2014年高考数学总复习教案：第五章 数列第2课时 等 差 数 列

第五章 数列第2课时等 差 数 列(对应学生用书(文)、(理)72～73页)1. (必修5P 58习题2改编)在等差数列{a n }中，a 1＝2，d ＝3，则a 6＝________． 答案：17解析：a 6＝a 1＋(6－1)d ＝17.2. (必修5P 44习题6改编)在等差数列{a n }中 (1) 已知a 4＋a 14＝2，则S 17＝________； (2) 已知a 11＝10，则S 21＝________； (3) 已知S 11＝55，则a 6＝________；(4) 已知S 8＝100，S 16＝392，则S 24＝________． 答案：(1) 17 (2) 210 (3) 5 (4) 876解析：(1) S 17＝17（a 1＋a 17）2＝17（a 4＋a 14）2＝17.(2) S 21＝21（a 1＋a 21）2＝21×2a 112＝210.(3) S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11×2a 62＝55，∴ a 6＝5.(4) S 8，S 16－S 8，S 24－S 16成等差数列，∴ 100＋S 24－392＝2(392－100)，∴ S 24＝876.3. (必修5P 44习题7改编)在等差数列{a n }中，S 12＝354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d ＝________．答案：5解析：⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶S 奇＝3227，∴ S 奇＝162，S 偶＝192，∴ 6d ＝30，d ＝5.4. (必修5P 44习题10改编)已知数列{a n }为等差数列，若a 1＝－3，11a 5＝5a 8，则使前n项和S n 取最小值的n ＝________．答案：2解析：∵ a 1＝－3，11a 5＝5a 8，∴ d ＝2，∴ S n ＝n 2－4n ＝(n －2)2－4，∴ 当n ＝2时，S n 最小．1. 等差数列的定义(1) 文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项减去前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．(2) 符号语言：a n ＋1－a n ＝d(n ∈N )． 2. 等差数列的通项公式若等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ． 推广：a n ＝a m ＋(n －m)d. 3. 等差中项如果三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫a 和b 的等差中项，且有A ＝a ＋b2．4. 等差数列的前n 项和公式 (1) S n ＝na 1＋n （n －1）2d ． (2) S n ＝n （a 1＋a n ）2． 5. 等差数列的性质 (1) 等差数列{a n }中，对任意的m 、n 、p 、q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ．特殊的，若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p ．(2) 等差数列{a n }的通项公式可以写成a n ＝a m ＋(n －m)d(n 、m ∈N *)．(3) 等差数列{a n }中依次每m 项的和仍成等差数列，即S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m 、…仍成等差数列．[备课札记]题型1 数列中的基本量的计算例1 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝5，S 3＝9. (1) 求首项a 1和公差d 的值； (2) 若S n ＝100，求n 的值．解：(1) 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1＋2d ＝5，S 3＝3a 1＋3d ＝9，解得a 1＝1，d ＝2.(2) 由S n ＝na 1＋n （n －1）2×d ＝100，得n 2＝100，解得n ＝10或－10(舍)，所以n ＝10.变式训练设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝－62，S 6 ＝－75，求： (1) {a n }的通项公式a n 及其前n 项和S n ；(2) |a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 14|.解：(1) 设等差数列首项为a 1，公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝－62，6a 1＋15d ＝－75，解得a 1＝－20，d ＝3.a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n －23，S n ＝（a 1＋a n ）n 2＝n （－20＋3n －23）2＝32n 2－432n. (2) ∵ a 1＝－20，d ＝3，∴ {a n }的项随着n 的增大而增大．设a k ≤0且a k ＋1≥0得3k －23≤0，且3(k ＋1)－23≥0， ∴203≤k ≤233(k ∈Z )，故k ＝7. 即当n ≤7时，a n <0；当n ≥8时，a n >0.∴ |a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 14|＝－(a 1＋a 2＋…＋a 7)＋(a 8＋a 9＋…＋a 14)＝S 14－2S 7＝147. 题型2 判断或证明一个数列是否是等差数列例2 已知等差数列{a n }中，公差d>0，其前n 项和为S n ，且满足a 2·a 3＝45, a 1＋a 4＝14.(1) 求数列{a n }的通项公式； (2) 设由b n ＝S n n ＋c(c ≠0)构成的新数列为{b n }，求证：当且仅当c ＝－12时，数列{b n }是等差数列．