初中数学——数形结合思想(初二)

以形助数，以数解形—-浅谈数形结合思想在初中数学中的应用摘要:在初中数学中，数形结合思想无处不在，利用好它可以帮助解决较难问题，并提高解题速度。

笔者结合教学实际,对数形结合思想进行浅议，探讨其在数学教学中的应用.关键词：数形结合初中数学数学应用数形结合思想是初中数学中一种重要的数学思想.在近几年武汉中考数学试卷中，利用数形结合思想解决问题的题目屡见不鲜，而且有逐年加强的趋势，可见其重要性。

因此,笔者结合数学教学实际，探讨数形结合思想在初中数学中的应用.在《初中数学新课程标准》中提到：“数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的，如：数形结合思想等。

”［1]所谓数形结合，就是指把代数的精确刻划与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法。

利用它可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，很多难题便迎刃而解，而且解法简便易懂。

数与形是密切相关的两个数学表象，它们是一一对应的关系，且相互依存、相互促进.在解决数学问题时,我们要把它们有机的结合起来,并相互转化，即把几何图形转化为数量关系问题, 应用代数、三角函数等知识进行讨论，或者把数量关系问题转化为图形问题，借助几何知识加以解决，使学生看到“形”能想到“数”, 而看到“数”则能想到“形”,最终达到优化解题途径的目的.著名的数学家华罗庚说得好：“数缺形时少直观，形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休,几何代数统一体，永远联系莫分离" [2].初一我们就学习了数轴，它建立起了实数与数轴上的点的一一对应关系.进而，又引入了直角坐标系，它扩大成了有序实数对与坐标平面上的点的一一对应.到了初二、初三又陆续学习了一次函数、二次函数，我们知道它们跟直线、抛物线也是一一对应的关系，以至于后来的“用函数的观点看方程”，实质上就是曲线和方程的对应关系。

正是这些数与形的对应，才促使我们要利用它们之间的联系，相互结合，相互转化，最终达到解决数学问题的目的。

数形结合思想在初中数学教学中的应用优秀获奖科研论文数形结合是一种非常重要的数学思想方法，也是数学解题中要求掌握的重要思想方法之一，在数学学习中有着重要的地位.数形结合，有利于学生对数学知识的理解，落实新课标的要求，即通过“以形助数，以数解形”，能够将复杂问题简单化，抽象问题具体化.很多数学问题利用数形结合思想来解决，能够达到化难为易的目的.在初中数学教学中，教师应重视数形结合思想，从而提高学生分析问题和解决问题的能力.下面结合自己的教学实践就数形结合思想在初中数学教学中的应用谈点体会.一、数形结合思想在集合问题中的应用在教学中，教师单一地讲解集合问题，很难使学生想象出各数集之间的关联性，而利用图示法，能够解决抽象的集合问题，让学生对集合问题一目了然.在图形中，一般利用圆来表示集合，两集合有公共的元素则两圆相交，两圆相离则表示没有公共的元素.例如，在学校开展兴趣班时，初中某班共有28个学生，其中有15人参加音乐兴趣班，有8人参加舞蹈兴趣班，有14人参加书法兴趣班，同时参加音乐和舞蹈兴趣班的有3人，同时参加音乐和书法兴趣班的有3人，没有人同时参加三个兴趣班，问：同时参加舞蹈班和书法兴趣班的有多少人？只参加音乐兴趣班的有多少人？图1解析：如图1，设A={参加音乐兴趣班的学生}，B={参加舞蹈兴趣班的学生}，C={参加书法兴趣班的学生}，同时参加舞蹈和书法兴趣班的学生有x人.由题意可知，card（A交B）=3.card（A交C）=3，card（B交C）=x，则15+8+14-3-3-x=28，得x=3.因此，同时参加舞蹈和书法班的有3人，只参加音乐兴趣班的有15-3-3=9人.这样，利用图示法，可以使复杂的数学问题变得简单化和具体化，降低做题难度，有助于激发学生的学习兴趣.二、数形结合思想在函数问题中的应用函数是整个数学的重点，关于函数类型的题也数不胜数.利用函数求极值的问题是常见的题型，以数辅形，需要将图象中的数量关系整理清楚，以函数的形式表达出来，把握函数与图形之间的关系，达到快速解决数学问题的目的，体现数形结合在解题中的重要性.初中生对一次函数和二次函数的图象有着很深的了解，因此在面对这类函数问题时，往往可以根据函数图象来解答.这样，不但可以加深学生对基本概念的理解，还可以加强学生对这些基本知识的灵活运用.例如，当0 解析：方程中含有两个未知数，无法直接求解，可以转化成两个函数问题，图2求解的个数就是求函数图象的交点个数.由|1-x2|=kx+k，可构造y=|1-x2|和y=kx+k，如图2.所以原方程解的个数为3个.这样，复杂的函数问题，利用图形进行展示，能够直接得出问题的答案，强化了学生的认知，深化了学生的思维训练，提升了教学效率.三、数形结合思想在概率问题中的应用概率作为初中数学教学中的重点内容，一直是教学的难点.许多概率问题在思考中都存在着抽象，如果借助于坐标平面或数学模型的问题，以形助数，运用数形结合思想，就能够帮助学生迅速找到问题的切入点，优化解题过程，提高解题速度.总之，在初中数学教学中，数形结合思想既是一种教学手段，又是一种解题方法.运用数形结合思想，能够拓宽学生的思维；运用数形之间的关联性，以图形助数学解题，能够强化学生对数学本质的认知和了解，提高学生数学思维的灵活性、根基性等.教师应适当运用数形结合思想开展教学活动，从学生的角度出发，培养学生的综合技能和素质，提升初中数学教学质量，确保学生全面发展.。

