圆锥曲线的焦半径(角度式)

圆锥曲线二级常用焦半径定理圆锥曲线是数学中的一类重要曲线，它在几何学、物理学和工程学中有着广泛的应用。

在研究圆锥曲线的性质时，我们经常会遇到焦半径及其相关定理的概念。

本文将介绍圆锥曲线二级常用焦半径定理，希望能为读者提供一些指导意义。

圆锥曲线是由一个移动的直线在平面上绕着一个固定点旋转而形成的。

这个固定点被称为焦点，而直线称为准线。

根据准线与焦点的位置关系，圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。

椭圆是一种封闭曲线，它的特点是离焦点距离之和是一个常数。

关于椭圆的焦半径定理如下：椭圆上的任意一条切线与准线和焦点之间的连线构成一个直角三角形，且这个直角三角形的两条直角边的长度之和等于椭圆的焦半径。

具体来说，我们可以以椭圆的准线上一点为起点，任意作一条切线与椭圆相交于另一点，然后将这两个点与椭圆焦点连线，我们可以发现这个三角形的两条直角边之和是一个定值，即椭圆的焦半径。

双曲线是一种开口的曲线，它的特点是离焦点距离之差是一个常数。

关于双曲线的焦半径定理如下：双曲线上的任意一条切线与准线和焦点之间的连线构成一个直角三角形，且这个直角三角形的两条直角边的长度之差等于双曲线的焦半径。

与椭圆相似，我们以双曲线的准线上一点为起点，任意作一条切线与双曲线相交于另一点，然后连结这两个点与双曲线的焦点，我们可以发现这个三角形的两条直角边之差是一个常量，即双曲线的焦半径。

