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§2.2函数的单调性与最值课标要求1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用．知识梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为D ，区间I ⊆D ，如果∀x 1，x 2∈I 当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就称函数f (x )在区间I 上单调递增，特别地，当函数f (x )在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就称函数f (x )在区间I 上单调递减，特别地，当函数f (x )在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间I 上单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间I 叫做y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值前提一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为D ，如果存在实数M 满足条件(1)∀x ∈D ，都有f (x )≤M ；(1)∀x ∈D ，都有f (x )≥M ；(2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M(2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M结论M是函数y＝f(x)的最大值M是函数y＝f(x)的最小值常用结论1．∀x1，x2∈I且x1≠x2，有f(x1)－f(x2)x1－x2>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)．2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝1f(x)的单调性相反．4．复合函数的单调性：同增异减．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)满足f(－3)<f(2)，则f(x)在[－3,2]上单调递增．(×)(2)若函数f(x)在(－2,3)上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间为(－2,3)．(×)(3)若函数f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上一定有最值．(√)(4)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)2．下列函数中，在其定义域上是减函数的是()A．y＝－2x＋1B．y＝x2＋1C．y＝x D．y＝2x答案A解析y＝－2x＋1在R上是减函数，故A正确；y＝x2＋1在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故B错误；y＝x在[0，＋∞)上是增函数，故C错误；y＝2x在R上是增函数，故D错误．3．(2023·宜春统考)函数y＝－1x＋1在区间[1,2]上的最大值为()A．－13B．－12C．－1D．不存在答案A解析y＝－1x＋1在(－1，＋∞)上单调递增，则y＝－1x＋1在区间[1,2]上单调递增，所以y max＝－12＋1＝－13.4．函数f (x )是定义在[0，＋∞)上的减函数，则满足f (2x －1)>f x 的取值范围是________．答案12，解析∵f (x )的定义域是[0，＋∞)，∴2x －1≥0，即x ≥12，又∵f (x )是定义在[0，＋∞)上的减函数，∴2x －1<13，即x <23，则x 的取值范围为12，题型一确定函数的单调性命题点1函数单调性的判断例1(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是()A ．y ＝x －1xB ．y ＝|x 2－2x |C ．y ＝2x ＋2cos xD ．y ＝lg(x ＋1)答案ACD解析∵y ＝x 与y ＝－1x 在(0，＋∞)上单调递增，∴y ＝x －1x在(0，＋∞)上单调递增，故A 正确；由y ＝|x 2－2x |的图象(图略)知，B 不正确；∵y ′＝2－2sin x ≥0，∴y ＝2x ＋2cos x 是R 上的增函数，故C 正确；函数y ＝lg(x ＋1)是定义域(－1，＋∞)上的增函数，故D 正确．命题点2利用定义证明函数的单调性例2试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．解方法一定义法设－1<x 1<x 2<1，因为f (x )＝所以f (x 1)－f (x 2)＝＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)，由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．方法二导数法f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′(x －1)2＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2.故当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．思维升华确定函数单调性的四种方法(1)定义法．(2)导数法．(3)图象法．(4)性质法．跟踪训练1(1)函数g (x )＝x ·|x －1|＋1的单调递减区间为()－∞，12 B.12，1C ．[1，＋∞)－∞，12∪[1，＋∞)答案B解析g (x )＝x ·|x －1|＋12－x ＋1，x ≥1，x 2＋x ＋1，x <1，画出函数图象，如图所示，根据图象知，函数的单调递减区间为12，1.