数形结合思想在初中数学解题中的应用数形结合思想是指在解决数学问题时，通过将数学概念与几何图形相互结合，相互转化和应用的思考方法。

在初中数学的教学中，数形结合思想被广泛地应用。

本文将从初中数学的各个章节对其应用进行探讨。

1. 直线与圆在初中数学的直线与圆章节中，学生需要掌握直线与圆之间的基本关系，如切线、割线等，并学习如何运用这些关系解决问题。

数形结合思想在这一章节的应用体现在，通过将直线与圆相互结合，将抽象的数学概念转化为具体的几何图形，从而帮助学生更好地理解题意和解决问题。

例如，解决“过圆O外一点P作切线，过点P作另一条直线割圆于A、B两点，连接OP 并延长交圆于C点，求证：∠OAC=∠OBC”的问题时，我们可以通过画图，在圆上标出切线和割线，将几何图形与数学概念相互联系来解决问题。

2. 三角函数在初中数学的三角函数章节中，学生需要学习正弦、余弦、正切等三角函数的基本概念和运用。

例如，在解决“证明：sin2A+cos2A=1”的问题时，我们可以画出一个以A为顶点的直角三角形，将正弦、余弦与三角形的边相互对应，从而帮助学生理解三角函数的定义和性质。

3. 平面向量例如，在解决“ABCD为平行四边形，设向量AB=a，向量AD=b，求向量AC的坐标表示”的问题时，我们可以画出平行四边形ABCD的几何图形，并通过图形将向量的定义和运算法则转化为数学表示式。

4. 二次函数例如，在解决“已知二次函数y=x²+px+q的图像过点(1，3)，且在x轴上的零点为-2和3，求p、q”的问题时，我们可以通过画出二次函数的图像，并通过图像求出零点和顶点，进而求出p、q的值。

结语数形结合思想在初中数学的教学中具有重要的应用价值，可以帮助学生更好地理解数学知识，提高解题能力和思维能力。

教师在教学中应该注重将数学概念与几何图形相互联系，设计具体、形象的教学案例，引导学生积极思考、用图解题，从而达到提高教学质量和学生学习水平的目的。

数形结合思想在初中数学教学中的应用数学是一门运用逻辑推理推导出的科学，同时也以其严谨性、透彻性、可证明性等特点而受到人们的青睐。

在初中数学教学中，数形结合思想被广泛应用于各个知识点的讲解和练习中。

本文将从数形结合思想的概念和内涵、优势及其在初中数学教学中的应用方面分别进行论述。

一、数形结合思想的概念和内涵数形结合思想是指在数学教学中，将数学和几何的知识相结合，通过图形来帮助学生更好地理解和记忆数学知识，同时也拓展了学生的思维能力。

其内涵主要有以下几个方面：（一）理解概念，形象化思维在初中数学教学中，不少知识点都需要依靠图形进行理解和记忆，例如面积、体积、角度、圆等概念，如果只是简单地讲解理论定义，学生的理解会有所欠缺。

而如果将图形和数学结合起来来进行教学，则可以让学生通过直观的视觉印象去建立数学概念，从而使学生的理解达到更加深入和扎实的程度。

（二）创新思维，启迪智慧数形结合思想还可以激发学生的求知欲，培养学生对数学问题的兴趣和好奇心。

这种方法比纯粹依靠书本进行教学更具有灵活性，同时由于教学方法的创新，也能更好地激发学生的创新思维，解决问题的能力得到提升。

（三）丰富教育形式，提高教学质量数形结合思想可以将学习和游戏二者结合在一起，充分利用课堂外的环境和游戏环境，让学生在轻松、愉快的氛围中学习，从而可以更好地吸收知识，提高教学质量。