抛物线是一种开口向上或向下的曲线，它的特点是离焦点距离等于焦准距的一半。

因此，抛物线的焦半径定理可以简单地表述为：抛物线上的任意一条切线与准线和焦点之间的连线构成一个等腰三角形，且这个等腰三角形的底边长度等于焦准距的一半。

同样，我们以抛物线的准线上一点为起点，任意作一条切线与抛物线相交于另一点，然后连结这两个点与抛物线的焦点，我们可以发现这个三角形的底边长度正好是焦准距的一半。

通过了解圆锥曲线二级常用焦半径定理，我们可以更好地理解圆锥曲线的性质和特点。

巧用圆锥曲线的焦半径圆锥曲线的焦半径为：二次曲线上任意一点Q 到焦点的距离．圆锥曲线的焦半径概念，是圆锥曲线中的一个重要的概念．许多圆锥曲线的求解问题，往往都牵涉到它，且运用圆锥曲线的焦半径分析问题可给解题带来生机．因此，掌握它是非常重要的．椭圆焦半径： R 左 = a + x e , R 右 = a - x e ,右支双曲线焦半径：R 左 = x e + a ，R 右 = x e - a ( x > 0) ，左支双曲线焦半径：R 左 = - (x e + a )，R 右 = - (x e - a ) ( x < 0) ,抛物线焦半径：R 抛 = x +2P ． 对于这些结论我们无须花气力去记，只要掌握相应的准线方程及标准方程的两种定义，可直接推得．如对双曲线而言：当P(x 0 , y 0)是双曲线b 2x 2 - a 2y 2 = a 2b 2 (a > 0, b > 0) 右支上的一点，F 1, F 2是其左右焦点．则有 左准线方程为 ca x 2-=．由双曲线的第二定义得，左焦半径为 a ex ca x e PF +=+=0201)(||; 由 |PF 1|- |PF 2| =2a ，得 |PF 2| = |PF 2| - 2a = ex 0 - a ．( |PF 2|亦可由第二定义求得)．例1 已知F 1，F 2是椭圆E 的左、右焦点，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，设P 为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆E 的离心率e 满足 |PF 1| = e | PF 2 |，则e 的值为 ( )22)( 33)( 32)( 22)(--D C B A解法1 设F 1(- c, 0 )，F 2(c , 0)，P(x 0 , y 0)，于是，抛物线的方程为 y 2 = 2 (4 c )(x + c ) , 抛物线的准线 l ：x =- 3 c ，椭圆的准线 m ：ca x 2-=， 设点P 到两条准线的距离分别为d 1 , d 2．于是，由抛物线定义，得 d 1 = | PF 2 | , ……………………① 又由椭圆的定义得 |PF 1| = ed 2，而 |PF 1| = e | PF 2 |，………………………………②由①②得 d 2 = | PF 2 |, 故 d 1 = d 2，从而两条准线重合．∴ 3331322=⇒=⇒-=-e e c a c ．故选 (C)．解法2 由椭圆定义得 |PF 1| + | PF 2 | = 2a ，又 |PF 1| = e | PF 2 |，∴ | PF 2 | (1+ e ) = 2a ，………①又由抛物线定义得 | PF 2 | = x 0 + 3c , 即 x 0 = | PF 2 | - 3c ，……………………………② 由椭圆定义得 | PF 2 | = a - ex 0 , ………………………………………③由②③ 得 | PF 2 | = a - e | PF 2 | + 3ec ，即 | PF 2 | (1+ e ) = a + 3ec ， ………………… ④ 由①④得 2a = a + 3ec ，解得 33=e ，故选 (C)． 点评 结合椭圆、抛物线的定义，并充分运用焦半径是解答本题的基本思想．例2 设椭圆E ：b 2x 2 + a 2y 2 = a 2b 2 (a> b> 0)，的左、右焦点分别为 F 1, F 2，右顶点为A, 如果点M 为椭圆E 上的任意一点，且 |MF 1|·|MF 2| 的最小值为243a ．(1) 求椭圆的离心率e ；(2) 设双曲线Q ：是以椭圆E 的焦点为顶点，顶点为焦点，且在第一象限内任取Q 上一点P ，试问是否存在常数λ(λ> 0)，使得∠PAF 1 =λ∠PF 1A 成立？试证明你的结论．分析 对于(1)可利用焦半径公式直接求解．而 (2) 是一探索型的命题，解题应注重探索．由于在解析几何中对角的问题的求解，往往要主动联想到斜率．而∠PF 1A 显然是一锐角，又易知∠PAF 1是(0, 120o ) 内的角，且90o 是斜率不存在的角．于是，抓住90o 这一特殊角试探，可得解法1，若注重斜率的研究，考查所两角差的正切，可得解法2；若转变角的角度来观察，将∠PF 1A 变为∠PNF 1，使∠PAF 1变成△PNA 的外角，可得解法3；若考查角平分线的性质可得解法4；若从图像与所求式的特点分析得知，所求的λ必须是大于1的正数，从常规看来可以猜想到它可能是二倍角或三倍角的关系．由此先探索一下二倍角的情形，考查角平分线定理，可得解法5；若是考查∠PF 1A 与∠PAF 1的图形位置，直接解三角形PAF 1，可得到解法6．(1) 解 设M(x 0, y 0), 由椭圆的焦半径定义得|MF 1| = a + ex 0，|MF 2| = a - ex 0，|MF 1|·|MF 2| = (a + ex 0)(a - ex 0) = a 2- e 2x 02,∵ |MF 1|·|MF 2| 的最小值为243a , 且 |x 0|≤a ，∴ a 2- e 2x 02 ≥a 2- e 2a 2 =243a ，解得 21=e ． (2) 解法1 由题意得 双曲线的离心率e = 2, 且双曲线的实半轴长为c ,半焦距为2c , 故 设双曲线Q 的方程为132222=-c y c x ， 假设存在适合题意的常数λ(λ> 0)，① 考虑特殊情形的λ值．当PA ⊥x 轴时，点P 的横坐标为2c ， 从而点P 的纵坐标为y = 3c ，而 |AF 1| = 3c , ∴ △PAF 1是等腰直角三角形，即 ∠PAF 1 =2π , ∠PF 1A =4π, 从而可得 λ= 2． ② PA 不与x 轴垂直时，则要证∠PAF 1 = 2∠PF 1A 成立即可．由于点P(x 1, y 1)在第一象限内，故PF 1 , PA 的斜率均存在，从而，有A PF c x y k PF 111tan 1∠=+=, 111tan 2PAF cx y k PA ∠-=-=，且有 ))((31121c x c x y -+=,………… ※ 又∵21211121)()(2122tan 11y c x y c x kk A PF PF PF -++=-=∠， 将※代入得PA k cx y y c x y c x A PF -=--=-++=∠2)()(22tan 112121111, 由此可得 tan2∠PF 1A = tan ∠PA F 1， ∵ P 在第一象限，A(2c , 0), ∴ )32,2()2,0(1πππ⋃∈∠PAF ,又∵ ∠PF 1A 为锐角，于是，由正切函数的单调性得 2∠PF 1A =∠PA F 1．综合上述得，当λ= 2时，双曲线在第一象限内所有点均有∠PAF 1 = 2∠PF 1A 成立． 解法2 由题意得 双曲线的离心率e = 2, 且双曲线的实半轴长为c , 半焦距为2c , 故 设双曲线Q 的方程为132222=-c y c x ，由于点P(x 1, y 1)在第一象限内，故PF 1 , PA 的斜率均存在．且∠PF 1A 为锐角． 又∵ ))((31121c x c x y -+=, …………………………………………………… ※ 设∠PF 1A =β，则 ,tan 111cx y k PF +==β 设∠PAF 1=λβ, λβ≠90o 时, 则 tan(λβ)cx y k PA 211--=-=, 而 tan(λβ-β)βλββλβtan )tan(1tan )tan(+-=))(2(1211111111c x y c x y cx y c x y +--++---=212121112)2(y c cx x c x y -----= ))((3))(2()2(111111c x c x c x c x c x y -+-+---=)()2)(()2(111111c x y x c c x c x y +=-+--=．∴ tan(λβ-β) = tan β．∵ ∠PF 1A =β为锐角，又 ∠P A F 1 =λβ∈)32,0(π, ∴ tan(λβ-β) = tan β > 0, 故λβ-β是锐角， 由正切函数的单调性得 λ= 2． 显然，当λβ= 90o 时亦成立．故存在λ= 2，使得双曲线在第一象限内所有点均有2∠PF 1A =∠PA F 1成立． 解法3 由上述①，得λ= 2，设P ′是射线PA 上的一点, 其横坐标为x 0 ( x 0 > c )， 在x 轴上取一点N (2 x 0 +c , 0)，使△P ′F 1N 为等腰三角形，∴∠P ′F 1N =∠P ′NF 1．故当∠P ′AF 1 = 2∠P ′F 1A 时，有∠P ′AF 1 = 2∠P ′NA ， 从而∠AP ′N =∠P ′NA, 则 |AN| = |AP ′|，又 A(2c ,0)，于是 |AN| = |AP ′| = 2x 0-c ． 过P ′作P ′H 垂直于准线l 于H ，如图9-5． 则 |P ′H| = x 0-c 21． 故22||||00c x cx H P A P --='' = 2 = e ． 故 点P ′是双曲线上的点，且与P 重合．由x 0 > c 的任意性得，当λ= 2时，双曲线在第一象限内所有点均有2∠PF 1A =∠PAF 1成立． 解法4 由题意得，设点P(x 1 , y 1)，∵ 点P 是双曲线在第一象限内的点，又A(2c , 0)是一焦点，∴ |AP| = 2x 1- c ，|AF 1| = 3c ，设AD 为∠F 1AP 的平分线， ……… ※由角平分线性质及定比分点公式，得 222)32(23123111111cc x x c x c cx c x c x cc x D =+++-=-+-+-=， 由此可得，点D 在双曲线的右准线上，从而可得准线是AF 1故△AF 1D 为等腰三角形，且∠PF 1A =∠DAF 1，又由※得∠PAF 1 = 2∠PAD =2∠DAF 1， ∴ ∠PA F 1 = 2∠PF 1A ，故λ＝2．解法5 由题意得，设点P(x 1 , y 1)，因为点P 又A(2c , 0)是一焦点，于是，有|AP| = 2x 1- c ，|AF 1| = 3c ，| PF 1| 2 = (x 1 + c )2 + y 12 = x 12 + 2 x 1c+ c 2 + 3 x 12- 3 c 2 = 4 x 12 + 2 x 1c - 2 c 2,在△APF 1中有 21212121212122432)2(2249cos c c x x c c x c c x x c F -+⨯⨯---++=∠)2(2))(2(26)(611111c x cx c x c x c c x c -+=+-+=，)2(32)224()2(9cos 12121212c x c c c x x c x c A -⨯⨯-+--+=∠c x x c c x c c x c --=-⨯⨯--=111122)2(32)2(6， 于是，有 2()2(211c x cx -+)2- 1 =c x x c --1122, 即 2(co s ∠F 1)2- 1 = cos 2∠F 1 = cos ∠A,∵ ∠A 、∠F 1是△APF 1中的内角，且∠F 1是锐角，故有 2∠F 1 =∠A, 即 ∠PA F 1 = 2∠PNF 1，所以λ= 2时，能使得双曲线在第一象限内所有点均有 ∠PA F 1 = 2∠PF 1A ．解法6 设点P(x 1 , y 1)是双曲线第一象限的点．∵ A(2c , 0)，F 1(- c , 0)，连AP ，F 1P ，如图 9-5． 由双曲线的焦半径定义得 |AP| = 2x 1- c ,又设点N 是点F 1关于直线x = x 1的对称点，则有 |PF 1| = |PN|, 且N (2x 1+ c , 0)，从而 ∠PF 1N =∠PNF 1．又 |AN| = 2x 1 + c - 2c = 2x 1- c = |AP| , ∠APN =∠PNF 1．由此可得 ∠F 1AP = 2∠PNF 1 ， 即 ∠F 1AP = 2∠PNF 1 = 2∠PF 1N ，所以 λ= 2．故存在λ= 2，使得双曲线在第一象限内所有点均有2∠PF 1A =∠PA F 1成立． 例3 已知抛物线 y 2 = 2P x 的焦点弦AB 被焦点分成长度为m 、n 的两段，求证：Pn m 211=+． 证明 设A 、B 在该抛物线的准线上的射影为C 、D ，连AD 交x 轴与E ， 如图9-6．由抛物线的焦半径的定义得 |AC| = |AF| = m , |BD| = |BF| = n ,由相似三角形性质知 ||||||||AB AF BD EF =，∴ n m mn EF +=||， 同理 nm mnEH +=||，故 |EF| = |EH|, 即 E 与O 重合．故A 、O 、D 三点共线．同理B 、O 、C 三点共线． ∴ |EF| + |EH| = P =n m mn+2, 故 Pn m 211=+． 图9-6 点评 本题有一个特殊的几何模型，即直角梯形ABCD ．由此还可发现许多有用的结论：①∠CFD = 90o ;②∠CAB 的平分线与∠DBA 的平分线交于一点N ，则NA 、NB 为抛物线的切线，且∠ANB= 90o ； ③在准线上任取一点向抛物线引两条切线，则两切线互相垂直； ④若M 为AB 中点，则N M 被抛物线平分； ⑤若A(x 1 , y 1), B(x 2, y 2)，则 |AB| =||2121y y P-，当AB ⊥x 轴时, |AB| = 2 P; ⑥以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切； ⑦NF ⊥AB; y 1y 2 = - P 2; …．。