(2)(2024·唐山模拟)函数f (x )＝212log (232)x x --的单调递增区间为________．答案解析令t ＝2x 2－3x －2>0，解得x >2或x <－12，则f (x )∞(2，＋∞)，由f (t )＝12log t 在(0，＋∞)上单调递减，根据复合函数的单调性：同增异减，函数t ＝2x 2－3x －2的单调递减区间，即为f (x )的单调递增区间，再结合f (x )的定义域可知，f (x )∞题型二函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小例3(2023·湘潭统考)定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，则()A ．f (－2)<f (3)<f (4)B ．f (－2)>f (3)>f (4)C ．f (3)<f (4)<f (－2)D ．f (4)<f (－2)<f (3)答案A解析因为对任意的x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，所以f (x )在(－∞，0]上单调递减，又f (x )为偶函数，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则f (2)<f (3)<f (4)，又f (－2)＝f (2)，所以f (－2)<f (3)<f (4)．命题点2求函数的最值例4(2023·四川外国语大学附中模拟)函数f (x )＝x －2x ＋1在[1,4]上的值域为()A.1，92B ．[0,1]C.0，92 D.2，92答案C解析由y ＝x 在[1,4]上单调递增，且y ＝2x在[1,4]上单调递减，可得f (x )＝x －2x ＋1在[1,4]上单调递增，又f (1)＝0，f (4)＝92，故值域为0，92.求函数的值域(最值)的常用方法(1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题．(2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域．(3)数形结合法．(4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”．(5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式．典例(多选)下列函数中，值域正确的是()A ．当x ∈[0,3)时，函数y ＝x 2－2x ＋3的值域为[2,6)B ．函数y ＝2x ＋1x －3的值域为RC ．函数y ＝2x －x －1的值域为158，＋∞D ．函数y ＝x ＋1＋x －1的值域为[2，＋∞)答案ACD解析对于A ，(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2,6)．对于B ，(分离常数法)y ＝2x ＋1x －3＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3，显然7x －3≠0，∴y ≠2.故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．对于C ，(换元法)设t ＝x －1，则x ＝t 2＋1，且t ≥0，∴y ＝2(t 2＋1)－t ＝＋158，由t ≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为158，＋对于D，函数的定义域为[1，＋∞)，∵y＝x＋1与y＝x－1在[1，＋∞)上均单调递增，∴y＝x＋1＋x－1在[1，＋∞)上为增函数，∴当x＝1时，y min＝2，即函数的值域为[2，＋∞)．命题点3解函数不等式例5函数y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f(a＋1)<f(2a)，则实数a的取值范围是________．答案[－1,1)解析2≤a＋1≤2，2≤2a≤2，＋1>2a⇒－1≤a<1.所以实数a的取值范围是[－1,1)．命题点4求参数的取值范围例6(2024·恩施模拟)已知函数f(x)3a－1)x＋4a，x<1，2－ax＋6，x≥1满足：对任意x1，x2∈R，当x1≠x2时，都有f(x1)－f(x2)x1－x2>0成立，则实数a的取值范围是()A．[2，＋∞)21D．[1,2]答案C解析对任意x1，x2∈R，当x1≠x2时，都有f(x1)－f(x2)x1－x2>0成立，所以函数f(x)3a－1)x＋4a，x<1，2－ax＋6，x≥1在R上是增函数，－1>0，1，－1＋4a≤1－a＋6，解得13<a≤1，所以实数a1.思维升华(1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．跟踪训练2(1)已知函数f(x)(x＋1)，x≥0，2x2，x<0，则不等式f(x＋2)<f(x2＋2x)的解集是()A．(－2,1)B．(0,1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(1，＋∞)答案C解析由函数f(x)(x＋1)，x≥0，2x2，x<0的图象(图略)可得f(x)在R上是增函数，则不等式f(x＋2)<f(x2＋2x)等价于x＋2<x2＋2x，即x2＋x－2>0，解得x>1或x<－2，则原不等式的解集为(－∞，－2)∪(1，＋∞)．(2)若函数f(x)＝x＋a－3x－1在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．答案[1,2)解析f(x)＝x＋a－3x－1＝x－1＋a－2x－1＝1＋a－2x－1∵f(x)在(a，＋∞)上单调递增，－2<0，≥1⇒1≤a<2.课时精练一、单项选择题1．(2023·菏泽检测)下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的是()A．y＝－x2＋1B．y＝xC．y＝1xD．y＝3－x答案B解析y＝－x2＋1在区间(0,1)上单调递减，故A不符合题意；y＝x是[0，＋∞)上的增函数，所以在区间(0,1)上单调递增，故B符合题意；y＝1x在(0，＋∞)上单调递减，所以在区间(0,1)上单调递减，故C不符合题意；y＝3－x在区间(0,1)上单调递减，故D不符合题意．