谈求圆的切线方程的几种方法
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／ Ｃ１） （ ２
又 ‘ 直线 Ｐ ・ ‘ ｃ的斜 率 ｋ ｃ ｐ＝
并且 ｔ ｇｏ＝
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（Ｏ１ （ｏ５ ＋Ｙ－ ） Ｙ ７＝ Ｘ－ ） ｘ ） （ｏ２ （ｏ ） Ｏ －
（ｏＩ ＋ ｙ一）＝ ６ Ｘ ） （。２ ！１ －
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Ｐ（ ７ ５ 、
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／ 』、４— ５ ｐ ＝ ／ １４ ：。 ａ
直线 Ｐ Ｃ和 Ｐ Ａ的夹 角 ０ 有
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Ａ
● ● ●
自、立方组 ① 联解程得 ②
或、 ｛
ｆ ０ ４１
由直 线 方 程 的两 点 式 及 直 线 与 ｘ轴 垂 直 时 的方 程 Ｘ Ｘ， 得所 ＝。 求 圆 的切 线 方 程 为 ：＝ 或 ９ 一 ０ ＋ ３ ： 。 ｘ５ ｘ ４ｙ ２ ５ ０
如 果 问题 是 求 经 过 以 原 点 为 圆 心 的 圆 上 的一 点 的 切 线 的方
或 ｍ ＝
。所 以 ， 求 直线 的方 程 为 ｘ ５ ０或 ９ － ０ ＋ ３＝ ． 所 一＝， ｘ ４ｙ ２ ５ ０
程 ， 类 问题 我 们 勿 需 讨 论 。 面我 们 主 要 以求 经 过 圆 外 一 点 的切 这 下
解 法 ５ 设 过 Ｐ ５ ７ 与 圆 Ｃ （一 ） ｙ ２ 。１ ： （，） ：ｘ １ 。 － ） ６相 切 的 直 线 的 ＋（ ＝ 切 点为 Ａ ｘ， ｏ， 过 圆 上 Ａ Ｘ， 。 的切 线 可 表 示 为 （ ｏ］ （０Ｘ ＋ （ｏｙ） 则 （。Ｙ） Ｘ－ ） Ｘ ） － （ｏ２ （ｏＹ ＝ ， 且 点 Ｐ ５ ７ 在 已知 圆的 切 线上 。 Ｙ－ ） Ｙ ） Ｏ 并 － （， ）
线 的方 程 为例 ， 说 明 问题 中 所蕴 含 的各 种 方 法 与技 巧 。 来 仅供 同仁 参考 。 例 ： 己知 圆 ｃ （ 一 １ ＋ （ －２ １ 外 － Ｐ ５ ７ 引此 圆的 过 ：ｘ ） ｙ ）－ ６ 一 点 （， ） 切 线 ， 此 切 线 的方 程 ： 求
解 法 ４ 将 方 程 的解 与 曲线 的 位 置 关系 有 机 地 结合 起 来 。 ： 设 过 点 Ｐ ５ ７ 的 圆 的切 线 １与 圆 Ｃ （－ ）＋ （， ） ：ｘ １ｚ（ｙ一 ）－ ６ 切 ２ ２１ 相
了倾 角为 ９ 。 Ｏ 的直 线 解 决 方法 。 由所 求 切 线 过 点 Ｐ （ ， ） 可设所 求 方程 为 ｍ （ 一 ） ｘ ５ 即 ５７ ， ｙ ７＝ － ，
所 求 圆 的切 线 方 程 为 ｘ ５ ９ 一 ０ ＋ ３＝ 。 ＝ 或 ｘ４ ｙ２ ５ ０
解 法 ６ 设 圆 Ｃ （— ）＋ ｙ ２ １ ： ：ｘ １ （ 一 ） ６的 参数 方程 为 ＝ 且 圆 Ｃ与过 点 Ｐ ７ 的 直线 １与圆 相 切 于 点 Ａ 。ｙ ， （，） （ｘ ， 。 ）
Ｘ ＋ ５，方 组 Ｘ ＋－ｌ 仃 解就一 １ ７ ＝则 程 ｛十 ｙ４ ０ 唯‘ 是 ＿ ｍ０ ｍ－ ｙ ｌ ＋２ ｌ ｘ Ｘ ５： －— 【 ！ｍ７一 ｏ ｙ ｍｌＪ － ｖ＝ ＝ ， 天
或 ｋ不 存在 。
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所 切 方 为一暑（ ） ｘ。 一 式 程 求 线 程 ｙ ｘ 或： 其 般 方 为 ７ 一 ５ ５
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。 ｆｘ — ＝