(1) 解：∵ 等差数列{a n }中，公差d>0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 3＝45a 1＋a 4＝14⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 3＝45a 2＋a 3＝14⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5a 3＝9d ＝4a n ＝4n －3. (2) 证明：S n ＝n （1＋4n －3）2＝n(2n －1)，b n ＝S n n ＋c ＝n （2n －1）n ＋c .由2b 2＝b 1＋b 3，得122＋c＝11＋c ＋153＋c， 化简得2c 2＋c ＝0，c ≠0，∴ c ＝－12.反之，令c ＝－12，即得b n ＝2n ，显然数列{b n }为等差数列，∴ 当且仅当c ＝－12时，数列{b n }为等差数列．备选变式（教师专享）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1) 求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2) 求a n 的表达式．(1) 证明：等式两边同除以S n S n －1，得1S n －1－1S n ＋2＝0，即1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．∴ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝2为首项，以2为公差的等差数列． (2) 解：由(1)知1S n ＝1S 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，∴ S n ＝12n ，当n ≥2时，a n ＝－2S n ·S n －1＝－12n （n －1）. 又a 1＝12，不适合上式，故a n ＝⎩⎨⎧12，n ＝1，12n （1－n ），n ≥2.题型3 等差数列的性质例3 (1) 已知等差数列{a n }的公差为d(d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32.若a m ＝8，则m ＝________．(2) 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝________． 答案：(1) 8 (2) 45解析：(1) 由等差数列性质，知a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32，∴ a 8＝8.∴ m ＝8.(2) 由等差数列的性质，知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，∴ 2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，∴ a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝2(S 6－S 3)－S 3＝45. 备选变式（教师专享） (1) 等差数列{a n }中，S n 是{a n }前n 项和，已知S 6＝2，S 9＝5，则S 15＝________； (2) 给定81个数排成如图所示的数表，若每行9个数与每列的9个数按表中顺序构成等差数列，且表中正中间一个数a 55＝5，则表中所有数之和为________．答案：(1) 15 (2) 405解析：(1) 解法1：由等差数列的求和公式及⎩⎪⎨⎪⎧S 6＝2，S 9＝5，知⎩⎨⎧6a 1＋6×52d ＝2，9a 1＋9×82d ＝5，∴⎩⎨⎧a 1＝－127，d ＝427，∴S15＝15a 1＋15×142d ＝15. 解法2：由等差数列性质，知⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 成等差数列，设其公差为D ，则S 99－S 66＝3D ＝59－26＝29，∴D ＝227，∴S 1515＝S 99＋6D ＝59＋6×227＝1，∴S 15＝15. (2) S ＝(a 11＋…＋a 19)＋…＋(a 91＋…＋a 99)＝9(a 15＋a 25＋…＋a 95)＝9×9×a 55＝405.题型4 等差数列中的最值问题例4 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，且满足a 2＋a 4＝14，S 7＝70. (1) 求数列{a n }的通项公式； (2) 若b n ＝2S n ＋48n，则数列{b n }的最小项是第几项，并求该项的值． 解：(1) 设公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋4d ＝14，7a 1＋21d ＝70，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝3， ∴ a n ＝3n －2.(2) S n ＝n2[1＋(3n －2)]＝3n 2－n 2，b n ＝3n 2－n ＋48n ＝3n ＋48n－1≥23n·48n －1＝23，当且仅当3n ＝48n，即n ＝4时取等号． ∴ {b n }最小项是第4项，该项的值为23.备选变式（教师专享）已知在等差数列{a n }中，a 1＝31，S n 是它的前n 项和，S 10＝S 22. (1) 求S n ；(2) 这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值．解：(1) ∵ S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10，S 22＝a 1＋a 2＋…＋a 22，S 10＝S 22，∴ a 11＋a 12＋…＋a 22＝0，12（a 11＋a 22）2＝0，即a 11＋a 22＝2a 1＋31d ＝0.又a 1＝31，∴ d ＝－2，∴ S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝31n －n(n －1)＝32n －n 2.(2) 解法1：由(1)知S n ＝32n －n 2，∴ 当n ＝16时，S n 有最大值，S n 的最大值是256. 解法2：由S n ＝32n －n 2＝n(32－n)，欲使S n 有最大值，应有1<n<32，从而S n ≤⎝⎛⎭⎫n ＋32－n 22＝256，当且仅当n ＝32－n ，即n ＝16时，S n 有最大值256.1. (2013·重庆)若2、a 、b 、c 、9成等差数列，则c －a ＝________． 