第二章函数§2.1函数2.1.1函数第1课时变量与函数的概念【学习要求】1.通过丰富实例，加深对函数概念的理解，学会用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．2.了解构成函数的三要素．3.能够正确使用“区间”的符号表示某些集合．【学法指导】通过实例体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会用集合与对应刻画函数的必要性的重要性.填一填：知识要点、记下疑难点1.函数的概念：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数.记作y＝f(x)，x∈A.其中x叫做自变量，自变量的取值范围(数集A)叫做这个函数的定义域.2.区间概念：设a，b∈R，且a<b.(1)满足a≤x≤b的全体实数x的集合，叫做闭区间，记作[a，b]．(2)满足a<x<b 的全体实数x的集合，叫做开区间，记作(a，b)．(3)满足a≤x<b或a<x≤b的全体实数x的集合，叫做半开半闭区间，分别记作[a，b)或(a，b]．(4)满足x≥a，x>a，x≤a，x<a的全体实数x的集合分别表示为[a，＋∞) ，(a，＋∞)，(－∞，a] ，(－∞，a) .研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]初中是用运动变化的观点对函数进行定义，虽然这种定义较为直观，但并未完全揭示出函数概念的本质．对于y＝1(x∈R)是不是函数，如果用运动变化的观点去看它，就不好解释，显得牵强．但如果用集合与对应的观点来解释，就十分自然．因此，用集合与对应的思想来理解函数，对函数概念的再认识，就很有必要．探究点一变量与函数的概念问题1阅读教材29－30页中的(1)，(2)，(3)，(4)四个函数关系的例子，指出这四个例子的共同特点是什么？变量之间的对应关系采用什么形式表达的？问题2从上述的四个例子中，你能感悟到一个函数关系涉及到哪些量？问题3如何用集合与对应的观点来阐述上面四个例子有什么共同特点？问题4确定一个函数最少需要几个要素？为什么？问题5若检查给定两个变量之间是否具有函数关系，只须检查什么？例1对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有()①y是x的函数；②对于不同的x，y的值也不同；③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来．A．1个B．2个C．3个D．4个跟踪训练1下列函数中哪个与函数y＝x相等？(1)y＝(x)2；(2)y＝3x3；(3)y＝x2；(4)y＝x2x.探究点二区间的概念问题1阅读教材31页下半段，然后回答区间的概念是如何定义的？问题2实数集R及x≥a，x>a，x≤b，x<b如何用区间表示？问题3在数轴上如何表示区间[a，b]、(a，b)、[a，b)、(a，b]、[a，＋∞)、(a，＋∞)?探究点三求函数的定义域导引在函数关系式的表述中，函数的定义域有时可以省略，这时就约定这个函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合．问题1对于一个确定的函数关系式，我们通常从哪些方面考虑求函数的定义域？问题2在初中已学函数的定义域和值域是怎样的？例2求下列函数的定义域：(1)f(x)＝1x－2；(2)f(x)＝3x＋2；(3)f(x)＝x＋1＋12－x.跟踪训练2 求函数f(x)＝1x ＋1的定义域．探究点四 求函数值和值域例3 求函数f(x)＝1x 2＋1(x ∈R)，在x ＝0,1,2处的函数值和值域．跟踪训练3 求下列函数的值域．(1)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4}； (2)y ＝x ＋1.例4 (1)已知函数f(x)＝x 2，求f(x －1)； (2)已知函数f(x －1)＝x 2，求f(x)．跟踪训练4 (1)已知函数f(x)的定义域为(0,1)，求f(x 2)的定义域．(2)已知函数f(2x ＋1)的定义域为(0,1)，求f(x)的定义域．练一练：当堂检测、目标达成落实处1.下列说法中，不正确的是 ( )A ．函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应法则确定后，函数值域也就确定D ．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素2.下列关于函数与区间的说法正确的是 ( )A ．函数定义域必不是空集，但值域可以是空集B ．函数定义域和值域确定后，其对应法则也就确定了C ．数集都能用区间表示D ．函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应3.已知函数f(1－x 1＋x)＝x ，求f(2)的值．课堂小结：1.函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系．由于函数的定义域和对应法则一经确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等只须两个函数的定义域和对应法则一样即可.2. f(x)是函数符号，f 表示对应法则，f(x)表示x 对应的函数值，绝对不能理解为f 与x 的乘积．在不同的函数中f 的具体含义不同，由课本的四个实例可看出对应法则可以是解析式、图象、表格等．函数除了可用符号f(x)表示外，还可用g(x)，F(x)等表示.。
