 2⎝⎛⎭⎫β－π4＝－cos 2β，∴cos 2β＝－2425， 又2β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin 2β＝725， 又cos 2α＝1＋cos 2α2＝45，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，∴co s α＝255，sin α＝55. ∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β ＝255×⎝⎛⎭⎫－2425－55×725＝－11525.。