2019-2020高三期中考试题(理科数学)

河北省衡水市第二中学2019届高三上学期期中考试理科数学试题一、单选题(★★) 1 . 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 2 . （）A．B．C．D．(★) 3 . 已知函数，则（）A．B．C．D．(★) 4 . 若向量，满足，则（）A．B．C．D．(★) 5 . 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（）A．B．C．D．(★★) 6 . 设，满足约束条件，则的最大值是（）A．B．C．D．(★★★★) 7 . 如图所示，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．(★★) 8 . 已知命题：存在正数，使函数在上为偶函数；：对任意的，函数的值恒为正数，则在命题，，和中，真命题是（）A．，B．，C．，D．，(★★)9 . 已知，且，则（）A．B．C．D．(★★★★) 10 . 已知函数，点，分别为图像在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，为坐标原点，若为锐角三角形，则的取值范围为（）A．B．C．D．(★★★★) 11 . 数列中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行项，排；第二行项，从作到右分别排，；第三行项，……以此类推，设数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为（）A．B．C．D．(★★★★)12 . 已知函数，若对，，使成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题(★) 13 . 已知函数，则的定义域为__________.(★★) 14 . 在中，内角，，所对的边分别为，，.若，，，则____.(★★) 15 . 在数列中，，，则_________.(★★) 16 . 已知体积为的正四棱锥外接球的球心为，其中在四棱锥内部.设球的半径为，球心到底面的距离为。

过的中点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是___________.三、解答题(★★) 17 . 在中，角，，所对的边分别为，，，且满足. （1）求；（2）已知，，求的面积.(★★★★) 18 . 已知等差数列与公比为正数的等比数列满足，，.（1）求，的通项公式；（2）若，求数列的前项和.(★★) 19 . 如图所示，在四面体中，，平面平面，，且.（1）证明：平面；（2）设为棱的中点，当四面体的体积取得最大值时，求二面角的余弦值.(★★) 20 . 已知椭圆：的四个顶点围成的四边形的面积为，原点到直线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）已知定点，是否存在过的直线，使与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过椭圆的左顶点？若存在，求出的方程：若不存在，请说明理由.(★★★★) 21 . 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，满足，证明：.(★★) 22 . [选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中.曲线的方程为，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为.（1）求曲线的普通方程；（2）点为曲线上一动点，点为曲线上一动点，试求的最小值.(★★★★) 23 . [选修4-5：不等式选讲]已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.。

2019-2020 学年 第 1 学期 第 1 次考试试题与答案课程名称 高等数学A （1）1、下列极限不存在的是（ C ）． （A ）1lim sin x x x→∞；（B ）lim arctan x x →+∞；（C ）e 1lim e 1xx x →∞+-； （D ）lim x →+∞．解析：（A ）11lim sin lim 1x x x x xx→∞→∞=⋅= （由于10x→，因此11sin x x ）（B ）πlim arctan 2x x →+∞=（C ）e 11e lim lim 1e 11e x x xx x x --→+∞→+∞++==--，e 1lim 1e 1x x x →-∞+=--，因此e 1lim e 1xx x →∞+-不存在．（D ）lim limx x →+∞==2、()1lim 1kxx x →∞-=（ A ）．（A ）e k -； （B ）e k； （C ）1ek-；（D ）1e k．解析：()()11lim 1lim 1e kkxxk x x x x ---→∞→∞⎡⎤-=-=⎢⎥⎣⎦．3、当0x →时，423sin cos x x x 与nx 为等价无穷小，则n =（ B ）． （A ）4； （B ）6；（C ）7；（D ）9．解析：423636600sin cos cos lim lim 1x x x x x x x x x→→== （sin x x ） 4、关于函数3233()(3)(2)x x x f x x x +--=+-的间断点，下列正确的是（ D ）．（A ）3x =-与2x =均为无穷间断点； （B ）3x =-与2x =均为可去间断点；（C ）3x =-为无穷间断点，2x =为可去间断点； （D ）3x =-为可去间断点，2x =为无穷间断点．解析：322233333(3)(1)18limlim lim (3)(2)(3)(2)25x x x x x x x x x x x x x x →-→-→-+--+--===-+-+--，因此3x =-为可去间断点； 当2x →时，分母极限为0，分子极限为非0实数，因此2x =为无穷间断点．5、设cos 0()20e 0x a x x f x x b x >⎧⎪==⎨⎪+<⎩在0x =处连续，则,a b 的值为（ C ）． （A ）1,1a b ==； （B ）1,2a b ==； （C ）2,1a b ==；（D ）2,2a b ==．解析：连续点处左右极限存在并都与函数值相等；0lim ()lim cos x x f x a x a ++→→==，00lim ()lim (e )1xx x f x b b --→→=+=+， 因此，21a b ==+，可得：2a =，1b =．6、设()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----，则方程()0f x '=的实根的个数为（ C ）． （A ）1；（B ）2；（C ）3；（D ）4．解析：显然()f x 连续可导，且满足(1)(2)(3)(4)0f f f f ====，分别在[1,2]，[2,3]，[3,4]三个区间内使用罗尔定理，可得()0f x '=在三个区间内至少各有一根，因此()0f x '=至少有三个根；另外，由于()f x '为三次多项式，因此最多只有三个根．综上，本题选C ． 7、已知(3)2f '=，则0(3)(3)lim2h f h f h→--=（ A ）． （A ）1-； （B ）1； （C ）12-； （D ）12． 解析：00(3)(3)1(3)(3)1limlim (3)1222h h f h f f h f f h h →→----'=-=-=--．8、函数32()32f x x x =-+在[1,3]上的最大值和最小值分别为（ D ）． （A ）最大值为5，最小值为0； （B ）最大值为2，最小值为0； （C ）最大值为0，最小值为2-；（D ）最大值为2，最小值为2-．解析：2()360f x x x '=-=，可得在[1,3]只有一个驻点2x =，将驻点函数值与端点比较即可，(1)0f =，(2)2f =-，(3)2f =，可得最大值为2，最小值为2-．9、函数23()(1)4f x x =-在1x =处的曲率为（ B ）． （A ）34； （B ）32； （C ）54； （D ）52． 解析：33222213322(1)31(1)2x y K y x =''==='+⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦10、墙角处立着一个长度为5m 的梯子，如图所示，梯子顶端A 点以1.5m/s 的速度正在匀速下滑，当A 点与墙角O 点之间距离为4m 时，梯子底端B 点向右滑动的速度为（ B ）． （A ）1.5m/s ； （B ）2m/s ； （C ）2.5m/s ； （D ）3m/s ．解析：OA 的距离设为y ，OB 的距离设为x ，显然有2225x y +=，通过这个式子可求出两个速度之间的关系， 两边对t 求导数得：d d 0d d x y xy t t +=，将3x =，4y =，d 1.5d y t =-代入解得d 2d xt=m/s 11、设()f x =()f x 的定义域是 ． 答案：1e ,e -⎡⎤⎣⎦解析：由21ln 0x -≥解得1ln 1x -≤≤，再由于ln x 为单调函数，因此1e e x -≤≤．12、22212lim()12n nn n n n→∞+++=+++ ． 答案：12 解析：22222222212121212111n n nn n n n n n n n n n n n n +++≤+++≤++++++++++++ 由112(1)2n n n +++=+ ，得2222211(1)(1)1222121n n n n nn n n n n n n ++≤+++≤+++++ 而21(1)12lim 2n n n n n →∞+=+，21(1)12lim 12n n n n →∞+=+，由夹逼准则得原极限为12． 13、函数()y y x =由方程2e 610y xy x ++-=确定，则(0)y ''= ． 答案：2-解析：将0x =代入方程解得0y =，方程两边对x 求导得e 6620yy y xy x ''⋅+++=，将0x =，0y =代入解得(0)0y '=；方程两边对x 再求导得2e ()e 66620yyy y y y xy '''''''⋅+⋅++++= 将0x =，0y =，0y '=代入得：(0)2y ''=-．14、已知(sin )xy x =，则y '＝ ． 答案：(sin )(ln sin cot )xx x x x + 或 1(sin )ln sin (sin )cos xx x x x x x -+⋅解法一：换底()lnsin lnsin (sin )e e ln sin (sin )(ln sin cot )x x x x x x y x x x x x x x ''''⎡⎤⎡⎤====+⎣⎦⎣⎦解法二：取对数ln ln sin y x x =，两边对x 求导，ln sin cot y x x x y'=+ 因此：(sin )(ln sin cot )xy x x x x '=+解法三：公式法（指数函数求导公式+幂函数求导公式）1(sin )ln sin (sin )cos x x y x x x x x -'=+⋅15、设arctan y =1d x y == ．x解析：()2211d d 21y x x ==++，则1d x y x == 16、函数32535y x x x =-++的凹区间为 ． 答案：5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，写成开区间也正确．解析：23103y x x '=-+，6100y x ''=->，得53x >． 17、计算极限 011lim ln(1)x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦．解：0011ln(1)lim lim ln(1)ln(1)x x x x x x x x →→⎡⎤-+-=⎢⎥++⎣⎦20ln(1)lim x x x x →-+=0111lim 2x x x→-+=01lim 2(1)2x x x x →==+18、设xy =，求0x y ='． 解：取对数11ln ln(8)2ln(2)ln(1)32y x x x x =++-+-+ 两边对x 求导，12113(8)22(1)y y x x x '=+--+++得：12113(8)22(1)x y x x x ⎤'=+--⎥+++⎦，因此20211111112124248x y =⋅⎡⎤'=+--=-⎢⎥⋅⎣⎦19、设22ln(1),(1)2arctan ,x t y t t ⎧=+⎨=+-⎩求221d d t y x =. 解：2d 22(1)d 1y t t t =+-+3222221t t t t ++=+，2d 2d 1x tt t =+ 322d d 222d 1d d 2d y y t t t t t t x x t t ++===++，2222d 21(21)(1)2d 21y t t t t x t t +++==+，因此221d 3d t y x == 20、设ln(1)y x x =-+，求函数的极值，并判断是极大值还是极小值． 解：111y x '=-+01x x==+，解得驻点：0x = 21(1)y x ''=+，(0)0y ''>，因此0x =处为极小值，函数有极小值(0)0y = 21、设1x >，证明不等式(1)ln 2(1)x x x +>-． 证明：设()(1)ln 2(1)f x x x x =+--，其中(1)0f =，11()ln 2ln 1x f x x x x x+'=+-=+-，且(1)0f '=，又由于22111()(1)0f x x x x x ''=-=->因此()f x '单增，则当1x >时有()(1)0f x f ''>=，则()f x 单增，因此当1x >时有()(1)0f x f >=． 四、解答下列各题（本题共2小题，每小题6分，共12分）22、计算极限21arctan 0sin lim xx x x +→⎛⎫ ⎪⎝⎭． 解法一：2211arctanarctan0sin sin lim lim 1xx x x x x x x x ++→→-⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin arctan sin 0sin lim 1x xx x x x xx x x x +--→⎡⎤-⎛⎫⎢⎥=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦30sin limex x x x +→-=20cos 1lim3ex x x +→-=22012lim 3ex x x+→-=16e -=解法二：2211sin ln arctan arctan 00sin lim lim e x x xxx x x x ++→→⎛⎫= ⎪⎝⎭21sin ln 10lim e x x x x x +-⎛⎫+ ⎪⎝⎭→=3sin 0lim e x xx x +-→= 下同解法一解法三：2211sin ln arctan arctan 00sin lim lim e xxx xx x x x ++→→⎛⎫= ⎪⎝⎭20lnsin ln limex x xx+→-=0cos 1sin lim 2ex x x xx +→-=20cos sin lim2sin ex x x x x x+→-=3200cos sin cos sin cos limlim26eex x x x xx x x xxx++→→---==2201lim66ee x x x+→--==23、在抛物线24y x =-上的第一象限部分求一点(,)P a b ，过P 点作切线，使该切线与两坐标轴所围成的三角形面积最小．解：切线斜率为22x a x a y x a =='=-=- 切线方程2(4)2()y a a x a --=--求切线与两坐标轴交点，令0y =，解得242a x a+=，令0x =，解得24y a =+三角形面积为223(4)116()844a S a a a a a +⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，02a <≤ 求驻点22116()3804S a a a ⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭，即4238160a a +-=，解得243a =，a =3132()64S a a a ⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭，0S ''>，因此当a =时面积取到最小值， 此时切点坐标为83⎫⎪⎭．。

