大学物理 电容 电容器和电场能量

RA B
-+ -+
RB
3
解： （1）设两导体圆柱面单位长度上
l RB RA
分别带电
（2） E l 2 πlr 2 π r
（3）U AB
RB dr ln RB
RA 2π r
2π RA
l
--
+ +A
RA B
-+ -+
RB
（4）电容 C l 2πl / ln RB
(
Q
40r
2
)2
4
r
2dr
Q2
8 0 R6
R r4dr Q2
0
80
dr R r2
Q2
Q2


400R 80R
3Q2
20 0 R
15
例2 如图所示,球形电容器的内、外半径分别为 R1
和 R2 ，所带电荷为 Q ．若在两球壳间充介电常数
的电介质，问此电容器贮存的电场能量为多少？
解：如图，作柱形高斯面
S1 S2 S
uv uv
ÑS D dS DS
Q q S
D Q
S
Q是正极板上的电量，待求.
8
在真空间隙中
E1

D
0

Q
0S
在介质中
DQ
E2


S
U

E1(d
t)

E2t

Q
0S
(d
t)

Q
S
t

Q
0 S
[ d
§5.5 电容 电容器
一 孤立导体的电容
q U
q C C为孤立导体的电容. U
单位 1F 1C/V 1μF 106 F
1pF 10 12 F
电容的大小与导体的尺寸和形状有关，与q和U无关.
电容的物理意义：使导体升高单位电势所需的电量，反映 了导体储存电荷和电能的能力。
1
二 电容器及其电容
的介电常数均为 0 .
解 直接计算定域在电场中的能量.
E沿着球的半径方向，大小为
Qr
E


4 0 R3
Q
40r2
(r R) (r R)
14
得静电场能量
W

V
1 2
0 E 2dV
0
2
R 0
(
Qr
4 0 R3
)2
4
r
2dr

0
2
R
把导体壳B与其腔内的导体A所 组成的导体系称为电容器。
组成电容器的两导体
如A、B叫电容器的
极板。
其电容为
C q q U A U B U AB
电容器的电容C与两导体的尺寸、形状及其相对位置有关
实际应用中的电容器，只要求从一个极板发出的电力线
都终止于另一个极板上。
2
✓ 电容器电容的计算
步骤 1）设两极板分别带电 q ；
U AB
RA
4
2.平板电容器. 在真空中，平板电容器由两个彼此靠得 很近的平行极板A、B 所组成，两极板的面积均为S， 两极板间距离为d. 且 S ? d ，求此平板电容器的电容.
d 解（1）设两导体板分别带电 q S ? d
（2）两带电平板间的电场强度
E q 0 0S
q
+
+
S
+ +
q
-
-
-
-
（3）两带电平板间的电势差
+
-
U Ed qd
A+
-B
0S
（4）平板电容器电容
C q 0S
U5 d
三 电容器的联接
1.电容器的串联 ＋
C1
L

C2
Cn
各电容器都带有相同的电量q
U
U1 U2 L
Un
q( 1 1 C1 C2
L
1) Cn
由U q 得 1 1 1 L 1
二 电场能量
考虑一个理想平行板电容器，它的极板面积为S，极板间 电场占空间体积V=Sd，极板自由电荷为Q，板间电压为U
Q W 1 QU Q D U Ed
2
S
W 1 QU 1 DSEd = 1 DESd 1 DEV
2
2
2
2
电场能量体密度 w W 1 DE V2
把一试探电荷q0从电场中a点移动到b点
U
dq
电场力所做功为： q0 Ua Ub
Q
把一电荷元dq从电场中无穷远移动到q导体上电场力所做功为：
dqU U Udq
则，外力克服电场力做功为： Udq
带电体增加的能量为: dW Udq
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所以带电体从不带电到带有电量Q的过程中积蓄的能量为
C
C C1 C2
Cn
6
2.电容器的并联
各电容器上的电压相同
＋
C q q1 q2 L qn
U
U
U (C1 C2 L Cn ) U
C1wenku.baidu.com C2 L Cn
C1
C2

M
Cn
7
例8.15 一平行板电容器的极板面积为S，板间距离 d，电势差为U.两极板间平行放置一层厚度为t，介 电常数为 的电介质.试求：(1)极板上的电量Q； (2)电容器的电容.
2）求 E；
3）求 U ； 4）求 C .
1.圆柱形电容器. 如图所示，圆柱形
电容器是由半径分别为 R A 和 R B 的两 同轴圆柱面 A 和 B 所构成，且圆柱体
的长度 l 远大于半径之差. 两导体之间
充满介电常数为 的电介质. 求此圆
柱形电容器的电容.
l RB RA
l
-
+ +A
电场能量体密度的公式适用于任何电场.
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总电场能量 W dW 1 DEdV
V
V2
在真空中
uv uv
D 0 E

W
V
1 2
0 E 2dV
各向异性的电介质
(
uv D
与
uv E
方向不同)
W
1
uv D
uv EdV
V2
13
例8.17 计算均匀带电球体的静电能.球的半径 为R，带电量为Q.为简单起见，设球内、外介质
解：
v E
1
4π
Q r2
rr0
w

1 2
E2

Q2
32 π2 r 4
dW wdV Q2 dr
8πr2
R1 dr
r
R2
W dW Q2 R2 dr Q2 ( 1 1 )
8 π r R1 2 8 π R1 R2
16
Q
W dW 0 Udq
Q
Qq
1 Q2
W
0
Udq 0
dq C
2
C
或 W 1 CU 2 1 UQ
2
2
Q - - - - - - - - -
U
E
-
dq
+Q + + + + + + + +
电容器贮存的电能 （任何结构电容器）
W 1 CU 2 1 UQ
2
2
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(
0 )t]
Q 0 SU d ( 0 )t
（2）C

Q U

d
0 S ( 0 )t
1
t
C0 (1
0 )
C0

0S
d
d
由于电介质插入，电容增大了
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§5.6 电场的能量
一 带电系统的能量
把一个带电体带电Q的过程设想为不断地把dq从无穷远处搬移 到带电体上的过程