答案：72解析：由9＝2＋4d 得d ＝74，则c －a ＝2d ＝72.2. (2013·广东)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________．答案：20解析：3a 5＋a 7＝2a 5＋2a 6＝2(a 3＋a 8)＝20. 3. (2013·安徽)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝________．答案：－6解析：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧8a 1＋8×72d ＝4（a 1＋2d ），a 1＋6d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝10，d ＝－2，故a 9＝10＋8×(－2)＝－6.4. (2013·新课标)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m＝________．答案：5解析：a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，则d ＝1，由a m ＝2及S m ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（m －1）＝2，ma 1＋m （m －1）2＝0，解得m ＝5.1. 已知等差数列的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110. (1) 求a 及k 的值；(2) 设数列{b n }的通项b n ＝S nn ，证明数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .解：(1) 设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋k （k －1）2·d ＝2k ＋k （k －1）2×2＝k 2＋k.由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10.(2) 由(1) S n ＝n （2＋2n ）2＝n(n ＋1)，则b n ＝S nn＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n ＝n （2＋n ＋1）2＝n （n ＋3）2.2. 已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10＜－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，求使得S n＜0的n 的最小值．解：由题意知d ＜0，a 10＞0，a 11＜0，a 10＋a 11＜0，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d>0，a 1＋10d<0，2a 1＋19d<0，d<0，得－192<a1d <－9.Sn＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，由S n ＝0得n ＝0或n ＝1－2a 1d. ∵ 19<1－2a 1d <20，∴ S n ＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ∈N *⎪⎪n>1－2a 1d ，故使得S n ＜0的n 的最小值为20.3. 已知数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设S n 是数列{|a n |}的前n 项和，求S n .解：(1) 由2a n ＋1＝a n ＋2＋a n 可得{a n }是等差数列，且公差d ＝a 4－a 14－1＝2－83＝－2.∴ a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋10.(2) 令a n ≥0，得n ≤5.即当n ≤5时，a n ≥0；n ≥6时，a n <0.∴ 当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝－n 2＋9n ；当n ≥6时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＋2(a 1＋a 2＋…＋a 5)＝－(－n 2＋9n)＋2×(－52＋45)＝n 2－9n ＋40，∴ S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋9n ，n ≤5，n 2－9n ＋40，n ≥6.4. (2013·大纲卷)等差数列{a n }中，a 7＝4，a 19＝2a 9.(1) 求{a n }的通项公式； (2) 设b n ＝1na n，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d.因为⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝4，a 19＝2a 9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＝4，a 1＋18d ＝2（a 1＋8d ）. 解得a 1＝1，d ＝12.所以{a n }的通项公式为a n ＝n ＋12. (2) b n ＝1na n ＝2n （n ＋1）＝2n －2n ＋1，所以S n ＝⎝⎛⎭⎫21－22＋⎝⎛⎭⎫22－23＋…＋(2n －2n ＋1)＝2n n ＋1.1. 等差数列问题，首先应抓住a 1和d ，通过列方程组来解，其他也就迎刃而解了．但若恰当地运用性质，可以减少运算量．2. 等差数列的判定方法有以下几种：① 定义法：a n ＋1－a n ＝d(d 为常数)；② 等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2；③ 通项公式法：a n ＝pn ＋q(p ，q 为常数)；④前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn(A ，B 为常数)．3. 注意设元，利用对称性，减少运算量．4. 解答某些数列问题，有时不必(有时也不可能)求出某些具体量的结果，可采用整体代换的思想．请使用课时训练（B ）第2课时（见活页）.[备课札记]。