2019-2020学年高三第二学期段考数学试卷（理科）（3月份）一、选择题1．若i为虚数单位，复数z满足z（1+i）＝|1﹣i|+i，则z的虚部为（）A．B．C．D．2．设集合A＝{x|＜0}，B＝{x|x≤﹣3}，则集合{x/x≥1}＝（）A．A∩B B．A∪B C．（∁R A）∪（∁R B}D．（∁R A）∩（∁R B} 3．中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人12月营收贯数为（）A．35B．65C．70D．604．“石头、剪刀、布”，又称“猜丁壳”，是一种流传多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界．其游戏规则是：出拳之前双方齐喊口令，然后在话音刚落时同时出拳，握紧的拳头代表“石头”，食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸开代表“布”．“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、而“布”又胜过“石头”．若所出的拳相同，则为和局．小千和大年两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小千和大年比赛至第四局小千胜出的概率是（）A．B．C．D．5．已知a＝log0.62，b＝log20.6，c＝0.62，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b6．椭圆C：+＝1，F1，F2是其焦点，点P是椭圆C上一点，若△F1PF2是直角三角形，则点P到x轴的距离为（）A．B．C．D．27．若α为锐角，且（4cos50°﹣tan40°）tanα＝1，则α＝（）A．60°B．50°C．40°D．30°8．设等比数列{a n}的前n项和为S n，公比为q，且S3，S9，S6成等差数列，则8q3等于（）A．﹣4B．﹣2C．2D．49．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15＝0，若直线y＝kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（）A．B．C．D．10．已知函数的图象关于直线对称，若f（x1）f（x2）＝﹣4，则|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．11．如图，在梯形ABCD中已知|AB|＝2|CD|，＝，双曲线过C，D，E三点，且以A，B为焦点，则双曲线的离心率为（）A．B．2C．3D．12．如图，棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点A在平面α内，平面ABCD与平面α所成的二面角为30°，则顶点C1到平面α的距离的最大值是（）A．2（2+）B．2（+）C．2（+1）D．2（+1）二、填空题13．已知n＝（﹣2x）dx，则x（1﹣）n的展开式中的常数项为．14．某封闭几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为15．对于数列{a n}，若∀m，n∈N*（m≠n），都有成立，则称数列{a n}具有性质P（t）．若数列{a n}的通项公式为，且具有性质P（10），则实数a的取值范围是．16．若∀x∈[e，+∞），满足恒成立，则实数m的取值范围为．三.解答题17．已知在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，点D为BC边的中点，△ABC 的面积为．（1）求sin∠BAD•sin∠BDA的值；（2）若BC＝6AB，AD＝2，求b．18．如图，矩形ABCD中，AB＝6，，点F是AC上的动点．现将矩形ABCD沿着对角线AC折成二面角D'﹣AC﹣B，使得．（Ⅰ）求证：当时，D'F⊥BC；（Ⅱ）试求CF的长，使得二面角A﹣D'F﹣B的大小为．19．已知F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过F的动直线交抛物线C于A，B两点．当直线与x轴垂直时，|AB|＝4．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线l相交于点M，抛物线C上存在点P使得直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，求点P的坐标．20．已知函数f（x）＝e﹣x﹣ax（x∈R）．（1）当a＝﹣1时，求函数f（x）的最小值；（2）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，求实数a的取值范围．21．如图，直角坐标系中，圆的方程为x2+y2＝1，A（1，0），B（﹣，），C（﹣，﹣）为圆上三个定点，某同学从A点开始，用掷骰子的方法移动棋子．规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为奇数，则按图中箭头相反的方向移动．设掷骰子n次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为P n（A），P n（B），P n（C）．例如：掷骰子一次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为P1（A）＝0，P1（B）＝，P1（C）＝（1）分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到A，B，C处的概率；（2）掷骰子n次时，若以x轴非负半轴为始边，以射线OA，OB，OC为终边的角的余弦值记为随机变量X n，求X4的分布列和数学期望；（3）记P n（A）＝a n，P n（B）＝b n，P n（C）＝c n．，其中a n+b n+c n＝1．证明：数列{b n ﹣}是等比数列，并求a2020．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C1：（a为参数）经过伸缩变换后的曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）＝1，且曲线C3与曲线C2相交于P，Q 两点，求|PQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+b2|﹣|﹣x+1|，g（x）＝|x+a2+c2|+|x﹣2b2|，其中a，b，c均为正实数，且ab+bc+ac＝1．（Ⅰ）当b＝1时，求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）当x∈R时，求证f（x）≤g（x）．参考答案一.选择题1．若i为虚数单位，复数z满足z（1+i）＝|1﹣i|+i，则z的虚部为（）A．B．C．D．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z（1+i）＝|1﹣i|+i＝，得z＝．∴z的虚部为．故选：D．2．设集合A＝{x|＜0}，B＝{x|x≤﹣3}，则集合{x/x≥1}＝（）A．A∩B B．A∪B C．（∁R A）∪（∁R B}D．（∁R A）∩（∁R B}【分析】解不等式得集合A，根据补集的定义写出∁R A、∁R B，即可得出结论解：集合A＝{x|＜0}＝{x|﹣3＜x＜1}，B＝{x|x≤﹣3}，则∁R A＝{x|x≤﹣3或x≥1}，∁R B＝{x|x＞﹣3}；∴（∁R A）∩（∁R B}＝{x|x≥1}．故选：D．3．中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人12月营收贯数为（）A．35B．65C．70D．60【分析】设每个月的收入为等差数列{a n}．公差为d．由a3＝25，S12＝510．可得a1+2d ＝25，12a1+d＝510，联立解出即可得出．解：设每个月的收入为等差数列{a n}．公差为d．则a3＝25，S12＝510．∴a1+2d＝25，12a1+d＝510，解得a1＝15，d＝5，∴a12＝15+11×5＝70．故选：C．4．“石头、剪刀、布”，又称“猜丁壳”，是一种流传多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界．其游戏规则是：出拳之前双方齐喊口令，然后在话音刚落时同时出拳，握紧的拳头代表“石头”，食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸开代表“布”．“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、而“布”又胜过“石头”．若所出的拳相同，则为和局．小千和大年两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小千和大年比赛至第四局小千胜出的概率是（）A．B．C．D．【分析】小千和大年比赛至第四局小千胜出，由指前3局中小千胜2局，有1局不胜，第四局小千胜，由此能求出小千和大年比赛至第四局小千胜出的概率．解：根据“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，而“布”又胜“石头”，可得每局比赛中小千胜大年、小千与大年和局和小千输给大年的概率都为，∴小千和大年两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小千和大年比赛至第四局小千胜出，由指前3局中小千胜2局，有1局不胜，第四局小千胜，∴小千和大年比赛至第四局小千胜出的概率是：p＝＝．故选：B．5．已知a＝log0.62，b＝log20.6，c＝0.62，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b【分析】a＝log0.62＝﹣1，又ab＝1．可得b＝log20.6∈（﹣1，0），而c ＞0，即可得出大小关系．解：a＝log0.62＝﹣1，又ab＝×＝1．∴b＝log20.6∈（﹣1，0），c＝0.62＞0，则c＞b＞a．故选：C．6．椭圆C：+＝1，F1，F2是其焦点，点P是椭圆C上一点，若△F1PF2是直角三角形，则点P到x轴的距离为（）A．B．C．D．2【分析】分两种情况讨论，是∠P为90°还是∠F1或∠F2为90°，注意P的纵坐标的取值范围，将P的坐标代入椭圆中，再由角为90°可得P的纵坐标的绝对值，即是P 到x轴的距离．解：设P（m，n），|n|2≤5，由题意可得：+＝1，m2＝9（1﹣），a2＝9，b2＝5，所以c2＝a2﹣b2＝9﹣5＝4，所以c＝2，F1（﹣2，0），F2（2，0），△F1PF2是直角三角形，当∠PF2F1＝90°，或∠PF1F2＝90°结果一样的，则m＝c＝2，代入椭圆可得|n|＝＝；当∠F1PF2＝90°时，而＝（m+2，n），＝（m﹣2，n），所以＝0，即（m+2）（m﹣2）+n2＝0，m2+n2＝4，即9（1﹣）+n2＝4，解得n2＝＞5，不成立，综上所述|n|＝，故选：A．7．若α为锐角，且（4cos50°﹣tan40°）tanα＝1，则α＝（）A．60°B．50°C．40°D．30°【分析】先利用三角函数公式化简4cos50°﹣tan40°＝，则tan，从而求出α的值．解：4cos50°﹣tan40°＝4sin40°﹣tan40°＝＝＝＝＝＝，∴，又∵α为锐角，∴α＝300，故选：D．8．设等比数列{a n}的前n项和为S n，公比为q，且S3，S9，S6成等差数列，则8q3等于（）A．﹣4B．﹣2C．2D．4【分析】利用等差数列的性质、等比数列的通项公式即可得出．解：）∵S3，S9，S6成等差数列，∴2S9＝S3+S6，∴（S9﹣S6）+（S9﹣S3）＝0，即（a7+a8+a9）+（a7+a8+a9）+（a4+a5+a6）＝0，∴2q3（a4+a5+a6）+（a4+a5+a6）＝0，∵，∴q3＝﹣，∴8q3＝﹣4．故选：A．9．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15＝0，若直线y＝kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（）A．B．C．D．【分析】化圆C的方程为（x﹣4）2+y2＝1，求出圆心与半径，由题意，只需（x﹣4）2+y2＝4与直线y＝kx+2有公共点即可．解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15＝0，整理得：（x﹣4）2+y2＝1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y＝kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2＝4与直线y＝kx+2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y＝kx+2的距离为d，则d＝≤2，即3k2≤﹣4k，∴﹣≤k≤0．∴k的最小值是．故选：A．10．已知函数的图象关于直线对称，若f（x1）f（x2）＝﹣4，则|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．【分析】根据函数的对称性，利用f（0）＝f（﹣），建立方程求出a的值，然后利用辅助角公式求出f（x）的解析式，利用最值性质转化为周期关系进行求解即可．解：∵f（x）的图象关于直线对称，∴f（0）＝f（﹣），即﹣＝a sin（﹣）﹣cos（﹣）＝﹣a﹣，得a＝，得a＝1，则f（x）＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），∵f（x1）f（x2）＝﹣4，∴f（x1）＝2，f（x2）＝﹣2或f（x1）＝﹣2，f（x2）＝4，即f（x1），f（x2）一个为最大值，一个为最小值，则|x1﹣x2|的最小值为，∵T＝＝π，∴＝，即|x1﹣x2|的最小值为，故选：D．11．如图，在梯形ABCD中已知|AB|＝2|CD|，＝，双曲线过C，D，E三点，且以A，B为焦点，则双曲线的离心率为（）A．B．2C．3D．【分析】以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的坐标系，求出C的坐标，根据向量的运算求出点E的坐标，代入双曲线方程即可求出解：由|AB|＝2|CD|，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的坐标系，设双曲线的方程为﹣＝1，由双曲线是以A，B为焦点，∴A（﹣c，0），B（c，0），把x＝c，代入﹣＝1，可得y＝b，即有C（c，b），又设A（﹣c，0），∴＝（c，b），设E（x，y），∴＝（x+c，y），∵＝，∴（x+c，y）＝（c，b），解得x＝﹣c，y＝b•），可得E（﹣c，b•），代入双曲线的方程可得﹣（﹣1）＝1，即e2﹣（﹣1）＝，即e2＝7，即e＝，故选：A．12．如图，棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点A在平面α内，平面ABCD与平面α所成的二面角为30°，则顶点C1到平面α的距离的最大值是（）A．