2．函数f(x)＝－|x－2|的单调递减区间为() A．(－∞，2]B．[2，＋∞) C．[0,2]D．[0，＋∞)答案B解析∵y＝|x－2|－2，x≥2，x＋2，x<2，∴函数y＝|x－2|的单调递减区间是(－∞，2]，单调递增区间为[2，＋∞)，∴f(x)＝－|x－2|的单调递减区间是[2，＋∞)．3．(2024·邵阳统考)已知f(x)是偶函数，f(x)在[1,3]上单调递增，则f(1)，f(－2)，f(－3)的大小关系为()A．f(1)>f(－2)>f(－3)B．f(－2)>f(－3)>f(1)C．f(－3)>f(1)>f(－2)D．f(－3)>f(－2)>f(1)答案D解析因为f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)．因为f(x)在[1,3]上单调递增，所以f(3)>f(2)>f(1)，所以f(－3)>f(－2)>f(1)．4．已知函数f(x)＝2xx－1，则f(x)在区间[2,6]上的最大值为()A.125B．3C．4D．5答案C解析∵f(x)＝2xx－1＝2＋2x－1在[2,6]上单调递减，∴f(x)max＝f(2)＝4.5．(2023·杭州模拟)已知函数f(x)＝x＋ln x－1，则不等式f(x)<0的解集为() A．(e，＋∞)B．(1，＋∞)C．(0,1)D．(0，＋∞)答案C解析函数f(x)＝x＋ln x－1的定义域为(0，＋∞)．因为y＝x－1在(0，＋∞)上单调递增，y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝x＋ln x－1在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝1＋ln 1－1＝0，所以不等式f (x )<0的解集为(0,1)．6．已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，对任意x 1，x 2且x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>－1，则下列说法正确的是()A ．y ＝f (x )＋x 是增函数B ．y ＝f (x )＋x 是减函数C ．y ＝f (x )是增函数D ．y ＝f (x )是减函数答案A解析不妨令x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，∵f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>－1⇔f (x 1)－f (x 2)<－(x 1－x 2)⇔f (x 1)＋x 1<f (x 2)＋x 2，令g (x )＝f (x )＋x ，∴g (x 1)<g (x 2)，又x 1<x 2，∴g (x )＝f (x )＋x 是增函数．二、多项选择题7．下列说法中，正确的是()A ．若对任意x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，则y ＝f (x )在I 上单调递增B ．函数y ＝x 2在R 上是增函数C ．函数y ＝－1x在定义域上是增函数D ．函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)答案AD解析对于A ，若对任意x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，则有f (x 1)<f (x 2)，由函数单调性的定义可知y ＝f (x )在I 上单调递增，故A 正确；对于B ，由二次函数的性质可知，y ＝x 2在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故B 错误；对于C ，由反比例函数单调性可知，y ＝－1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增，故C 错误；对于D ，由反比例函数单调性可知，y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，故D 正确．8．(2023·广州联考)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在区间[1，＋∞)上一定()A ．单调递减B ．单调递增C ．有最小值D ．有最大值答案BC 解析∵函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，∴函数图象的对称轴应当位于区间(－∞，1)内，∴a <1，g (x )＝f (x )x ＝x ＋a x－2a (x ≥1)，任取1≤x 1<x 2，g (x 1)－g (x 2)＝x 1＋a x 1－x 2－a x 2＝x 1－x 2＋a (x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－a x 1x 2，由a <1,1≤x 1<x 2，有x 1－x 2<0，x 1x 2>1>0，x 1x 2－a >0，则g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)，所以g (x )＝x ＋a x－2a 在区间[1，＋∞)上单调递增，函数的最小值为g (1)＝1－a ，无最大值．三、填空题9．函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的单调递增区间为______．答案[－1,1]解析要使函数f (x )有意义，则－x 2＋2x ＋3≥0，解得－1≤x ≤3，令y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，根据复合函数的单调性可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1,1]．10．(2023·松原联考)已知函数f (x )＝2x －2－x ，则不等式f (3x －1)<f (1－x )的解集为________．