圆锥曲线焦半径公式的应用
敖华尔
【期刊名称】《《中学数学研究》》
【年(卷),期】2006(000)012
【摘要】在高考数学中,圆锥曲线占有非常重要的位置,而熟练应用焦半径公式是解决圆锥曲线问题的一种简单快捷的方法.一、圆锥曲线的焦半径公式1.设 M
（x0,y0）是椭圆x2/a2+y2/b2=1（a&gt;b&gt;0）上一点,F1（-c,0）、F2（c,0）是左、右焦点,e 是椭圆的离心率,则（1）|MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0.设 M
（x0,y0）是椭圆x2/b2+y2/a2=1（a&gt;b&gt;0）上一点,F1（0,c）、F2（0,-c）是上、下焦点,e 是椭圆的离心率,则（2）|MF1
【总页数】3页(P28-30)
【作者】敖华尔
【作者单位】江西新余市一中 330800
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.圆锥曲线中的焦半径公式的应用 [J], 宁利伟
2.圆锥曲线的焦半径公式及其应用 [J], 刘光红
3.圆锥曲线的焦半径公式及其应用 [J], 郭海先
4.圆锥曲线的焦半径公式及应用 [J], 杨新兰
5.圆锥曲线的焦半径公式及其应用 [J], 郭海先
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3) P 是抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0 ) 上任一
∵线段 Q F2 交双曲线于点 P , 即 P 在
Q F2 上 , 于是 Q P∶ PF2 = | Q P | ∶ | PF2 | = 2 ,
由定比分点公式得点 P (
点 , F 是焦点 , 若 PF 或 PF 的延长线交 y 轴 于点 Q , 有向线段 PQ ∶ Q F = λ, 则 | PF | =
求.
3 ) P ( x 0 , y 0 ) 是抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0 )
4
= 1 上 一 点 , F1 , F2 是 两 焦 点 , 当
∠F1 PF2 为钝角时 , 点 P 横坐标的取值范围 是
.
上任一点 , F 为抛物线的焦点 , 则抛物线的 焦半径公式为| PF| = x 0 +
p
2
(1 - λ ).
2 21 c, c) . 3 6 11 c 5c ∴ | PF1 | = , | PF2 | = , 故有 6 6 2 | PF2 | 1 +λ e a +λ ce 5 = = . 2 = | PF1 | a-λ 11 ce 1-λ e
证 1) ①当 E 为左焦点时 , x E = - c , 又 ∵ x Q = 0 , ∴λ = PQ ∶ Q E = ( x Q - x P) ∶
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②当 E 为右焦点时 , x E = c , 仿 ①的方 法可得 x P = - λ c , 代入椭圆焦半径公式即可 得证 . 2 ) , 3) 的证明与 1) 相仿 , 从略 .

圆锥曲线焦半径角度式一、椭圆焦半径（角度式）设P 是椭圆22221x y a b +=上任意一点，F 为它的一个焦点，∠PFO=θ，则2||cos b PF a c θ=-注：上述公式定义∠PFO=θ, P 为圆锥曲线上的点,F 为焦点,O 为圆点.主要优点为焦点在左右上下均适合，无需再单独讨论。

证明：设||PF m =，另一个焦点为'F , 则''PF FF FP =-，所以222''2'PF FF FF FP FP =-⋅+，即222(2)44cos a m c cm m θ-=-+，由此得2||cos b PF a c θ=-.如果在解答题上用公式，需要写上述的证明，其实证明也就是几行字的事。

例1 如图F 是椭圆22143x y +=的右焦点，过点F 作一条与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆于点A 、B ，线段AB 的中垂线l 交x 轴于点M ，则||||AB FM 的值为 . 解析：设∠AFO=α，则BFO πα∠=-，则由椭圆的焦半径公式可知23||cos 2cos b AF a c αα==--23||cos()2cos b BF a c παα==--+ 从而23312||||||2cos 2cos 4cos AB AF FB ααα=+=+=-+-设AB 的中点为N ，则2336cos 2||||||2cos 2cos 4cos FN AF FB αααα=-=-=-+-即23cos ||4cos FN αα=-在Rt △MNF 中，2||3||cos 4cos NF MF αα==- 于是||4||AB FM = 例 2 如图，过椭圆22143x y +=的左焦点F 任作一直线交椭圆于点A ，B ，若||||||||AF FB AF FB λ+=⋅，则λ的值为解析：设BFO α∠=，则∠AFO=πα-，则23||cos 2cos b AF a c αα==-- 23||cos()2cos b BF a c παα==--+ 从而2223312||||42cos 2cos 4cos 99||||34cos 4cos AF FB AF FB αααλαα++-+-====⋅--注：椭圆的焦点弦所在的焦半径的倒数和为定值2112||||aAF BF b+= 例3 已知椭圆22132x y +=的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于B ， D 两点，过F 2的直线交椭圆于A, C 两点，且AC ⊥BD ，求四边形ABCD 的面积的最小值.解析：设1BFO θ∠=，则1DFO πθ∠=- 又因为AC ⊥BD ，所以22,22AF O AF O ππθθ∠=-∠=+21||cos b BF a c θ=-221||cos()cos b b DF a c a c πθθ==--+ 2112222||||||cos ab BD BF DF a c θ=+=- 同理22222||sin ab AC a c θ=- 所以四边形ABCD 的面积22242222224224211222||||122cos sin c sin 24ab ab a b S AC BD a c a c a a c θθθ=⋅=⋅⋅=⋅---+又2223,2,1,a b c ===则22416sin 24S θ=+因为20sin 21θ≤≤，所以2sin 21θ=时，四边形ABCD 的面积取得最小值9625例4 已知过椭圆221259x y +=左焦点F 1的弦（非长轴）交椭圆于A, B 两点，F 2为右焦点，求使△F 2AB 的面积最大时直线AB 的方程.解析：AFO α∠=， 2||cos b AF a c α=- 22||cos()cos b b BF a c a c παα==--+ 则22222||||||cos ab AB AF BF a c α=+=-=2290902516cos 16sin 9αα=-+依题意， F 1(－4, 0), F 2(4, 0), 当2πα≠时，直线AB 的方程为tan (4)y x α=⋅+即tan 4tan 0x y αα-+= 所以F 2到直线AB 的距离28|sin |tan 1d αα==+221190||8|sin |2216sin 9F AB S AB d αα∆=⨯⋅=⨯⨯+=360916|sin ||sin |αα+因为|sin |0α>，所以916|sin ||sin |αα=即3|sin |4α=时，等号成立;当2πα=时，2218||5b AB a ==， 12||8d F F == 211182||814152255F AB S AB d ∆=⨯⋅=⨯⨯=<故2F AB S ∆的面积最大值为15，此时37tan k α==±所以直线AB 的方程为y=37(4)x ±+ 例5 （2012江苏） 如图，已知椭圆2212x y +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，A, B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线AF 1与直线BF 2平行.解析：直线AF1O 的倾斜角为θ，因为2121AF F F F A =-所以2222112112AF F F F F F A F A =-⋅+即222111(2||)44||cos ||a AF c c AF AF θ-==+解得21||cos b AF a c θ=- （注：解答题任何二级结论需要推导，小题随意）所以12|||AF BF ==-=cos θ= 所以直线AF 1的斜率为tan k θ==（2）所以AF 1∥BF 2 所以11112||||||||||PF AF BF AF BF =+即11212||||||)||||AF PF BF AF BF =⋅+同理22112||||||)||||BF PF AF AF BF =⋅+所以1212122||||||||||||AF BF PF PF AF BF ⋅+=+代入上式得12||||22PF PF +===因此12||||PF PF +二、双曲线半径（角度式）设P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上任意一点，F 为它的一个焦点，PFO θ∠=，即2||cos b PF c aθ=±式中“±”的记忆规律：同正异负.即当P 与F 位于y 轴的同侧时取正，否则取负.取∠PFO=θ，无需讨论焦点位置，上述公式均适合。