2（2+）B．2（+）C．2（+1）D．2（+1）【分析】如图所示，O在AC上，C1O⊥α，垂足为E，则C1E为所求，∠OAE＝30°，由题意，设CO＝x，则AO＝4﹣x，由此可得顶点C1到平面α的距离的最大值．解：如图所示，AC的中点为O，C1O⊥α，垂足为E，则C1E为所求，∠AOE＝30°由题意，设CO＝x，则AO＝4﹣x，C1O＝，OE＝OA＝2﹣x，∴C1E＝+2﹣x，令y＝+2﹣x，则y′＝﹣＝0，可得x＝，∴x＝，顶点C1到平面α的距离的最大值是2（+）．故选：B．二、填空题13．已知n＝（﹣2x）dx，则x（1﹣）n的展开式中的常数项为60．【分析】根据题意，由定积分计算公式可得n的值，进而由二项式定理分析（1﹣）6的展开式含x﹣1次方的项，据此分析可得答案．解：根据题意，n＝（﹣2x）dx＝（）dx﹣（2x）dx＝××π﹣（x2）＝6，（1﹣）6的展开式通项为T r+1＝C6r（﹣）r，当r＝2时，有T3＝C62（﹣）2＝，则x（1﹣）n的展开式中的常数项为60；故答案为：6014．某封闭几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为222+6【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，画出直观图，计算各个面的面积，相加可得答案．解：由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，其直观图如图所示：底面△ABC的面积为：×8×6＝24；侧面ACDE的面积为：×10＝100，侧面ABFE的面积为：（4+10）×6＝42，侧面CBFD的面积为：（4+10）×8＝56，面EFD中，EF＝6，FD＝10，ED＝10，故面积为：×6×＝6，故几何体的表面积S＝222+6，故答案为：222+615．对于数列{a n}，若∀m，n∈N*（m≠n），都有成立，则称数列{a n}具有性质P（t）．若数列{a n}的通项公式为，且具有性质P（10），则实数a的取值范围是[36，+∞）．【分析】由题意知恒成立，从而可得数列为单调递增数列，从而可得恒成立，即a≥﹣n（n+1）（2n﹣9），从而解得．解：∵数列通项公式且数列具有性质P（10），∴，∴恒成立，∴数列为单调递增数列，∴恒成立，即a≥﹣n（n+1）（2n﹣9），由数轴标根法作图如下，故最大值在n＝1，2，3或4上取得，当n＝1时，﹣n（n+1）（2n﹣9）＝14，当n＝2时，﹣n（n+1）（2n﹣9）＝30，当n＝3时，﹣n（n+1）（2n﹣9）＝36，当n＝4时，﹣n（n+1）（2n﹣9）＝20，故a≥36．故答案为：[36，+∞）．16．若∀x∈[e，+∞），满足恒成立，则实数m的取值范围为（﹣∞，2e]．【分析】通过①m≤0，判断是否满足题意；②m＞0时，由，利用函数的单调性转化求解即可．解：①m≤0，恒成立，所以满足恒成立，显然成立；②m＞0时，由，由f（x）＝xe x在[e，+∞）为增⇒m≤2xlnx在[e，+∞）恒成立，由g（x）＝2xlnx在[e，+∞）为增函数，g（x）min＝2e，0＜m≤2e，综上，m≤2e，故答案为：（﹣∞，2e]．三.解答题17．已知在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，点D为BC边的中点，△ABC 的面积为．（1）求sin∠BAD•sin∠BDA的值；（2）若BC＝6AB，AD＝2，求b．【分析】（1）由ABC的面积为且D为BC的中点可得△ABD的面积为，再由三角形的面积公式及正弦定理可求sin∠BAD•sin∠BDA；（2）由（1）可得BC＝6AB，可求sin∠BAD，3sin∠BDA，再由余弦定理可求．解：（1）∵D为BC边的中点，△ABC的面积为，∴△ABD的面积为，∴，∴3AB•BD＝，由正弦定理可得，＝∴3AB•BD＝＝，∴sin∠BAD•sin∠BDA＝（2）∵BC＝6AB，且D为BC的中点，∴BC＝2BD＝6AB，即BD＝3AB，△ABD中，由正弦定理可得，，∴sin∠BAD＝3sin∠BDA，由（1）可知，sin∠BAD•sin∠BDA＝∴sin∠BAD＝1，sin∠BDA＝，∴∠BAD＝90°，Rt△ABD中，AD＝2，∴AB＝1，BD＝3，∴BC＝2BD＝6，△ABC中，由余弦定理可得，b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝1+36﹣2×1×6×＝33，∴b＝．18．如图，矩形ABCD中，AB＝6，，点F是AC上的动点．现将矩形ABCD沿着对角线AC折成二面角D'﹣AC﹣B，使得．（Ⅰ）求证：当时，D'F⊥BC；（Ⅱ）试求CF的长，使得二面角A﹣D'F﹣B的大小为．【分析】（Ⅰ）连结DF，BF．通过计算DF2+AF2＝9+3＝DA2，推出DF⊥AC，得到D'F⊥AC，证明BF⊥D'F，然后证明D'F⊥平面ABC．推出D'F⊥BC．（Ⅱ）说明OE，OC，OD'两两垂直，以O为原点，的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出平面AD'F的一个法向量．平面BD'F的法向量通过向量的数量积求解二面角的平面角的余弦值即可．【解答】满分．（Ⅰ）证明：连结DF，BF．在矩形ABCD中，，∴，∠DAC＝60°．…（1分）在△ADF中，∵，∴DF2＝DA2+AF2﹣2DA•AF•cos∠DAC＝9，．…∵DF2+AF2＝9+3＝DA2，∴DF⊥AC，即D'F⊥AC．…又在△ABF中，BF2＝AB2+AF2﹣2AB•AF•cos∠CAB＝21，…∴在△D'FB中，，∴BF⊥D'F，…又∵AC∩FB＝F，∴D'F⊥平面ABC．∴D'F⊥BC．…（Ⅱ）解：在矩形ABCD中，过D作DE⊥AC于O，并延长交AB于E．沿着对角线AC翻折后，由（Ⅰ）可知，OE，OC，OD'两两垂直，以O为原点，的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系O﹣xyz，则O（0，0，0），E（1，0，0），， (7)）k AB＝﹣1平面AD'F，∴为平面AD'F的一个法向量．…设平面BD'F的法向量为＝（x，y，z），∵F（0，t，0），∴，由得取y＝3，则，∴．…∴，即，∴．∴当时，二面角A﹣D'F﹣B的大小是．…19．已知F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过F的动直线交抛物线C于A，B两点．当直线与x轴垂直时，|AB|＝4．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线l相交于点M，抛物线C上存在点P使得直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，求点P的坐标．【分析】（1）由题意可得|AB|＝2p＝4，即可求出抛物线的方程，（2）设直线AB的方程为y＝x﹣1，联立消去x，得y2﹣4y﹣4＝0，根据韦达定理结合直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，即可求出点P的坐标解：（1）因为，在抛物线方程y2＝2px中，令，可得y＝±p．于是当直线与x轴垂直时，|AB|＝2p＝4，解得p＝2．所以抛物线的方程为y2＝4x．（2）因为抛物线y2＝4x的准线方程为x＝﹣1，所以M（﹣1，﹣2）．设直线AB的方程为y＝x﹣1，联立消去x，得y2﹣4y﹣4＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝4，y1y2＝﹣4．若点P（x0，y0）满足条件，则2k PM＝k PA+k PB，即，因为点P，A，B均在抛物线上，所以．代入化简可得，将y1+y2＝4，y1y2＝﹣4代入，解得y0＝±2．将y0＝±2代入抛物线方程，可得x0＝1．于是点P（1，±2）为满足题意的点．20．已知函数f（x）＝e﹣x﹣ax（x∈R）．（1）当a＝﹣1时，求函数f（x）的最小值；（2）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值；（2）得到e x+ax+ln（x+1）﹣1≥0．（*）令g（x）＝e x+ax+ln（x+1）﹣1，通过讨论a 的范围，确定函数的单调性，从而求出满足条件的a的具体范围即可；解：（1）当a＝﹣1时，f（x）＝e﹣x+x，则f′（x）＝﹣+1．令f'（x）＝0，得x＝0．当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0．∴函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增．∴当x＝0时，函数f（x）取得最小值，其值为f（0）＝1f（x）的最小值为1．（2）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，即e x+ax+ln（x+1）﹣1≥0（*）令g（x）＝e x+ax+ln（x+1）﹣1，则①若a≥﹣2，由（1）知e﹣x+x≥1，即e﹣x≥1﹣x，故e x≥1+x∴函数g（x）在区间[0，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（0）＝0．∴（*）式成立．②若a＜﹣2，令，则∴函数ϕ（x）在区间[0，+∞）上单调递增，由于ϕ（0）＝2+a＜0，．故∃x0∈（0，﹣a），使得ϕ（x0）＝0，则当0＜x＜x0时，ϕ（x）＜ϕ（x0）＝0，即g'（x）＜0．∴函数g（x）在区间（0，x0）上单调递减，∴g（x0）＜g（0）＝0，即（*）式不恒成立．综上所述，实数a的取值范围是[﹣2，+∞）．21．如图，直角坐标系中，圆的方程为x2+y2＝1，A（1，0），B（﹣，），C（﹣，﹣）为圆上三个定点，某同学从A点开始，用掷骰子的方法移动棋子．规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为奇数，则按图中箭头相反的方向移动．设掷骰子n次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为P n（A），P n（B），P n（C）．例如：掷骰子一次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为P1（A）＝0，P1（B）＝，P1（C）＝（1）分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到A，B，C处的概率；（2）掷骰子n次时，若以x轴非负半轴为始边，以射线OA，OB，OC为终边的角的余弦值记为随机变量X n，求X4的分布列和数学期望；（3）记P n（A）＝a n，P n（B）＝b n，P n（C）＝c n．，其中a n+b n+c n＝1．证明：数列{b n ﹣}是等比数列，并求a2020．【分析】（1）由概率的乘法公式，可得所求值；（2）随机变量X4的可能取值为1，﹣，结合（1）运用概率乘法公式，可得随机变量的分布列和期望；（3）易得b n＝c n，即b n﹣1＝c n﹣1，n≥2，由条件推得2b n+b n﹣1＝1，由构造等比数列，可得b n＝+•（﹣）n﹣1，即可得到所求值．解：（1）P2（A）＝•+•＝，P2（B）＝•＝，P2（C）＝•＝，P3（A）＝••+••＝，P3（B）＝（+）•＝，P3（C）＝（+）•＝；（2）随机变量X4的可能取值为1，﹣，由（1）可得P（x4＝1）＝（P3（B）+P3（C））•＝（+）•＝，P（x4＝﹣）＝（P3（A）+P3（C））•+（P3（A）+P3（B））•＝，则X4的分布列为x41﹣PE（X4）＝1•+（﹣）•＝；（3）证明：易得b n＝c n，即b n﹣1＝c n﹣1，n≥2，n≥2时，b n＝（a n﹣1+c n﹣1）＝（a n﹣1+b n﹣1），又a n﹣1+b n﹣1+c n﹣1＝1，可得2b n+b n﹣1＝1，由b n﹣＝﹣b n﹣1+﹣＝﹣（b n﹣1﹣），可得数列{b n﹣}是首项为，公比为﹣的等比数列，则b n﹣＝•（﹣）n﹣1，即b n＝+•（﹣）n﹣1，又a n＝1﹣b n＝1﹣2[+•（﹣）n﹣1]＝[1﹣（﹣）n﹣1]，故a2020＝[1+（）2019]．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C1：（a为参数）经过伸缩变换后的曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）＝1，且曲线C3与曲线C2相交于P，Q 两点，求|PQ|的值．【分析】（Ⅰ）求出C2的参数方程，即可求C2的极坐标方程；（Ⅱ）C2是以（1，0）为圆心，1为半径的圆，曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）＝1，直角坐标方程为x﹣y﹣2＝0，求出圆心到直线的距离，即可求|PQ|的值．解：（Ⅰ）C2的参数方程为（α为参数），普通方程为（x′﹣1）2+y′2＝1，∴C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ；（Ⅱ）C2是以（1，0）为圆心，1为半径的圆，曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）＝1，直角坐标方程为x﹣y﹣2＝0，∴圆心到直线的距离d＝＝，∴|PQ|＝2＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+b2|﹣|﹣x+1|，g（x）＝|x+a2+c2|+|x﹣2b2|，其中a，b，c均为正实数，且ab+bc+ac＝1．（Ⅰ）当b＝1时，求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）当x∈R时，求证f（x）≤g（x）．【分析】（Ⅰ）当b＝1时，把f（x）用分段函数来表示，分类讨论，求得f（x）≥1的解集．（Ⅱ）当x∈R时，先求得f（x）的最大值为b2+1，再求得g（x）的最小值，根据g（x）的最小值减去f（x）的最大值大于或等于零，可得f（x）≤g（x）成立．解：（Ⅰ）由题意，当b＝1时，f（x）＝|x+b2|﹣|﹣x+1|＝，当x≤﹣1时，f（x）＝﹣2＜1，不等式f（x）≥1无解，不等式f（x）≥1的解集为∅；当﹣1＜x＜1时，f（x）＝2x，由不等式f（x）≥1，解得x≥，所以≤x＜1；当x≥1时，f（x）＝2≥1恒成立，所以不等式f（x）≥1的解集为[，+∞）．（Ⅱ）（Ⅱ）当x∈R时，f（x）＝|x+b2|﹣|﹣x+1|≤|x+b2 +（﹣x+1）|＝|b2+1|＝b2+1；g（x）＝|x+a2+c2|+|x﹣2b2|＝≥|x+a2+c2﹣（x﹣2b2）|＝|a2+c2+2b2|＝a2+c2+2b2．而a2+c2+2b2﹣（b2+1）＝a2+c2+b2﹣1＝（a2+c2+b2+a2+c2+b2）﹣1≥ab+bc+ac﹣1＝0，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立，即a2+c2+2b2≥b2+1，即f（x）≤g（x）．。