答案解析函数y ＝2x 与y ＝－2－x 均在R 上是增函数，故f (x )在R 上是增函数，f (3x －1)<f (1－x )等价于3x －1<1－x ，得x <12.11．已知命题p ：“若f (x )<f (4)对任意的x ∈(0,4)都成立，则f (x )在(0,4)上单调递增”．能说明命题p 为假命题的一个函数是________________．答案f (x )＝(x －1)2(答案不唯一，如f (x )x ，0<x <4，，x ＝4，只要满足题意即可)解析由题意知，令f (x )＝(x －1)2，满足f (x )<f (4)对任意的x ∈(0,4)都成立，但函数f (x )在(0,1)上单调递减，在(1,4)上单调递增，所以函数f (x )＝(x －1)2可以说明命题p 为假命题．12．(2023·临川一中模拟)已知函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋3)在[0,1]上单调递减，则实数a 的取值范围是________．答案[2,4)解析函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋3)在[0,1]上单调递减，当0<a <1时，x 2－ax ＋3＋3－a 24≥3－a 24>0恒成立，而函数u ＝x 2－ax ＋3在区间[0,1]上不单调，因此0<a <1不符合题意；当a >1时，函数y ＝log a u 在(0，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性，得函数u ＝x 2－ax ＋3在区间[0,1]上单调递减，因此a 2≥1，并且12－a ×1＋3>0，解得2≤a <4，所以实数a 的取值范围是[2,4)．四、解答题13．(2023·昆明统考)给定函数f (x )，g (x )＝－x 2＋4x ＋1，x ∈R .(1)在同一直角坐标系中画出函数f (x )和g (x )的图象；(2)∀x ∈R ，用M (x )表示f (x )，g (x )中的最大者，记为M (x )＝max{f (x )，g (x )}，试判断M (x )在区间(－∞，a ]上的单调性．解(1)f (x )，g (x )的图象如图所示．(2)由(1)及M (x )的定义得，M (x )在(－∞，0]上单调递减，在[0,2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，所以当a ≤0时，M (x )在(－∞，a ]上单调递减；当0<a ≤2时，M (x )在(－∞，0]上单调递减，在[0，a ]上单调递增；当a >2时，M (x )在(－∞，0]上单调递减，在[0,2]上单调递增，在[2，a ]上单调递减．14．(2023·重庆联考)已知f (x )＝2x －12x ＋1(x ∈R )．(1)判断函数f (x )的单调性，并用定义证明；(2)解关于t 的不等式f (t 2－3)＋f (2t )<0.解(1)f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1在R 上是增函数．证明：在R 上任取x 1，x 2且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝121212222(22)112121(21)(21)x x x x x x -⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，由x 1<x 2可知12022x x <<，所以1212220,210,210x x x x <>>－＋＋，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．即f (x )在R 上是增函数．(2)易知f (－x )＝2－x －12－x ＋1＝1－2x 1＋2x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，由(1)知，函数f (x )在R 上是增函数，由f (t 2－3)＋f (2t )<0，可得f (t 2－3)<－f (2t )＝f (－2t )，所以t 2－3<－2t ，即t 2＋2t －3<0，解得－3<t <1，即关于t 的不等式f (t 2－3)＋f (2t )<0的解集为{t |－3<t <1}．15．(多选)(2024·长沙模拟)已知函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，且对于y ＝f (x )(x ∈R )，当x 1，x 2∈(－∞，0)且x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0恒成立，若f (2ax )<f (2x 2＋1)对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围可以是()A ．(－2，－1)－12，1C ．[0，2)D ．(2，＋∞)答案ABC 解析由题意得y ＝f (x )为偶函数，且在(－∞，0)上单调递减，故y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，因为f (2ax )<f (2x 2＋1)，故f (|2ax |)<f (2x 2＋1)，所以|2ax |<2x 2＋1，当x ＝0时，|0|<1恒成立，满足要求，当x ≠0时，|2a |<2x 2＋1|x |＝2|x |＋1|x |在x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)上恒成立，其中2|x |＋1|x |≥22|x |·1|x |＝22，当且仅当2|x |＝1|x |，即|x |＝22时，等号成立，故|2a |<22，解得－2<a <2，综上，a 的取值范围为－2<a <2，A 选项，由于(－2，－1)⊆(－2，2)，A 正确；B －12，1⊆(－2，2)，B 正确；C 选项，[0，2)⊆(－2，2)，C 正确；D 选项，(2，＋∞)显然不是(－2，2)的子集，D 错误．16．