二、数形结合思想的优势数形结合思想不仅有着扩展学生思维和提高学生兴趣的优势，同时还有下面几个方面的突出特点：（一）强化概念的记忆与理解通过数形结合思想可以更好地帮助学生建立数学概念，增强学生对数学概念的理解能力。

例如，在教学围棋算术时，可以让学生画出棋盘，然后直观地了解两个棋子之间的距离和运算关系。

（二）启迪学生的思维和创造力数形结合思想有助于创造一个有趣和丰富的学习环境，使学生可以在探究中发现规律、思考问题的方法和路径，培养创造力和解决实际问题的能力。

（三）增强学生对数学的兴趣通过数形相结合的教学方式可以将数学与生活紧密相连，从而使学生对数学有更深入的理解，更加容易激发学生对数学的兴趣，提高学生学习数学的积极性。

初中代数教学中的数形结合思想在初中数学教学中，代数与几何一直被认为是两个分立的领域，代数是研究数与数字运算规律的一门数学学科，几何是研究图形与空间的一门数学学科。

在很长一段时间里，代数与几何被看作是毫无关联的两个领域，两种思维方式也被认为是与两种不同的学科有关。

数学教育的实践表明，代数与几何是有着密切联系的。

代数与几何之间的联系不仅仅表现在表面上的相似之处，而是在实践中发现代数与几何相互渗透、相互借鉴、相互促进。

在初中数学教学中，有必要将代数与几何融合在一起，采用“数形结合”的教学思想，让学生更好地掌握数学知识，提高数学素养。

一、代数与几何之间的联系1. 代数与几何的相似性代数与几何在某些方面有很多相似之处，比如二者的符号与图形形式都是抽象的，它们都是用来研究自然界中存在的问题。

代数与几何具有相似的逻辑思维方式，都需要进行分析、推理、证明等过程。

在实际问题中，代数与几何也有诸多相似之处，比如可以用代数方程和几何图形分析解决某些问题。

代数与几何之间也存在着许多相辅相成之处。

代数可以帮助几何问题化为代数问题，几何图形的性质可以通过代数分析得到更深入的认识。

比如用代数方法解决几何问题，可以通过设定代数变量表示几何问题中的长度或面积等量，通过代数方程组计算得到问题的解，从而借助代数的思维方式解决几何问题。

而几何知识也可以帮助方程的解题。

比如从图形上解释一元一次方程的意义，可以帮助学生理解方程的解的实际意义。

代数与几何之间的相互促进是指代数和几何在相互学习中不断发展和完善。

比如代数的引入可以帮助学生更好地理解几何知识，代数的知识和方法也可以应用到几何中去。

同样，几何知识也可以帮助学生更好地理解代数知识，几何的思维方式也可以用到代数中去。

在相互学习中，代数和几何不断促进和完善。

1. 数形结合的基本内涵“数形结合”是指代数知识与几何知识相互渗透、相互借鉴、相互促进。

数形结合是以代数为主线，以几何为辅助，结合实际问题，充分体现数学的应用性和实用性。

谈谈初中数学中常用的数学思想在初中数学中，常用的数学思想有：数形结合思想、方程与函数思想、分类讨论思想和化归与转化思想等。

教学中逐步渗透数学思想方法，培养学生思维能力，是进行数学素质教育的一个切入点。

一、数形结合的思想数形结合的思想是研究数学的一种重要的思想方法，它是指把代数的精确刻划与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法。

由以上的例子，我们可以看出数形结合思想的应用往往能使一些错综复杂的问题变得形象直观。

二、方程与函数的思想方程与函数的思想解决数学问题的一个有力工具。

用函数和方程的思想来解决问题，往往能使一些错综复杂的问题变得直观，解题思路清晰，步骤明了。

例：某公司到果园基地购买某种优质水果，果园基地对购买量在3000㎏以上（含3000㎏）的有两种销售方案。

方案一：每千克9 元，由基地送货上门；方案二：每千克8 元，由顾客自己租车运回。

已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000 元。

（1）分别写出该公司两种购买方案的付款y(元)与所买的水果x(㎏)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

