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自动控制原理-自动控制原理-2-1控制系统的时域数学模型2017

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自动控制原理第二章 胡寿松ppt课件

自动控制原理第二章 胡寿松ppt课件
—线性定常二阶微分方程式
4、消去中间变量i(t),整理后得整：理版课件
22
第二章 控制系统数学模型
例2、 设一弹簧、质量块、阻
尼器组成的系统如图所示，
当外力F(t)作用于系统时，系 F(t) 统将产生运动。试写出外力
F(t)与质量块的位移y(t)之间
m
的微分方程。
解：
f
1、确立入-出，入-F(t),出—y(t)； 2、根据牛顿定律，∑F=ma；
limsF(s)存在 f(0)lifm (t)lism (F s)
s
t 0
s
（6）终值定理
若: L[f(t)]F(s)
f( )lifm (t)lism (F s)
t
s 0
整理版课件
7
第二章 控制系统数学模型
例2、求下列函数的拉氏变换。
（1）f(t)2(1cot)（s2）f(t)sin5(t（) 3）f (t)tnet
L[
d
2
dt
f (t) 2
]
s
2
F
(s)
L [ d n f ( t ) ] s n F ( s )整理版课件
5
dt n
第二章 控制系统数学模型
（2）积分性质
若: L[f(t)]F(s)
L [ f(t)d] t1 sF (s)1 s f(t)dt t0
当初始条件为0，则有：
L[
f
(t )dt ]
1 - 311 1 14 s 2s 1s 2 s 1s 2
f(t) L 1 [f(t) ](t) e t 4 e 2 t
整理版课件
16
第二章 控制系统数学模型
例 6 求F(s)s(s2ss11)的拉氏反变换

自动控制原理(第二章)

自动控制原理(第二章)
F ( s ) = L[ f (t )] =
∫
∞ 0
f (t )e st dt
南理工泰州科技学院
Basis of Control Engineering ——Basic Concept of Automatic Control ——Bas与象函数之间的对应 关系列成对照表的形式.通过查表, 关系列成对照表的形式.通过查表,就能 够知道原函数的象函数, 够知道原函数的象函数,或象函数的原函 常用函数的拉氏变换的对照表如表2 数,常用函数的拉氏变换的对照表如表2-3 所示. 所示.
Basis of Control Engineering ——Basic Concept of Automatic Control ——Basic
拉氏变换的基本定理
(3)积分定理. )积分定理. (4)位移定理. )位移定理.
L[ ∫
t 0
1 f ( t ) dt ] = F ( s ) s
L[ f (t τ0 )1(t τ0 )] = eτ0s F(s)
静态数学模型:静态条件下, 静态数学模型:静态条件下,描述各变量间关系的 代数方程; 代数方程; 动态数学模型: 动态数学模型:描述变量各阶导数之间关系的微分 方程. 方程.
建立控制系统数学模型的方法:分析法和 建立控制系统数学模型的方法:分析法和实验 法.
南理工泰州科技学院
Basis of Control Engineering ——Basic Concept of Automatic Control ——Basic
南理工泰州科技学院
Basis of Control Engineering ——Basic Concept of Automatic Control ——Basic

自动控制原理(胡寿松)第六版-第二章-控制系统的数学模型--2

自动控制原理(胡寿松)第六版-第二章-控制系统的数学模型--2

if=常数
dia La Ra ia Ea ua dt
ua
ia
Ra Ea La
M

电动机轴上机械运动方程：
d J MD ML dt
J — 负载折合到电动机轴上的转动惯量; MD — 电枢电流产生的电磁转矩; ML — 合到电动机轴上的总负载转矩。 （4）列写辅助方程 Ea = ke
Ra J Tm 令机电时间常数Tm : ke k m 二阶系统 La 令电磁时间常数Ta : Ta Ra 2 Tm TaTm dML d d 1 TaTm 2 Tm ua ML dt dt ke J J dt
1)当电枢电感较小时，可忽略，可简化上式如下：
Ta 0
第二章 控制系统的数学模型
前言 数学模型基础
2.1 控制系统的时域数学模型
2.2 控制系统的复数域数学模型 2.3 控制系统的结构图与信号流图
2.4 控制系统建模实例
End
前言 数学模型基础
2.2 2.3 2.4 2.5
1.定义：数学模型是指出系统内部物理量（或变量）之间动态 关系的表达式。 2.建立数学模型的目的
d nc d n1c dc d mr d m 1r dr a0 n a1 n1 an1 an c b0 m b1 m 1 bm 1 bm r dt dt dt dt dt dt
式中，c(t)是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。 从工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束：
统 2) 简化性和准确性：忽略次要因素，简化之，但不能太简单，结果合 理
3) 动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。性能分析
4) 静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。放大倍数