已知函数f (x )－x 2，x ≥0，2x ，x <0.若对任意x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2都有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则实数a 的取值范围为__________；若f (x )在[－1，t )上的值域为[0,4]，则实数t 的取值范围为__________．答案(－∞，0](2,4]解析若对任意x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2都有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则f (x )在R 上是减函数，则a 2≤0，即a ≤0，所以实数a 的取值范围为(－∞，0]；当a >0时，若f (x )在[－1，t )上的值域为[0,4]，则f ＝a 22－a 24＝4，解得a ＝4或a ＝－4(舍去)，又f (－1)＝2，f (0)＝f (4)＝0，所以2<t ≤4；当a ≤0时，f (x )在[－1，t )上单调递减，则f (x )在[－1，t )上的最大值为f (－1)＝2，不符合题意，所以实数t 的取值范围为(2,4]．。
§2.2函数的定义域、值域本节目录知能演练轻松闯关考向瞭望把脉高考考点探究讲练互动教材回顾夯实双基基础梳理1.函数的定义域函数的定义域是指使函数有意义的变里的取值范围.2.函数的值域⑴定义在函数y=/(Q中，与自变量r的值对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域・(2)基本初等函数的值域思考探究函数为整式、分式、根式、指数或对数函数时，定义域有什么特点？提示：⑴整式的定义域是实数集R；分式的分母不为零；(2)偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1.2.函数的最值与值域有何联系？提示：函数的最值与函数的值域是关联的，求出了函数的值域也就能确定函数的最值情况，但有了函数的最大(小)值，未必能求出函数的值域.课前热身1.（教材改编）函数尸伍二+占的定义域为（）A.（—8, —2]B.（一8, 2]C.（一8, -1）U（-1,2]D.[2, +8）答案：C解析：选A.要使加：)有意义，需1 ogl(2x+l)>0=logll,2 2・・.0V2x+lVl, .\-|<x<0.2・若/(兀)=,则/(兀)的定义域为(log ；(2x+l)D. (0, +8)3. （2012-高考江西卷）下列函数中，与函数y=/~定义域相同的\[x 函数为（）A・y=.smx B. j-lnXXC. y=xe x sinxX解析：选D•函数丿=7-的定义域为仪IxHO},选项A中由sinxHOFH乃r, kj故A不对；选项B中x>0,故B不对; 选项C中xGR,故C不对；选项D中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{xlx^O},故选D.4.函数f(x)=Y^p(x^R)的值域为答案：(0,1]X2—x+1 (x<l)5-函数他+ (5)的值域是答案：(0, 4-00)考点1求具体函数的定义域求函数定义域的问题类型(1)若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需解不等式(组)即可.(2)实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义•求下列函数的定义域:2⑵尸玄丙+0-4)。
第二讲函数的单调性1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值【套路秘籍】---千里之行始于足下考向一 单调区间求解【例1】（1）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )A.y ＝2－xB.y ＝xC.y ＝log 2xD.y ＝－1x(2)函数f (x )＝ln (x 2－2x －8) 的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞) (3)求函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|的单调区间 ． (4)求函数f (x )＝x －ln x 的单调区间 ．(5)函数33y x x =-的单调增区间为__________． 【答案】见解析【解析】（1）只有y ＝2－x与y ＝x 的定义域为R ，且y ＝2－x是减函数，y ＝x 是增函数.选B （2）由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2.设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 为增函数． 要求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间．∵函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间为(4，＋∞)，∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D. （3）先作出函数y ＝x 2－4x ＋3的图象，由于绝对值的作用，把x 轴下方的部分翻折到上方，可得函数y ＝|x 2－4x ＋3|的图象．如图所示．由图可知f (x )在(－∞，1]和[2,3]上为减函数，在[1,2]和[3，＋∞)上为增函数，故f (x )的增区间为[1,2]，[3，＋∞)，减区间为(－∞，1]，[2,3]．（4）由题意，得x >0.y ′＝1－1x ＝x －1x.由y ′＝0解得x ＝1.【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始列表如下：由上表可知，函数的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．