相离的两圆的公切线的做法

相离的两圆的公切线的做法摘要：我们知道，相离的两个定圆(⊙O 1 半径为r 、⊙O 2半径为R)具有两条内公切线和两条外公切线。

那么，我们该如何运用尺规作图，作出这些公切线呢？在这里，将介绍几种做公切线的作法，分别运用了位似的性质、相似三角形的性质、构造矩形和结合位似和相似三角形。

其中最主要的原理是直径所对的角是直角。

一、运用位似的性质。

我们知道任意的两个圆都会位似且最多存在两个位似中心（即位似点），而由位似的定义我们知道，在两个位似的图形中，所有具有相同性质的点会交于一个点，就是位似点。

那么，由位似点引出的一条直线，它与两个位似图形的交点应该也具有相同的性质。

所以运用位似的这一性质，我们可以先找出两定圆的连心线，并作圆心在连心线上的垂线，找出了两个具有相同性质的点，这两点所在的直线与连心线的交点，就是位似中心。

此时，我们以位似点和某一圆的圆心为直径作圆,由直径所对的角为直角，那么我们可以得到该圆的一条切线，又由位似的性质知，该切线与另一圆也相切。

作法：1.连结O 1O 2，并延长。

2.过O 1、O 2作O 1O 2的垂线，分别交⊙O 1、⊙O 2于点A 1A 2。

（注：当作外公切线的时候A 1A 2取在O 1O 2的同一侧，当作内公切线的时候取在O 1O 2的不同侧）3.连结A 1A 2并延长，交O 1O 2于点O 。

4.以OO 1为直径作圆，交⊙O 1于点B 1、B 3。

5.连结OB 1并延长交⊙O 2于点B 2，连结OB 3并延长交⊙O 2于点B 4 6．则B 1B 2、B 3B 4为两圆的公切线证明：在位似的⊙O 1、⊙O 2中，已知A 1O 1、A 2O 2 都垂直于O 1O 2，则垂线A 1O 1和垂线A 2O 2的性质相同，它们两端点的连线交于位似点O 又OO 1为直径，∠OB 1O 1 =90°∵OB 1B 2在同一直线上 ∴B 1B 2两点的性质相同 ∴∠OB 1O 1 =∠OB 2O 2 =90°∴B 1B 2为两圆的公切线，同理B 3B 4也为两圆的公切线。

二、运用相似三角形的性质 我们知道两个相似的三角形，它们的对应角都相等，所以我们可以尝试构造两个相似的直角三角形。

而我们要确定两个直角三角形相似，只需满足一条直角边与斜边的比例相等即可。

我们在找比例线段的时候，可以从相似三角形入手，当我们连接两定圆的连心线，并作圆心在连心线上的垂线，会与圆交于两点，这两位似点OB 3A 2B 1A 1O 1 O 2B 4B 2O 2O 1 A 2 B 1 B 2A 1B 4 B 3位似点OB 2点所在的直线与垂线和连心线就会形成两个相似三角形。

并且它们的相似比就是半径比，我们再以两个三角形在在连心线上的边为直径作圆，由直径所对的角为直角，我们可以得到两个直角三角形，且它们有两条边的比都为半径比，即两个直角三角形相似，它们的顶角相等，则它们有一对直角边在同一条直线上，那条直线即为两圆的公切线。