自动控制原理：第二章 控制系统数学模型

自动控制原理：第二章 控制系统数学模型

TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
y = Kx
式中， K f 'x0 是比例系数，它是函数f(x)在A点
的切线斜率。
18
对于有两个自变量x1,x2的非线性函数f(x1,x2)，同样 可以工作在某工作点(x10,x20)附近进行线性化。
这种小偏差线性化对控制系统大多数工作状态是可 行的。事实上，自动控制系统在正常情况下都处于 一个稳定的工作状态，即平衡状态，这时被控量与 期望值保持一直，控制系统也不进行控制动作。一 旦被控量偏离期望值产生偏差时，控制系统便开始 控制动作，以便减小这个偏差。因此控制系统中被 控量的偏差一般不会很大，只是“小偏差”。
RC传网0 递络函的数阶G跃(响s)确应立曲了线t 电路输入

自动控制原理-第二章 控制系统的数学模型

自动控制原理-第二章 控制系统的数学模型
dn dtn f ( t )
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt

Raia (t)

Ea (t)

ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt

fmm (t)

Mm

MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t

L1 U C
S


L1
S
2
1 S
1
1 S

S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)

自控原理第二章自动控制系统的数学模型

自控原理第二章自动控制系统的数学模型

第二章自动控制系统的数学模型控制系统微分方程的建立非线性微分方程的线性化拉普拉斯变换传递函数动态结构图系统的脉冲响应函数典型反馈系统的几种传递函数关于系统数学模型的几个基本概念系统相互联系又相互作用着的对象之间的有机组合。

静态系统(static systems)/稳态系统当前输出仅由当前的输入所决定的系统。

(静态方程或方程组)动态系统(dynamic systems) 当前输出不仅由当前输入决定，而且还受到过去输入的影响的系统(系统内部有储能或/和耗能元件，所以输出对输入表现出一定的运动惯性)。

本课程研究的主要对象。

(微分方程或微分方程组)数学模型(mathematical models) 描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。

描述系统运动规律的数学表达式。

分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立系统的数学模型。

一旦系统的数学模型被推导出来，就可以采用各种分析方法和计算机工具对系统进行分析和综合。

•建模modeling建立系统数学模型的过程，即用数学模型来表示系统的输入与输出之间的因果关系的过程。

也是寻求系统数学模型的过程。

•建立数学模型的方法分为解析(analytical)法和实验(experimental)法解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并实验验证。

实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号，单位脉冲信号，正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识(identify)出系统的数学模型。

线性定常系统(linear time-invariant systems)系统参数是集中、定常(时不变)、描述系统的动力学模型是线性的(方程中各变量之间是代数相加关系，包含变量的每一项的系数均与其它变量无关)，这种系统就是线性定常系统。