2019-2020学年上海市杨浦区高三（上）期中数学试卷一、填空题1. 函数y=√2+x的定义域为________．【答案】{x|x≥−2}【考点】函数的定义域及其求法【解析】利用二次根式的被开方数大于或等于0，求出函数y的定义域．【解答】解：函数y=√2+x中，令2+x≥0，解得x≥−2，所以y的定义域为{x|x≥−2}．故答案为：{x|x≥−2}．2. 方程lg(2x+3)=2lg x的解为________．【答案】x=3【考点】函数与方程的综合运用【解析】本题要考虑到两个对数式的定义域，然后解对数方程．【解答】解：方程lg(2x+3)=2lg x可转化为同解不等式{2x+3>0，x>0，2x+3=x2，解得x=3．故答案为：x=3．3. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线BC1与平面BB1D1D所成角的大小等于________．【答案】30∘【考点】直线与平面所成的角【解析】取B1D1的中点H连接C1H，BH利用正方体的性质在结合线面垂直的判定定理可证得C1H⊥面B1D1DB，则∠HBC1即为BC1与平面BB1D1D所成的角．再令BC＝1在Rt△BHC1中sin∠HBC1=12，即∠HBC1＝30∘，进而可得答案．【解答】解：取B1D1中点H，连接C1H，BH，则由正方体的性质知C1H⊥D1B1，∵BB1⊥面A1B1C1D1，且C1H⊂面A1B1C1D1，∴C1H⊥BB1，∵BB1∩D1B1=B1，∴C1H⊥面B1D1DB，∴C1H⊥BH，∴∠HBC1即为BC1与平面BB1D1D所成的角，设BC=1，则BC1=√2,C1H=√22，则在Rt△BHC1中，sin∠HBC1=12．∴∠HBC1=30∘.故答案为：30∘.4. 若角α的终边经过点P(−1, 2)，则sin2α=________．【答案】−4 5【考点】二倍角的正弦公式任意角的三角函数【解析】利用三角函数的定义，计算α的正弦与余弦值，再利用二倍角公式，即可求得结论．【解答】解：由题意，|OP|=√5，∴sinα=√5，cosα=√5，∴sin2α=2sinαcosα=2√5×√5=−45.故答案为：−45．5. 在(x−1x)10的展开式中，常数项等于________（结果用数值表示）．【答案】−252【考点】二项展开式的特定项与特定系数【解析】)10的展开式通项，进而令r＝5求出其展开式中的根据题意，由二项式定理求出(x−1x常数项，即可得答案．【解答】)10的展开式通项为：解：根据题意，(x−1xT r+1=C10r x10−r(−1)r=(−1)r C10r x10−2r，x当r=5时，有T6=(−1)5C105=−252，)10的展开式中，常数项为−252.即在(x−1x故答案为：−252.6. 若x>0，y>0，且2x+y=1，则xy的最大值为________．【答案】18【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】利用2x+y的值，利用基本不等式可求得√2xy的最大值，进而求得xy的最大值．【解答】解：∵1=2x+y≥2√2xy，∴xy≤1．8.故答案为：187. 已知幂函数y=f(x)的图象经过点P(4, 2)，则它的反函数f−1(x)为________．【答案】x2(x≥0)【考点】反函数【解析】设幂函数y＝f(x)＝xα，α为常数．根据f(x)的图象经过点P(4, 2)，代入2＝4α，解得α即可得出．【解答】解：设幂函数y=f(x)=xα，α为常数．．由f(x)的图象经过点P(4, 2)，则2=4α，解得α=12∴f(x)=√x．它的反函数f−1(x)=x2(x≥0)．故答案为：x2(x≥0).8. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取5个不同的数，中位数为4的取法有________种（用数值表示）．【答案】30【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】中位数为4，故4必须取出，剩余的4个数大于4和小于4的各取2个，根据计数原理即可得到总的取法．【解答】解：根据题意，取出的5个数中位数为4，所以4必须取出，且剩下的4个数有两个比4大，两个比4小，所以总取法有C32×C52=30种.故答案为：30.9. 已知圆锥的侧面展开图是一个扇形，若此扇形的圆心角为6π5、面积为15π，则该圆锥的体积为________．【答案】12π【考点】扇形面积公式柱体、锥体、台体的体积计算【解析】根据圆锥侧面展开图求出母线长l和底面圆半径r，再求出圆锥的高ℎ，即可求出圆锥的体积．【解答】解：圆锥侧面展开图是一个圆心角为6π5，面积为15π的扇形，设圆锥的母线长为l，则12⋅6π5⋅l2=15π，解得：l=5，设底面圆的半径为r，则2πr=6π5⋅l，r=6π5×5÷2π=3，∴圆锥的高ℎ=√l2−r2=√25−9=4，故圆锥的体积为V=13πr2⋅ℎ=13×π×32×4=12π．故答案为：12π.10. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=2，sin Aa =√3cos Bb，则△ABC的面积的最大值等于________．【答案】√3【考点】基本不等式在最值问题中的应用正弦定理【解析】由已知利用正弦定理可求sin B=√3cos B，利用同角三角函数基本关系式可得tan B=√3，结合范围B∈(0, π)，可求B的值，进而根据余弦定理，基本不等式可求ac≤4，根据三角形的面积公式即可求解．【解答】解：∵sin Aa =√3cos Bb，又由正弦定理可得sin Aa=sin Bb，∴sin B=√3cos B，即tan B=√3，∵B∈(0, π)，∴B=π3.又∵b=2，∴b2=a2+c2−ac≥2ac−ac=ac，可得ac≤4，当且仅当a=c时等号成立，∴S△ABC=12ac sin B≤12×4×√32=√3，当且仅当a=c时等号成立，即△ABC的面积的最大值等于√3．故答案为：√3.11. 在高中阶段，我们学习过函数的概念、性质和图象，以下两个结论是正确的：①偶函数f(x)在区间[a, b](a<b)上的取值范围与在区间[−b, −a]上的取值范围是相同的；②周期函数f(x)在一个周期内的取值范围也就是f(x)在定义域上的值域，由此可求函数g(x)=2|sin x|+19|cos x|的值域为________．【答案】[2,√365]【考点】函数的值域及其求法【解析】依题意，函数g(x)为定义在R上的偶函数，且最小正周期为π，进而根据性质①②求解即可．【解答】解：依题意，g(x)=2|sin x|+19|cos x|定义域为R，关于原点对称，又g(−x)=2|sin(−x)|+19|cos(−x)|=2|sin x|+19|cos x|=g(x)，所以g(x)为偶函数，又g(x+π)=2|sin(x+π)|+19|cos(x+π)|=2|sin x|+19|cos x|，故g(x)以π为周期，当x∈[0, π]时，g(x)=2|sin x|+19|cos x|，则g(x)={2sin x+19cos x,(x∈[0,π2])，2sin x−19cos x,(x∈[π2,π])={√365sin(x+θ)(x∈[0,π2])，√365sin(x−θ)(x∈[π2,π]).其中sinθ=√365>√22，所以π4<θ<π2，cosθ=√365．①当θ∈[0, π2]时，x +θ∈[θ, θ+π2]， 所以当x +θ=π2时，g(x)有最大值√365，当x +θ=θ+π2时，g(x)有最小值√365sin (π2+θ)=√365cos θ=2， ②当θ∈[π2,π]时，x −θ∈[π2−θ, π−θ]， 所以当x −θ=π2−θ时，g(x)取得最小值√365sin (π2−θ)=√365cos θ=√365√365=2，当x −θ=π2时，g(x)取得最大值√365，综上，g(x)=2|sin x|+19|cos x|的值域为[2, √365]. 故答案为：[2, √365].12. 定义在实数集R 上的偶函数f(x)满足f(x +1)=1+√2f(x)−f 2(x)，则f(20192)=________．【答案】2+√22【考点】函数奇偶性的性质与判断 函数的求值 【解析】根据f(x)是R 上的偶函数可得出f(−x)＝f(x)，进而得出f(x +1)＝f(1−x)，从而得出f(x +2)＝f(x)，即得出f(x)的周期为2，从而可得出f(20192)=f(32)=1+√2f(12)−f 2(12)=f(12)，根据f(12)>1即可解出f(12)，从而得出f(20192)的值．【解答】解：∵ f(x)是R 上的偶函数， ∴ f(−x)=f(x)，∴ f(1−x)=1+√2f(x)−f 2(x)=f(x +1)， ∴ f(x +2)=f(−x)=f(x)， ∴ f(x)的周期为2， ∴ f(20192)=f(1009+12)=f(32+504×2)=f(32)，∴ f(12+1)=1+√2f(12)−f 2(12)=f(12)， f(12)−1=√2f(12)−f 2(12)，两边平方并整理得， 2f 2(12)−4f(12)+1=0，且f(12)>1，解得f(12)=2+√22，∴f(20192)=2+√22．故答案为：2+√22.二.选择题已知x∈R，则“sin x=1”是“cos x=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】由sin x＝1，cos x＝0；反之，由cos x＝0，得sin x＝±1，然后结合充分必要条件的判定得答案．【解答】解：由sin x=1，得x=π2+2kπ，k∈Z，则cos x=0，反之，由cos x=0，得x=π2+kπ，k∈Z，则sin x=±1．∴ “sin x=1”是“cos x=0”的充分不必要条件．故选A.某班有20名女生和19名男生，从中选出5人组成一个垃圾分类宜传小组，要求女生和男生均不少于2人的选法共有()A.C202⋅C192⋅C351B.C395−C205−C195C.C395−C201C194−C204C191D.C202C193+C203C192【答案】D【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】女生和男生均不少于2人，即2女3男或者2男3女，分别用计数原理计算即可，也可从反面思考．【解答】解：依题意，女生和男生均不少于2人，所以选出的5人中男女人数只能为女3男2女或者2男3女，所以女生和男生均不少于2人的选法共有C202C193+C203C192，若从反面思考，则应从总取法C395中去掉全为女生，全为男生，1女4男和1男4女这四种，共有C395−C205−C195−C201C194−C204C191.故选D.已知二面角α−l−β是直二面角，m为直线，γ为平面，则下列命题中真命题为() A.若m⊂α，则m⊥β B.若m⊥α，则m // βC.若m // α，则m⊥βD.若γ // α，则γ⊥β【答案】D【考点】命题的真假判断与应用平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系【解析】可画出图形，根据条件知α⊥β，结合图形以及直线与平面的关系，平面与平面的垂直关系即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：如图，∵二面角α−l−β是直二面角，∴α⊥β，A．并不是α平面内的所有直线都与β垂直，∴该选项错误；B．若m⊥α，则m⊂β或m // β，∴该选项错误；C．m // α时，m⊥β不一定成立，如m⊂β，∴该选项错误；D．若γ // α，因为α⊥β，所以γ⊥β，该选项正确．故选D.记有限集合M中元素的个数为|M|，且|⌀|=0，对于非空有限集合A，B，下列结论：①若|A|≤|B|，则A⊆B；②若|A∪B|=|A∩B|，则A=B；③若|A∩B|=0，则A，B中至少有个是空集；④若A∩B=⌀，则|A∪B|=|A|+|B|；其中正确结论的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】B【考点】命题的真假判断与应用交、并、补集的混合运算集合的包含关系判断及应用【解析】分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，集合的元素个数体现了两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，逐一进行判断即可．【解答】解：对于①，若|A|≤|B|，则A⊆B，例如A={0, 1}，B={1, 2, 3}，满足|A|≤|B|，但是A⊈B，①错误；对于②，若|A∪B|=|A∩B|，则A=B，假设A≠B，则|A∪B|>|A∩B|，与条件矛盾，故②正确；对于③，若|A ∩B|=0，则A ，B 中至少有个是空集，例如A ={0, 1}，B ={2, 3}，满足|A ∩B|=0，但A ，B 中没有空集，故③错误； 对于④，若A ∩B =⌀，则|A ∪B|=|A|+|B|， 由集合运算的定义知，④正确，故②④正确． 故选B .三.解答题在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，E ，F 分别为棱A 1B 1，A 1C 1的中点，去掉三棱维A 1−AEF 得到一个多面体ABC −B 1C 1FE ，已知AB =6，BB 1=4．(1)求多面体ABC −EFC 1B 1的体积；(2)求异面直线AE 与BC 所成角的大小． 【答案】解：(1)多面体ABC −EFC 1B 1的体积： V =V ABC−A 1B 1C 1−V A−A 1EF=12×6×6×sin 60∘×4−13×12×3×3×sin 60∘×4=33√3．(2)以C 为原点，过C 作BC 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，A(3√3, 3, 0)，B(0, 6, 0)，E(3√32, 92, 4)，C(0, 0, 0)， AE →=(−3√32, 32, 4)，BC →=(0, −6, 0)，设异面直线AE 与BC 所成角为θ， 则cos θ=|AE →⋅BC →||AE →|⋅|BC →|=9√25⋅√36=310．∴ 异面直线AE 与BC 所成角的大小为arccos 310．【考点】异面直线及其所成的角柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】（1）多面体ABC −EFC 1B 1的体积V =V ABC−A 1B 1C 1−V A−A 1EF ，由此能求出结果． （2）以C 为原点，过C 作BC 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE 与BC 所成角的大小．【解答】解：(1)多面体ABC −EFC 1B 1的体积： V =V ABC−A 1B 1C 1−V A−A 1EF=12×6×6×sin 60∘×4−13×12×3×3×sin 60∘×4=33√3．(2)以C 为原点，过C 作BC 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，A(3√3, 3, 0)，B(0, 6, 0)，E(3√32, 92, 4)，C(0, 0, 0)， AE →=(−3√32, 32, 4)，BC→=(0, −6, 0)，设异面直线AE 与BC 所成角为θ， 则cos θ=|AE →⋅BC →||AE →|⋅|BC →|=9√25⋅√36=310． ∴ 异面直线AE 与BC 所成角的大小为arccos 310．《上海市生活垃圾管理条例》于2019年7月1日正式实施，某小区全面实施垃圾分类处理，已知该小区每月垃圾分类处理量不超过300吨，每月垃圾分类处理成本y （元）与每月分类处理量x （吨）之间的函数关系式可近似表示为y =x 2−200x +40000，而分类处理一吨垃圾小区也可以获得300元的收益．(1)该小区每月分类处理多少吨垃圾，才能使得每吨垃圾分类处理的平均成本最低；(2)要保证该小区每月的垃圾分类处理不亏损，每月的垃圾分类处理量应控制在什么范围？ 