函数的最值（值域）
●高考要求
掌握求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；掌握二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法
最值问题，几乎涉及到高中数学的各个分支，是历年高考重点考查的知识点之一，有一些基础题，也有一些小综合的中档题，更有一些以难题形式出现．它经常与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系．所以其解法灵活，综合性强，能力要求高．解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法．考生的运算能力，分析问题和解决问题能力在这里充分展现．因此我们应注意总结最大、最小值问题的解题方法与技巧，以提高高考应变能力因函数的最大、最小值求出来了，值域也就知道了反之，若求出的函数的值域为非开区间，函数的最大或最小值也等于求出来了
●重难点归纳
(1)求函数的值域
此类问题主要利用求函数值域的常用方法配方法、分离变量法、单调性法、导数法数形结合法（图像法）导数法数形结合法、判别式法、部分分式、均值不等式、换元法、不等式法等无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域
(2)函数的综合性题目
此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强
(3)运用函数的值域解决实际问题
此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力
●知识点归纳 一、相关概念 1、值域：函数A x x f y ∈=
，)(，我们把函数值的集合}/)({A x x f ∈称为函数的值域。
2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。
最大值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。记作()max 0y f x = 最小值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。那么，称M 是函数y =f (x )的最小值。记作()min 0y f x = 注意：
①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M ；
② 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M （f (x )≥M ）。
二、 确定函数值域的原则
1、当函数)(x f y =用表格给出时，函数的值域指表格中实数y 的集合；
则值域为{1，2，3，4} 2、数)(x f y
=的图像给出时，函数的值域是指图像在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合；
3、数)(x f y =用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；
4、由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义决定。 三、基本函数的值域
1、一次函数）（0≠+=a b kx y 的定义域为R ，值域为R ；
2、二次函数）（02≠++=a c bx ax y 的定义域为R ，；
当]44(0);44[02
2a
b a
c ，，a ，a b ac ，a --∞<∞+->值域是时值域是时
3、反比例函数)0(≠=k x
k y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为}0/{≠y y ；
4、数函数)10(≠>=a a a y x
且的值域为}0/{>y y ；
5、对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且的值域为R ；
6、函数y=sinx 、y=cosx 的值域是 ][1,1-；
7、函数 2
k x ,tan π
π+≠=x y ,cot x y =),(Z k k x ∈≠π的值域为R 。
四、求函数值域的方法
函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域
求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。 常用方法：
（1）观察法(用非负数的性质，如：2
0x ≥；0x ≥0(0)x ≥≥等)
例如：求下列函数的值域：y=-3x 2
+2;{y|y ≥2}
变式：y=5+21+x (x ≥-1).{y|y ≥5}最值问题，几乎涉及到高中数学的各个分支，是历年高考重点考查的知识点之一，有一些基础题，也有一些小综合的中档题，更有一些以难题形式出现．它经常与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系．所以其解法灵活，综合性强，能力要求高．解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法．考生的运算能力，分析问题和解决问题能力在这里充分展现．
函数y=ax+1 (a ≠0，－1≤x ≤1)的值域是______. （2）直接法：利用常见函数的值域来求，
（3）配方法：(二次或四次) 转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
常转化为含有自变量的平方式与常数的和，型如：),(,)(2
n m x c bx ax x f ∈++=的形式，然后根据变量的取值范围确定函数的最值； 例如：求值域：y=2
1x x ++，x R ∈；x []3,1-∈； (1,5]x ∈；[5,1]x ∈--
变式1：y ＝－x 2
＋4x －1 x ∈[-1,3)；
变式2：求函数y=
3
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2+-x x 的值域.
变式3：当]2,0(∈x 时，函数3)1(4)(2
-++=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值
范围是___（答：2
1
-≥a ）；