（2）当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由。

分析：由题意易得方案一与方案二对应的函数关系式为y1=9x与y2=8x+5000，再根据y1与y2的大小关系选择付款最少的购买方案。

解：（1）方案一，y1=9x；方案二，y2=8x+5000，x≥3000㎏．(2)9x=8x+5000，x=5000；当x=5000㎏时，y1=y2。

两种方案付款一样；当x﹥5000㎏时，y1﹥y2，选择方案二付款最少；当3000≤x﹤5000，y1﹤y2，选择方案一付款最少。

三、分类讨论的思想分类是通过比较数学对象本质属性的相同点和差异点，然后根据某一种属性将数学对象区分为不同种类的思想方法。

此方法可以训练学生思维的全面性，克服思维的片面性，防止漏解。

运用分类讨论思想时，分类要准确、全面、不重、不漏。

如图，已知四边形AOBE和四边形CBFD
均为正方形，反比例函数 y
4 x
的图象经
过D、E两点，则△DOE的面积等于___
如图所示，在边长为6的菱形ABCD中，
∠DAB=600，E为AB的中点，F是AC 上一动点，则EF+BF的最小值是多少？ D F
C
•
A
•
E
B
问题：如图，已知点P（x1 ，y）是反比 1 k 例函数y= x （k>0）图象上任意一点，过 点P作PA⊥x 轴于A，且S =6 探究 1： 求k 的值。
kx b(k 0)的图象与x轴, m x (m 0)
y轴分别交于A, B两点, 且与反比例函数y 的图象交于点C, 过点C作CD垂直于x
轴, 垂足为D.
若OA OB OD 1.
(1)求点A, B,D的坐标; 比例函数的解析式.
y C B A
(2)求一次函数和反
O D
x
C
E
D
探究2： 延长BQ至点C，过点C作CD⊥y 轴于D，交双曲线于 点E，连接QE、BD、QD、BE， ①求△BQD和△BDE的面积。 ② 试探索QE与BD是什么位置关系？为什么？
y
P B O Q A x
C
E
D
探究2： 延长BQ至点C，过点C作CD⊥y 轴于D，交双曲线于 点E，连接QE、BD、QD、BE， ①求△BQD和△BDE的面积。 ② 试探索QE与BD是什么位置关系？为什么？
x 4
2
(1 2 x ) 9
2
的最小值.
B
D
C
E
(2).请写出使四边形EPFD为菱形时X的取值范围。
并求出当x=2时菱形的边长。

数形结合思想在初中数学中的应用数形结合思想是指通过对数学问题进行图形化的表示和解释，从而提供直观的解决问题的思路和方法。

在初中数学中，数形结合思想的应用主要包括以下几个方面。

一、图形与几何问题的解决数形结合思想在解决几何问题时起到了至关重要的作用。

通过将几何问题转化为图形问题，可以直观地理解问题的本质，并通过观察和推理得到解决问题的方法。

当求解一个三角形的面积时，可以通过将三角形划分成若干个简单的图形，计算它们的面积然后相加来得到整个三角形的面积。

这种数形结合思想的应用，帮助学生理解并解决了许多几何问题。

二、函数与图像的分析在初中数学中，我们接触到的函数种类较为简单，但是通过对函数图像的观察，可以对函数进行初步的分析和判断。

通过观察一元一次函数（y = kx + b）的图像，可以看出当 k>0 时函数是递增的，而当 k<0 时函数是递减的。

通过对图像的观察和比较，可以得到一些函数的性质和规律。

图形化的表示和解释使得函数的学习更加直观和有趣。

三、统计与数据分析数形结合思想在统计和数据分析中也有重要的应用。

在分析一个统计数据时，可以通过绘制柱状图、折线图等图形来直观地展示和比较数据的特征。

通过观察图形，我们可以得出一些有关数据的结论和推断。

图形化的表达也使得数据的理解和分析更加简单和直观。

四、证明与推理在初中数学中，我们也经常需要进行一些证明和推理的工作。

数形结合思想通过图形的表示和解释，可以帮助学生更好地理解和掌握证明和推理的方法。

在证明两个三角形全等时，可以通过绘制它们的图形表示，并观察图形的对应部分是否相等来进行验证。

这种数形结合的思考方式，帮助学生更好地理解和运用证明和推理的方法。

数形结合思想在初中数学中的应用十分广泛。

通过将抽象的概念和问题进行图形化的表示和解释，数形结合思想可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高解决问题的能力和思维方式。

数形结合思想在初中数学的教学中起到了重要的作用，同时也培养了学生的创造力和想象力，使学习数学变得更加有趣和实用。

初中数学中的数形结合思想摘要：数形结合思想是初中数学中很重要的一种思想方法，它主要是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含以形助数和以数解形两个方面。