【答案】解：(1)每吨垃圾分类处理的平均成本为： x 2−200x +40000+300x x =x +40000x +100≥2√x ⋅40000x+100=500，当且仅当x =40000x，即x =200时取等号，∴ 当该小区每月分类处理200吨垃圾时，才能使得每吨垃圾分类处理的平均成本最低．(2)令x 2−200x +40000≤300x ，即x 2−500x +40000≤0，解得：100≤x ≤400， 又x ≤300，故100≤x ≤300．∴ 每月的垃圾分类处理量控制在[100, 300]时，保证该小区每月的垃圾分类处理不亏损． 【考点】一元二次不等式的解法根据实际问题选择函数类型【解析】（1）根据基本不等式得出平均成本取得最小值时对应的x的值即可；（2）列不等式求出x的范围即可．【解答】解：(1)每吨垃圾分类处理的平均成本为：x2−200x+40000+300xx =x+40000x+100≥2√x⋅40000x+100=500，当且仅当x=40000x，即x=200时取等号，∴当该小区每月分类处理200吨垃圾时，才能使得每吨垃圾分类处理的平均成本最低．(2)令x2−200x+40000≤300x，即x2−500x+40000≤0，解得：100≤x≤400，又x≤300，故100≤x≤300．∴每月的垃圾分类处理量控制在[100, 300]时，保证该小区每月的垃圾分类处理不亏损．已知a是实常数，函数f(x)=a lg(1−x)−lg(1+x)．(1)若a=1，求证：函数y=f(x)是减函数；(2)讨论函数f(x)的奇偶性，井说明理由．【答案】解：(1)a=1时，f(x)=lg(1−x)−lg(1+x)=lg1−x1+x，∴{1−x>0，1+x>0.，解得：−1<x<1，令g(x)=1−x1+x =−1+2x+1，设−1<x1<x2<1，则g(x1)−g(x2)=2x1+1−2x2+1=2(x2−x1)(1+x1)(1+x2)，∵−1<x1<x2<1，∴2(x2−x1)(1+x1)(1+x2)>0，即g(x1)>g(x2)，∴g(x)在(−1, 1)上单调递减，∵y=lg t在(0, +∞)上单调递增，∴由复合函数的单调性可知，f(x)在(−1, 1)上单调递减；(2)∵f(x)=a lg(1−x)−lg(1+x)．∴f(−x)=a lg(1+x)−lg(1−x)．当a=−1，f(−x)=f(x)，即f(x)为偶函数；当a=1，f(−x)=−f(x)，即f(x)为奇函数；当a≠±1，非奇非偶函数．函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】（1）把a＝1代入可得f(x)＝lg(1−x)−lg(1+x)＝lg1−x1+x，然后求出函数定义域，结合复合函数的单调性及函数单调性的定义可证；（2）要判断f(x)的奇偶性，只要检验f(x)与f(−x)的关系即可．【解答】解：(1)a=1时，f(x)=lg(1−x)−lg(1+x)=lg1−x1+x，∴{1−x>0，1+x>0.，解得：−1<x<1，令g(x)=1−x1+x =−1+2x+1，设−1<x1<x2<1，则g(x1)−g(x2)=2x1+1−2x2+1=2(x2−x1)(1+x1)(1+x2)，∵−1<x1<x2<1，∴2(x2−x1)(1+x1)(1+x2)>0，即g(x1)>g(x2)，∴g(x)在(−1, 1)上单调递减，∵y=lg t在(0, +∞)上单调递增，∴由复合函数的单调性可知，f(x)在(−1, 1)上单调递减；(2)∵f(x)=a lg(1−x)−lg(1+x)．∴f(−x)=a lg(1+x)−lg(1−x)．当a=−1，f(−x)=f(x)，即f(x)为偶函数；当a=1，f(−x)=−f(x)，即f(x)为奇函数；当a≠±1，非奇非偶函数．如图是函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0, ω>0, 0≤φ≤π)一个周期内的图象，将f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移π2个单位长度，得到函数g(x)的图象．(1)求函数f(x)和g(x)的解析式；(2)若f(x0)=g(x0)，求sin(x0−π3)的所有可能的值；(3)求函数F(x)=f(x)+ag(x)（a为正常数）在区间(0, 19π)内的所有零点之和．【答案】解：(1)由图象可知：A =2，T =π， 所以：ω=2．所以f(x)=2sin (2x +φ)，又因为过点(0, 2)， 故2sin φ=2，即sin φ=1，φ=π2+2kπ(k ∈Z )，又因为0≤φ≤π，所以φ=π2．所以f(x)=2sin (2x +π2)=2cos 2x ，把函数f(x)=2sin (2x +π2)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，可得y =2sin (x +π2)，再把所得图象向右平移π2个单位长度， 得到函数g(x)=2sin x ； (2)由f(x 0)=g(x 0)可得：2cos 2x 0=2sin x 0，即：2sin 2x 0+sin x 0−1=0， 解得：sin x 0=−1或12，所以x 0=3π2+2kπ，或x 0=π6+2kπ或x 0=5π6+2kπ(k ∈Z )，所以sin (x 0−π3)=−12或1．(3)因为f(x)=2cos 2x ，g(x)=2sin x ， 所以F(x)=2cos 2x +2a sin x ，令F(x)=0，即cos 2x +a sin x =0， 即2sin 2x −a sin x −1=0，解得sin x =a+√a 2+84或a−√a 2+84，因为sin x ∈[−1, 1]且a >0，所以a−√a 2+84∈(−1, 0)，①当sin x =a−√a 2+84时，由y =sin x 的对称轴方程可得，sin x =a−√a 2+84在[(2k −1)π, 2kπ]，(1≤k ≤9, k ∈Z )有两个解，且两解之和为(2k −1)π+2kπ=4kπ−π， 则在(0, 19π)的根之和为3π+7π+11π+⋯+35π=(3π+35π)×92=171π；②当a+√a 2+84>1，即a >1时，方程sin x =a+√a 2+84无解； ③当a+√a 2+84=1，即a =1时，方程sin x =a+√a 2+84的解为x =2kπ+π2，(1≤k ≤9, k ∈Z ) 则在(0, 19π)的根之和为π2+5π2+9π2+⋯+37π2=(π+37π)×104=95π； ④当0<a+√a 2+84<1，即0<a <1时，方程sin x =a+√a 2+84在[2kπ, (2k +1)π]，(0≤k ≤9, k ∈Z )有两个解，且两解之和为2kπ+(2k +1)π=4kπ+π，则在(0, 19π)的根之和为π+5π+9π+⋯+37π=(π+37π)×102=190π；综上所求：当a >1时，所有零点之和为171π； 当a =1时，所有零点之和为171π+95π=266π；当0<a <1时，所有零点之和为171π+190π=361π． 【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式 函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 函数的零点 【解析】（1）由最值求出A ，由周期求出ω，再代入特殊点坐标出φ的值，可得f(x)的解析式，再利用函数y ＝A sin (ωx +φ)的图象变换规律得出g(x)的解析式．（2）利用二倍角公式求出x 0的所有可能值，求出sin (x 0−π3)的所有可能值． （3）对a 分类讨论，结合三角函数图象，求出每种情况下零点的和． 【解答】解：(1)由图象可知：A =2，T =π， 所以：ω=2．所以f(x)=2sin (2x +φ)，又因为过点(0, 2)， 故2sin φ=2，即sin φ=1，φ=π2+2kπ(k ∈Z )，又因为0≤φ≤π，所以φ=π2．所以f(x)=2sin (2x +π2)=2cos 2x ，把函数f(x)=2sin (2x +π2)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，可得y =2sin (x +π2)，再把所得图象向右平移π2个单位长度， 得到函数g(x)=2sin x ； (2)由f(x 0)=g(x 0)可得：2cos 2x 0=2sin x 0，即：2sin 2x 0+sin x 0−1=0， 解得：sin x 0=−1或12， 所以x 0=3π2+2kπ，或x 0=π6+2kπ或x 0=5π6+2kπ(k ∈Z )，所以sin (x 0−π3)=−12或1．(3)因为f(x)=2cos 2x ，g(x)=2sin x ， 所以F(x)=2cos 2x +2a sin x ，令F(x)=0，即cos 2x +a sin x =0， 即2sin 2x −a sin x −1=0，解得sin x =a+√a 2+84或a−√a 2+84，因为sin x ∈[−1, 1]且a >0，所以a−√a 2+84∈(−1, 0)，①当sin x =a−√a 2+84时，由y =sin x 的对称轴方程可得，sin x=a−√a2+84在[(2k−1)π, 2kπ]，(1≤k≤9, k∈Z)有两个解，且两解之和为(2k−1)π+2kπ=4kπ−π，则在(0, 19π)的根之和为3π+7π+11π+⋯+35π=(3π+35π)×92=171π；②当a+√a2+84>1，即a>1时，方程sin x=a+√a2+84无解；③当a+√a2+84=1，即a=1时，方程sin x=a+√a2+84的解为x=2kπ+π2，(1≤k≤9, k∈Z)则在(0, 19π)的根之和为π2+5π2+9π2+⋯+37π2=(π+37π)×104=95π；④当0<a+√a2+84<1，即0<a<1时，方程sin x=a+√a2+84在[2kπ, (2k+1)π]，(0≤k≤9, k∈Z)有两个解，且两解之和为2kπ+(2k+1)π=4kπ+π，则在(0, 19π)的根之和为π+5π+9π+⋯+37π=(π+37π)×102=190π；综上所求：当a>1时，所有零点之和为171π；当a=1时，所有零点之和为171π+95π=266π；当0<a<1时，所有零点之和为171π+190π=361π．对于定义在D上的函数=f(x)，如果存在两条平行直线l1:y=kx+b1与l2:y=kx+ b2(b1≠b2)，使得对于任意x∈D，都有kx+b1≤f(x)≤kx+b2恒成立，那么称函数y=f(x)是带状函数，若l1，l2之间的最小距离d存在，则称d为带宽．(1)判断函数f(x)=sin x+cos x是不是带状函数？如果是，指出带宽（不用证明）；如果不是，说明理由；(2)求证：函数g(x)=√x2−1(x≥1)是带状函数；(3)求证：函数ℎ(x)=a|x−x1|+b|x−x2|(x1<x2)为带状函数的充要条件是a+b= 0．【答案】(1)解：因为f(x)=sin x+cos x=√2sin(x+π4)∈[−√2, √2]，所以−√2≤f(x)≤√2，故f(x)=sin x+cos x是带状函数，带宽为2√2．(2)证明：设y=√x2−1，即x2−y2=1，所以函数g(x)的图象是双曲线x2−y2=1的一部分．因为双曲线x2−y2=1的一条渐近线为y=x，所以存在直线l1:y=x−1，l2:y=x，使得x−1≤g(x)≤x．因为x≥1，(√x2−1)2−(x−1)2=2x−2≥0，所以g(x)≥x−1，而显然√x2−1<x，故x−1≤g(x)≤x，函数g(x)是带状函数．(3)证明：当a>0，b>0时，ℎ(x)=a|x−x1|+b|x−x2|={−(a +b)x +ax 1+bx 2,x ≤x 1,(a −b)x −ax 1+bx 2,x 1<x <x 2,(a +b)x −ax 1−bx 2,x ≥x 2,先证明充分性，当a +b =0时，ℎ(x)={ax 1+bx 2,x ≤x 1,(a −b)x −ax 1+bx 2,x 1<x <x 2,−ax 1−bx 2,x ≥x 2,不妨设a 1x +bx 2≥0，则−(ax 1+bx 2)≤ℎ(x)≤ax 1−bx 2，即存在直线y 1=−(ax 1+bx 2)，y 2=ax 1−bx 2，满足题意， 即函数ℎ(x)=a|x −x 1|+b|x −x 2|(x 1<x 2)为带状函数；再证明必要性，当函数ℎ(x)=a|x −x 1|+b|x −x 2|(x 1<x 2)为带状函数， 即存在kx −b 1≤ℎ(x)≤kx −b 2，ℎ(x)=a|x −x 1|+b|x −x 2|={−(a +b)x +ax 1+bx 2,x ≤x 1,(a −b)x −ax 1+bx 2,x 1<x <x 2,(a +b)x −ax 1−bx 2,x ≥x 2,当a +b ≠0时，则直线y =kx −b 与y =−(a +b)x +(ax 1+bx 2)，y =(a +b)x −(ax 1+bx 2)中至少一条相交，故不满足kx −b 1≤ℎ(x)≤kx −b 2，故a +b ≠0不满足题意，即a +b =0．故函数ℎ(x)=a|x −x 1|+b|x −x 2|(x 1<x 2)为带状函数的充要条件是a +b =0． 【考点】函数新定义问题必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】（1）根据辅助角公式，将函数化简即可判断；（2）将函数化简可知，函数图象是双曲线的一部分，结合双曲线图象可知，存在渐近线以及与渐近线平行的直线满足题意，即能证明得出；（3）由分段函数的图象特征，结合带状函数的定义，分别证明充分性及必要性即可． 【解答】(1)解：因为f(x)=sin x +cos x =√2sin (x +π4)∈[−√2, √2]， 所以−√2≤f(x)≤√2，故f(x)=sin x +cos x 是带状函数，带宽为2√2． (2)证明：设y =√x 2−1，即x 2−y 2=1，所以函数g(x)的图象是双曲线x 2−y 2=1的一部分． 因为双曲线x 2−y 2=1的一条渐近线为y =x ，所以存在直线l 1:y =x −1，l 2:y =x ，使得x −1≤g(x)≤x ． 因为x ≥1，(√x 2−1)2−(x −1)2=2x −2≥0， 所以g(x)≥x −1，而显然√x 2−1<x ， 故x −1≤g(x)≤x ，函数g(x)是带状函数．(3)证明：当a >0，b >0时，ℎ(x)=a|x −x 1|+b|x −x 2| ={−(a +b)x +ax 1+bx 2,x ≤x 1,(a −b)x −ax 1+bx 2,x 1<x <x 2,(a +b)x −ax 1−bx 2,x ≥x 2,先证明充分性，当a +b =0时，ℎ(x)={ax 1+bx 2,x ≤x 1,(a −b)x −ax 1+bx 2,x 1<x <x 2,−ax 1−bx 2,x ≥x 2,不妨设a 1x +bx 2≥0，则−(ax 1+bx 2)≤ℎ(x)≤ax 1−bx 2，即存在直线y 1=−(ax 1+bx 2)，y 2=ax 1−bx 2，满足题意，即函数ℎ(x)=a|x −x 1|+b|x −x 2|(x 1<x 2)为带状函数；再证明必要性，当函数ℎ(x)=a|x −x 1|+b|x −x 2|(x 1<x 2)为带状函数， 即存在kx −b 1≤ℎ(x)≤kx −b 2，ℎ(x)=a|x −x 1|+b|x −x 2|={−(a +b)x +ax 1+bx 2,x ≤x 1,(a −b)x −ax 1+bx 2,x 1<x <x 2,(a +b)x −ax 1−bx 2,x ≥x 2,当a +b ≠0时，则直线y =kx −b 与y =−(a +b)x +(ax 1+bx 2)，y =(a +b)x −(ax 1+bx 2)中至少一条相交，故不满足kx −b 1≤ℎ(x)≤kx −b 2，故a +b ≠0不满足题意，即a +b =0．故函数ℎ(x)=a|x −x 1|+b|x −x 2|(x 1<x 2)为带状函数的充要条件是a +b =0．。