对线性定常系统的分析可以采用叠加原理。

非线性系统(nonlinear systems)时变系统(time-variant systems)线性定常动态系统是经典控制理论研究的主要对象。

自动控制原理课件chapter2_1


d d 2 ( )0 ,( 2 )0 , di f di f
Rn +1
0 if 0
图2-3
小偏差线性化示意图
图2-4
RL网络
例2-3，设铁芯线圈电路如图2-4所示，其磁通与线圈中电 流之间的关系如图2-5所示，试写出以为输入，为输出的 微分方程。 解（1）设铁芯线圈磁通 变化时产生的感应电势为：
图2-5磁通与线圈中电流之间Biblioteka 关系(2.3） (2.4)
或
d u c (t ) d u c (t ) T1 + T2 + u c (t ) = u r (t ) 2 dt dt
2
uc (t ) =
1 i (t )dt C∫
式中T1=LC，T2=RC为电路的时间常数，单位为秒。 式(2.3)和式(2.4)是线性定常二阶线性微分方程。
二、非线性方程的线性化
（一）R-L-C电路 电路 图2-1所示R-L-C电路中，R、L、C均为常值， ur(t)为输入电压， uc(t)为输出电压，输出端开路。求出uc(t)与ur(t)的微分方程。
图2-1 R-L-C 无源电路
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式：
di (t ) 1 L + ∫ i (t )dt + Ri (t ) = ur (t ) dt C
(2.1)
（2）式中i(t)是中间变量，它与输出uc(t)有如下关系：
1 u c (t ) = C
∫ i(t )d t
( 2 .2 )
(3) 消去式(2.1)、式(2.2)的中间变量i(t)后，输入输出 微分方程式：
d 2uc (t ) duc (t ) LC + RC + uc (t ) = ur (t ) 2 dt dt

自动控制原理第2版全篇


=
△
- + - 其中:△称为系统特征式 △= 1 ∑La ∑LbLc ∑LdLeLf+…
—∑La 所有单独回路增益之和
∑L∑和dLLebLLf—c—所有所三有个互两不两接互触回不路接增益触乘回积路之增和益乘积之
Pk—从R(s)到C(s)的第k条前向通路传递函数
△k称为第k条前向通路的余子式 去掉第k条前向通路后所求的△
x0
(x x0 )
1 d 2 f (x)
2!
dx2
x0
(x x0 )2
忽略二阶以上各项，可写成
y
f
(x0 )
df (x)
dx x0
(x
x0 )
2、对于具有两个自变量的非线性函数，设输入 量 为x1(t)和x2(t) ，输出量为y(t) ，系统正常工作 点为y0＝ f(x10, x20) 。
注意：相加点和分支点一般不能变位
25
2.3.3闭环传递函数
1、给定输入单独作用下的系统闭环传递函数
(s) G1G2 G1G2 1 G1G2H 1 Gk
2、扰动输入单独作用下的闭环系统
n
(
s)
1
G2 G1G2
H
G2 1 Gk
3、误差传递函数：误差信号的拉氏变换与输入信 号的拉氏变换之比。
（1）给定输入单独作用下的闭环系统
Er
(
s)
1
1 G1G2
H
1 1 Gk
（2）扰动输入单独作用下的闭环系统
En
(
s)
1
G2 H G1G2
H
G2H 1 Gk
4)给定输入和扰动输入作用下的闭环系统的总的输
出量和偏差输出量

自动控制原理第2章

传递函数是在拉氏变换基础上的复域中的数学模型。
※传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以
用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。
微分方程 t （时域）
L
L
1
F
F 1
系统
传递函数
s j
j
频率特性
s
（复域）

s
（频域）
2.3.1拉氏变换相关知识
2.3.2传递函数的定义
线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换
②两个自变量： y=f(x1， x2) 静态工作点： y0=f(x10， x20) 在y0=f(x10， x20) 附近展开成泰勒级数，即
f 1 2 f f 2 f 2 f 2 ( x1 x10 ) 2 y f ( x10 , x20 ) ( x1 x10 ) ( x2 x20 ) ( x1 x10 )(x2 x20 ) 2 ( x2 x20 ) 2 x 2! x x2 x1x2 x2 1 1
例2.5试建立如图2.4所示系 统的微分方程。
R1
解：根据克希霍夫电压定律， 可写出下列方程组
u1
R2
ur
i1
C1 图2.4
i2
C2
uc
1 ur R1i1 C (i1 i2 )dt 1 1 1 (i1 i2 )dt R2i2 i2 dt C2 C1 1 uc i2 dt C2
用台劳级数展开为
df ( x) 1 d 2 f ( x) y f ( x) f ( x0 ) ( ) x 0 ( x x0 ) ( ) x 0 ( x x0 ) 2 ... dx 2! dx 2

自动控制原理-胡寿松-第二章


G(s)