㊀㊀㊀圆锥曲线焦半径公式的进一步推导及应用◉浙江省诸暨市草塔中学㊀金铁强椭圆㊁双曲线的焦点弦或焦半径的问题是解析几何中的常规考点,很多老师在讲解的时候喜欢用 设而不求 来解决问题．但用此法来处理焦点弦问题也有其弊端,一是步骤过多,二是有些问题不能直接用此法求解,必须再要用到 设而求之 才能解决．对于现在的多变题型,已经达不到通解通法的要求,因此有必要对圆锥曲线焦半径公式进行进一步的挖掘和整理,才能适应当前高考题型的发展趋势,让学生能够更直观地解题．图１１焦点在x 轴上的椭圆焦半径公式的推导及应用㊀㊀如图１,设椭圆E 为x ２a２＋y ２b２＝１(a ＞b ＞０),F １,F ２为椭圆E 的焦点,P Q 为椭圆E 过点F １的焦点弦．当P Q 垂直于x 轴时,弦P Q 为过F １的所有弦中最短的一条,即通径,满足|P Q |＝２b２a;当P Q 垂直于y 轴时,弦P Q 为过F １的所有弦中最长的一条,即长轴,满足|P Q |＝２a ．除了这两条特殊的焦点弦,我们任意作一条焦点弦,连接P F ２,构成焦点三角形P F １F ２,令øP F １F ２为α,为焦点弦P Q 的倾斜角．设|P F １|＝x ,则|P F ２|＝２a －x ．在әP F １F ２中由余弦定理得c o s α＝x ２＋(２c )２－(２a －x )２４x c．整理得到x ＝a ２－c ２a －c c o s α＝b２a －c c o s α,即|P F １|＝b ２a －c c o s α．当α＝π２,０时,就是最短弦与最长弦．同样地,在图１中,若我们连结Q F ２,构成焦点三角形Q F １F ２,可得|Q F １|＝b２a －c c o s (π－α),即|Q F １|＝b２a ＋c c o s α,得到焦点弦|P Q |＝b ２a －c c o s α＋b ２a ＋c c o s α＝２a b２a ２－c ２ c o s ２α．这个公式把焦点弦分成上下两部分,每部分的焦半径都有自己的表达式,这样对于条件运用可以更直接明了．例１㊀设F １,F ２分别为椭圆x ２３＋y ２＝１的左右焦点,点A ,B 在椭圆上,若F １A ң＝５F ２B ң,则点A 的坐标是．图２解析１:(常规解法)如图２,已知椭圆x ２３＋y ２＝１,则焦点F １(－２,０),F ２(２,０)．因为F １A ң＝５F ２B ң,则F １A ң与F ２B ң共线,即F １A 与F ２B 平行．延长A F １与椭圆交于点C ,由椭圆与两个焦点都关于(０,０)对称,可知C F １ң＝F ２B ң,则F １A ң＝５C F １ң．那么问题就转化到焦点弦A C 了．可验证当点A 在x 轴上时,不满足条件,故设A (x １,y １),C (x ２,y ２),直线A C 为x ＝m y －２,求出A (x １,y １)的坐标．到这里,我们发现,该题目其实不能用 设而不求 ,因为最后问的是x １及y １的值,最后反而是 设而求之 ．联立x ＝m y －２与x ２３＋y ２＝１,消去x ,得到方程(３＋m ２)y ２－２２m y －１＝０．则y １＋y ２＝２２m m ２＋３,y １y ２＝－１m ２＋３．又y １＝－５y ２,解得y ２１＝１．则A (０,１)或A (０,－１)．解析１虽步骤不多,但运算复杂．如果我们用焦半径公式,整个问题就豁然开朗．解析２:(焦半径公式法)首先,利用椭圆与平行线的点对称问题同上解,问题转化到焦点弦A C 中来．设A C 的倾斜角为α,由F １A ң＝５C F １ң,可直接利用公式得到方程b ２a －c c o s α＝５b２a ＋c c o s α,则６c c o s α＝４a ,即c o s α＝２a ３c ＝２３３２＝６３．所以直线A C 的斜率k ＝２２,直线A C 方程为y ＝２２x ＋１,联立椭圆方程x２３＋y ２＝１,易得x ＝０,y ＝１．即A (０,１)．再利用对称性可得A (０,－１)(此时倾斜角α为３５２０２２年９月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀解法探究复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀钝角,斜率k＝－１２)．运算可简便很多．综上可知:A(０,１)或A(０,１)．分析公式的本源可得出很简单的结论,焦点弦的弦长及被焦点分开的两段焦半径的比例值其实与椭圆的形状(即a,c的值),与焦点弦所在直线的方向(即斜率k或倾斜角α)存在关系,即a,c,α三个量决定了焦点弦的一切,那我们不妨直接利用这样的代数关系来解决问题,解题就方便多了．２焦点在x轴上的双曲线焦半径公式的应用同样地,该公式也适用于双曲线．例２㊀已知双曲线方程:x２３－y２＝１,左焦点为F,过F作两条相互垂直的直线与双曲线相交于A,B,C,D四点,求四边形A B C D面积的最小值．解析:由条件知,若焦点弦为一条交于双支,一条交于单支,则不能构成四边形,则两条焦点弦都交于左支或都交于双支．(１)若两条焦点弦都交于双支,令一条焦点弦的倾斜角为α,另一条焦点弦的倾斜角为π２＋α,则满足不等式t a nα＜３３,且０＞t a nπ２＋αæèçöø÷＞－３３,不存在这样的α．(２)若两条焦点弦都交于左支,令一条焦点弦的倾斜角为α,另一条焦点弦的倾斜角为π２＋α,则满足不等式t a nα＞３３,且t a nπ２＋αæèçöø÷＜－３３,则αɪπ６,π３æèçöø÷．S A B C D＝|A C| |B D|２＝１２２a b２(a２－c２ c o s２α)２a b２a２－c２ c o s２α＋π２æèçöø÷éëêêùûúú＝３３－４c o s２α２３３－４s i n２α＝６９－４＋１６c o s２α s i n２α＝６５＋４s i n２２αȡ２３．当s i n２２α＝１,即α＝π４时,等号成立,此时四边形A B C D面积的最小值为２３．利用公式直接代入,解题过程简洁明了,优点显而易见．３焦点在y轴上的圆锥曲线焦半径公式如图３,设椭圆T:y２a２＋x２b２＝１(a＞b＞０),F１,F２为椭圆T的焦点,上准线为y＝a２c,P Q为椭圆T的焦图３点弦,P Q的倾斜角为α,P H与上准线垂直于H,N为上准线与y轴的交点．由|P F１||P H|＝ca,|PH|＝a２c＋(|P F１|s i nα－c),可以得a|P F１|＝c a２c－c＋|P F１|s i nαæèçöø÷,即|P F１|＝b２a－c s i nα．同理,|Q F１|＝b２a＋c s i nα,且|P Q|＝２a b２a２－c２s i n２α．焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式只需把焦点在x轴上的焦半径公式中的c o sα换成s i nα,其他不变．因此,简单总结如下:(１)焦点在x轴上的椭圆或双曲线(双曲线要求焦点弦P Q与双曲线同一支交于两点,即焦点弦的斜率满足k＞ba或k＜－ba时),其焦点弦为P Q,焦点弦的倾斜角为α．P Q被焦点分成P F１与P F２两段,其中较长的一条为|P F１|＝b２a－c c o sα,较短的一条为|Q F１|＝b２a＋c c o sα;当曲线为双曲线时,若其焦点弦P Q与双曲线两支分别相交一点,即焦点弦的斜率满足－b a＜k＜b a时,此时较长的一条|P F１|＝b２c c o sα－a,较短的一条|Q F１|＝b２c c o sα＋a(绝对值取决于倾斜角为锐角还是钝角)．(２)焦点在y轴上的椭圆或双曲线,把上述公式中的c o sα换成s i nα即可．唯一有变化的是当焦点弦P Q与双曲线同一支交于两点,焦点弦的斜率满足－b a＜k＜b a;当双曲线的焦点弦P Q与双曲线两支分别相交一点,焦点弦的斜率满足k＞ba,或k＜－b a．即α的取值范围要求发生变化,而公式的结构不变,只需把公式中的c o sα换成s i nα,而且,由于αɪ[０,π),s i nαȡ０恒成立,有绝对值的部分可以去掉．参考文献:[１]人民教育出版社,课程教材研究所,中学数学课程教材研究开发中心．普通高中课程标准实验教科书 数学 选修２Ｇ１(A版)[M]．２版．北京:人民教育出版社,２００７．[２]丁益民．数学公式的 二次处理 对学生思维的培养．数学通讯,２０１０(２２):１Ｇ２．F４５复习备考解法探究㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年９月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。