本文从以形助数方面论述了数形结合思想在解题中的具体应用：构造几何图形解决代数问题，从而使复杂问题简单化、抽象问题具体化。

关键词：初中数学数形结合思想以形助数数与形是数学的两大支柱，它们是对立的，也是统一的。

数形结合思想，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含以形助数和以数解形两个方面。

利用它可使复杂问题简单化、抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长，是一种基本的数学思想。

下面结合具体实例谈谈数形结合思想在解题中的应用：一、求最值问题例1：已知x＞0、y＞0，且x+y=10,求x2+4+y2+9的最小值。

解：如图1，作线段AB=10，在AB上截取AE=x，EB=y，过A作AC⊥AB，且AC=3，过B作BD⊥AB，且BD=2。

由勾股定理得：CE=x2+9，BE=y2+4，那么求x2+4+y2+9的最小值即求CE+ED的最小值。

如图1，延长CA至G，使AG=AC，连接GE，由三角形两边之和大于第三边知，G、E、D 三点共线时，GE+ED=DG最短。

作出图形，延长DB至F，使BF=AG，连接GF。

则在Rt△DGF中，DF=2+3=5，GF=AB=10，∴DG=DF2+GF2=102+52=55，∴CE+DE的最小值是55，即x2+4+y2+9的最小值是55。

二、判断方程根的个数问题例2：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图2所示，当0＜k＜3时，方程|ax2+bx+c|=k的根有____个。

解：作函数y=|ax2+bx+c|的图象如图3所示，当0＜k＜3时，直线y=k与函数图象有四个交点。

所以，方程y=|ax2+bx+c|=k的根有4个。

三、二次函数中三角形的面积问题例3：如图4，已知二次函数y=-x2+x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，点P为x轴上方的抛物线的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个？解：当x=0时y=4,所以A(0,4)；当y=0即-x2+x+4=0时，x1=-2，x2=8，所以B(-2，0)、C(8，0)，设P(a,-a2+a+4)①当0＜a＜8时，如图5所示，过点P作PD⊥x轴于点D。

｜
＝
｜ 。
／ ；
ｘ ＝ ５
ｆ ／ ＼ ／
图２
３ ． “ 数 形 结 合 ” 能
陶 台学 生情 操
、
“ 数 形结 合 ” 思想 在数 学 教学 中 的意 义和 作 用
在数学 发展进程 中， 数和形常常结合在一起 ， 在 内容 上 相互 联 系 ， 在 方法 上 相 互 渗 透 ， 在 一 定 条 件 下 相互转化。数形结合在初中数学教学 中具有举足轻 重 的意 义 ， 加 强 数 形 结合 对 提 高 学 生 的 思 维 能力 、 激 发学生的学 习兴趣等都具有重大作用 。在有关“ 数” 的研究 中安排适 当的几何背景 ， 数就会不显得空洞 、 抽象 ； 在“ 形” 的学 习中 ， 运用代数 方法 研究几何 ， 抓 住题 目中固有的本质属性与内在联 系，形 的问题就 迎刃而解 ， 且解法简捷。
学科 建 设
０
¨ 数” ‘ ‘ 开 兰 ’ ’ 结 合 总相 宜
一
谈“ 数 形 结合 ” 思想 在 初 中数 学 中的应 用
■ 林 巧 燕
通 过 将 抽 象 的数 学 语 言 与 直 观 的 图 形 结 合 起 来， 关键是代数问题与几 何图形之 间的转化 ， 以“ 形” 为手段 ， “ 数” 为 目的 ， 使抽象 的问题直观化。
／
１
＜ ＼
＼ｌ
／ ＼ ．
５ １
／ ＼ ／＼ ／ 、
４
１
／ ＼
５
／＼６ ／
＼ ／ ＼
１ ０ １ ０
在 解数 学 题 时 ， 经 常会 遇 到 一 类 题 型 ， 题 目给 的条件很抽象 ， 看似简单 ， 但容易出错 。如果选择合 适 的图 形作 为研 究 对 象 ， 把 的效果 。 ［ 案例 １ ］ 在实数范 围内， 方 程