北京一六一中学高三年级第一学期期中考试理科数学试题一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知全集，集合，，则（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，，所以。

选：A。

2.极坐标方程和参数方程（为参数）所表示的图形分别是（）．A. 直线、直线B. 圆、圆C. 直线、圆D. 圆、直线【答案】D【解析】由，得，将代入上式得，故极坐标方程表示的图形为圆；由消去参数整理得，故参数方程表示的图形为直线。

选D。

3.设，则（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】由条件得，所以。

选A。

4.若非零平面向量，满足，则（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】由得，，所以，整理得，所以。

选D。

5.在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A. ①和②B. ③和①C. ④和③D. ④和②【答案】D【解析】在空间直角坐标系中，根据所给的条件标出已知的四个点，结合三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②。

选D。

6.如图，小明从街道的处出发，先到处与小红会合，在一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，小明从街道的E处出发到F处最短路程有条，再从F处到G处最短路程有条，故小明从老年公寓可以选择的最短路径条数为条。

选B。

7.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于，，则与的面积之比（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】∵抛物线方程为，∴抛物线的焦点坐标为，准线方程为。

如图，设，，过A,B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的定义可得，∴。

将代入得，∴点的坐标为。

7.设四边形 ABCD 为平行四边形， AB 6, AD4 ，若点 M , N 满足 BM3MC, DN 2NC, 则安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学AMNM 等于（）A ．20B ．15C ． 9D ．62019 年高三上学期期中考试联考试卷考试科目：理科数学 满分：150 分 时间：120 分钟8.已知数列{ } 2 1，，则 a 2019 等于（）．a 中，13 a 6 a， ，a naan2nnA ．3B ．3C ．6D ．6 命题者：连春蔚 审核者：苏灿强 周彩瑛 唐群海第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）9. 函数 f xAsin2x, A 0部分图象如图所示，且 f afb 0 ，对不同的2一．选择题：每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合 M{x 1 2 x 1}, N {x x26x 8 0},则 M N ()x 1, x 2 a,b ，若 fxfx ，有123f x x，则（）12A.（2,3]B. （2,3）C. [1,4）D. （1,4）5 A ． fx在,12 125上是减函数B ． fx在,12 12上是增函数2. 已知i 为虚数单位， zA.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2i 68i，设 z 是 z 的共轭复数,则在复平面内 z 对应的点位于( )5 C ． f x在,3 65 上是减函数D ． fx在 , 3 6上是增函数 10. 已知定义在 上的函数 f (x) 满足 f (x) f (2 x) ，且 f (x) 的图象关于点（3,0）对称，3."x 24x 3 0"的一个充分不必要条件是（ ）A. 2 x 3B 1x 4C1 x 3 D2 x 44. 将曲线 y 2sin(4x ) 上的每个点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到的曲线的对称51609f ( ) ( ) 2当1x 2时,f (x) 2xlog (4x3) ，则3 A. -4 B.4 C. -5D. 5轴方程为( )A.3 k x(kZ )B.80 83 k x (k Z )20 2 3 k x (k Z )80 2y x y x与曲线 围成,则毎片叶子的面积为()222 3.D.C.3 k x (kZ )D.80 85. 图中的 4 片叶子由曲线 A.1 63 6 1 3a a 611. 若函数f (x) 2x ax (a 0)在,32上有最大值，则 a 的取值范围为()( )23A. [—4,0)B .(,4] C.[2, 0)D.(,2]12. 用x 表示不超过 x 的最大整数，例如[3] 3，[1.2]1，[ 1.3] 2.已知数列11a 满足 a，n111aaa ，则2 [...] n 1nna1 a 1a1122016A ．1B ．2016 C.2017D ． 0B.6.设等差数列{a}的前n项和为S n，若a111，4a 6a则当S n取最小值时，n等于（）n 6第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置.A6B．7C．8D．9 ．13.已知向量 ba，的夹角为1200，,且a 2，a 2b 27，则b=.1314.若0,0,cos(),cos(),则cos()2243423 2115.正项等比数列{ } a a m n N使得 2 762 5a 中,存在两项 , ( ,) a a16a ,且 aa a ，nmnm n1x y 2220.在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C :1 ab 0 的离心率为ab221 2，点3 M (1, )在椭圆C 上. 2则 1 25 的最小值为 m n（Ⅰ）求椭圆C 的方程；16. 已 知 函 数 f (x) 的 定 义 域 为 (0,) ， 其 导 函 数 f / (x) 满 足 f (x) xf / (x) x f (x) x 1对（Ⅱ）已知 P2, 0与Q 2, 0为平面内的两个定点，过点1,0的直线l 与椭圆C 交于 A, B 两点，求四边形 APBQ 面积的最大值.x (0,) 恒成立，且 f (1) 2，则不等式(x1) f (x1)x 2 的解集是。