圆锥曲线的焦半径公式圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫做圆锥曲线关于该点的焦半径。

利用圆锥曲线的第二定义很容易得到圆锥曲线的焦半径公式。

1.椭圆的焦半径公式(1)若P(x 0,y 0)为椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)上任意一点，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，则1PF =a+e x 0,2PF =a-e x 0.(2) 若P(x 0,y 0)为椭圆22y a +22x b =1(a>b>0)上任意一点，F 2、F 1分别为椭圆的上、下焦点，则1PF =a+e y 0,2PF =a-e y 0.2.双曲线的焦半径公式(1)若P(x 0,y 0)为双曲线22x a -22y b =1(a>0，b>0)上任意一点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，则①当点P 在双曲线的左支上时，1PF =-e x 0-a,2PF = -e x 0+a. ②当点P 在双曲线的右支上时，1PF =e x 0+a,2PF = e x 0-a.(2)若P(x 0,y 0)为双曲线22y a -22x b =1(a>0，b>0)上任意一点， F 2、 F 1分别为双曲线的上、下焦点，则①当点P 在双曲线的下支上时，1PF =-e y 0-a,2PF = -ey 0+a. ②当点P 在双曲线的上支上时，1PF =ey 0+a,2PF = ey 0-a.3.抛物线的焦半径公式(1)若P(x 0,y 0)为抛物线y 2=2px(p>0)上任意一点，则PF = x 0+2p(2) 若P(x 0,y 0)为抛物线y 2=-2px(p>0)上任意一点，则PF = -x 0+2pp (3) 若P(x0,y0)为抛物线x2=2py(p>0)上任意一点，则PF= y0+2p (4)若P(x0,y0)为抛物线x2=-2py(p>0)上任意一点，则PF= -y0+2不能，请说明理由.(答案：点P不存在)。

圆锥曲线焦点公式
圆锥曲线焦点公式可用于确定圆锥曲线上任意一点到焦点的距离。

根据圆锥曲
线的类型，焦点公式会有所不同。

对于椭圆、抛物线和双曲线，其焦点公式可分别表示为：
椭圆的焦点公式：c = √(a² - b²)
其中，c表示焦距，a和b分别表示椭圆的长半轴和短半轴。

抛物线的焦点公式：焦点为(x = h + p, y = k)，其中(h, k)为抛物线的顶点，p为
焦半径。

双曲线的焦点公式：c = √(a² + b²)
双曲线有两个焦点，分别位于双曲线的主轴上，c表示焦距，a和b分别表示
双曲线的长半轴和短半轴。

这些焦点公式有助于我们确定圆锥曲线上各个点与其对应焦点之间的距离，从
而更好地理解和分析圆锥曲线的性质和特点。

需要注意的是，焦点公式仅适用于标准形式的圆锥曲线，在一些特殊的情况下，可能需要根据具体曲线方程进行推导和计算。

、
０ ３０ ） ６ ００
（ 华 。） 华 一＇ ｚ
而 ＝ 、 ÷ 佩 ．
。 一
・ ． ‘
的焦半径．
一
、
椭 圆
Ｉ ＰＦ２Ｉ＝ １
２ ＜ ４，
标准方程 ： ＋
＝１ ｎ＞６＞ ） （ ｏ
・ ． ．
／ ０＋ ６ 一 ＜ ， ６ ＜ ． ２ ４ ２ ４ ． ４ ・ ．
焦 半 径 ： Ｐ ｌ ＝ｎ＋ Ｉ Ｆ ＝ ｌ Ｆ ｌ ｅ ， Ｐ ２ Ⅱ一ｅ． ｌ ｘ 对 于 焦 点 在 Ｙ轴 上 的 椭 圆 的 标 准 方 程 所 对 应 的 焦 半
径 ， 自己推 导． 可
二 、 曲 线 双
又 ． ’６∈ Ｎ ．’ ＝１． ． ．ｂ
例 ３ 过 椭 圆 ２ ｘ ＋ｙ ＝２的 一个 焦 点 Ｆ ０ １ 作 一 直 线 （ ，）
三 、 物 线 抛
，
／＼ ＼ ＝
ｕ）， ），
＝
＝
（
标 准 方 程 ： ±２ ｘ Ｐ＞ ） Ｙ＝ ｐ（ ０ ．
Ｉ Ａ Ｉ＋ Ｉ Ｂ Ｉ＝ｎ — ｅ Ｆｌ Ｆ２ ｙｌ＋ 。 一 ｅ ２ ｙ
焦 半 径 ：Ｐ ＝ ｌ Ｉ ． ｌ ＦＩ ＋
＝
对 于抛 物 线 的 其 他 形 式 的 标 准 方 程 所 对 应 的 焦 半 径 ， 可 自己 推 导．
（ ） Ｉ ＢＩ ， ０ ａ＋ （ ＋ ） ， ２ 若 Ａ ≥２ 贝 ２ ｅ ≥２
・ ．
． ｌ＋ ２≥ 一 ３
・
一
Ｉ Ｐ，１ｌ＝ ｅ １＋口，Ｉ ＰＦ２Ｉ＝ ｅ ｌ— ｒ． 上
．
．
ｌ ＋
ｔ ａｎ
字 ｔ≤ ， ｊａ 字 ｎ ｊ ≤

