ch2逻辑代数基础

2007、3、7
2. 与普通代数相似的定律
交换律 A·B=B·A
A+B=B+A
结合律 (A·B)·C=A·(B·C) (A+B)+C=A+(B+C)
分配律 A·(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C)
以上定律可以用真值表证明，也可以用公式证明。例如， 证明加对乘的分配律A+BC=(A+B)(A+C)。
事情通过为逻辑“1”， 没通过为逻辑“0”。
第三步：根据题义及上述规定 列出函数的真值表如表。
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一般地说，若输入逻辑变量A、B、 C…的取值确定以后，输出逻辑变量L的 值也唯一地确定了，就称L是A、B、C的
逻辑函数，写作：
L=f（A，B，C…）
逻辑函数与普通代数中的函数相比较，有两个 突出的特点： （1）逻辑变量和逻辑函数只能取两个值0和1。 （2）函数和变量之间的关系是由“与”、 “或”、“非”三种基本运算决定的。
“⊙”的对偶符号，反之亦然。由以上分析可以看出， 两 变量的异或函数和同或函数既互补又对偶，这是一对特殊 函数。
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2.3 逻辑代数的基本定律和规则
2.3.1 基本定律
1. 逻辑变量的取值只有0和1，根据三种基本运算的定 义，可推得以下关系式。 0-1律： A·0 =0 A+1 =1 自等律：A·1=A A+0=A 重叠律：A·A=A A+A=A 互补律：A·A=0 A+A=1
反演规则是反演律的推广，运用它可以简便地求出一个
函数若的F反函A数B 。 C例 D如：AC, 则 F [(A B) C D](A C);

所得到的图形叫n变量的卡诺图。
逻辑相邻的最小项：如果两个最小项只有一个变量互为反变 量，那么，就称这两个最小项在逻辑上相邻。 如最小项 m6=ABC、与
m7 =ABC 在逻辑上相邻 m7
m6
两变量卡诺图 AB 0 1 m0 m1 0 AB AB 1 mB AB A 2 m3 三变量卡诺图 B
四变量卡诺图 CD AB 00 01 11 10 00 m0 m1 m3 m2 01 m4 m5 m7 m6 A 11 m12 m13 m15 m14
b.去括号
ABC ABC AB
ABC ABC AB(C C )
ABC ABC ABC ABC
m3 m5 m7 m6 m(3,5,6,7)
三、 用卡诺图表示逻辑函数
1、卡诺图的引出 卡诺图：将n变量的全部最小项都填入小方格内，并使具有 逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，这样,
L CD 00 01 AB 00 1 1 01 11 10 1 0 1 0 0 0 11 10 1 0 1 1 1 0 1 1
例2 画出下式的卡诺图
L ( A, B, C , D) ( A B C D)( A B C D)( A B C D)
解
( A B C D)( A B C D) 1. 将逻辑函数化为最小项表达式
结合律：A + B + C = (A + B) + C
A · · = (A · · B C B) C
A 分配律： ( B + C ) = AB + AC
A + BC = ( A + B )( A + C )

逻辑代数基础知识逻辑代数是分析和设计逻辑电路的数学基础。

逻辑代数是由英国科学家乔治·布尔(George·Boole)创立的，故又称布尔代数。

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逻辑代数是由英国科学家乔治·布尔(George·Boole)创立的，故又称布尔代数。

当逻辑代数的逻辑状态多于2种时(如0、1、2或更多状态时)，其通用模型的基本逻辑有2个。

一个是从一种状态变为另一种状态的逻辑，是一个一元逻辑;另外一种是两种状态中按照某种规则(比如比较大小)有倾向性的选择出其中一种状态的逻辑，这是一个二元逻辑。

依据这两种逻辑，可以表达任意多状态的任意逻辑关系，即最小表达式。

即任意多状态的逻辑是完备的。

当逻辑状态数扩展有理数量级甚至更多。

任意数学运算都可以用两个运算关系来联合表达：加减法和比较大小。

逻辑代数中的概念参与逻辑运算的变量叫逻辑变量，用字母A，B……表示。

每个变量的取值非0 即1。

0、1不表示数的大小，而是代表两种不同的逻辑状态。

正、负逻辑规定：正逻辑体制规定：高电平为逻辑1，低电平为逻辑0。

负逻辑体制规定：低电平为逻辑1，高电平为逻辑0。

逻辑函数：如果有若干个逻辑变量(如A、B、C、D)按与、或、非三种基本运算组合在一起，得到一个表达式L。

对逻辑变量的任意一组取值(如0000、0001、0010)L有唯一的值与之对应，则称L为逻辑函数。

逻辑变量A、B、C、D的逻辑函数记为：L=f(A、B、C、D) 乘法原理和加法原理与逻辑代数的关系⒈与逻辑和乘法乘法原理中自变量是因变量成立的必要条件，与逻辑的定义正好和乘法原理的描述一致，所以与逻辑和乘法对应。

⒉或逻辑和加法加法原理中自变量是因变量成立的充分条件，或逻辑的定义正好和加法原理的描述一致，所以或逻辑和加法对应。

乘法就是广义的与逻辑运算，加法就是广义的或逻辑运算。

图2-8 或非门逻辑符号
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2.1 逻辑运算及表示
3. 与或非运算 与或非运算是与运算、或运算和非运算的组合，这种运 算要求先执行与运算，再执行或运算，最后执行非运算。 四变量与或非运算逻辑表达式为
Y AB CD 四变量与或非运算的真值表如表2-6所示。
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图2-9 与或非门逻辑符号
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2.1换
2.2.1 逻辑函数的四种表示方法
下面以一个串并联开关电路图2-12为例来说明逻辑函 数的这4种表示方法。只有开关A闭合，并且开关B和开关 C中至少有一个闭合时，灯泡Y才会亮，其他情况下灯泡均 不会亮。因此，灯泡Y亮灭的状态是开关A、B、C状态的 函数，其中A、B、C的状态是输入逻辑变量，灯泡Y的状 态是输出逻辑变量。
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2.3 逻辑代数公式及规则
2. 逻辑变量与常量间的运算公式 假设A是一个逻辑变量，那么逻辑变量A与常量间的运 算公式如表2-12所示。
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2.3 逻辑代数公式及规则
3. 与普通代数类似的运算定律 在普通代数中，最为常用的运算定律有：交换律、结合 律和分配律。同样，逻辑代数也有这3个运算定律，如表213所示。
ABC A BC A BC ABC
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2.3 逻辑代数公式及规则
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2.3 逻辑代数公式及规则
【例2-5】证明摩根定律 A B A B 和A B A B 成立。 摩根定律的证明不能直接通过其他的公式或定律推导获 得，但也可以用假设法和真值表证明，真值表证明如下。
从表2-15可知，在AB取值分别为00、01、10、11时， A B 和 A B 的值相同，且分别为1、1、1、0，因此等式 A B A B 成立。同理，A B A B 等式也成立。
《数字电子技术》