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９ 一 ０ ＋ ３ ： ， ｘ ５ ｘ ４ ｙ ２５ ０ 或 ＝ 。
解法 ２ 抓 住 确 定直 线 位置 的 重要 参 数 ， ： ～箭 双 雕 ， 妙 地 迎 合 巧
所体 现 出来 的综 合 能 力 ， 果 教 师善 于 引导 ， 可以 借 助 这 类 问题 的 解 决过 程 来 培 养 学 生 的数 学能 力 和数 学方 法 如 就
关 键 词 ： 的 切 线 几 何 解 题 圆
中 图分 类号 ： Ｇ６ ３ ６ ３ ．
文 献标 识 码 ： Ｃ
文章 编 号 ： ６ １ ８ ３ 一 ２ ０ ｌ－ ０ ６ ０ １ ７ — ４ ７ （０ ９ ３ ０ ２ — １
于 Ａ（ｏＹ ， Ｘ ｏ 则由ＡＰＡ为 Ｒ Ａ， １Ａ 。３ｃｚ１ｃ 及 两点间距 ，） Ｃ ｔ 且 ｉ ｉ Ａ１ Ｐ ＝Ｐ 一
离公式， 得
生
②
解 法 １ 紧紧 抓 住 圆 的相 关 性 质 ， 横 联 络 ， 立 关键 方 程 。 ： 纵 建 如 图， 结 Ｐ ， 连 ｃ 设直 线 Ｐ ｃ绕 Ｐ转 ０ 角 后 与 ｏｃ相 切 于 Ａ点 ， 连结 ｃ ， Ｐ Ａ 设 Ａ直 线斜 率 为 ｋ 则 ＡＰＡ为 Ｒ △， Ｃ ４ ， Ｃ ｔ 且 Ａ＝ ，
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Ｎｏ ３
鲤私瀚
丽 ■丽
Ａ ｇｅ ２ ０ ｕｕｓ ０９ ｔ
谈 求 圆 的切 线方 程 的几 种 方 法
陈
（ 贵州 省凤 冈县 龙 潭 中学
泉
贵州 遵义 ５４０ ６ ２ ０）
摘 要 ： 学 习 了有 关 圆的 方 程 后 ， 们 通 常会 遇 到 求 圆的切 线 的 方 程 这 一 类很 普 遍 的 问题 ， 确 能 充 分反 映 学 生在 解 决 问题 时 在 我 它
③
④
又 ’Ａ Ｘ， ０在 圆 Ｃ （— ）＋ ｙ ２ ｚ １ 上 ， ． （。 ｙ ’ ） ： ｘ １ （～ ）＝ ６
・ 。 ．
关 于直 线 Ｐ Ａ斜 率 的 等 式 为 ： ４
０
９
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由 ， 联立 方 ， 其 ： ｊ ： ③ ④ 解 组 解为 ？ 。 ：
（ｏ ） （ｏ７ 。２ Ｘ－ 。 Ｙ－ ） ５ ５十 ＝
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①
‘ Ａ Ｘ ０在 圆 Ｃ （ — ）＋ ｙ ２ ＝ ６ ， 点 （ｍＹ） ：ｘ Ｉ （一 ） １ 上
（Ｏ １２ （Ｏ ２２ １ ｘ一 ）＋ ｙ 一 ） ＝ ６
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由直 线 方 程 的两 点 式 及 直 线 与 ｘ轴 垂 直 时 的方 程 Ｘ Ｘ， 得所 ＝。 求 圆 的切 线 方 程 为 ：＝ 或 ９ 一 ０ ＋ ３ ： 。 ｘ５ ｘ ４ｙ ２ ５ ０
如 果 问题 是 求 经 过 以 原 点 为 圆 心 的 圆 上 的一 点 的 切 线 的方
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程 ， 类 问题 我 们 勿 需 讨 论 。 面我 们 主 要 以求 经 过 圆 外 一 点 的切 这 下
解 法 ５ 设 过 Ｐ ５ ７ 与 圆 Ｃ （一 ） ｙ ２ 。１ ： （，） ：ｘ １ 。 － ） ６相 切 的 直 线 的 ＋（ ＝ 切 点为 Ａ ｘ， ｏ， 过 圆 上 Ａ Ｘ， 。 的切 线 可 表 示 为 （ ｏ］ （０Ｘ ＋ （ｏｙ） 则 （。Ｙ） Ｘ－ ） Ｘ ） － （ｏ２ （ｏＹ ＝ ， 且 点 Ｐ ５ ７ 在 已知 圆的 切 线上 。 Ｙ－ ） Ｙ ） Ｏ 并 － （， ）