22教育版内容摘要：本文介绍了初中数学解题中的一种重要的思想方法——数形结合. 数形结合思想主要是利用了数的结构特征，绘制出同其相对应的数学图形，同时通过对图形特点及规律的运用，使数学问题得到解决，或是将图形转化为代数，无需进行推理，便将要解答的问题转变为数量关系.在数学教学中合理结合数形结合思想能够有效调动学生的积极性，让学生通过直观的视觉观察来理解数学的概念和知识，为学生解题提供一定的帮助.关键词：数形结合　初中数学　应用一、数形结合的本质和内涵：数形结合思想就是通过对数与形间关系的运用，对数学习题中的知识点及问题进行研究，从而使问题得到解决的一种方法.分析及研究数与形间的关系，学生会清晰地看到数与形之间在一定的状况之下是能实现转换的.它们之间具有一定的等量关联，能让学生更加深入地对知识进行理解，并解决相关问题.在初中数学中，数指的是方程、函数、指数等，形指的是函数图形与几何图形.学生若能把它们结合起来运用，就能使问题的解答更加容易，从而提升学生解题的能力。

二、数与形之间的转化：中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合.作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”.“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。

三、数形结合思想在初中数学解题中的应用：（一）数形结合思想在数与式问题中的应用。

数形结合的教学思想可以把有理数和数轴紧密联系起来.所有的有理数都可以在数轴.上找到相对应的唯一的点，如果想要对比两个有理数的大小，就可以通过比较分析在数轴上两个有理数的位置关系来得出结果.同时，依据数轴上原点与点的位a 、b ．（图略）【分析】 由上a ，b 的位置可以得到a <b．∴a =−，ab b a −=−【解】 ()a b a +−除此以外，数形结合思想还运用于一些图形类的规律题中，比如下面这个题目.【例2】 如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n 条“金鱼”需要火柴______根。

解题思想之数形结合一、注解：数形结合思想指将数量与图形结合起来，对题目中的给定的题设和结论既进行代数方面的分析，又从几何含义方面进行分析，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，也可以使图形的性质通过数量之间的计算与分析，达到更加完整、严密和准确。

在解决数学问题的过程时要善于由形思数，由数思形，数形结合，通过数量与图形的转化，把数的问题利用图形直观的表示出来，力图找到解题思路。

数形结合是数学学习的一个重要方法，通常与平面直角坐标系，数轴及其他数学概念同时使用。

二、实例运用：1.在实数中的运用【例1】如图，在所给数轴上表示出实数—3，—1，2-的点，并把这组数从小到大用“＜”连接。

【例2】已知a＜0，b＜0，且a＜b，则（）A —b＞—aB —b＞aC —a ＞bD b＞a2.在不等式中的运用【例3】不等式组2030xx-⎧⎨-≥⎩的正整数解的个数为（）A 1个B 2个C 3个D 4个【例4】关于x的不等式组521xx a-≥-⎧⎨-⎩无解，则a的取值范围是。

3.在方程（组）中的运用【例5】利用图像法解方程组24212x yx y-=⎧⎨+=⎩4.在函数中的运用【例6】某水电站的蓄水池有2个进水口和1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示。

已知某天0点到6点进行机组试运行，试机时至少打开一个水口，且该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示。

给出三个判断：（1）0点到3点，只进水不出水；（2）3点到4点，不进水只出水；（3）4点到6点，不进水不出水。

则以上判断正确的是（）A （1）B （2）C （2）（3）D （1）（2）（3）【例7】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则在（1）a＜0,（2）b＞0（3）c＜0（4）b2-4ac＞0中，正确的判断是（）A （1）（2）（3）（4）B （4）C（1）（2）（3）D（1）（4）5.在统计与概率中的运用【例8】近年来，某市旅游业蓬勃发展，吸引了大批海内外游客前来观光，下面两图分别反映了该市2001—2004年旅客总人数和旅游业总收入的情况。

数形结合思想在初中数学解题中的应用数形结合思想是指在数学解题中，通过将数学问题转化成几何形状，并结合图形的性质来解决问题的一种思维方式。

这种思想可以帮助学生更好地理解数学概念，并能够将抽象的数学问题转化为具体的图形形状，通过观察和分析图形的特点，解决问题。

在初中数学解题中，数形结合思想可以运用在很多方面，下面就介绍几个典型的例子来说明。

对于如何求解一条线段的长度，数形结合思想非常有效。

对于一个线段，可以通过将它画成一个直角三角形来求解。

我们可以利用勾股定理或平行线性质，根据图形的特点来解决问题。

比如给定一条不在坐标轴上的线段AB，我们可以通过在平面直角坐标系上描绘出这个线段，并在两点连接垂直于坐标轴的直线，从而构成一个直角三角形，通过计算三个边的长度，利用勾股定理可以求出线段AB的长度。