作法：1. 连结O1、O2，并延长。

2.过O1、O2作O1O2的垂线，分别交⊙O1、⊙O2于点A1A2。

（注：当作外公切线的时候A1A2取在O1O2的同一侧，当作内公切线的时候取在O1O2的不同侧）3.连结A1A2并延长，交O1O2于点O。

4.以OO1为直径作圆，交⊙O1于点B1B3，以OO2为直径作圆，交⊙O1于点B1B4。

5.连结OB1 、OB2，连结OB3、OB4。

6．则B1B2、B3B4为两圆的公切线。

证明：已知A1O1、A2O2都垂直于O1O2，则∠OA1O1=∠OA2O2=90°又∠A1OO1=∠A2OO2，则△OA1O1∽△OA2O2，且OO1：OO2=A1O1：A2O2= r：R由OO1 、OO2是直径有∠OB1O1=90°、∠OO2B2=90°又OO1：OO2= O1B1：O2B2= r：R∴Rt△OB1O1∽Rt△OB2O2，∴∠OB1O1=∠OB2O2（HL）∴OB1B2在同一直线上∴B1B2为两圆的公切线，同理B3B4也为两圆的公切线三、构造矩形我们知道，公切线会垂直于两切点到圆心的连线，如果把公切线沿小圆切点到圆心的方向平移，就会得到一个矩形，还会得到一个直角三角形，该直角三角形有一条直角边为公切线的平行线，另一条为大圆与小圆的半径差（和），斜边为连心线。

所以，我们可以先在大圆圆心以半径差（和）作圆 ,再以连心线为直径作圆，交点连结得到直角三角形，接着作出平行四边形即可得到公切线。

作法： 1. 1.连结O1O2，并延长。

2.以O2为圆心，⊙O1、⊙O2的半径差(和)为半径作⊙O3。

（注：当作外公切线的时候为差，当作内公切线的时候为和）3.以O1O2为直径作圆，交⊙O3于点A1、A2。

4.连结O2A1、O2A2并延长交⊙O2于点B2、B4, 连结O1A1、O1A15. 过点B2取B2B1=O1A1交⊙O1于点B1，连结O1B1。

6．B1B2为两圆的公切线，同理B3B4也为两圆的公切线B3A2B1B2A1O1 O2B4OO2 O1A2B1B2A1 B4B3O证明：已知O 1B 1=r 、O 2B 2=R 、O 2A 1=R-r ， ∴A 1B 2=r=O 1B 1，又O 1A 1=B 2B 1∴四边形O 1A 1B 2B 1 为平行四边形又O 1O 2为⊙O 1O 2A 1直径，∠O 1A 1O 2 =90°∴□O 1A 1B 2B 1 为矩形，∠O 1B 1B 2=∠A 1B 1B 2=90°∴B 1B 2为两圆的公切线 ，同理B 3B 4也为两圆的公切线 四、结合位似与相似三角形的由上述证明中，我们知道，公切线与连心线和切点到圆心的连线会组成两个相似的直角三角形，并且相似比就为半径比。

我们要作的是公切线，那么我们只要在连心线上找到两段线段等于半径比，再以这两段线段为直径作圆，就可以作出两个相似的直角三角形，那两条直角边同时所在的直线即为公切线。

而连心线上的两段线段等于半径比，我们可以通过位似的性质，运用已知的两半径长度构造平行线，找出位似中心从而得到。

作法：1.连结O 1O 2，并延长。

2.作一条线段平行于O 1O 2，并在线段上截取长度R 和r ，把O 1O 2 连结到R和r 的和（差）线段A 1A 2的端点，两线会交与点O 3。

（注：当作外公切线的时候为差，当作内公切线的时候为和）3. 把O 3 与r 的两端点A 2A 1相连并延长，会交连心线O 1O 2于O 1、O 。

4.以OO 1为直径作圆，交⊙O 1于点B 1B 3，以OO 2为直径作圆，交⊙O 1于点B 1B 4。

5.连结OB 1 、OB 2，连结OB 3 、OB 4。

6．则B 1B 2、B 3B 4为两圆的公切线。

证明：∵ AA 2∥O 1O 2，线段AA 2与O 1O 2位似B 1A 2A 1O 2 O 1B 4B 3B 2O 3B 3r B 1B 2RO 1 O 2B 4OA 2A 1 A O 2O 1A 2B 1 B 2O 3B 4B 3r RA 1 A OB 1 A 2A 1 O 2O 1B 2B 3B 4O∴OO1：OO2= AA1:AA2=r：R由OO1 、OO2是直径,有∠OB1O1=90°、∠OO2B2=90°∴Rt△OB1O1∽Rt△OB2O2，∴∠OB1O1=∠OB2O2（HL）∴OB1B2在同一直线上∴B1B2为两圆的公切线，同理B3B4也为两圆的公切线。