曾谨言量子力学练习题答案

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第1章波函数与Schrödinger方程1.1复习笔记

1.2课后习题详解

1.3名校考研真题详解

第2章一维势场中的粒子2.1复习笔记

2.2课后习题详解

2.3名校考研真题详解

第3章力学量用算符表达3.1复习笔记

3.2课后习题详解

3.3名校考研真题详解

第4章力学量随时间的演化与对称性4.1复习笔记

4.2课后习题详解

4.3名校考研真题详解第5章中心力场5.1复习笔记

5.2课后习题详解

5.3名校考研真题详解

第6章电磁场中粒子的运动6.1复习笔记

6.2课后习题详解

6.3名校考研真题详解

第7章量子力学的矩阵形式与表象变换7.1复习笔记

7.2课后习题详解

7.3名校考研真题详解

第8章自旋8.1复习笔记

8.2课后习题详解

8.3名校考研真题详解

第9章力学量本征值问题的代数解法9.1复习笔记

9.2课后习题详解

9.3名校考研真题详解

第10章微扰论10.1复习笔记10.2课后习题详解

10.3名校考研真题详解

第11章量子跃迁11.1复习笔记

11.2课后习题详解

11.3名校考研真题详解

第12章其他近似方法12.1复习笔记

12.2课后习题详解

12.3名校考研真题详解

内容简介

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本书是曾谨言主编的《量子力学教程》（第3版）的学习辅导书，主

要包括以下内容：

（1）梳理知识脉络，浓缩学科精华。本书每章的复习笔记均对该章

的重难点进行了整理，并参考了国内名校名师讲授该教材的课堂笔

记。因此，本书的内容几乎浓缩了该教材的所有知识精华。

（2）详解课后习题，巩固重点难点。本书参考大量相关辅导资料，

对曾谨言主编的《量子力学教程》（第3版）的课后思考题进行了详细的分析和解答，并对相关重要知识点进行了延伸和归纳。

（3）精编考研真题，培养解题思路。本书精选详析了部分名校近年

第三章：一维定态问题

［1］对于无限深势阱屮运动的粒子（见图3・1）证明

„ 上（1—亠

2 12 / 兀 2

并证明当"T 00时上述结果与经典结论一致。

［解］写出归一化波函数:

(1)

先计算坐标平均值：

x=「|屮「曲=「dn 2竺曲显「（l — cos込）xdx Jo X a a gJo a

利用公式：

. xcospx sin px xs in pxax — --------------------- 1 -------- ；—

P P

—f1T/ 2 2 / f 2 2 - 2 MX J 1 f" 2/1 2勿才、, x - 屮才 ax- —x sin 〜 ---------- ax-— 才Pl — cos ---------- ) ax Jo J a a a

利用公式 ［才2 cospxdx-—x1 sin /zr +丄7才cos/zr—— sin px

J p 矿 p

2/77LV (2)

才 cos pxdx - xs in px cos px (3)

(5) nnx

得

计算均方根值用s-$2 = 7-pj2 J以知，可计算7

/__/ 12 ~ 2/72^2

在经典力学的一维无限深势阱问题中，因粒子局限在（0, a）范围中运动，各点的几率密度看作 相同，由于总几率是1,几率密度CD=-.

a

_ f" 」rz, 1 , a x - coxar = —xax=— Jo Jo a 2

［解］（甲法）：根据波函数标准条件，设定各区间的波函数如下:

（x<0 区）：屮=

(x>a 区)：H7 = De~kyX

但仏三寸2腻人一Q丨H

k、三 J2同匕 _ Z）/ 1i 写出在连接点x=0处连续条件 （0

(3)

/c2 三 J2/〃Z7

力 故当/?—> oo时二者相一致。

#

［2］试求在不对称势力阱屮粒子的能f 4= B+C

I k\A = ikAB—C}

x=a处连续条件 (9) (10)相除得Beikl

曾谨言量子力学练习题答案

曾谨言量子力学练习题答案

量子力学是现代物理学的重要分支之一，其研究对象是微观粒子的行为规律。曾谨言是一位著名的物理学家，他在量子力学领域有着杰出的贡献。在学习量子力学的过程中，我们常常会遇到一些练习题，以下是曾谨言量子力学练习题的答案。