2019-2020学年高三第二学期期中（理科）数学试卷一、选择题.1．已知（a+i）（2﹣i）为纯虚数，则实数a的值是（）A．﹣1B．C．D．12．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{a+b|a∈A，b∈A}，则集合B的子集个数为（）A．8B．16C．32D．643．已知曲线f（x）＝alnx+x2在点（1，1）处的切线与直线x+y＝0平行，则实数a的值为（）A．﹣3B．1C．2D．34．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6＝12，a2＝5，则a5＝（）A．﹣3B．﹣1C．1D．35．已知a＝1.20.3，b＝log0.31.2，c＝log1.23，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．b＜a＜c6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为（）A．2B．C．D．7．函数的最小值为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．8．抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A，B是抛物线C上两点，且|AF|+|BF|＝10，O为坐标原点，若△OAB的重心为F，则p＝（）A．1B．2C．3D．49．执行如图所示的程序框图，若输入的ε＝3，则输出的结果为（）A．511B．1022C．1023D．204610．我们知道，在n次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件A发生的概率为p，则事件A发生的次数X服从二项分布B（n，p），事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A首次发生时试验进行的次数Y，显然P（Y＝k）＝p（1﹣p）k﹣1，k＝1，2，3，…，我们称Y服从“几何分布”，经计算得．由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件A和都发生后停止，此时所进行的试验次数记为Z，则P（Z＝k）＝p（1﹣p）k﹣1+（1﹣p）p k﹣1，k═2，3，…，那么E（Z）＝（）A．B．C．D．11．已知双曲线）的左右焦点分别为F1，F2，F1的直线l与双曲线C的两支分别交于A，B两点，∠AF2B＝90，|AB|＝4a，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2D．12．已知A，B，C，D四点均在半径为R（R为常数）的球O的球面上运动，且AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥BC，若四面体ABCD的体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．B．2πC．D．二、填空题13．已知均为单位向量，且，则向量与夹角的余弦值为14．已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则展开式中x的系数为15．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，，D为棱A1B1的中点，则异面直线AD 与CB1成角的大小为16．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），当x∈[﹣1，1]时f（x）＝e1﹣|x|﹣2，则关于函数f（x）有如下四个结论：①f（x）为偶函数；②f（x）的图象关于直线x＝2对称；③方程f（x）＝1﹣|x|有两个不等实根；④其中所有正确结论的编号是三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．如图，在△ABC中，，点D在边AB上．（1）若：sin（C﹣A）＝1，求sin A的值；（2）若∠CDA＝90°，BD＝4DA，求sin∠ACB的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB∥CD，且CD＝2AB＝2，BC＝2，M为BC的中点．（1）求证：平面PDM⊥平面PAM；（2）若二面角P﹣DM﹣A为30°，求直线PC与平面PDM所成角的正弦值．19．新型冠状病毒肺炎COVID﹣19疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延．在全国人民的共同努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制．然而，每个国家在疫情发生初期，由于认识不足和措施不到位，感染确诊人数都会出现加速增长．如表是小王同学记录的某国从第一例新型冠状病毒感染确诊之日开始，连续8天每日新型冠状病毒感染确诊的累计人数．日期代码x12345678累计确诊人数481631517197122为了分析该国累计感染确诊人数的变化趋势，小王同学分别用两种模型：，②＝dx+c对变量x和y的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下（注：残差，且经过计算得≈17.3，≈1.9，其中z i＝x，＝z i（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由；（2）根据（1）中选定的模型求出相应的回归方程；（3）如果第9天该国仍未采取有效的防疫措施，试根据（2）中所求的回归方程估计该国第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数．（结果保留为整数）附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．20．已知函数f（x）＝3x﹣（a+1）lnx，g（x）＝x2﹣ax+4．（1）若函数y＝f（x）+g（x）在其定义域内单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使得函数y＝f（x）﹣g（x）的图象与x轴相切？若存在，求满足条件的a的个数，请说明理由．21．已知椭圆Γ＞0）的离心率为，过椭圆Γ的焦点且垂直于x轴的直线被椭圆Γ截得的弦长为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设点A，B均在椭圆Γ上，点C在抛物线上，若△ABC的重心为坐标原点O，且△ABC的面积为，求点C的坐标．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝cosθ．（1）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；（2）过动点．P（x0，y0）（y02＜x0）且平行于l的直线交曲线C于A，B两点，若|PA|•|PB|＝2，求动点P到直线I的最近距离．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣1|﹣2|x﹣2|．（1）若关于x的不等式f（x）≤a有解，求实数a的取值范围；（2）若不等式f（x）≤|x﹣b|﹣4对任意x∈R成立，求实数b的取值范围．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知（a+i）（2﹣i）为纯虚数，则实数a的值是（）A．﹣1B．C．D．1【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．解：∵（a+i）（2﹣i）＝（2a+1）+（2﹣a）i为纯虚数，∴，解得a＝﹣．故选：B．2．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{a+b|a∈A，b∈A}，则集合B的子集个数为（）A．8B．16C．32D．64【分析】根据题意求出B中的元素，再求子集个数．解：∵集合A＝{1，2，3}，B＝{a+b|a∈A，b∈A}，∴B＝{2，3，4，5，6}，∴集合B的子集个数为32，故选：C．3．已知曲线f（x）＝alnx+x2在点（1，1）处的切线与直线x+y＝0平行，则实数a的值为（）A．﹣3B．1C．2D．3【分析】求得f（x）的导数，可得切线的斜率，运用有斜率的两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a的值．解：f（x）＝alnx+x2的导数为f′（x）＝+2x，可得曲线在点（1，1）处的切线斜率为k＝a+2，由切线与直线x+y＝0平行，可得k＝﹣1，即a+2＝﹣1，解得a＝﹣3，故选：A．4．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6＝12，a2＝5，则a5＝（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【分析】利用等差数列的求和公式及其性质即可得出．解：∵S6＝12，a2＝5，∴12＝，解得a5═﹣1．故选：B．5．已知a＝1.20.3，b＝log0.31.2，c＝log1.23，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．b＜a＜c【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．解：∵0＜1.20.3＜1.21＝1.2，∴1＜a＜1.2，∵log0.31.2＜log0.31＝0，∴b＜0，∵log1.23＞log1.21.44＝2，∴c＞2，∴b＜a＜c，故选：D．6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为（）A．2B．C．D．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用勾股定理的应用求出最大棱长BD或AC．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥体D﹣ABC．如图所示：所以AC＝＝＝．故选：C．7．函数的最小值为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．【分析】先利用诱导公式、降幂公式、将函数式化成关于cos2x的二次函数，然后求解．解：22x令t＝cos2x，则原函数化为，y＝，该函数在[﹣1，]上递增，在上递减．易知t＝﹣1时，y min＝﹣1．故选：B．8．抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A，B是抛物线C上两点，且|AF|+|BF|＝10，O为坐标原点，若△OAB的重心为F，则p＝（）A．1B．2C．3D．4【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），由|AF|+|BF|＝10，可得．结合△OAB的重心坐标，即可求得p．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），∵|AF|+|BF|＝10，则．∵△OAB的重心为F，∴，∴，∴p＝4．故选：D．9．执行如图所示的程序框图，若输入的ε＝3，则输出的结果为（）A．511B．1022C．1023D．2046【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的x的值，当x＝210时，不满足条件，退出执行循环体，S＝1022．解：当x＝1，s＝0，此时x＝2，满足lg2＜3，执行循环体，s＝0+2＝2＝22﹣2，x＝4＝22，满足lg4＜3，执行循环体，s＝2+4＝6＝32﹣2，x＝8＝23，满足lg8＜3，执行循环体，s＝6+8＝14＝24﹣2，x＝24，满足lg16＜3，执行循环体，s＝14+16＝30＝25﹣2，x＝25，满足lg32＜3，执行循环体，s＝30+32＝62＝26﹣2，x＝26，…满足lg29＜3，执行循环体，s＝210﹣2，x＝210，不满足lg210＜3，退出循环体，输出此时的S＝210﹣2＝1022，故选：B．10．我们知道，在n次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件A发生的概率为p，则事件A发生的次数X服从二项分布B（n，p），事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A首次发生时试验进行的次数Y，显然P（Y＝k）＝p（1﹣p）k﹣1，k＝1，2，3，…，我们称Y服从“几何分布”，经计算得．由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件A和都发生后停止，此时所进行的试验次数记为Z，则P（Z＝k）＝p（1﹣p）k﹣1+（1﹣p）p k﹣1，k═2，3，…，那么E（Z）＝（）A．B．C．D．【分析】P（Z＝k）＝p（1﹣p）k﹣1+（1﹣p）p k﹣1，k═2，3，…，P（Y＝k）＝p（1﹣p）k﹣1，k＝1，2，3，…，可得．于是P（Y＝k）＝p（1﹣p）k﹣1，k＝2，3，…，﹣p．而E（Z）＝2p（1﹣p）+2（1﹣p）p+3p（1﹣p）2+3（1﹣p）p2+……+kp （1﹣p）k﹣1+k（1﹣p）p k﹣1+…．＝﹣p+2（1﹣p）p+3（1﹣p）p2+……+k（1﹣p）p k ﹣1+…．设A k＝2p+3p2+……+kp k﹣1．利用错位相减法即可得出A k．解：P（Z＝k）＝p（1﹣p）k﹣1+（1﹣p）p k﹣1，k═2，3，…，P（Y＝k）＝p（1﹣p）k﹣1，k＝1，2，3，…，可得．∴P（Y＝k）＝p（1﹣p）k﹣1，k＝2，3，…，﹣p．那么E（Z）＝2p（1﹣p）+2（1﹣p）p+3p（1﹣p）2+3（1﹣p）p2+……+kp（1﹣p）k﹣1+k（1﹣p）p k﹣1+…＝﹣p+2（1﹣p）p+3（1﹣p）p2+……+k（1﹣p）p k﹣1+…．设A k＝2p+3p2+……+kp k﹣1．pA k＝2p2+3p3+……+（k﹣1）p k﹣1+kp k．∴（1﹣p）A k＝2p+p2+p3+……+p k﹣1﹣kp k＝p+﹣kp k．∴k→+∞时，（1﹣p）A k→p+．∴E（Z）＝﹣p+p+＝﹣1．故选：A．11．已知双曲线）的左右焦点分别为F1，F2，F1的直线l与双曲线C的两支分别交于A，B两点，∠AF2B＝90，|AB|＝4a，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2D．【分析】作出示意图，根据双曲线定义可转化得到BF2＝AF2，结合∠AF2B＝90，|AB|＝4a，可求出BF2＝AF2＝2a，则BF1＝（2﹣2）a，利用余弦定理表示出a2与c2的关系，进而可得到e的值．解：不妨设A在B的右侧，作出示意图如图：根据双曲线的定义：AF1﹣AF2＝2a，BF2﹣BF1＝2a，则BF2＝BF1+2a，且有AF1＝AB+BF1＝4a+BF1，代入可得AF2＝2a+BF1，则BF2＝AF2，因为∠AF2B＝90，则∠ABF2＝∠BAF2＝45°，且AB2＝AF22+BF22，则BF2＝AF2＝2a，则BF1＝（2﹣2）a，在△BF1F2中，∠BF1F2＝135°，则cos135°＝，即﹣＝，整理可得e2＝＝3，则e＝，故选：B．12．已知A，B，C，D四点均在半径为R（R为常数）的球O的球面上运动，且AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥BC，若四面体ABCD的体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．