高中数学：焦半径公式及其应用从圆锥曲线（特指椭圆、双曲线、抛物线）的定义与标准方程出发，如何去推导与焦点相关的焦半径公式、焦点弦长公式及其相关的结论，进而加以应用．本文不作特别说明，椭圆、双曲线、抛物线都是针对焦点在轴上标准方程（其中抛物线考虑标准方程），分别为椭圆或双曲线的左、右焦点，是抛物线的焦点，是相应圆锥曲线上的一点．所有的公式推导均以椭圆方程为例，且优先考虑左焦点对应的相关公式．双曲线可以完全类比椭圆的推导过程得到，特殊情况会另外说明．焦半径是指圆锥曲线上任意一点与焦点的连线段．对于椭圆与双曲线上的任意一点，都对应两条焦半径；对于抛物线上的任意一点，焦半径唯一存在．设是椭圆上任意一点，则有从而焦半径而，所以其中为椭圆的离心率．事实上，在由椭圆的定义推导椭圆方程的过程中，就已经产生了这个式子，设满足即分子有理化得于是有(1)(2)两式相加得即为椭圆上一点到椭圆左焦点的距离．于是我们得到椭圆的焦半径公式（I）：同理有双曲线的焦半径公式（I）：当点在双曲线上的不同支上时，绝对值里面式子的正负大家可以自行讨论．抛物线的焦半径公式可以直接由抛物线的定义得到，即例1椭圆的右焦点为，直线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是____．正确答案是．解设，则有，即解得又因为，所以有两边同除可解得由椭圆的焦半径公式（I）知，已知椭圆上一点的横坐标，就很容易求出椭圆的焦半径长，但有时，我们知道的不是横坐标的值，而是焦半径与轴形成的角度，我们可以从上面的焦半径公式（I）出发去推导由焦半径与轴正半轴所成的角对应的焦半径公式．设与轴正半轴形成的角度为，则有整理得，于是有解得同理可以推得右焦点对应的焦半径公式其中，是焦半径与轴正半轴所成的角，注意，同一个点与左焦点与右焦点连线形成的焦半径与轴正半轴所成的角不是同一个角，这是与焦半径公式（I）很不相同的地方，如图：于是我们得到椭圆的焦半径公式（II）：其中为焦半径与轴正半轴所成的角．对于双曲线来说，与椭圆类似可以得到双曲线的焦半径公式（II），需要注意的是，当双曲线上的点在双曲线的不同支上时，焦半径公式（I）中绝对值的正负不同，所以需要分别讨论．双曲线的焦半径公式（II）：当在双曲线的左支时，有当在双曲线的右支时，有其中为焦半径与轴正半轴所成的角．抛物线的焦半径公式为：其中为焦半径与轴正半轴所成的角．椭圆的焦半径公式（II）有两个常用的推论：推论1 椭圆的焦点弦长公式：其中为椭圆的焦点弦，的倾斜角为．圆锥曲线的焦点弦是指过某一焦点的直线与该圆锥曲线相交得到的两个交点之间的线段．当该弦与轴（椭圆的长轴，双曲线的实轴）垂直时，得到的弦我们称为通径．因为焦半径公式（II）是与角度相关的公式，所以我们很容易从它得到椭圆的焦点弦长公式．证明设是过椭圆左焦点的焦点弦，的倾斜角为，不妨设点在轴上方，如图：由焦半径公式（II）知于是这就是椭圆的焦点弦长公式，容易知道，对于经过椭圆右焦点的弦，此公式同样适用．事实上，对于双曲线，同样有推论1，即双曲线的焦点弦长公式：其中为双曲线的焦点弦，的倾斜角为．不论两点在双曲线的同支还是异支上，都有这个公式成立，只是绝对值中的式子正负有所不同．抛物线的焦点弦长公式更为简单，即其中是抛物线的焦点弦，的倾斜角为．例2椭圆，为椭圆上四个不同的点，都不和轴垂直，且分别过，，求证：为定值．解设的倾斜角为，则的倾斜角为，则由焦点弦长公式知所以为定值．推论2 椭圆的焦点弦被焦点所分成的两段线段长的调和平均数为定值（即焦半径的倒数和为定值）．证明由焦半径公式（I）知于是我们知道与的调和平均数为定值，即这个定值就是半通径长，由均值不等式易知椭圆的所有焦点弦中，通径长最短．几道练习：练习1椭圆的焦点为和，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，求的值．练习2椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，，求四边形面积的取值范围．答案练习1 ．提示设，则，于是于是．练习2 ．提示设的倾斜角为，则的倾斜角为，于是四边形的面积练习3备注1椭圆的焦半径公式（I）是从椭圆的第一定义向第二定义过渡的重要桥梁，可以通过椭圆的焦半径公式（I）去发掘椭圆的第二定义．由焦半径公式（I）知设直线：，称为椭圆的左准线，记点到的距离为，则有即椭圆上任一点到椭圆左焦点的距离与到左准线的距离的比为定值，这个值为椭圆的离心率．同样地有椭圆的右准线于是有，椭圆上的任意点到椭圆的焦点与对应准线的距离的比值为定值．对于双曲线也有类似的结论，双曲线的准线方程为双曲线上任意点到焦点的距离与到对应准线的距离的比也为定值，即为双曲线的离心率．同时，平面上到定点与到定直线（其中）的距离比为定值（其中）的轨迹为椭圆、双曲线或抛物线，取决于的大小．当时为椭圆，当时为抛物线，当时为双曲线．从而有圆锥曲线的统一定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线（其中定点不在直线上）的距离的比为定值的点的轨迹为圆锥曲线，时这个定义就是抛物线的定义，当的范围在与上时，对应的定义被称为椭圆与双曲线的第二定义．备注2由椭圆的焦半径公式（II）很容易得到椭圆的极坐标方程：以椭圆的一个焦点为极点，以轴正半轴方向为极轴方向建立极坐标系，则椭圆上任意一点的坐标满足：这就是椭圆的极坐标方程，注意如果以椭圆的右焦点为极点，轴正方向为极轴建立极坐标系，得到的极坐标方程为▍▍ ▍▍。

圆锥曲线的焦半径和焦点弦的三角公式
李耘
【期刊名称】《湖南教育（下旬刊）》
【年(卷),期】2010(000)010
【摘要】@@ 圆锥曲线的焦半径与焦点弦问题一直都是解析几何的重要内容,也是高考命题的热点之一.处理这类问题通常采用的是列方程求交点的方法.实际上,圆锥曲线的第二定义即涉及到圆锥曲线的焦半径.沿此思路,本文给出圆锥曲线焦半径长度的一个三角公式,进而给出圆锥曲线的焦点弦弦长的一个三角公式,从而给出圆锥曲线的焦半径与焦点弦这两类问题的一个简单的处理方法.
【总页数】2页(P52-53)
【作者】李耘
【作者单位】新疆自治区乌鲁木齐市第六十一中学
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.关于抛物线y 2=2 px(p>0)焦点弦长及焦半径长问题的解题策略
2.圆锥曲线三个性质的统一推广——与焦半径、焦点弦长、中心半径有关的定值
3.圆锥曲线中焦点分焦点弦所成的比与焦点弦所在直线倾斜角之间一个重要关系
4.多种角度探究椭圆的焦半径、焦点弦、∠F1PF2的最大值问题
5.例谈焦半径夹角公式和焦点弦性质的应用
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焦半径公式的三角形式及其应用重庆清华中学张忠焦半径是圆锥曲线中很重要的几何量，与它相关的问题是各类考试的热点，常考常新, 故值得我们进一步总结与研究。

焦半径公式的代数形式：设F I,F2是曲线的左、右焦点，点P(X o,y。

)在曲线上，记r1PF1、r2PF2为左、右焦半径。

则在椭圆中：r i a ex o, r2 a ex o ；在双曲2 p线中：r1ex0a, r2ex0a ；在抛物线y 2px(p 0)中：r x0专。

若焦点在y轴上时，则把相应的X。

改为y o即可。

因应用情形比较常见，不再叙述。

，本文介绍它的三角形式及其应用。

定理1：若椭圆的离心角为贝U (1)|PF i| = a + ccos 0; (2)|PF 2| = a —ccos 0.证明：•••椭圆的离心角为0,由椭圆参数方程知点P的横坐标为acos0，依焦半径的代数形式知：|PF i| = a+ex p= a + ea • cos 0= a + c • cos 0 ,|PF 2| = a—ex p= a —c • cos 0.例1. F i、F2是椭圆+ y2= 1的左右焦点，点P在椭圆上运动，则|PF1| • |PF2|的最大值是_______ ,最小值是__________ .(1996年第七届“希望杯”赛)解：设椭圆的离心角为0,又知a= 2, c2= 3，由定理1得2 2 2 2|PF 1|c • |PF 2| = a —c cos 0 = 4 —3cos 0•/0< cos 0W1 故知|PF1|c • |PF 2| max= 4—3 • 0= 4|PF1| • |PF2| min= 4 —3 • 1= 1例2.椭圆的左右焦点为F1、F2,试问此椭圆的离心率e在什么值范围内，椭圆上恒存在点P,使得PF i ± PR。