2.1.1 函数的概念和图象（一）一、教学目标1．知识与技能（1）能利用集合与对应关系的语言来刻画函数（2）了解函数的定义域及对应法则的含义2．过程与方法经历函数概念的发生过程，并归纳函数的概念，提高学生解决问题的能力和语言表达能力．3．情感、态度与价值观在探索函数本质的过程中,体会函数是刻画现实世界中的一类运动变化规律的模型,使学生养成运用无限运动、发展、变化的观点认识客观世界的思维习惯．二、重点难点教学重点：利用集合与对应关系的语言来刻画函数教学难点：对应法则f的理解三、教学过程（一）创设情境我们生活在这个世界上，每时每刻都在感受其变化．请大家看下面的实例：（1）一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，炮弹距地面高度h（米）随时间t（秒）的变化而变化，其规律是2=-．1305h t t（2）近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积随时间变化而变化情况．（3）国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低．从下表中的数据，可以看出“八五”计划以来我们城镇居民的生活质量发生了显著的变化．（二）讲解新课问题1：在上面的每一个变化过程中，存在哪些变化的量？这些变化过程有什么共同的特点？问题2：在上面的例子中，是否确定了函数关系？为什么？问题3：如何用集合的观点来理解函数的概念？每一个问题均涉及两个非空数集A、B的关系．存在某种对应法则f，对于A 中的某个元素x，B中总有一个元素y与之对应．问题4：如何理解对应法则f ？问题5．如何用集合的观点来表述函数的概念？给出函数的定义．指出对应法则和定义域是构成一个函数的要素．一般地，设 A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则 f，对于集合A 中的每一个元素 x，在集合B中都有惟一的元素 y和它对应，这样的对应叫做从A到 B的一个函数，通常记为y＝f (x)，x ∈A．其中，所有的输入值 x组成的集合A叫做函数y＝f (x)的定义域．函数的近代定义：集合语言、对应的观点．在掌握函数时，必须把握以下几点：（1）函数是一种特殊的对应f：BA→，集合A，B是非空的数的集合．（2）对应法则的方向是从A到B．（3）特别注意“非空”、“数集”、“每一个”、“惟一”这几个关键词．例1 判断下列对应是否为集合A到 B的函数：（1）A＝｛1，2，3，4，5｝，B＝｛0，2，4，6，8｝， x ∈A，f：x→2x；（2）A＝R，B＝R，x ∈A，f：x → y ，y＝x；（3）A＝[0，＋∞)，B＝R，x ∈A，f：x → y ，y2＝x．解（1）对于集合A中的元素5，在集合B找不到中所对应的元素10，故这个对应不是从集合A到 B的函数；（2）对于任意一个实数x，x被x惟一确定，所以这个对应是从集合A到 B 的函数，这个函数也可以表示为 f (x)＝x；（3）考虑输入值为4，即当x＝4 时输出值y，由y2＝4给出，得y＝2和 y ＝－2．这里一个输入值与两个输入值对应（不是单值对应），所以，x → y（y2＝x）不是函数．研究函数时，除了符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等符号表示．例2 已知函数f(x)=3x2-5x+2，求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1)．分析求x分别等于3、-2、a、a+1时函数f(x)的值．解 f(3)=3×32-5×3+2=14，f(-2)=3×(-2)2-5×(-2)+2=8+52，f(a)=3a2-5a+2，f(a+1)=3(a+1)2-5(a+1)+2=3a2+a．说明：区别符号f(x)和f(a)，f(a)表示x＝a时函数f(x)的值，而f(x)是一个函数．（三）课堂小结1．函数的集合观点的概念及其与初中的定义的区别.2．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的抽象的数学表示，f是对应法则，它可以是解析式，也可以是图象、表格．（四）课后作业P24练习Ex 5，6；P28习题 1，2，5．。