线 的方 程 为例 ， 说 明 问题 中 所蕴 含 的各 种 方 法 与技 巧 。 来 仅供 同仁 参考 。 例 ： 己知 圆 ｃ （ 一 １ ＋ （ －２ １ 外 － Ｐ ５ ７ 引此 圆的 过 ：ｘ ） ｙ ）－ ６ 一 点 （， ） 切 线 ， 此 切 线 的方 程 ： 求
解 法 ４ 将 方 程 的解 与 曲线 的 位 置 关系 有 机 地 结合 起 来 。 ： 设 过 点 Ｐ ５ ７ 的 圆 的切 线 １与 圆 Ｃ （－ ）＋ （， ） ：ｘ １ｚ（ｙ一 ）－ ６ 切 ２ ２１ 相
了倾 角为 ９ 。 Ｏ 的直 线 解 决 方法 。 由所 求 切 线 过 点 Ｐ （ ， ） 可设所 求 方程 为 ｍ （ 一 ） ｘ ５ 即 ５７ ， ｙ ７＝ － ，
所 求 圆 的切 线 方 程 为 ｘ ５ ９ 一 ０ ＋ ３＝ 。 ＝ 或 ｘ４ ｙ２ ５ ０
解 法 ６ 设 圆 Ｃ （— ）＋ ｙ ２ １ ： ：ｘ １ （ 一 ） ６的 参数 方程 为 ＝ 且 圆 Ｃ与过 点 Ｐ ７ 的 直线 １与圆 相 切 于 点 Ａ 。ｙ ， （，） （ｘ ， 。 ）
Ｘ ＋ ５，方 组 Ｘ ＋－ｌ 仃 解就一 １ ７ ＝则 程 ｛十 ｙ４ ０ 唯‘ 是 ＿ ｍ０ ｍ－ ｙ ｌ ＋２ ｌ ｘ Ｘ ５： －— 【 ！ｍ７一 ｏ ｙ ｍｌＪ － ｖ＝ ＝ ， 天
或 ｋ不 存在 。
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所 切 方 为一暑（ ） ｘ。 一 式 程 求 线 程 ｙ ｘ 或： 其 般 方 为 ７ 一 ５ ５
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关 键 词 ： 的 切 线 几 何 解 题 圆
中 图分 类号 ： Ｇ６ ３ ６ ３ ．
文 献标 识 码 ： Ｃ
文章 编 号 ： ６ １ ８ ３ 一 ２ ０ ｌ－ ０ ６ ０ １ ７ — ４ ７ （０ ９ ３ ０ ２ — １
于 Ａ（ｏＹ ， Ｘ ｏ 则由ＡＰＡ为 Ｒ Ａ， １Ａ 。３ｃｚ１ｃ 及 两点间距 ，） Ｃ ｔ 且 ｉ ｉ Ａ１ Ｐ ＝Ｐ 一
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②
解 法 １ 紧紧 抓 住 圆 的相 关 性 质 ， 横 联 络 ， 立 关键 方 程 。 ： 纵 建 如 图， 结 Ｐ ， 连 ｃ 设直 线 Ｐ ｃ绕 Ｐ转 ０ 角 后 与 ｏｃ相 切 于 Ａ点 ， 连结 ｃ ， Ｐ Ａ 设 Ａ直 线斜 率 为 ｋ 则 ＡＰＡ为 Ｒ △， Ｃ ４ ， Ｃ ｔ 且 Ａ＝ ，
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谈 求 圆 的切 线方 程 的几 种 方 法
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（ 贵州 省凤 冈县 龙 潭 中学
泉
贵州 遵义 ５４０ ６ ２ ０）
摘 要 ： 学 习 了有 关 圆的 方 程 后 ， 们 通 常会 遇 到 求 圆的切 线 的 方 程 这 一 类很 普 遍 的 问题 ， 确 能 充 分反 映 学 生在 解 决 问题 时 在 我 它
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又 ’Ａ Ｘ， ０在 圆 Ｃ （— ）＋ ｙ ２ ｚ １ 上 ， ． （。 ｙ ’ ） ： ｘ １ （～ ）＝ ６
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（ｏ ） （ｏ７ 。２ Ｘ－ 。 Ｙ－ ） ５ ５十 ＝
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