B．2πC．D．【分析】由题意要使四面体的体积最大，则D在底面ABC的投影恰好为底面三角形外接圆的圆心N，则外接球的球心在DN上，求出三棱锥的体积，由均值不等式可得R的值，进而求出外接球的表面积．解：因为AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥BC，作AN⊥BC于N，则N为BC的中点，且AN ＝，若四面体ABCD的体积的最大值时，则DN⊥面ABC，则外接球的球心在DN上，设为O，设外接球的半径为R，连接OA，则OA＝OD＝R，V D﹣ABC＝•BC•AN•DN＝•2AN•AN•（R+ON）＝AN2•（R+ON）＝（OA2﹣ON2）（R+ON）＝（R+ON）（R﹣ON）（R+ON）＝（R+ON）（2R﹣2ON）（R+ON）＝•（）3，当且仅当2R﹣2ON＝R+ON，即R＝3ON时取等号，因为三棱锥的最大体积为，所以•（）3＝，可得R＝，所以外接球的表面积为S＝4πR2＝4＝，故选：C．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．已知均为单位向量，且，则向量与夹角的余弦值为【分析】根据条件知，然后根据即可得出，然后进行数量积的运算即可求出，从而可求出与夹角的余弦值．解：∵，，∴＝，∴，∴．故答案为：．14．已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则展开式中x的系数为560【分析】利用二项式系数的性质求得n＝7，再利用二项式展开式的通项公式令x的指数为1求出人r，可得结论．解：由题意可得＝，求得n＝7，故展开式第r+1项为T r+1＝•（﹣2）r•x；r＝0，1…7；令7﹣r＝1⇒r＝4，∴展开式中x的系数为：•（﹣2）4＝560，故答案为：560．15．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，，D为棱A1B1的中点，则异面直线AD 与CB1成角的大小为【分析】可画出图形，根据条件可得出，，然后根据条件即可求出，并求出，从而根据向量夹角的余弦公式求出，从而可得出异面直线AD与CB1成角的大小．解：如图，＝，，且，侧棱和底面垂直，∴＝＝，，∴，且，∴，∴异面直线AD与CB1成角的大小为．故答案为：．16．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），当x∈[﹣1，1]时f（x）＝e1﹣|x|﹣2，则关于函数f（x）有如下四个结论：①f（x）为偶函数；②f（x）的图象关于直线x＝2对称；③方程f（x）＝1﹣|x|有两个不等实根；④其中所有正确结论的编号是①②【分析】由题意判断f（x）是周期的函数，且为偶函数，由此判断所给的命题是否正确即可．解：对于①，由题意知f（x+2）＝f（x），所以f（x）是周期为2的函数；当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝e1﹣|x|﹣2，f（﹣x）＝e1﹣|﹣x|﹣2＝e1﹣|x|﹣2＝f（x），所以f（x）为偶函数，①正确；对于②，f（x）是偶函数，对称轴是x＝0，又f（x）是周期为2的函数，所以f（x）的图象关于直线x＝2对称，②正确；对于③，方程f（x）＝1﹣|x|化为e1﹣|x|﹣2＝1﹣|x|，设t＝1﹣|x|，则方程化为e t＝2+t，t∈[0，1]；由函数y＝e t和y＝2+t，t∈[0，1]的图象知，图象没有交点，方程无实数根，③错误；对于④，f（x）是周期为2的函数，且为偶函数，在[0，1]上是单调减函数；所以f（）＝f（﹣8）＝f（﹣）＝f（）；又0＜＜＜1，所以f（）＞f（），即f（）＞f（），所以④错误．综上知，正确的命题序号是①②．故答案为：①②．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．如图，在△ABC中，，点D在边AB上．（1）若：sin（C﹣A）＝1，求sin A的值；（2）若∠CDA＝90°，BD＝4DA，求sin∠ACB的值．【分析】（1）由A，C的范围，结合sin（C﹣A）＝1，所以C﹣A＝，再利用sin B ＝sin（A+C）结合二倍角公式即可求出sin A＝；（2）设DA＝x，则BD＝4x，由sin B＝得BC＝3CD，由勾股定理求出CD＝x，进而求出AC＝x，在△ABC中，由正弦定理即可求得sin∠ACB得值．解：（1）∵0＜A＜π，0＜C＜π，∴﹣π＜C﹣A＜π，又∵sin（C﹣A）＝1，∴C﹣A＝，∴C＝A+，∴sin B＝sin（A+C）＝sin（2A+）＝cos2A＝1﹣2sin2A＝，∴sin2A＝，又A∈（0，π），∴sin A＝；（2）设DA＝x，则BD＝4x，∴∠CDA＝90°，sin B＝，∴，∴BC＝3CD，∴BC2＝BD2+CD2，∴9CD2＝16x2+CD2，∴CD＝x，∴AC2＝AD2+CD2＝3x2，∴AC＝x，在△ABC中，由正弦定理得：，∴，∴sin∠ACB＝．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB∥CD，且CD＝2AB＝2，BC＝2，M为BC的中点．（1）求证：平面PDM⊥平面PAM；（2）若二面角P﹣DM﹣A为30°，求直线PC与平面PDM所成角的正弦值．【分析】（1）在直角梯形ABCD中，求解三角形可得AD2＝AM2+DM2，则DM⊥AM．再由PA⊥面ABCD，得DM⊥PA，利用线面垂直的判定可得DM⊥平面PAM，进一步得到平面PDM⊥平面PAM；（2）由（1）知，PM⊥DM，AM⊥DM，则∠PMA为二面角P﹣DM﹣A的平面角为30°，求得PA＝AM•tan30°＝1．以A为坐标原点，分别以AE，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出的坐标及平面PDM的一个法向量，由与所成角的余弦值可得直线PC与平面PDM所成角的正弦值．【解答】（1）证明：在直角梯形ABCD中，由已知可得，AB＝1，CD＝2，BM＝CM＝，可得AM2＝3，DM2＝6，过A作AE⊥CD，垂足为E，则DE＝1，AE＝，求得AD2＝9，则AD2＝AM2+DM2，∴DM⊥AM．∵PA⊥面ABCD，∴DM⊥PA，又PA∩AM＝A，∴DM⊥平面PAM，∵DM⊂平面PDM，∴平面PDM⊥平面PAM；（2）解：由（1）知，PM⊥DM，AM⊥DM，则∠PMA为二面角P﹣DM﹣A的平面角为30°，则PA＝AM•tan30°＝1．以A为坐标原点，分别以AE，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P（0，0，1），D（，﹣1，0），C（，1，0），M（，1，0），，，．设平面PDM的一个法向量为，由，取x＝1，得＝（1，，）．∴直线PC与平面PDM所成角的正弦值为|cos＜，＞|＝＝．19．新型冠状病毒肺炎COVID﹣19疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延．在全国人民的共同努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制．然而，每个国家在疫情发生初期，由于认识不足和措施不到位，感染确诊人数都会出现加速增长．如表是小王同学记录的某国从第一例新型冠状病毒感染确诊之日开始，连续8天每日新型冠状病毒感染确诊的累计人数．日期代码x12345678累计确诊人数481631517197122为了分析该国累计感染确诊人数的变化趋势，小王同学分别用两种模型：，②＝dx+c对变量x和y的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下（注：残差，且经过计算得≈17.3，≈1.9，其中z i＝x，＝z i（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由；（2）根据（1）中选定的模型求出相应的回归方程；（3）如果第9天该国仍未采取有效的防疫措施，试根据（2）中所求的回归方程估计该国第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数．（结果保留为整数）附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．【分析】（1）根据残差点分布的区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高即可得解；（2）因为z i＝x，所以，然后结合数据和公式分别算出，，即可得到y关于z的回归方程，进而得到y关于x的回归方程；（3）把x＝9代入回归方程算出即可得解．解：（1）因为残差，所以残差点分布的区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，所以模型①的拟合效果更好．（2）因为z i＝x且，所以，由表格中数据可知，，，所以，，所以，故所求的回归方程为．（3）当x＝9时，有，故估计该国第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数为156人．20．已知函数f（x）＝3x﹣（a+1）lnx，g（x）＝x2﹣ax+4．（1）若函数y＝f（x）+g（x）在其定义域内单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使得函数y＝f（x）﹣g（x）的图象与x轴相切？若存在，求满足条件的a的个数，请说明理由．【分析】（1）根据导数和函数的单调性的关系，分离参数，即可求出a的取值范围；（2）函数y＝f（x）﹣g（x）的图象与x轴相切，且存在f（x）的极值等于0，根据导数和函数的极值的关系即可求出．解：（1）y＝f（x）+g（x）＝3x﹣（a+1）lnx+x2﹣ax+4在（0，+∞）上单调递增，∴y′＝3﹣+2x﹣a≥0，在（0，+∞）上恒成立，即a≤＝＝2（x+1）﹣﹣1，易知y＝2（x+1）﹣﹣1在（0，+∞）上为增函数，∴y＝2（x+1）﹣﹣1＞2﹣4﹣1＝﹣1，∴a≤﹣1；（2）函数y＝f（x）﹣g（x）＝3x﹣（a+1）lnx﹣x2+ax﹣4，设h（x）＝3x﹣（a+1）lnx﹣x2+ax﹣4，x＞0，∴h′（x）＝3﹣﹣2x+a＝＝﹣＝﹣，令h′（x）＝0，解得x＝或x＝1，①当a+1≤0时，即a≤﹣1时，当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）max＝h（1）＝a﹣2＝0，解得a＝2（舍去），②当a＞﹣1时，h′（x）＝0，即极值点为x＝或x＝1，∵函数y＝f（x）﹣g（x）的图象与x轴相切，∴h（）＝0或h（1）＝0，当h（1）＝0时，h（1）＝a﹣2＝0，解得a＝2，当h（）＝0时，可得﹣（a+1）ln（）﹣（）2+a×﹣4＝0，设＝t，则t＞0，则3t﹣2tlnt﹣t2+（2t﹣1）t﹣4＝0，即t2+2t﹣2tlnt﹣4＝0，设φ（t）＝t2+2t﹣2tlnt﹣4，t＞0，∴φ′（t）＝2t+2﹣2（1+lnt）＝2（t﹣lnt），再令m（t）＝t﹣lnt，t＞0，∴m′（t）＝1﹣＝，当0＜t＜1时，m′（t）＜0，函数m（t）单调递减，当t＞1时，m′（t）＞0，函数m（t）单调递增，∴m（t）≥m（1）＝0，∴φ′（t）≥0，∴φ（t）在（0，+∞）上单调递增，∵φ（1）＝﹣1＜0，φ（2）＝4﹣4ln2＞0，∴存在t0∈（1，2），使得φ（t0）＝0，即∈（1，2），即a∈（1，3），综上所述存在实数一个实数a∈（1，3），得使得函数y＝f（x）﹣g（x）的图象与x轴相切．21．已知椭圆Γ＞0）的离心率为，过椭圆Γ的焦点且垂直于x轴的直线被椭圆Γ截得的弦长为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设点A，B均在椭圆Γ上，点C在抛物线上，若△ABC的重心为坐标原点O，且△ABC的面积为，求点C的坐标．【分析】（1）运用离心率公式和垂直于x轴的弦长公式，以及a，b，c的关系解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程；（2）设AB：x＝my+t，联立椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式、三角形的重心坐标，可得C的坐标，代入抛物线方程，结合三角形的面积公式，计算可得C的坐标．解：（1）根据题意得，又因为b2＝a2﹣c2，解得a2＝2，则b2＝1，所以椭圆Γ的方程为：；（2）设AB：x＝my+t，联立椭圆方程x2+2y2＝2，可得（2+m2）y2+2mty+t2﹣2＝0，△＝4m2t2﹣4（2+m2）（t2﹣2）＝8（m2﹣t2+2）＞0①设A（x1，y1），B（x2，y2），y1+y2＝﹣，可得y C＝﹣（y1+y2）＝，x C＝﹣（x1+x2）＝﹣[m（y1+y2）+2t]＝﹣，由C在抛物线y2＝x上，可得（）2＝•（﹣），则m2＝﹣②（t ＜﹣），由S△ABO＝|OA|•|OB|•sin∠AOB＝＝＝|x1y2﹣x2y1|，则S△ABC＝3S△ABO＝|x1y2﹣x2y1|＝|（my1+t）y2﹣（my2+t）y1|＝|t（y1+y2）|＝||＝，可得||＝③，将②代入③整理可得[t（2t+1）]2﹣4t（2t+1）+3＝0，解得t＝﹣1或﹣，相应的m2＝2或1．所以C（1，±），或C（2，±1）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝cosθ．（1）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；（2）过动点．P（x0，y0）（y02＜x0）且平行于l的直线交曲线C于A，B两点，若|PA|•|PB|＝2，求动点P到直线I的最近距离．【分析】（1）运用极坐标和直角坐标的关系，以及两角查的正弦公式，化简可得所求直角坐标方程；（2）设出过P且平行于l的直线的参数方程，代入抛物线方程，化简整理，运用韦达定理和参数的几何意义，运用点到直线的距离公式和二次函数的最值求法，可得所求最值．解：（1）直线l的极坐标方程为，即为（ρsinθ﹣ρcosθ）＝，即ρsinθ﹣ρcosθ＝2，可得y﹣x＝2，即x﹣y+2＝0；曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝cosθ，即为ρ2sin2θ＝ρcosθ，可得y2＝x；（2）设P（x0，y0）（y02＜x0）且平行于l的直线的参数方程设为（t为参数），代入抛物线方程y2＝x，可得t2+t（y0﹣）+y02﹣x0＝0，设PA，PB对应的参数分别为t1，t2，可得t1t2＝2（y02﹣x0），又|PA|•|PB|＝2，即有|y02﹣x0|＝1，由y02＜x0，可得y02＝x0﹣1，即x0＝1+y02，P到直线l：x﹣y+2＝0的距离d＝＝＝[（y0﹣）2+]，当y0＝，x0＝时，动点P到直线l的最近距离为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣1|﹣2|x﹣2|．（1）若关于x的不等式f（x）≤a有解，求实数a的取值范围；（2）若不等式f（x）≤|x﹣b|﹣4对任意x∈R成立，求实数b的取值范围．【分析】（1）绝对值，化为分段函数，求出函数的值域，即可求出a的范围，（2）画出相对应的函数的图象，结合图象可得b的取值范围．解：（1）f（x）＝|x+1|+|x﹣1|﹣2|x﹣2|＝，∴f（x）的值域为[﹣4，4]，∵关于x的不等式f（x）≤a有解，∴a≥﹣4，（2）y＝f（x）与y＝|x﹣b|﹣4对的图象如图所示：由图象知，要使f（x）≤|x﹣b|﹣4对任意x∈R成立，只需要f（2）≤|2﹣b|﹣4，且b＜0解得b≤﹣6，故b得取值范围为（﹣∞，﹣6]．。