对于解决面积和体积问题，数形结合思想也非常有用。

在计算一个图形的面积时，可以将图形进行分割，将其转化为若干个简单的几何形状，分别计算每个简单形状的面积，然后相加得到整个图形的面积。

比如计算一个梯形的面积，可以将其分割为一个矩形和两个直角三角形，分别计算它们的面积后相加即可得到梯形的面积。

对于体积问题，也可以通过数形结合思想来解决。

比如计算一个三棱柱的体积，可以将其看作由一个底面积为A的正三角形和一个高为h的矩形组成，根据体积的定义，体积等于底面积乘以高，所以可以计算出三棱柱的体积为A*h。

对于解决几何相似的问题，数形结合思想也非常重要。

通过观察和分析图形的特点，可以发现几何形状之间存在着很强的相似性，从而可以利用相似三角形的性质来解决问题。

比如在一个等腰三角形内切一个圆，可以发现三角形的三条边与圆的切点之间存在着相似关系，通过利用相似三角形的比例关系，可以计算出圆的半径和三角形的边长之间的关系。

初中数学中的数形结合思想在初中数学中，数形结合思想是解决问题的重要方法之一。

这种思想可以将图形性质问题转化为数量关系问题，或者将数量关系问题转化为图形性质问题，从而使问题更加具体化、简单化。

这种转换不仅可以提高教学质量，还可以有效地培养学生的思维素质，因此它是初中数学研究的关键所在。

数形结合思想对学生数学能力的培养非常重要，主要包括运算能力和解题能力。

数学思想是对数学知识的更高层次的概括和提炼，是培养学生数学能力的最重要的环节。

数形结合思想是初中数学研究中一个重要的数学思想，贯穿了数学教学的始终。

数形结合思想的核心是将数与形结合起来进行分析研究，通过图形的描述代数的论证来研究和解决数学问题。

它能够使复杂的问题简单化、抽象的问题具体化，将代数关系与几何图形的直观形象有机地结合起来。

在初中数学中，数形结合思想的应用主要体现在以下两个方面：一、有数思形数形结合，用形来解决数的问题和解决一些运算公式。

例如，利用数轴来讲解绝对值的概念、相反数的概念、有理数的加、减、乘、除运算等；用几何图形来推导平方差、平方和、完全平方公式以及多边形外角和定理；用函数的图像解决函数的最值问题、值域问题；用图形比较不等式的大小问题。

解这种类型题的关键是根据数结构特征构造出相应的几何图形，将概念形象化，复杂计算的问题简单化。

二、由形思数数形结合。

解决这类问题的关键是运用数的精确性来阐明形的某些属性，将图形信息转化为代数信息，利用数特征将图形问题转化为代数问题来解决。

这类问题在初中数学中也比较常见，例如用数表示角的大小和线段的大小，用数的大小比较角的大小和线段的大小；用有序实数对描述点在平面直角坐标系内的位置；用方程、不等式或者函数解决几何量的问题；用数来描述点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，直线与直线的位置关系。