解：2 2 2 2 2 2设椭圆方程为b x + a y = a b (a > b> 0)，离心角为B,依题设、定理1及勾股定理得(2 c) 2= (a —ccos 0) 2+ (a + ccos 0) 2化简得cos20 =2O w cos20<1 , ••• 0W2<1结合0 v e v 1PFeFH 1 ecos ep 1 ecos，这里p 为焦准距，在椭圆和双曲线中,b 2W e v 1为所求。

，
丽ＦＩ ［ １～ Ｐ
・ ．
又 Ｂ（。６ 、 Ｃ在 同一支 ， ｘ ，）Ａ、 即上 支上． Ｉ ＡＦＩ 一一（ －ｅ ） １ ＦＩ ａ ｙ ，Ｂ 一一 （ － ｅｚ ，Ｃ 一一 ａ ｙ ） １ ＦＩ
（ －ｅ３． ａ－ ｙ ）
‘ ￣因 ｌ Ｉ ＋。 Ｎ ａ Ｉ＜ ， Ｐ 一 ｚｌ ｌ ． Ｘ ｏ 而 Ｍ 譬 ， ２ Ｉ Ｐ 一
下表不下焦点 ； 表示上焦点． 上
二 、 曲线 和 抛 物线 的焦 半 径 公 式 双
对 于 双 曲线 的 两种 情 况 而 言 ， 半 径 公 式 的得 到 有 焦
直线 ｚ 叫做圆锥曲线相应 于焦点 Ｆ 的准线 ； 常数 叫做 离心率 ， 这里 ｅ ， ｅ ＞Ｏ 当 ＞ｌ时轨迹是 双曲线 ； Ｏ ＜ｌ 当 ＜ｅ
＋右 一 ， ＋上 一 ” 律 ， 表 示 左 焦 点 ； 表 示 右 焦 点 ； 下 规 左 右
程》 涉及 三类 圆锥 曲线 的统 一定 义 ， 即圆锥 曲线第 二定
义 ： 面内与一定点 平 Ｆ和它到定直线 的距离 的 比是常数
ｅ的点 的轨 迹 ， 圆锥 曲 线 ， Ｆ 叫 做 圆锥 曲线 的 焦 点 ， 叫 点
． …
结合 椭 圆 的 几 何 性 质 及 第
二 定 义 ２ １ ｎ ． ｉ ２ — （
＞ ６ ０ ， （ ｃ ０ ， ｃ ０ ， ＞ ） Ｆ１ 一 ， ） Ｆ（ ， ） Ｐ
Ⅳ
／ ． ．一 ． ：
旷
焦点 ， 上表示 上焦点 ； 然后依 动点 ， 断 Ｉ Ｆ Ｉ Ｉ Ｆ 『 判 。与 ２ Ｐ Ｐ 的长短 ， ｎ 视 ＋髓ｏ 口 ． ， ＋ｅ ０ａ ｙ ， 一ｅ ０ａ ｙ ， —ｅｏ为整 体 ， ７ ￣ 依 ｌ Ｆ ｌ Ｆ 的长短添正或负号． Ｐ １与 Ｐ ２ Ｉ ｌ 对于抛物线的四种情况 而言 ， 焦半径公 式 的得 到有

ａ
ｌ十ｅＣＯＳＵ
应 线 距 ，椭 和 曲 中： 在 抛 物 线 中ｐ就 是 焦 准 的 离 在 圆 双 线 ｐＺ ｂ
，
解 得 — ：Ｖ３
—
．
点 到 准 线 的距 离 ， 是 圆锥 曲线 焦 半 径 与 焦 点 所 在 的 对 称 轴 的 ０ 夹 角 。。 ０ ］ ∈（ ， 。过 圆 锥 曲线 的焦 点 Ｆ 一条 焦 点 弦 ｌ Ｉ 作 ＡＢ ， 得
例 １（ ０ ０ 国 Ｉ ．２ １ 全 ）设Ｆ 椭 圆 Ｃ 一个 焦 点 ， 是 短 轴 的 一 是 的 Ｂ
●Ｉ
６于 点 Ｄ。 ＢＦ 且 ＝
．
．
ｏ
２
２ Ｄ， Ｃ Ｆ 则 的离 心 率 为
２
。
ＡＢ
解 法 １ 设 椭 圆 的方 程 为 ： ＋ ：
１ ｅ ｏ０ ＋ ｃ ｓ
：
Ｃ
１ ｅ Ｏ０ － Ｃ Ｓ ２ｅ ｐ
，
， 由题 意 ：００ ｃｓ：
＝ ，Ｆ ｅＩ Ｂ —
－
有
ｅ ｐ
ｌ—ｅＣＯＳＵ
说 明 ： 中ｒ ｅ 别 是 对 应 圆 锥 曲 线 焦 半 径 ， 是 焦 点 到 相 其 、分 ｐ
即
１ 一 １ ．一
，
公 式 １ｒ一 ：＝
１ ｃ ｓ ＋ｅ ｏ Ｏ
￣
０ ， ｌ ＝ ｃ ）一 ＝ ｘ ｃ ） ＝ ） 贝 （， ，Ｄ （ ， ， Ｊ Ｆ ｙ由 ２ 而得： ， ， ｘ３ ｙ 代 ＝ｃ ＝
－
２
入椭 圆 的方 程
４ － ＝ ａｂ， 孚 ． ｊ ＋ｌ ４
，
解 法２： 图 ， ＤＩ 如 Ｉ ：— Ｐ 一 Ｉ Ｉ— Ｆ ＿ Ｆ ： Ｂ

椭圆、 曲线、抛物线统一的极坐标方程为
ρ = ep . 1 − e cosθ
其中 p 是定点 F 到定直线的距离，p＞0 ．
当 0 e 1 时，方程表示椭圆
当 e＞1 时，方程表示 曲线，若ρ＞0，方程只表示 曲线右支，若允
许ρ 0，方程就表示整个 曲线
当 e=1 时，方程表示开口向右的抛物线.
二、圆锥曲线的焦半径公式
推论 若圆锥曲线的弦 MN 过焦点 F，则有 1 + 1 = 2 . MF NF ep
、圆锥曲线的焦点弦长 若圆锥曲线的弦 MN 过焦点 F，
1、椭圆中， p = a 2 − c = b2 ， MN = ep +
ep
= 2ab2 .
c
c
1− ecosθ 1− ecos(π −θ) a2 − c2 cos2 θ
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
湖北省天门中学 薛德斌
一、圆锥曲线的极坐标方程
椭圆、 曲线、抛物线可以统一定义为 一个定点(焦点)的距离和一条定
直线(准线)的距离的比等于常数 e 的点的轨迹．
以椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点 F 作相
应准线的垂线，垂足为 K，以 FK 的 向延长线为极轴建立极坐标系．
3、抛物线中， MN = p +
p
= 2p .
1 − cosθ 1 − cos(π − θ ) sin 2 θ
四、直角坐标系中的焦半径公式 设 P x,y 是圆锥曲线 的点，
1、若 F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点，则 PF1 = a + ex ，、 F2 分别是 曲线的左、右焦点，
设 F 为椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P 为椭圆( 曲线 的右支、抛物线) 任一点，则

圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式 湖北省天门中学 薛德斌一、圆锥曲线的极坐标方程椭圆、 曲线、抛物线可以统一定义为 一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K，以FK 的 向延长线为极轴建立极坐标系．椭圆、 曲线、抛物线统一的极坐标方程为 θρcos 1e ep −=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p＞0 ．当0 e 1时，方程表示椭圆当e＞1时，方程表示 曲线，若ρ＞0，方程只表示 曲线右支，若允许ρ 0，方程就表示整个 曲线当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.二、圆锥曲线的焦半径公式设F 为椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P 为椭圆( 曲线的右支、抛物线) 任一点，则 PQ e PF =， )cos (p PF e PF +=θ，其中FH p =，=θ x 轴，FP 焦半径θcos 1e ep PF −=． 当P 在 曲线的左支 时，θcos 1e ep PF +−=. 推论 若圆锥曲线的弦MN 过焦点F，则有epNF MF 211=+.、圆锥曲线的焦点弦长若圆锥曲线的弦MN 过焦点F， 1、椭圆中，cb c c a p 22=−=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN −=−−+−=. 2、 曲线中，若M、N 在 曲线同一支 ，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN −=−−+−= 若M、N 在 曲线 同支 ，2222cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN −=−−+−=θθθ. 3、抛物线中，θθπθ2sin 2)cos(1cos 1p p p MN =−−+−=. 四、直角坐标系中的焦半径公式设P x,y 是圆锥曲线 的点，1、若1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，则ex a PF +=1，ex a PF −=22、若1F 、2F 分别是 曲线的左、右焦点，当点P 在 曲线右支 时，a ex PF +=1，a ex PF −=2 当点P 在 曲线左支 时，ex a PF −−=1，ex a PF −=23、若F 是抛物线的焦点，2p x PF +=.。

圆锥曲线的焦半径一一角度式椭圆的焦半径2设P 是椭圆X 2 a2-yr 1 （ a b 0）上任意一点，F 为它的一个焦点,贝U bPFO，则IPFb 2 a ccos上述公式定义 PFO， P 是椭圆上的点，F 是焦点，0为原点，主要优UUml ULIJU ULIn 证明：设I PF l m ,另一个焦点为F ，则PFFF FP UJLuI 2 UULUI 2 UUllJ UUU UUU 2两边平方得：PF FF 2FF FP FP2 2 2即：(2 a m ） 4c 4cm CoS m得：PFa c cosAF BFl ，贝U 的值为 _______2 22 （2002全国理）设椭圆x 2占1 （a b 0a b2ι过椭圆x ～4 1的右焦点F 任作一直线交椭圆于 A 、B 两点，若AFBF线交椭圆于P Q 两点,求证： 1 PF 1 QF为定值，并求这个定值 结论:椭圆的焦点弦所在的焦半径的倒数和为定值，即 1_ _1_ 2aAF BF b 2的一个焦点F ,过F 作一条直 无需再单独讨论2 3（2007重庆理）在椭圆笃a2y21（ a b 0）上任取三个不同的点R , P 2， P 5 , b2 26( 2010辽宁理）设椭圆C ：笃占1( aa bIUur UUn直线与椭圆C 相交于A , B 两点,直线I 的倾斜角为60°， AF 2FB使 PF 2 F 2 P 2F 2Fo 〉 并求此定值 F3 F 2pl,F 2为右焦点，证明1 IFiF^1 F 2F 21 P 3F 2为定值，结论：若过 F 作n 条夹角相等的射线交椭圆于P ,P 2，L ，F n ,则 PFP 2F1P n Fna b 24 F 是椭圆 1的右焦点,由F 引出两条相互垂直的直线 直线a 与椭圆交于点 直线b 与椭圆交于UUrUUrIUIFA 「1 FB 「2 , FCa ，b ， D ，若 IUU FD「1则下列结论一定成立的是(「14.22 F 是椭圆—4A 、B ,线段AB 的中垂线I 交X 轴于点M ，则AB FM的值为b 0）的左焦点为F ,过点F 的(1）求椭圆C的离心率15(2）如果IAB 寸，求椭圆C的方程2 7 （2010全国U理）已知椭圆C :笃a b23 1的离心率为¥ ，过右焦点F且斜UJU UuIB两点，若AF 3FB ，则k （）A 0，1B θA222 29 （2007全国I理）已知椭圆——1的左右焦点分别为F1 , F2 ,过R的直线3 2交椭圆于B , D两点，过F2的直线交椭圆于A , C两点，且AC BD ,求四边形ABCD的面积的最小值8已知椭圆(a b 0）的右焦点为F ，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点,UJU若BFAF ,则椭圆的离心率e的取值范围是（）10 （2005全国卷U理)P ,Q ， M , N四点都在椭圆x2F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，已知UULr UUU UuLr UUlrPF与FQ共线，MF与FN共线，且PFUUUUJUrMF 0,率为k ( k 0) 的直线与C相交于A ,C A求四边形PQMN 面积的最大值和最小值2 211已知过椭圆— L 1左焦点F l 的弦（非长轴）交椭圆于 A , B 两点,F 2为259右焦点,求使 F 2AB 的面积最大时直线AB 的方程双曲线的焦半径式中“ ”记忆规律，同正异负，即当P 与F 位于轴的同侧时取正，否则取 负，取 PFO，无需讨论焦点位置，上式公式均适用2设P 是椭圆笃ab 21 （ a 0， b 0）上任意一点, F 为它的一个焦点,则 PFO，则PFb 2 CCoS a1 （ a 0，b 0）的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交C 于A ,B 两点，若AFIUU4FB ,则C 的离心率为（2 （2007重庆理）过双曲线x 2 y 2 4的右焦点F 作倾斜角为105°的直线交双曲线于P 、Q 两点，则IFPFQ 的值为 ________________抛物线的焦半径已知A 是抛物线C : y 2 2px （ P 0)上任意一点，F 为焦点， AFo 贝U AF 一P一1 COS证明：PN 为准线，于是 AF AN ,其中PF P, FM AF cos 于是 AN PF FM P AF cos 所以 AF P AF cos21 11过抛物线y 2x 的焦点F 作直线交抛物线于A , B 两点，若TA^ — 1 ,则直线4的倾斜角（0 -)等于（ ） AB— C_ D23462 （2008江西）过抛物线χ2 2py ( P 0）的焦点F 作倾斜角为30°的直线与 AF抛物线分别交于A ，B 两点（点A 在y 轴左侧)，则 Lr _______________IFB 3 （2008全国理）已知F 为抛物线C ： y 2 4x 的焦点，过F 且斜率为1的直线 与抛物线C 交于A,B 两点，设IFA FB ，则FA 与FB 的比值等于 _________________7 抛物线 C i : y 2 2px 和圆 C 2 : (X -)2 y 22IUU IUU交于A 、D ,与C 2交于B 、C ,则AB CD 的值为() 2P-D故AFP 1 cos55 （2010重庆理）已知以F为焦点的抛物线y2 4x上的两点A , B满足IuIr UurAF 3FB ,,则弦AB的中点到准线的距离为____________5已知抛物线y* 6 4x ，准线与X轴交于E点，过点E的直线y k（x 1)交抛物线于A ， B两点，F是焦点，且满足AFB 600,求AB6已知F为抛物线C : y2 4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线I1,I2，直线I i与C交于A，B两点，直线∣2与C交于D,E两点，贝U AB2y T 1的右焦点，过点F作一条与坐标轴不垂直的直线交椭圆于2 21 (2009全国U理）已知双曲线 C :务占a b6DE的最小值为2—,直线I经过C i的焦点，与C i 4。