（5）21119033y x x '=->∴-<< ，即单调增区间为11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【举一反三】1．下列函数中，在(0,+∞)上单调递减的是( )A ． f(x)=lnxB ． f(x)=(x −1)2C ． f(x)=2−xD ． f(x)=x 3 【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，函数f(x)=lnx 为对数函数，在(0,+∞)上为增函数，不符合题意．【套路总结】一．函数单调性的判断方法有 ①定义法； ②图象法；③利用已知函数的单调性； ④导数法.二．复合函数y ＝f (g (x ))的单调性应根据外层函数y ＝f (t )和内层函数t ＝g (x )的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.对于B ，函数f(x)=(x −1)2为二次函数，在(−∞,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数，不符合题意． 对于C ，函数f(x)=2−x =(12)x 为指数函数，在(0,+∞)上单调递减，符合题意．对于D ，函数y =x 3为幂函数，在(0,+∞)上为增函数，不符合题意．故选C ． 2．函数f (x )=log 2(4+3x −x 2)的单调递减区间是（ ） A ． (−∞,32] B ． [32,+∞) C ． (−1,32] D ． [32,4) 【答案】D【解析】函数f （x ）=log 2（4+3x-x 2），令t=4+3x-x 2＞0，求得-1＜x ＜4，即函数的定义域为（-1，4），且f （x ）=log 2t ，即求函数t 在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得t=4+3x-x 2在定义域内的减区间为[32,4).故选D ． 3．函数()| g x x =的单调递增区间是 ( )A ． [)0+∞，B ． (]0-∞，C ． (]2-∞-，D ． [)2+-∞， 【答案】A【解析】任取120,x x >> 则120,x x -> ()()()()121212120,g x g x x x x x g x g x ->-=->> ，所以函数()| g x x =的单调递增区间是[)0+∞，，故选A.考向二 单调性的运用一---比较大小【例2】定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)(x 1≠x 2)，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0.则下列结论正确的是( )A ．f (0.32)<f (20.3)<f (log 25) B ．f (log 25)<f (20.3)<f (0.32) C ．f (log 25)<f (0.32)<f (20.3) D ．f (0.32)<f (log 25)<f (20.3) 【答案】A【解析】 ∵对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，∴f (x )在(－∞，0)上是减函数，又∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∵0<0.32<20.3<log 25，∴f (0.32)<f (20.3)<f (log 25)．故选A.【举一反三】1.已知f (x )＝2x－2－x，117459279,,log 97a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则f (a )，f (b )，f (c )的大小顺序为( ) A.f (b )<f (a )<f (c ) B.f (c )<f (b )<f (a ) C.f (c )<f (a )<f (b ) D.f (b )<f (c )<f (a )【答案】B【解析】易知f (x )＝2x －2－x在(－∞，＋∞)上是增函数，又a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79－14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9714>⎝ ⎛⎭⎪⎫9715＝b >0，c ＝log 279<0，∴f (a )>f (b )>f (c ).2.已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c【套路总结】(1)比较大小：县判断出函数的单调性，再根据自变量的大小判断出函数值的大小关系。
第二节 函数的单调性与最值教学目标：知识与技能：理解函数的单调性，最大（小）值及几何意义 ；会运用函数的图象理解和研究图象的性质过程与方法：会画初等函数的图象，能利用图象的单调性研究函数的性质情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验数形结合思想，感受图形解题。
教学重点：函数的单调性，最大（小）值教学难点：利用图象的单调性研究函数教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.增函数、减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I ，区间D ⊆I,如果对于任意x1,x2∈D,且x1<x2,都有:(1)f(x)在区间D 上是增函数⇔f(x1)<f(x2)(2)f(x)在区间D 上是减函数⇔f(x1)>f(x2)2.单调性、单调区间若函数y=f(x)在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间．3．函数的最值设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在M ∈R,① 对于任意的x ∈I,都有f(x)≤M （或f(x)≥M ）② 存在x0∈I,使得f(x0)=M则称M 是f(x)的最大（或小）值二．