1. 问题：在双缝干涉实验中，光子通过两个狭缝后，在屏幕上形成干涉条纹。如果将其中一个狭缝完全堵住，干涉条纹会发生什么变化？

答案：当一个狭缝被堵住时，干涉条纹会消失，屏幕上只会出现一个单缝的衍射图样。这是因为双缝干涉实验中，光子通过两个狭缝后会形成波的叠加，产生干涉现象。而当一个狭缝被堵住时，只有一个光子通过，无法产生干涉。

2. 问题：在量子力学中，什么是波函数？

答案：波函数是量子力学中描述微观粒子状态的数学函数。它可以用来计算粒子在空间中的位置、动量等物理量的概率分布。波函数的平方模的积分表示了粒子在某一位置的概率密度。

3. 问题：什么是量子纠缠？

答案：量子纠缠是量子力学中一种特殊的现象，当两个或多个粒子发生相互作用后，它们的状态将无法被单独描述，而是成为一个整体系统的状态。即使这些粒子之间距离很远，它们的状态仍然是相互关联的。这种关联关系在量子通信和量子计算中有着重要的应用。

4. 问题：什么是量子隧穿？

答案：量子隧穿是指微观粒子在经典力学中无法通过的势垒或势阱，在量子力学中却有一定概率穿越的现象。这是由于量子力学中粒子的波粒二象性，粒子具有波动性质，可以在势垒或势阱的两侧存在一定的概率分布。

5. 问题：什么是量子比特？

答案：量子比特，简称量子位或qubit，是量子计算中的基本单位。与经典计算中的比特不同，量子比特可以同时处于多个状态的叠加态，这种叠加态可以通过量子门操作进行处理和控制，从而实现量子计算的优势。

以上是曾谨言量子力学练习题的答案。量子力学作为一门复杂而又精密的学科，需要我们通过理论和练习来加深对其原理和应用的理解。希望这些答案能够帮助大家更好地掌握量子力学的知识，并在学习和研究中取得更进一步的突破。

曾谨言量子力学练习题答案

量子力学是物理学中描述微观粒子行为的一门基础理论，它在20世纪初由普朗克、爱因斯坦、波尔、薛定谔、海森堡等科学家共同发展起来。曾谨言教授的量子力学练习题是帮助学生深入理解量子力学概念和计算方法的重要工具。以下是一些练习题及其答案的示例：

练习题1：波函数的归一化

某粒子的波函数为 \( \psi(x) = A \sin(kx) \)，其中 \( A \) 和

\( k \) 是常数。求波函数的归一化常数 \( A \)。

答案：

波函数的归一化条件为 \( \int |\psi(x)|^2 dx = 1 \)。将

\( \psi(x) \) 代入归一化条件中，得到：

\[ \int |A \sin(kx)|^2 dx = 1 \]

\[ A^2 \int \sin^2(kx) dx = 1 \]

利用三角恒等式 \( \sin^2(kx) = \frac{1 - \cos(2kx)}{2} \)，积分变为：

\[ A^2 \int \frac{1 - \cos(2kx)}{2} dx = 1 \]

\[ A^2 \left[ \frac{x}{2} - \frac{\sin(2kx)}{4k} \right] = 1

\]

由于波函数在 \( x = 0 \) 到 \( x = \frac{\pi}{k} \) 之间归一化，所以：

\[ A^2 \left[ \frac{\pi}{2k} - 0 \right] = 1 \]

\[ A = \sqrt{\frac{2k}{\pi}} \]

练习题2：薛定谔方程的解

考虑一个一维无限深势阱，其势能 \( V(x) = 0 \) 当 \( 0 < x < a

\)，\( V(x) = \infty \) 其他情况下。求粒子的能级。

答案：

在无限深势阱中，薛定谔方程为：

\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = E\psi(x) \]