在教学中，我们需要注意到任何一种解题思想方法都不是孤立的。

因此，我们需要根据具体的问题利用现有的教材，将不同的思想方法综合运用。

浅析初中数学教学中数形结合思想的应用在初中数学教学中，数形结合思想是一种非常重要的应用方法。

通过数学图形和数学公式的结合，可以更加直观、深入地理解和掌握数学知识，提高学生的数学学习效果。

本文将从以下几个方面进行浅析。

一、数形结合的概念所谓数形结合，就是将数学中的抽象概念和具体图形相结合，通过图形的形象性来更好地理解抽象概念。

例如，几何图形中的面积、周长等概念，与数学中的乘法、加法等概念的结合，可以实现把抽象数学概念形象化的目标，帮助学生更好地理解、记忆和应用。

（一）数学知识的理解在教学中，通过让学生观察、分析不同形状的图形，可以使学生对于数学公式有更为深刻的理解。

以求长方形面积为例，学生可以先理解面积的定义，然后通过画图形的方法，很容易由面积的定义推导出长方形面积的公式——面积＝长×宽。

（二）数学问题的解决在解决数学问题时，数形结合思想也可以起到很好的作用。

例如，如何求出一个不规则图形的面积和体积。

这时我们可以通过把图形分成若干小段，然后再用数学中的知识来求解。

这样既可以通过图形更好地直观体会到分段求和的方式，又可以通过数学公式来计算得出最终结论。

在应用数学知识时，数形结合思想同样会带来很大的帮助。

例如，解决一些实际问题时，我们可以通过图形的模拟来更好地理解和记忆数学知识，同时也可以让学生更直观地感受到数学在实际生活中的应用。

三、数形结合的教学案例教师在讲解数学知识时，可以通过图形的演示和实际例子的介绍来帮助学生更好地掌握数学知识。

以平方根的教学为例，教师可以让学生通过观察图形，直接感性理解平方根的概念。

然后再引导学生进一步分析图形，并用数学公式来计算出平方根的值。

通过这样的练习，学生既提高了图形分析的能力，也掌握了平方根的计算方法。

四、数形结合的实际应用数形结合思想不仅在教学中有重要应用，同时在科学研究中也起到不可或缺的作用。

对于一些复杂的数学问题，科学家们也会借助计算机辅助绘制出相关的图形和模型，通过图形和模型的分析和计算实现问题的解决。

初中数学解题常用的数学思想方法数学学习分为好多个环节，比如预习、上课、作业、复习、考试等等，而上课的部分是非常关键的环节。

小编整理了初中数学解题常用的数学思想方法，欢迎参考借鉴。

初中数学解题常用的数学思想方法1、数形结合思想：就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义;使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解体思路，使问题得到解决。

2、联系与转化的思想：事物之间是相互联系、相互制约的，是可以相互转化的。

数学学科的各部分之间也是相互联系，可以相互转化的。

在解题时，如果能恰当处理它们之间的相互转化，往往可以化难为易，化繁为简。

如：代换转化、已知与未知的转化、特殊与一般的转化、具体与抽象的转化、部分与整体的转化、动与静的转化等等。

3、分类讨论的思想：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查;这种分类思考的方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略。

4、待定系数法：当我们所研究的数学式子具有某种特定形式时，要确定它，只要求出式子中待确定的字母得值就可以了。

为此，把已知条件代入这个待定形式的式子中，往往会得到含待定字母的方程或方程组，然后解这个方程或方程组就使问题得到解决。

5、配方法：就是把一个代数式设法构造成平方式，然后再进行所需要的变化。

配方法是初中代数中重要的变形技巧，配方法在分解因式、解方程、讨论二次函数等问题，都有重要的作用。

6、换元法：在解题过程中，把某个或某些字母的式子作为一个整体，用一个新的字母表示，以便进一步解决问题的一种方法。

换元法可以把一个较为复杂的式子化简，把问题归结为比原来更为基本的问题，从而达到化繁为简，化难为易的目的。

7、分析法：在研究或证明一个命题时，又结论向已知条件追溯，既从结论开始，推求它成立的充分条件，这个条件的成立还不显然;则再把它当作结论，进一步研究它成立的充分条件，直至达到已知条件为止，从而使命题得到证明。

数形结合思想对初中数学教学的意义数学是一门基础学科，也是培养学生分析、思考和解决问题能力的重要学科之一。

而数学教学，尤其是初中数学教学，作为学生基础知识的奠基阶段，如何培养学生对数学的兴趣和理解能力，是当前教育教学改革中亟待解决的问题之一。

在教学中，应用数形结合思想，将数学理论与几何图形结合起来，可以增强学生对数学概念的理解、应用和掌握能力，培养学生创新思维和解决实际问题的能力，提高初中数学教学的效果。

一、数形结合思想的内涵和意义1.数形结合思想的内涵数形结合思想是一种教学方法，通过将数学理论与几何图形相结合，使学生能从图形的变化和关系中发现数学规律，从而加深对数学概念及其应用的理解。

2.数形结合思想的意义（1）激发学生兴趣。

数学教学常常让学生感到乏味和抽象，而通过数形结合思想的应用，可以使学生通过观察和发现图形的规律，产生强烈的兴趣和好奇心，从而提高学习的主动性和积极性。

（2）促进思维发展。

在数形结合的教学过程中，学生需要进行观察、比较、推理等一系列思维活动，这些活动可以开发学生的逻辑思维和创新思维，培养他们分析和解决问题的能力。

（3）强化数学概念的理解。

数形结合思想通过将数学概念与实际图形相结合，可以使学生更直观地理解数学概念，形成数学概念之间的联系和应用，帮助学生深入理解数学知识。

（4）提高应用能力。

数形结合思想可以使学生学会将数学应用于实际问题的解决，培养学生分析和解决实际问题的能力，增强他们对数学的应用意识。

二、数形结合思想在初中数学教学中的应用1.几何图形与数学概念的关联在初中数学教学中，几何图形与数学概念的关联是数形结合思想的核心内容之一。

通过观察不同几何图形的特点和规律，可以引出相关的数学概念，并通过数学方法进行解决。

例如，在讲解平面图形的相似性质时，可以通过比较其对应边的长度比和角的相等关系，引出相似三角形的概念，并应用相似三角形的性质解决实际问题。

2.实际问题与数学模型的建立数形结合思想还可以帮助学生建立实际问题与数学模型之间的联系。