例题讲解【典例1】(1)函数f(x)=log2(x2-4)的单调递减区间为_______. (2)试讨论函数 x ∈(-1,1)的单调性(其中a ≠0).【思路点拨】(1)根据复合函数的单调性求解.(2)用定义法或导数法求解.答案：（1） (-∞,-2)(2)方法一(定义法):设x1,x2∈(-1,1)且x1＜x2,则 ∵-1＜x1＜x2＜1,∴x2-x1＞0,x12-1＜0,x22-1＜0,-1＜x1x2＜1,x1x2+1＞0,∴因此当a ＞0时,f(x1)-f(x2)＞0. ()2ax f x ,x 1=-()()12122212ax ax f x f x x 1x 1-=---()()()21122212a x x x x 1x 1(x 1)-+=--21122212(x x )(x x 1)0.(x 1)(x 1)-+--＞即f(x1)＞f(x2),此时函数在(-1,1)上为减函数;当a ＜0时,f(x1)-f(x2)＜0.即f(x1)＜f(x2),此时函数在(-1,1)上为增函数.方法二(导数法)：当a ＞0时,f ′(x)<0;当a ＜0时,f ′(x)>0.∴当a ＞0时,f(x)在(-1,1)上为减函数;当a ＜0时,f(x)在(-1,1)上为增函数.【互动探究】若将本题(1)中的函数改为 试求函数f(x)的单调递减区间.【解析】函数f(x)的定义域为(-1,+∞),令t=x+1,因为 在t ∈(0,+∞)上是减函数,t=x+1在x ∈(-1,+∞)上为增函数,所以函数 的单调递减区间为(-1,+∞). 【典例2】(1)设函数g(x)=x2-2(x ∈R), 则f(x)的值域是( ) (A)［ ］∪(1,+∞) (B)［0,+∞) (C)［ ) (D)［ ］∪(2,+∞) 【变式训练】用定义法判断函数.【解析】由x2-1≥0得x ≥1或x≤-1,即函数的定义域为(-∞,-1］∪［1,+∞).设x1＜x2,则∵x1-x2＜0,∴当x1,x2∈(-∞,-1］时,x1+x2＜0,则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)＞f(x2),故函数在(-∞,-1］上是减函数.当x1,x2∈［1,+∞)时,x1+x2＞0,则f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)＜f(x2),故函数在［1,+∞)上是增函数.【小结】求函数最值的五种常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. ()()()()()2222222a x 12ax a x 1f x x 1x 1---+'==--()()12f x log x 1,=+12y log t =()12f x log (x 1)=+()()()()()g x x 4,x g x ,f x g x x,x g x ,⎧++⎪=⎨-≥⎪⎩＜9,04-9,4+∞9,04-y =()()12f x f x -=22x x x x -+==0,+>(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．【提醒】在求函数的值域时,应先确定函数的定义域. 【变式训练】(1)函数 在区间［a,b ］上的最大值是1,最小值是31 ， 则a+b=________.【解析】易知f(x)在［a,b ］上为减函数,答案：6【典例3】(1)(2014·某某模拟)若函数f(x)为R 上的增函数,且f(ax+1)≤f(x-2)对任意x∈[21 ,2]都成立,则实数a 的取值X 围是. (2)已知 满足对任意x1≠x2,都有 成立，那么a 的取值X 围是______.【思路点拨】(1)根据单调性转化不等式求解,注意定义域.(2)寻找f(x)是增函数满足的条件,列不等式组求解.【规X 解答】(1)因为f(x)为R 上的增函数,所以由f(ax+1)≤f(x-2)得ax+1≤x-2,即a ≤1-x 3 在[ 21 ,2]上恒成立, 令g(x)=1- x 3 ,则由于g(x)在[ 21 ,2]上为增函数, 所以g(x)min=g( 21 )=1- =-5, 所以a ≤-5,即a ∈(-∞,-5].答案:(-∞,-5] 2)∵对任意x1≠x2,都有 成立,∴函数f(x)是R 上的增函数.答案：【小结】 ()1f x x 1=-()()1f a 1,1,a 1111f b ,.3b 13⎧⎧==⎪⎪⎪-∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪-⎩即a 2,a b 6.b 4,=⎧∴∴+=⎨=⎩()()x 2a x 1x 1f x a x 1⎧-+⎪=⎨≥⎪⎩，＜，，，()()1212f x f x 0x x --＞312()()1212f x f x 0x x --＞()12a 0,a 1,a 2a 11,⎧∴-⎪⎨⎪≥-⨯+⎩＞＞3a 2.2∴≤＜“f ”不等式的解法根据函数的单调性，解含有“f ”的不等式时，要根据函数的性质，转化为如“f(g(x))>f(h(x))”的形式，再利用单调性，转化为具体不等式求解，但要注意函数的定义域比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.对于分段函数的单调性,不仅要注意每一段上的单调性,还应注意端点处函数值的大小关系.【变式训练】已知函数 若f(2-a2)>f(a)，则实数a 的取值X 围是( ) (A)(-∞,-1)∪(2,+∞) (B)(-1,2)(C)(-2,1) (D)(-∞,-2)∪(1,+∞)【解析】选由f(x)的图象可知f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数，由f(2-a2)>f(a)得2-a2>a,即a2+a-2<0,解得-2<a<1.三．课堂练习与作业思考辨析，考点自测，知能巩固()22x 4x,x 0,f x 4x x ,x 0,⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩()()()2222x 4x x 24,x 0,C.f x 4x x x 24,x 0,⎧+=+-≥⎪=⎨-=--+<⎪⎩。