C(s) R(s)b0 s m a Nhomakorabea s n
b1sm1 a1sn1

bm1s bm an1s an

bm
(1s

1)(
2 2
s
2
222s 1)
式中， i
an (T1s 1)(T22s2 22T2s
、T j 称为时间常数；
1)
(is 1)
(2) t≥0 时 f(t)是分段连续的
(3) ∫ ∞ f(t)e -st dt <∞
0
f(t)的拉氏变换为：
F(s)=∫
∞ 0
f(t)e-stdt
记作 F(s)=L[f(t)]
拉氏反变换为：
f(t)=L-1 [F(s)]
第一节控制系统的时域数学模型
2．常用函数的拉氏变换
(3()1(6))单单指位位数斜阶函坡数跃函函数e-数att I(t)
(Tjs 1)
m
K bm
K*
(zi )
i
为传递系数或增益。
an
n
( p j )
j 1
第二节控制系统的复数域数学模型
三、 典型环节的传递函数
不同的物理系统，其结构差别很大。但若 从系统的数学模型来看，一般可将自动控制系 统的数学模型看作由若干个典型环节所组成。 研究和掌握这些典型环节的特性将有助于对系 统性能的了解。
第二节控制系统的复数域数学模型
1．比例环节
放大倍数
微分拉氏方反程变: 换得c(:t)=Kr(t) c(取t)=拉K氏变换:
单位阶跃响应曲线
得传递函数: Gcr(((tts)))
K
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叠加性和均匀性（或齐次性）
对线性系统进行分析和设计时，如果有几 个外作用同时加于系统，则可以将它们分别处 理，依次求出各个外作用单独加入时系统的输 出，然后将它们叠加。
4、线性微分方程的求解
方法
解析法 拉普拉斯变换
步骤：
1、将系统微分方程进行拉氏变换，得到以s为变 量的代数方程。
2、解变换方程，求出系统输出变量的象函数表 达式。
)
Ra Mc (
t
)
忽略La可得下式：
Tm 电机的时间常数
K1 电机的传递系数
Tm
dm ( t dt
)
m (
t
)
K1ua ( t
)
K2 Mc (
t
)
减速器
两个啮合齿轮的线速度相同，传送的功率相同
M11 M22
r11 r22
齿数与半径成正比 r1 Z1 r2 Z2
速比i Z2 Z1
以1为输入,2为输出的微分方程：
3、将输出的象函数表达式展开成部分分式。 4、对部分分式进行拉氏反变换，即得微分方程 的全解。
4、线性微分方程式的求解
解：用一将个方例程子两边来求说拉明氏采变用换拉得氏：变换法 解线性s定2C常(s)微+ 分2s方C(程s) 的+ 2方C(法s)。= R(s)
例 已知系统的R微(s分) =方1程式，求系统的 求拉氏C反输dd2(cst变出2)(t=)换响+s得应22 +：。dd21cts(t+) 2+=2(cs+(t1)1)=2 +r(1t)
RC
duo ( dt
t
)
uo (
t
)
ui
(
t
)
牛顿定律 F ma
加速度a
d
2 x( t dt 2
)
1.外力F( t ),方向见图
2.弹簧恢复力与位移成正比kx( t ),方向与x( t )相反
3.阻尼器阻力与位移速度成正比f dx( t ) ,方向与x( t )相反 dt
dx( t ) d 2 x( t )
Tm
d dt
k g
dui dt
kgui
kc Mc
Mc 负载扰动力矩
操纵手柄
W1 电位器对 W2位置随动系统原理图(补充)
r
c
r
E
Ra La
uε
u 放大器 ua
+ _
if
m Z1
SM
ut
方块图的绘制
测速电机 TG
电机
+ _
Z2
减速器
c
J L fL
负载
r
操纵手柄 W1
ur
uε
u
放大器
ua
电机 m
2( t
)
Z1 Z2
1( t
)
1 i 1( t
)
2、 控制系统微分方程的建立
（2）一个建系立统初通始常微是分由方一程些组环。节连接而成 的根，据将系各统环中节的所每遵个循环的节基的本微物分理方规程律求，出分 来 别列，写便出可相求应出的整微个分系方统程的，微并分构方成程微。分方 程组。
