高一函数主要知识点和解决方法及典型例题
一、函数的概念与表示
1、函数
构成函数概念的三要素 ①定义域;②对应法则;③值域.
两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同
例1、下列各对函数中，相同的是（ ）
A 、x x g x x f lg 2)(,lg )(2==
B 、)1lg()1lg()(,1
1lg )(--+=-+=x x x g x x x f C 、 v v v g u u u f -+=-+=11)(,11)( D 、f （x ）=x ，2)(x x f =
例2、}30|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M 给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（ ）
A 、 0个
B 、 1个
C 、 2个
D 、3个
二、函数的定义域
1、求函数定义域的主要依据：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；
（3）对数函数的真数必须大于零；
（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；
例1、（05
卷）函数y =的定义域为 .
2、抽象函数定义域问题的几种题型及求法．
(1)、已知()f x 的定义域，求[]()f g x 的定义域
其解法是：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值围即为[]()f g x 的定义域．
已知函数()f x 的定义域为[]
15-，，求(35)f x -的定义域．
分析：该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的
取值围．
解：()f x 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033
x ∴≤≤． 故函数(35)f x -的定义域为41033
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，． (2)、已知[]()f g x 的定义域，求()f x 的定义域
其解法是：若[]
()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的围即为()f x 的定义域．
例2 已知函数2(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域．
分析：令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，
由于()f u 与()f x 是同一函数，因此u 的取值围即为()f x 的定义域．
解：由03x ≤≤，得21225x x -+≤≤．
令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，15u ≤≤．
故()f x 的定义域为[]15，．
(3)、运算型的抽象函数
求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集．
例３ 若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域．
解：由()f x 的定义域为[]35-，，则()x ϕ必有353255x x --⎧⎨
-+⎩，，≤≤≤≤解得40x -≤≤． 所以函数()x ϕ的定义域为[]
40-，．
例2、()x 已知f 的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域.
例3、(21)x x 已知f －
的定义域是[-1,3],求f()的定义域.
三、函数的值域
求函数值域的方法：
①直接法：从自变量x 的围出发，推出y=f(x)的取值围，适合于简单的复合函数； ②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式外皆为一次式；
④分离常数：适合分子分母皆为一次式（x 有围限制时要画图）；
⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；
⑥图象法：二次函数必画草图求其值域.
例题、求下列函数的值域：
1．（直接法）①2123y x x =
++； ②()2f x =
2．（换元法）12-+
-=x x y
3. (分离常数法) ①1
+=x x y ②31(24)21
x y x x -=
-≤≤+. 4. (单调性)3([1,3])2y x x x =-
∈-; 5．(图象法232(12)y x x x =+--<≤.
函数解析式的求法
（1）待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f
解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则
b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([
∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩
⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或
（2）配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。
例2 已知2
21)1(x x x x f +
=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x 2)(2-=∴x x f )2(≥x
（3）换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 解：令1+=
x t ，则1≥t ，2)1(-=t x
（4）构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
例4 设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f
解
例5 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,1
1)()(-=+x x g x f 求)()(x g x f 和的解析式 解
（5）赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例6 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f 解对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，
不妨令0x =，则有1)1(1)1()0()(2+-=-+=+--=-y y y y y y f y f
再令 x y =- 得函数解析式为：1)(2
++=x x x f
五．函数的奇偶性
1．定义: 设y=f(x)，x ∈A ，如果对于任意x ∈A ，都有()()f x f x -=，则称y=f(x)为偶函数.
如果对于任意x ∈A ，都有()()f x f x -=-，则称y=f(x)为奇函数.
2.性质：
①y=f(x)是偶函数⇔y=f(x)的图象关于y 轴对称, y=f(x)是奇函数⇔y=f(x)的图象关于原点对称,
②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0