（列3）写消系除统中微间分变方量程，的将一式般子步标骤准：化。 边（将，1）与与确输输定入出系量量统有有的关关输的的入项项变写写量在在和等方输号程出的式变左等量边号。。右
减 速
c
负载
ut uc
测速电机
器
W2
位W1置随动W系2 统结构图绘制
r
c
rr
操纵手柄
W1
ur
uE ε uε
uc ut
u 放大器 uaRa uut放大器 测ua速电机_+
La 电机
if
减 mm速器Z1
SM
c
JLfL
W2
TG
+ _
c
Z2
J L fL
ur
(t)
E max
r
(t)
kr
(t)
u(t) u (t) ut (t)
差分方程 时域中常用
状态方程
传递函数 结构图
复数域中用
频率特性——频域中用
建立数学模型的方法：解析法、实验法。
1、线性元件的微分方程
电阻、电容、电感(补充)
+ i(t) R u(t)
– u(t)= i (t)·R
u(t)
i(t)= R
i(t) C
+
–
u(t)
i(t) +
u(t)
L
–
u(t)=
1 C
r(t) =δ(t),c(tc)(=0)e=–ct's(i0n) t= 0
输出响应曲线
r(t) c(t)
0 r(t) c(t)
t
5、非线性微分方程的线性化
绝大多数物理系统在参数某些范围 内呈现出线性特性。当参数范围不加限 制时，所有的物理系统都是非线性的。
对每个系统都应研究其线性特性和相 应的线性工作范围。
F( t ) kx( t ) f
m
dt
dt 2
d 2 x( t ) dx( t )
m
f
kx( t ) F( t )
dt 2
dt
电枢控制直流电机
电枢回路电压平衡方程：
ua (
t
)
La
dia ( t dt
)
Raia ( t
)
Ea
电枢反电势：Ea C em ( t )
电磁转矩方程：Mm ( t ) Cmia ( t )
电机轴上转矩平衡方程：
Jm fm
电机轴上总的转动惯量
J
电机轴上总的粘性摩擦系数
m
dm ( t dt
)
fmm ( t
)
Mm ( t
)
Mc ( t
)
La J m
d 2m ( dt 2
t
)
(
La
fm
Ra J m
)
dm ( t dt
)
(
Ra
fm
CmCe
)m ( t
)
Cmua ( t
)
La
dMc ( dt
t
封 面
2-1控制系统的时域数学模型
系统微分方程的建立 3、线性系统的基本特性 4、线性定常微分方程的求解 5、非线性微分方程的线性化
数学模型：描述系统输入，输出变量以及内部各 变量之间关系的数学表达式。
分类 静态数学模型：变量的各阶导数为0。 动态数学模型：变量的各阶导数不为0。
动态数学模型
微分方程
+
R2
R
R1
ui
R1 k1 u1
c
k2 u2
功 放
ua
SM
ω 负m
载
R1
速度控制系统
ut
TG
运放1 : u1 k1( ui ut ) k1ue
运放2
:
u2
k2(
du1 dt
u1
)
功放 : ua k3u2 直流电机 : Tm
齿轮系
:
1 i
m
测速发电机 :
dm
dt
ut
m
kt
km ua
kc Mc
线性系统具有叠加性和齐次性。
叠加齐性次：性：x1(tx)(t)
E uc (t ) max c (t ) kc (t )
u (t) ur (t) uc (t) k[r (t) c (t)]
ua (t) kau(t)
Tm
d
2m (t) dt 2
dm (t ) dt
kmua (t )
ut (t)
kt
dm (t) dt
1 c(t) i m(t)
3、 线性系统的基本特性
i(t)dt
i(t)= C du(t)
dt
i(t)=
1 L
u(t)dt
u(t)=
Ld
i (t)
dt
RLC无源网络,弹簧质量阻尼器
di( t ) 1 L dt C i )t )dt Ri( t ) ui ( t )
1 uo ( t ) C i( t )dt
LC
d
2uo ( dt 2
t
)